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6.4: Multiplicando Polinômios - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Multiplique um polinômio por um monômio.
  • Multiplique um polinômio por um binômio.
  • Multiplique um polinômio por qualquer polinômio de tamanho.
  • Reconheça e calcule produtos especiais.
  • Multiplique funções polinomiais.

Multiplicando por um monômio

Lembre-se da regra do produto para expoentes: se (m ) e (n ) forem inteiros positivos, então

[x ^ {m} cdot x ^ {n} = x ^ {m + n} ]

Em outras palavras, ao multiplicar duas expressões com a mesma base, adicione os expoentes. Esta regra se aplica ao multiplicar um monômio por um monômio. Para encontrar o produto dos monômios, multiplique os coeficientes e adicione os expoentes dos fatores variáveis ​​com a mesma base. Por exemplo,

( begin {array} {cl} {3x cdot 5x ^ {2} = 3 cdot 5 cdot x ^ {1} cdot x ^ {2}} & { color {Cerúleo} {Comutativo : propriedade}} {= 15x ^ {1 + 2}} & { color {Cerúleo} {Produto : regra : para : expoentes}} {= 15x ^ {3}} & {} end {variedade})

Para multiplicar um polinômio por um monômio, aplique a propriedade distributiva e simplifique cada termo.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Multiplicar:

(- 5x (4x − 2) ).

Solução:

Neste caso, multiplique o monômio, (- 5x ), pelo binômio, (4x − 2 ). Aplique a propriedade distributiva e depois simplifique.

Responder:

(- 20x ^ {2} + 10x )

Exemplo ( PageIndex {2} )

Multiplicar:

(2x ^ {2} (3x ^ {2} −5x + 1) ).

Solução:

Aplique a propriedade distributiva e depois simplifique.

Responder:

(6x ^ {4} -10x ^ {3} + 2x ^ {2} )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Multiplicar:

(- 3ab ^ {2} (a ^ {2} b ^ {3} + 2a ^ {3} b − 6ab − 4) ).

Solução:

Responder:

Para resumir, multiplicar um polinômio por um monômio envolve a propriedade distributiva e a regra de produto para expoentes. Multiplique todos os termos do polinômio pelo monômio. Para cada termo, multiplique os coeficientes e adicione expoentes de variáveis ​​onde as bases são as mesmas.

Exercício ( PageIndex {1} )

Multiplicar:

(- 5x ^ {2} y (2xy ^ {2} −3xy + 6x ^ {2} y − 1) ).

Responder

(- 10x ^ {3} y ^ {3} + 15x ^ {3} y ^ {2} −30x ^ {4} y ^ {2} + 5x ^ {2} y )

Multiplicando por um binômio

Da mesma forma que usamos a propriedade distributiva para encontrar o produto de um monômio e um binômio, vamos usá-la para encontrar o produto de dois binômios.

[ begin {alinhados} color {Cerúleo} {(a + b)} color {preto} {(c + d)} & = color {Cerúleo} {(a + b)} color { preto} { cdot c +} color {Cerulean} {(a + b)} color {black} { cdot d} & = ac + bc + ad + bd & = ac + ad + bc + bd end {alinhado} ]

Aqui, aplicamos a propriedade distributiva várias vezes para produzir o resultado final. Este mesmo resultado é obtido em uma etapa se aplicarmos a propriedade distributiva para (a ) e (b ) separadamente como segue:

Isso geralmente é chamado de método FOIL. Adicionamos os produtos dos primeiros termos de cada binômio (ac ), os (o ) termos uter (ad ), os (i ) neros termos (bc ) e, finalmente, os últimos termos (bd ). Este dispositivo mnemônico só funciona para produtos de binômios; portanto, é melhor apenas lembrar que a propriedade distributiva se aplica.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Multiplicar:

((2x + 3) (5x − 2) ).

Solução:

Distribua (2x ) e depois distribua (3 ).

Simplifique combinando termos semelhantes.

(= 10x ^ {2} + 11x-6 )

Responder:

(10x ^ {2} + 11x-6 )

Exemplo ( PageIndex {5} )

Multiplicar:

(( frac {1} {2} x− frac {1} {4}) ( frac {1} {2} x + frac {1} {4}) ).

Solução:

Distribua ( frac {1} {2} x ) e depois distribua (- frac {1} {4} ).

( begin {align} ( frac {1} {2} x− frac {1} {4}) ( frac {1} {2} x + frac {1} {4}) & = color {Cerúleo} { frac {1} {2} x} color {preto} { frac {1} {2} x +} color {Cerúleo} { frac {1} {2} x} color {preto } { cdot frac {1} {4} +} color {OliveGreen} { left (- frac {1} {4} right)} color {black} { cdot frac {1} { 2} x +} color {OliveGreen} { left (- frac {1} {4} right)} color {black} { cdot frac {1} {4}} & = frac { 1} {4} x ^ {2} + frac {1} {8} x- frac {1} {8} x- frac {1} {16} & = frac {1} {4 } x ^ {2} - frac {1} {16} end {alinhado} )

Responder:

( frac {1} {4} x ^ {2} - frac {1} {16} )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Multiplicar:

((3y ^ {2} −1) (2y + 1) ).

Solução:

Responder:

(6y ^ {3} + 3y ^ {2} -2y-1 )

Depois de aplicar a propriedade distributiva, combine quaisquer termos semelhantes.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Multiplicar:

((x ^ {2} −5) (3x ^ {2} −2x + 2) ).

Solução:

Depois de multiplicar cada termo do trinômio por (x ^ {2} ) e (- 5 ), simplifique.

Responder:

(3x ^ {4} -2x ^ {3} -13x ^ {2} + 10x-10 )

Exemplo ( PageIndex {8} )

Multiplicar:

((2x − 1) ^ {3} ).

Solução:

Execute um produto de cada vez.

Responder:

(8x ^ {3} -12x ^ {2} + 6x-1 )

Neste ponto, vale apontar um erro comum:

((2x-1) ^ {3} neq (2x) ^ {3} - (1) ^ {3} )

A confusão vem do produto para uma regra de potência dos expoentes, onde aplicamos a potência a todos os fatores. Uma vez que existem dois termos entre parênteses, essa regra não se aplica. Deve-se ter cuidado para entender o que é diferente nos dois exemplos a seguir:

( begin {align} (xy) ^ {2} & = x ^ {2} y ^ {2} quad color {Cerulean} { checkmark} (x + y) ^ {2} & neq x ^ {2} + y ^ {2} quad color {red} {x} end {alinhado} )

Exercício ( PageIndex {2} )

Multiplicar:

((2x − 3) (7x ^ {2} −5x + 4) ).

Responder

(14x ^ {3} -31x ^ {2} + 23x-12 )

Produto de polinômios

Ao multiplicar polinômios, aplicamos a propriedade distributiva muitas vezes. Multiplique todos os termos de cada polinômio e, a seguir, combine termos semelhantes.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Multiplicar:

((2x ^ {2} + x − 3) (x ^ {2} −2x + 5) ).

Solução:

Multiplique cada termo do primeiro trinômio por cada termo do segundo trinômio e, a seguir, combine termos semelhantes.

O alinhamento de termos semelhantes em colunas, como temos aqui, auxilia no processo de simplificação

Responder:

(2x ^ {4} -3x ^ {3} + 5x ^ {2} + 11x-15 )

Observe que ao multiplicar um trinômio por um trinômio, obtemos nove termos antes de simplificar. De fato, ao multiplicar um polinômio de (n ) - termo por um polinômio de m, obteremos os termos de (n × m ). No exemplo anterior, fomos solicitados a multiplicar e descobrimos que

((2x ^ {2} + x-3) (x ^ {2} -2x + 5) = 2x ^ {4} -3x ^ {3} + 5x ^ {2} + 11x-15 )

Como é fácil cometer um pequeno erro de cálculo, é uma boa prática rastrear mentalmente as etapas para verificar se as operações foram realizadas corretamente. Alternativamente, podemos verificar avaliando qualquer valor para (x ) em ambas as expressões para verificar se os resultados são os mesmos. Aqui, escolhemos (x = 2 ):

( begin {align} (2x ^ {2} + x-3) (x ^ {2} -2x + 5) & = (2 ( color {OliveGreen} {2} color {black} {) ^ {2} + (} color {OliveGreen} {2} color {black} {) - 3) ((} color {OliveGreen} {2} color {black} {) ^ {2} -2 (} color {OliveGreen} {2} color {black} {) + 5)} & = (8 + 2-3) (4-4 + 5) & = (7) (5) & = 35 end {alinhado} )

Como os resultados podem coincidentemente ser os mesmos, uma verificação por avaliação não prova necessariamente que multiplicamos corretamente. No entanto, após verificar alguns valores, podemos ter certeza de que o produto está correto.

