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4.9: Método de Newton - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Descreva as etapas do método de Newton.
  • Explique o que significa um processo iterativo.
  • Reconhecer quando o método de Newton não funciona.
  • Aplique processos iterativos a várias situações.

Em muitas áreas da matemática pura e aplicada, estamos interessados ​​em encontrar soluções para uma equação da forma (f (x) = 0. ) Para a maioria das funções, no entanto, é difícil - senão impossível - calcular seus zeros explicitamente. Nesta seção, daremos uma olhada em uma técnica que fornece uma maneira muito eficiente de aproximar o zeros de funções. Essa técnica faz uso de aproximações de linha tangente e está atrás do método frequentemente usado por calculadoras e computadores para encontrar zeros.

Descrevendo o Método de Newton

Considere a tarefa de encontrar as soluções de (f (x) = 0. ) Se (f ) é o polinômio de primeiro grau (f (x) = ax + b ), então a solução de ( f (x) = 0 ) é dado pela fórmula (x = - frac {b} {a} ). Se (f ) é o polinômio de segundo grau (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), as soluções de (f (x) = 0 ) podem ser encontradas usando a fórmula quadrática . No entanto, para polinômios de grau 3 ou mais, encontrar raízes de (f ) se torna mais complicado. Embora existam fórmulas para polinômios de terceiro e quarto graus, elas são bastante complicadas. Além disso, se f é um polinômio de grau 5 ou maior, sabe-se que não existem tais fórmulas. Por exemplo, considere a função

[f (x) = x ^ 5 + 8x ^ 4 + 4x ^ 3−2x − 7. nonumber ]

Não existe nenhuma fórmula que nos permita encontrar as soluções de (f (x) = 0. ) Dificuldades semelhantes existem para funções não polinomiais. Por exemplo, considere a tarefa de encontrar soluções de (tan (x) −x = 0. ) Não existe uma fórmula simples para as soluções desta equação. Em casos como esses, podemos usar o método de Newton para aproximar as raízes.

Método de Newton faz uso da seguinte ideia para aproximar as soluções de (f (x) = 0. ) Ao esboçar um gráfico de (f ), podemos estimar uma raiz de (f (x) = 0 ). Vamos chamar essa estimativa de (x_0 ). Em seguida, desenhamos a linha tangente para (f ) em (x_0 ). Se (f ′ (x_0) ≠ 0 ), esta linha tangente intercepta o eixo (x ) em algum ponto ((x_1,0) ). Agora, seja (x_1 ) a próxima aproximação da raiz real. Normalmente, (x_1 ) está mais próximo do que (x_0 ) de uma raiz real. Em seguida, desenhamos a linha tangente para (f ) em (x_1 ). Se (f ′ (x_1) ≠ 0 ), esta linha tangente também intercepta o eixo (x ), produzindo outra aproximação, (x_2 ). Continuamos desta forma, derivando uma lista de aproximações: (x_0, , x_1, , x_2, ,…. ) Normalmente, os números (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) aproxime-se rapidamente de uma raiz real (x * ), conforme mostrado na figura a seguir.

Agora vamos ver como calcular as aproximações (x_0, , x_1, , x_2, ,…. ) Se (x_0 ) for nossa primeira aproximação, a aproximação (x_1 ) é definida por ((x_1,0) ) seja a interceptação (x ) da linha tangente a (f ) em (x_0 ). A equação desta linha tangente é dada por

[y = f (x_0) + f ′ (x_0) (x − x_0). enhum número]

Portanto, (x_1 ) deve satisfazer

[f (x_0) + f ′ (x_0) (x_1 − x_0) = 0. nonumber ]

Resolvendo esta equação para (x_1 ), concluímos que

[x_1 = x_0− frac {f (x_0)} {f '(x_0)}. não numérico ]

Da mesma forma, o ponto ((x_2,0) ) é a interceptação (x ) da reta tangente a (f ) em (x_1 ). Portanto, (x_2 ) satisfaz a equação

[x_2 = x_1− frac {f (x_1)} {f '(x_1)}. não numérico ]

Em geral, para (n> 0, x_n ) satisfaz

[x_n = x_ {n − 1} - frac {f (x_ {n − 1})} {f '(x_ {n − 1})}. label {Newton} ]

A seguir, veremos como fazer uso desta técnica para aproximar a raiz do polinômio (f (x) = x ^ 3−3x + 1. )

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando a raiz de um polinômio

Use o método de Newton para aproximar uma raiz de (f (x) = x ^ 3−3x + 1 ) no intervalo ([1,2] ). Seja (x_0 = 2 ) e encontre (x_1, , x_2, , x_3, , x_4, ) e (x_5 ).

Solução

Na Figura ( PageIndex {2} ), vemos que (f ) tem uma raiz no intervalo ((1,2) ). Portanto, (x_0 = 2 ) parece uma primeira aproximação razoável. Para encontrar a próxima aproximação, usamos a Equação ref {Newton}. Dado que (f (x) = x ^ 3−3x + 1 ), a derivada é (f ′ (x) = 3x ^ 2−3 ). Usando a Equação ref {Newton} com (n = 1 ) (e uma calculadora que exibe (10 ​​) dígitos), obtemos

[x_1 = x_0− frac {f (x_0)} {f '(x_0)} = 2− frac {f (2)} {f' (2)} = 2− frac {3} {9} ≈1.666666667. Nonumber ]

Para encontrar a próxima aproximação, (x_2 ), usamos a Equação com (n = 2 ) e o valor de (x_1 ) armazenado na calculadora. Nós encontramos isso

[x_2 = x_1- frac {f (x_1)} {f '(x_1)} ≈1.548611111. nonumber ]

Continuando assim, obtemos os seguintes resultados:

  • (x_1≈1.666666667 )
  • (x_2≈1.548611111 )
  • (x_3≈1.532390162 )
  • (x_4≈1.532088989 )
  • (x_5≈1.532088886 )
  • (x_6≈1.532088886. )

Observamos que obtivemos o mesmo valor para (x_5 ) e (x_6 ). Portanto, qualquer aplicação subsequente do método de Newton provavelmente dará o mesmo valor para (x_n ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Deixando (x_0 = 0 ), vamos usar o método de Newton para aproximar a raiz de (f (x) = x ^ 3−3x + 1 ) no intervalo ([0,1] ) calculando ( x_1 ) e (x_2 ).

Dica

Use a Equação ref {Newton}.

