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6.1: Introdução às Frações


As frações são um dos tópicos mais difíceis de ensinar (e aprender!) Na escola primária. Mas, por enquanto, pense no que torna este tópico tão difícil.

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Você pode ter tido dificuldade para aprender sobre frações na escola primária. Talvez você ainda os ache confusos. Mesmo que você fosse um dos sortudos que não lutou ao aprender sobre frações, provavelmente tinha amigos que lutaram.

Com um parceiro, converse sobre o porquê disso. O que é tão difícil em entender frações? Por que o assunto é mais difícil do que outros que abordamos nas escolas primárias?

Lembre-se de que os professores devem ter muitos modelos mentais - muitas maneiras de explicar o mesmo conceito. Neste capítulo, veremos algumas maneiras diferentes de entender a ideia de frações, bem como as operações básicas sobre elas.


Fração de Classe 3

Vamos considerar um círculo conforme mostrado na figura abaixo.


Ele é dividido em duas partes iguais, onde uma parte é sombreada com preto. A parte sombreada é a metade de todo o círculo. Expressamos a metade pelo símbolo 1/2. Nós lemos um por dois. A parte não sombreada também é metade do círculo.

Aqui, o círculo é dividido em 4 partes iguais, conforme mostrado na figura abaixo.

Uma parte do círculo está sombreada de preto. A parte sombreada é 1/4 de todo o círculo. Nós lemos como um por quatro.

Aqui, o círculo é dividido em 8 partes iguais, conforme mostrado na figura abaixo.

Uma parte do círculo está sombreada de preto. A parte sombreada é 1/8 de todo o círculo. Nós lemos como um por oito.

Aqui, o círculo é dividido em 8 partes iguais, conforme mostrado na figura abaixo.

Três partes estão sombreadas. A parte sombreada é 3/8 de todo o círculo. Nós lemos como três por oito.

Portanto, 1/2, 1/4, 1/8 e 3/8 são conhecidos como frações.


Lição 1: Introdução às Frações

O que são frações?

UMA fração faz parte de um todo. It & aposs menos que 1 tudo, mas mais do que 0. Usamos frações o tempo todo na vida real. Você já pediu um trimestre- hambúrguer de libra? Ou notou que seu tanque de gasolina está metade cheio? Ambos são frações da quantidade total & # x2014 uma libra inteira de carne, ou um tanque inteiro de gás.

As frações se parecem um pouco com expressões de divisão, mas não são problemas a serem resolvidos. Eles são uma forma de expressar um resultar. Assim como os números, as frações lhe dizem quantos você tem de algo.

Clique na apresentação de slides para saber como funcionam as frações.

Vamos imaginar que você tenha uma pizza dividida em 8 fatias.

Digamos que você pegue uma das 8 fatias.

Você poderia dizer que pegou 1/8 da pizza. 1/8 é um fração.

Escrevemos assim porque a pizza tem 8 fatias.

Escrevemos assim porque a pizza tem 8 fatias. e você está pegando 1.

E se você pegar 2 fatias?

Agora você está pegando 2/8 da pizza.

O número inferior, 8, permaneceu o mesmo, já que a pizza ainda está dividida no mesmo número de fatias.

O número superior mudou, já que estamos falando de 2 fatias agora.

Também podemos dizer que sobraram 6/8 fatias. Lá & aposs Menor que 1 pizza, mas mais de 0 pizzas. É por isso que usamos uma fração.

Vejamos outro exemplo de como você pode usar frações para mostrar papel de alguma coisa.

Esta cafeteira contém 4 copos de café. No momento, está cheio.

Podemos escrever isso como uma fração: 4/4. 4 copos estão lá, fora de 4 copos no total.

À medida que a manhã avança, a cafeteira fica mais vazia. Agora estão aí 3 copos restantes, por isso está 3/4 cheio.

E agora está 1/4 cheio. Nós temos Menor que 1 bule de café, mas ainda temos mais do que 0 potes. Nós temos uma fração do pote sobrando.