Exercício ( PageIndex {3} )

Multiplicar:

((x ^ {2} −2x − 3) ^ {2} ).

Responder

(x ^ {4} −4x ^ {3} −2x ^ {2} + 12x + 9 )

Produtos especiais

Nesta seção, o objetivo é reconhecer certos produtos especiais que ocorrem com frequência em nosso estudo de álgebra. Iremos desenvolver três fórmulas que serão muito úteis à medida que avançamos. Os três devem ser memorizados. Começamos considerando os dois cálculos a seguir:

( begin {array} {r | r} {(a + b) ^ {2} = (a + b) (a + b)} & {(ab) ^ {2} = (ab) (ab) } {= a ^ {2} + ab + ba + b ^ {2}} & {= a ^ {2} -ab-ba + b ^ {2}} {= a ^ {2} + ab + ab + b ^ {2}} & {= a ^ {2} -ab-ab + b ^ {2}} {= a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}} & {= a ^ {2} -2ab + b ^ {2}} end {array} )

Isso nos leva a duas fórmulas que descrevem trinômios quadrados perfeitos:

[(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} ]

[(a-b) ^ {2} = a ^ {2} -2ab + b ^ {2} ]

Podemos usar essas fórmulas para enquadrar rapidamente um binômio.

Exemplo ( PageIndex {10} )

Multiplicar:

((3x + 5) ^ {2} ).

Solução:

Aqui (a = 3x ) e (b = 5 ). Aplique a fórmula:

( begin {alinhado} color {Cerúleo} {(a + b) ^ {2}} & color {Cerúleo} {= : : a ^ {2} : : : : + 2 : : : : : : : a : : : : : : b : : + : : b ^ {2}} & color {Cerulean} { quad : : : downarrow qquad qquad : : downarrow : : : : : downarrow qquad downarrow} (3x + 5) ^ {2} & = (3x ) ^ {2} +2 cdot (3x) (5) + (5) ^ {2} & = 9x ^ {2} + 30x + 25 end {alinhado} )

Responder:

(9x ^ {2} + 30x + 25 )

Esse processo deve se tornar rotina o suficiente para ser executado mentalmente.

Exemplo ( PageIndex {11} )

Multiplicar:

((x − 4) ^ {2} ).

Solução:

Aqui (a = x ) e (b = 4 ). Aplique a fórmula apropriada da seguinte forma:

( begin {alinhado} color {Cerúleo} {(ab) ^ {2}} & color {Cerúleo} {= : : a ^ {2} : : : : - 2 : : : : a : : : b : : + : b ^ {2}} & color {Cerulean} { quad : : : downarrow qquad quad : : : : downarrow : : : downarrow quad : : : downarrow} (x-4) ^ {2} & = (x) ^ {2} - 2 cdot (x) (4) + (4) ^ {2} & = x ^ {2} -8x + 16 end {alinhado} )

Responder:

(x ^ {2} -8x + 16 )

Nosso terceiro produto especial é o seguinte:

( begin {alinhados} (a + b) (ab) & = a ^ {2} -ab + ba-b ^ {2} & = a ^ {2} color {red} {- ab + ab} color {black} {- b ^ {2}} & = a ^ {2} -b ^ {2} end {alinhado} )

Este produto é denominado diferença de quadrados:

[(a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2} ]

Os binômios ((a + b) ) e ((a − b) ) são chamados de binômios conjugados. Portanto, quando binômios conjugados são multiplicados, o termo do meio é eliminado e o próprio produto é um binômio.

Exemplo ( PageIndex {12} )

Multiplicar:

((7x + 4) (7x − 4) ).

Solução:

Responder:

(49x ^ {2} -16 )

Exercício ( PageIndex {4} )

Multiplicar:

((- 5x + 2) ^ {2} ).

Responder

(25x ^ {2} −20x + 4 )

Multiplicando funções polinomiais

Usamos a notação de função para indicar a multiplicação da seguinte forma:

Multiplicação de funções: ((f cdot g) (x) = f (x) cdot g (x) )
Tabela ( PageIndex {1} )

Exemplo ( PageIndex {13} )

Calcular:

((f⋅g) (x) ), dado (f (x) = 5x ^ {2} ) e (g (x) = - x ^ {2} + 2x − 3 ).

Solução:

Multiplique todos os termos do trinômio pela função monomial (f (x) ).

( begin {alinhado} (f cdot g) (x) & = f (x) cdot g (x) & = 5x ^ {2} cdot (-x ^ {2} + 2x-3 ) & = - 5x ^ {4} + 10x ^ {3} -15x ^ {2} end {alinhado} )

Responder:

((f cdot g) (x) = - 5x ^ {4} + 10x ^ {3} -15x ^ {2} )

Exemplo ( PageIndex {14} )

Calcular:

((f⋅g) (- 1) ), dado (f (x) = - x + 3 ) e (g (x) = 4x ^ {2} −3x + 6 ).

Solução:

Primeiro, determine ((f⋅g) (x) ).

( begin {alinhado} (f cdot g) (x) & = f (x) cdot g (x) & = (- x + 3) (4x ^ {2} -3x + 6) & = - 4x ^ {3} + 3x ^ {2} -6x + 12x ^ {2} -9x + 18 & = - 4x ^ {3} + 15x ^ {2} -15x + 18 end { alinhado} )

Nós temos

((f cdot g) (x) = -4x ^ {3} + 15x ^ {2} -15x + 18

Em seguida, substitua (- 1 ) pela variável (x ).

( begin {align} (f cdot g) ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = - 4 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) ^ {3} +15 (} color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) ^ {2} -15 (} color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) +18} & = - 4 cdot (-1) +15 cdot 1 + 15 + 18 & = 4 + 15 + 15 + 18 & = 52 end {alinhado} )

Responder:

((f cdot g) (- 1) = 52 )

Porque ((f⋅g) (- 1) = f (−1) ⋅g (−1) ), poderíamos alternativamente calcular (f (−1) ) e (g (−1) ) separadamente e depois multiplique os resultados (tente fazer isso como um exercício). No entanto, se formos solicitados a avaliar vários valores para a função ((f⋅g) (x) ), seria melhor primeiro determinar a forma geral, como fizemos no exemplo anterior.

Principais vantagens

  • Para multiplicar um polinômio por um monômio, aplique a propriedade distributiva e simplifique cada um dos termos resultantes.
  • Para multiplicar polinômios, multiplique cada termo no primeiro polinômio por cada termo no segundo polinômio. Em seguida, combine termos semelhantes.
  • O produto de um polinômio de (n ) termo e um polinômio de (m ) termo resulta em um polinômio de termo (m × n ) antes de termos semelhantes serem combinados.
  • Verifique os resultados avaliando os valores na expressão original e em sua resposta para verificar se os resultados são os mesmos.
  • Use as fórmulas de produtos especiais para multiplicar rapidamente os binômios que ocorrem com frequência na álgebra.

Exercício ( PageIndex {5} ) Produto de um monômio e um polinômio

Multiplicar.