Responder

(x_1≈0,33333333 )
(x_2≈0,347222222 )

O método de Newton também pode ser usado para aproximar raízes quadradas. Aqui, mostramos como aproximar ( sqrt {2} ). Este método pode ser modificado para aproximar a raiz quadrada de qualquer número positivo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando uma raiz quadrada

Use o método de Newton para aproximar ( sqrt {2} ) (Figura ( PageIndex {3} )). Seja (f (x) = x ^ 2−2 ), deixe (x_0 = 2 ) e calcule (x_1, , x_2, , x_3, , x_4, , x_5 ). (Notamos que, uma vez que (f (x) = x ^ 2−2 ) tem um zero em ( sqrt {2} ), o valor inicial (x_0 = 2 ) é uma escolha razoável para aproximar ( sqrt {2} )).

Solução

Para (f (x) = x ^ 2−2, ; f ′ (x) = 2x. ) De ref {Newton}, sabemos que

[ begin {align *} x_n & = x_ {n − 1} - frac {f (x_ {n − 1})} {f '(x_ {n − 1})} [4pt]
& = x_ {n − 1} - frac {x ^ 2_ {n − 1} −2} {2x_ {n − 1}} [4pt]
& = frac {1} {2} x_ {n − 1} + frac {1} {x_ {n − 1}} [4pt]
& = frac {1} {2} left (x_ {n − 1} + frac {2} {x_ {n − 1}} right). end {align *} ]

Portanto,

(x_1 = frac {1} {2} left (x_0 + frac {2} {x_0} right) = frac {1} {2} left (2+ frac {2} {2} direita) = 1,5 )

(x_2 = frac {1} {2} left (x_1 + frac {2} {x_1} right) = frac {1} {2} left (1.5+ frac {2} {1.5} direita) ≈1.416666667. )

Continuando desta forma, descobrimos que

(x_1 = 1,5 )

(x_2≈1.416666667 )

(x_3≈1.414215686 )

(x_4≈1.414213562 )

(x_5≈1.414213562. )

Uma vez que obtivemos o mesmo valor para (x_4 ) e (x_5 ), é improvável que o valor (x_n ) mude em qualquer aplicação subsequente do método de Newton. Concluímos que ( sqrt {2} ≈1.414213562. )

Exercício ( PageIndex {2} )

Use o método de Newton para aproximar ( sqrt {3} ) deixando (f (x) = x ^ 2−3 ) e (x_0 = 3 ). Encontre (x_1 ) e (x_2 ).

Dica

Para (f (x) = x ^ 2−3 ), a Equação ref {Newton} se reduz a (x_n = frac {x_ {n − 1}} {2} + frac {3} {2x_ { n − 1}} ).

Responder

(x_1 = 2 )
(x_2 = 1,75 )

Ao usar o método de Newton, cada aproximação após a estimativa inicial é definida em termos da aproximação anterior usando a mesma fórmula. Em particular, definindo a função (F (x) = x− left [ frac {f (x)} {f ′ (x)} right] ), podemos reescrever a Equação ref {Newton} como (x_n = F (x_ {n − 1}) ). Este tipo de processo, onde cada (x_n ) é definido em termos de (x_ {n − 1} ) pela repetição da mesma função, é um exemplo de um processo iterativo. Em breve, examinaremos outros processos iterativos. Primeiro, vejamos as razões pelas quais o método de Newton pode falhar em encontrar uma raiz.

Falhas do método de Newton

Normalmente, o método de Newton é usado para encontrar raízes com bastante rapidez. No entanto, as coisas podem dar errado. Algumas razões pelas quais o método de Newton pode falhar incluem o seguinte:

  1. Em uma das aproximações (x_n ), a derivada (f ′ ) é zero em (x_n ), mas (f (x_n) ≠ 0 ). Como resultado, a linha tangente de (f ) em (x_n ) não intercepta o eixo (x ). Portanto, não podemos continuar o processo iterativo.
  2. As aproximações (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) podem se aproximar de uma raiz diferente. Se a função (f ) tiver mais de uma raiz, é possível que nossas aproximações não se aproximem daquela que estamos procurando, mas se aproximem de uma raiz diferente (ver Figura ( PageIndex {4} )). Este evento ocorre mais freqüentemente quando não escolhemos a aproximação (x_0 ) próxima o suficiente da raiz desejada.
  3. As aproximações podem falhar em abordar uma raiz inteiramente. Em Exemplo ( PageIndex {3} ), fornecemos um exemplo de uma função e uma estimativa inicial (x_0 ) de modo que as aproximações sucessivas nunca se aproximam de uma raiz porque as aproximações sucessivas continuam a alternar entre dois valores .

Exemplo ( PageIndex {3} ): Quando o método de Newton falha

Considere a função (f (x) = x ^ 3−2x + 2 ). Seja (x_0 = 0 ). Mostre que a sequência (x_1, , x_2, ,… ) falha em se aproximar de uma raiz de (f ).

Solução

Para (f (x) = x ^ 3−2x + 2, ) a derivada é (f ′ (x) = 3x ^ 2−2 ). Portanto,

[x_1 = x_0− frac {f (x_0)} {f ′ (x_0)} = 0− frac {f (0)} {f ′ (0)} = - frac {2} {- 2} = 1. enhum número]

Na próxima etapa,

[x_2 = x_1− frac {f (x_1)} {f '(x_1)} = 1− frac {f (1)} {f ′ (1)} = 1− frac {1} {1} = 0. enhum número]

Consequentemente, os números (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) continuam a saltar para a frente e para trás entre (0 ) e (1 ) e nunca se aproximam da raiz de (f ) que está acima do intervalo ([- 2, −1] ) (Figura ( PageIndex {5} )). Felizmente, se escolhermos uma aproximação inicial (x_0 ) mais próxima da raiz real, podemos evitar essa situação.

Exercício ( PageIndex {3} )

Para (f (x) = x ^ 3−2x + 2, ) deixe (x_0 = −1,5 ) e encontre (x_1 ) e (x_2 ).

Dica

Use a Equação ref {Newton}.

Responder

(x_1≈ − 1.842105263 )
(x_2≈ − 1.772826920 )

Em Exemplo ( PageIndex {3} ), vemos que o método de Newton nem sempre funciona. No entanto, quando funciona, a sequência de aproximações se aproxima da raiz muito rapidamente. As discussões sobre a rapidez com que a sequência de aproximações se aproxima de uma raiz encontrada usando o método de Newton estão incluídas em textos sobre análise numérica.

