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5.17: Propriedades de Identidade, Inversos e Zero


Habilidades para desenvolver

  • Reconhecer as propriedades de identidade de adição e multiplicação
  • Use as propriedades inversas de adição e multiplicação
  • Use as propriedades de zero
  • Simplifique as expressões usando as propriedades de identidades, inversas e zero

esteja preparado!

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Encontre o oposto de −4. Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 3.1.3.
  2. Encontre o recíproco de ( dfrac {5} {2} ). Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 4.4.11.
  3. Multiplique: ( dfrac {3a} {5} cdot dfrac {9} {2a} ). Se você não percebeu este problema, revise o Exemplo 4.3.9.

Reconhecer as propriedades de identidade de adição e multiplicação

O que acontece quando adicionamos zero a qualquer número? Adicionar zero não altera o valor. Por esse motivo, chamamos 0 de Identidade aditiva. Por exemplo,

[ begin {split} 13 + 0 qquad -14 & + 0 qquad 0 + (-3x) 13 qquad qquad - & 14 qquad ; -3x end {split} ]

Definição: Propriedades de Identidade

A propriedade de identidade de adição: para qualquer número real a,

[a + 0 = a qquad 0 + a = a ]

0 é chamado de identidade aditiva

A propriedade de identidade da multiplicação: para qualquer número real a

[a cdot 1 = a qquad 1 cdot a = a ]

1 é chamado de identidade multiplicativa

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Identifique se cada equação demonstra a propriedade de identidade de adição ou multiplicação. (a) 7 + 0 = 7 (b) −16 (1) = −16

Solução

(a) 7 + 0 = 7

Estamos adicionando 0.Estamos usando a propriedade de identidade de adição.

(b) −16 (1) = −16

Estamos multiplicando por 1.Estamos usando a propriedade de multiplicação de identidade.

Exercício ( PageIndex {1} ):

Identifique se cada equação demonstra a propriedade de identidade de adição ou multiplicação: (a) 23 + 0 = 23 (b) −37 (1) = −37.

Responder a

propriedade de identidade de adição

Resposta b

propriedade de identidade de multiplicação

Exercício ( PageIndex {2} ):

Identifique se cada equação demonstra a propriedade de identidade de adição ou multiplicação: (a) 1 • 29 = 29 (b) 14 + 0 = 14.

Responder a

propriedade de identidade de multiplicação

Resposta b

Identidade aditiva

Use as propriedades inversas de adição e multiplicação

Qual número adicionado a 5 dá a identidade aditiva, 0?

5 + _____ = 0Sabemos (5 + ( textcolor {red} {- 5}) = 0 )

Qual número adicionado a -6 dá a identidade aditiva, 0?

-6 + _____ = 0Sabemos (- 6 + ( textcolor {red} {6}) = 0 )

Observe que, em cada caso, o número ausente era o oposto do número. Nós chamamos de −a o inverso aditivo de um. Um número e seu oposto somam 0, que é a identidade aditiva.

Qual número multiplicado por ( dfrac {2} {3} ) dá a identidade multiplicativa, 1? Em outras palavras, dois terços vezes o que resulta em 1?

( dfrac {2} {3} cdot ) _____ = 1Sabemos ( dfrac {2} {3} cdot textcolor {red} { dfrac {3} {2}} = 1 )

Qual número multiplicado por 2 dá a identidade multiplicativa, 1? Em outras palavras, duas vezes o que resulta em 1?

2 • _____ = 1Sabemos (2 cdot textcolor {red} { dfrac {1} {2}} = 1 )

Observe que, em cada caso, o número ausente foi o recíproco do número.

Chamamos ( dfrac {1} {a} ) o multiplicativo inverso de a (a ≠ 0). O recíproco de um número é seu inverso multiplicativo. Um número e sua recíproca se multiplicam em 1, que é a identidade multiplicativa.

Declararemos formalmente as Propriedades Inversas aqui:

Definição: Propriedades Inversas

Propriedade Inversa de Adição para qualquer número real a,

[a + (−a) = 0 ]

−a é o inverso aditivo de a.

Propriedade Inversa de Multiplicação para qualquer número real a ≠ 0,

[a cdot dfrac {1} {a} = 1 ]

( dfrac {1} {a} ) é o inverso multiplicativo de a.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Encontre o inverso aditivo de cada expressão: (a) 13 (b) (- dfrac {5} {8} ) (c) 0,6.

Solução

Para encontrar o inverso aditivo, encontramos o oposto.

  1. O inverso aditivo de 13 é seu oposto, −13.
  2. O inverso aditivo de (- dfrac {5} {8} ) é seu oposto, ( dfrac {5} {8} ).
  3. O inverso aditivo de 0,6 é seu oposto, -0,6.

Exercício ( PageIndex {3} ):

Encontre o inverso aditivo de cada expressão: (a) 18 (b) ( dfrac {7} {9} ) (c) 1.2.

Responder a

(-18)

Resposta b

(- frac {7} {9} )

Resposta c

(-1.2)

Exercício ( PageIndex {4} ):

Encontre o inverso aditivo de cada expressão: (a) 47 (b) ( dfrac {7} {13} ) (c) 8.4.

Responder a

(-47)

Resposta b

(- frac {7} {13} )

Resposta c

(-8.4)

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Encontre o inverso multiplicativo: (a) 9 (b) (- dfrac {1} {9} ) (c) 0,9.

Solução

Para encontrar o inverso aditivo, encontramos o oposto.

  1. O inverso multiplicativo de 9 é seu recíproco, ( dfrac {1} {9} ).
  2. O inverso multiplicativo de (- dfrac {1} {9} ) é seu recíproco, -9.
  3. Para encontrar o inverso multiplicativo de 0,9, primeiro convertemos 0,9 em uma fração, ( dfrac {9} {10} ). Então encontramos o recíproco, ( dfrac {10} {9} ).

Exercício ( PageIndex {5} ):

Encontre o inverso multiplicativo: (a) 5 (b) (- dfrac {1} {7} ) (c) 0,3.

Responder a

( frac {1} {5} )

Resposta b

(-7)

Resposta c

( frac {10} {3} )

Exercício ( PageIndex {6} ):

Encontre o inverso multiplicativo: (a) 18 (b) (- dfrac {4} {5} ) (c) 0,6.