  1. (5x (−3x ^ {2} y) )
  2. ((- 2x ^ {3} y ^ {2}) (- 3xy ^ {4}) )
  3. ( frac {1} {2} (4x − 3) )
  4. (- frac {3} {4} ( frac {2} {3} x − 6) )
  5. (3x (5x − 2) )
  6. (- 4x (2x − 1) )
  7. (x ^ {2} (3x + 2) )
  8. (- 6x ^ {2} (5x + 3) )
  9. (2ab (4a − 2b) )
  10. (5a ^ {2} b (a ^ {2} −b ^ {2}) )
  11. (6x ^ {2} y ^ {3} (- 3x ^ {3} y + xy ^ {2}) )
  12. (3ab ^ {3} (- 5ab ^ {3} + 6a ^ {2} b) )
  13. (- frac {1} {2} x ^ {2} y (4xy − 10) )
  14. (- 3x ^ {4} y ^ {2} (3x ^ {8} y ^ {3}) )
  15. (2x ^ {2} (- 5x ^ {3}) (3x ^ {4}) )
  16. (4ab (a ^ {2} b ^ {3} c) (a ^ {4} b ^ {2} c ^ {4}) )
  17. (- 2 (5x ^ {2} −3x + 4) )
  18. ( frac {4} {5} (25x ^ {2} −50xy + 5y ^ {2}) )
  19. (3x (5x ^ {2} −2x + 3) )
  20. (- x (x ^ {2} + x − 1) )
  21. (x ^ {2} (3x ^ {2} −5x − 7) )
  22. (x ^ {3} (- 4x ^ {2} −7x + 9) )
  23. ( frac {1} {4} x ^ {4} (8x ^ {3} −2x ^ {2} + frac {1} {2} x − 5) )
  24. (- frac {1} {3} x ^ {3} ( frac {3} {2} x ^ {5} - frac {2} {3} x ^ {3} + frac {9} {2} x − 1) )
  25. (a ^ {2} b (a ^ {2} −3ab + b ^ {2}) )
  26. (6a ^ {2} bc ^ {3} (2a − 3b + c ^ {2}) )
  27. ( frac {2} {3} xy ^ {2} (9x ^ {3} y − 27xy + 3xy ^ {3}) )
  28. (- 3x ^ {2} y ^ {2} (12x ^ {2} −10xy − 6y ^ {2}) )
  29. Encontre o produto de (3x ) e (2x ^ {2} −3x + 5 ).
  30. Encontre o produto de (- 8y ) e (y ^ {2} −2y + 12 ).
  31. Encontre o produto de (- 4x ) e (x ^ {4} −3x ^ {3} + 2x ^ {2} −7x + 8 ).
  32. Encontre o produto de (3xy ^ {2} ) e (- 2x ^ {2} y + 4xy − xy ^ {2} ).
Responder

1. (- 15x ^ {3} y )

3. (2x− frac {3} {2} )

5. (15x ^ {2} −6x )

7. (3x ^ {3} + 2x ^ {2} )

9. (8a ^ {2} b − 4ab ^ {2} )

11. (- 18x ^ {5} y ^ {4} + 6x ^ {3} y ^ {5} )

13. (- 2x ^ {3} y ^ {2} + 5x ^ {2} y )

15. (- 30x ^ {9} )

17. (- 10x ^ {2} + 6x − 8 )

19. (15x ^ {3} −6x ^ {2} + 9x )

21. (3x ^ {4} −5x ^ {3} −7x ^ {2} )

23. (2x ^ {7} - frac {1} {2} x ^ {6} + frac {1} {8} x ^ {5} - frac {5} {4} x ^ {4 } )

25. (a ^ {4} b − 3a ^ {3} b ^ {2} + a ^ {2} b ^ {3} )

27. (6x ^ {4} y ^ {3} −18x ^ {2} y ^ {3} + 2x ^ {2} y ^ {5} )

29. (6x ^ {3} −9x ^ {2} + 15x )

31. (- 4x ^ {5} + 12x ^ {4} −8x ^ {3} + 28x ^ {2} −32x )

Exercício ( PageIndex {6} ) Produto de um binômio e um polinômio

Multiplicar.

  1. ((3x − 2) (x + 4) )
  2. ((x + 2) (x − 3) )
  3. ((x − 1) (x + 1) )
  4. ((3x − 1) (3x + 1) )
  5. ((2x − 5) (x + 3) )
  6. ((5x − 2) (3x + 4) )
  7. ((- 3x + 1) (x − 1) )
  8. ((x + 5) (- x + 1) )
  9. ((y− frac {2} {3}) (y + frac {2} {3}) )
  10. (( frac {1} {2} x + frac {1} {3}) ( frac {3} {2} x− frac {2} {3}) )
  11. (( frac {3} {4} x + frac {1} {5}) ( frac {1} {4} x + frac {2} {5}) )
  12. (( frac {1} {5} x + frac {3} {10}) ( frac {3} {5} x− frac {5} {2}) )
  13. ((y ^ {2} −2) (y + 2) )
  14. ((y ^ {3} −1) (y ^ {2} +2) )
  15. ((a ^ {2} −b ^ {2}) (a ^ {2} + b ^ {2}) )
  16. ((a ^ {2} −3b) ^ {2} )
  17. ((x − 5) (2x ^ {2} + 3x + 4) )
  18. ((3x − 1) (x ^ {2} −4x + 7) )
  19. ((2x − 3) (4x ^ {2} + 6x + 9) )
  20. ((5x + 1) (25x ^ {2} −5x + 1) )
  21. ((x− frac {1} {2}) (3x ^ {2} + 4x − 1) )
  22. (( frac {1} {3} x− frac {1} {4}) (3x ^ {2} + 9x − 3) )
  23. ((x + 3) ^ {3} )
  24. ((x − 2) ^ {3} )
  25. ((3x − 1) ^ {3} )
  26. ((2x + y) ^ {3} )
  27. ((5x − 2) (2x ^ {3} −4x ^ {2} + 3x − 2) )
  28. ((x ^ {2} −2) (x ^ {3} −2x ^ {2} + x + 1) )
Responder

1. (3x ^ {2} + 10x − 8 )

3. (x ^ {2} −1 )

5. (2x ^ {2} + x − 15 )

7. (- 3x ^ {2} + 4x − 1 )

9. (y ^ {2} - frac {4} {9} )

11. ( frac {3} {16} x ^ {2} + frac {7} {20} x + frac {2} {25} )

13. (y ^ {3} + 2y ^ {2} −2y − 4 )

15. (a ^ {4} −b ^ {4} )

17. (2x ^ {3} −7x ^ {2} −11x − 20 )

19. (8x ^ {3} −27 )

21. (3x ^ {3} + frac {5} {2} x ^ {2} −3x + 12 )

23. (x ^ {3} + 9x ^ {2} + 27x + 27 )

25. (27x ^ {3} −27x ^ {2} + 9x − 1 )

27. (10x ^ {4} −24x ^ {3} + 23x ^ {2} −16x + 4 )

Exercício ( PageIndex {7} ) Produto de polinômios

Multiplicar.

  1. ((x ^ {2} −x + 1) (x ^ {2} + 2x + 1) )
  2. ((3x ^ {2} −2x − 1) (2x ^ {2} + 3x − 4) )
  3. ((2x ^ {2} −3x + 5) (x ^ {2} + 5x − 1) )
  4. ((a + b + c) (a − b − c) )
  5. ((a + 2b − c) ^ {2} )
  6. ((x + y + z) ^ {2} )
  7. ((x − 3) ^ {4} )
  8. ((x + y) ^ {4} )
  9. Encontre o volume de um sólido retangular com lados medindo unidades (x, x + 2 ) e (x + 4 ).
  10. Encontre o volume de um cubo onde cada lado mede (x − 5 ) unidades.
Responder

1. (x ^ {4} + x ^ {3} + x + 1 )

3. (2x ^ {4} + 7x ^ {3} −12x ^ {2} + 28x − 5 )

5. (a ^ {2} + 4ab − 2ac + 4b ^ {2} −4bc + c ^ {2} )

7. (x ^ {4} −12x ^ {3} + 54x ^ {2} −108x + 81 )

9. (x ^ {3} + 6x ^ {2} + 8x )

Exercício ( PageIndex {8} ) Produtos Especiais

Multiplicar.

  1. ((x + 2) ^ {2} )
  2. ((x − 3) ^ {2} )
  3. ((2x + 5) ^ {2} )
  4. ((3x − 7) ^ {2} )
  5. ((- x + 2) ^ {2} )
  6. ((- 9x + 1) ^ {2} )
  7. ((a + 6) ^ {2} )
  8. ((2a − 3b) ^ {2} )
  9. (( frac {2} {3} x + frac {3} {4}) ^ {2} )
  10. (( frac {1} {2} x− frac {3} {5}) ^ {2} )
  11. ((x ^ {2} +2) ^ {2} )
  12. ((x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} )
  13. ((x + 4) (x − 4) )
  14. ((2x + 1) (2x − 1) )
  15. ((5x + 3) (5x − 3) )
  16. (( frac {1} {5} x− frac {1} {3}) ( frac {1} {5} x + frac {1} {3}) )
  17. (( frac {3} {2} x + frac {2} {5}) ( frac {3} {2} x− frac {2} {5}) )
  18. ((2x − 3y) (2x + 3y) )
  19. ((4x − y) (4x + y) )
  20. ((a ^ {3} −b ^ {3}) (a ^ {3} + b ^ {3}) )
  21. Uma caixa é feita cortando os cantos e dobrando as bordas de um pedaço quadrado de papelão. É fornecido um modelo para uma caixa de papelão com altura de (2 ) polegadas. Encontre uma fórmula para o volume, se o pedaço inicial de papelão for um quadrado com lados medindo (x ) polegadas.

