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9.3: Simplificando Expressões de Raiz Quadrada


Para começar nosso estudo do processo de simplificação de uma expressão de raiz quadrada, devemos observar três fatos: um fato relativo a quadrados perfeitos e dois a respeito de propriedades de raízes quadradas.

Quadrados perfeitos

Os números rea que são quadrados de números racionais são chamados quadrados perfeitos. Os números (25 ) e ( dfrac {1} {4} ) são exemplos de quadrados perfeitos, uma vez que (25 = 5 ^ 2 ) e ( dfrac {1} {4} = ( dfrac {1} {2}) ^ 2 ), e (5 ) e ( dfrac {1} {2} ) são números racionais. O número (2 ) não é um quadrado perfeito, pois (2 = ( sqrt {2}) ^ 2 ) e ( sqrt {2} ) não é um número racional.

Embora não façamos um estudo detalhado de números irracionais, faremos a seguinte observação:

Observação

Qualquer raiz quadrada indicada cujo radicand não seja um número quadrado perfeito é um número irracional.

Os números ( sqrt {6}, sqrt {15} ) e ( sqrt { dfrac {3} {4}} ) são irracionais, pois cada radicand (6, 15, dfrac {3 } {4} ) não é um quadrado perfeito.

A propriedade do produto do Square Roots

Notar que

( begin {array} {flushleft}
sqrt {9 cdot 4} & = sqrt {36} & = 6 & text {e}
sqrt {9} sqrt {4} & = 3 cdot 2 & = 6
end {array} )

A propriedade do produto ( sqrt {xy} = sqrt {x} sqrt {y} )

Isso sugere que, em geral, se (x ) e (y ) são números reais positivos,

( sqrt {xy} = sqrt {x} sqrt {y} )

A raiz quadrada do produto é o produto das raízes quadradas.

A propriedade quociente das raízes quadradas

Podemos sugerir uma regra semelhante para quocientes. Notar que

( sqrt { dfrac {36} {4}} = sqrt {9} = 3 ) e

( dfrac { sqrt {36}} { sqrt {4}} = dfrac {6} {2} = 3 ).

Uma vez que ( dfrac {36} {4} ) e ( dfrac { sqrt {36}} { sqrt {4}} ) são iguais a (3 ), deve ser aquele

( sqrt { dfrac {36} {4}} = dfrac { sqrt {36}} { sqrt {4}} )

A propriedade do quociente ( sqrt { dfrac {x} {y}} = dfrac { sqrt {x}} { sqrt {y}} )

Isso sugere que, em geral, se (x ) e (y ) são números reais positivos,

( sqrt { dfrac {x} {y}} = dfrac { sqrt {x}} { sqrt {y}}, y not = 0 ).

A raiz quadrada do quociente é o quociente das raízes quadradas.

CUIDADO

É extremamente importante lembrar que

( sqrt {x + y} not = sqrt {x} + sqrt {y} ) ou ( sqrt {x - y} not = sqrt {x} - sqrt {y} )

Por exemplo, observe que ( sqrt {16 + 9} = sqrt {25} = 5 ), mas ( sqrt {16} + sqrt {9} = 4 + 3 = 7 )

Vamos estudar o processo de simplificação de uma expressão de raiz quadrada distinguindo entre dois tipos de raízes quadradas: raízes quadradas que não envolvem uma fração e raízes quadradas que envolvem uma fração.

Raízes quadradas que não envolvem frações

Uma raiz quadrada que não envolve frações está no forma simplificada se não houver um quadrado perfeito no Radicand.

As raízes quadradas ( sqrt {x} ,. sqrt {ab}, sqrt {5mn}, sqrt {2 (a + 5)} ) estão em forma simplificada, pois nenhum dos radicandos contém um quadrado perfeito.

As raízes quadradas ( sqrt {x ^ 2}, sqrt {a ^ 3} = sqrt {a ^ 2a} ) são não de forma simplificada, pois cada radicand contém um quadrado perfeito.

