Artigos

1.7: Teoria dos Números Combinatórios


Existem muitas questões interessantes entre a teoria dos números e a análise combinatória. são separados em n classes, então pelo menos uma classe conterá os elementos (a ), (b ), (c ) com (a + b = c ).

Considere o fato de que se separarmos os inteiros positivos menores que (2 ^ n ) em (n ) classes, colocando 1 na classe 1, os próximos 2 na classe 2, os próximos 4 na classe 3, etc., então, nenhuma classe contém a soma de dois de seus elementos. Alternativamente, poderíamos escrever cada inteiro m na forma (2 ^ k theta ) onde ( theta ) é ímpar e colocar (m ) na (k ) ésima classe. Novamente, os números menores que (2 ^ n ) estarão em (n ) classes e se (m_1 = 2 ^ k theta_1 ) e (m_2 = 2 ^ k theta_2 ) estiverem na classe (k ) então (m_1 + m_2 = 2 ^ k ( theta_1 + theta_2) ) encontra-se em uma classe numerada mais alta. A maneira mais complicada de distribuir inteiros descrita abaixo nos permite distribuir 1, 2, ..., ( dfrac {3 ^ n − 1} {2} ) em (n ) classes de forma que nenhuma classe tem uma solução para (a + b = c ):

1 2 5
3 4 6
10 11 7
13 12 8
. .
. .

Por outro lado, o teorema de Schur afirma que se separarmos os números 1, 2, 3,. , ([n! e] ) em (n ) classes de qualquer maneira, então pelo menos uma classe conterá uma solução para (a + b = c ). A lacuna entre as duas últimas declarações revela um problema interessante não resolvido, ou seja, pode-se substituir o ([n! E] ) no resultado de Schur por um número consideravelmente menor? Os primeiros dois exemplos dados mostram que certamente não podemos ir tão baixo quanto (2n - 1 ), e o último exemplo mostra que não podemos ir tão baixo quanto ( dfrac {3 ^ n − 1} {2} ) .

Agora damos uma definição e fazemos várias observações para facilitar a prova do teorema de Schur.

Seja (T_0 = 1 ), (T_n = nT_ {n − 1} + 1 ). É facilmente verificado que

(T_n = n! (1 + dfrac {1} {1!} + Dfrac {2} {2!} Cdot cdot cdot + dfrac {1} {n!}) = [N! E ]. )

Assim, o teorema de Schur pode ser reformulado da seguinte forma: Se 1, 2, ..., (T_n ) são separados em (n ) classes de qualquer maneira, pelo menos uma classe conterá uma solução de (a + b = c ). Provaremos isso assumindo que os números 1, 2, ..., (T_n ) foram classificados de n formas sem nenhuma classe contendo uma solução de (a + b = c ) e a partir disso obtemos uma contradição. Observe que a condição (a + b ne c ) significa que nenhuma classe pode conter a diferença de dois de seus elementos.

Suponha que alguma classe, digamos (A ), contenha elementos (a_1

(b_1 = a_2 - a_1, b_2 = a_3 - a_1, b_3 = a_4 - a_1, ... )
(c_1 = b_2 - b_1, c_2 = b_3 - b_1, c_3 = b_4 - b_1, ... )
(d_1 = c_2 - c_1, d_2 = c_3 - c_1, d_3 = c_4 - c_1, ... )

e assim por diante. Notamos que todos os (b ) 's, (c )' s, (d ) 's, etc., são diferenças de (a )' se, portanto, não podem estar em (A ).

Agora, começamos com elementos (T_n ). Pelo menos

( lfloor dfrac {T_n} {n} + 1 rfloor = T_ {n - 1} + 1 )

destes devem estar em uma única classe, digamos (A_1 ). Em seguida, formamos (T_ {n - 1} ) (b ) 's. Estes não estão em (A_1 ) e, portanto, estão nas demais (n - 1 ) classes. Pelo menos

( lfloor dfrac {T_ {n - 1}} {n - 1} + 1 rfloor = T_ {n - 1} + 1 )

deles deve estar em uma única classe, digamos (A_2 ). Forme suas diferenças (T_ {n - 2} ), os (c ) 's. Esses números produzem (T_ {n - 2} ) nem em (A_1 ) nem em (A_2 ). Continuar desta maneira resulta em (T_ {n - 3} ) números que não estão em (A_1, A_2, A_3 ). Desta forma, eventualmente obtemos (T_0 = 1 ) número não pertencente a (A_1, A_2, ..., A_n ). Mas todos os números formados estão entre os números (1, 2, ..., T_n ) então temos uma contradição, que prova o teorema.

Declaramos, sem prova, a conexão com o último teorema de Fermat. Uma abordagem natural ao teorema de Fermat seria tentar mostrar que (x ^ n + y ^ n = z ^ n ) (mod (p )) é um módulo insolúvel algum (p ), desde que (p ) não divide (x cdot y cdot z ). No entanto, o teorema de Schur pode ser usado para mostrar que este método deve falhar e, de fato, se (p> n! E ) então (x ^ n + y ^ n = z ^ n ) (mod (p )) tem uma solução com (p ) não um fator de (xyz ).

Algo relacionado ao teorema de Schur está um famoso teorema de Van der Waerden, que investigamos brevemente. No início da década de 1920, o seguinte problema surgiu em conexão com a teoria da distribuição de resíduos quadráticos. Imagine o conjunto de todos os inteiros a serem divididos de qualquer maneira em duas classes. Pode-se afirmar que progressões aritméticas de comprimento arbitrário podem ser encontradas em pelo menos uma dessas classes? O problema permaneceu sem solução por vários anos, apesar dos esforços concentrados de muitos matemáticos proeminentes. Foi finalmente resolvido em 1928 por Van der Waerden. Como não é incomum em tais problemas, o primeiro passo de Van der Waerden foi tornar o problema mais geral e, portanto, mais fácil.

Van der Waerden provou o seguinte: Dados inteiros (k ) e ( ell ), existe um inteiro (W = W (k, ell) ) tal que se os números 1, 2, 3, ..., (W ) são separados em (k ) classes de qualquer maneira, então pelo menos uma classe conterá l termos em progressão aritmética. Não vamos dar a prova de Van der Waerden aqui. É extremamente complicado, difícil de ver e leva apenas a um limite fantasticamente grande para W (k, l). Por esta razão, o leitor pode considerar o problema não resolvido muito útil de encontrar uma prova alternativa mais simples de que (W (k, ell) ) existe e encontrar limites razoáveis ​​para ela. Teremos um pouco mais a dizer sobre a função (W (k, ell) ) um pouco mais tarde.

Nosso próximo problema de teoria dos números combinatórios lida com sequências “não médias”. Chamamos uma sequência (A: a_1

Dado um número (x ), escrito na base dez, decidimos se (x ) está em (R ) com base nas seguintes regras.