Escrevendo frações

Cada fração tem duas partes: um número superior e um número inferior. Em termos matemáticos, são chamados de numerador e a denominador. Não se preocupe muito em lembrar esses nomes. Contanto que você se lembre do que cada número significa, você pode entender qualquer fração.

Como você viu na apresentação de slides, o número inferior, ou denominador, é o número de partes um todo é dividido em. Em nosso exemplo de pizza, dissemos que cada fatia era 1/8 da pizza. O denominador era 8 , já que a pizza foi dividida em 8 fatias.

O número superior, ou numerador, refere-se a um certo número dessas partes. Isso nos permite saber o quanto estamos falando. Já que estamos falando sobre 1 fatia de pizza, nosso numerador é 1.

Vejamos outro exemplo. E se dividíssemos a mesma pizza em 12 fatias em vez de 8? Se pegássemos uma fatia, seria 1/12 da pizza & # x20141 cortar fora do 12 fatias totais. Não importa a fração que você está tentando escrever, você sempre escreve da mesma maneira & # x2014 com o número de partes na parte inferior e as partes às quais você está se referindo na parte superior.

Experimente isso!

Escreva essas imagens como frações.

Lendo frações

No exemplo acima, se você comeu uma pizza com oito fatias, cada fatia seria 1/8 da pizza. Você leu assim: um oitavo.

Quando lemos ou falamos sobre frações, usamos números especiais chamados ordinal números. Uma boa maneira de lembrar isso é que muitos deles são os mesmos números que você usa quando está colocando as coisas em ordem: terceiro, quarto, quinto e assim por diante.

Você já deve saber alguns desses números. Por exemplo, quando você diz ao seu chefe que você estará no trabalho em metade uma hora, você está dizendo que chegará lá em meia hora. Se você está ajudando uma amiga a fazer um bolo e ela lhe pede um terceiro de uma xícara de açúcar, você deve saber como entregar a ela o copo medidor que diz 1/3.

Aqui estão algumas das frações mais comumente usadas:

Uma boa regra a ser lembrada é que a maioria dos números ordinais termina em & quotº. & quot Então, 1/20 é um vigésimo. 1/35 é um trinta e cinco. 1/54 é um cinquenta e quatro.

E as frações que não têm 1 no topo? Leia-os como se estivesse contando. Então, se 1/5 é 1quinto, então 2/5 é dois-quintos, e 3/5 é três-quintos. O número superior sempre será um número & quotnormal & quot como aqueles que você usa para contar, e o número inferior é sempre um número ordinal.


Atividades e aulas de fração

Descreva uma atividade divertida e prática que você usou para ensinar seus alunos sobre frações.

Eu começo distribuindo uma barra de chocolate de papel para todos que tem 12 peças.

Falamos sobre como uma barra de chocolate é o todo e eles cortam ao meio para ver que 6 peças = 1 metade. Eu modelo com uma barra de chocolate real.

Falamos sobre eles dividirem isso com um amigo para que tenham PARTES IGUAIS. Então eu digo a eles que dois outros amigos vêm, então eles têm que dividir cada metade em partes iguais novamente. À medida que fazemos cada divisão, desenho uma imagem da fração e a rotulo.

Depois de dividir a barra de chocolate em doze pedaços e mostrar a eles como passamos de 1/2 para 1/12, uso barras de fração magnéticas para mostrar brevemente como 1/12 é muito menor do que 1/2.

Depois que eles pegam isso e saboreiam uma verdadeira barra de chocolate, eu pego saquinhos de M & Ms e os distribuo para pares de crianças. Dividimos nossos doces em grupos por cor e, em seguida, descobrimos que fração das diferentes cores cada um tem. Por exemplo, se eles tiverem 24 doces no total e 8 deles forem vermelhos, mostro que 8/24 são vermelhos. Aqueles que estão prontos sempre parecem me dizer que isso é 1/3. (Eu divido os doces com antecedência para que haja sempre um número par nas sacolas, mas nem sempre o mesmo número, então alguns grupos podem receber 24, outros 30, outros 36 etc.).