Para simplificar uma expressão de raiz quadrada que não envolve uma fração, podemos usar as duas regras a seguir:

Simplificando raízes quadradas sem frações

  1. Se um fator do radical contiver uma variável com um até expoente, a raiz quadrada é obtida dividindo o expoente por 2.
  2. Se um fator do radical contiver uma variável com um chance expoente, a raiz quadrada é obtida primeiro fatorando o fator variável em dois fatores de modo que um tenha um expoente par e o outro tenha um expoente de 1, então usando a propriedade de produto de raízes quadradas.

Conjunto de amostra A

Simplifique cada raiz quadrada.

Exemplo ( PageIndex {1} )

( sqrt {a ^ 4} ). O expoente é par: ( dfrac {4} {2} = 2 ). O expoente na raiz quadrada é (2 ).

( sqrt {a ^ 4} = a ^ 2 )

Exemplo ( PageIndex {2} )

( sqrt {a ^ 6b ^ {10}} ). Ambos os expoentes são pares: ( dfrac {6} {2} = 3 ) e ( dfrac {10} {2} = 5 ). O expoente na raiz quadrada de (a ^ 6 ) é (3 ). O expoente na raiz quadrada se (b ^ {10} ) é (5 ).

( sqrt {a ^ 6gb ^ {10}} = a ^ 3b ^ 5 )

Exemplo ( PageIndex {3} )

( sqrt {y ^ 5} ). O expoente é ímpar: (y ^ 5 = y ^ 4y ). O

( sqrt {y ^ 5} = sqrt {y ^ 4y} = sqrt {y ^ 4} sqrt {y} = y ^ 2 sqrt {y} )

Exemplo ( PageIndex {4} )

( begin {array} {flushleft}
sqrt {36a ^ 7b ^ {11} c ^ {20}} & = sqrt {6 ^ 2a ^ 6ab ^ {10} bc ^ {20}} & a ^ 7 = a ^ 6a, b ^ {11} = b ^ {10} b
& = sqrt {6 ^ 2a ^ 6b ^ {10} c ^ {20} cdot ab} & text {pela propriedade comutativa de multiplicação}
& = sqrt {6 ^ 2a ^ 6b ^ {10} c ^ {20}} sqrt {ab} & text {pela propriedade do produto de raízes quadradas}
& = 6a ^ 3b ^ 5c ^ {10} sqrt {ab}
end {array} )

Exemplo ( PageIndex {5} )

( begin {array} {flushleft}
sqrt {49x ^ 8y ^ 3 (a-1) ^ 6} & = sqrt {7 ^ 2x ^ 8y ^ 2y (a-1) ^ 6}
& = sqrt {7 ^ 2x ^ 8y ^ 2 (a-1) ^ 6} sqrt {y}
& = 7x ^ 4y (a-1) ^ 3 sqrt {y}
end {array} )

Exemplo ( PageIndex {6} )

( sqrt {75} = sqrt {25 cdot 3} = sqrt {5 ^ 2 cdot 3} = sqrt {5 ^ 2} sqrt {3} = 5 sqrt {3} )

Conjunto de Prática A

Simplifique cada raiz quadrada.

Problema prático ( PageIndex {1} )

( sqrt {m ^ 8} )

Responder

(m ^ 4 )

Problema prático ( PageIndex {2} )

( sqrt {h ^ {14} k ^ {22}} )

Responder

(h ^ 7k ^ {11} )

Problema prático ( PageIndex {3} )

( sqrt {81a ^ {12} b ^ 6c ^ {38}} )

Responder

(9a ^ 6b ^ 3c ^ {19} )

Problema prático ( PageIndex {4} )

( sqrt {144x ^ 4y ^ {80} (b + 5) ^ {16}} )

Responder

(12x ^ 2y ^ {40} (b + 5) ^ 8 )

Problema prático ( PageIndex {5} )

( sqrt {w ^ 5} )

Responder

(w ^ 2 sqrt {w} )

Problema prático ( PageIndex {6} )

( sqrt {w ^ 7z ^ 3k ^ {13}} )