Outros processos iterativos

Como mencionado anteriormente, o método de Newton é um tipo de processo iterativo. Vemos agora um exemplo de um tipo diferente de processo iterativo.

Considere uma função (F ) e um número inicial (x_0 ). Defina os números subsequentes (x_n ) pela fórmula (x_n = F (x_ {n − 1}) ). Este processo é um processo iterativo que cria uma lista de números (x_0, , x_1, , x_2, ,…, , x_n, ,…. ) Esta lista de números pode se aproximar de um número finito (x ^ * ) conforme (n ) fica maior, ou pode não ser. Em Exemplo ( PageIndex {4} ), vemos um exemplo de uma função (F ) e uma estimativa inicial (x_0 ) de modo que a lista de números resultante se aproxima de um valor finito.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando um limite para um processo iterativo

Seja (F (x) = frac {1} {2} x + 4 ) e seja (x_0 = 0 ). Para todos (n≥1 ), deixe (x_n = F (x_ {n − 1}) ). Encontre os valores (x_1, , x_2, , x_3, , x_4, , x_5 ). Faça uma conjectura sobre o que acontece com esta lista de números (x_1, , x_2, , x_3, ,…, , x_n, ,… ) como (n → ∞ ). Se a lista de números (x_1, , x_2, , x_3, ,… ) se aproxima de um número finito (x ^ * ), então (x ^ * ) satisfaz (x ^ * = F (x ^ *) ), e (x ^ * ) é chamado de ponto fixo de (F ).

Solução

Se (x_0 = 0 ), então

  • (x_1 = frac {1} {2} (0) + 4 = 4 )
  • (x_2 = frac {1} {2} (4) + 4 = 6 )
  • (x_3 = frac {1} {2} (6) + 4 = 7 )
  • (x_4 = frac {1} {2} (7) + 4 = 7,5 )
  • (x_5 = frac {1} {2} (7,5) + 4 = 7,75 )
  • (x_6 = frac {1} {2} (7,75) + 4 = 7,875 )
  • (x_7 = frac {1} {2} (7,875) + 4 = 7,9375 )
  • (x_8 = frac {1} {2} (7,9375) + 4 = 7,96875 )
  • (x _9 = frac {1} {2} (7,96875) + 4 = 7,984375. )

Desta lista, conjecturamos que os valores (x_n ) se aproximam de (8 ).

A Figura ( PageIndex {6} ) fornece um argumento gráfico de que os valores se aproximam de (8 ) como (n → ∞ ). Começando no ponto ((x_0, x_0) ), desenhamos uma linha vertical para o ponto ((x_0, F (x_0)) ). O próximo número em nossa lista é (x_1 = F (x_0) ). Usamos (x_1 ) para calcular (x_2 ). Portanto, desenhamos uma linha horizontal conectando ((x_0, x_1) ) ao ponto ((x_1, x_1) ) na linha (y = x ) e, em seguida, desenhamos uma linha vertical conectando (( x_1, x_1) ) para o ponto ((x_1, F (x_1)) ). A saída (F (x_1) ) torna-se (x_2 ). Continuando desta forma, poderíamos criar um número infinito de segmentos de linha. Esses segmentos de linha são capturados entre as linhas (F (x) = frac {x} {2} +4 ) e (y = x ). Os segmentos de linha se aproximam do ponto de interseção dessas duas linhas, o que ocorre quando (x = F (x) ). Resolvendo a equação (x = frac {x} {2} +4, ) concluímos que eles se cruzam em (x = 8 ). Portanto, nossa evidência gráfica concorda com nossa evidência numérica de que a lista de números (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) se aproxima de (x * = 8 ) como (n → ∞ ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Considere a função (F (x) = frac {1} {3} x + 6 ). Seja (x_0 = 0 ) e seja (x_n = F (x_ {n − 1}) ) para (n≥2 ). Encontre (x_1, , x_2, , x_3, , x_4, , x_5 ). Faça uma conjectura sobre o que acontece com a lista de números (x_1, , x_2, , x_3, ,… , x_n, ,… ) como (n → ∞. )

Dica

Considere o ponto onde as linhas (y = x ) e (y = F (x) ) se cruzam.

Responder

(x_1 = 6, ; x_2 = 8, ; x_3 = frac {26} {3}, ; x_4 = frac {80} {9}, ; x_5 = frac {242} {27} ; ; x ^ * = 9 )

Processos Iterativos e Caos

Os processos iterativos podem produzir alguns comportamentos muito interessantes. Nesta seção, vimos vários exemplos de processos iterativos que convergem para um ponto fixo. Também vimos em Exemplo ( PageIndex {4} ) que o processo iterativo saltou para frente e para trás entre dois valores. Chamamos esse tipo de comportamento de 2 ciclos. Os processos iterativos podem convergir para ciclos com várias periodicidades, como 2 ciclos, 4 ciclos (em que o processo iterativo repete uma sequência de quatro valores), 8 ciclos e assim por diante.

Alguns processos iterativos geram o que os matemáticos chamam de caos. Nesse caso, o processo iterativo salta de um valor para outro de maneira aparentemente aleatória e nunca converge ou se estabelece em um ciclo. Embora uma exploração completa de caos está além do escopo deste texto, neste projeto examinamos uma das propriedades-chave de um processo iterativo caótico: a dependência sensível das condições iniciais. Essa propriedade se refere ao conceito de que pequenas mudanças nas condições iniciais podem gerar comportamentos drasticamente diferentes no processo iterativo.

Provavelmente, o exemplo mais conhecido de caos é o Conjunto Mandelbrot (veja a Figura), em homenagem a Benoit Mandelbrot (1924–2010), que investigou suas propriedades e ajudou a popularizar o campo da teoria do caos. O conjunto de Mandelbrot é geralmente gerado por computador e mostra detalhes fascinantes na ampliação, incluindo a auto-replicação do conjunto. Diversas versões coloridas do conjunto foram exibidas em museus e podem ser encontradas online e em livros populares sobre o assunto.

Neste projeto usamos o mapa logístico

[f (x) = rx (1 − x) ]

onde (x∈ [0,1] ) e (r> 0 )

como a função em nosso processo iterativo. O mapa logístico é uma função aparentemente simples; mas, dependendo do valor de (r ), o processo iterativo resultante exibe algum comportamento muito interessante. Pode levar a pontos fixos, ciclos e até caos.