    Figura ( PageIndex {5} )
  22. É fornecido um modelo para uma caixa de papelão com altura de (x ) polegadas. Encontre uma fórmula para o volume, se o pedaço inicial de papelão for um quadrado com lados medindo 30 cm.

    Figura ( PageIndex {6} )
Responder

1. (x ^ {2} + 4x + 4 )

3. (4x ^ {2} + 20x + 25 )

5. (x ^ {2} −4x + 4 )

7. (a ^ {2} + 12a + 36 )

9. ( frac {4} {9} x ^ {2} + x + frac {9} {16} )

11. (x ^ {4} + 4x ^ {2} +4 )

13. (x ^ {2} −16 )

15. (25x ^ {2} −9 )

17. ( frac {9} {4} x ^ {2} - frac {4} {25} )

19. (16x ^ {2} −y ^ {2} )

21. (V = 2x ^ {2} −16x + 32 ) polegadas cúbicas

Exercício ( PageIndex {9} ) Multiplicando funções polinomiais

Para cada problema, calcule ((f⋅g) (x) ), dadas as funções.

  1. (f (x) = 8x ) e (g (x) = 3x − 5 )
  2. (f (x) = x ^ {2} ) e (g (x) = - 5x + 1 )
  3. (f (x) = x − 7 ) e (g (x) = 6x − 1 )
  4. (f (x) = 5x + 3 ) e (g (x) = x ^ {2} + 2x − 3 )
  5. (f (x) = x ^ {2} + 6x − 3 ) e (g (x) = 2x ^ {2} −3x + 5 )
  6. (f (x) = 3x ^ {2} −x + 1 ) e (g (x) = - x ^ {2} + 2x − 1 )
Responder

1. ((f⋅g) (x) = 24x ^ {2} −40x )

3. ((f⋅g) (x) = 6x ^ {2} −43x + 7 )

5. ((f⋅g) (x) = 2x ^ {4} + 9x ^ {3} −19x ^ {2} + 39x − 15 )

Exercício ( PageIndex {10} ) Multiplicando funções polinomiais

Dado (f (x) = 2x − 3 ) e (g (x) = 3x − 1 ), encontre o seguinte

  1. ((f⋅g) (x) )
  2. ((g⋅f) (x) )
  3. ((f⋅g) (0) )
  4. ((f⋅g) (- 1) )
  5. ((f⋅g) (1) )
  6. ((f⋅g) ( frac {1} {2}) )
Responder

1. ((f⋅g) (x) = 6x ^ {2} −11x + 3 )

3. ((f⋅g) (0) = 3 )

5. ((f⋅g) (1) = - 2 )

Exercício ( PageIndex {11} ) Multiplicando funções polinomiais

Dado (f (x) = 5x − 1 ) e (g (x) = 2x ^ {2} −4x + 5 ), encontre o seguinte.

  1. ((f⋅g) (x) )
  2. ((g⋅f) (x) )
  3. ((f⋅g) (0) )
  4. ((f⋅g) (- 1) )
  5. ((f⋅g) (1) )
  6. ((f⋅g) ( frac {1} {2}) )
  7. ((f⋅f) (x) )
  8. ((g⋅g) (x) )
Responder

1. ((f⋅g) (x) = 10x ^ {3} −22x ^ {2} + 29x − 5 )

3. ((f⋅g) (0) = - 5 )

5. ((f⋅g) (1) = 12 )

7. ((f⋅f) (x) = 25x ^ {2} −10x + 1 )

Exercício ( PageIndex {12} ) Tópicos do quadro de discussão

  1. Explique por que ((x + y) ^ {2} neq x ^ {2} + y {2} ).
  2. Explique como multiplicar rapidamente um binômio com seu conjugado. Dê um exemplo.
  3. Quais são as vantagens e desvantagens de usar o dispositivo mnemônico FOIL?
Responder

1. As respostas podem variar

3. As respostas podem variar


Recursos abertos da ORCCA para álgebra de faculdades comunitárias

Anteriormente, aprendemos a multiplicar monômios na Seção 6.1 (como ((4xy) left (3x ^ 2 right) )) e a adicionar e subtrair polinômios na Seção 6.3 (como ((4x ^ 2- 3x) ​​+ (5x ^ 2 + x-2) )). Nesta seção, aprenderemos como multiplicar polinômios.

Figura 6.4.1 Aula de vídeo alternativa

Exemplo 6.4.2 Receita

Avery é dona de uma empresa local de geleia orgânica que atualmente vende cerca de (1.500 ) potes por mês a um preço de ( $ 13 ) por frasco. Avery descobriu que cada vez que aumentam o preço em (25 ) centavos o frasco, eles vendem (50 ) menos potes de geléia a cada mês.

Em geral, a receita dessa empresa pode ser calculada multiplicando o custo por frasco pelo número total de potes de geléia vendidos.

Se deixarmos (x ) representar o número de aumentos de (25 ) centavos no preço, o preço por jarro será o preço atual de treze dólares / jar mais (x ) vezes (0,25 ) dólares / jarro ou (13 + 0,25x texto <.> )

Continuando com (x ) representando o número de aumentos de (25 ) centavos no preço, sabemos que a empresa venderá (50 ) menos potes cada vez que o preço aumentar em (25 ) centavos. O número de potes que a empresa venderá será o (1.500 ) que eles vendem atualmente a cada mês, menos (50 ) potes vezes (x text <,> ) o número de aumentos de preços. Isso nos dá a expressão (1500-50x ) para representar quantos frascos a empresa venderá depois de aumentos de preço de (x ) (25 ) centavos.

Combinando isso, agora podemos escrever uma fórmula para nosso modelo de receita:

Para simplificar a expressão ( left (13 + 0,25x right) left (1500-50x right) text <,> ) precisaremos multiplicar (13 + 0,25x ) por (1500 -50x text <.> ) Nesta seção, aprenderemos como multiplicar essas duas expressões, cada uma com vários termos.

Subseção 6.4.1 Revisão da propriedade distributiva

A primeira etapa em quase todos os exercícios de multiplicação polinomial será uma etapa de distribuição. Vamos revisar rapidamente a propriedade distributiva da Seção 2.10, que afirma que (a (b + c) = ab + ac ) onde (a, b text <,> ) e (c ) são números reais ou expressões variáveis.

Quando multiplicamos um monômio por um binômio, aplicamos essa propriedade distribuindo o monômio a cada termo do binômio. Por exemplo,

Uma abordagem visual da propriedade distributiva é tratar o produto como localizando a área de um retângulo. Esses retângulos são chamados de e podem ser usados ​​para modelar a multiplicação polinomial.

O grande retângulo consiste em dois retângulos menores. A área do retângulo grande é (2x (3x + 4) text <,> ) e a soma desses dois retângulos menores é (2x cdot3x + 2x cdot4 text <.> ) Como a soma dos áreas desses dois retângulos menores é a mesma que a área do retângulo maior, temos:

Retângulos genéricos são freqüentemente usados ​​para visualizar a propriedade distributiva.

Multiplicar um monômio por um polinômio envolve duas etapas: distribuição e multiplicação monomial. Também precisamos confiar nas regras dos expoentes 6.1.15 ao simplificar.

Ponto de Verificação 6.4.4
Ponto de Verificação 6.4.5
Ponto de Verificação 6.4.6
Observação 6.4.7

Podemos usar a propriedade distributiva ao multiplicar à esquerda ou à direita. Isso significa que podemos afirmar (a (b + c) = ab + ac text <,> ) ou que ((b + c) a = ba + ca text <,> ) que é equivalente a (ab + ac text <.> ) Por exemplo,

Subseção 6.4.2 Abordagens para multiplicar binômios

Multiplicando binômios usando distribuição

Quer estejamos multiplicando um monômio por um polinômio ou dois polinômios maiores juntos, a primeira etapa para realizar a multiplicação é uma etapa de distribuição. Começaremos com a multiplicação de binômios e depois passaremos a trabalhar com polinômios maiores.

