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8.1: Prelúdio à Geometria Analítica - Matemática


O matemático grego Menaechmus (c. 380-c. 320 AC) é geralmente creditado com a descoberta das formas formadas pela interseção de um plano e um cone circular direito. Dependendo de como ele inclinou o avião quando cruzou o cone, ele formou formas diferentes na interseção - formas lindas com simetria quase perfeita. Também foi dito que Aristóteles pode ter tido uma compreensão intuitiva dessas formas, pois observou que a órbita do planeta era circular. Ele presumiu que os planetas se moviam em órbitas circulares ao redor da Terra, e por quase (2000 ) anos essa foi a crença comum.

Foi somente com o movimento renascentista que Johannes Kepler percebeu que as órbitas do planeta não eram circulares por natureza. Sua lei publicada do movimento planetário em 1600 mudou nossa visão do sistema solar para sempre. Ele afirmou que o sol estava em uma das extremidades das órbitas e os planetas giravam em torno do sol em um caminho oval. Neste capítulo, investigaremos as figuras bidimensionais que são formadas quando um cone circular direito é interceptado por um plano. Começaremos estudando cada uma das três figuras criadas dessa maneira. Iremos desenvolver equações de definição para cada figura e, em seguida, aprender como usar essas equações para resolver uma variedade de problemas.


Geometria Analítica (Matemática Universitária)

Este volume discute os temas clássicos da geometria euclidiana, afim e projetiva em duas e três dimensões, incluindo a classificação de cônicas e quádricas e transformações geométricas. Essas disciplinas são importantes tanto para o embasamento matemático do aluno quanto para aplicações em várias outras disciplinas. Eles podem ser estudados no primeiro ano ou como um segundo curso de geometria.

O material é apresentado de forma geométrica, e visa desenvolver a intuição geométrica e o pensamento do aluno, bem como sua capacidade de compreender e dar provas matemáticas. A álgebra linear não é um pré-requisito e é mantida no mínimo.

O livro inclui algumas novidades metodológicas e um grande número de exercícios e problemas com soluções. Possui também um apêndice sobre a utilização do programa de computador MAPLEV na resolução de problemas de geometria analítica e projetiva, com exemplos.


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8.1: Prelúdio à Geometria Analítica - Matemática

Grande parte da matemática neste capítulo será revisada para você. No entanto, os exemplos serão orientados para aplicativos e, portanto, exigirão um pouco de reflexão.

No sistema de coordenadas $ (x, y) $, normalmente escrevemos o eixo $ x $ horizontalmente, com números positivos à direita da origem, e o eixo $ y $ verticalmente, com números positivos acima da origem. Isto é, a menos que indicado de outra forma, consideramos "para a direita '' como a direção $ x $ positiva e" para cima '' como a direção $ y $ positiva. Em uma situação puramente matemática, normalmente escolhemos a mesma escala para os eixos $ x $ - e $ y $. Por exemplo, a linha que une a origem ao ponto $ (a, a) $ forma um ângulo de 45 $ <> ^ circ $ com o eixo $ x $ (e também com o eixo $ y $).

Em aplicativos, geralmente letras diferentes de $ x $ e $ y $ são usadas e, frequentemente, escalas diferentes são escolhidas nas direções horizontal e vertical. Por exemplo, suponha que você derrube algo de uma janela e queira estudar como sua altura acima do solo muda de um segundo para o segundo. É natural deixar a letra $ t $ denotar o tempo (o número de segundos desde que o objeto foi liberado) e deixar a letra $ h $ denotar a altura. Para cada $ t $ (digamos, em intervalos de um segundo), você tem uma altura correspondente $ h $. Essas informações podem ser tabuladas e, em seguida, plotadas no plano de coordenadas $ (t, h) $, conforme mostrado na figura 1.0.1.