Para visualizar o comportamento de longo prazo do processo iterativo associado ao mapa logístico, usaremos uma ferramenta chamada diagrama de teia de aranha. Como fizemos com o processo iterativo que examinamos anteriormente nesta seção, primeiro desenhamos uma linha vertical do ponto ((x_0,0) ) ao ponto ((x_0, f (x_0)) = (x_0, x_1 ) ). Em seguida, desenhamos uma linha horizontal desse ponto ao ponto ((x_1, x_1), ), em seguida, desenhamos uma linha vertical para ((x_1, f (x_1)) = (x_1, x_2) ), e continuamos o processo até que o comportamento de longo prazo do sistema se torne aparente. A figura mostra o comportamento de longo prazo do mapa logístico quando (r = 3,55 ) e (x_0 = 0,2 ). (As primeiras (100 ) iterações não são plotadas.) O comportamento de longo prazo desse processo iterativo é um ciclo (8 ).

  1. Seja (r = 0,5 ) e escolha (x_0 = 0,2 ). Manualmente ou usando um computador, calcule os primeiros (10 ​​) valores na sequência. A sequência parece convergir? Em caso afirmativo, qual o valor? Isso resulta em um ciclo? Em caso afirmativo, que tipo de ciclo (por exemplo, (2 ) - ciclo, (4 ) - ciclo.)?
  2. O que acontece quando (r = 2 )?
  3. Para (r = 3,2 ) e (r = 3,5 ), calcule os primeiros (100 ) valores de sequência. Gere um diagrama de teia de aranha para cada processo iterativo. (Vários miniaplicativos gratuitos estão disponíveis online que geram diagramas de teia de aranha para o mapa logístico.) Qual é o comportamento de longo prazo em cada um desses casos?
  4. Agora vamos (r = 4. ) Calcular os primeiros (100 ) valores da sequência e gerar um diagrama de teia de aranha. Qual é o comportamento de longo prazo neste caso?
  5. Repita o processo para (r = 4, ), mas deixe (x_0 = 0,201. ) Como esse comportamento se compara ao comportamento para (x_0 = 0,2 )?

Conceitos chave

  • O método de Newton aproxima as raízes de (f (x) = 0 ) começando com uma aproximação inicial (x_0 ), então usa linhas tangentes para o gráfico de (f ) para criar uma sequência de aproximações (x_1, , x_2, , x_3, ,…. )
  • Normalmente, o método de Newton é um método eficiente para encontrar uma raiz particular. Em certos casos, o método de Newton não funciona porque a lista de números (x_0, , x_1, , x_2, , ... ) não se aproxima de um valor finito ou se aproxima de um valor diferente da raiz procurada.
  • Qualquer processo no qual uma lista de números (x_0, , x_1, , x_2, ,… ) é gerada definindo um número inicial (x_0 ) e definindo os números subsequentes pela equação (x_n = F (x_ {n − 1}) ) para alguma função (F ) é um processo iterativo. O método de Newton é um exemplo de processo iterativo, onde a função (F (x) = x− left [ frac {f (x)} {f ′ (x)} right] ) para uma determinada função (f ).

Glossário

processo interativo
processo no qual uma lista de números (x_0, x_1, x_2, x_3… ) é gerada começando com um número (x_0 ) e definindo (x_n = F (x_ {n − 1}) ) para (n≥1 )
Método de Newton
método para aproximar as raízes de (f (x) = 0; ) usando uma estimativa inicial (x_0 ); cada aproximação subsequente é definida pela equação (x_n = x_ {n − 1} - frac {f (x_ {n − 1})} {f '(x_ {n − 1})} )

Cálculo revisitado # 9: Método de Newton e # 39s

Bem-vindo à entrada do blog nº 9 de 21 de nosso Calculus Revisited. Hoje vamos cobrir o Método de Newton: uma maneira eficaz e poderosa de encontrar raízes de funções.

Processo: Método de Newton

Objetivo: Encontrar raízes da função f (x). Ou seja, resolva para x: f (x) = 0

1. Comece com uma estimativa inicial. Que seja x_n.

2. Calcule x_ (n + 1) = x_n - f (x_n) / f '(x_n) (função sobre sua derivada)

3. Se x_n + 1 corresponder a x_n, está feito, com a raiz sendo x_n + 1. Você determina a precisão da resposta selecionando quantas casas decimais corresponder. A precisão da calculadora (o que você vê na tela) varia de 10 a 12 casas decimais.

Cuidado: a escolha do valor inicial é importante. Normalmente, selecionar estimativas iniciais perto da raiz funciona melhor, mas nem sempre funciona.

Além disso, este método não é 100% em encontrar raízes. Se você obtiver x_n e x_n + 1 oscilando entre dois valores distintos, você será pego em um loop - uma raiz não será encontrada.

Eu recomendo que você use uma calculadora ao trabalhar com o Método de Newton. Em calculadoras científicas, você pode aproveitar as vantagens do recurso de última resposta, configurando x_n = ans.

Exemplo: (TI-36X Pro, TI-30 Multiview, Casio fx-300, Casio fx-115ES, a maioria das calculadoras gráficas)
2 ENTER (2 é armazenado em ans)
ans - f (ans) / f '(ans) (calcula x_1 com x_n = 2)
Continue pressionando ENTER

Problemas
O Método de Newton será freqüentemente usado para estimar as enésimas raízes (raiz quadrada, raiz cúbica, etc). O primeiro problema será um exemplo disso.

1. Estime & # 87306 com 5 casas decimais.

Observe que & # 87304 = 2 e & # 87309 = 3, o que significa que & # 87306 está entre 2 e 3. Vamos fazer uma estimativa inicial 2.5.

Use a função f (x) = x ^ 2 - 6. Por quê?

Encontrar a raiz da equação acima leva a & # 87306.

Tendo x_0 como a estimativa inicial,
x_0 = 2,50000
x_1 = 2,45000
x_2 = 2,44949
x_3 = 2,44949

(x_1 = 2,5 - (2,5 ^ 2 - 6) / (2 * 2,5) = 2,45,
x_2 = 2,45 - (2,45 ^ 2 - 6) / (2 * 2,45) = 2,44949 e assim por diante)

Então, com cinco casas decimais, & # 87306 & # 8776 2.44949

2. Encontre a raiz da equação e ^ x - x = 5 para qualquer x> 0. Seja x_0 = 2. (a estimativa inicial)

Obtenha a equação na forma de f (x) = 0:
e ^ x - x = 5
e ^ x - x - 5 = 0

Então f (x) = e ^ x - x - 5, f '(x) = e ^ x - 1, e

x_n + 1 = x_n - (e ^ x_n - x_n - 5) / (e ^ x_n - 1)

x_0 = 2,00000
x_1 = 1.93911
x_2 = 1,93685
x_3 = 1,93685

Então, a raiz de f (x) é x & # 87761.93685.