Sabemos que podemos distribuir o (3 ) em ((x + 2) 3 ) para obter ((x + 2) multiplyright <3> = x multiplyright <3> +2 multiplyright <3> text <.> ) Na verdade, podemos distribuir qualquer coisa em ((x + 2) text <.> ) Por exemplo:

Com isso em mente, podemos começar a multiplicar ((x + 2) (x + 3) ) distribuindo o ((x + 3) ) em ((x + 2) text <:> )

Para terminar a multiplicação, continuaremos distribuindo novamente, mas desta vez em ((x + 3) text <:> )

Para multiplicar um binômio por outro binômio, simplesmente tivemos que repetir a etapa de distribuição e simplificar os termos resultantes. Na verdade, a multiplicação de quaisquer dois polinômios dependerá dessas mesmas etapas.

Multiplicando binômios usando FOIL

Embora a multiplicação de dois binômios exija duas aplicações da propriedade distributiva, as pessoas costumam se lembrar desse processo de distribuição usando o mnemônico. FOIL refere-se aos pares de termos de cada binômio que acabam sendo distribuídos entre si.

Se dermos outra olhada no exemplo que acabamos de completar, ((x + 2) (x + 3) text <,> ) podemos destacar como o processo FOIL funciona. FOIL é a sigla para "First, Outer, Inner, Last".

O termo (x ^ 2 ) foi o resultado do produto de primeiro termos de cada binômio.

O (3x ) foi o resultado do produto da exterior termos de cada binômio. Isso veio do (x ) na frente do primeiro binômio e do (3 ) na parte de trás do segundo binômio.

O (2x ) foi o resultado do produto da interno termos de cada binômio. Isso veio do (2 ) na parte de trás do primeiro binômio e do (x ) na frente do segundo binômio.

O termo constante (6 ) foi o resultado do produto da durar termos de cada binômio.

Multiplicando binômios usando retângulos genéricos

Também podemos abordar esse mesmo exemplo usando o método retângulo genérico. Para usar retângulos genéricos, tratamos (x + 2 ) como a base de um retângulo e (x + 3 ) como a altura. Seu produto, ((x + 2) (x + 3) text <,> ) representa a área do retângulo. O próximo diagrama mostra como configurar retângulos genéricos para multiplicar ((x + 2) (x + 3) text <.> )

O grande retângulo consiste em quatro retângulos menores. Iremos encontrar a área de cada pequeno retângulo no próximo diagrama pela fórmula ( text= text cdot text text <.> )

Para terminar de encontrar este produto, precisamos adicionar as áreas dos quatro retângulos menores:

Observe que as áreas dos quatro retângulos menores são exatamente as mesmas dos quatro termos que obtivemos usando a distribuição, que também são os mesmos quatro termos que vieram do método FOIL. Tanto o método FOIL quanto a abordagem de retângulos genéricos são maneiras diferentes de representar a distribuição que está ocorrendo.

Exemplo 6.4.11

Multiplique ((2x-3y) (4x-5y) ) usando a distribuição.

Para usar a propriedade distributiva para multiplicar esses dois binômios, primeiro distribuiremos o segundo binômio em ((2x-3y) text <.> ) Em seguida, distribuiremos novamente e simplificaremos os termos resultantes.

Exemplo 6.4.12

Primeiro, Externo, Interno, Último: Com setas no papel ou mentalmente em nossas cabeças, vamos emparelhar os quatro pares de monômios e multiplicar esses pares.

Exemplo 6.4.13

Multiplique ((2x-3y) (4x-5y) ) usando retângulos genéricos.

Começamos desenhando quatro retângulos e marcando suas bases e alturas com termos nos binômios dados:

Em seguida, calculamos a área de cada retângulo multiplicando sua base por sua altura:

Por fim, adicionamos a área de todos os retângulos para encontrar o produto:

Subseção 6.4.3 Mais exemplos de binômios de multiplicação

Ao multiplicar binômios, todas as abordagens mostradas na Subseção 6.4.2 terão o mesmo resultado. O método FOIL é o mais direto e será usado nos exemplos a seguir.

Ponto de Verificação 6.4.16
Ponto de Verificação 6.4.17
Exemplo 6.4.18

Multiplique e simplifique a fórmula para a receita da empresa de compotas da Avery, (R ) (em dólares), do Exemplo 6.4.2, onde (R = (13 + 0,25x) (1500-50x) ) e (x ) representa o número de aumentos de 25 centavos no preço de venda de um pote de geleia.

Para multiplicar isso, usaremos FOIL:

Exemplo 6.4.19

Tyrone é um artista e vende cada uma de suas pinturas por ( $ 200 text <.> ) Atualmente, ele pode vender (100 ) pinturas por ano. Assim, sua renda anual com pinturas é de (200 cdot100 = 20000 ) dólares. Ele planeja aumentar o preço. No entanto, para cada $ (20 ) de aumento de preço por pintura, seus clientes comprariam (5 ) menos pinturas anualmente.

Suponha que Tyrone aumentaria o preço de suas pinturas (x ) vezes, cada vez em $ (20 text <.> ) Use um polinômio expandido para representar sua nova renda por ano.

Atualmente, cada pintura custa $ (200 text <.> ) Depois de aumentar o preço (x ) vezes, cada vez em $ (20 text <,> ) o novo preço de cada pintura seria (200 + 20x ) dólares.

Atualmente, Tyrone vende (100 ) pinturas por ano. Depois de aumentar o preço (x ) vezes, cada vez vendendo (5 ) menos pinturas, ele vendia (100-5x ) pinturas por ano.

Sua renda anual pode ser calculada multiplicando o preço de cada pintura pelo número de pinturas que ele venderia:

Depois de aumentar o preço (x ) vezes, cada vez em $ (20 text <,> ), a renda anual de Tyrone com pinturas seria de (- 100x ^ 2 + 1000x + 20000 ) dólares.

Subseção 6.4.4 Multiplicando polinômios maiores que binômios

A base para a multiplicação de qualquer par de polinômios é a distribuição e a multiplicação monomial. Quer estejamos trabalhando com binômios, trinômios ou polinômios maiores, o processo é fundamentalmente o mesmo.

Exemplo 6.4.20

Multiplicar ( left (x + 5 right) left (x ^ 2-4x + 6 right) text <.> )

Podemos abordar este produto usando retângulos genéricos de distribuição. Não podemos usar diretamente o método FOIL, embora possa ser útil desenhar setas para os seis pares de produtos que ocorrerão.

Usando a propriedade distributiva, começamos distribuindo em ( left (x ^ 2-4x + 6 right) text <,> ) realizamos uma segunda etapa de distribuição e, em seguida, combinamos termos semelhantes.

Com o fundamento da multiplicação monomial e a compreensão de como a distribuição se aplica neste contexto, podemos encontrar o produto de quaisquer dois polinômios.


6.4: Multiplicando Polinômios - Matemática

A multiplicação de polinômios foi inventada no século 15 antes disso, as equações eram escritas em palavras. René Descartes, é um dos que introduziu o conceito de gráfico de equações polinomiais, em La geométrica de 1637. Polinômios são um dos conceitos mais importantes na álgebra e na matemática e nas ciências. Em matemática, um polinômio é uma construção de expressão a partir de variáveis ​​também conhecidas como indeterminadas e constantes, usando as operações de adição, subtração, multiplicação e expoentes de número inteiro não negativos constantes.

A localização exata é desconhecida, embora a antiga forma de polinômio tenha sido descoberta nos chineses por volta de 200 a.C. Na forma moderna de polinômio foi pensado pela primeira vez por Micheal Stifel em 1544 com o Hilbook Arithomatica Integra, em latim que significa "Aritmática Integral". Em seguida, houve Robert Recorde em 1557 com “The Whetstone of Witte”. Então veio provavelmente o mais famoso René Descartes com seu livro chamado “La Geometrie” em 1637. Todas essas pessoas alegaram ter encontrado o poder dos polinômios, mas um mistério ainda permanece. A lista polinomial básica encontrada foram os símbolos de adição, subtração e o uso de letras para números desconhecidos.