Usamos a palavra "quadrante '' para cada uma das quatro regiões em que o plano é dividido pelos eixos: o primeiro quadrante é onde os pontos têm ambas as coordenadas positivas, ou a porção" nordeste '' do gráfico, e o segundo, o terceiro e o quarto quadrantes são contados no sentido anti-horário, então o segundo quadrante é o noroeste, o terceiro é o sudoeste e o quarto é o sudeste.

Suponha que temos dois pontos $ A $ e $ B $ no plano $ (x, y) $. Freqüentemente, queremos saber a mudança na coordenada $ x $ (também chamada de "distância horizontal '') ao ir de $ A $ para $ B $. Isso geralmente é escrito $ Delta x $, onde o significado de $ Delta $ (um delta maiúsculo no alfabeto grego) é "mudança em ''. (Assim, $ Delta x $ pode ser lido como "mudança em $ x

Vamos pensar sobre isso primeiro do ponto de vista geométrico. Não é estranho que duas superfícies curvas se cruzem por alguns círculos? Afinal, os círculos são planos, eles são essencialmente planos e, ainda assim, temos duas superfícies tridimensionais que se cruzam por dois círculos. Então, para chegar ao fundo disso, eu tentaria determinar as equações desses planos.

Isso pode ser feito por manipulações puramente algébricas. Na verdade, multiplique a primeira equação por $ 2 $ e adicione-a à segunda: $ 2 (yz + zx + xy) + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2. $ Isto é o mesmo que: $ (x + y + z) ^ 2 = a ^ 2, $ o que significa que se $ (x, y, z) $ pertence à nossa interseção, então $ x + y + z = a $ ou $ x + y + z = -a $. Aí está: nossa interseção está inteiramente na união desses dois planos paralelos: $ x + y + z = a $ e $ x + y + z = -a $.

Então, basicamente, em vez de cruzar uma esfera por um cone, poderíamos tê-la cruzado com um par de planos. Claramente, quando cruzamos uma esfera e um par de planos, obtemos um par de círculos.


Geometria Analítica

A geometria analítica não tem conteúdo estritamente definido. É o método, mas não o assunto sob investigação, que constitui a característica principal deste ramo da geometria. A essência desse método consiste em que os objetos geométricos são associados de alguma forma padrão a equações (ou sistemas de equações), de forma que as relações geométricas das figuras são expressas por meio das propriedades de suas equações. Por exemplo, no caso de coordenadas cartesianas, qualquer linha reta no plano está exclusivamente associada a uma equação linear ax + by + c = 0. A interseção de três retas, linhas em um ponto é expressa pela condição de compatibilidade de um sistema de três equações que especificam essas linhas.

Devido a uma abordagem multifuncional para resolver vários problemas, o método da geometria analítica tornou-se o método líder em investigações geométricas e é amplamente aplicado em outros campos das ciências naturais exatas, como a mecânica e a física. A geometria analítica uniu a geometria com a álgebra e a análise - o fato que contribuiu de forma proveitosa para o desenvolvimento dessas três disciplinas da matemática. As principais ideias da geometria analítica remontam ao matemático francês René Descartes (1595-1650), que em 1637 descreveu os fundamentos de seu método em sua famosa obra "Geométrica".

O presente livro, que é um curso de palestras, trata do
fundamentos do método de geometria analítica aplicada ao
objetos geométricos mais simples. É projetado para a universidade
alunos com especialização em física e matemática,

Este livro foi traduzido do russo por Leonid Levant e
foi publicado pela primeira vez por Editores Mir em 1980.


Geometria analítica

A invenção da geometria analítica foi, ao lado do cálculo diferencial e integral, o desenvolvimento matemático mais importante do século XVII. Originado no trabalho dos matemáticos franceses Viète, Fermat e Descartes, ele havia se estabelecido em meados do século como um importante programa de pesquisa matemática.

Duas tendências na matemática contemporânea estimularam o surgimento da geometria analítica. O primeiro foi um maior interesse em curvas, resultante em parte da recuperação e tradução latina dos tratados clássicos de Apolônio, Arquimedes e Pappus, e em parte da crescente importância das curvas em campos aplicados como astronomia, mecânica, óptica, e estereometria. O segundo foi o surgimento, um século antes, de uma prática algébrica estabelecida no trabalho dos algébricos italianos e alemães e sua subseqüente transformação por Viète em uma ferramenta matemática poderosa no final do século.