Responder a

( frac {1} {18} )

Resposta b

(- frac {5} {4} )

Resposta c

( frac {5} {3} )

Use as propriedades de zero

Já aprendemos que zero é a identidade aditiva, uma vez que pode ser adicionado a qualquer número sem alterar a identidade do número. Mas o zero também tem algumas propriedades especiais quando se trata de multiplicação e divisão.

Multiplicação por Zero

O que acontece quando você multiplica um número por 0? Multiplicar por 0 torna o produto igual a zero. O produto de qualquer número real e 0 é 0.

Definição: Multiplicação por Zero

Para qualquer número real a,

[a cdot 0 = 0 qquad 0 cdot a = 0 ]

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Simplifique: (a) −8 • 0 (b) ( dfrac {5} {12} cdot 0 ) (c) 0 (2,94).

Solução

(a) −8 • 0

O produto de qualquer número real e 0 é 0.0

(b) ( dfrac {5} {12} cdot 0 )

O produto de qualquer número real e 0 é 0.0

(c) 0 (2,94)

O produto de qualquer número real e 0 é 0.0

Exercício ( PageIndex {7} ):

Simplifique: (a) −14 • 0 (b) (0 cdot dfrac {2} {3} ) (c) (16,5) • 0.

Responder a

(0)

Resposta b

(0)

Resposta c

(0)

Exercício ( PageIndex {8} ):

Simplifique: (a) (1,95) • 0 (b) 0 (-17) (c) (0 cdot dfrac {5} {4} ).

Responder a

(0)

Resposta b

(0)

Resposta c

(0)

Dividindo com Zero

Que tal dividir com 0? Pense em um exemplo real: se não houver biscoitos na jarra de biscoitos e três pessoas quiserem compartilhá-los, quantos biscoitos cada pessoa receberá? Existem 0 cookies para compartilhar, então cada pessoa recebe 0 cookies.

[0 div 3 = 0 ]

Lembre-se de que sempre podemos verificar a divisão com o fato de multiplicação relacionado. Então, nós sabemos que

[0 div 3 = 0 ; Porque; 0 cdot 3 = 0 ldotp ]

Definição: Divisão de Zero

Para qualquer número real a, exceto 0, ( dfrac {0} {a} ) = 0 e 0 ÷ a = 0.

Zero dividido por qualquer número real, exceto zero é zero.

Exemplo ( PageIndex {5} ):

Simplifique: (a) 0 ÷ 5 (b) ( dfrac {0} {- 2} ) (c) 0 ÷ ( dfrac {7} {8} ).

Solução

(a) 0 ÷ 5

Zero dividido por qualquer número real, exceto 0, é zero.0

(b) ( dfrac {0} {- 2} )

Zero dividido por qualquer número real, exceto 0, é zero.0

(c) 0 ÷ ( dfrac {7} {8} )

Zero dividido por qualquer número real, exceto 0, é zero.0

Exercício ( PageIndex {9} ):

Simplifique: (a) 0 ÷ 11 (b) ( dfrac {0} {- 6} ) (c) 0 ÷ ( dfrac {3} {10} ).

Responder a

(0)

Resposta b

(0)

Resposta c

(0)

Exercício ( PageIndex {10} ):

Simplifique: (a) 0 ÷ ( dfrac {8} {3} ) (b) 0 ÷ (-10) (c) 0 ÷ 12,75.

Responder a

(0)

Resposta b

(0)

Resposta c

(0)

Agora vamos pensar em dividir um número por zero. Qual é o resultado da divisão de 4 por 0? Pense no fato de multiplicação relacionado. Existe um número que multiplicado por 0 resulta em 4?

4 ÷ 0 = ___ significa ___ • 0 = 4

Como qualquer número real multiplicado por 0 é igual a 0, não há número real que possa ser multiplicado por 0 para obter 4. Podemos concluir que não há resposta para 4 ÷ 0 e, portanto, dizemos que a divisão por zero é indefinida.

Definição: Divisão por Zero

Para qualquer número real a, ( dfrac {a} {0} ) e a ÷ 0 são indefinidos.

Divisão de zero é indefinido.

Exemplo ( PageIndex {6} ):

Simplifique: (a) 7,5 ÷ 0 (b) ( dfrac {−32} {0} ) (c) ( dfrac {4} {9} ) ÷ 0.

Solução

(a) 7,5 ÷ 0

A divisão por zero é indefinida.Indefinido

(b) ( dfrac {−32} {0} )

A divisão por zero é indefinida.Indefinido

(c) ( dfrac {4} {9} ) ÷ 0

A divisão por zero é indefinida.Indefinido

Exercício ( PageIndex {11} ):

Simplifique: (a) 16,4 ÷ 0 (b) ( dfrac {−2} {0} ) (c) ( dfrac {1} {5} ) ÷ 0.

Responder a

Indefinido

Resposta b

Indefinido

Resposta c

Indefinido

Exercício ( PageIndex {12} ):

Simplifique: (a) ( dfrac {−5} {0} ) (b) 96,9 ÷ 0 (c) ( dfrac {4} {15} ) ÷ 0.

Responder a

Indefinido

Resposta b

Indefinido

Resposta c

Indefinido

Resumimos as propriedades de zero.

Definição: propriedades de zero

Multiplicação por zero: para qualquer número real a,

[a cdot 0 = 0 qquad 0 cdot a = 0 ]

O produto de qualquer número e 0 é 0.

Divisão por Zero: Para qualquer número real a, a ≠ 0

[ dfrac {0} {a} = 0 ]

Zero dividido por qualquer número real, exceto ele mesmo, é zero.

[ dfrac {a} {0} ; é; indefinido ldotp ]

A divisão por zero é indefinida.

Simplifique as expressões usando as propriedades de identidades, inversos e zero

Agora vamos praticar o uso das propriedades de identidades, inversos e zero para simplificar as expressões.

Exemplo ( PageIndex {7} ):

Simplifique: 3x + 15 - 3x.

Solução

Observe os inversos aditivos, 3x e −3x.0 + 15
Adicionar.15

Exercício ( PageIndex {13} ):

Simplifique: −12z + 9 + 12z.

Responder

9

Exercício ( PageIndex {14} ):

Simplifique: −25u - 18 + 25u.

