Artigos

9: Equações e funções quadráticas - Matemática


Miniatura: Gráfico da função quadrática. (Domínio público; N.Mori).


Equações quadráticas

Este teste de matemática é chamado de 'Equações quadráticas' e foi escrito por professores para ajudá-lo se você estiver estudando o assunto no ensino médio. Jogar questionários educacionais é uma maneira fácil de aprender se você está na 9ª ou 10ª série - com idade entre 14 e 16 anos.

Custa apenas $ 12,50 por mês para jogar este questionário e mais de 3.500 outros que o ajudam com seus trabalhos escolares. Você pode se inscrever na página Junte-se a nós

As expressões quadráticas são reconhecíveis porque têm um termo x 2 junto com (geralmente) um termo x e um número. As equações quadráticas não se comportam como as lineares - às vezes nem têm uma solução, mas outras vezes podem ter 2! As curvas quadráticas, chamadas parábolas, ocorrem na natureza e em situações da vida real, por isso é uma boa ideia conhecer todos os seus meandros. Veja como você se sai neste teste de matemática do ensino médio!

Quadráticos são os primeiros de uma série de funções chamadas POLINOMIAIS. Todos eles têm potências decrescentes de x, onde a potência é sempre um número inteiro. Os gráficos de polinômios são todos curvas. A curva de uma quadrática pode ser descrita como em forma de U (ou em forma de & # 8745 para x 2 negativo), o que significa que seu gradiente está sempre mudando. Compare isso com o gráfico de linha reta, que tem um gradiente fixo.

Você deve ser capaz de realizar algumas técnicas diferentes com expressões quadráticas. Fatorar uma quadrática é a primeira etapa para resolver equações quadráticas, mas lembre-se de que nem todas as quadráticas serão fatoradas! O ‘quadrado perfeito’ e a ‘diferença de dois quadrados’ são dois casos especiais e você deve aprender como reconhecê-los.

As raízes de uma curva quadrática, que é onde ela cruza o eixo x, correspondem às soluções da equação quadrática.

Completar o quadrado permitirá que você identifique as coordenadas do ponto de viragem. Você pode completar o quadrado em qualquer expressão quadrática, mesmo se ela não cruzar o eixo x.

Para quadráticas que parecem um pouco complicadas, use a fórmula quadrática. O discriminante lhe dará uma indicação da natureza de quaisquer raízes, que lhe dirá se existe uma solução ou não.


Holt Algebra Capítulo 9 & quotQuadratic Functions & amp Equations ”Teste (c) - DOC & amp PDF

Este documento de criação de r quadrado é uma versão alternativa do Teste do Capítulo 9 de Holt Algebra. Este documento de criação de r quadrado avalia o que os alunos aprenderam durante todo o capítulo. Os materiais cobertos na avaliação são baseados em padrões (até mesmo lançou questões de teste) e estão alinhados ao Capítulo 9 "Funções quadráticas e equações de amp" do livro Holt Algebra. Os conceitos cobertos são como determinar se um ponto está em um gráfico, se um parábola abre para cima ou para baixo, onde está o vértice, como encontrar o zero e o vértice de uma função quadrática, como representar graficamente uma função quadrática, como resolver uma equação quadrática por meio de um gráfico, como resolver uma equação quadrática por fatoração quando em padrão forma, como resolver uma equação quadrática por fatoração quando não na forma padrão, como resolver uma equação quadrática usando raízes quadradas, como encontrar o discriminante e indicar o número de soluções para uma equação quadrática, como resolver uma equação quadrática por usando a fórmula quadrática quando na forma padrão e como resolver uma equação quadrática usando a fórmula quadrática quando não está na forma padrão.

Abrange os padrões da CA 2.0, 14.0, 19.0, 21.0 e 22.0.

O arquivo zip contém o teste no formato .doc e também em .pdf. O teste também pode ser editado se você quiser fazer alguma alteração (pode ser necessário baixar o MathType gratuitamente).