Viète foi um representante proeminente do movimento humanista em matemática que se propôs a restaurar e promover as conquistas dos geômetras gregos clássicos. No dele In artem analyticem isagoge (1591 “Introdução às Artes Analíticas”), Viète, como parte de seu programa de redescobrir o método de análise usado pelos antigos matemáticos gregos, propôs novos métodos algébricos que empregavam variáveis, constantes e equações, mas ele viu isso como um avanço sobre o método antigo, uma visão a que ele chegou comparando a análise geométrica contida no Livro VII de Pappus Coleção com a análise aritmética de Diofanto Aritmética. Pappus empregou um método analítico para a descoberta de teoremas e a construção de problemas na análise, ao contrário da síntese, procede-se do que se busca até chegar a algo conhecido. Ao abordar um problema aritmético estabelecendo uma equação entre magnitudes conhecidas e desconhecidas e, em seguida, resolvendo o desconhecido, estava-se, raciocinou Viète, seguindo um procedimento “analítico”.

Viète introduziu o conceito de variável algébrica, que ele denotou usando uma vogal maiúscula (UMA, E, eu, O, você), bem como o conceito de parâmetro (uma quantidade constante não especificada), denotado por uma consoante maiúscula (B, C, D, e assim por diante). Em seu sistema, a equação 5BUMA 2 − 2CUMA + UMA 3 = D apareceria como B5 pol UMA quad - C plano 2 em UMA + UMA filhote aequatur D solido.

Viète manteve o princípio clássico da homogeneidade, segundo o qual os termos somados devem ter todos a mesma dimensão. Na equação acima, por exemplo, cada um dos termos tem a dimensão de um sólido ou cubo, portanto, a constante C, que denota um plano, é combinado com UMA para formar uma quantidade com a dimensão de um sólido.

Deve-se notar que no esquema de Viète o símbolo UMA faz parte da expressão para o objeto obtido operando na magnitude denotada por UMA. Assim, as operações nas quantidades denotadas pelas variáveis ​​são refletidas na própria notação algébrica. Essa inovação, considerada pelos historiadores da matemática um grande avanço conceitual da álgebra, facilitou o estudo da solução simbólica das equações algébricas e levou à criação da primeira teoria consciente das equações.

Após a morte de Viète, a arte analítica foi aplicada ao estudo das curvas por seus compatriotas Fermat e Descartes. Ambos os homens foram motivados pelo mesmo objetivo, para aplicar as novas técnicas algébricas à teoria dos loci de Apolônio, conforme preservado na de Pappus Coleção. O mais célebre desses problemas consistia em encontrar a curva ou locus traçado por um ponto cujas distâncias de várias linhas fixas satisfaziam uma dada relação.

Fermat adotou a notação de Viète em seu artigo "Ad Locos Planos et Solidos Isagoge" (1636 "Introdução a Loci Planos e Sólidos"). O título do artigo se refere à antiga classificação das curvas como planas (linhas retas, círculos), sólidas (elipses, parábolas e hipérboles) ou lineares (curvas definidas cinematicamente ou por uma condição de locus). Fermat considerou uma equação entre duas variáveis. Uma das variáveis ​​representou uma linha medida horizontalmente a partir de um determinado ponto inicial, enquanto a outra representou uma segunda linha posicionada no final da primeira linha e inclinada em um ângulo fixo em relação à horizontal. Como a primeira variável variava em magnitude, a segunda assumia um valor determinado pela equação, e o ponto final da segunda linha traçava uma curva no espaço. Por meio dessa construção, Fermat foi capaz de formular o princípio fundamental da geometria analítica:

Sempre que duas quantidades desconhecidas são encontradas em igualdade final, resulta um lugar geométrico fixo no lugar, e o ponto final de uma dessas quantidades desconhecidas descreve uma linha reta ou uma curva.