Polinômios são um dos conceitos mais importantes em álgebra e em toda a matemática e ciências. Eles são usados ​​para formar equações polinomiais, que codificam uma extensa gama de problemas, de problemas de palavras elementares a problemas complicados nas ciências, eles são usados ​​para definir funções polinomiais, que aparecem em configurações que vão desde química fundamental e física a economia, e são usados em cálculo e análise numérica para aproximar outras funções. Polinômios são usados ​​para construir anéis polinomiais, um dos conceitos mais poderosos em álgebra e geometria algébrica.


Ao multiplicar dois polinômios, qual propriedade fundamental você usa repetidamente?

Seja V =. Em outras palavras, V é o conjunto de todos os polinômios de grau 2 ou menos, de modo que sua integral de 0-1 seja igual a 1. a) Mostre que a soma de dois polinômios em V não está em V b) Mostre que um afim combinação

Seja V =. Em outras palavras, V é o conjunto de todos os polinômios de grau 2 ou menos, de modo que sua integral de 0-1 seja igual a 1. a) Mostre que a soma de dois polinômios em V não está em V b) Mostre que um afim combinação

Esta é uma questão que me foi dada para responder: Como dividir um polinômio por um binômio é semelhante ou diferente da divisão longa que você aprendeu no ensino fundamental? A compreensão de como fazer um tipo de divisão pode ajudá-lo a compreender o outro


Multiplicando Polinômios - Conceito

Carl ensinou matemática de nível superior em várias escolas e atualmente dirige sua própria empresa de reforço escolar. Ele aposta que ninguém supera seu amor por atividades intensivas ao ar livre!

Existem diferentes métodos para multiplicar polinômios. Um método é usar um modelo de área, mas outra maneira de multiplicar polinômios sem ter que desenhar diagramas é multiplicar polinômios usando distribuição. Para entender multiplicando polinômios, precisamos de conhecimento de multiplicação de monômios e binômios e de conhecer as regras de multiplicação de expoentes.

Multiplicando polinômios e, basicamente, o que estamos fazendo ao multiplicar polinômios é expandir um termo para uma potência ou mesmo às vezes apenas um termo vezes um termo. Você sabe que quando você tem x menos 3 ao quadrado, o que você realmente está fazendo é x menos 3 vezes x menos 3. E a palavra tenho certeza que você ouviu em algum momento de sua carreira na matemática é FOIL, primeiro, exterior, interno, por último e isso é bom para o princípio por trás do que está acontecendo, mas o que eu quero fazer é decompor isso um pouco mais. E basicamente mostrar que o que você realmente está fazendo é pegar cada termo em seu primeiro polinômio, neste caso, é o binômio, porque há 2 termos, e multiplicá-lo por cada termo no outro também. Então, o que você realmente está fazendo é ax vezes 3 e ax vezes xe você também está pegando o negativo 3 vezes x, e o negativo 3 vezes negativo 3 também.
Então você está realmente pegando este x e multiplicando por tudo aqui e este termo aqui multiplicando por tudo também. Agora você está lidando com binômios quando está lidando com algo com 2 termos frustrados funciona bem, mas à medida que avançamos e você nem sempre estará lidando com apenas 2 e 2, FOIL a palavra não se manterá, mas o princípio ainda vai. Ok, então vamos terminar isso, nós temos x vezes x que vai ser x ao quadrado, negativo 3 vezes x, negativo 3 vezes xe negativo 3 vezes negativo 3 combinando termos semelhantes que realmente terminamos então é x ao quadrado menos 6x + 9. Então, expandir um polinômio para 2 vezes do problema do polinômio [IB] é apenas uma expansão binomial algo com 2 termos, FOIL é a palavra que você conhece, mas lembre-se de que FOIL está na verdade apenas representando o princípio de pegar cada termo em 1 polinômio e multiplicá-lo por todos os outros termos e pelo outro.


6.4: Multiplicando Polinômios - Matemática

Polinomial é uma expressão algébrica que consiste em variável e coeficiente. A variável também é às vezes chamada de indeterminada. We can perform any of the operations using polynomials whether it be multiplication, division, subtraction, or addition. In this article, we are going to learn how to multiply polynomials.

Multiplying Monomial by a Monomial

In mathematic, a monomial is an expression in algebra that contains only one variable, it can be a number, whole number, and a variable that multiplies together like 2x, 4mn, etc. Now, we will learn how to multiply a monomial by a monomial:

Multiplying two monomials:

Similarly, 3 × (10m) = 10m +10m +10m = 30 m

(eu) m × 10n 2 = m × 10 × n × n = 10mn 2

(ii) 20t × 3n = 20 × t × 3 × n = 60tn

(iii) 100q × (-8qzr) = 100 × q × (-8) × q × z × r= -800q 2 zr

As we can see from these examples that the coefficient of product is equal to the product of coefficients of the first and second monomial.

Multiplying three or more monomials:

To find the product of three or more monomials, we can first multiply any two monomials and then multiply this product with the remaining monomials. We can extend this method to find the product of any number of monomials.

Question 1. Evaluate 100pq × 4qr × 8pr

Given: 100pq × 4qr × 8pr

So, we shall first multiply 100 pq and 4qr = 400pq 2 r

Now multiply this product with 8pr

Final product is 400pq 2 r × 8pr = 3200p 2 q 2 r 2

We can obtain the same solution by first multiplying the coefficients 100 × 4 × 8 = 3200

The product of algebraic coefficients is pq × qr × pr = p 2 q 2 r 2

So, the final product is 3200p 2 q 2 r 2

Question 2. Find 5pqr × 10 rst

Multiply the coefficients 5 × 10 =50

Multiply the algebraic coefficients = pqr × rst = pqr 2 st

So, Product = 50pqr 2 st

The result of multiplication doesn’t depend on the order in which multiplication is carried out.

Multiplying Monomial by a Polynomial

We are allowed to multiply a monomial by a polynomial using the following steps:

Passo 1: Arrange the monomial and polynomial in a line.

Passo 2: Now use distributed law to separate them.

Etapa 3: After separation multiply the first term with the second term

Step 4: simplifies the result(if needed).

Question 1. Multiply 20m × (10n + 3).

Given: 20m x (10n + 3)

Using the distributive laws,

= (20m × 10n) + (20m × 3)

= 200mn + 60m

Question 2. Find the product 19p × (2q + 3z + 5pq)

Given: 19p × (2q + 3z + 5pq)

Using the distributive law,

= (19p × 2q) + (19p × 3z) + (19p × 5pq)

= 38pq + 57pz + 95p 2 q

Multiplying Polynomial

We are allowed to multiply one polynomial with another polynomial using the following steps:

Passo 1: Arrange the polynomials in a line.

Passo 2: Now use distributed law to separate them.

Etapa 3: After separation multiply the first term with the second term

Step 4: simplifies the result(if needed).

Using these steps you can multiply multiple polynomials with each other. And when the two polynomial multiplies then the degree of the resulting polynomial is always higher.

Question 1. Multiply (2x – 4y) and (3x – 5y).

Given: (2x – 4y) × (3x – 5y)

Using the distributive laws,

[2x × (3x – 5y)] – [4y × (3x – 5y)]

[6x 2 – 10xy] – [12xy – 20y 2 ]

6x 2 – 10xy – 12xy – 20y 2

6x 2 – 20y 2 – 22xy

Question 2. Multiply (2x + 4y) and (2x + y).

Given: (2x + 4y) × (2x + y)

Using the distributive laws,

[2x × (2x + y)] + [4y × (2x + y)]

[4x 2 + 2xy] + [8xy + 4y 2 ]

4x 2 + 2xy + 8xy + 4y 2

4x 2 + 4y 2 + 10xy

Question 3. Find the value of 3m (4m – 5) + 4 when m = 1

Given: 3m (4m – 5) + 4, m = 1

3m(4m – 5) = 12m 2 – 15m

So, 3m (4m – 5) + 4 = 12m 2 – 15m + 4

Now put the value m = 1

= 12(1) 2 – 15 (1) + 4

= 12 – 15 + 4

= 1

Types of polynomial multiplication:

There are two types of polynomial multiplication are available:

1. Multiplying binomial by a binomial

We are allowed to multiply one binomial with another binomial using the following steps:

Passo 1: Arrange the binomials in a line.

Passo 2: Now use distributed law to separate them.

Etapa 3: After separation multiply the first term with the second term

Step 4: Combine similar terms(if available).