Álgebra 1 Unidade 9: Equações quadráticas e funções

Esta unidade irá revisar e reforçar os principais conceitos pré-álgebra na preparação para Álgebra 1.

  • Fatorando os fatores comuns
  • Trinômios de fatoração - parte 1
  • Algebra Tiles (lição extra opcional)
  • Trinômios de fatoração - parte 2
  • Fatorando a diferença de dois quadrados
  • Polinômios Especiais de Fatoração
  • A Propriedade do Produto Zero
  • Aplicações de fatoração

Este currículo completo da unidade inclui.

  • Video aulas que ensinam cada conceito passo a passo de uma maneira que seja fácil para os alunos entenderem
  • Notas guiadas que mantêm a atenção dos alunos e os responsabilizam
  • Exercícios de prática diferenciada que desenvolvem as habilidades e a confiança dos alunos
  • Revisões da unidade guiada que ensinam habilidades de estudo e melhoram pontuações em testes
  • Vídeos de revisão rápida que reforçam cada conceito
  • Avaliações editáveis que acessam com precisão o nível de compreensão dos alunos

Possivelmente a palavra mais frustrante para qualquer professor de matemática - ou pai - ouvir. Você tentou e tentou explicar os conceitos, mas simplesmente não está conectando. E você não tem certeza do que fazer a seguir.

Às vezes, os alunos só precisam ouvir um conceito explicado novamente - e novamente - antes que ele seja compreendido. Outras vezes, ouvir o tópico explicado de uma maneira diferente resolverá o problema.

Com apenas um de vocês e vinte deles, isso não é tão fácil. Mas quando você adiciona vídeos do MathLight à mistura, de repente não é tão opressor.

O professor especialista em matemática, Rick Scarfi, ensina cada conceito por vídeo. Suas explicações ajudaram centenas de alunos a compreender até os conceitos matemáticos mais complexos. E agora você verá seus alunos experimentando esses momentos de lâmpada também.

Cada unidade do MathLight contém vídeos de revisão rápida para cada lição que resumem rapidamente os conceitos principais e lembram os alunos como resolver os problemas. Com um tempo médio de reprodução de 2 a 3 minutos, esses vídeos são tão versáteis que você logo os usará em qualquer lugar. E não ficaremos muito surpresos se você estiver se apaixonando por eles.


Matemática do 9º ao 11º ano - Funções quadráticas

Esta lição enfoca os alunos que tomam decisões sobre quais ferramentas aplicar para resolver diferentes problemas relacionados a expressões quadráticas e equações. Também se destina a conscientizar sobre a forma que uma resposta assumirá para ajudar os alunos a entender o tipo de problema que estão resolvendo.

No momento desta lição, os alunos estão se aproximando do final de uma unidade de quadrática em suas aulas de álgebra. Nessa unidade, eles desenvolveram ferramentas para fatorar expressões e resolver equações quadráticas usando a propriedade de produto zero e a Fórmula Quadrática, muitas vezes guiados pela pergunta: “Como posso fazer um esboço rápido desta parábola? Os alunos aplicaram suas novas ferramentas para encontrar os interceptos xey e o vértice das parábolas para fazer esses esboços. Esta lição teve como objetivo dar aos alunos a oportunidade de olhar para diferentes tipos de problemas lado a lado e determinar as ferramentas que seriam mais úteis para resolver esses problemas.

Antes da aula, os alunos demonstraram alguma incerteza sobre qual ferramenta aplicar aos diferentes problemas ou, em alguns casos, como identificar o tipo de resposta que buscavam. O foco do aluno foi aplicar corretamente uma ferramenta, como fatorar completamente ou resolver usando a fórmula quadrática, em vez de olhar para um problema e decidir como começar. As atividades desta lição tiveram como objetivo permitir que os alunos se concentrassem neste tipo de tomada de decisão.