Primeiro colocamos (x ) em um conjunto de colchetes, colocando o primeiro dígito (contando da direita para a esquerda) no primeiro colchete, os próximos dois no segundo colchete, os próximos três no terceiro colchete e assim por diante. Se o último colchete não vazio (o colchete mais à esquerda que não consiste inteiramente de zeros) não tiver um número máximo de dígitos, nós o preencheremos com zeros. Por exemplo, os números

(a = 32653200200 ), (b = 100026000150600 ), (c = 1000866600290500 )

seria entre colchetes

(a = (00003) (2653) (200) (20) (0), )
(b = (10002) (6100) (150) (60) (0), )
(c = (10008) (6600) (290) (50) (0), )

respectivamente. Agora, suponha que o colchete (r ^ { text {th}} ) em (x ) contenha dígitos diferentes de zero, mas todos os outros colchetes à esquerda são 0. Ligue para o número representado pelos dígitos no (i ^ { text {th}} ) colchete (x_i ), (i = 1, 2, ..., r - 2 ). Além disso, denote por ( bar {x} ) o número representado pelo dígito nos dois últimos colchetes juntos, mas excluindo o último dígito. Para (x ) pertencer a (R ), exigimos

  1. o último dígito de (x ) deve ser 1,
  2. (x_i ) deve começar com 0 para (i = 1, 2, ..., r - 2, )
  3. (x_1 ^ 2 + cdot cdot cdot x_ {r - 2} ^ 2 = bar {x}. )

Em particular, observe que a satisfaz (2), mas viola (1) e (3) de forma que (a ) não está em (R ); mas (b ) e (c ) satisfazem todas as três condições e estão em (R ). Para verificar (3), não temos que (60 ^ 2 + 150 ^ 2 = 26100 ).

A seguir provamos que não há três inteiros em (R ) em progressão aritmética. Primeiro note que se dois elementos de 9R ) têm um número diferente de colchetes não vazios, sua média não pode satisfazer (1). Portanto, precisamos apenas considerar as médias dos elementos de (R ) com o mesmo número de colchetes não vazios. De (1) e (3) segue-se que os dois elementos de (R ) podem ser calculados em média colchete a colchete para os primeiros (r - 2 ) colchetes e também para os dois últimos colchetes tomados juntos. Assim, em nosso exemplo,

( dfrac {1} {2} (60 + 50) = 55, dfrac {1} {2} (150 + 290) = 220, )
( dfrac {1} {2} (100026100 + 100086600) = 100056350, )
( dfrac {1} {2} (b + c) = (10005) (6350) (220) (55) (0) )

Isso viola (3) e, portanto, não está em (R ). Em geral, provaremos que se (x ) e (y ) estão em (R ), então ( bar {z} = dfrac {1} {2} (x + y) ) viola (3) e, portanto, não está em (R ).

Uma vez que (x ) e (y ) estão em (R ),

( bar {z} = dfrac { bar {x} + bar {y}} {2} = sum_ {i = 1} ^ {r - 2} dfrac {x_i ^ 2 + y_i ^ 2 } {2}. )

Por outro lado, (z ) em (R ) implica

( bar {z} = sum_ {i = 1} ^ {r - 2} z_i ^ 2 = sum_ {i = 1} ^ {r - 2} dfrac {(x_i + y_i) ^ 2} { 2}. )

Portanto, se (z ) está em (R ), então

( sum_ {i = 1} ^ {r - 2} dfrac {x_i ^ 2 + y_i ^ 2} {2} = sum_ {i = 1} ^ {r - 2} dfrac {(x_i + y_i ) ^ 2} {2}. )

Desse modo

( sum_ {i = 1} ^ {r - 2} dfrac {(x_i - y_i) ^ 2} {2} = 0, )

o que implica (x_i = y_i ) para (i = 1, 2, ..., r - 2 ). Isso junto com (1) e (2) implica que (x ) e (y ) não são distintos.

A sequência de Szekeres começa com 1, 2, 4, 5, 10, 11, ... Nossa sequência começa com

100000, 1000100100, 1000400200, ....

No entanto, os termos desta sequência são eventualmente muito menores do que os termos correspondentes da sequência de Szekeres. Agora estimamos quantos inteiros em (R ) contêm exatamente (r ) colchetes. Dados (r ) colchetes, podemos formar o primeiro dígito em cada um dos (r - 2 ) colchetes 0. Podemos preencher os primeiros (r - 2 ) colchetes de maneira arbitrária. Isso pode ser feito em

(10 ​​^ {0 + 1+ 2 + cdot cdot cdot + (r - 2)} = 10 ^ { dfrac {1} {2} (r - 1) (r - 2)} )

maneiras. Os dois últimos colchetes podem ser preenchidos de forma a satisfazer (1) e (3).

Para ver isso, precisamos apenas verificar se os dois últimos colchetes não serão sobrecarregados e se o último dígito, que definiremos como 1, não sofrerá interferência. Isso decorre da desigualdade

((10 ^ 1) ^ 2 + (10 ^ 2) ^ 2 + cdot cdot cdot + (10 ^ {r - 2}) ^ 2 <10 ^ {2 (r - 1)}. )

Para um dado (n ) seja (r ) o inteiro determinado por

[10 ^ { dfrac {1} {2} r (r + 1)} le n <10 ^ { dfrac {1} {2} (r + 1) (r + 2)}. ]

Uma vez que todos os inteiros com no máximo (r ) colchetes não excederão (n ), e uma vez que (r ) colchetes podem ser preenchidos conforme a especificação em (10 ​​^ { dfrac {1} {2} ( r - 2) (r - 1)} ) formas, temos

[R (n) ge 10 ^ { dfrac {1} {2} (r - 2) (r - 1)} ]

Do lado direito de (7.1), temos

(r + 2> sqrt {2 log n} )

de modo que (7.2) implica que

(R (n) ge 10 ^ { dfrac {1} {2} (r - 2) (r - 1)}> 10 ^ { log n - c sqrt { log n}}> 10 ^ {( log n) (1 - c / sqrt { log n})} )

onde todos os logs são baseados em 10.

Uma velha conjectura era que ( dfrac {A (n)} {n} to 0 ) para cada sequência não média. Isso só foi provado recentemente (1954) por K. F. Roth. Sua prova não é elementar.

L. Moser usou uma técnica semelhante para obter limites inferiores para a função de Van der Waerden (W (k, ell) ). Ele provou que (W (k, ell)> ell k ^ { log k} ), ou seja, mostrou como distribuir os números, 1, 2, ..., ([ ell k ^ { log k}] ) em classes (k ) de forma que nenhuma classe contenha 3 termos em progressão aritmética. Usando um método bem diferente, Erdo ( ddot {o} ) s e Rado mostraram que (W (k, ell)> sqrt {2 ell k ^ { ell}} ).