Responder

-18

Exemplo ( PageIndex {8} ):

Simplifique: 4 (0,25q).

Solução

Reagrupe, usando a propriedade associativa.[4 (0,25)] q
Multiplicar.1,00q
Simplificar; 1 é a identidade multiplicativa.q

Exercício ( PageIndex {15} ):

Simplifique: 2 (0,5p).

Responder

p

Exercício ( PageIndex {16} ):

Simplifique: 25 (0,04r).

Responder

r

Exemplo ( PageIndex {9} ):

Simplifique: ( dfrac {0} {n + 5} ), onde n ≠ −5.

Solução

Zero dividido por qualquer número real, exceto ele mesmo, é zero.0

Exercício ( PageIndex {17} ):

Simplifique: ( dfrac {0} {m + 7} ), onde m ≠ −7.

Responder

0

Exercício ( PageIndex {18} ):

Simplifique: ( dfrac {0} {d - 4} ), onde d ≠ 4.

Responder

0

Exemplo ( PageIndex {10} ):

Simplifique: ( dfrac {10 - 3p} {0} ).

Solução

A divisão por zero é indefinida.Indefinido

Exercício ( PageIndex {19} ):

Simplifique: ( dfrac {18 - 6c} {0} ).

Responder

Indefinido

Exercício ( PageIndex {20} ):

Simplifique: ( dfrac {15 - 4q} {0} ).

Responder

Indefinido

Exemplo ( PageIndex {11} ):

Simplifique: ( dfrac {3} {4} cdot dfrac {4} {3} ) (6x + 12).

Solução

Não podemos combinar os termos entre parênteses, então multiplicamos as duas frações primeiro.

Multiplicar; o produto dos recíprocos é 1.1 (6x + 12)
Simplifique reconhecendo a identidade multiplicativa.6x + 12

Exercício ( PageIndex {21} ):

Simplifique: ( dfrac {2} {5} cdot dfrac {5} {2} ) (20y + 50).

Responder

20y + 50

Exercício ( PageIndex {22} ):

Simplifique: ( dfrac {3} {8} cdot dfrac {8} {3} ) (12z + 16).

Responder

12z + 16

Todas as propriedades dos números reais que usamos neste capítulo estão resumidas na Tabela ( PageIndex {1} ).

Tabela ( PageIndex {1} ): Propriedades dos Números Reais
PropriedadeDe adiçãoDe multiplicação
Propriedade comutativa
Se aeb são números reais, então ...a + b = b + aa • b = b • a
Propriedade associativa
Se a, b e c forem números reais, então ...(a + b) + c = a + (b + c)(a • b) • c = (b • c)
Propriedade de identidade0 é a identidade aditiva1 é a identidade multiplicativa
Para qualquer número real a,

a + 0 = a

0 + a = a

a • 1 = a

1 • a = a

Propriedade Inversa−a é o inverso aditivo de a

a, a ≠ 0

1 / a é o inverso multiplicativo de a

Para qualquer número real a,a + (−a) = 0a • 1 / a = 1
Propriedade distributiva
Se a, b, c são números reais, então a (b + c) = ab + ac
Propriedades de Zero
Para qualquer número real a,

a • 0 = 0

0 • a = 0

Para qualquer número real a onde a ≠ 0

( dfrac {0} {a} = 0 )

( dfrac {a} {0} ) é indefinido

A prática leva à perfeição

Reconhecer as propriedades de identidade de adição e multiplicação

Nos exercícios a seguir, identifique se cada exemplo está usando a propriedade de identidade de adição ou multiplicação.

  1. 101 + 0 = 101
  2. ( dfrac {3} {5} (1) = dfrac {3} {5} )
  3. −9 • 1 = −9
  4. 0 + 64 = 64

Use as propriedades inversas de adição e multiplicação

Nos exercícios a seguir, encontre o inverso multiplicativo.

  1. 8
  2. 14
  3. −17
  4. −19
  5. ( dfrac {7} {12} )
  6. ( dfrac {8} {13} )
  7. (- dfrac {3} {10} )
  8. (- dfrac {5} {12} )
  9. 0.8
  10. 0.4
  11. −0.2
  12. −0.5

Use as propriedades de zero

Nos exercícios a seguir, simplifique usando as propriedades de zero.

  1. 48 • 0
  2. ( dfrac {0} {6} )
  3. ( dfrac {3} {0} )
  4. 22 • 0
  5. 0 ÷ ( dfrac {11} {12} )
  6. ( dfrac {6} {0} )
  7. ( dfrac {0} {3} )
  8. 0 ÷ ( dfrac {7} {15} )
  9. 0 • ( dfrac {8} {15} )
  10. (−3.14)(0)
  11. 5.72 ÷ 0
  12. ( dfrac { dfrac {1} {10}} {0} )

Simplifique as expressões usando as propriedades de identidades, inversos e zero

Nos exercícios a seguir, simplifique o uso das propriedades de identidades, inversos e zero.

  1. 19a + 44 - 19a
  2. 27c + 16 - 27c
  3. 38 + 11r - 38
  4. 92 + 31s - 92
  5. 10 (0,1d)
  6. 100 (0,01p)
  7. 5 (0,6q)
  8. 40 (0,05n)
  9. ( dfrac {0} {r + 20} ), onde r ≠ −20
  10. ( dfrac {0} {s + 13} ), onde s ≠ −13
  11. ( dfrac {0} {u - 4,99} ), onde u ≠ 4,99
  12. ( dfrac {0} {v - 65,1} ), onde v ≠ 65,1
  13. 0 ÷ ( left (x - dfrac {1} {2} right) ), onde x ≠ ( dfrac {1} {2} )
  14. 0 ÷ ( left (y - dfrac {1} {6} right) ), onde y ≠ ( dfrac {1} {6} )
  15. ( dfrac {32 - 5a} {0} ), onde 32 - 5a ≠ 0
  16. ( dfrac {28 - 9b} {0} ), onde 28 - 9b ≠ 0
  17. ( dfrac {2.1 + 0.4c} {0} ), onde 2.1 + 0.4c ≠ 0
  18. ( dfrac {1,75 + 9 f} {0} ), onde 1,75 + 9 f ≠ 0
  19. ( left dfrac {3} {4} + dfrac {9} {10} m right) div 0 ), onde ( dfrac {3} {4} + dfrac {9} {10 } m neq 0 )
  20. ( left ( dfrac {5} {16} n - dfrac {3} {7} right) div 0 ), onde ( dfrac {5} {16} n - dfrac {3} {7} neq 0 )
  21. ( dfrac {9} {10} cdot dfrac {10} {9} ) (18p - 21)
  22. ( dfrac {5} {7} cdot dfrac {7} {5} ) (20q - 35)
  23. 15 ( cdot dfrac {3} {5} ) (4d + 10)
  24. 18 ( cdot dfrac {5} {6} ) (15h + 24)

