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7.2: Linhas Paralelas - Matemática


7.2: Linhas Paralelas - Matemática

7.2: Linhas Paralelas - Matemática

2.7.2 Postulado Paralelo Hiperbólico Imprimir
Do nada, criei um novo universo estranho.
János Bolyai (1802-1860)

Postulado hiperbólico paralelo. Através de um ponto fora de uma linha, há mais de uma linha paralela à linha dada.

Tal como acontece com o Postulado do Paralelo Euclidiano, existem muitas afirmações que são equivalentes ao Postulado do Paralelo Hiperbólico. Uma lista de amostra é fornecida abaixo. Observe a semelhança com os postulados euclidianos equivalentes desse padrão; devemos ser capazes de ver muitas outras declarações equivalentes. O Semiplano de Poincaré é um modelo de geometria hiperbólica, com a qual completamos vários exemplos nas seções anteriores. O disco de Poincaré é outro modelo de geometria hiperbólica. Clique aqui para obter uma ilustração do disco de Poincaré ou investigue o disco de Poincaré com software java interativo NonEuclid . Este curso de pesquisa não irá desenvolver ou provar nenhum dos conceitos da geometria hiperbólica. Os exercícios abaixo pretendem explorar os princípios básicos, sem comprovação. Muitos livros sobre geometria não euclidiana desenvolvem completamente os conceitos de geometria hiperbólica, veja aqueles para as provas.


Proposição hiperbólica 2.1. A soma das medidas dos ângulos de um triângulo é menor que 180.

Proposição hiperbólica 2.2. Triângulos semelhantes são triângulos congruentes.

Proposição hiperbólica 2.3. Através de um determinado ponto fora de uma linha, existem infinitas linhas paralelas à linha dada.

Proposição hiperbólica 2.4. Os ângulos do ápice de um quadrilátero de Saccheri medem cada um menos que 90.

Proposição hiperbólica 2.5. Nenhum quadrilátero é um retângulo.

Use o software de geometria dinâmica com o Semi-plano de Poincaré para as investigações de construção (Geometer's Sketchpad, GeoGebra, ou NonEuclid). O script para Sketchpad do Geometer ou Half-plane GeoGebra Poincaré está no Apêndice B da Página de Título e Índice. Certifique-se de usar as ferramentas de construção do meio plano de Poincaré para linhas, raios, segmentos, ângulos, círculos, etc. Não use as ferramentas euclidianas.

Exercício 2.68. Construa um triângulo no Semiplano de Poincaré. (a) Encontre a soma das medidas dos ângulos. (b) Encontre um triângulo onde a soma das medidas dos ângulos seja menor que 5. (c) Encontre um triângulo onde a soma das medidas seja maior que 175.

Exercício 2.69. (a) Construa duas retas perpendiculares no Semiplano de Poincaré, conforme ilustrado à direita. (b) Prove que as duas linhas são perpendiculares. (c) Esta construção é válida para uma geometria neutra (ou geometria euclidiana)? Explique.

Exercício 2.70.Use o procedimento do Exercício 2.69 para este exercício. (a) Construa um quadrilátero de Saccheri no Semiplano de Poincaré que tenha a base e os lados todos congruentes. (b) Podemos dizer que em um mundo hiperbólico, & quotNenhum corpo é um 'quadrado'. & quot? Explique.

Exercício 2.71. (a) Construa um quadrilátero no Semiplano de Poincaré que tenha três ângulos retos. (Este quadrilátero é chamado de quadrilátero de Lambert após Johann Lambert (1728–1777).) (b) Qual é a medida do quarto ângulo? (c) Prove ou refute que um quadrilátero de Lambert é um paralelogramo. (d) O resultado da parte (c) é válido para uma geometria neutra (ou geometria euclidiana)?

Exercício 2.72.(a) Construa duas linhas paralelas no Semiplano de Poincaré, construindo-as perpendiculares à mesma linha. (b) O que acontece com a distância entre as duas linhas paralelas à medida que você se afasta da linha perpendicular?