Erd ( ddot {o} ) s levantou a seguinte questão: Qual é o número máximo de inteiros (a_1

[2 ^ k le kn, ]

que implica

[k < dfrac { log n} { log 2} + (1 + o (1)) dfrac { log log n} { log 2}. ]

Agora mostramos como Erd ( ddot {o} ) s e Moser melhoraram essas estimativas (Nota do editor: O melhor limite inferior atual pode ser encontrado em I. Aliev, “Lema de Siegel e conjuntos distintos de soma,” Computação Discreta. Geom. 39 (2008), 59-66.) Para

[2 ^ k <4 sqrt {k} n, ]

que implica

[k < dfrac { log n} { log 2} + (1 + o (1)) dfrac { log log n} {2 log 2}. ]

A conjectura de Erd ( ddot {o} ) s é que

[k = dfrac { log n} { log 2} + o (1). ]

Denote a soma de (a ) 's distintos por (s_1, s_2, ..., s_ {2 ^ k} ) e deixe (A = a_1 + a_2 + cdot cdot cdot a_k ) . Observe que a soma média é ( dfrac {A} {2} ) uma vez que podemos emparelhar cada soma com a soma do conjunto complementar. Isso sugere que estimamos ( sum_i (s_i - dfrac {A} {2}) ^ 2 ).

Nós temos

( sum_i (s_i - dfrac {A} {2}) ^ 2 = sum dfrac {1} {2} ( pm a_1 pm a_2 pm cdot cdot cdot pm a_k) ^ 2 , )

onde a última soma ultrapassa as (2 ^ k ) distribuições possíveis de sinal. Após o quadrado, descobrimos que todos os termos cruzados vêm em pares, enquanto cada (a_i ^ 2 ) aparecerá (2 ^ k ) vezes. Desse modo

( sum_i (s_i - dfrac {A} {2}) ^ 2 = 2 ^ k sum a_i ^ 2 <2 ^ {k - 2} n ^ 2 k. )

Assim, o número de somas (s_i ) para as quais

(| s_i - dfrac {A} {2} | ge n sqrt {k} )

não pode exceder (2 ^ {k - 1} ). Como todas as somas são diferentes, temos (2 ^ {k - 1} ) números distintos em uma faixa de comprimento (2n sqrt {k} ). Isso resulta em (2 ^ {k - 1} le 2n sqrt {k} ) conforme necessário.

Seja (a_1

( dfrac {1} {2} ( sum a ^ {a_k}) ^ 2 + sum z ^ {2a_k} = sum f (n) z ^ n )
(= P _ { ell} (z) + a dfrac {z ^ { ell + 1}} {1 - z}, (f ( ell + 1) = a), )

onde (P (z) ) é um polinômio de grau ( le ell ). Se (z para -1 ) no eixo real, o lado direito permanece limitado, mas o lado esquerdo se aproxima do infinito, já que ambos os termos do lado esquerdo são positivos, e o segundo tende para o infinito. Essa contradição prova o teorema.

Turan e e Erd ( ddot {o} ) s conjeturaram que se (f (n)> 0 ) para todos suficientemente grandes (n ) then lim sup (f (n) = infty ) mas isso parece muito difícil de provar. Uma conjectura ainda mais forte seria que se (a_k> ck ^ 2 ) então lim sup (f (n) = infty ). O resultado mais conhecido nesta direção é apenas lim sup (f (n) ge 2 ).

Fuchs e Erdös provaram recentemente que

( sum_ {k = 1} ^ {n} f (k) = cn + o ( dfrac {n ^ { dfrac {1} {4}} { log n}) )

é impossível. Se (a_k = k ^ 2 ) chega-se ao problema dos pontos da rede em um círculo de raio (n ). Aqui Hardy e Landau provaram

( sum_ {k = 1} ^ n f (k) = pi n + o (n log n) )

não segura. Embora não seja tão forte quanto isso, o resultado de Erd ( ddot {o} ) s e Fuchs é aplicável a uma situação muito mais geral e é muito mais fácil (mas não muito fácil) de provar.

Seja (a_1

Um problema interessante não resolvido ao longo dessas linhas é encontrar uma sequência (B ): (b_1

Sejam (a_1

P. Scherk melhorou o ( dfrac {n} {2} ) para (n (2 - sqrt {2}) = 0,586n ). Por um método totalmente diferente, L. Moser melhorou isso para (. 712n ). Por outro lado, Selfridge, Ralston e Motzkin usaram S.W.A.C. para refutar a conjectura original e ter encontrado exemplos onde nenhum número é representável mais do que (. 8n ) vezes como uma diferença entre um (a ) e (a ) (b ).

Ainda outro conjunto de problemas interessantes da teoria dos números combinatórios gira em torno do conceito de cadeia de adição introduzido por A. Scholz. Uma cadeia de adição para (n ) é um conjunto de inteiros (1 = a_0

1, 2, 4, 8, 16, 24, 40, 80, 160, 320, 640, 664, 666

formar uma cadeia com (r = 12 ); o mesmo vale para

1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162, 324, 648, 666.

Em qualquer caso, devemos ter (a_1 = 2 ) e (a_2 = 3 ) ou 4. Pelo comprimento ( ell = ell (n) ) Scholtz entende o menor ( ell ) para o qual existe uma cadeia de adição (a_0, a_1, ..., a _ { ell} = n ).

Scholtz afirmou o seguinte:

(m + 1 le ell (n) le 2m ) para (2 ^ m + 1 le n le 2 ^ {m + 1} ) ( (m ge 1 ));
( ell (ab) le ell (a) + ell (b); )
( ell (2 ^ {m + 1} - 1) le m + ell (m + 1). )

Os dois primeiros são fáceis de provar. A terceira, conjeturaríamos ser falsa. Scholtz supôs que o primeiro poderia ser melhorado e levantou a questão de saber se

(1 le text {lim sup} _ {n to infty} dfrac { ell (n)} { log_2 n} le 2 )

Poderia ser melhorado.

A seguir, provamos (1) e esboçamos uma prova devida a A. Brauer que

( ell (n) thicksim log_2 n. )

Suponha que inteiros sejam escritos na base 2 e busquemos uma cadeia de adição para 10110110, digamos. Podemos formar a corrente

1, 10, 100, 101, 1010, 1011, 10110, 101100, 101101, 1011010,
1011011, 10110110, 101101100, 101101101.

Neste processo, cada dígito “custa” no máximo dois elementos na cadeia de forma que ( ell <2 log_2 n ). Visto que o lado esquerdo da desigualdade de (1) é trivial, o método sugerido acima produz uma prova de (1).

A ideia de Brauer é construir um grande estoque de números primeiro e usá-lo quando surgir a ocasião. Suponha que (n ) seja cerca de (2 ^ m ). Começamos com a cadeia 1, 2, ..., (2 ^ r ), onde (r ) será determinado posteriormente. Agora podemos quebrar os dígitos de (n ) em blocos de (m / r ) com (r ) dígitos em cada bloco. Por exemplo, suponha

(n = (101) (110) (010) (101) (111) )

Aqui (m = 15 ), (r = 3 ).

Começando com nosso estoque de todos os números de 3 dígitos, podemos proceder da seguinte forma:

1, 10, 100, ( underline {101} ), 1010, 10100, 101000, ( underline {101110} ),
1011100, 10111000, 101110000, ( underline {101110010} ), ...

onde entre os estágios sublinhados dobramos e nos estágios sublinhados adicionamos o número apropriado de nosso estoque para aumentar (n ). Nesse caso, precisaríamos de (2 ^ 3 + 2 ^ {15} + 5 ) etapas. Em geral, o número de passos para um número sob (2 ^ m ) seria cerca de (2 ^ r + m + dfrac {m} {c} ). Pela escolha apropriada de (r ) poderíamos fazer (2 ^ r + dfrac {m} {r} ) tão pequeno quanto quisermos em comparação com (m ). Na verdade, usando essa ideia, Brauer provou em geral

( ell (n) < log_2 n {1 + dfrac {1} { log log n} + dfrac {2 log 2} {( log n) ^ {1 - log 2}} }. )


Carl Pomerance

A função sum-of-own-divisors, BC & ndashMIT Number Theory Seminar, 15 de setembro de 2015.