3. Resolva x ^ 4 - 4x - 4 = 0 com a condição -1 Dica: Você pode querer representar graficamente f (x) para estimar uma estimativa inicial apropriada.

Então f (x) = x ^ 4 - 4x - 4, f '(x) = 4x ^ 3 - 4, e

x_n + 1 = x_n - (x_n ^ 4 - 4x_n - 4) / (4x_n ^ 3 - 4)

Por cálculo, obtemos:
x_0 = -0,50000
x_1 = -0,93056
x_2 = -0,86520
x_3 = -0,86198
x_4 = -0,86198

Isso resume o Método de Newton. Em seguida, vamos para a integração! - Eddie


4.9: Método de Newton - Matemática

Resolver equações algébricas é um exercício comum nas aulas introdutórias de matemática. No entanto, às vezes as equações não podem ser resolvidas usando álgebra simples e podemos ser solicitados a encontrar uma $ estimativa $ boa e precisa da solução exata. Um algoritmo comum e fácil de usar para encontrar uma boa estimativa para a solução exata de uma equação é o Método de Newton (também chamado de Método de Newton-Raphson), que foi desenvolvido no final dos anos 1600 pelos matemáticos ingleses Sir Isaac Newton e Joseph Raphson.

O algoritmo do Método de Newton é simples e fácil de usar. Ele usa a primeira derivada de uma função e é baseado no conceito básico de Cálculo de que a derivada de uma função $ f $ em $ x = c $ é a inclinação da reta tangente ao gráfico de $ y = f (x) $ no ponto $ (c, f (c)) $. Vamos construir cuidadosamente o Método de Newton.

Seja $ y = f (x) $ uma função diferenciável. Nosso objetivo é resolver a equação $ f (x) = 0 $ para $ x $. Vamos chamar a solução exata para esta equação de $ x = r $. Veja o diagrama abaixo.

Começamos com $ initial guess $ $ x_ <0> $. No ponto $ (x_ <0>, f (x_ <0>)) $ desenhe a reta tangente. Denote $ x_ <1> $ como o ponto onde esta linha tangente cruza o eixo $ x $. O ponto $ x_ <1> $ é nosso segundo palpite. Repita. No ponto $ (x_ <1>, f (x_ <1>)) $ desenhe a reta tangente. Denote $ x_ <2> $ como o ponto onde esta linha tangente cruza o eixo $ x $. O ponto $ x_ <2> $ é nosso terceiro palpite. Repita . etc. Veja o diagrama abaixo.

Podemos ver que essas suposições sucessivas, $ x_ <0>, x_ <1>, x_ <2>, x_ <3>, cdots $ zig-zag em seu caminho e se aproximam cada vez mais da solução exata $ x = r $. Vamos criar um $ recursion $ que irá gerar uma sequência de suposições sucessivas. Vamos primeiro considerar como podemos ir de uma estimativa para a próxima, ou seja, da estimativa $ x_ $ adivinhar $ x_ $. Veja o diagrama abaixo.

O $ SLOPE $ da reta tangente no ponto $ (x_, f (x_)) $ é $ I.) m = f '(x_) $ e $ II.) m = displaystyle = ) sobre x_ - x_ > $ Agora defina as duas inclinações iguais uma à outra obtendo $ f '(x_) = ) sobre x_ - x_ > longrightarrow $ $ x_ - x_ = ) sobre f '(x_)> longrightarrow $ $ x_ = x_ - ) sobre f '(x_)> longrightarrow $ ou seja, a recursão para o método de Newton é $ x_ = x_ - ) sobre f '(x_)> $


Na lista de Problemas do Método de Newton que se segue, a maioria dos problemas é média e alguns são um tanto desafiadores. Eu recomendo usar a Calculadora Gráfica Desmos se você quiser fazer gráficos de funções. É divertido e fácil de usar.

    PROBLEMA 1: Aplique o Método de Newton à equação $ x ^ 3 + x-5 = 0 $. Comece com a estimativa inicial fornecida, $ x_ <0> $, e encontre $ x_ <1> $ e $ x_ <2> $. Em seguida, use uma planilha ou alguma outra ferramenta de tecnologia para encontrar a solução para esta equação com cinco casas decimais.

a.) Use a estimativa inicial $ x_ <0> = 0 $.
b.) Use a estimativa inicial $ x_ <0> = 1 $.
c.) Use a estimativa inicial $ x_ <0> = -1 $.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 1.

a.) Use a estimativa inicial $ x_ <0> = 1 $.
b.) Use a estimativa inicial $ x_ <0> = 2 $.
c.) Use a estimativa inicial $ x_ <0> = 0,5 $.
d.) Use a estimativa inicial $ x_ <0> = 1000 $!
e.) Use a estimativa inicial $ x_ <0> = -500 $!

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 2.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 3.

Clique AQUI para ver uma solução detalhada para o problema 4.

Clique AQUI para retornar à lista original de vários tipos de problemas de cálculo.

Seus comentários e sugestões são bem vindos. Envie qualquer correspondência por e-mail para Duane Kouba clicando no seguinte endereço:

Um sincero "Obrigado" vai para o Consórcio MathJax por tornar a construção desta página fácil e divertida.