Matemática cotidiana

  1. Co-pagamento de seguro Carrie teve que fazer 5 obturações. Cada enchimento custava $ 80. Seu seguro dentário exigia que ela pagasse 20% do custo. Calcule o custo de Carrie
    1. encontrando seu copagamento para cada obturação, depois descobrindo seu custo total para 5 obturações e
    2. multiplicando 5 (0,20) (80).
    3. Qual das propriedades dos números reais você usou para a parte (b)?
  2. Tempo de cozimento Helen comprou um peru de 24 libras para o jantar de Ação de Graças de sua família e quer saber a que horas colocar o peru no forno. Ela deseja permitir 20 minutos por quilo de tempo de cozimento.
    1. Calcule o tempo necessário para assar o peru multiplicando 24,20 para encontrar o número de minutos e, em seguida, multiplique o produto por 1 60 para converter minutos em horas.
    2. Multiplique 24 ( left (20 cdot dfrac {1} {60} right) ).
    3. Qual das propriedades dos números reais permite que você multiplique 24 ( left (20 cdot dfrac {1} {60} right) ) em vez de (24 • 20) ( dfrac {1} {60} )?

Exercícios de escrita

  1. Em suas próprias palavras, descreva a diferença entre o inverso aditivo e o inverso multiplicativo de um número.
  2. Como o uso das propriedades dos números reais pode facilitar a simplificação das expressões?

Auto-verificação

(a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

(b) Em uma escala de 1–10, como você avaliaria seu domínio desta seção à luz de suas respostas na lista de verificação? Como você pode melhorar isso?


Usando as propriedades inversas de adição e multiplicação

Qual número adicionado a 5 dá a identidade aditiva, 0?
(5+\_\_\_\_\_=0)
Qual número adicionado a -6 dá a identidade aditiva, 0?
(-6+\_\_\_\_\_=0)

Observe que, em cada caso, o número ausente era o oposto do número.

Chamamos (- a ) o inverso aditivo of (a. ) O oposto de um número é seu inverso aditivo. Um número e seu oposto somam (0, ) que é a identidade aditiva.

Qual número multiplicado por ( frac <2> <3> ) dá a identidade multiplicativa, (1? ) Em outras palavras, dois terços vezes o que resulta em (1? )

Qual número multiplicado por (2 ) dá a identidade multiplicativa, (1? ) Em outras palavras, duas vezes o que resulta em (1? )

Observe que, em cada caso, o número ausente foi o recíproco do número.

Declararemos formalmente as Propriedades Inversas aqui:

Definição: Propriedades Inversas

Propriedade Inversa de Adição para qualquer número real (a, )

Propriedade Inversa de Multiplicação para qualquer número real (a ne 0, )


10 propriedades de números reais

Uma introdução mais completa aos tópicos abordados nesta seção pode ser encontrada no Prealgebra capítulo, As Propriedades dos Números Reais.

Use as propriedades comutativas e associativas

Pense em adicionar dois números, digamos 5 e 3. A ordem em que os adicionamos não afeta o resultado, certo?

Como podemos ver, a ordem em que adicionamos não importa!

Que tal multiplicar

Novamente, os resultados são os mesmos!

A ordem em que nos multiplicamos não importa!

Esses exemplos ilustram a propriedade comutativa. Ao adicionar ou multiplicar, alterando o pedido dá o mesmo resultado.

Ao adicionar ou multiplicar, alterando o pedido dá o mesmo resultado.

A propriedade comutativa tem a ver com ordem. Se você alterar a ordem dos números ao adicionar ou multiplicar, o resultado é o mesmo.

E a subtração? A ordem importa quando subtraímos os números? Faz dê o mesmo resultado que

Os resultados não são os mesmos.

Já que alterar a ordem da subtração não deu o mesmo resultado, sabemos que subtração não é comutativa.

Vamos ver o que acontece quando dividimos dois números. A divisão é comutativa?

Os resultados não são os mesmos.

Como alterar a ordem da divisão não deu o mesmo resultado, divisão não é comutativa. As propriedades comutativas só se aplicam à adição e multiplicação!

  • Adição e multiplicação está comutativo.
  • Subtração e Divisão não são comutativo.

Se lhe pedissem para simplificar esta expressão, como o faria e qual seria a sua resposta?

Algumas pessoas pensariam e então Outros podem começar com e então

Qualquer uma das formas dá o mesmo resultado. Lembre-se de que usamos parênteses como símbolos de agrupamento para indicar qual operação deve ser realizada primeiro.


Adicionar .
Adicionar.

Adicionar .
Adicionar.

Ao adicionar três números, alterar o agrupamento dos números dá o mesmo resultado.

Isso também é válido para a multiplicação.


Multiplicar.
Multiplicar.

Multiplicar. .
Multiplicar.

Ao multiplicar três números, alterar o agrupamento dos números dá o mesmo resultado.

Você provavelmente sabe disso, mas a terminologia pode ser nova para você. Esses exemplos ilustram a propriedade associativa.

Ao adicionar ou multiplicar, alterando o agrupamento dá o mesmo resultado.

Vamos pensar novamente sobre a multiplicação Obtivemos o mesmo resultado de ambas as maneiras, mas qual foi a mais fácil? Multiplicando e primeiro, conforme mostrado acima no lado direito, elimina a fração na primeira etapa. Usar a propriedade associativa pode tornar a matemática mais fácil!

A propriedade associativa tem a ver com agrupamento. Se mudarmos a forma como os números são agrupados, o resultado será o mesmo. Observe que são os mesmos três números na mesma ordem - a única diferença é o agrupamento.

Vimos que a subtração e a divisão não eram comutativas. Eles também não são associativos.