Exercício 2.73. Investigue a questão: No Semiplano de Poincaré, duas retas paralelas sempre têm uma perpendicular comum? Se eles nem sempre têm uma perpendicular comum, como as duas linhas paralelas estão relacionadas?

Exercício 2.74. Use as definições dos modelos, não Geometer & # 39s Sketchpad ou GeoGebra para este exercício. Dado UMA(0, 2), B(0, 1), C , e D no Semiplano de Poincaré. (a) Mostrar quadrilátero ABCD é um quadrilátero Saccheri. (b) Como os comprimentos do cume e da base se comparam?


Maharashtra Board Class 9 Maths Solutions Capítulo 7 Coordenadas Geometria Practice Set 7.2

Questão 1.
Em um papel gráfico trace os pontos A (3, 0), B (3, 3), C (0, 3). Junte A, B e B, C. Qual é a figura formada?
Solução:

d (O, A) = 3 cm, d (A, B) = 3 cm, d (B, C) = 3 cm, d (O, C) = 3 cm e cada ângulo de □ OABC é 90 °
∴ □ OABC é um quadrado.

Questão 2.
Escreva a equação da linha paralela ao eixo Y a uma distância de 7 unidades dele à sua esquerda.
Solução:
A equação de uma linha paralela ao eixo Y é x = a.
Uma vez que a linha está a uma distância de 7 unidades à esquerda do eixo Y,
∴ a = -7
∴ x = -1 é a equação da linha necessária.

Questão 3.
Escreva a equação da linha paralela ao eixo X a uma distância de 5 unidades dele e abaixo do eixo X.
Solução:
A equação de uma linha paralela ao eixo X é y = b.
Desde então, a linha está a uma distância de 5 unidades abaixo do eixo X.
∴ b = -5
∴ y = -5 é a equação da linha necessária.

Questão 4.
O ponto Q (-3, -2) encontra-se em uma linha paralela ao eixo Y. Escreva a equação da reta e desenhe seu gráfico.
Solução:
A equação de uma linha paralela ao eixo Y é x = a.
Aqui, a = -3
∴ x = -3 é a equação da linha necessária.

Questão 5.
O eixo Y e a linha x = & # 8211 4 são linhas paralelas. Qual é a distância entre eles?
Solução:
A equação do eixo Y é x = 0.
A equação da linha paralela ao eixo Y é x = & # 8211 4. & # 8230 [Dado]
∴ Distância entre o eixo Y e a linha x = & # 8211 4 é 0 & # 8211 (- 4) & # 8230 [0 & gt -4]
= 0 + 4 = 4 unidades
∴ A distância entre o eixo Y e a linha x = & # 8211 4 é 4 unidades.
[Observação: a questão foi modificada, pois o eixo X não pode ser paralelo à linha x = & # 8211 4.]

Questão 6.
Qual das equações fornecidas abaixo tem gráficos paralelos ao eixo X e quais têm gráficos paralelos ao eixo Y? [1 marca cada]
eu. x = 3
ii. y & # 8211 2 = 0
iii. x + 6 = 0
4. y = -5
Solução:
eu. A equação de uma linha paralela ao eixo Y é x = a.
∴ A linha x = 3 é paralela ao eixo Y.

ii. y & # 8211 2 = 0
∴ y = 2
A equação de uma linha paralela ao eixo X é y = b.
∴ A linha y & # 8211 2 = 0 é paralela ao eixo X.

iii. x + 6 = 0
∴ x = -6
A equação de uma linha paralela ao eixo Y é x = a.
∴ A linha x + 6 = 0 é paralela ao eixo Y.

4. A equação de uma linha paralela ao eixo X é y = b.
∴ A linha y = & # 8211 5 é paralela ao eixo X.

Questão 7.
Em um papel gráfico, plote os pontos A (2, 3), B (6, -1) e C (0, 5). Se esses pontos forem colineares, desenhe a linha que os inclui. Escreva as coordenadas dos pontos nos quais a linha intercepta o eixo X e o eixo Y.
Solução:

No gráfico, a linha desenhada cruza o eixo X em D (5, 0) e o eixo Y em C (0, 5).