Queremos minimizar $ f ( mathbf) $. Em primeiro lugar, consideramos sua série de Taylor truncada de segunda ordem:

$ f ( mathbf) aprox chapéu( mathbf) = f ( mathbf) + [ mathbf- mathbf] ^ T , nabla f ( mathbf) + frac <1> <2> , [ mathbf- mathbf] ^ T , nabla ^ 2 f ( mathbf) , [ mathbf- mathbf]$

Considerando a Matriz Hessiana $ nabla ^ 2 f ( mathbf) $ é definido positivamente, $ hat( mathbf) $ pode ser facilmente minimizado:

Portanto, temos o valor minimizado:

$ hat( mathbf) = f ( mathbf) - [ nabla ^ 2 f ( mathbf) ^ <-1> nabla f ( mathbf)] ^ T nabla f ( mathbf) + frac <1> <2> [ nabla ^ 2 f ( mathbf) ^ <-1> nabla f ( mathbf)] ^ T nabla ^ 2 f ( mathbf) [ nabla ^ 2 f ( mathbf) ^ <-1> nabla f ( mathbf)]$

Portanto, o decréscimo na aproximação $ hat( mathbf) $ é dado por:

(Uma matriz hessiana é sempre simétrica para funções & quotbem comportadas & quot)


Uma introdução à otimização, 4ª edição

Elogios para o Terceira edição "... orienta e conduz o leitor através do caminho de aprendizagem... [e] xamplos são apresentados de forma muito clara e os resultados são apresentados com atenção aos detalhes." & # 160 & # 8212MAA Reviews & # 160

Totalmente atualizado para refletir os novos desenvolvimentos no campo, o Quarta edição do Introdução à Otimização preenche a necessidade de tratamento acessível da teoria e métodos de otimização com ênfase no projeto de engenharia. Definições e notações básicas são fornecidas, além do contexto fundamental relacionado para álgebra linear, geometria e cálculo. & # 160

  • Um novo capítulo sobre programação de inteiros & # 160
  • Cobertura expandida de métodos unidimensionais & # 160
  • Seções atualizadas e expandidas sobre desigualdades de matriz linear & # 160
  • Numerosos novos exercícios no final de cada capítulo & # 160
  • Exercícios do MATLAB e problemas de simulação para reforçar a teoria e algoritmos discutidos & # 160
  • Numerosos diagramas e figuras que complementam a apresentação escrita dos conceitos-chave & # 160
  • Arquivos MATLAB M para implementação da teoria e algoritmos discutidos (disponíveis através do site do livro) & # 160

Conteúdo

A ideia é começar com uma suposição inicial que seja razoavelmente próxima da raiz verdadeira, então aproximar a função por sua linha tangente usando cálculo e, finalmente, calcular o intercepto x dessa linha tangente por álgebra elementar. Esta interceptação x será normalmente uma melhor aproximação da raiz da função original do que a primeira estimativa, e o método pode ser iterado.

Mais formalmente, suponha f : (uma, b) → ℝ é uma função diferenciável definida no intervalo (uma, b) com valores em números reais ℝ, e temos algumas aproximações atuais xn . Então podemos derivar a fórmula para uma melhor aproximação, xn + 1 referindo-se ao diagrama à direita. A equação da linha tangente à curva y = f (x) no x = xn é

onde f ′ denota a derivada. O intercepto x desta linha (o valor de x que faz y = 0) é considerada a próxima aproximação, xn + 1 , à raiz, de modo que a equação da linha tangente seja satisfeita quando (x, y) = (x n + 1, 0) < displaystyle (x, y) = (x_,0)> :

Resolvendo para xn + 1

Começamos o processo com algum valor inicial arbitrário x0 . (Quanto mais próximo do zero, melhor. Mas, na ausência de qualquer intuição sobre onde o zero pode estar, um método de "adivinhar e verificar" pode restringir as possibilidades a um intervalo razoavelmente pequeno, apelando para o teorema do valor intermediário.) O método geralmente convergirá, desde que esta estimativa inicial seja próxima o suficiente do zero desconhecido, e que f ′(x0) ≠ 0. Além disso, para um zero de multiplicidade 1, a convergência é pelo menos quadrática (veja a taxa de convergência) em uma vizinhança do zero, o que intuitivamente significa que o número de dígitos corretos praticamente dobra a cada passo. Mais detalhes podem ser encontrados na seção de análise abaixo.

Os métodos domésticos são semelhantes, mas têm ordem superior para uma convergência ainda mais rápida. No entanto, os cálculos extras necessários para cada etapa podem diminuir o desempenho geral em relação ao método de Newton, particularmente se f ou seus derivados forem computacionalmente caros para avaliar.

O nome "método de Newton" é derivado da descrição de Isaac Newton de um caso especial do método em De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (escrito em 1669, publicado em 1711 por William Jones) e em De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito em 1671, traduzido e publicado como Método de Fluxões em 1736 por John Colson). No entanto, seu método difere substancialmente do método moderno dado acima. Newton aplicou o método apenas a polinômios, começando com uma estimativa de raiz inicial e extraindo uma sequência de correções de erro. Ele usou cada correção para reescrever o polinômio em termos do erro restante e, em seguida, resolveu para uma nova correção negligenciando os termos de grau superior. Ele não conectou explicitamente o método com derivados ou apresentou uma fórmula geral. Newton aplicou este método a problemas numéricos e algébricos, produzindo séries de Taylor no último caso.

Newton pode ter derivado seu método de um método semelhante, mas menos preciso, de Vieta. A essência do método de Vieta pode ser encontrada no trabalho do matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi, enquanto seu sucessor Jamshīd al-Kāshī usou uma forma do método de Newton para resolver x PN = 0 para encontrar raízes de N (Ypma 1995). Um caso especial do método de Newton para calcular raízes quadradas era conhecido desde os tempos antigos e é freqüentemente chamado de método babilônico.

O método de Newton foi usado pelo matemático japonês do século 17 Seki Kōwa para resolver equações de variável única, embora a conexão com o cálculo estivesse faltando. [1]

O método de Newton foi publicado pela primeira vez em 1685 em Um tratado de álgebra histórico e prático por John Wallis. [2] Em 1690, Joseph Raphson publicou uma descrição simplificada em Análise aequationum universalis. [3] Raphson também aplicou o método apenas a polinômios, mas evitou o tedioso processo de reescrita de Newton extraindo cada correção sucessiva do polinômio original. Isso permitiu que ele derivasse uma expressão iterativa reutilizável para cada problema. Finalmente, em 1740, Thomas Simpson descreveu o método de Newton como um método iterativo para resolver equações não lineares gerais usando cálculo, essencialmente dando a descrição acima. Na mesma publicação, Simpson também dá a generalização para sistemas de duas equações e observa que o método de Newton pode ser usado para resolver problemas de otimização, definindo o gradiente para zero.

Arthur Cayley em 1879 em O problema imaginário de Newton-Fourier foi o primeiro a notar as dificuldades em generalizar o método de Newton para raízes complexas de polinômios com grau maior que 2 e valores iniciais complexos. Isso abriu caminho para o estudo da teoria das iterações das funções racionais.