Responder

(w ^ 3zk ^ 6 sqrt {wzk} )

Problema prático ( PageIndex {7} )

( sqrt {27a ^ 3b ^ 4c ^ 5d ^ 6} )

Responder

(3ab ^ 2c ^ 2d ^ 3 sqrt {3ac} )

Problema prático ( PageIndex {8} )

( sqrt {180m ^ 4n ^ {15} 9a-12) ^ {15}} )

Responder

(6m ^ 2n ^ 7 (a-12) ^ 7 sqrt {5n (a-12)} )

Raízes quadradas envolvendo frações

Uma expressão de raiz quadrada está na forma simplificada se houver

  1. nenhum quadrado perfeito no Radicand,
  2. sem frações no Radicand, ou
  3. sem expressões de raiz quadrada no denominador.

As expressões de raiz quadrada ( sqrt {5a}, dfrac {4 sqrt {3xy}} {5} ) e ( dfrac {11m ^ 2n sqrt {a-4}} {2x ^ 2} ) estão em forma simplificada

As expressões de raiz quadrada ( sqrt { dfrac {3x} {8}}, sqrt { dfrac {4a ^ 4b ^ 3} {5}} ), e ( dfrac {2y} { sqrt { 3x}} ) são não de forma simplificada.

Simplificando raízes quadradas com frações

Para simplificar a expressão de raiz quadrada ( sqrt { dfrac {x} {y}} ),

  1. Escreva a expressão como ( dfrac { sqrt {x}} { sqrt {y}} ) usando a regra ( sqrt { dfrac {x} {y}} = dfrac { sqrt {x} } { sqrt {y}} ).
  2. Multiplique a fração por 1 na forma de ( dfrac { sqrt {y}} { sqrt {y}} ).
  3. Simplifique a fração restante, ( dfrac { sqrt {xy}} {y} ).

Racionalizando o Denominador

O processo envolvido na etapa 2 é chamado racionalizando o denominador. Este processo remove expressões de raiz quadrada do denominador usando o fato de que (( sqrt {y}) ( sqrt {y}) = y ).

Conjunto de amostra B

Simplifique cada raiz quadrada.

Exemplo ( PageIndex {7} )

( sqrt { dfrac {9} {25}} = dfrac { sqrt {9}} { sqrt {25}} = dfrac {3} {5} )

Exemplo ( PageIndex {8} )

( sqrt { dfrac {3} {5}} = dfrac { sqrt {3}} { sqrt {5}} = dfrac { sqrt {3}} { sqrt {5}} cdot dfrac { sqrt {5}} { sqrt {5}} = dfrac { sqrt {15}} {5} )

Exemplo ( PageIndex {9} )

( sqrt { dfrac {9} {8}} = dfrac { sqrt {9}} { sqrt {8}} = dfrac { sqrt {9}} { sqrt {8}} cdot dfrac { sqrt {8}} { sqrt {8}} = dfrac {3 sqrt {8}} {8} = dfrac {3 sqrt {4 cdot 2}} {8} = dfrac {3 sqrt {4} sqrt {2}} {8} = dfrac {3 cdot 2 sqrt {2}} {8} = dfrac {3 sqrt {2}} {4} )

Exemplo ( PageIndex {10} )

( sqrt { dfrac {k ^ {2}} {m ^ {3}}} = dfrac { sqrt {k ^ {2}}} { sqrt {m ^ {3}}} = dfrac {k} { sqrt {m ^ {3}}} = dfrac {k} { sqrt {m ^ {2} m}} = dfrac {k} { sqrt {m ^ {2} sqrt { m}}} = dfrac {k} {m sqrt {m}} = dfrac {k} {m sqrt {m}} cdot dfrac { sqrt {m}} { sqrt {m}} = dfrac {k sqrt {m}} {m sqrt {m} sqrt {m}} = dfrac {k sqrt {m}} {m cdot m} = dfrac {k sqrt {m }} {m ^ {2}} )

Exemplo ( PageIndex {11} )

( begin {array} {flushleft}
sqrt {x ^ 2 - 8x + 16} & = sqrt {(x-4) ^ 2}
& = x-4
end {array} )

Conjunto de Prática B

Simplifique cada raiz quadrada.