Questão 8.
Desenhe os gráficos das seguintes equações no mesmo sistema de coordenadas. Escreva as coordenadas de seus pontos de intersecção.
x + 4 = 0,
y & # 8211 1 = 0,
2x + 3 = 0,
3y & # 8211 15 = 0
Solução:
eu. x + 4 = 0
∴ x = & # 8211 4

iii. 2x + 3 = 0
∴2x = -3
∴ x = ( frac <-3> <2> )
∴ x = -1,5

4. 3y- 15 = 0
3y = 15
y = ( frac <15> <3> )
∴ y = 5

As coordenadas do ponto de intersecção de x + 4 = 0 ey & # 8211 1 = 0 são A (-4, 1).
As coordenadas do ponto de intersecção dey & # 8211 1 = 0 e 2x + 3 = 0 são B (-1,5, 1).
As coordenadas do ponto de intersecção de 3y & # 8211 15 = 0 e 2x + 3 = 0 são C (-1,5, 5).
As coordenadas do ponto de intersecção de x + 4 = 0 e 3y & # 8211 15 = 0 são D (-4, 5).

Questão 9.
Desenhe os gráficos das equações abaixo.
eu. x + y = 2
ii. 3x & # 8211 y = 0
iii. 2x + y = 1
Solução:
eu. x + y = 2
∴ y = 2 & # 8211 x
Quando x = 0,
y = 2 & # 8211 x
= 2 – 0
= 2
Quando x = 1,
y = 2 & # 8211 x
= 2 – 1
= 1
Quando x = 2,
y = 2 & # 8211 x
= 0

ii. 3x & # 8211 y = 0
∴ y = 3x
Quando x = 0,
y = 3x
= 3(0)
= 0

Quando x = -1,
y = 3x
= 3(-1)
= -3

iii. 2x + y = 1
∴ y = 1 & # 8211 2x
Quando x = 0,
y = 1 & # 8211 2x
= 1 – 2(0)
= 1 & # 8211 o
Quando x = 1,
y = 1 & # 8211 2x
= 1- 2(1)
= 1 – 2
= -1
Quando x = -1,
y = 1 & # 8211 2x
= 1 – 2(-1)
= 1 + 2
= 3

Maharashtra Board Class 9 Matemática Capítulo 7 Coordenar Geometria Prática Conjunto 7.2 Perguntas e atividades no texto

Questão 1.
eu. Podemos traçar uma linha paralela ao eixo X a uma distância de 6 unidades dele e abaixo do eixo X?
ii. Todos os pontos (-3, -6), (10, -6), ( ( frac <1> <2> ), -6) estarão nessa linha?
iii. Qual seria a equação desta linha? (Livro didático pág. Nº 94)
Solução:

eu. sim.
Esta linha passará pelo ponto (0, -6).

ii. sim.
Aqui, a coordenada y dos pontos (-3, -6), (10, -6), ( ( frac <1> <2> ), -6) é a mesma, que é -6.
∴ Todos os pontos acima estão na mesma linha.

iii. Desde então, a linha está a uma distância de 6 unidades abaixo do eixo X.
∴ b = -6
∴ A equação da reta é y = -6.

Questão 2.
eu. Podemos traçar uma linha paralela ao eixo Y & # 8211 a uma distância de 2 unidades de ¡t e à sua direita?
ii. Todos os pontos (2, 10), (2, 8), (2, -) estarão nessa linha?
iii. Qual seria a equação desta linha? (Livro didático pág. 95)
Solução:

eu. sim.
(2, 10)
Esta linha passará pelo ponto (2, 0).
(2,8)
ii. sim.
Aqui, a coordenada x dos pontos (2, 10), (2, 8), (2, - ( frac <1> <2> )) é a mesma, que é 2.
∴ Todos os pontos acima estão na mesma linha.

iii. Desde então, a linha está a uma distância de 2 unidades à direita do eixo Y.
a = 2
∴ A equação da reta é x = 2.

