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13.4: Modelos Matemáticos e Geometria


Estamos cercados por todos os tipos de geometria. Os arquitetos usam a geometria para projetar edifícios. Os artistas criam imagens vívidas a partir de formas geométricas coloridas. Placas de rua, automóveis e embalagens de produtos tiram proveito das propriedades geométricas. Neste capítulo, começaremos considerando uma abordagem formal para resolver problemas e usá-la para resolver uma variedade de problemas comuns, incluindo a tomada de decisões sobre dinheiro. Em seguida, exploraremos a geometria e a relacionaremos com as situações cotidianas, usando a estratégia de resolução de problemas que desenvolvemos.

  • 13.4.1: Resolver aplicações de dinheiro
    Resolver problemas com palavras-moeda é muito parecido com resolver qualquer outro problema com palavras. No entanto, o que os torna únicos é que você precisa encontrar o valor total das moedas em vez de apenas o número total de moedas. Para moedas do mesmo tipo, o valor total pode ser encontrado multiplicando o número de moedas pelo valor de uma moeda individual. Você pode achar útil colocar todos os números em uma tabela para garantir que eles verifiquem.
  • 13.4.2: Use propriedades de ângulos, triângulos e o teorema de Pitágoras (Parte 1)
    Um ângulo é formado por dois raios que compartilham um ponto final comum. Cada raio é chamado de lado do ângulo e o ponto final comum é chamado de vértice. Se a soma das medidas de dois ângulos for 180 °, eles são ângulos suplementares. Mas se sua soma for 90 °, então eles são ângulos complementares. Vamos adaptar nossa estratégia de solução de problemas para aplicações de geometria. Como essas aplicações envolverão formas geométricas, será útil desenhar uma figura e etiquetá-la com as informações do problema.
  • 13.4.3: Use propriedades de ângulos, triângulos e o teorema de Pitágoras (Parte 2)
    Os triângulos são nomeados por seus vértices. Para qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos é 180 °. Alguns triângulos têm nomes especiais, como triângulo retângulo, que possui um ângulo de 90 °. O teorema de Pitágoras mostra como os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo se relacionam entre si. Afirma que, em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados das duas pernas é igual ao quadrado da hipotenusa. Para resolver problemas que usam o Teorema de Pitágoras, precisaremos encontrar raízes quadradas.
  • 13.4.4: Propriedades de uso de retângulos, triângulos e trapézios (Parte 1)
    Muitas aplicações de geometria envolverão encontrar o perímetro ou a área de uma figura. O perímetro é uma medida da distância em torno de uma figura. A área é uma medida da superfície coberta por uma figura. O volume é uma medida da quantidade de espaço ocupado por uma figura. Um retângulo tem quatro lados e quatro ângulos retos. Os lados opostos de um retângulo têm o mesmo comprimento. Nos referimos a um lado do retângulo como comprimento, L, e o lado adjacente como largura, W.
  • 13.4.5: Propriedades de uso de retângulos, triângulos e trapézios (Parte 2)
    Os triângulos congruentes têm ângulos e comprimentos laterais idênticos e, portanto, suas áreas são iguais. A área de um triângulo é metade da base vezes a altura. Um triângulo isósceles é um triângulo com dois lados de igual comprimento, enquanto um triângulo que possui três lados de igual comprimento é um triângulo equilátero. Um trapézio é uma figura de quatro lados com dois lados que são paralelos, as bases, e dois lados que não são. A área de um trapézio é metade da altura vezes a soma das bases.

Figura 9.1 - Observe as muitas formas individuais neste edifício. (crédito: Bert Kaufmann, Flickr)


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13.4: Modelos Matemáticos e Geometria

A maioria dos robôs móveis internos não se move como um carro. Por exemplo, considere a plataforma de robótica móvel mostrada na Figura 13.2a. Este é um exemplo da forma mais popular de conduzir robôs móveis internos. Existem duas rodas principais, cada uma delas acoplada ao seu próprio motor. Uma terceira roda (não visível na Figura 13.2a) é colocada na parte traseira para rolar passivamente enquanto evita que o robô caia.

Figura 13.2: (a) O Pioneer 3-DX8 (cortesia da ActivMedia Robotics: MobileRobots.com) e muitos outros robôs móveis usam uma unidade diferencial. Além das duas rodas motrizes, uma roda giratória (como na parte inferior de uma cadeira de escritório) é colocada no centro traseiro para evitar que o robô tombe. (b) Os parâmetros de um robô genérico de acionamento diferencial.
Figura 13.3: (a) A translação pura ocorre quando ambas as rodas se movem na mesma velocidade angular (b) a rotação pura ocorre quando as rodas se movem em velocidades opostas.