Problema prático ( PageIndex {9} )

( sqrt { dfrac {81} {25}} )

Responder

( dfrac {9} {5} )

Problema prático ( PageIndex {10} )

( sqrt { dfrac {2} {7}} )

Responder

( dfrac { sqrt {14}} {7} )

Problema prático ( PageIndex {11} )

( sqrt { dfrac {4} {5}} )

Responder

( dfrac {2 sqrt {5}} {5} )

Problema prático ( PageIndex {12} )

( sqrt { dfrac {10} {4}} )

Responder

( dfrac { sqrt {10}} {2} )

Problema prático ( PageIndex {13} )

( sqrt { dfrac {9} {4}} )

Responder

( dfrac {3} {2} )

Problema prático ( PageIndex {14} )

( sqrt { dfrac {a ^ 3} {6}} )

Responder

( dfrac {a sqrt {6a}} {6} )

Problema prático ( PageIndex {15} )

( sqrt { dfrac {y ^ 4} {x ^ 3}} )

Responder

( dfrac {y ^ 2 sqrt {x}} {x ^ 2} )

Problema prático ( PageIndex {16} )

( sqrt { dfrac {32a ^ 5} {b ^ 7}} )

Responder

( dfrac {4a ^ 2 sqrt {2ab}} {b ^ 4} )

Problema prático ( PageIndex {17} )

( sqrt {(x + 9) ^ 2} )

Responder

(x + 9 )

Problema prático ( PageIndex {18} )

( sqrt {x ^ 2 + 14x + 49} )

Responder

(x + 7 )

Exercícios

Para os problemas a seguir, simplifique cada uma das expressões radicais.

Exercício ( PageIndex {1} )

( sqrt {8b ^ 2} )

Responder

(2b sqrt {2} )

Exercício ( PageIndex {2} )

( sqrt {20a ^ 2} )

Exercício ( PageIndex {3} )

( sqrt {24x ^ 4} )

Responder

(2x ^ 2 sqrt {6} )

Exercício ( PageIndex {4} )

( sqrt {27y ^ 6} )

Exercício ( PageIndex {5} )

( sqrt {a ^ 5} )

Responder

(a ^ 2 sqrt {a} )

Exercício ( PageIndex {6} )

( sqrt {m ^ 7} )

Exercício ( PageIndex {7} )

( sqrt {x ^ {11}} )

Responder

(x ^ 5 sqrt {x} )

Exercício ( PageIndex {8} )

( sqrt {y ^ {17}} )

Exercício ( PageIndex {9} )

( sqrt {36n ^ 9} )

Responder

(6n ^ 4 sqrt {n} )

Exercício ( PageIndex {10} )

( sqrt {49x ^ {13}} )

Exercício ( PageIndex {11} )

( sqrt {100x ^ 5y ^ {11}} )

Responder

(10x ^ 2y ^ 5 sqrt {xy} )

Exercício ( PageIndex {12} )

( sqrt {64a ^ 7b ^ 3} )

Exercício ( PageIndex {13} )

(5 sqrt {16m ^ 6n ^ 7} )

Responder

(20m ^ 3n ^ 3 sqrt {n} )

Exercício ( PageIndex {14} )

(8 sqrt {9a ^ 4b ^ {11}} )

Exercício ( PageIndex {15} )

(3 sqrt {16x ^ 3} )

Responder

(12x sqrt {x} )

Exercício ( PageIndex {16} )

(8 sqrt {25y ^ 3} )

Exercício ( PageIndex {17} )

( sqrt {12a ^ 4} )

Responder

(2a ^ 2 sqrt {3} )

Exercício ( PageIndex {18} )

( sqrt {32x ^ 7} )

Responder

(4x ^ 3 sqrt {2x} )

Exercício ( PageIndex {19} )

( sqrt {12y ^ {13}} )