Questão 3.
Em um papel gráfico, plote os pontos (0, 1), (1, 3), (2, 5). Eles são colineares? Nesse caso, desenhe a linha que passa por eles.
eu. Por quais quadrantes essa linha passa?
ii. Escreva as coordenadas do ponto em que ele intercepta o eixo Y.
iii. Mostre qualquer ponto no terceiro quadrante que se encontra nesta linha. Escreva as coordenadas do ponto. (Livro didático pág. Nº 96)
Solução:
eu. A linha passa pelos quadrantes I, II e III.
ii. A linha cruza o eixo Y em (0, 1).
iii. (-1, -1)


Linhas paralelas e perpendiculares

Duas linhas em um plano quando são estendidas se encontram ou não se encontram.

Linhas paralelas
Duas linhas no mesmo plano são paralelas se nunca se cruzarem, mesmo que as estendamos. A distância entre eles é sempre a mesma e eles têm exatamente a mesma inclinação, o que significa que suas inclinações são idênticas. A única diferença entre duas linhas paralelas é a interceptação em y.

Linhas perpendiculares
Duas linhas no mesmo plano são perpendiculares se se cruzam e formam um ângulo reto (90 °) no ponto de intersecção. As linhas perpendiculares não têm a mesma inclinação. As inclinações das linhas perpendiculares são diferentes umas das outras. A inclinação de uma linha é o recíproco negativo da inclinação da outra linha.

Mencionamos o fato de como a inclinação e a inclinação de duas linhas mudam dependendo de sua posição.

O fato de duas linhas serem paralelas entre si, perpendiculares entre si ou qualquer uma delas é baseada em suas inclinações, portanto o valor de seu gradiente.

Se tivermos duas linhas em um plano $ displaystyle <_ <1>> $ e $ displaystyle <_ <2>> $ com seu gradiente respectivamente $ displaystyle <_ <1>> $ e $ displaystyle <_<2>>$

1. As linhas $ displaystyle <_ <1>> $ e $ displaystyle <_ <2>> $ são paralelos se tiverem a mesma inclinação $ displaystyle <_<1>>=<_<2>>$

2. As linhas $ displaystyle <_ <1>> $ e $ displaystyle <_ <2>> $ são perpendiculares se suas inclinações são recíprocas negativas entre si $ displaystyle <_ <1>> = - frac <1> <<<_<2>>>>$

Quando multiplicamos os gradientes de duas linhas perpendiculares, o produto é sempre menos um. $ Displaystyle <_ <1>> cdot <_<2>>=-1$

Exemplo 1: Identifique quais linhas são paralelas e quais são perpendiculares.

As linhas paralelas têm a mesma inclinação. Como as funções $ displaystyle y = 3x + 1 $ e $ displaystyle y = 3x + 12 $ têm cada uma a mesma inclinação 3, elas representam linhas paralelas.

As linhas perpendiculares têm inclinações recíprocas negativas. Como -4 e -1/4 são recíprocos negativos, as equações $ displaystyle y = frac <1> <4> x-5 $ e $ displaystyle y = -4x + 1 $, elas representam linhas perpendiculares.

Exemplo 2: Encontre a equação de uma linha que é perpendicular à linha $ displaystyle y = 2x-2 $ e passa pelo ponto (1,3).

Sabemos que a equação geral de uma linha reta é $ displaystyle y = mx + c $

Primeiramente precisamos encontrar o gradiente da linha $ displaystyle y = 2x-2 $

Se rotularmos o gradiente de nossa linha como $ displaystyle <_ <1>> $ e o gradiente da linha que é perpendicular à nossa linha $ displaystyle <_ <2>> $ então sabemos que o produto desses dois gradientes deve ser -1.
O gradiente da nossa linha é $ displaystyle <_<1>>=2$.
Enquanto isso, o gradiente da linha perpendicular à nossa linha é: $ displaystyle <_ <2>> = - frac <1> <<<_<1>>>>$
$ displaystyle <_ <2>> = - frac <1> <2> $

Depois de encontrar o gradiente, a equação da linha que queremos encontrar assume a forma $ displaystyle y = - frac <1> <2> x + c $.