Ao simplificar uma expressão, é sempre uma boa ideia planejar quais serão as etapas. Para combinar termos semelhantes no próximo exemplo, usaremos a propriedade comutativa de adição para escrever os termos semelhantes juntos.

Simplificar:

Use a propriedade comutativa de adição para reordenar para que termos semelhantes fiquem juntos.
Adicione termos semelhantes.

Simplificar:

Simplificar:

Quando temos que simplificar as expressões algébricas, podemos muitas vezes tornar o trabalho mais fácil aplicando primeiro a propriedade comutativa ou associativa, em vez de seguir automaticamente a ordem das operações. Ao adicionar ou subtrair frações, combine primeiro aquelas com um denominador comum.

Simplificar:

Observe que os últimos 2 termos têm um denominador comum, portanto, altere o agrupamento.
Adicione os parênteses primeiro.
Simplifique a fração.
Adicionar.
Converta em uma fração imprópria.

Simplificar:

Simplificar:

Use a propriedade associativa para simplificar

Altere o agrupamento.
Multiplique entre parênteses.

Observe que podemos multiplicar mas não pudemos multiplicar 3x sem ter um valor para x.

Use a propriedade associativa para simplificar 8 (4x).

Use a propriedade associativa para simplificar

Use a identidade e propriedades inversas de adição e multiplicação

O que acontece quando adicionamos 0 a qualquer número? Adicionar 0 não altera o valor. Por esse motivo, chamamos 0 de identidade aditiva.

Estes exemplos ilustram a propriedade de identidade de adição que afirma que, para qualquer número real e

O que acontece quando multiplicamos qualquer número por um? Multiplicar por 1 não altera o valor. Portanto, chamamos 1 de identidade multiplicativa.

Estes exemplos ilustram a propriedade de multiplicação de identidade que afirma que para qualquer número real e

Resumimos as propriedades de identidade abaixo.

Observe que em cada caso, o número ausente era o oposto do número!

Nós chamamos o inverso aditivo de uma. O oposto de um número é seu inverso aditivo. Um número e seu oposto somam zero, que é a identidade aditiva. Isso leva à Propriedade Inversa de Adição, que indica qualquer número real Lembre-se, um número e seu oposto somam zero.

Qual número multiplicado por /> dá a identidade multiplicativa, 1? Em outras palavras, /> vezes o que resulta em 1?

Qual número multiplicado por 2 dá a identidade multiplicativa, 1? Em outras palavras, 2 vezes o que resulta em 1?

Observe que em cada caso, o número ausente foi o recíproco do número!

Nós chamamos o inverso multiplicativo de uma. O recíproco de o número é o seu inverso multiplicativo. Um número e sua recíproca se multiplicam em um, que é a identidade multiplicativa. Isso leva à propriedade inversa da multiplicação, que afirma que para qualquer número real

Declararemos formalmente as propriedades inversas aqui:

de adição Para qualquer número real ,
é o inverso aditivo do .
Um número e seu oposto somam zero.
de multiplicação Para qualquer número real ,
é o multiplicativo inverso do .
Um número e seu recíproco se multiplicam em um.

Encontre o inverso aditivo de ⓐ

Para encontrar o inverso aditivo, encontramos o oposto.

  1. Ⓐ O inverso aditivo de é o oposto de O inverso aditivo de é

  2. Ⓑ O inverso aditivo de 0,6 é o oposto de 0,6. O inverso aditivo de 0,6 é

  3. Ⓒ O inverso aditivo de é o oposto de Nós escrevemos o oposto de Como e, em seguida, simplifique para 8. Portanto, o inverso aditivo de é 8.

  4. Ⓓ O inverso aditivo de é o oposto de Nós escrevemos isso como e então simplificar para Assim, o inverso aditivo de é

Encontre o inverso aditivo de: ⓐ

Encontre o inverso aditivo de: ⓐ

Encontre o inverso multiplicativo de ⓐ

Para encontrar o inverso multiplicativo, encontramos o recíproco.

  1. Ⓐ O inverso multiplicativo de 9 é o recíproco de 9, que é Portanto, o inverso multiplicativo de 9 é
  2. Ⓑ O inverso multiplicativo de é o recíproco de qual é Assim, o inverso multiplicativo de é
  3. Ⓒ Para encontrar o inverso multiplicativo de 0,9, primeiro convertemos 0,9 em uma fração, Então encontramos o recíproco da fração. O recíproco de é Portanto, o inverso multiplicativo de 0,9 é

Encontre o inverso multiplicativo de ⓐ

Encontre o inverso multiplicativo de ⓐ

Use as propriedades de zero

A propriedade de identidade de adição diz que quando adicionamos 0 a qualquer número, o resultado é esse mesmo número. O que acontece quando multiplicamos um número por 0? Multiplicar por 0 torna o produto igual a zero.

O produto de qualquer número real e 0 é 0.

Que tal divisão envolvendo zero? O que é Pense em um exemplo real: se não houver cookies na jarra de biscoitos e 3 pessoas forem compartilhá-los, quantos cookies cada pessoa receberá? Não há cookies para compartilhar, então cada pessoa recebe 0 cookies. Então,

Podemos verificar a divisão com o fato de multiplicação relacionado.

Então nós sabemos Porque

Para qualquer número real uma, exceto e

Zero dividido por qualquer número real, exceto zero é zero.

Agora pense em dividir de zero. Qual é o resultado da divisão de 4 por 0? Pense no fato de multiplicação relacionado: meios Existe um número que multiplicado por 0 resulta em 4? Como qualquer número real multiplicado por 0 dá 0, não há número real que possa ser multiplicado por 0 para obter 4.

Concluímos que não há resposta para e então dizemos que a divisão por 0 é indefinida.

Para qualquer número real uma, exceto 0, e são indefinidos.

A divisão por zero é indefinida.

Resumimos as propriedades de zero abaixo.

Multiplicação por zero: Para qualquer número real uma,

O produto de qualquer número e 0 é 0.

Divisão de Zero, Divisão por Zero: Para qualquer número real

Zero dividido por qualquer número real, exceto ele mesmo, é zero.
A divisão por zero é indefinida.

Simplifique: ⓐ


O produto de qualquer número real e 0 é 0.

O produto de qualquer número real e 0 é 0.

A divisão por 0 é indefinida.