9: Equações e funções quadráticas - Matemática

9-1: Identificando funções quadráticas

LT 9-1A - Posso representar graficamente uma função quadrática manualmente.

LT 9-1B - Posso identificar o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática quando representada graficamente.

LT 9-1C - Posso determinar se uma equação representa uma função quadrática.

9-2: Características das funções quadráticas

LT 9-2A - Posso identificar os zeros de uma função quadrática quando representada graficamente.

LT 9-2B - Posso usar métodos algébricos (fatoração ou fórmula quadrática) para encontrar os interceptos xey de uma função quadrática.

LT 9-2C - Posso encontrar a interceptação y de uma função quadrática pela inspeção da equação quando a função está na forma f (x) = ax 2 + bx + c.

LT 9-2D - Posso encontrar a interceptação x de uma função quadrática inspecionando a equação quando a função está na forma fatorada.

LT 9-2E - Posso encontrar a coordenada x do vértice de uma função quadrática encontrando o ponto médio das coordenadas x dos dois interceptos x.

9-3: Gráficos de funções quadráticas

LT 9-3A - Posso identificar as interceptações xey de uma função quadrática quando representadas graficamente.

LT 9-3B - Posso representar graficamente uma função quadrática em uma calculadora gráfica e ajustar a janela para mostrar os recursos importantes da função.

9-4: Funções quadráticas de transformação

LT 9-1A - Posso representar graficamente uma função quadrática manualmente.

9-5: Resolvendo Equações Quadráticas por Representação Gráfica

LT 9-5A - Posso resolver equações quadráticas fazendo gráficos usando uma calculadora gráfica.

9-6: Resolvendo Equações Quadráticas por Fatoração

LT 9-6A - Eu sei como resolver algumas equações quadráticas fatorando e usando a propriedade do produto zero.

9-7: Resolvendo Equações Quadráticas Usando Raízes Quadradas

LT 9-7A - Posso fazer aproximações de raízes quadradas sem usar uma calculadora.

LT 9-7B - Posso manipular e resolver equações envolvendo quadrados e raízes quadradas.

LT 9-7C - Posso usar o Teorema de Pitágoras para encontrar os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.

LT 9-7D - Posso explicar que algumas equações quadráticas têm soluções racionais, algumas têm soluções irracionais e outras não têm solução real.

LT 5-5A - Posso usar o Teorema de Pitágoras para determinar o comprimento da distância mais curta entre dois pontos "em linha reta" em uma grade de coordenadas.

LT 5-5B - Posso determinar se um triângulo é um triângulo retângulo usando o inverso do teorema de Pitágoras se eu tiver três comprimentos laterais de um triângulo.

LT 5-5C - Posso usar o contexto para explicar se a solução para uma equação quadrática é relevante.


Álgebra 1 Invertida sala de aula - Capítulo 9: Funções quadráticas e equações

Uma sala de aula invertida é uma estratégia instrucional e um tipo de aprendizagem combinada que reverte o ambiente de aprendizagem tradicional, entregando conteúdo instrucional, geralmente online, fora da sala de aula. Ele move as atividades, incluindo aquelas que podem ter sido tradicionalmente consideradas lição de casa, para a sala de aula.

O pacote inclui aulas em vídeo para o Capítulo 9 do currículo de Algebra 1 Common Core.

Capítulo 9: Funções e equações quadráticas

- Lição 9-1: Gráficos quadráticos e suas propriedades
- Lição 9-2: Funções quadráticas
- Lição 9-3: Resolvendo funções quadráticas
- Lição 9-4: Fatoração para resolver equações quadráticas
- Lição 9-5: Completando o Quadrado
- Lição 9-6: A Fórmula Quadrática e o Discriminante


Holt Algebra Capítulo 9 & quotQuadratic Functions & amp Equations ”Teste - DOC & amp PDF