Para encontrar o valor de c, substituímos o ponto (1,3) em nossa equação, uma vez que o gráfico desta reta passa por este ponto.

$ displaystyle 3 = - frac <1> <2> cdot 1 + c $

A forma final da nossa linha que é perpendicular à linha dada é: $ displaystyle y = - frac <1> <2> x + frac <7> <2> $


7.2: Linhas Paralelas - Matemática

Os exercícios 1-5 referem-se à geometria de Fano.

1. A geometria tem exatamente o mesmo número de pontos e linhas.

Resp: Verdadeiro. Solução: Existem 7 pontos e 7 linhas.

2.Cada par de linhas na geometria se cruza em um ponto na geometria.

Resp: Verdadeiro. Solução: Axioma 5 diz isso.

3. Cada dois pontos distintos da geometria determinam uma linha única na geometria..

Resp: Verdadeiro. Solução: Este é o Axioma 4.

4. Alterar um axioma resulta na geometria de Young.

Resp: Verdadeiro. Solução: Você obtém a geometria de Young alterando o Axioma 5.

5. A geometria contém pelo menos oito linhas.

Resp: False. Solução: O Teorema 1.8 declara que existem exatamente sete linhas na geometria.

10. Explique por que C (7,2) não fornece o número de linhas na geometria de Fano, mas pode ser usado para derivar o número correto de linhas.

Solução: C (7,2) = 21, conta o número de pares de pontos na geometria. Embora cada par determine uma linha, não é verdade que cada linha tenha apenas dois pontos. O axioma 2 afirma que cada linha possui 3 pontos, portanto, uma única linha contribui com C (3,2) = 3 pares de pontos para a contagem total. A divisão de 21 por 3 dará o número correto de linhas, ou seja, 7.

11. Para a geometria de Fano, prove que cada ponto se encontra em exatamente três linhas.

  1. (Sem usar Thm. 1.8) Escolha uma linha eu (existe pelo Axioma 1). Escolha qualquer ponto P não ligado eu (existe pelo Axioma 3). Uma vez que l tem 3 pontos (Axioma 2), unir P a cada um deles resulta em três linhas distintas através de P (pelo Axioma 4 há uma linha através de P e cada um desses pontos. Se uma dessas linhas contiver dois pontos de eu, teria que ser eu por Thm 1.7, mas isso contradiz o fato de que P não está eu.) Se houvesse outra linha através de P, ela não se encontraria eu, consolidando o Axioma 5, portanto, há exatamente 3 linhas em P. Este argumento cuida de todos os pontos que não estão eu, para lidar com um ponto sobre eu, digamos Q, escolha uma linha através de P que não contenha Q e repita o argumento usando Q e esta linha.
  2. (Usando Thm. 1.8) Seja P qualquer ponto. Existem 6 outros pontos na geometria além de P (Thm. 1.8). P é unido a cada um por uma linha (Axioma 4). Uma vez que cada linha contém 3 pontos (Axioma 2), cada uma dessas linhas contém dois pontos além de P. Assim, há pelo menos 3 linhas até P. Qualquer outra linha até P teria que conter dois pontos, um em cada um dos dois linhas diferentes que já construímos por meio de P (caso contrário, o Axioma 4 é violado), mas isso viola o Axioma 4. Portanto, há exatamente três linhas por meio de P.

Solução: Dado um ponto P, pelo Axioma 4, qualquer outro ponto da geometria é unido a P por uma linha. Assim, todos os pontos estão nas linhas de P.

13. Para a geometria de Fano, prove que, para qualquer par de pontos na geometria, existem exatamente duas linhas que não contêm nenhum dos dois pontos.