Exercício ( PageIndex {20} )

( sqrt {50a ^ 3b ^ 9} )

Responder

(5ab ^ 4 sqrt {2ab} )

Exercício ( PageIndex {21} )

( sqrt {48p ^ {11} q ^ 5} )

Exercício ( PageIndex {22} )

(4 sqrt {18a ^ 5b ^ {17}} )

Responder

(12a ^ 2b ^ 8 sqrt {2ab} )

Exercício ( PageIndex {23} )

(8 sqrt {108x ^ {21} y ^ 3} )

Exercício ( PageIndex {24} )

(- 4 sqrt {75a ^ 4b ^ 6} )

Responder

(- 20a ^ 2b ^ 3 sqrt {3} )

Exercício ( PageIndex {25} )

(- 6 sqrt {72x ^ 2y ^ 4z ^ {10}} )

Exercício ( PageIndex {26} )

(- sqrt {b ^ {12}} )

Responder

(- b ^ 6 )

Exercício ( PageIndex {27} )

(- sqrt {c ^ {18}} )

Exercício ( PageIndex {28} )

( sqrt {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} )

Responder

(abc)

Exercício ( PageIndex {29} )

( sqrt {4x ^ 2y ^ 2z ^ 2} )

Exercício ( PageIndex {30} )

(- sqrt {9a ^ 2b ^ 3} )

Responder

(- 3ab sqrt {b} )

Exercício ( PageIndex {31} )

(- sqrt {16x ^ 4y ^ 5} )

Exercício ( PageIndex {32} )

( sqrt {m ^ 6n ^ 8p ^ {12} q ^ {20}} )

Responder

(m ^ 3n ^ 4p ^ 6q ^ {10} )

Exercício ( PageIndex {33} )

( sqrt {r ^ 2} )

Exercício ( PageIndex {34} )

( sqrt {p ^ 2} )

Responder

(p )

Exercício ( PageIndex {35} )

( sqrt { dfrac {1} {4}} )

Exercício ( PageIndex {36} )

( sqrt { dfrac {1} {16}} )

Responder

( dfrac {1} {4} )

Exercício ( PageIndex {37} )

( sqrt { dfrac {4} {25}} )

Exercício ( PageIndex {38} )

( sqrt { dfrac {9} {49}} )

Responder

( dfrac {3} {7} )

Exercício ( PageIndex {39} )

( dfrac {5 sqrt {8}} { sqrt {3}} )

Exercício ( PageIndex {40} )

( dfrac {2 sqrt {32}} { sqrt {3}} )

Responder

( dfrac {8 sqrt {6}} {3} )

Exercício ( PageIndex {41} )

( sqrt { dfrac {5} {6}} )

Exercício ( PageIndex {42} )

( sqrt { dfrac {2} {7}} )

Responder

( dfrac { sqrt {14}} {7} )

Exercício ( PageIndex {43} )

( sqrt { dfrac {3} {10}} )

Exercício ( PageIndex {44} )

( sqrt { dfrac {4} {3}} )

Responder

( dfrac {2 sqrt {3}} {3} )

Exercício ( PageIndex {45} )

(- sqrt { dfrac {2} {5}} )

Exercício ( PageIndex {46} )

(- sqrt { dfrac {3} {10}} )

Responder

(- dfrac { sqrt {30}} {10} )

Exercício ( PageIndex {47} )

( sqrt { dfrac {16a ^ 2} {5}} )

Exercício ( PageIndex {48} )

( sqrt { dfrac {24a ^ 5} {7}} )

Responder

( dfrac {2a ^ 2 sqrt {42a}} {7} )

Exercício ( PageIndex {49} )

( sqrt { dfrac {72x ^ 2y ^ 3} {5}} )

Exercício ( PageIndex {50} )

( sqrt { dfrac {2} {a}} )

Responder

( dfrac { sqrt {2a}} {a} )

Exercício ( PageIndex {51} )

( sqrt { dfrac {5} {b}} )

Exercício ( PageIndex {52} )

( sqrt { dfrac {6} {x ^ 3}} )