Simplifique: ⓐ

Simplifique: ⓐ

Agora vamos praticar o uso das propriedades de identidades, inversos e zero para simplificar as expressões.

Simplifique: ⓐ Onde Onde


Zero dividido por qualquer número real exceto ele mesmo é 0.

A divisão por 0 é indefinida.

Simplificar:

Observe que o primeiro e o terceiro termos são opostos, use o
propriedade comutativa de adição para reordenar os termos.
Adicione da esquerda para a direita.
Adicionar.

Simplificar:

Simplificar:

Agora veremos como o reconhecimento de recíprocos é útil. Antes de multiplicar da esquerda para a direita, procure os recíprocos - o produto deles é 1.

Simplificar:

Observe que o primeiro e o terceiro termos são recíprocos, então use o
propriedade comutativa de multiplicação para reordenar os fatores.
Multiplique da esquerda para a direita.
Multiplicar.

Simplificar:

Simplificar:

Simplifique: ⓐ Onde Onde

Simplifique: ⓐ

Simplificar:

Não há nada a fazer entre parênteses, então multiplique o
duas frações primeiro - observe, elas são recíprocas.
Simplifique reconhecendo a identidade multiplicativa.

Simplificar:

Simplificar:

Simplifique as expressões usando a propriedade distributiva

Suponha que três amigos vão ao cinema. Cada um deles precisa de £ 9,25 - isso é 9 dólares e 1 quarto - para pagar suas passagens. De quanto dinheiro eles precisam todos juntos?

Você pode pensar nos dólares separadamente dos trimestres. Eles precisam de 3 vezes? 9 então? 27 e 3 vezes 1 quarto, então 75 centavos. No total, eles precisam de £ 27,75. Se você pensa em fazer a matemática dessa maneira, você está usando o propriedade distributiva.

De volta aos nossos amigos no cinema, poderíamos encontrar a quantia total de dinheiro de que eles precisam assim:

Na álgebra, usamos a propriedade distributiva para remover parênteses à medida que simplificamos as expressões.

Por exemplo, se formos solicitados a simplificar a expressão a ordem das operações diz para trabalhar entre parênteses primeiro. Mas não podemos adicionar x e 4, uma vez que não são termos semelhantes. Portanto, usamos a propriedade distributiva, conforme mostrado na (Figura).

Simplificar:

Distribuir.
Multiplicar.

Simplificar:

Simplificar:

Alguns alunos acham útil desenhar setas para lembrá-los de como usar a propriedade distributiva. Então, a primeira etapa na (Figura) ficaria assim:

Simplificar:

Distribuir.
Multiplicar.

Simplificar:

Simplificar:

Usar a propriedade distributiva conforme mostrado na (Figura) será muito útil quando resolvermos aplicações de dinheiro em capítulos posteriores.

Simplificar:

Distribuir.
Multiplicar.

Simplificar:

Simplificar:

Quando distribuímos um número negativo, precisamos ser extremamente cuidadosos para obter os sinais corretos!

Simplificar:

Distribuir.
Multiplicar.

Simplificar:

Simplificar:

Simplificar:

Distribuir.
Multiplicar.
Simplificar.

Observe que você também pode escrever o resultado como Você sabe por quê?

Simplificar:

Simplificar:

(Figura) mostrará como usar a propriedade distributiva para encontrar o oposto de uma expressão.

Simplificar:

Multiplicar por -1 resulta no oposto.
Distribuir.
Simplificar.

Simplificar:

Simplificar:

Haverá momentos em que precisaremos usar a propriedade distributiva como parte da ordem das operações. Comece olhando para os parênteses. Se a expressão entre parênteses não puder ser simplificada, o próximo passo seria multiplicar usando a propriedade distributiva, que remove os parênteses. Os próximos dois exemplos ilustrarão isso.

Simplificar:

Certifique-se de seguir a ordem das operações. A multiplicação vem antes da subtração, então vamos distribuir o 2 primeiro e depois subtrair.

Distribuir.
Multiplicar.
Combine termos semelhantes.

Simplificar:

Simplificar:

Simplificar:

Distribuir.
Combine termos semelhantes.

Simplificar:

Simplificar:

Todas as propriedades dos números reais que usamos neste capítulo estão resumidas na (Figura).

Propriedade comutativa
de adição Se são números reais, então

de multiplicação Se são números reais, então


Propriedade associativa
de adição Se são números reais, então

de multiplicação Se são números reais, então


Propriedade distributiva
Se são números reais, então
Propriedade de identidade
de adição Para qualquer número real
0 é o Identidade aditiva

de multiplicação Para qualquer número real
é o identidade multiplicativa


Propriedade Inversa
de adição Para qualquer número real
é o inverso aditivo do

de multiplicação Para qualquer número real
é o multiplicativo inverso do



Propriedades de Zero
Para qualquer número real uma,



Para qualquer número real

Para qualquer número real




é indefinido

Conceitos chave

  • Propriedade Comutativa de
    • Adição: Se são números reais, então
    • Multiplicação: Se são números reais, então Ao adicionar ou multiplicar, alterando o pedido dá o mesmo resultado.
    • Adição: Se são números reais, então
    • Multiplicação: Se são números reais, então
      Ao adicionar ou multiplicar, alterando o agrupamento dá o mesmo resultado.
    • de adição: Para qualquer número real
      0 é o Identidade aditiva
    • de multiplicação: Para qualquer número real
      é o identidade multiplicativa
    • de adição: Para qualquer número real Um número e seus oposto adicione a zero. é o inverso aditivo do
    • de multiplicação: Para qualquer número real Um número e seus recíproca multiplique por um. é o multiplicativo inverso do
    • Para qualquer número real
      - O produto de qualquer número real e 0 é 0.
    • para - Zero dividido por qualquer número real, exceto zero é zero.
    • é indefinido - a divisão por zero é indefinida.

    Propriedade de identidade

    As propriedades de número básicas (ou leis) que se aplicam a operações aritméticas são propriedade comutativa, propriedade associativa, propriedade de identidade e propriedade distributiva.

    A tabela a seguir fornece a propriedade comutativa, propriedade associativa e propriedade de identidade para adição e subtração. Role a página para baixo para obter mais exemplos e soluções das propriedades de número.

    Propriedades de identidade

    Propriedade de identidade (ou propriedade zero) da adição

    Quando você adiciona 0 a qualquer número, a soma é esse número.