Solução: No Exercício 11, existem três linhas em cada ponto da geometria. Dados dois pontos distintos, P e Q, existe a linha que os une e duas outras linhas que passam por cada um desses pontos. Isso é um total de 5 linhas. Como existem 7 linhas na geometria (Thm 1.8), existem exatamente duas linhas que não passam por P ou Q.

14. Para a geometria de Fano, prove que, para um conjunto de três linhas nem todas contendo o mesmo ponto, existe exatamente um ponto na geometria e não em nenhuma das três linhas.

Solução: Pegue duas das linhas e deixe o ponto onde elas se encontram seja chamado de P (existe por Thm. 1.7). A terceira linha não passa por P por suposição, então ela deve encontrar as duas linhas originais em pontos diferentes de P, digamos Q em uma linha e R na outra. As três linhas, PQ, PR e QR, formam um triângulo. Como cada uma dessas linhas já tem um ponto em comum, nenhum par delas pode ter outro ponto em comum (Tm. 1.7). Como cada linha tem 3 pontos (Axioma 2), há outro ponto em cada uma dessas linhas. Assim, obtemos mais três pontos além de P, Q e R nessas linhas, para um total de 6 pontos. Por Thm 1.8, há 7 pontos na geometria, então há exatamente um ponto que não está em nenhuma das três linhas.

15. Esboce um modelo para uma geometria que satisfaça os Axiomas 1 e 2 da geometria de Fano, mas não o Axioma 3.

16. Esboce um modelo para uma geometria que satisfaça os Axiomas 1 e 3 da geometria de Fano, mas não o Axioma 2.

19. Para a geometria de Young, prove que duas linhas paralelas a uma terceira linha são paralelas entre si. Dica: Use o Axioma 5 e prove por contradição.

Solução: Suponha que, para linhas distintas l, m, n, temos eu || m e m || n. Se eu || n, não há nada a provar, então assuma que eu e n encontrar-se em um ponto P. Como P está ligado eu e eu || m, P não está ligado m. Agora temos uma contradição com o Axioma 5 (para a geometria de Young), uma vez que existem duas retas através de P que não se cruzam m. Portanto, devemos ter eu || n.


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7.2: Linhas Paralelas - Matemática

Sistemas de equações lineares: avisos (página 3 de 7)

A maioria dos problemas de & quot por meio de gráficos & quot funcionam bem, mas às vezes eles fornecem um sistema inconsistente (ou seja, duas linhas paralelas) ou um sistema dependente (ou seja, duas formas da mesma equação de linha). Esta é a aparência desses casos:

y = 36 & ndash 9x
3
x + y/3 = 12

Como de costume, primeiro resolverei as equações para & quot y = & quot. A primeira equação, neste caso, já foi resolvida, então agora vou resolver a segunda: Copyright & copy Elizabeth Stapel 2003-2011 Todos os direitos reservados

3x + y /3 = 12
9x + y = 36
y = 36 & ndash 9x

Com ambas as equações resolvidas para & quot y = & quot, posso ver que essas duas equações são realmente a mesma linha! Portanto, a álgebra me diz que este é um sistema dependente e a solução é toda a linha. Obviamente, este é um problema de & quot resolvendo graficamente & quot, então ainda tenho que fazer o gráfico, mas já sei a resposta.

solução: y = 36 & ndash 9x

A solução para este sistema é toda a linha, portanto, em minha classes, você poderia dar a resposta como sendo & quot y = 36 & ndash 9x & quot. No entanto, a maioria dos livros faz algo assim: Você está procurando um x,y -solução e, neste caso, x = x e y = 36 & ndash 9x , então a solução & quotpoint & quot está na forma (x, 36 & ndash 9x) Mas então o livro faz uma coisa estranha com & quot uma & quot (ou & quot t & quot ou & quot s & quot ou alguma outra variável). Ao invés de usar x , que é uma variável perfeitamente boa, eles puxam essa nova variável de trás da orelha esquerda e dão a solução como sendo & quot (uma, 36 & ndash 9uma) & quot. Não tenho ideia de por que eles fazem isso, mas se seu livro faz isso, então (Aviso!) Esse é o formato que seu professor vai querer no teste. Certifique-se de memorizar a variável que seu livro usa (que era & quot uma & quot neste exemplo).