A primeira função, Cal State Chico Colloquium, 5 de fevereiro de 2016.

A primeira função, Dartmouth Colloquium, 26 de maio de 2016.

The CRM Aisenstadt Chair Lectures, 8 de dezembro e ndash12, 2014, Montr e eacuteal.
Os intervalos de algumas funções familiares, 8 de dezembro de 2014.
A primeira função, 11 de dezembro de 2014.
Números amigáveis, 12 de dezembro de 2014

Cartas do mestre: minha correspondência com Paul Erd & # 337s,
Palestra no Grupo de Interesse Especial de História da Matemática da Mathematical Association of America,
Joint Mathematics Meetings, San Antonio, TX, 10 de janeiro de 2015.
Aqui alguns exemplos de cartas que serão discutidos no final da palestra.

Teoria dos números aleatórios,
Palestra em Random Roads: Uma celebração do 70º aniversário de Joel Spencer, NYU, 30 de abril de 2016.

O primeiro sistema dinâmico (com um recurso curto),
Escola de verão sobre geometria fractal e dimensões complexas, Cal Poly San Luis Obispo, 27 de junho de 2016.

Por que a conjectura do ABC, Aulas de Kummer e geometria anabeliana, U. Vermont, 10 a 11 de setembro de 2016.

Geradores euclidianos principais, Dartmouth Number Theory Seminar, 4 de outubro de 2016 e Integers Conference, U. West Georgia, 6 de outubro de 2016.
Geradores euclidianos principais, Conferência de Teoria dos Números da Costa Oeste, Pacific Grove, CA, dezembro de 2016.

O que ainda não sabemos sobre adição e multiplicação, Série de Palestras de Graduação, Michigan State U., 11 de outubro de 2016.

Teste de primazia: então e agora,
Comemorando 75 anos de Matemática da Computação, ICERM, 1º de novembro e ndash3, 2018, Providence.

O que ainda não sabemos sobre adição e multiplicação,
Trjitzinsky Lecture 1, U. Illinois Urbana-Champaign, 27 de novembro de 2018.
Teoria dos números aleatórios,
Trjitzinsky Lecture 2, U. Illinois Urbana-Champaign, 28 de novembro de 2018.
Teste de primazia: então e agora,
Trjitzinsky Lecture 3, U. Illinois Urbana-Champaign, 29 de novembro de 2018.

Conjectura de ordenação ciclotômica de Glasby,
West Coast Number Theory Conference, Asilomar, 16 de dezembro de 2019.

A primeira função,
Bay Area Mathematical Adventures, Santa Clara U., 31 de janeiro de 2020.

73 é o melhor número?,
MAA Golden Section Meeting, Mills College, 29 de fevereiro de 2020.

Primos simétricos,
CANT, Nova York (via Zoom), 3 de junho de 2020.

Números práticos,
Seminário Web de Teoria dos Números (via Zoom), 13 de agosto de 2020.

Sequências de alíquota,
Conferência de problemas não resolvidos: comemorando o legado vivo da matemática de Richard Guy,
University of Calgary (via Zoom), 2 de outubro de 2020.

Denominadores de números de Bernoulli,
Seminário de Teoria dos Números de Dartmouth (via Zoom), 25 de maio de 2021.


Problemas Abertos - Teoria dos Grafos e Combinatória

A maioria das páginas neste diretório ainda não foi criada até agora. Esta é principalmente uma lista de alguns problemas bem conhecidos para os quais páginas mais detalhadas serão escritas posteriormente. Sua acessibilidade neste estágio inicial é um apelo para que o material contribuído acelere seu desenvolvimento. A organização dos tópicos segue aproximadamente os quatro volumes de A Arte da Combinatória em desenvolvimento por D.B. Oeste. Assim, os quatro títulos principais são Teoria dos Grafos Extremais, Estrutura dos Gráficos, Ordem e Otimização e Arranjos e Métodos.
Como alternativa, abaixo está uma pesquisa direta, cortesia do Google. O código fornecido já não funciona como deveria, mas foi modificado para pesquisar no domínio www.math.uiuc.edu. Portanto, ele geralmente retornará algumas páginas nas quais você não tem interesse, mas também encontrará páginas com problemas nesta que contêm o seu termo de pesquisa.

Nota: Aqui está uma discussão sobre a notação para o número de vértices e o número de arestas de um gráfico G.


  • Capítulo 1. Composições e Partições
  • Capítulo 2. Funções Aritméticas
  • Capítulo 3. Distribuição de Primes
  • Capítulo 4. Números irracionais
  • Capítulo 5. Congruências
  • Capítulo 6. Equações Diofantinas
  • Capítulo 7. Teoria dos Números Combinatórios
  • Capítulo 8. Geometria dos Números

Este livro, que pressupõe familiaridade apenas com os conceitos mais elementares da aritmética (propriedades de divisibilidade, máximo divisor comum, etc.), é uma versão expandida de uma série de palestras para estudantes de graduação sobre teoria elementar dos números. Os tópicos incluem: Composições e partições Funções aritméticas Distribuição dos números irracionais dos primos Congruências Equações diofantinas Teoria dos números combinatórios e geometria dos números. Três seções de problemas (que incluem exercícios, bem como problemas não resolvidos) completam o texto.


O Grande Equívoco da Loteria

Todas as combinações na loteria têm a mesma probabilidade de serem sorteadas porque há apenas uma maneira de ganhar o jackpot.

Isso significa que 5-10-15-20-25-30 é igualmente provável? Bem, sim. Isso & # 8217s porque teoricamente:

P (5-10-15-20-25-30) = Uma maneira de ganhar o jackpot / Todas as combinações possíveis

Os mesmos cálculos se aplicam a 1-2-3-4-5-6 ou 2-4-6-8-10-12. Isso se aplica a todas as combinações.

Consequentemente, muitas pessoas e especialistas acreditam que a loteria não tem preconceito.

Essa crença deve ser corrigida.

Pergunte a si mesmo: você está disposto a apostar seu dinheiro no bilhete 5-10-15-20-25-30 ou 37-38-39-40-41-42?

Mas aqui está a coisa, se você se levantar com firmeza e dizer que essas combinações são tão prováveis ​​quanto quaisquer outras combinações na loteria, então por que se preocupar?

É porque a intuição é muito mais forte do que a lógica? 14

Você vai confiar em seu & # 8220gut & # 8221 ou em sua & # 8220logic? & # 8221

É porque você não confia em seu cálculo ou seu entendimento de probabilidade está baseado em uma base fraca.

Veja, uma estratégia baseada em um & # 8220gut pressentimento & # 8221 não deve ser superior ao raciocínio matemático.