Para construir um modelo simples das restrições que surgem do acionamento diferencial, apenas a distância entre as duas rodas e o raio da roda, são necessários. Veja a Figura 13.2b. O vetor de ação especifica diretamente as duas velocidades angulares da roda (por exemplo, em radianos por segundo). Considere como o robô se move à medida que diferentes ações são aplicadas. Veja a Figura 13.3. Se 0 $ ->, então o robô se move para frente na direção para a qual as rodas estão apontando. A velocidade é proporcional a. Em geral, se, então a distância percorrida ao longo de um período de tempo é (porque é o deslocamento angular total das rodas). Se, então o robô gira no sentido horário porque as rodas estão girando em direções opostas. Isso motiva a colocação da origem do chassi no centro do eixo entre as rodas. Por esta atribuição, nenhuma translação ocorre se as rodas girarem na mesma taxa, mas em direções opostas.

Com base nessas observações, a equação de transição de configuração é

A parte translacional contém e peças, assim como o carro simples, porque a transmissão do diferencial se move na direção para a qual suas rodas de tração estão apontando. A velocidade de translação depende da média das velocidades angulares da roda. Para ver isso, considere o caso em que uma roda é fixa e a outra gira. Isso inicialmente faz com que o robô se traduza na velocidade em comparação com a rotação de ambas as rodas. A velocidade de rotação é proporcional à mudança nas velocidades angulares da roda. A taxa de rotação do robô cresce linearmente com o raio da roda, mas reduz linearmente em relação à distância entre as rodas.

Às vezes, é preferível transformar o espaço de ação. Deixe e. Neste caso, pode ser interpretado como uma variável de ação que significa `` traduzir '' e significa `` girar. '' Usando essas ações, a equação de transição de configuração torna-se

Nesta forma, a equação de transição de configuração é semelhante a (13.15) para o carro simples (tente definir e). Um acionamento diferencial pode simular facilmente os movimentos de um carro simples. Para o acionamento diferencial, a taxa de rotação pode ser definida independentemente da velocidade de translação. O carro simples, porém, tem a velocidade que aparece na expressão. Portanto, a taxa de rotação depende da velocidade de translação.

Figura 13.4: O caminho mais curto percorrido pelo centro do eixo é simplesmente o segmento de linha que conecta as posições inicial e final no plano. As rotações parecem ser gratuitas.

Lembre-se da pergunta feita sobre os caminhos mais curtos para os carros Reeds-Shepp e Dubins. A mesma questão para o acionamento diferencial acaba sendo desinteressante porque o acionamento diferencial pode fazer com que o centro de seu eixo siga qualquer caminho contínuo para dentro. Conforme representado na Figura 13.4, ele pode mover-se entre quaisquer duas configurações: 1) primeiro girando para apontar as rodas para a posição do objetivo, o que não causa translação 2) transladando-se para a posição do objetivo e 3) girando para a orientação desejada , o que novamente não causa tradução. A distância total percorrida pelo centro do eixo é sempre a distância euclidiana entre as duas posições desejadas.

Isso pode parecer um efeito estranho devido ao posicionamento da origem das coordenadas. As rotações parecem não ter custo. Isso pode ser corrigido otimizando a quantidade total de rotação da roda ou o tempo necessário, se a velocidade for mantida fixa [64]. Suponha que . Determinar o tempo mínimo necessário para viajar entre duas configurações é bastante interessante e é abordado na Seção 15.3. Isso leva em consideração o custo de rotação do robô, mesmo que não ocorra uma tradução.


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Converta cada fração com um múltiplo de 10 como seu denominador em um número decimal, colocando a vírgula decimal no lugar certo.

Aplique a fatoração primária e determine as raízes quadradas dos primeiros cinquenta quadrados perfeitos oferecidos como inteiros positivos.

Use a fórmula, m = (y2 - y1) / (x1 - x1) para encontrar a inclinação (m) de uma linha que passa por dois pontos: (x1, y1) e (x2, y2).

Siga a ordem das operações, reorganize para tornar a variável desconhecida o assunto e resolva para seu valor inteiro.

Observe cada conjunto de pares ordenados fornecidos na Parte A, descubra os pares ordenados dos gráficos da Parte B e indique se eles representam uma função.