O princípio implicava uma correspondência entre duas classes diferentes de objetos matemáticos: curvas geométricas e equações algébricas. No artigo de 1636, Fermat mostrou que, se a equação é quadrática, a curva é uma seção cônica - ou seja, uma elipse, parábola ou hipérbole. Ele também mostrou que a determinação da curva dada por uma equação é simplificada por uma transformação envolvendo uma mudança de variáveis ​​para uma equação na forma padrão.

De Descartes La Géométrie apareceu em 1637 como um apêndice de seu famoso Discurso sobre o método, o tratado que apresentou a fundação de seu sistema filosófico. Embora supostamente um exemplo da matemática de seu método racional, La Géométrie foi um tratado técnico compreensível independentemente da filosofia. Estava destinado a se tornar um dos livros mais influentes da história da matemática.

Nas seções de abertura de La Géométrie, Descartes introduziu duas inovações. No lugar da notação de Viète, ele iniciou a prática moderna de denotar variáveis ​​por letras no final do alfabeto (x, y, z) e parâmetros por letras no início do alfabeto (uma, b, c) e de usar notação exponencial para indicar poderes de x (x 2 , x 3, ...). Mais significativo conceitualmente, ele deixou de lado o princípio da homogeneidade de Viète, mostrando por meio de uma construção simples como representar a multiplicação e divisão de linhas por linhas, assim, todas as magnitudes (linhas, áreas e volumes) poderiam ser representadas independentemente de sua dimensão no da mesma maneira.

O objetivo de Descartes em La Géométrie era conseguir a construção de soluções para problemas geométricos por meio de instrumentos que fossem generalizações aceitáveis ​​de régua e compasso. A álgebra foi uma ferramenta a ser usada neste programa:

Se, então, desejamos resolver algum problema, primeiro supomos a solução já efetuada e damos nomes a todas as linhas que parecem necessárias para sua construção - tanto as que são desconhecidas quanto as que são conhecidas. Então, sem fazer nenhuma distinção entre linhas conhecidas e desconhecidas, devemos desvendar a dificuldade de qualquer maneira que mostre mais naturalmente as relações entre essas linhas, até que possamos expressar uma única quantidade de duas maneiras. Isso constituirá uma equação, uma vez que os termos de uma dessas duas expressões são, juntos, iguais aos termos da outra.

No problema de Apolônio, por exemplo, procurava-se encontrar o locus de pontos cujas distâncias de uma coleção de linhas fixas satisfaziam uma dada relação. Usava-se essa relação para derivar uma equação e, então, usando um procedimento geométrico envolvendo instrumentos de construção aceitáveis, obtinha-se pontos na curva dada pelas raízes da equação.

Descartes descreveu instrumentos mais gerais do que a bússola para desenhar curvas “geométricas”. Ele estipulou que as partes do instrumento fossem ligadas entre si para que a proporção dos movimentos das partes pudesse ser conhecida. Esta restrição excluiu curvas “mecânicas” geradas por processos cinemáticos. A espiral arquimediana, por exemplo, era gerada por um ponto que se movia em uma linha conforme a linha girava uniformemente em torno da origem. A razão entre a circunferência e o diâmetro não permitiu a determinação exata:

as proporções entre as linhas retas e curvas não são conhecidas e, até acredito, não podem ser descobertas pelos homens e, portanto, nenhuma conclusão baseada em tais proporções pode ser aceita como rigorosa e exata.

Descartes concluiu que uma curva geométrica ou não mecânica era aquela cuja equação f(x, y) = 0 era um polinômio de grau finito em duas variáveis. Ele desejava restringir a matemática à consideração de tais curvas.