Responder

( dfrac { sqrt {6x}} {x ^ 2} )

Exercício ( PageIndex {53} )

( sqrt { dfrac {12} {y ^ 5}} )

Exercício ( PageIndex {54} )

( sqrt { dfrac {49x ^ 2y ^ 5z ^ 9} {25a ^ 3b ^ {11}}} )

Responder

( dfrac {7 x y ^ {2} z ^ {4} sqrt {a b y z}} {5 a ^ {2} b ^ {6}} )

Exercício ( PageIndex {55} )

( sqrt { dfrac {27 x ^ {6} y ^ {15}} {3 ^ {3} x ^ {3} y ^ {5}}} )

Exercício ( PageIndex {56} )

( sqrt {(b + 2) ^ 4} )

Responder

((b + 2) ^ 2 )

Exercício ( PageIndex {57} )

( sqrt {(a-7) ^ 8} )

Exercício ( PageIndex {58} )

( sqrt {(x + 2) ^ 6} )

Responder

((x + 2) ^ 3 )

Exercício ( PageIndex {59} )

( sqrt {(x + 2) ^ 2 (x + 1) ^ 2} )

Exercício ( PageIndex {60} )

( sqrt {(a-3) ^ 4 (a-1) ^ 2} )

Responder

((a-3) ^ 2 (a-1) )

Exercício ( PageIndex {61} )

( sqrt {(b + 7) ^ 8 (b-7) ^ 6} )

Exercício ( PageIndex {62} )

( sqrt {a ^ 2 - 10a + 25} )

Responder

((a-5) )

Exercício ( PageIndex {63} )

( sqrt {b ^ 2 + 6b + 9} )

Exercício ( PageIndex {64} )

( sqrt {(a ^ 2 - 2a + 1) ^ 4} )

Responder

((a-1) ^ 4 )

Exercício ( PageIndex {65} )

( sqrt {(x ^ 2 + 2x + 1) ^ {12}} )

Exercícios para revisão

Exercício ( PageIndex {66} )

Resolva a desigualdade (3 (a + 2) le 2 (3a + 4) )

Responder

(a ge - dfrac {2} {3} )

Exercício ( PageIndex {67} )

Represente graficamente a desigualdade (6x le 5 (x + 1) - 6 )

Exercício ( PageIndex {68} )

Forneça as palavras que faltam. Ao olhar para um gráfico da esquerda para a direita, as linhas com inclinação _______ aumentam, enquanto as linhas com inclinação __________ caem.

Responder

positivo; negativo

Exercício ( PageIndex {69} )

Simplifique a fração complexa: ( dfrac {5+ frac {1} {x}} {5- frac {1} {x}} )

Exercício ( PageIndex {70} )

Simplifique ( sqrt {121x ^ 4w ^ 6z ^ 8} ) removendo o sinal do radical.

Responder

(11x ^ 2w ^ 3z ^ 4 )


Simplificando Raízes Quadradas - Apresentação PPT do PowerPoint

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Simplificando Expressões com Raízes Quadradas

Lembre-se de que quando um número (n ) é multiplicado por ele mesmo, escrevemos (^ <2> ) e leia “n ao quadrado”. Por exemplo, (<15> ^ <2> ) é lido como “15 ao quadrado” e 225 é chamado de quadrado de 15, já que (<15> ^ <2> = 225 ).

Quadrado de um Número

Se (^ <2> = m ), então (m ) é o quadrado de (n ).

Às vezes, precisaremos examinar a relação entre os números e seus quadrados ao contrário. Como 225 é o quadrado de 15, também podemos dizer que 15 é uma raiz quadrada de 225. Um número cujo quadrado é (m ) é chamado de raiz quadrada de (m ).

Raiz quadrada de um número

Se (^ <2> = m ), então (n ) é uma raiz quadrada de (m ).

Observe que (< left (-15 right)> ^ <2> = 225 ) também, então (- 15 ) também é uma raiz quadrada de 225. Portanto, ambos 15 e (- 15 ) são raízes quadradas de 225.