A realidade, essas combinações sequenciais diretas, múltiplos diretos e todas as combinações com padrões bastante observáveis, todas essas combinações são consideradas & # 8220incomum, & # 8221coincidências, & # 8221 e & # 8220cru& # 8221 eventos.

Em matemática, tudo isso aparentemente & # 8220; estranho e surpreendente& # 8221 eventos devem ocorrer porque uma loteria aleatória deve seguir o ditado do lei dos números verdadeiramente grandes. 15 , 16

Portanto, embora a combinação 1-2-3-4-5-6 seja possível, entenda que sua capacidade de ganhar o jackpot é prejudicada porque você precisa de um número verdadeiramente grande de oportunidades para realizar seu sonho. Na loteria, isso significa que você precisa de milhões de sorteios para encontrar essa combinação improvável.

E isso é exatamente como estar errado ao jogar na loteria.

É claro que sua intuição pode estar salvando você, mas também é a mesma intuição que o impede de vencer. Isso é porque você vê apenas a ponta do iceberg.

A verdade, milhões das piores combinações existem em seu jogo, e você provavelmente desperdiçou seu dinheiro em uma delas.

Como estou dizendo, é melhor saber por que as coisas acontecem e por que não acontecem.

Agora, deixe-me explicar esse & # 8220 pressentimento & # 8221 em termos matemáticos à medida que você prossegue abaixo.

As combinações não são criadas da mesma forma

Você tem que entender que uma combinação é uma composição de números.

A melhor maneira de explicar a composição é por meio padrões combinatórios.

Com o uso da teoria da probabilidade, podemos separar o melhor grupo dos piores.

Abaixo estão exemplos de padrões combinatórios em um sistema de loteria 6/49.

Uma combinação que consiste em todos os números pares só pode ocorrer uma vez em 100 sorteios, enquanto uma combinação ímpar e par equilibrada pode ocorrer 33 vezes em 100 sorteios.

Se quisermos saber como esses dois grupos ocorrerão em 1000 sorteios, precisamos apenas multiplicar o número pela probabilidade correspondente.

Como você pode ver, combinações de 3 ímpares-3 pares ocorrem com mais frequência do que uma combinação de 6 pares.

Então agora, como podemos entender a diferença entre as duas combinações?

É simples. Variância existe. Nas estatísticas, uma variação é uma medida de quão amplamente espalhados são os resultados possíveis de uma decisão. 17

Ok, o conceito de variação pode parecer muito técnico, então não é simples.

Deixe-me oferecer uma explicação melhor.

A chave é entender que as probabilidades e as probabilidades são dois termos diferentes com duas equações diferentes. 18, 19

Probabilidade é a medida da probabilidade de que um evento ocorra, enquanto as probabilidades se referem à razão entre o sucesso e o fracasso.

Em termos simples, não temos controle sobre a probabilidade de vitória. Mas temos o poder de escolher melhores chances.

Existem 4.655.200 maneiras de combinar combinações 3-ímpar-3-pares. Portanto, 333 de 1000 empates o colocarão em uma vantagem de 1 a 4,6 milhões, em vez de 1 a 14 milhões.

Isso significa que para cada 100 tentativas de jogar na loteria, aproximadamente 33 dessas tentativas são oportunidades de acertar a combinação vencedora.

Em comparação, as combinações de 6 pares dar-lhe-ão probabilidades de 1 a 134.596, mas esteja ciente de que esta vantagem acontecerá apenas nove vezes em 1000 empates.

Isso significa que se você jogar 2-4-6-8-10-12, então espere que sua oportunidade de ganhar o jackpot apareça a cada 100 vezes que você jogar.

Como um jogador de loteria, eu não acho que você estará disposto a gastar dinheiro e então verá seu dinheiro ir pelo ralo na maioria dos sorteios. Você certamente deseja colocar mais valor em seu dinheiro ao escolher jogar o tipo de combinação que fornece uma melhor proporção de sucesso para fracasso.

Combinação de 6 paresCombinação 3-ímpar-3-par
134.596 maneiras de ganhar4.655.200 maneiras de ganhar
13.849.220 maneiras de falhar9.328.616 maneiras de falhar
1 oportunidade de vencer em 104 tentativas33 oportunidades de vencer em 100 tentativas
BAIXA RELAÇÃO DE SUCESSO ALTA RELAÇÃO DE SUCESSO
Não é uma escolha inteligente Uma escolha inteligente

Como você pode ver, uma estratégia matemática trata de escolher a melhor proporção de sucesso para fracasso. Você precisa de matemática para saber todas as opções possíveis para fazer a escolha certa.

Lembrar

Seu objetivo é ganhar na loteria, e a primeira coisa que você deve saber antes de jogar é saber a proporção entre o sucesso e o fracasso e escolher o melhor. Você não pode alterar a probabilidade subjacente e não pode vencer as probabilidades da loteria, mas como um jogador de loteria, você tem o poder de saber e fazer a escolha certa. Mesmo escolher não jogar é uma estratégia por si só.

Simplificando, combinações erradas levam a um desperdício de dinheiro.

A escolha certa da combinação leva a uma boa chance na loteria.

Graças à matemática combinatória e à teoria da probabilidade, porque temos os meios para saber se você está ou não no caminho certo.

Deixe-me dar outra maneira de explicar isso.

Aqui & # 8217s porque as combinações não são criadas igualmente

Deixe-me explicar com o uso de dois tipos simples de bolinhas de gude em uma jarra. Os mármores amarelos e vermelhos representam os tipos de combinações na loteria.

Como você pode ver, os mármores amarelos superaram em número os cinco mármores vermelhos. A probabilidade explica que, quando você escolhe aleatoriamente uma bola de gude de uma jarra com os olhos fechados, é mais provável que você obtenha uma amarela.

Sua segunda e terceira escolha serão mais provavelmente bolinhas amarelas novamente, porque a probabilidade tende a que as bolinhas amarelas sejam apanhadas com mais frequência do que as vermelhas.

P (amarelo) = 95/100 ou 0,95

P (vermelho) = 5/100 ou 0,05

Assumindo que redefinimos o número de bolinhas em cada tentativa, as bolinhas amarelas serão colhidas 95 vezes a cada 100 sorteios. Então, as bolinhas vermelhas serão escolhidas apenas cinco vezes em cada 100 sorteios.

Frequência esperada (bola amarela) = 100 x 0,95 = 95 vezes

Frequência esperada (bola vermelha) = 100 x 0,05 = 5 vezes

Portanto, se você apostar seu dinheiro na bola vermelha, isso significa que você está 95% errado na maioria dos sorteios.

O mesmo princípio de probabilidade rege em um jogo aleatório como a loteria. We use mathematics to help us make the right decision for the majority of the time.

Here’s something for you to remember:

It’s the ratio of success to failure that matters, not the probability per se. You cannot control the underlying probability, but you have the power to choose better odds. The role of mathematics is to help you identify the things you don’t have control over to focus on the things you can do easily.

Let me give you solid evidence that, indeed, your choice of combination matters.