Este documento de criação de r quadrado avalia o que os alunos aprenderam durante todo o capítulo. Os materiais cobertos na avaliação são baseados em padrões (até mesmo lançou questões de teste) e estão alinhados ao Capítulo 9 "Funções quadráticas e equações de amp" do livro Holt Algebra. Os conceitos cobertos são como determinar se um ponto está em um gráfico, se um parábola abre para cima ou para baixo, onde está o vértice, como encontrar o zero e o vértice de uma função quadrática, como representar graficamente uma função quadrática, como resolver uma equação quadrática por meio de um gráfico, como resolver uma equação quadrática por fatoração quando em padrão forma, como resolver uma equação quadrática por fatoração quando não na forma padrão, como resolver uma equação quadrática usando raízes quadradas, como encontrar o discriminante e indicar o número de soluções para uma equação quadrática, como resolver uma equação quadrática por usando a fórmula quadrática quando na forma padrão e como resolver uma equação quadrática usando a fórmula quadrática quando não está na forma padrão.

Abrange os padrões da CA 2.0, 14.0, 19.0, 21.0 e 22.0.

O arquivo zip contém o teste no formato .doc e também em .pdf. O teste também pode ser editado se você quiser fazer qualquer alteração (pode ser necessário fazer o download do MathType gratuitamente).


Fatoração e a propriedade de raiz quadrada

Uma equação contendo um polinômio de segundo grau é chamada de Equação quadrática. Por exemplo, equações como [latex] 2^ <2> + 3x - 1 = 0 [/ latex] e [latex]^ <2> -4 = 0 [/ latex] são equações quadráticas. Eles são usados ​​de inúmeras maneiras nas áreas de engenharia, arquitetura, finanças, ciências biológicas e, é claro, matemática.

Muitas vezes, o método mais fácil de resolver uma equação quadrática é factoring. Fatorar significa encontrar expressões que podem ser multiplicadas juntas para fornecer a expressão em um lado da equação.

Se uma equação quadrática pode ser fatorada, ela é escrita como um produto de termos lineares. A resolução por fatoração depende da propriedade do produto zero, que afirma que se [latex] a cdot b = 0 [/ latex], então [latex] a = 0 [/ latex] ou [latex] b = 0 [/ latex] , Onde uma e b são números reais ou expressões algébricas. Em outras palavras, se o produto de dois números ou duas expressões é igual a zero, então um dos números ou uma das expressões deve ser igual a zero porque zero multiplicado por qualquer coisa é igual a zero.

Multiplicar os fatores expande a equação para uma sequência de termos separados por sinais de mais ou menos. Então, nesse sentido, a operação de multiplicação desfaz a operação de fatoração. Por exemplo, expanda a expressão fatorada [latex] left (x - 2 right) left (x + 3 right) [/ latex] multiplicando os dois fatores.

O produto é uma expressão quadrática. Definido igual a zero, [latex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex] é uma equação quadrática. Se fatorássemos a equação, obteríamos de volta os fatores que multiplicamos.

O processo de fatorar uma equação quadrática depende do coeficiente líder, seja 1 ou outro inteiro. Veremos ambas as situações, mas primeiro, queremos confirmar se a equação está escrita na forma padrão, [látex] a^ <2> + bx + c = 0 [/ latex], onde uma, b, e c são números reais e [latex] a ne 0 [/ latex]. A equação [látex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex] está na forma padrão.

Podemos usar a propriedade de produto zero para resolver equações quadráticas nas quais primeiro temos que fatorar o maior fator comum (GCF), e também para equações que possuem fórmulas de fatoração especiais, como a diferença de quadrados, que veremos mais tarde nesta seção.

Uma nota geral: a propriedade do produto zero e as equações quadráticas

O propriedade de produto zero estados

Onde uma e b são números reais ou expressões algébricas.

UMA Equação quadrática é uma equação contendo um polinômio de segundo grau, por exemplo

Onde uma, b, e c são números reais e [latex] a ne 0 [/ latex]. Está no formato padrão.