Deslize cada figura na direção indicada: para cima ou para baixo, para a esquerda ou para a direita. Escreva as coordenadas da imagem deslocada.

Complete a declaração de congruência para cada par de triângulos escrevendo o lado ou ângulo correspondente.

Encontre a medida do ângulo interno indicado subtraindo a soma dos ângulos conhecidos de 180.

Observe se os ângulos internos estão do mesmo lado ou em lados opostos da transversal e encontre o ângulo desconhecido.

Quadrado os lados adjacentes e opostos do triângulo obtêm a raiz de sua soma se você chegar à hipotenusa, então é um triângulo retângulo.

Conecte o raio (r) e a altura (h) dados na fórmula V = 1/3 & # x3c0r 2 he encontre o volume do cone.

Leia cada problema de palavra com um cenário da vida real e encontre a média, a mediana, o modo e o intervalo de cada conjunto de dados.

Mude cada fração para porcentagem multiplicando o numerador por 100, dividindo o produto pelo denominador e adicionando o símbolo%.

O quadrado de uma raiz quadrada é o radicand. Então, simplesmente multiplique o radicand pelo quadrado do número fora da raiz.

Isole os termos xey em um lado e a constante no outro lado da equação e reescreva-a na forma: ax + by = c.


Conteúdo

Grécia Antiga Editar

O matemático grego Menaechmus resolveu problemas e provou teoremas usando um método que tinha uma forte semelhança com o uso de coordenadas e algumas vezes foi sustentado que ele havia introduzido a geometria analítica. [1]

Apolônio de Perga, em Na Seção Determinada, lidou com problemas de uma maneira que pode ser chamada de geometria analítica de uma dimensão com a questão de encontrar pontos em uma linha que estavam em proporção com as outras. [2] Apolônio na Cônicas além disso, desenvolveu um método que é tão semelhante à geometria analítica que às vezes se pensa que seu trabalho antecipou o trabalho de Descartes em cerca de 1.800 anos. Sua aplicação de linhas de referência, um diâmetro e uma tangente não é essencialmente diferente do nosso uso moderno de um quadro de coordenadas, onde as distâncias medidas ao longo do diâmetro do ponto de tangência são as abscissas e os segmentos paralelos à tangente e interceptados entre o eixo e a curva são as ordenadas. Ele desenvolveu ainda mais relações entre as abscissas e as ordenadas correspondentes que são equivalentes a equações retóricas de curvas. No entanto, embora Apolônio tenha chegado perto de desenvolver a geometria analítica, ele não conseguiu fazê-lo, pois não levou em consideração as magnitudes negativas e em todos os casos o sistema de coordenadas foi sobreposto a uma dada curva. a posteriori ao invés de a priori. Ou seja, as equações foram determinadas por curvas, mas as curvas não foram determinadas por equações. Coordenadas, variáveis ​​e equações eram noções subsidiárias aplicadas a uma situação geométrica específica. [3]

Persia Edit

O matemático persa do século 11 Omar Khayyam viu uma forte relação entre geometria e álgebra e estava se movendo na direção certa quando ajudou a fechar a lacuna entre álgebra numérica e geométrica [4] com sua solução geométrica das equações cúbicas gerais, [5] mas o passo decisivo veio depois com Descartes. [4] Omar Khayyam é creditado por identificar os fundamentos da geometria algébrica, e seu livro Tratado sobre Demonstrações de Problemas de Álgebra (1070), que estabeleceu os princípios da geometria analítica, faz parte do corpo da matemática persa que acabou sendo transmitido para a Europa. [6] Por causa de sua abordagem geométrica completa para equações algébricas, Khayyam pode ser considerado um precursor de Descartes na invenção da geometria analítica. [7]: 248

Europa Ocidental Editar

A geometria analítica foi inventada independentemente por René Descartes e Pierre de Fermat, [8] [9] embora Descartes às vezes receba o único crédito. [10] [11] Geometria cartesiana, o termo alternativo usado para geometria analítica, é nomeado após Descartes.