Odd/Even combinations

Let’s group 49 numbers in two sets.

We have 25 odd numbers and 24 even numbers. The two sets represent the 49 balls of a Lotto 6/49 game.

Out of these two sets, we can produce the following types of combinations:

Each odd/even pattern holds a certain number of possible combinations. Their total represents all the possible combinations in a lotto 6/49 game, which is 13,983,816. And the sum of all their probabilities should equal 1.

From the table above, we see that the best group in a lotto 6/49 game is the 3-odd-3-even. This group will give you 33 ways to win the jackpot in 100 draws.

And accordingly, those combinations which consist of either all-even or all-odd numbers will only give you one opportunity to match the jackpot combination every 100 draws.Hence, these two groups are the worst.

Noticeably, some groups are neither best nor worst. These combinations are considered the middle ones.

Remember

Choosing a 3-odd-3-even combination instead of 6-even (e.g., 2-4-6-8-10-12) WILL NOT increase your chances of winning because all combinations have the same probability. You should not choose 2-4-6-8-10-12 because the 0-odd-6-even pattern has fewer ways to win and have more ways to fail. It would be best to choose 3-odd-3-even because it gives you the best ratio of success to failure.

The following tables below should guide all lotto 6/49 players on what combinations to play in a lottery draw.

Recommended Combinations

Middle Type Combinations

Combinations to Avoid

Actual ODD-EVEN Pattern Frequency Versus Theoretical Calculation

I have shown that combinations are not created equally. Now, let’s prove it by comparing our calculation with the actual lottery results.

As I said, we use probability to measure how likely a group will occur in a given number of draws. So by multiplying the probability value by a certain number of draws, we get the expected frequency.

Expected frequency = Probability X number of draws

And to prove that our theoretical calculation is correct, the expected frequency should closely match the actual frequency.

Now, let’s see how our theoretical calculations fare with the real-world scenario below:

Australian Saturday Lotto
734 draws from January 7, 2006, to February 1, 2020

Can you notice the close match between expected frequency and actual frequency?

Take note that probability is simply a guide. Don’t expect that values will perfectly match. Sometimes they do.

And as you see, the above table proves that combinatorial groups don’t have equal probability.

Of course, a probability analysis applies to the Australian lottery and all lottery systems. Let’s move on to other lottery systems to prove our point further.

U.S Powerball
449 draws from October 7, 2015, to February 5, 2020

Note: Our analysis of the U.S. Powerball must start on October 7, 2015, because this was the date when lottery officials began to implement the 5/69 format.

If you notice, both theoretical probability and the actual lottery results agree that combinatorial groups have different probabilities. And we can prove it again and again.

The succeeding tables below should speak for themselves.

Euro Millions
1,276 draws from April 16, 2004, to February 4, 2020

Euro Jackpot
410 draws from March 23, 2012, to January 31, 2020

Irish Lotto
461 draws from September 5, 2015, to February 5, 2020

U.S. Mega Millions
237 total draws From October 31, 2017, to February 4, 2020

Note: Our analysis of the U.S. Mega Millions must start on October 31, 2017, because this was the date when lottery officials began to implement the 5/70 format.

UK Lottery
449 draws from October 10, 2015 to February 5, 2020

Low/High Combinations

Aside from odd and even, numbers can be grouped into low and high. Let’s group 49 numbers into two sets:

Out of these two sets, our probability analysis shows that winning numbers tend to be evenly distributed in the entire number field as the majority of the winning combinations consist of 3 numbers from the lower set and three numbers from the higher set.

Similarly, players are encouraged to stay away from a group that consists of purely low numbers or purely high numbers.

Remember

Choosing a 3-low-3-high combination instead of a 6-low combination (e.g., 1-2-3-4-5-6) WILL NOT increase your chances of winning because all combinations are equally likely. You should avoid 1-2-3-4-5-6 because a 6-low-0-high pattern has fewer ways to win and more ways to fail. I recommend choosing 3-low-3-high because it offers the best ratio of success to failure.

Below are the tables showing all the groups we can produce from the two sets of numbers.

Recommended Combinations

Middle Patterns

Worst Patterns

Actual LOW-HIGH Pattern Frequency Versus Theoretical Calculation

Again, both theoretical calculation and the actual lottery results agree that some groups perform better than others.

Take a look at the following tables below:

Australian Saturday Lotto
734 draws from January 7, 2006, to February 1, 2020

U.S Powerball
449 draws from October 7, 2015, to February 5, 2020

Note: Our analysis of the U.S. Powerball must start on October 7, 2015, because this was the date when lottery officials began to implement the 5/69 format.

Euro Millions
1,276 draws from April 16, 2004, to February 4, 2020

Euro Jackpot
410 draws from March 23, 2012, to January 31, 2020

Irish Lotto
461 draws from September 5, 2015, to February 5, 2020

U.S. Mega Millions
237 draws from October 31, 2017, to February 4, 2020

Note: Our analysis of the U.S. Mega Millions must start on October 31, 2017, because this was the date when lottery officials began to implement the 5/70 format.

UK Lottery
449 draws from October 10, 2015, to February 5, 2020

The Problem With Two Separate Analysis

Probability analysis can be problematic and quite confusing.

For example, a combination such as 1-2-3-4-5-6 consists of 3-odd-3-even numbers. According to our odd/even analysis, such a combination is considered one of the best ones.

But we know it’s not true because conversely, from our low/high analysis, a combination made of purely low numbers possesses an inferior probability.

There should be a better method. Fortunately, there is, and you are about to discover advanced ideas on combinatorics in the next section.


A nonstandard technique in combinatorial number theory

In Di Nasso (2015) and Luperi Baglini (2012) it has been introduced a technique, based on nonstandard analysis, to study some problems in combinatorial number theory. In this paper we review such a technique and we present three of its applications: the first one is a new proof of a known result regarding the algebra of β N , namely that the center of the semigroup ( β N , ⊕ ) is N the second one is a generalization of a theorem of Bergelson and Hindman on arithmetic progressions of length three the third one regards the study of which polynomials in several variables with integers coefficients have a monochromatic solution for every finite coloring of N . We will study this last application in more detail: we will prove some algebraical properties of the set P of such polynomials and we will present a few examples of nonlinear polynomials in P .

In the first part of the paper we will recall the main results of the nonstandard technique that we want to use, which is based on a characterization of ultrafilters by means of nonstandard analysis.