    Propriedade de identidade (ou uma propriedade) de multiplicação

    Quando você multiplica qualquer número por 1, o produto é esse número.

    Por exemplo: 65.148 × 1 = 65.148

    Propriedade zero da multiplicação

    O produto de qualquer número e 0 é 0.

    Propriedade de identidade de adição e multiplicação de amp

    Propriedade de Adição de Identidade: Qualquer número mais zero é o número original.

    Identidade Propriedade de Multiplicação: Qualquer número vezes um é o número original.

    Zero é o número de identidade de adição e um é o número de identidade de multiplicação.

    Propriedades comutativas, associativas e de identidade

    Diga qual propriedade é representada
    a) (2 ˙ 6) ˙ 1 = 2 ˙ (6 ˙ 1)
    b) 3 + 0 = 3
    c) 7 + 9 = 9 + 7

    Simplifique cada expressão. Justifique cada etapa.
    a) 17 + 14 + 3
    b) 12 ˙ 3 ˙ 5
    c) 21 + 16 + 9

    Propriedade de identidade de adição e multiplicação

    Identidade A propriedade de adição afirma que qualquer número mais zero é o número original.
    A propriedade de identidade de multiplicação afirma qualquer número vezes um é o número original.

    Propriedade de identidade

    Este vídeo define a propriedade de identidade.
    A propriedade de identidade é composta de duas partes: identidade aditiva e identidade multiplicativa.
    A identidade aditiva é
    Adicione zero (0) a um número, a soma é esse número.
    A identidade multiplicativa é
    Multiplique um número por 1, o Produto é esse número.
    Divida um número por ele mesmo, o quociente é 1.

    O que é a propriedade de identidade?

    Como você pode reconhecê-lo e nomeá-lo quando o vir?
    Por que tem o nome que tem?
    Por que os matemáticos dão tudo, até algo aparentemente tão simples como um nome?

    Propriedades comutativas e zero de multiplicação

    Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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    5.17: Propriedades de Identidade, Inversos e Zero

    Propriedades elementares de um grupo:

    Conhecemos a definição de grupo. Diz que um grupo deve ter um elemento de identidade e cada elemento deve ter um inverso. Mas não há menção do número de identidades ou do número de inversos de um elemento. Para esta investigação sobre esses e outros assuntos, devemos provar alguns teoremas: Esses teoremas como a lei de cancelamento, unicidade do elemento de identidade, unicidade do elemento inverso e outros revelam algumas propriedades dos grupos. O que significa que hat é G é um grupo com operação binária * então G satisfaz as seguintes propriedades:

    Singularidade do elemento de identidade (Teorema I)

    Em um grupo, existe um e apenas um elemento de identidade. (ou em um grupo o elemento de identidade é único).

    Portanto, e = e & rsquo, ou seja, há um e apenas um elemento de identidade.

    Lei Inversa Única (Teorema ii)

    Sabemos que um elemento a é um grupo tem o inverso a -1 de modo que,

    Suponha que a & rsquo seja outro inverso de a. Então nós temos

    Isso mostra que o elemento inverso é único.

    Lei de cancelamento (Teorema iii)

    Multiplicando a equação acima por um&tímido& tímido -1 à esquerda. Então,


    Propriedades inversas de adição e multiplicação

    As propriedades inversas se "desmancham". O objetivo da propriedade inversa de adição é obter um resultado zero. O propósito da propriedade inversa da multiplicação é obter um resultado de 1. Usamos propriedades inversas para resolver equações.

    A propriedade inversa da adição diz que qualquer número adicionado ao seu oposto será igual a zero. Qual é o oposto que você pode perguntar? Tudo o que você precisa fazer é mudar o sinal de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

    Vamos ver como fica.

    Exemplo 1: 5 + (-5) = 0 -5 é o oposto de 5

    Exemplo 2: -4 + (4) = 0 -4 é o oposto de 4

    Às vezes, isso pode ser escrito em um formato vertical.

    Exemplo 3: 10
    -10 -10 é o oposto de 10
    0

    Exemplo 4: -12
    +12 12 é o oposto de - 12
    0

    Propriedade Inversa de Multiplicação diz que qualquer número multiplicado por seu recíprocaé igual a um.

    Vamos começar definindo um recíproco. Para encontrar o recíproco de qualquer número, escreva-o como uma fração e depois vire-o.

    Exemplo 1: encontre o recíproco de . Flip it & # 8594 .
    O recíproco de . é .

    Exemplo 2: encontre o recíproco de 5. & # 8594 Escreva como uma fração & # 8594 vire

    O recíproco de 5 é

    Exemplo 3: encontre o recíproco de . & # 8594 virar

    O recíproco de é 2

    Exemplo 4: encontre o recíproco de - . & # 8594 inverta -

    O recíproco de - é -

    Lembrete especial: Para multiplicar frações, você multiplica o numerador pelo numerador e depois o denominador pelo denominador e, a seguir, simplifica sua resposta:

    = 1

    Agora vamos ver como podemos usar isso com o inverso da multiplicação.

    (número) (recíproco) = 1
    Exemplo 1: = 1 → = 1
    Exemplo 2: 7 = 1 → = 1
    Agora vamos resumir o que aprendemos.

    A propriedade inversa da adição diz que qualquer número adicionado ao seu oposto é igual a zero.

    A propriedade inversa da multiplicação diz que qualquer número multiplicado por seu recíproco é igual a 1.

    = 1
    Links Relacionados:
    Matemática
    álgebra
    Propriedade de tricotomia
    Propriedade distributiva

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    Propriedade de identidade de adição

    A propriedade de identidade de adição é que quando um número n eus adicionado a zero, o resultado é o próprio número, ou seja,

    Zero é chamado de identidade aditiva e pode ser adicionado a qualquer número real sem alterar seu valor. Aqui estão alguns exemplos de propriedade de adição de identidade,

    3 + 0 = 3 (inteiros positivos)

    -3 + 0 = -3 (números inteiros negativos)

    x + 0 = x (notação algébrica)

    Essa propriedade também é verdadeira para a subtração, porque subtrair 0 de qualquer número é igual ao próprio número. Portanto, 0 também é chamado de identidade subtrativa.


    Qual é a identidade multiplicativa de 0?