Question 1. Multiply (t – 5) and (3m + 5)

Question 2. Multiply (z + 4) and (z – 4)

Given: (z + 4) × (z – 4)

Using distributed law

= z(z – 4) + 4(z – 4)

= z 2 – 4z + 4z – 16

= z 2 – 16

Question 3. Multiply (m – n) and (3m + 5n)

Given: (m – n) × (3m + 5n)

Using distributed law

= m(3m + 5n) – n(3m + 5n)

= 3m 2 + 5mn – 3mn – 5n 2

= 3m 2 + 2mn – 5n 2

2. Multiplying binomial and a trinomial

We are allowed to multiply one binomial with another trinomial using the following steps:

Passo 1: Arrange the binomial and trinomial in a line.

Passo 2: Now use distributed law to separate them.

Etapa 3: After separation, each of two terms of the binomial gets multiplied by each of three terms of the trinomial.

Step 4: Combine similar terms(if available).

Question 1. Simplify (m – n)(2m + 3n + r)

Given: (m – n)(2m + 3n + r)

Using distributed law

= m(2m + 3n + r) – n(2m + 3n + r)

= 2m 2 + 3mn + mr – 2mn – 3n 2 – nr

= 2m 2 + mn – 3n 2 + mr – nr

Question 2. Evaluate (p + q) (p + q + r)

Given: (p + q)(p + q + r)

Using distributed law

= p(p + q + r) + q(p + q + r)

= p 2 + pq + pr + pq + q 2 + qr

= p 2 + q 2 + 2pq + pr + qr

Question 3. Evaluate (4 + 5t)(5 + 3t + q)

Given: (4 + 5t)(5 + 3t + q)

Using distributed law

= 4(5 + 3t + q) + 5t (5 + 3t + q)

= 20 + 12t + 4q + 25t + 15 t 2 + 5tq

= 15t 2 + 37t + 5tq + 4q + 20


I can't find the way using only 5-6, but here is a way to do it in $7$.

Suppose we are multiplying together $ax^2 + bx + c$ and $dx^2 + ex + f$. Compute $(a+b+c)(d+e+f) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf$. This takes $1$ multiplication. Now compute $ad,ae,bd,bf,ce,cf$. This brings up up to $7$. The coefficients of the product are simply $ad, ae + bd, be + af + cd, bf + ce, cf$. By straightfoward additions we know $ad, ae + bd, bf + ce, cf$ already. This coefficient $be + af + cd$ can be computed as $(a+b+c)(d+e+f) - ad - ae - bd - bf - ce - cf$, thus we're done and we only need $7$ multiplications.

Elaborating on Dinoboy's answer, there is a way to do it in 6 multiplications:

compute $ad$ , $be$ , $cf$ , and also $(a+b)(d+e), (b+c)(e+f), (a+c)(d+f)$ . Then we have the following identities for the coefficients (where $[x^p] E$ denotes the coefficient of $x^p$ in expression $E$ ):

começar [x^0] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= cf [x^1] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= ce + bf = (b+c)(e+f) - be - cf [x^2] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= af + be + cd = be + (a+c)(d+f) - ad - cf [x^3] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= ae + bd = (a+b)(d+e) - ad - be [x^4] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= ad. fim

I am not sure it is possible to do it in 5 multiplications, but I'll let the others try.


Resumo

Multiplication of binomials and polynomials requires use of the distributive property as well as the commutative and associative properties of multiplication. Whether the polynomials are monomials, binomials, or trinomials, carefully multiply each term in one polynomial by each term in the other polynomial. Be careful to watch the addition and subtraction signs and negative coefficients. A product is written in simplified form if all of its like terms have been combined.


Conteúdo

For this, a new sequence of constants is defined recursively as follows:

To see why this works, the polynomial can be written in the form

Thus, by iteratively substituting the b i > into the expression,

Now, it can be proven that

This expression constitutes Horner's practical application, as it offers a very quick way of determining the outcome of

with b0 (which is equal to p(x0)) being the division's remainder, as is demonstrated by the examples below. if x0 is a root of p(x), then b0 = 0 (meaning the remainder is 0), which means you can factor p(x) with (x-x0).
As to finding the consecutive b-values, you start with determining bn, which is simply equal to an. You then work your way down to the other b's, using the formula

Examples Edit

The entries in the third row are the sum of those in the first two. Each entry in the second row is the product of the x-value (3 in this example) with the third-row entry immediately to the left. The entries in the first row are the coefficients of the polynomial to be evaluated. Then the remainder of f ( x ) on division by x − 3 is 5.

As a consequence of the polynomial remainder theorem, the entries in the third row are the coefficients of the second-degree polynomial, the quotient of f ( x ) on division by x − 3 . The remainder is 5. This makes Horner's method useful for polynomial long division.

The quotient is x 2 − 4 x + 3 -4x+3> .


The third row is the sum of the first two rows, divided by 2. Each entry in the second row is the product of 1 with the third-row entry to the left. A resposta é

Efficiency Edit

Evaluation using the monomial form of a degree-n polynomial requires at most n additions and (n 2 + n)/2 multiplications, if powers are calculated by repeated multiplication and each monomial is evaluated individually. (This can be reduced to n additions and 2n − 1 multiplications by evaluating the powers of x iteratively.) If numerical data are represented in terms of digits (or bits), then the naive algorithm also entails storing approximately 2n times the number of bits of x (the evaluated polynomial has approximate magnitude x n , and one must also store x n itself). By contrast, Horner's method requires only n additions and n multiplications, and its storage requirements are only n times the number of bits of x. Alternatively, Horner's method can be computed with n fused multiply–adds. Horner's method can also be extended to evaluate the first k derivatives of the polynomial with kn additions and multiplications. [3]

Horner's method is optimal, in the sense that any algorithm to evaluate an arbitrary polynomial must use at least as many operations. Alexander Ostrowski proved in 1954 that the number of additions required is minimal. [4] Victor Pan proved in 1966 that the number of multiplications is minimal. [5] However, when x is a matrix, Horner's method is not optimal.

This assumes that the polynomial is evaluated in monomial form and no preconditioning of the representation is allowed, which makes sense if the polynomial is evaluated only once. However, if preconditioning is allowed and the polynomial is to be evaluated many times, then faster algorithms are possible. They involve a transformation of the representation of the polynomial. In general, a degree-n polynomial can be evaluated using only ⌊n/2⌋+2 multiplications and n additions. [6]

Parallel evaluation Edit

A disadvantage of Horner's rule is that all of the operations are sequentially dependent, so it is not possible to take advantage of instruction level parallelism on modern computers. In most applications where the efficiency of polynomial evaluation matters, many low-order polynomials are evaluated simultaneously (for each pixel or polygon in computer graphics, or for each grid square in a numerical simulation), so it is not necessary to find parallelism within a single polynomial evaluation.

If, however, one is evaluating a single polynomial of very high order, it may be useful to break it up as follows:

More generally, the summation can be broken into k parts:

where the inner summations may be evaluated using separate parallel instances of Horner's method. This requires slightly more operations than the basic Horner's method, but allows k-way SIMD execution of most of them. Modern compilers generally evaluate polynomials this way when advantageous, although for floating-point calculations this require enabling (unsafe) reassociative math.

Application to floating-point multiplication and division Edit

Horner's method is a fast, code-efficient method for multiplication and division of binary numbers on a microcontroller with no hardware multiplier. One of the binary numbers to be multiplied is represented as a trivial polynomial, where (using the above notation) a i = 1 =1> , and x = 2 . Então, x (or x to some power) is repeatedly factored out. In this binary numeral system (base 2), x = 2 , so powers of 2 are repeatedly factored out.

Edição de exemplo

For example, to find the product of two numbers (0.15625) and m:

Method Edit

To find the product of two binary numbers d e m:

1. A register holding the intermediate result is initialized to d. 2. Begin with the least significant (rightmost) non-zero bit in m. 2b. Count (to the left) the number of bit positions to the next most significant non-zero bit. If there are no more-significant bits, then take the value of the current bit position. 2c. Using that value, perform a left-shift operation by that number of bits on the register holding the intermediate result 3. If all the non-zero bits were counted, then the intermediate result register now holds the final result. Otherwise, add d to the intermediate result, and continue in step 2 with the next most significant bit in m.