1.7: Combinatorial Number Theory

Questions based on various concepts of number theory and different types of number are quite frequently asked in programming contests. In this article, we discuss some famous facts and algorithms:

  1. All 4 digit palindromic numbers are divisible by 11.
  2. If we repeat a three-digit number twice, to form a six-digit number. The result will will be divisible by 7, 11 and 13, and dividing by all three will give your original three-digit number.
  3. A number of form 2 N has exactly N+1 divisors. For example 4 has 3 divisors, 1, 2 and 4.
  4. To calculate sum of factors of a number, we can find the number of prime factors and their exponents. Let p1, p2, … pk be prime factors of n. Let a1, a2, .. ak be highest powers of p1, p2, .. pk respectively that divide n, i.e., we can write n as n = (p1 uma1 )*(p2 uma2 )* … (pk umak ).
  5. For a product of N numbers, if we have to subtract a constant K such that the product gets its maximum value, then subtract it from a largest value such that largest value-k is greater than 0. If we have to subtract a constant K such that the product gets its minimum value, then subtract it from the smallest value where smallest value-k should be greater than 0 Every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of 2 primes.s: Perfect numbers are those numbers which are equal to the sum of their proper divisors. Example: 6 = 1 + 2 + 3: Are those numbers that cannot form a palindrome when repeatedly reversed and added to itself. For example 47 is not a Lychrel Number as 47 + 74 = 121 : Any odd integer greater than 5 can be expressed as a sum of an odd prime (all primes other than 2 are odd) and an even semiprime. A semiprime number is a product of two prime numbers. This is called Lemoine’s conjecture. : According to the theorem, no three positive integers a, b, c satisfy the equation, for any integer value of n greater than 2. For n = 1 and n = 2, the equation have infinitely many solutions.

Number Theory Algorithms

GCD and LCM

Prime Factorization and Divisors :

Fibonacci Numbers:

Catalan Numbers :

Modular Arithmetic :

Euler Totient Function:

nCr Computations :

Prime numbers and Primality Tests :

Sieve Algorithms :

Divisibility and Large Numbers :

Above facts are contributed by Yash Kodesia. If you like GeeksforGeeks and would like to contribute, you can also write an article and mail your article to contribute@geeksforgeeks.org. See your article appearing on the GeeksforGeeks main page and help other Geeks.

Please write comments if you find anything incorrect, or you want to share more facts about Number Theory.

Atenção leitor! Não pare de aprender agora. Get hold of all the important mathematical concepts for competitive programming with the Essential Maths for CP Course at a student-friendly price. To complete your preparation from learning a language to DS Algo and many more, please refer Complete Interview Preparation Course.


  1. Front Matter: cover page, preface.
  2. Chapter 1: Lecture 1.
  3. Chapter 2: Sections 1-2 cover Lecture 2. The remainder covers Lecture 3.
  4. Chapter 3: Lecture 4 and most of Lecture 5.
  5. Chapter 4: end of Lecture 5 and all of Lecture 6.
  6. Chapter 5: Lecture 7.
  7. Chapter 6: Lecture 8.
  8. Chapter 7: Lecture 9.
  9. Chapter 8: Lecture 10.

Homework assignments will be posted here soon after every lecture, and are due next lecture. The assignments consist of solutions of an exercises component and a (bonus) proofreading component. It is not mandatory to solve all exercises in each assignment.

The proofreading component will add at most 5% to the final grade, and will be graded separately. It includes reading the relevant material and suggesting corrections of typographic, grammatical, and mathematical errors as well as suggestions for improvements (if applicable). (Particularly helpful students would be acknowledged at the end of this page.)

  1. Eeach week, in rotation, two students will check the assignments, write comments, and provide a grade.
  2. The grade will not be out of 100, but rather one of three categories: C (fail), B (ok), A (excellent), and A+ (exceptional). A+ should really mean exceptional. Excessive use (say, more than 10%) of this grade would request a re-grading.
  3. The exercise assignment should be graded separately from the proofreading assignment.
  4. Each of the two graders will check about half of the questions, across all assignments handed.
  5. The graders will not hand out their own assignment. Their grade will be determined by the lecturer, according to the quality of their checking, commenting, and grading.
  6. The graders will collect the proofreading comments into a single file (deciding among contradicting suggestions, possibly by consulting those suggesting them) and hand to the lecturer.
  7. The graders will hand everything to the lecturer in the day of the lecture the latest. The lecturer will, after examination, put them in his mailbox for distribution. (Expected: Mondays.)

Graders: Neta Atzmon and Gil Goffer.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 2, Sections 1-2 (see above).
    • Solve Exercises 1.7, 1.14, 2.2.
  2. Second option: Solve the follwing challenge and email your solution directly to me:
    • Challenge 1. Find an elementary proof for Theorem 2.1 (in Chapter 2, the Full Compactness Theorem).

Graders: Lubna Abu-Rmaileh and Aviv Eshed.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 2, Sections 3-6 (see above).
    • Solve Exercises 3.15, 3.16, 4.5, 4.11.
  2. Second option: Solve Challenge 1 above (see update there).

Graders: Myriam Goor and Jonathan Rosenskii.

Due: Wednesday, 23.4, 12:00, in my mailbox.

Graders: Ayelet Gottlieb and Anna Hoffmann.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 3 (from the paragraph preceding Definition 4.5 on page 24 to the end of the section) and the available part of Chapter 4.
    • Solve Exercises 4.8, 5.2, 6.8 in Chapter 3 and Exercise 1.4 in Chapter 4.
    • Read the following Problem, the discussion there, and the answer. If anything there is unclear, post your question as a comment there and it will be answered. (You may wish to create a MathOverflow user, but I think you can post questions even without being a user.)
  2. Second option: Solve any of the following two challenge problems

Challenge 2: Often, more general theorems are easier to prove. The reason is that by abstracting out unnecessary properties, our attention is focused on the relevant ones. Could it be that the following general Finite Products Theorem proved in Chapter 4 has a digestible elementary proof?

Teorema. For each moving semigroup S, every finite coloring of S has a monochromatic FP set.

The challenge is to discover such a proof. It may be a very hard challenge, or it may lead to a more general (than just containing a moving semigroup) assumption that may, in turn, lead to a relatively simple elementary proof. It would probably be a noteworthy (and definitely publishable--unless this was solved already) achievment to solve this challenge. You may wish to consult Baumgartner's elementary proof of Hindman's Theorem for inspiration, and do some web search first.
Update: It may be better to assume, instead of "moving", that there are elements uma1, a2. in S such that the intersection of all sets FP(an, an+1. ) for all natural numbers n is empty. This assumption is more general than assuming the semigroup contains a moving semigroup (subchallenge: find an elementary proof for the last assertion).

Challenge 3: Find a characterization, in terms of properties of the semigroup S, of the property there is a nonprincipal idempotent in &beta(S)S.

Update: Challenge 3 was solved by Neil Hindman and me. The solution will hopefully be added to the book at some point.

Due: Wednesday, 7.5, 12:00, in the envelope in my mailbox.

Graders: Or Dagmi and Asher Patinkin.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 4 (whatever not read in the previous week).
    • Solve Exercises 1.10, 2.4, 3.4, 3.8.
  2. Second option: Solve any of the above challenges, or the following one.

Challenge 4. Deixar N be the additive semigroup of natural numbers. Is the semigroup &beta(N)N moving? Does it contain a moving subsemigroup?
Update: Second part solved by Alexander Shamov, in the positive.

Due: Monday, 12.5, 12:00, in the envelope in my mailbox.

Graders: Yaron Harel and Sigal Rotem.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 5.
    • Solve Exercises 1.9, 2.6, 2.12.
  2. Second option: Make progress on any of the above challenges.

Due: Monday, 26.5, 12:00, in the envelope in my mailbox.