Resolvendo quadráticas com um coeficiente de liderança de 1

Na equação quadrática [látex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex], o coeficiente líder ou o coeficiente de [latex]^ <2> [/ latex], é 1. Temos um método de fatorar equações quadráticas nesta forma.

Como: Dada uma equação quadrática com o coeficiente líder de 1, fatorar

  1. Encontre dois números cujo produto seja igual c e cuja soma é igual a b.
  2. Use esses números para escrever dois fatores da forma [latex] left (x + k right) text left (x-k right) [/ latex], onde k é um dos números encontrados na etapa 1. Use os números exatamente como estão. Em outras palavras, se os dois números são 1 e [latex] -2 [/ latex], os fatores são [latex] left (x + 1 right) left (x - 2 right) [/ latex].
  3. Resolva usando a propriedade de produto zero, definindo cada fator igual a zero e resolvendo para a variável.

Exemplo: fatorar e resolver um quadrático com coeficiente inicial de 1

Fatore e resolva a equação: [látex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex].

Para fatorar [látex]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex], procuramos dois números cujo produto é igual a [latex] -6 [/ latex] e cuja soma é igual a 1. Comece examinando os possíveis fatores de [latex] - 6 [/ latex].

O último par, [latex] 3 cdot left (-2 right) [/ latex] soma 1, então esses são os números. Observe que apenas um par de números funcionará. Em seguida, escreva os fatores.

Para resolver essa equação, usamos a propriedade de produto zero. Defina cada fator igual a zero e resolva.

As duas soluções são [latex] x = 2 [/ latex] e [latex] x = -3 [/ latex]. Podemos ver como as soluções se relacionam com o gráfico abaixo. As soluções são as x-interceptações do gráfico de [látex]^ <2> + x - 6 [/ latex].

Tente

Fatore e resolva a equação quadrática: [latex]^ <2> -5x - 6 = 0 [/ latex].


Etapa 3 :

Parábola, encontrando o vértice:

3.1 Encontre o vértice de t = -y 2 -y + 9

As parábolas têm um ponto mais alto ou mais baixo denominado Vértice. Nossa parábola abre para baixo e, portanto, tem um ponto mais alto (também conhecido como máximo absoluto). Sabemos disso antes mesmo de traçar "t" porque o coeficiente do primeiro termo, -1, é negativo (menor que zero).

Cada parábola possui uma linha vertical de simetria que passa por seu vértice. Por causa dessa simetria, a linha de simetria passaria, por exemplo, pelo ponto médio dos dois interceptos x (raízes ou soluções) da parábola. Isto é, se a parábola tiver de fato duas soluções reais.

As parábolas podem modelar muitas situações da vida real, como a altura acima do solo, de um objeto jogado para cima, após algum tempo. O vértice da parábola pode nos fornecer informações, como a altura máxima que o objeto, lançado para cima, pode atingir. Por esta razão, queremos ser capazes de encontrar as coordenadas do vértice.

Para qualquer parábola, Ay 2 + By + C, a coordenada y do vértice é dada por -B / (2A). Em nosso caso, a coordenada y é -0,5000

Conectando-se à fórmula da parábola -0,5000 para y, podemos calcular a coordenada t:
t = -1,0 * -0,50 * -0,50 - 1,0 * -0,50 + 9,0
ou t = 9,250

Parábola, vértice gráfico e interceptações X:

Gráfico raiz para: t = -y 2 -y + 9
Eixo de simetria (tracejado) = <-0.50>
Vértice em = <-0.50, 9.25>
y - Interceptações (raízes):
Root 1 em = < 2.54, 0.00>
Root 2 em =

Resolva a equação quadrática completando o quadrado

3.2 Resolvendo -y 2 -y + 9 = 0 Completando o Quadrado.

Multiplique ambos os lados da equação por (-1) para obter coeficiente positivo para o primeiro termo:
y 2 + y-9 = 0 Adicione 9 a ambos os lados da equação:
y 2 + y = 9