Descartes fez um progresso significativo com os métodos em um ensaio intitulado La Geometrie (geometria), um dos três ensaios que o acompanham (apêndices) publicado em 1637 junto com seu Discurso sobre o método para direcionar corretamente a razão de alguém e buscar a verdade nas ciências, comumente referido como Discurso sobre o método. La Geometrie, escrito em sua língua nativa, o francês, e seus princípios filosóficos, forneceram uma base para o cálculo na Europa. Inicialmente, o trabalho não foi bem recebido, em parte devido às muitas lacunas nos argumentos e equações complicadas. Somente após a tradução para o latim e a adição de comentários por van Schooten em 1649 (e outros trabalhos posteriores) a obra-prima de Descartes recebeu o devido reconhecimento. [12]

Pierre de Fermat também foi pioneiro no desenvolvimento da geometria analítica. Embora não tenha sido publicado em sua vida, uma forma manuscrita de Ad locos planos et solidos isagoge (Introdução ao plano e loci sólidos) estava circulando em Paris em 1637, pouco antes da publicação de Descartes ' Discurso. [13] [14] [15] Claramente escrito e bem recebido, o Introdução também lançou as bases para a geometria analítica. A principal diferença entre os tratamentos de Fermat e Descartes é uma questão de ponto de vista: Fermat sempre começou com uma equação algébrica e então descreveu a curva geométrica que a satisfazia, enquanto Descartes começou com curvas geométricas e produziu suas equações como uma das várias propriedades das curvas . [12] Como consequência desta abordagem, Descartes teve que lidar com equações mais complicadas e desenvolver métodos para trabalhar com equações polinomiais de alto grau. Foi Leonhard Euler quem primeiro aplicou o método das coordenadas em um estudo sistemático de curvas e superfícies espaciais.

Na geometria analítica, o plano recebe um sistema de coordenadas, pelo qual cada ponto tem um par de coordenadas de números reais. Da mesma forma, o espaço euclidiano recebe coordenadas onde cada ponto tem três coordenadas. O valor das coordenadas depende da escolha do ponto inicial de origem. Há uma variedade de sistemas de coordenadas usados, mas os mais comuns são os seguintes: [16]

Coordenadas cartesianas (em um plano ou espaço) Editar

O sistema de coordenadas mais comum para usar é o sistema de coordenadas cartesianas, onde cada ponto tem um x-coordenar representando sua posição horizontal, e um y-coordenar representando sua posição vertical. Eles são normalmente escritos como um par ordenado (x, y) Este sistema também pode ser usado para geometria tridimensional, onde cada ponto no espaço euclidiano é representado por um triplo ordenado de coordenadas (x, y, z).

Coordenadas polares (em um plano) Editar

Em coordenadas polares, cada ponto do plano é representado por sua distância r da origem e seu ângulo θ, com θ normalmente medido no sentido anti-horário a partir do positivo x-eixo. Usando esta notação, os pontos são normalmente escritos como um par ordenado (r, θ) Pode-se transformar para frente e para trás entre as coordenadas cartesianas e polares bidimensionais usando estas fórmulas: x = r cos ⁡ θ, y = r sin ⁡ θ r = x 2 + y 2, θ = arctan ⁡ (y / x) < displaystyle x = r , cos theta, , y = r , sin theta , r = < sqrt + y ^ <2> >>, , theta = arctan (y / x)>. Este sistema pode ser generalizado para o espaço tridimensional através do uso de coordenadas cilíndricas ou esféricas.

Coordenadas cilíndricas (em um espaço) Editar

Em coordenadas cilíndricas, cada ponto do espaço é representado por sua altura z, seu raio r de z-eixo e o ângulo θ sua projeção no xy- o plano faz em relação ao eixo horizontal.

Coordenadas esféricas (em um espaço) Editar

Em coordenadas esféricas, cada ponto no espaço é representado por sua distância ρ da origem, o ângulo θ sua projeção no xy- o plano faz em relação ao eixo horizontal e o ângulo φ que faz com respeito ao z-eixo. Os nomes dos ângulos costumam ser invertidos na física. [16]

Na geometria analítica, qualquer equação envolvendo as coordenadas especifica um subconjunto do plano, ou seja, o conjunto de soluções para a equação, ou lugar geométrico. Por exemplo, a equação y = x corresponde ao conjunto de todos os pontos no plano cujo x-coordenar e y-coordenadas são iguais. Esses pontos formam uma linha, e y = x é considerada a equação para esta linha. Em geral, as equações lineares envolvendo x e y especificam linhas, equações quadráticas especificam seções cônicas e equações mais complicadas descrevem figuras mais complicadas. [17]

Normalmente, uma única equação corresponde a uma curva no plano. Nem sempre é o caso: a equação trivial x = x especifica todo o plano, e a equação x 2 + y 2 = 0 especifica apenas o único ponto (0, 0). Em três dimensões, uma única equação geralmente fornece uma superfície, e uma curva deve ser especificada como a interseção de duas superfícies (veja abaixo) ou como um sistema de equações paramétricas. [18] A equação x 2 + y 2 = r 2 é a equação para qualquer círculo centrado na origem (0, 0) com um raio de r.