O método de Newton é uma técnica poderosa - em geral, a convergência é quadrática: conforme o método converge na raiz, a diferença entre a raiz e a aproximação é ao quadrado (o número de dígitos precisos quase dobra) em cada etapa. No entanto, existem algumas dificuldades com o método.

Dificuldade em calcular a derivada de uma função Editar

O método de Newton requer que a derivada possa ser calculada diretamente. Uma expressão analítica para o derivado pode não ser facilmente obtida ou pode ser cara para avaliar. Nessas situações, pode ser apropriado aproximar a derivada usando a inclinação de uma reta através de dois pontos próximos na função. Using this approximation would result in something like the secant method whose convergence is slower than that of Newton's method.

Failure of the method to converge to the root Edit

It is important to review the proof of quadratic convergence of Newton's method before implementing it. Specifically, one should review the assumptions made in the proof. For situations where the method fails to converge, it is because the assumptions made in this proof are not met.

Overshoot Edit

If the first derivative is not well behaved in the neighborhood of a particular root, the method may overshoot, and diverge from that root. An example of a function with one root, for which the derivative is not well behaved in the neighborhood of the root, is

In some cases, Newton's method can be stabilized by using successive over-relaxation, or the speed of convergence can be increased by using the same method.

Stationary point Edit

If a stationary point of the function is encountered, the derivative is zero and the method will terminate due to division by zero.

Poor initial estimate Edit

A large error in the initial estimate can contribute to non-convergence of the algorithm. To overcome this problem one can often linearize the function that is being optimized using calculus, logs, differentials, or even using evolutionary algorithms, such as the stochastic tunneling. Good initial estimates lie close to the final globally optimal parameter estimate. In nonlinear regression, the sum of squared errors (SSE) is only "close to" parabolic in the region of the final parameter estimates. Initial estimates found here will allow the Newton–Raphson method to quickly converge. It is only here that the Hessian matrix of the SSE is positive and the first derivative of the SSE is close to zero.

Mitigation of non-convergence Edit

In a robust implementation of Newton's method, it is common to place limits on the number of iterations, bound the solution to an interval known to contain the root, and combine the method with a more robust root finding method.

Slow convergence for roots of multiplicity greater than 1 Edit

If the root being sought has multiplicity greater than one, the convergence rate is merely linear (errors reduced by a constant factor at each step) unless special steps are taken. When there are two or more roots that are close together then it may take many iterations before the iterates get close enough to one of them for the quadratic convergence to be apparent. However, if the multiplicity m of the root is known, the following modified algorithm preserves the quadratic convergence rate: [4]

This is equivalent to using successive over-relaxation. On the other hand, if the multiplicity m of the root is not known, it is possible to estimate m after carrying out one or two iterations, and then use that value to increase the rate of convergence.

If the multiplicity m of the root is finite then g(x) = f(x) / f′(x) will have a root at the same location with multiplicity 1. Applying Newton's method to find the root of g(x) recovers quadratic convergence in many cases although it generally involves the second derivative of f(x) In a particularly simple case, if f(x) = x m then g(x) = x / m and Newton's method finds the root in a single iteration with

Suppose that the function f has a zero at α , i.e., f (α) = 0 , and f is differentiable in a neighborhood of α .

If f is continuously differentiable and its derivative is nonzero at α , then there exists a neighborhood of α such that for all starting values x0 in that neighborhood, the sequence <xn> will converge to α . [5]

If the function is continuously differentiable and its derivative is not 0 at α and it has a second derivative at α then the convergence is quadratic or faster. If the second derivative is not 0 at α then the convergence is merely quadratic. If the third derivative exists and is bounded in a neighborhood of α , then:

If the derivative is 0 at α , then the convergence is usually only linear. Specifically, if f is twice continuously differentiable, f ′(α) = 0 and f ″(α) ≠ 0 , then there exists a neighborhood of α such that, for all starting values x0 in that neighborhood, the sequence of iterates converges linearly, with rate 1/2 [6] Alternatively, if f ′(α) = 0 and f ′(x) ≠ 0 for xα , x in a neighborhood U of α , α being a zero of multiplicity r , and if fC r (você) , then there exists a neighborhood of α such that, for all starting values x0 in that neighborhood, the sequence of iterates converges linearly.

However, even linear convergence is not guaranteed in pathological situations.

In practice, these results are local, and the neighborhood of convergence is not known in advance. But there are also some results on global convergence: for instance, given a right neighborhood você+ of α , if f is twice differentiable in você+ and if f ′ ≠ 0 , f · f ″ > 0 in você+ , then, for each x0 em você+ the sequence xk is monotonically decreasing to α .

Proof of quadratic convergence for Newton's iterative method Edit

According to Taylor's theorem, any function f (x) which has a continuous second derivative can be represented by an expansion about a point that is close to a root of f (x) Suppose this root is α . Then the expansion of f (α) about xn é:


Non-polynomial Functions with Multiple Roots

When using a computer to find roots of more complicated functions it's best to understand what is going on and give the computer a guess close to your desired answer.

Exemplo 2

[Certain math software is not able to find the solution directly for us. We need to know how to properly use the tool to get the solution, either with graphs or setting up Newton's Method. This could involve giving an initial estimate for the root.]

There appear to be 2 roots, one near t = &minus1 and the other near t = 3 . However, if we look more carefully in the region near t = 3 (by zooming in), we see that there is more than one root there.

By simple substitution, we can see that one of the roots is exactly t = 3 :

Now for the root near t = 3.4 .

We will use Newton's Method to approximate the root. We need to differentiate y = 1&minus t 2 + 2 t . Since we have t as an exponent in our expression, we need to use logarithms when differentiating. [See how to differentiate logarithms in Derivative of the Logarithmic Function].

Let's differentiate 2 t by itself first.

Take natural log of both sides:

So for Newton's Method in this example, we would have:

We can write this more conveniently (for later steps) showing the substitution as:

Now, doing another step of Newton's Method:

We can conclude that correct to 7 decimal places, t = 3.4074505 .

Using Graphs Instead

Using a computer algebra system, we can zoom into the root and we can see (from where the graph cuts the y-axis) that t is indeed close to `3.40745`.

Now for the negative case. Deixar t0 = &minus1 be our initial guess.

`t_2` `=-1.213076633-` `[(1-t^2+2^t)/(-2t+2^t ln 2)]_(t=-1.213076633)` `=-1.198322474`

`t_3` `=-1.198322474-` `[(1-t^2+2^t)/(-2t+2^t ln 2)]_(t=-1.198322474)` `=-1.198250199`

We could continue until we obtained the required accuracy.