Graders: Neta Atzmon and Gil Goffer.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 6.
    • Solve Exercises 2.1, 2.4, 2.6, 2.7.
  2. Second option: Make progress on any of the above unsolved challenges.

Due: Monday, 2.6, 12:00, in the envelope in my mailbox.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 7.
    • Solve Exercises 1.3, 2.5, 3.6.
  2. Second option: Obviously, Schur's equation x+y-z=0 has a solution x,y,z in A for every FS set UMA.

Challenge 5: Characterize the linear homogeneous equations with integer coefficients that have solutions in every FS set UMA.

Due: Monday, 9.6, 12:00, in the envelope in my mailbox.

  1. First option:
    • (Proof)Read Chaper 8.
    • Solve Exercises 2.3, 2.8.
  2. Second option: Make progress on a challenge.

Due: Monday, 16.6, 12:00, in the envelope in my mailbox.

Graders: Myriam Goor and Jonathan Rosenskii.

The role of this assignment is to demonstrate your ability to come up with, and consider, problems of the nature studied in the course. A starting point may be any of the yet unsolved challenges posted above or below. You may also read and use any related literature. In particular, you may consider the book of Hindman and Strauss - some of the problems you come up with may be solved. It is fine not to consider outside literature if you do not wish to do so.

Summarize your attacks on the problems, alternative problems you tried, and if unsuccessful, what where the obstacles. You may begin with easy variations of the problems you are considering, and make them harder until you fail to solve them (write down which variations you tried, ordered from easy to hard, and sketch the solutions for those you solved). Write down any insight that came to you during your concentrated efforts.

You may discuss matters in groups, but write separately. The assignments should not exceed 4 pages of text, unless you see a clear need (in such a case, provide a brief explanation at the beginning why you needed more than 4 pages).

The weight of this assignment (and the estimated time needed for it) is equivalent to that of two earlier assignments.

Challenge 6: We begin with some definitions. A family F of sets is partition regular if, for each UMA in F and each partition A=B U C, we have that B is in F ou C is in F.

Deixar S1(F) be the statement: For all UMA1,A2. in F, there are elements uma1 in UMA1, uma2 in UMA2,. such that the set <>1,a2. > is in F.

  1. A partition regular family F de tal modo que S1(F) holds
  2. A set UMA in F e
  3. A finite coloring of [A] 2 ,

Remark: This is posed as Conjecture 1.19 in my paper Superfilters, Ramsey theory, and van der Waerden's Theorem (with N. Samet, an alumni WIS student!), available here. But we didn't think about this. This may be solvable. In that paper, there is a simpler reformulation (you just need to prove that F is not "weakly Ramsey"/"strongly Ramsey", as defined in Definition 1.6 there.)

Due: (Originally, Thursday, 24.7.14.) Due to the war, you may postpone your submission due as much as reasonably needed. Just notify me by mail in case you do so.


Number Theory and Combinatorics

This page contains a list of ideas for DRP projects, but is by no means exhaustive.

Topic: Generating Functions
Suggested Texto: generatingfunctionology, Herbert S. Wilf
Suggested Background: MATH 1301 (Accelerated Single-Variable Calculus II)
Descrição: Using the idea of Taylor series but only requiring basic algebra, generating functions prove to be one of the most effective methods of understanding sequences of numbers in combinatorics and number theory. For example, there is a simple (non-recursive) formula for the Fibonacci numbers that one can very quickly prove! Generating functions give wide-ranging methods that allow one to prove surprising binomial and combinatorial identities that would be otherwise difficult to prove or even discover in the first place.

Topic: Irrationality and Transcendence
Suggested Texto: An Introduction to Number Theory, Ivan Niven, Herbert Zuckerman, & Hugh Montgomery, and Transcendental Numbers, M. Ram Murty & Purusottam Rath
Suggested Background: MATH 3300 (Abstract Algebra) is a prerequisite for the more advanced transcendence theory material
Descrição: Irrational numbers are real numbers which cannot be expressed as the quotient (n/m) of two integers (where (m) is non-zero). Transcendental numbers are real numbers which are not the roots of any polynomial of a single-variable whose coefficients are rational. Famously, both (e) and (pi) are transcendental, but proving this is extremely non-trivial. In general, transcendentality is difficult to prove (it is known that at least one of (e+pi) and (ecdot pi) are transcendental, but neither has been proven so). However, it ends up that quase tudo real numbers are transcendental!

Topic: Basic Analytic Number Theory
Book: Introduction to Analytic Number Theory, Tom Apostol
Suggest Background: MATH 1301 (Accelerated Single-Variable Calculus II)
Descrição: One of the fundamentally fascinating aspects of number theory is the interplay between the discrete and the continuous. While it is difficult to determine when exactly a prime number occurs, the prime number theorem tells us that the number of primes less than or equal to (x) is approximately (x/log x) for (x) sufficiently large. This tells us that although many of the quantities we may wish to know about prime numbers (such as how many there are up to a given point) may be better studied by understanding continuous approximations to them. As a result, we can use basic calculus techniques to understand prime numbers much better.

Topic: Elliptic Curves
Book: Rational Points on Elliptic Curves, Joseph H. Silverman & John Tate
Suggested Background: MATH 3300 (Abstract Algebra), MATH 3800 (Theory of Numbers)
Descrição: Elliptic curves have become one of the most exciting fields of study in recent years. Fundamentally, elliptic curves are simply the solution set of (y^2 = x^3 + ax + b), which would appear to not be much more difficult to understand than conic sections. However, it turns out that they contain a breadth of number theoretic information, being fundamental to Andrew Wiles’s proof of Fermat’s Last Theorem. Additionally, they have proved useful in a variety of other areas, such as cryptography. A reading program in this area would entail learning the basics, giving the student an understanding of both the difficulty and depth of this area, and allowing them to see why so many mathematicians have become fascinated with these objects.

Topic: (p)-adic Analysis
Suggested Text: (p)-adic Numbers – An Introduction, Fernando Q. Gouvea
Suggested Background: MATH 3100 (Introduction to Analysis) or MATH 3300 (Abstract Algebra)
Descrição: (p)-adic analysis represents a different approach to correcting the failings of the field of rational numbers, with a resulting theory that looks wildly different from the classical analysis of the real line. The (p)-adic reals (for each prime (p)) are nevertheless rich objects of study, both from an analytic point of view, as well as an algebraic one.

Topic: Probabilistic Methods in Combinatorics and Number Theory
Book: The Probabilistic Method, Noga Alon & Joel H. Spencer
Suggested Background: Familiarity with graph theory
Descrição: Using basic probability, it is possible to prove a number of results in graph theory and number theory that would be extremely difficult to prove otherwise. In order to show that certain types of graphs exist for example, one could directly construct such graphs however, by making a collection of graphs into a probability space and proving that such a graph exists with non-zero probability, this existence proof may only take a few lines. One of the reasons for Erdős’s impressive mathematical abilities is the mastery of this method. In a directed reading program, a student would be able to come familiar with the basic ideas of this technique and gain some understanding as to when certain problems may be particularly susceptible to it.


Assista o vídeo: Binômio de Newton - AULA 9 - Análise Combinatória - Professora Angela (Dezembro 2021).