A ênfase de Descartes na construção refletiu sua orientação clássica. Seu conservadorismo com relação a quais curvas eram aceitáveis ​​em matemática o distinguiu ainda mais como um pensador tradicional. Na época de sua morte, em 1650, ele havia sido surpreendido pelos acontecimentos, à medida que a pesquisa se afastava das questões de construção para os problemas de localização (então chamados de problemas de quadratura) e tangentes. Os objetos geométricos que eram então de crescente interesse eram precisamente as curvas mecânicas que Descartes desejava banir da matemática.

Após os importantes resultados alcançados no século 16 por Gerolamo Cardano e os algebraistas italianos, a teoria das equações algébricas chegou a um impasse. As idéias necessárias para investigar equações de grau superior a quatro demoraram a se desenvolver. A influência histórica imediata de Viète, Fermat e Descartes foi fornecer métodos algébricos para a investigação das curvas. Uma vigorosa escola de pesquisa foi estabelecida em Leiden em torno de Frans van Schooten, um matemático holandês que editou e publicou em 1649 uma tradução latina de La Géométrie. Van Schooten publicou uma segunda tradução em dois volumes da mesma obra em 1659-1661, que também continha apêndices matemáticos de três de seus discípulos, Johan de Witt, Johan Hudde e Hendrick van Heuraet. O grupo de matemáticos de Leiden, que também incluía Christiaan Huygens, foi em grande parte responsável pelo rápido desenvolvimento da geometria cartesiana em meados do século.


Geometria Projetiva Analítica

O Comitê da Lista da Biblioteca Básica sugere que as bibliotecas de matemática de graduação considerem este livro para aquisição.

A geometria projetiva, como a geometria euclidiana, pode ser desenvolvida tanto do ponto de vista sintético (axiomático) quanto analítico. No caso bidimensional dos planos projetivos, por exemplo, três axiomas simples e agradavelmente simétricos bastam: um que garante a existência de quatro pontos distintos, não três deles colineares aquele que estabelece que dois pontos distintos estão em uma única linha e um que afirma que duas linhas distintas se cruzam em um único ponto (estabelecendo assim que não há linhas paralelas). Analiticamente falando, pode-se definir um plano projetivo usando coordenadas homogêneas com entradas de um campo (F ) (ou, mais geralmente, um anel de divisão (D )): os & ldquopoints & rdquo na geometria são triplos ordenados de elementos de (D ), nem todos eles (0 ), com o requisito adicionado, dois desses triplos são considerados iguais se um deles for um múltiplo escalar diferente de zero do outro. As linhas também podem ser definidas como triplas ordenadas semelhantes, embora para evitar confusão seja comum usar notações diferentes, digamos ([x, y, z] ) para pontos e ( langle a, b, c rangle ) para linhas. A incidência de um ponto com uma linha significa, nesta notação, que (ax + by + cz = 0 ), uma condição que é claramente bem definida porque o lado esquerdo é (0 _ se e somente se qualquer múltiplo escalar diferente de zero dele é.

Se uma abordagem analítica sem coordenadas for necessária, então pode-se definir um plano projetivo como um espaço vetorial tridimensional sobre (F ) (ou módulo sobre (D )), com os pontos sendo unidimensionais subespaços e linhas sendo bidimensionais, sendo a incidência uma simples contenção de conjuntos. Em relação a uma base fixa, é então bastante fácil ver como criar coordenadas para os pontos e linhas (para o último, use o análogo da fórmula vetorial de produto cruzado para encontrar um vetor que é o & ldquocomplemento ortogonal & rdquo do subespaço) .

Essas ideias se generalizam sem muita dificuldade para o caso de espaços projetivos, ao invés de planos. Na abordagem analítica, um espaço projetivo de dimensão n é agora um espaço vetorial de dimensão (n + 1 ), então obtemos não apenas pontos e linhas, mas análogos de dimensões superiores de planos. (Pelo menos, foi assim que aprendi a definição, como veremos em breve, a definição neste livro é um pouco diferente.)

Tanto a abordagem analítica quanto a sintética têm suas vantagens. A abordagem analítica, por exemplo, permite aplicações de geometria projetiva, tanto para outras áreas da matemática, como geometria algébrica e teoria da curva elíptica (se você precisar definir curvas por equações polinomiais, ter coisas para inserir nos polinômios é uma vantagem óbvia ) e para áreas fora da matemática, como a teoria da computação gráfica.