Portanto, todo número positivo tem duas raízes quadradas - uma positiva e outra negativa. E se quiséssemos apenas a raiz quadrada positiva de um número positivo? O sinal radical, ( sqrt), denota a raiz quadrada positiva. A raiz quadrada positiva também é chamada de raiz quadrada principal.

Também usamos o sinal do radical para a raiz quadrada de zero. Porque (<0> ^ <2> = 0 ), ( sqrt <0> = 0 ). Observe que zero tem apenas uma raiz quadrada.

Notação de Raiz Quadrada

( sqrt) é lido como "a raiz quadrada de (m )."

A raiz quadrada de (m ), ( sqrt), é o número positivo cujo quadrado é (m ).

Como 15 é a raiz quadrada positiva de 225, escrevemos ( sqrt <225> = 15 ). Preencha a figura abaixo para fazer uma tabela de raízes quadradas que você pode consultar enquanto trabalha neste tutorial.

Sabemos que todo número positivo tem duas raízes quadradas e o sinal do radical indica a raiz positiva. Escrevemos ( sqrt <225> = 15 ). Se quisermos encontrar a raiz quadrada negativa de um número, colocamos um negativo na frente do sinal do radical. Por exemplo, ( text <−> sqrt <225> = -15 ).


Removendo Fatores de Quadrado Perfeito

& # 147Simplificar uma raiz quadrada & # 148 significa reescrevê-la como uma expressão do mesmo valor, mas com o número ou expressão dentro da raiz quadrada o mais pequeno ou simples possível.

Ilustraremos a técnica aqui para raízes quadradas envolvendo apenas números, mas este método é mais importante para simplificar raízes quadradas contendo expressões algébricas.

Como exemplo, observe que podemos fazer o seguinte:

Portanto, tem o mesmo valor que. Porém, consideraríamos uma forma mais simples porque a quantidade na raiz quadrada é um número menor. Se reescrevermos o exemplo acima com as etapas na ordem inversa, podemos ver a estratégia para simplificar uma raiz quadrada quando isso for possível.

Se possível, separe ou fatore 45 em um produto de dois números, um dos quais é o quadrado de um número inteiro. (Lembre-se de que chamamos esses números de & # 147 quadrados perfeitos & # 148 anteriormente.)
Use a regra para multiplicar duas raízes quadradas.
já que a raiz quadrada de um quadrado é o número original.
O símbolo de multiplicação pode ser omitido.

Uma vez que o número restante na raiz quadrada, o 5, obviamente não pode ser escrito como produto de um quadrado perfeito e outro número, alcançamos o máximo de simplificação possível.

Esta estratégia para simplificar as expressões da raiz quadrada requer que desenvolvamos uma estratégia para deduzir como os números podem ser reescritos como um produto envolvendo um ou mais quadrados perfeitos & # 150, de fato, precisamos ser capazes de reescrever o número original na raiz quadrada como um produto de quadrados perfeitos e o menor valor que não é um quadrado perfeito.


Exemplo: como usar a propriedade do produto para simplificar uma raiz quadrada

Solução

Observe no exemplo anterior que a forma simplificada de ( sqrt <50> ) é (5 sqrt <2> ), que é o produto de um inteiro e uma raiz quadrada. Sempre escrevemos o número inteiro antes da raiz quadrada.


9.3: Simplificando Expressões de Raiz Quadrada

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Simplifique: & # 9424 9 2 9 2 & # 9425 (& # 87229) 2 (& # 87229) 2 & # 9426 & # 8722 9 2 & # 8722 9 2.
    Se você não percebeu este problema, revise [link].
  2. Circule 3.846 para o centésimo mais próximo.
    Se você não percebeu este problema, revise [link].
  3. Para cada número, identifique se é um número real ou não um número real:
    ⓐ − 100 − 100 ⓑ � � .
    Se você não percebeu este problema, revise [link].