Edição de Derivação

In general, for a binary number with bit values ( d 3 d 2 d 1 d 0 d_<2>d_<1>d_<0>> ) the product is

At this stage in the algorithm, it is required that terms with zero-valued coefficients are dropped, so that only binary coefficients equal to one are counted, thus the problem of multiplication or division by zero is not an issue, despite this implication in the factored equation:

The denominators all equal one (or the term is absent), so this reduces to

or equivalently (as consistent with the "method" described above)

In binary (base-2) math, multiplication by a power of 2 is merely a register shift operation. Thus, multiplying by 2 is calculated in base-2 by an arithmetic shift. The factor (2 −1 ) is a right arithmetic shift, a (0) results in no operation (since 2 0 = 1 is the multiplicative identity element), and a (2 1 ) results in a left arithmetic shift. The multiplication product can now be quickly calculated using only arithmetic shift operations, addition and subtraction.

The method is particularly fast on processors supporting a single-instruction shift-and-addition-accumulate. Compared to a C floating-point library, Horner's method sacrifices some accuracy, however it is nominally 13 times faster (16 times faster when the "canonical signed digit" (CSD) form is used) and uses only 20% of the code space. [7]

Other applications Edit

Horner's method can be used to convert between different positional numeral systems – in which case x is the base of the number system, and the umaeu coefficients are the digits of the base-x representation of a given number – and can also be used if x is a matrix, in which case the gain in computational efficiency is even greater. However, for such cases faster methods are known. [8]

These two steps are repeated until all real zeros are found for the polynomial. If the approximated zeros are not precise enough, the obtained values can be used as initial guesses for Newton's method but using the full polynomial rather than the reduced polynomials. [9]

Edição de exemplo

p 6 ( x ) = ( x + 8 ) ( x + 5 ) ( x + 3 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 7 ) (x)=(x+8)(x+5)(x+3)(x-2)(x-3)(x-7)>

From the above we know that the largest root of this polynomial is 7 so we are able to make an initial guess of 8. Using Newton's method the first zero of 7 is found as shown in black in the figure to the right. Next p ( x ) is divided by ( x − 7 ) to obtain

which is drawn in red in the figure to the right. Newton's method is used to find the largest zero of this polynomial with an initial guess of 7. The largest zero of this polynomial which corresponds to the second largest zero of the original polynomial is found at 3 and is circled in red. The degree 5 polynomial is now divided by ( x − 3 ) to obtain

which is shown in yellow. The zero for this polynomial is found at 2 again using Newton's method and is circled in yellow. Horner's method is now used to obtain

which is shown in green and found to have a zero at −3. This polynomial is further reduced to

which is shown in blue and yields a zero of −5. The final root of the original polynomial may be found by either using the final zero as an initial guess for Newton's method, or by reducing p 2 ( x ) (x)> and solving the linear equation. As can be seen, the expected roots of −8, −5, −3, 2, 3, and 7 were found.

Horner's method can be modified to compute the divided difference ( p ( y ) − p ( x ) ) / ( y − x ) . Given the polynomial (as before)

Horner's paper, titled "A new method of solving numerical equations of all orders, by continuous approximation", [12] was read before the Royal Society of London, at its meeting on July 1, 1819, with a sequel in 1823. [12] Horner's paper in Part II of Philosophical Transactions of the Royal Society of London for 1819 was warmly and expansively welcomed by a reviewer [ permanent dead link ] in the issue of The Monthly Review: or, Literary Journal for April, 1820 in comparison, a technical paper by Charles Babbage is dismissed curtly in this review. The sequence of reviews in The Monthly Review for September, 1821, concludes that Holdred was the first person to discover a direct and general practical solution of numerical equations. Fuller [13] showed that the method in Horner's 1819 paper differs from what afterwards became known as "Horner's method" and that in consequence the priority for this method should go to Holdred (1820).

Unlike his English contemporaries, Horner drew on the Continental literature, notably the work of Arbogast. Horner is also known to have made a close reading of John Bonneycastle's book on algebra, though he neglected the work of Paolo Ruffini.

Although Horner is credited with making the method accessible and practical, it was known long before Horner. In reverse chronological order, Horner's method was already known to:

    in 1809 (see Ruffini's rule) [14][15] in 1669 [16][17]
  • the Chinese mathematicianZhu Shijie in the 14th century [15]
  • the Chinese mathematicianQin Jiushao in his Mathematical Treatise in Nine Sections in the 13th century
  • the PersianmathematicianSharaf al-Dīn al-Ṭūsī in the 12th century (the first to use that method in a general case of cubic equation) [18]
  • the Chinese mathematician Jia Xian in the 11th century (Song dynasty)
  • The Nine Chapters on the Mathematical Art, a Chinese work of the Han dynasty (202 BC – 220 AD) edited by Liu Hui (fl. 3rd century). [19]

Qin Jiushao, in his Shu Shu Jiu Zhang (Mathematical Treatise in Nine Sections 1247), presents a portfolio of methods of Horner-type for solving polynomial equations, which was based on earlier works of the 11th century Song dynasty mathematician Jia Xian for example, one method is specifically suited to bi-quintics, of which Qin gives an instance, in keeping with the then Chinese custom of case studies. Yoshio Mikami in Development of Mathematics in China and Japan (Leipzig 1913) wrote:

". who can deny the fact of Horner's illustrious process being used in China at least nearly six long centuries earlier than in Europe . We of course don't intend in any way to ascribe Horner's invention to a Chinese origin, but the lapse of time sufficiently makes it not altogether impossible that the Europeans could have known of the Chinese method in a direct or indirect way." [20]

Ulrich Libbrecht concluded: It is obvious that this procedure is a Chinese invention . the method was not known in India. He said, Fibonacci probably learned of it from Arabs, who perhaps borrowed from the Chinese. [21] The extraction of square and cube roots along similar lines is already discussed by Liu Hui in connection with Problems IV.16 and 22 in Jiu Zhang Suan Shu, while Wang Xiaotong in the 7th century supposes his readers can solve cubics by an approximation method described in his book Jigu Suanjing.


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Simplify (4x 2 &ndash 4x &ndash 7)​(x + 3)

Here's what the multiplication looks like when it's done horizontally:

That was painful! Now I'll do it vertically:

That was a lot easier! But, by either method, the answer is the same:

Simplify (x + 2)​(x 3 + 3x 2 + 4x &ndash 17)

I'm just going to do this one vertically horizontally is too much trouble.

Note that, since order doesn't matter for multiplication, I can still put the " x + 2 " polynomial on the bottom for the vertical multiplication, just as I always put the smaller number on the bottom when I was doing regular vertical multiplication with just plain numbers back in grammar school.

Simplify (3x 2 &ndash 9x + 5)​(2x 2 + 4x &ndash 7)

I'll take my time, and do my work neatly:

Simplify (x 3 + 2x 2 + 4)​(2x 3 + x + 1)

First off, I notice that terms of these polynomials have some power (that is, degree) "gaps".

The first polynomial has an x 3 term, an x 2 term, and a constant term, but no x term and the second polynomial has an x 3 term, an x term, and a constant term, but no x 2 term. When I do the vertical multiplication, I will need to leave spaces in my set-up, corresponding to the "gaps" in the degrees of the polynomials' terms, because I will almost certainly need the space.

(This is similar to using zeroes as "place holders" in regular numbers. You might have a thousands digit of 3 , a hundreds digit of 2 , and a units digit of 5 , so you'd put a 0 in for the tens digits, creating the number 3,205 .)

Here's what that looks like:

See how I needed the gaps? See how it helped that I had everything lined up according to the term's degree? If I hadn't left gaps when writing out my original factors, my terms could easily have become misaligned in the rows below. By taking the time to write things out explicitly neatly, I saved myself from many needless difficulties.

I did have one professor who could just look at huge polynomial products, and somehow keep all the terms straight while he did the multiplications and additions in his head. He'd write down the terms one-by-one, starting from the highest degree to the lowest, going straight from the original product to the final answer. He seriously freaked us all out!

While you may aspire to such proficiency, don't reject the tool of vertical multiplication, at least when you're getting started. Don't try to freak out your classmates until you're really good at using the regular methods.

You can use the Mathway widget below to practice multiplying general polynomials. Experimente o exercício inserido ou digite seu próprio exercício. Then click the button and select "Multiply" to compare your answer to Mathway's.

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Assista o vídeo: Multiplicação de Polinômios - Professora Angela (Novembro 2021).