O livro em revisão é uma introdução à teoria puramente analítica dos espaços projetivos sobre os campos dos números reais e complexos. É um livro grosso, pesando mais de 600 páginas e, como convém a um livro escrito por um professor da Universitat de Barcelona na Espanha e publicado pela European Mathematical Society, tem um toque decididamente europeu. Os detalhes que precisam ser incluídos estão incluídos, mas o livro foi escrito para estudantes de graduação europeus sérios e bem preparados e não se envolve muito em segurar as mãos. As definições são apresentadas em termos bastante gerais e abstratos.

Assim, por exemplo, a definição do autor & rsquos de um espaço projetivo sobre um campo (k ) é um pouco mais abstrata do que aquela que forneci anteriormente nesta revisão, ele a define como um triplo ((P, E, pi) ), onde (P ) é um conjunto, (E ) é um espaço vetorial de dimensão finita sobre (K ) de dimensão de pelo menos 2, e ( pi ) é um mapeamento de (E & ndash <0 > ) em (P ) satisfazendo ( pi (a) = pi (b) ) se e somente se (a ) for um múltiplo escalar diferente de zero de (b ) . É interessante notar que a primeira entrada recuada que segue esta definição é um diagrama comutativo ao invés de um desenho de qualquer coisa com pontos e linhas nele, depois que um desenho é dado na página 25 para ilustrar o teorema de Pappus, nós então vá por quase 40 páginas até vermos outra. Como eu disse, este é um livro sério.

Está claro, mesmo a partir da discussão anterior, que a álgebra linear aparece na frente e no centro de um desenvolvimento analítico de espaços projetivos. Na verdade, já em 1952, era dito no prefácio do clássico de Baer & rsquos Álgebra Linear e Geometria Projetiva que as disciplinas de álgebra linear e geometria projetiva são & ldquoidênticas & rdquo. Métodos algébricos lineares são usados ​​ao longo deste livro, e um pré-requisito essencial para o leitor é a conclusão do que o autor chama de um & ldquostandard course & rdquo em álgebra linear. Com isso, ele quer dizer mais do que o tipo de curso introdutório que a maioria dos estudantes americanos fazem: o curso ao qual ele se refere deveria ter coberto tópicos como diagonalização, dualidade e formas bilineares. Também há ocasiões em que se assume alguma familiaridade com os rudimentos da geometria afim do ponto de vista algébrico-linear. A definição algébrica linear de um espaço afim (em termos de um espaço vetorial atuando em um conjunto) é rapidamente revisada sem provas no capítulo 3, mas alguma exposição prévia a essas idéias seria útil após a apresentação.

O livro começa com a definição acima mencionada de espaços projetivos e uma discussão dos fatos básicos sobre eles, incluindo os teoremas de Pappus e Desargues. (Como será observado um pouco mais tarde nesta revisão, embora estes sejam de fato teoremas no contexto de espaços projetivos reais e complexos, eles não podem ser provados na teoria sintética geral dos planos projetivos.) Os próximos quatro capítulos abordam questões bastante padronizadas ( a introdução de coordenadas, a relação entre os espaços projetivos e afins, o princípio da dualidade e as transformações projetivas) mas, novamente, a discussão está em um nível bastante elevado e teórico.

O Capítulo 6 apresenta quádricas, cujo estudo ocupará o resto do livro (tornando a leitura deste texto muito valiosa para um aluno que está planejando estudar geometria algébrica). Enquanto as superfícies quádricas podem ser vistas concretamente como conjuntos de pontos cujas coordenadas satisfazem uma equação polinomial de segundo grau, o autor aqui fornece uma apresentação mais abstrata e livre de coordenadas em termos de formas bilineares simétricas. A classificação das quádricas em espaços projetivos e afins é discutida e, em seguida, o autor prossegue para tópicos mais avançados que, até onde sei, não são facilmente encontrados em outros livros sobre geometria projetiva. Por exemplo, a ideia de que o conjunto de quádricas em um espaço projetivo pode ser visto como o conjunto de pontos de um espaço projetivo é discutida e explorada.