    Em outras palavras, o produto de qualquer número inteiro e zero é sempre zero. Observamos que o produto de qualquer número inteiro e zero é zero. Identidade Multiplicativa: Em outras palavras, o produto de qualquer número inteiro e 1 é o próprio número.

    Saiba também, qual é o multiplicativo de 1? O multiplicativo propriedade de -1 diz que sempre que você multiplica algo por -1, você o transforma em seu oposto. O oposto de um número é o mesmo número no lado oposto de 0 em uma reta numérica. Por exemplo, se você multiplicar 5 por -1 você obterá -5.

    Além disso, qual é a identidade multiplicativa?

    Definição de identidade multiplicativa. : um identidade elemento (como 1 no grupo de números racionais sem 0) que em um determinado sistema matemático deixa inalterado qualquer elemento pelo qual é multiplicado.

    Qual é a propriedade de 1?

    A identidade propriedade de 1 diz que qualquer número multiplicado por 1 mantém sua identidade. Em outras palavras, qualquer número multiplicado por 1 continua o mesmo. A razão pela qual o número permanece o mesmo é porque a multiplicação por 1 significa que temos 1 cópia do número.


    Propriedades dos Números Racionais

    Um Número Racional é um número que pode ser escrito na forma de p / q, onde p, q são inteiros eq ≠ 0. Você pode aprender sobre as Propriedades Gerais dos Números Racionais, como Fechamento, Comutativo, Associativo, Distributivo, Identidade, Inverso, etc. aqui. Não apenas as propriedades regulares, todos nós listamos todas as propriedades que conhecemos a respeito dos Rational Numbers.

    Propriedade de Encerramento

    Para dois números racionais x, y, os resultados da adição, subtração e multiplicação sempre produzem um número racional. A propriedade de fechamento não é aplicável para a divisão, pois a divisão por zero não está definida. Em outras palavras, podemos dizer que a propriedade de fechamento também se aplica à divisão diferente de zero.

    Propriedade comutativa

    Considerando dois números racionais x, y, a adição e a multiplicação são sempre comutativas. A subtração não obedece à propriedade comutativa. Você pode ter uma ideia clara dessa propriedade dando uma olhada nos exemplos resolvidos.

    Lei de adição comutativa: x + y = y + x Ex: 1/3+2/3 = 3/3

    Lei Comutativa da Multiplicação: x.y = y.x Ex: 1/2.2/3 =2/3.1/2 =2/6

    Subtração x-y ≠ y-x Ex: 4 / 3-1 / 3 = 3/3 enquanto 1 / 3-4 / 3 = -3 / 3

    A divisão não é comutativa x / y ≠ y / x Ex: 3/9 ÷ 1/2 = 6/9 enquanto 1/2 ÷ 3/9 = 9/6

    Propriedade associativa

    Os números racionais obedecem à propriedade associativa para adição e multiplicação. Vamos supor que x, y, z sejam três números racionais e, para Adição, x + (y + z) = (x + y) + z

    enquanto que para a Multiplicação x (yz) = (xy) z

    Ex: 1/3 + (1/4 + 3/3) = (1/3+ 1/4) + 3/3

    Propriedade distributiva

    Vamos considerar três números racionais x, y, z e depois x. (y + z) = (x. y) + (x. z). Vamos provar a propriedade considerando um exemplo.

    Ex: 1/3.(1/4+2/5) =(1/3.1/4)+(1/3.2/5)

    Identidade e propriedades inversas de números racionais

    Propriedade de identidade: Sabemos que 0 é chamado de Identidade Aditiva e 1 é chamado de Identidade Multiplicativa dos Números Racionais.

    Ex: 1/4 + 0 = 1/4 (Identidade Aditiva)

    5 / 3,1 = 5/3 (identidade multiplicativa)

    Propriedade inversa: Para um Número Racional x / y, o inverso aditivo é -x / y e o inverso multiplicativo é y / x.

    Ex: Aditivo inverso de 2/3 é -2/3

    O inverso multiplicativo de 4/5 é 5/4

    Existem algumas outras propriedades que você precisa estar ciente do Rational Numbers e elas são explicadas a seguir.

    Se a / b é um número racional e m é um inteiro diferente de zero, então a / b = (a * m) / (b * m).

    Em outras palavras, podemos dizer que o número racional permanece inalterado se multiplicarmos o numerador e o denominador pelo mesmo inteiro.

    Ex: 2/3 = 2*2/3*2 = 4/6, 2*3/3*3 = 6/9, 2*4/3*4 = 8/12….

    Se a / b é um número racional em é um divisor comum, então a / b = (a ÷ m) / (b ÷ m)

    Ao dividir o numerador e o denominador de um número racional com um divisor comum, o número racional permanece inalterado.

    Ex: 36/42 =36÷6/42÷6 = 6/7

    Considere a / b, c / d como dois números racionais.

    Ex: 2/4 =4/8 ⇒ 2.8=4.4

    Para todo e qualquer Número Racional n, qualquer uma das seguintes condições é verdadeira.

    Ex: 3/4 é maior que 0.

    Para quaisquer dois números racionais a, b, qualquer condição é verdadeira

    Ex: 2/3 e 2/5 são dois números racionais e 2/3 é maior que 2/5

    Se 4/8 e 8/16 são dois números racionais, então 4/8 = 8/16

    Se -4/7 e 3/4 são dois números racionais, então -4/7 é menor que 3/4

    No caso de três números racionais a & gt b, b & gt c, então a & gtc

    Se 4/5, 16/30, -8/15 são três números racionais, então 4/5 & gt16 / 30 e 16/30 é maior que -8/15, então 4/5 também é maior que -8/15.


    Reconhecendo as propriedades de identidade de adição e multiplicação

    O que acontece quando adicionamos zero a qualquer número? Adicionar zero não altera o valor. Por este motivo, chamamos (0 ) o Identidade aditiva.

    O que acontece quando você multiplica qualquer número por um? Multiplicar por um não altera o valor. Então, chamamos de (1 ) o identidade multiplicativa.

    Definição: Propriedades de Identidade

    O propriedade de identidade de adição: para qualquer número real (a, )

    O propriedade de identidade de multiplicação: para qualquer número real (a )


    Assista o vídeo: MATRIZ INVERSA (Dezembro 2021).