Agora a parte mais inteligente: pegue o coeficiente de y, que é 1, divida por dois, dando 1/2 e, finalmente, eleve ao quadrado, resultando em 1/4

Adicione 1/4 a ambos os lados da equação:
No lado direito, temos:
9 + 1/4 ou, (9/1) + (1/4)
O denominador comum das duas frações é 4 Somando (36/4) + (1/4) dá 37/4
Então, adicionando os dois lados, finalmente obtemos:
y 2 + y + (1/4) = 37/4

Adicionar 1/4 completou o lado esquerdo em um quadrado perfeito:
y 2 + y + (1/4) =
(y + (1/2)) • (y + (1/2)) =
(y + (1/2)) 2
Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais umas às outras. Desde
y 2 + y + (1/4) = 37/4 e
y 2 + y + (1/4) = (y + (1/2)) 2
então, de acordo com a lei da transitividade,
(y + (1/2)) 2 = 37/4

Vamos nos referir a esta equação como Eq. # 3.2.1

O princípio da raiz quadrada diz que quando duas coisas são iguais, suas raízes quadradas são iguais.

Observe que a raiz quadrada de
(y + (1/2)) 2 é
(y + (1/2)) 2/2 =
(y + (1/2)) 1 =
y + (1/2)

Agora, aplicando o princípio da raiz quadrada à Eq. # 3.2.1 obtemos:
y + (1/2) = √ 37/4

Subtraia 1/2 de ambos os lados para obter:
y = -1/2 + √ 37/4

Uma vez que uma raiz quadrada tem dois valores, um positivo e outro negativo
y 2 + y - 9 = 0
tem duas soluções:
y = -1/2 + √ 37/4
ou
y = -1/2 - √ 37/4

Observe que √ 37/4 pode ser escrito como
√ 37 / √ 4 que é √ 37/2

Resolva a equação quadrática usando a fórmula quadrática

3.3 Resolvendo -y 2 -y + 9 = 0 pela Fórmula Quadrática.

De acordo com a Fórmula Quadrática, y, a solução para Ay 2 + By + C = 0, onde A, B e C são números, frequentemente chamados de coeficientes, é dada por:

- B ± √ B 2 -4AC
y = ————————
2A

No nosso caso, A = -1
B = -1
C = 9

Assim, B 2 - 4AC =
1 - (-36) =
37

Aplicando a fórmula quadrática:

√ 37, arredondado para 4 dígitos decimais, é 6,0828
Então, agora estamos olhando para:
y = (1 ± 6,083) / -2


Unidade 9: Funções Quadráticas

Lição de casa: 9.12 Revisão Quadrática & # 8211 Você DEVE completar os problemas pares, mas se você completar todo o pacote, você receberá crédito extra no teste.

Teste de unidade quadrática próxima aula

Para preparar o teste, você deve:

Lição de casa: 9.12 Revisão Quadrática & # 8211 Você DEVE completar os problemas pares, mas se você completar todo o pacote, você receberá crédito extra no teste.

Teste de unidade quadrática próxima aula

Para preparar o teste, você deve:

Lição de casa: 9.12 Revisão Quadrática & # 8211 Você DEVE completar os problemas pares, mas se você completar todo o pacote, você receberá crédito extra no teste.

Teste de unidade quadrática próxima aula

Para preparar o teste, você deve:

Quinta-feira, 24 de março de 2016

Quarta-feira, 23 de março de 2016

Terça-feira, 22 de março de 2016

Segunda-feira, 21 de março de 2016

Sexta-feira, 18 de março de 2016

Quinta-feira, 17 de março de 2016

Quarta-feira, 16 de março de 2016

Terça-feira, 15 de março de 2016

Álgebra A, B e amp C

-Se você estiver tendo problemas com esta calculadora, envie um e-mail para o Sr. Parmar


Assista o vídeo: Função Quadrática - Matemática Ano (Dezembro 2021).