7x + 2y = 16
& ndash21
x & ndash 6y = 24

Como de costume, primeiro resolverei cada equação para & quot y = & quot:

7x + 2y = 16
2y = & ndash7x + 16
y = & ndash (7 /2 )x + 8

& ndash21x & ndash 6y = 24
& ndash21x & ndash 24 = 6y
& ndash (21 /6 )x & ndash 4 = y
& ndash (7 /2 )x & ndash 4 = y

Essas linhas têm a mesma inclinação & mdash, a saber, m = & ndash7 /2 & mdash mas diferente y -intercepts, então eles são paralelos. Como as linhas paralelas nunca se cruzam, a álgebra me diz que esse é um sistema inconsistente, ou seja, não há solução. Mas este é um problema de & quot resolvendo por meio de um gráfico & quot, então eu ainda tenho que fazer o desenho.

solução: sem solução (sistema inconsistente)

Aviso: quando a álgebra diz que você tem duas linhas paralelas, pelo amor de Deus, desenhe as linhas em seu gráfico para que elas Veja paralelo!

Nota: A solução para um sistema dependente, sendo todos os pontos ao longo da linha, contém infinitos pontos. Mas não cometa o erro de pensar que & quotinfinitamente-muitos & quot significa & quot tudo & quot. Qualquer ponto fora da linha é não uma solução apenas a infinidade de pontos na verdade em a linha resolverá o sistema dependente.


Observe também: as imagens na primeira página desta lição são muito úteis para explicar & quot o que está acontecendo & quot com os sistemas lineares, mas as imagens não são muito úteis para encontrar soluções reais para os sistemas. Por exemplo, na imagem à direita, o ponto de solução está em (& ndash3, 2) ou em (& ndash3.15, 1,97)?

Ou, na imagem à direita, as linhas são realmente paralelas, então não há solução?

Ou você está apenas olhando para uma parte inútil do gráfico?

Nesse caso, diminuir o zoom mostra que as linhas na imagem anterior realmente se cruzam, no ponto (450, 449,5). Mas isso não era de todo aparente na janela de visualização & quot padrão & quot mostrada acima.

Assim, você pode ver que as imagens podem ser úteis, especialmente para os conceitos, mas você deve resolver & quotar os gráficos & quot com cautela, e deve ter em mente que as técnicas algébricas (em vez de meras imagens) são as ferramentas que você precisa para respostas sólidas.

A discussão acima foi específica para o caso de duas equações e duas variáveis, porque você pode desenhar figuras do caso de duas variáveis ​​para ilustrar o que está acontecendo. Mas a terminologia e os conceitos básicos são os mesmos, não importa quantas variáveis ​​você tenha. Você poderia ter quatro equações em quatro variáveis ​​ou doze equações em doze variáveis, e você ainda estaria procurando onde as & quotlines & quot & quotintersect & quot & mdash você simplesmente não poderia desenhar uma imagem delas.

Nota de formatação: por razões que se tornarão aparentes quando você começar a trabalhar com matrizes, as equações em sistemas de equação são geralmente escritas com as variáveis ​​no lado esquerdo do sinal & quotquals & quot e os números no lado direito. Às vezes, você encontrará uma pergunta formatada de maneira diferente, mas variáveis ​​à esquerda serão a norma.


Como você escreve uma equação de uma linha que é paralela a # y + 3x = 7 # e passa pelo ponto # (7,2) #?

Eu usaria primeiro sua equação para encontrar a INCLINAÇÃO de sua linha. Basicamente, a inclinação é um número que indica qual é a inclinação de sua linha.
Portanto, para encontrar o paralelo à sua linha, você precisa de uma linha com a mesma inclinação. a mesma inclinação:
Sua linha: # y + 3x = 7 # pode ser escrita (isolando o # y # à esquerda) como:
# y = -3x + 7 # isso permite que você "leia" imediatamente a inclinação de sua linha, o coeficiente de # x #, que no seu caso é # -3 #.