Comparing this to the zoomed in graph, we can see that the solution is t = &minus1.198250197 , correct to 9 decimal places.

So the solutions for 1&minus t 2 + 2 t = 0 are

correct to 5 decimal places.


BIBLIOGRAPHY

Aristotle, Physics, Book I Nicomachean Ethics, Book III
cf. Thomas L. Health, Mathematics in Aristotle (Oxford,
1949), pp. 270-72. F. Bacon, The Philosophical Works of
Francis Bacon,
ed. J. M. Robertson (London, 1905), p. 249.
Isaac Barrow, Mathematical Lectures read in the Publick
Schools at the University of Cambridge,
trans. John Kirkby
(London, 1734) for Barrow's familiarity with Galileo's works
see Marie Boas Hall, “Galileo's Influence on Seventeenth-
Century English Scientists,” in Galileo, Man of Science, ed.
Ernan McMullin (New York and London, 1967), pp. 411-12.
Ernst Cassirer, Das Erkenntnisproblem, 3 vols. (Berlin,
1922-23), I, 136-44 for Randall's view, see his well-known
paper “Scientific Method in the School of Padua,” Journal
of the History of Ideas,
1 (1940), 177-206, and its revision
in his The School of Padua and the Emergence of Modern
Ciência
(Padua, 1961). Cassirer accepted the results of
Randall's inquiry but could not “subscribe to his conclu-
sions,” for he believed Galileo's conception of the dual
method, despite the identity of the terms used, to be more
influenced by the mathematical tradition than by the phi-
losophers of Padua see his “Galileo's Platonism,” in M. P.
Ashley Montagu, ed. Studies and Essays in the History of
Science and Learning
(New York, 1946), pp. 279-97. I. B.
Cohen, Franklin and Newton, An Inquiry into Speculative
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. (Philadelphia, 1956).
M. R. Cohen and I. Drabkin, eds., A Source Book in
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(New York, 1948 Cambridge, Mass. 1959). UMA.
Crombie, Robert Grosseteste and the Origins of Experimental
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(Oxford, 1953). Descartes, Oeuvres de Descartes, eds.
C. Adam and P. Tannery, 13 vols. (Paris, 1891-1912). Galen,
Claudii Galeni Opera omnia, ed. C. G. Kühn, 20 vols.
(Leipzig, 1821-33) idem, Galen on Medical Experience, ed.
and trans. R. Walzer (London and New York, 1944). Galileo
Galilei, “Letter to the Grand Duchess Christina” (1615),
in S. Drake, Discoveries and Opinions of Galileo (Garden
City, N.Y., 1957) idem, Opere di Galileo Galilei, ed. UMA.
Favaro, 20 vols. (Florence, 1890-1909 reprint 1929-39)
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Crew and A. de Salvio (New York, 1914) idem, Dialogue
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trans. S. Drake
(Berkeley and Los Angeles, 1953). Neal Gilbert, Renaissance
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L. Hankins, Jean D'Alembert—Science and the Enlighten-
ment
(Oxford, 1970), passim. Jaako Hintikka, “Kant and the
Tradition of Analysis,” Deskription, Analytizität und Ex-
istenz, 3-4 Forschungsgespräch des internationalen For-
schungszentrum für Grundfragen der Wissenschaften Salz-
burg,
ed. Paul Weingartner (Pustet-Verlag, Salzburg, and
Munich, 1966), pp. 254-72. Robert Hooke, Micrographia
(London, 1665) Hooke used Bacon's term instantia crucis
but in one place modified it to read experimentum crucis.
See Richard S. Westfall, “The Development of Newton's
Theory of Color,” Isis, 53 (1962), 354, and note 46. For a
skeptical appraisal of Newton's famous experiment see
A. I. Sabra, Theories of Light from Descartes to Newton
(London, 1967), pp. 294-97. Sabra's argument that only
Newton's adherence to a corpuscular doctrine permitted
him to infer the heterogeneity of white light from this
experiment is inconclusive. W. S. Jevons, The Principles of
Ciência
(London and New York, 1905). P. S. de Laplace,
Exposition du système du monde, 6th ed. (Paris, 1835).
A. L. Lavoisier, Traité élémentaire de chimie (Paris, 1789).
Colin Maclaurin, Account of Sir Isaac Newton's Philo-
sophical Discoveries,
3rd ed. (London, 1775). Paul Mouy,
Le Développement de la physique cartésienne, 1646-1712
(Paris, 1934). Isaac Newton, Mathematical Principles of
Natural Philosophy,
ed. F. Cajori (Berkeley, 1934) idem,
Opticks, 4th ed. (1730) idem, Isaac Newton's Papers and
Letters on Natural Philosophy,
ed. I. B. Cohen (Cambridge,
Mass., 1958) idem, “Account of the Booke entituled Com-
mercium Epistolicum, etc.,” Philosophical Transactions, 19,
no. 342 (1717) trans. “Recensio,” in the second edition
(1722) of the Commercium for Newton's authorship of this
“Account” see Louis T. More, Isaac Newton (New York,
1934), pp. 590-91, note 43 idem, Universal Arithmetick
(London, 1728). Jacques Rohault, Traité de physique (Paris,
1671). W. J. 'sGravesande, Introductio ad philosophiam,
metaphysicam et logicam continens
(Leiden, 1736) trans.
into French as Oeuvres philosophiques et mathématiques de
Mr G. J. 'sGravesande,
ed. J. N. S. Allamand, two parts in
one vol. (Amsterdam, 1774). E. W. Strong, “Newton's
'Mathematical Way'” in Roots of Scientific Thought, eds.
Philip P. Wiener and Aaron Noland (New York, 1957) the
article is reprinted, somewhat abridged, from the Journal
of the History of Ideas,
12 (1951), 90-110. Henry G. Van
Leeuwen, The Problem of Certainty in English Thought
(The Hague, 1963). Basil Willey, The Seventeenth Century
Background
(London, 1949).

[See also Baconianism Classification of the Sciences
Cosmology Experimental Science Newton's Opticks
Number Optics Unity of Science.]


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Damped Newton's Method

To help improve convergence, newton's method may be dampened with a constant α from (0,1].

Ideally, the each value of α should have the next iteration get as close to the root as possible. Only possible method of determining α is the Bank-Rose algorithm. Ώ]


Assista o vídeo: Metodo Newton Raphson explicacion de grafica y excel (Dezembro 2021).