O livro termina com um par de apêndices: o primeiro, com cerca de dez páginas, oferece uma discussão matemática da perspectiva; o segundo, com cerca de três vezes mais longa, usa a geometria projetiva para fornecer modelos de geometria euclidiana, hiperbólica e elíptica.

De acordo com seu uso pretendido como texto, cada capítulo termina com uma coleção de exercícios. As soluções não são fornecidas e não há um manual do instrutor e rsquos.

Na época em que eu era estudante de graduação, minha faculdade oferecia nada menos que cinco cursos de nível superior em geometria. Além da geometria projetiva, havia cursos de geometria euclidiana avançada, fundamentos da geometria, transformações geométricas e "geometria analítica mais alta", que basicamente era um curso sobre o uso de métodos vetoriais em geometria. Esses dias parecem ter acabado para sempre. Agora, apesar da importância e utilidade do assunto, a maioria das universidades americanas não oferece cursos de graduação devotados inteiramente à geometria projetiva, o curso médio de matemática é exposto a este assunto, se é que o faz, apenas brevemente e em conexão com outro material.

Assim, parece improvável que algum dia estarei na posição de selecionar um livro didático para um curso de geometria projetiva. Se eu tivesse essa oportunidade, no entanto, estaria inclinado a selecionar uma (como Casse & rsquos Geometria Projetiva: Uma Introdução) que não se dedicava exclusivamente aos aspectos analíticos da teoria, mesmo porque há uma conexão interessante e bela entre a teoria analítica e a sintética, decorrente da questão de quando um plano projetivo definido axiomaticamente pode ser representado em coordenadas homogêneas sobre um campo. A resposta acaba sendo que este é o caso se e somente se o teorema de Pappus & rsquo for válido no plano. Da mesma forma, um plano definido axiomaticamente pode ser representado por coordenadas homogêneas sobre um anel de divisão se e somente se o teorema de Desargues & rsquo for válido no plano. Essas conexões entre geometria e álgebra são resultados que eu acho que devem ser discutidos em qualquer curso de geometria projetiva, mas são necessariamente omitidos aqui porque o autor & rsquos enfoca apenas a teoria analítica (e sua decisão de considerar apenas espaços reais e complexos). É claro que isso é uma questão de gosto pessoal, mas menciono-o apenas para apontar que o assunto deste texto necessariamente resulta na exclusão de uma parte substancial e bela da teoria.

Em compensação, entretanto, este livro contém (como a descrição anterior dos tópicos deve deixar claro) uma grande quantidade de material, muito mais do que se poderia razoavelmente esperar que fosse abordado em um único curso de graduação semestral. E, como indiquei acima, há alguns tópicos cobertos aqui que não são fáceis de encontrar na literatura de livros didáticos existente. Assim, embora não seja um livro que eu provavelmente usaria como um texto, esta é, no entanto, uma excelente fonte de referência para pessoas interessadas no assunto.


2 respostas 2

$ x ^ 2 + y (y + 1) ^ 2 = 0 $ dá algo parecido com o que você deseja.

Use um paramétrico spline, em que $ x $ e $ y $ são funções spline (ou mesmo apenas funções polinomiais) de algum parâmetro independente $ t $.

Aqui está uma spline cúbica paramétrica com 4 segmentos criados no PowerPoint. Ou, olhando de outro modo, isso é apenas uma sequência de quatro curvas Bézier cúbicas que se unem suavemente.

E aqui está uma curva mais agradável. É uma curva de Bezier de grau 6 e seus pontos de controle são $ (2,0) $, $ (6,0) $, $ (7,2) $, $ (4,5) $, $ (1,2 ) $, $ (2,0) $, $ (6,0) $.


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