Simplifique as expressões com raízes quadradas

Às vezes, precisaremos examinar a relação entre os números e seus quadrados ao contrário. Como 225 é o quadrado de 15, também podemos dizer que 15 é uma raiz quadrada de 225. Um número cujo quadrado é m m é chamado de raiz quadrada de m m.

Portanto, todo número positivo tem duas raízes quadradas & # 8212, uma positiva e uma negativa. E se quiséssemos apenas a raiz quadrada positiva de um número positivo? O sinal radical, m m, denota a raiz quadrada positiva. A raiz quadrada positiva também é chamada de raiz quadrada principal.

Também usamos o sinal do radical para a raiz quadrada de zero. Porque 0 2 = 0 0 2 = 0, 0 = 0 0 = 0. Observe que zero tem apenas uma raiz quadrada.

Como 15 é a raiz quadrada positiva de 225, escrevemos 225 = 15 225 = 15. Preencha [link] para fazer uma tabela de raízes quadradas que você pode consultar enquanto trabalha neste capítulo.

Ao usar a ordem das operações para simplificar uma expressão com raízes quadradas, tratamos o radical como um símbolo de agrupamento.

Observe as diferentes respostas nas partes & # 9424 e & # 9425!

Estimar raízes quadradas

Até agora, consideramos apenas as raízes quadradas de números quadrados perfeitos. As raízes quadradas de outros números não são números inteiros. Veja [link] abaixo.

Número Raiz quadrada
4 4 4 = 2
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9 = 3

As raízes quadradas dos números entre 4 e 9 devem estar entre os dois números inteiros consecutivos 2 e 3 e não são números inteiros. Com base no padrão da tabela acima, podemos dizer que 5 5 deve estar entre 2 e 3. Usando símbolos de desigualdade, escrevemos:

Pense nos números quadrados perfeitos mais próximos de 60. Faça uma pequena mesa com esses quadrados perfeitos e suas raízes.

Localize 60 entre dois quadrados perfeitos consecutivos.
60 60 está entre suas raízes quadradas.

Raízes quadradas aproximadas

Existem métodos matemáticos para aproximar as raízes quadradas, mas hoje em dia a maioria das pessoas usa uma calculadora para encontrá-los. Encontre a tecla x x em sua calculadora. Você usará esta chave para aproximar as raízes quadradas.

Quando você usa sua calculadora para encontrar a raiz quadrada de um número que não é um quadrado perfeito, a resposta que você vê não é a raiz quadrada exata. É uma aproximação com a precisão do número de dígitos mostrado na tela da calculadora e # 8217s. O símbolo de uma aproximação é & # 8776 & # 8776 e é lido & # 8216aproximadamente. & # 8217

Suponha que sua calculadora tenha um display de 10 dígitos. Você veria isso

Como sabemos que esses valores são aproximações e não os valores exatos? Veja o que acontece quando os corrigimos:

Seus quadrados são próximos a 5, mas não são exatamente iguais a 5.

Usando a tecla de raiz quadrada em uma calculadora e, em seguida, arredondando para duas casas decimais, podemos encontrar:


Simplifique a expressão e expresse a resposta usando expoentes racionais. Suponha que xey denotam… Mostrar mais Simplifique a expressão e expresse a resposta usando expoentes racionais. Suponha que x e y denotem números positivos. ^ 3 (símbolo de raiz quadrada) 512x ^ 2y ^ 4 / 8x ^ 5y * Observação: a potência de 3 está na frente do símbolo de raiz quadrada. A fração inteira está dentro do símbolo de raiz quadrada. • Mostre menos

Testemunhos

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Solução

Solução

Lembra-se do quociente para uma propriedade de poder? Ele disse que poderíamos elevar uma fração a uma potência elevando o numerador e o denominador à potência separadamente.

Podemos usar uma propriedade semelhante para simplificar a raiz quadrada de uma fração. Depois de remover todos os fatores comuns do numerador e denominador, se a fração não for um quadrado perfeito, simplificamos o numerador e o denominador separadamente.

Propriedade Quociente de Raízes Quadradas

Se uma, b são números reais não negativos e (b ne 0 ), então