Editar linhas e planos

Linhas em um plano cartesiano, ou mais geralmente, em coordenadas afins, podem ser descritas algebricamente por linear equações. Em duas dimensões, a equação para linhas não verticais é freqüentemente dada no forma de declive-interceptação:

m é a inclinação ou gradiente da linha. b é a interceptação y da linha. x é a variável independente da função y = f(x).

De maneira análoga à forma como as linhas em um espaço bidimensional são descritas usando uma forma de inclinação de ponto para suas equações, os planos em um espaço tridimensional têm uma descrição natural usando um ponto no plano e um vetor ortogonal a ele (o vetor normal) para indicar sua "inclinação".

(O ponto aqui significa um produto escalar, não multiplicação escalar.) Expandido, torna-se

qual é o normal forma da equação de um plano. [19] Esta é apenas uma equação linear:

Por outro lado, é facilmente mostrado que se uma, b, c e d são constantes e uma, b, e c não são todos zero, então o gráfico da equação

é um plano com o vetor n = (a, b, c) < displaystyle mathbf = (a, b, c)> como normal. [20] Esta equação familiar para um plano é chamada de Forma geral da equação do plano. [21]

Em três dimensões, as linhas podem não ser descritos por uma única equação linear, portanto, são frequentemente descritos por equações paramétricas:

x, y, e z são todas funções da variável independente t que varia sobre os números reais. (x0, y0, z0) é qualquer ponto da linha. uma, b, e c estão relacionados à inclinação da linha, de modo que o vetor (uma, b, c) é paralelo à linha.

Seções cônicas Editar

No sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico de uma equação quadrática em duas variáveis ​​é sempre uma seção cônica - embora possa ser degenerado, e todas as seções cônicas surgem desta forma. A equação terá a forma

Como escalar todas as seis constantes produz o mesmo locus de zeros, pode-se considerar as cônicas como pontos no espaço projetivo de cinco dimensões P 5. < displaystyle mathbf

^<5>.>

As seções cônicas descritas por esta equação podem ser classificadas usando o discriminante [22]

Se a cônica for não degenerada, então:

  • se B 2 - 4 A C & lt 0 < displaystyle B ^ <2> -4AC & lt0>, a equação representa uma elipse
    • se A = C < displaystyle A = C> e B = 0 < displaystyle B = 0>, a equação representa um círculo, que é um caso especial de uma elipse
    • se também tivermos A + C = 0 < displaystyle A + C = 0>, a equação representa uma hipérbole retangular.

    Superfícies quádricas Editar

    UMA quádrica, ou superfície quádrica, é um 2superfície tridimensional no espaço tridimensional definido como o locus dos zeros de um polinômio quadrático. Em coordenadas x1, x2,x3 , a quádrica geral é definida pela equação algébrica [23]

    Na geometria analítica, as noções geométricas, como distância e medida do ângulo, são definidas por meio de fórmulas. Essas definições são projetadas para serem consistentes com a geometria euclidiana subjacente. Por exemplo, usando coordenadas cartesianas no plano, a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é definido pela fórmula

    que pode ser visto como uma versão do teorema de Pitágoras. Da mesma forma, o ângulo que uma linha faz com a horizontal pode ser definido pela fórmula

    Onde m é a inclinação da linha.

    Em três dimensões, a distância é dada pela generalização do teorema de Pitágoras:

    enquanto o ângulo entre dois vetores é dado pelo produto escalar. O produto escalar de dois vetores euclidianos UMA e B é definido por [24]

    onde θ é o ângulo entre UMA e B.

    As transformações são aplicadas a uma função pai para transformá-la em uma nova função com características semelhantes.

    Existem outras transformações padrão que normalmente não são estudadas na geometria analítica elementar porque as transformações mudam a forma dos objetos de maneiras geralmente não consideradas. O enviesamento é um exemplo de uma transformação que geralmente não é considerada. Para obter mais informações, consulte o artigo da Wikipedia sobre transformações afins.

    As transformações podem ser aplicadas a qualquer equação geométrica, independentemente de a equação representar uma função ou não. As transformações podem ser consideradas como transações individuais ou em combinações.

    é a relação que descreve o círculo unitário.

    Os métodos tradicionais para encontrar interseções incluem substituição e eliminação.