Agora a parte difícil.
A inclinação representa a inclinação de sua linha e basicamente diz a você como # y # muda quando # x # muda!

Por exemplo, uma grande inclinação significa que a cada mudança fixa em # x # o valor de # y # muda muito e sua linha é MUITO íngreme.
Dê uma olhada nesta foto:

a inclinação # 5 # é mais íngreme do que a inclinação # 2 #!

Para encontrar sua inclinação, você simplesmente pega a mudança em # y # dividido pela mudança em # x #:

# declive = (Deltay) / (Deltax) = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # mas você quer uma inclinação que seja igual a de sua linha original: # -3 #
Junto com as coordenadas do seu ponto, você pode escrever:
# inclinação = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #
# -3 = (y-2) / (x-7) #
# -3x + 21 = y-2 # e finalmente sua linha:
# y + 3x = 23 #
Graficamente:


Planilhas de ângulos em linhas paralelas & # 8211 Novo & # 038 envolvente

Planilhas de Ângulos em Linhas Paralelas para o 7º, 8º ano, 9º e 10º ano. Planilhas de Ângulos em Linhas Paralelas para alunos que trabalham no nível básico de gcse e estágio principal 3. Cada planilha de Ângulos em Linhas Paralelas contém questões na 2ª, 3ª série ou grau 4 para matemática GCSE 9-1 no currículo nacional do Reino Unido.

Ângulos em linhas paralelas

Linhas paralelas são linhas que nunca se tocam. Outra maneira de descrever linhas paralelas é dizer que as linhas nunca se cruzam. Quando uma linha corta um par de linhas paralelas, coisas interessantes acontecem. Existem ângulos em linhas paralelas que são iguais quando uma linha corta um par de linhas paralelas. Os nomes desses ângulos são chamados de ângulos alternados, ângulos correspondentes, ângulos verticalmente opostos e ângulos internos. A maneira rápida e fácil de lembrar esses nomes e suas propriedades é dizer "ângulo Z", "ângulo F" e "ângulo X".

Tipos de ângulos em linhas paralelas

Abaixo mostra um exemplo de pares de ângulos equivalentes formados em linhas paralelas.

Fatos sobre ângulos em linhas paralelas

Para as planilhas de ângulos em linhas paralelas nesta página, os alunos vão querer se lembrar das regras de ângulo mais básicas que são:

  1. Os ângulos em uma linha reta somam 180 graus.
  2. Os ângulos nos triângulos somam 180 graus.
  3. Os ângulos nos quadriláteros somam 360 graus.

Angles Questions

Abaixo está um iniciador de planilha de ângulos em linhas paralelas. O iniciador da planilha de ângulos em linhas paralelas pede que você encontre o ângulo ausente em linhas retas, triângulos internos e quadrilaterais internos. As respostas estão no final da página.


Resumo

Para encontrar a interseção entre duas linhas y = ax + be y = cx + d, o primeiro passo que deve ser feito é definir ax + b igual a cx + d. Então resolva esta equação para x. Esta será a coordenada x do ponto de interseção. Em seguida, você pode encontrar a coordenada y da interseção preenchendo a coordenada x na expressão de qualquer uma das duas linhas. Como é um ponto de interseção, ambos fornecerão a mesma coordenada y.

Também é possível calcular a interseção entre outras funções, que não são retas. Nestes casos, pode acontecer que haja mais de um cruzamento. O método de resolução permanece o mesmo: defina ambas as expressões iguais entre si e resolva para x. Em seguida, determine y preenchendo x em uma das expressões.

Este conteúdo é preciso e verdadeiro de acordo com o melhor conhecimento do autor e não tem como objetivo substituir o conselho formal e individualizado de um profissional qualificado.


Assista o vídeo: Punkt C należy do odcinka AB. Środkiem odcinka AC jest punkt D (Dezembro 2021).