    Portanto, nossa interseção tem dois pontos:

    Portanto, nossa interseção tem dois pontos:

    Para seções cônicas, até 4 pontos podem estar na interseção.

    Encontrar interceptações Editar

    Um tipo de interseção amplamente estudado é a interseção de um objeto geométrico com os eixos de coordenadas x < displaystyle x> ey < displaystyle y>.

    Editar linhas tangentes e planos

    Na geometria, o linha tangente (ou simplesmente tangente) a uma curva plana em um determinado ponto é a linha reta que "apenas toca" a curva naquele ponto. Informalmente, é uma linha que passa por um par de pontos infinitamente próximos na curva. Mais precisamente, uma linha reta é considerada a tangente de uma curva y = f(x) em um ponto x = c na curva se a linha passa pelo ponto (c, f(c)) na curva e tem inclinação f ' (c) Onde f 'é a derivada de f. Uma definição semelhante se aplica a curvas de espaço e curvas em nespaço euclidiano dimensional.

    À medida que passa pelo ponto onde a linha tangente e a curva se encontram, chamado de ponto de tangência, a linha tangente está "indo na mesma direção" da curva e, portanto, é a melhor aproximação em linha reta da curva naquele ponto.

    Da mesma forma, o plano tangente a uma superfície em um determinado ponto é o plano que "apenas toca" a superfície naquele ponto. O conceito de tangente é uma das noções mais fundamentais na geometria diferencial e foi amplamente generalizado, consulte Espaço tangente.

    Linha normal e edição vetorial

    Na geometria, um normal é um objeto como uma linha ou vetor perpendicular a um determinado objeto. Por exemplo, no caso bidimensional, o linha normal a uma curva em um determinado ponto é a linha perpendicular à linha tangente à curva no ponto.

    No caso tridimensional, um superfície normal, ou simplesmente normal, para uma superfície em um ponto P é um vetor que é perpendicular ao plano tangente a essa superfície em P. A palavra "normal" também é usada como adjetivo: uma linha normal a um plano, o componente normal de uma força, o vetor normal, etc. O conceito de normalidade generaliza para ortogonalidade.


    O que é o Teorema de Tales?

    O teorema de Tales afirma que:

    Se três pontos A, B e C estão na circunferência de um círculo, em que a linha AC é o diâmetro do círculo, então o ângulo abc é um ângulo reto (90 °).

    Alternativamente, podemos afirmar o teorema de Tales como:

    O diâmetro de um círculo sempre subtende um ângulo reto a qualquer ponto do círculo.

    Você notou que o O teorema de Tales é um caso especial do teorema do ângulo inscrito (o ângulo central = duas vezes o ângulo inscrito).

    Teorema de Tales é atribuído a Thales, um matemático grego e filósofo que estava baseado em Mileto. Thales iniciou e formulou o Estudo Teórico da Geometria para tornar a astronomia uma ciência mais exata.

    Existem várias maneiras de provar o Teorema de Thales. Podemos usar técnicas de geometria e álgebra para provar este teorema. Como este é um tópico de geometria, portanto, vamos ver o método mais básico abaixo.


    Departamento de Educação de Nova Jersey

    Movendo-se em direção a argumentos matemáticos formais, os padrões apresentados neste curso de geometria do ensino médio têm como objetivo formalizar e estender as experiências geométricas do ensino médio. As transformações são apresentadas no início do ano para auxiliar na construção de entendimentos conceituais dos conceitos geométricos.

    Na unidade 1, as condições de congruência do triângulo são estabelecidas usando a análise de movimento rígido e construções formais. Vários formatos serão usados ​​para provar teoremas sobre ângulos, retas, triângulos e outros polígonos. O trabalho na unidade 2 irá construir sobre a compreensão dos alunos de dilatações e raciocínio proporcional para desenvolver uma compreensão formal de semelhança.

    The standards included in unit 3 extend the notion of similarity to right triangles and the understanding of right triangle trigonometry. In developing the Laws of Sines and Cosines, the students are expected to find missing measures of triangles in general, not just right triangles.

    Work in unit 4 will focus on circles and using the rectangular coordinate system to verify geometric properties and to solve geometric problems. Concepts of similarity will be used to establish the relationship among segments on chords, secants and tangents as well as to prove basic theorems about circles.

    The standards in unit 5 will extend previous understandings of two- dimensional objects in order to explain, visualize, and apply geometric concepts to three-dimensional objects. Informal explanations of circumference, area and volume formulas will be analyzed.

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