Quando descobrimos a fração de cada cor (peço que desenhem no papel com giz de cera e rotulem as imagens), deixo que comam suas frações. Meus filhos sempre adoram isso, pois envolve comida e eles sempre recebem frações também!

  • Tortilhas de farinha de 10 polegadas (2 para cada aluno)
  • Marcadores e quadro de marcadores (um grande para todas as respostas ou individuais para cada aluno)
  1. Cada aluno recebe 2 tortilhas e coloca uma em cima da outra.
  2. A professora explica que uma tortilha é igual a um todo.
  3. Cada aluno dobra cuidadosamente a tortilha de farinha ao meio (conforme o professor a modela).
  4. O professor faz perguntas aos alunos sobre o que cada um tem agora e pede declarações matemáticas sobre o que eles têm. Os alunos têm de mostrar concretamente a sua declaração, bem como declará-la.
  5. Os alunos respondem e o professor anota suas respostas - exemplos 1/2 + 1/2 = 1, 1/2 = 1/2, 1> 1/2, 1/2 e # 601
  6. Os alunos então dobram cuidadosamente uma metade em duas partes e o professor faz as perguntas novamente.
  7. Isso continua até que o aluno tenha uma tortilha em oitavos e a inteira permaneça a mesma, para que os alunos possam comparar e fazer muitas declarações.
  8. Este exercício leva a muitas afirmações que podem levar ao estabelecimento de regras sobre frações. Por exemplo - 2/2 = 1, 4/4 = 1, 8/8 = 1 Se o professor continuar a fazer perguntas e não der respostas aos alunos, os alunos descobrirão as regras por conta própria. Acredito que isso seja vital para que os alunos "se apropriem" de seu aprendizado.
  • Papel Colorido (vários tons)
  • Crayons / lápis de cor
  • Overhead (opcional)
  • Base dez blocos

Começo falando sobre o vocabulário que eles encontrarão com frações e decimais (numerador, denominador, fração, decimal). Normalmente coloco a palavra e a definição no overhead para que todos vejam.

Em seguida, faço os alunos fazerem pedaços de frações com folhas inteiras de papel.

Primeiro, peço que pegem um pedaço de papel branco (8,5 x 11) e depois escrevam "Inteiro" no meio. Então pegamos outra folha colorida (qualquer cor) e dobramos essa folha em 1/2 e escrevemos 1/2 na folha. Fazemos isso para todas as frações e, em seguida, introduzo as tiras de fração.

Peço que me mostrem várias frações com suas peças ou tiras de fração. Também aprendemos sobre decimais neste momento. Falamos sobre décimos e centésimos usando blocos de base dez.

Eu uso o overhead para mostrar peças de fração e blocos de base dez e como todos eles funcionam juntos.

Eu geralmente termino a lição com alunos aleatórios vindo para a frente da sala e conversamos sobre qual fração tem cabelo castanho, está vestindo vermelho, é um menino, etc. e então conectamos a fração ao decimal.

Começo com a introdução de pesquisas. Fazemos isso no início do ano, como parte das atividades "Conheça você". Peço às crianças que criem uma pesquisa sobre as coisas favoritas, permitindo 4 categorias. Assim, alguém poderia pesquisar esportes favoritos e oferecer as opções: Futebol, Futebol, Beisebol ou Natação.

Eles começam fazendo uma contagem e obtendo as respostas de todos os alunos. Em seguida, eles fazem um gráfico. Analisamos os gráficos e começamos a discutir como 9 de 25 gostam de beisebol e 4 de 25 gostam de natação.

Continuamos com esta atividade como parte de nossa atividade de reunião matinal diária, fazemos uma breve pesquisa com um levantar de mãos. Relatamos os resultados em forma de frações no quadro. 25/3 tinham panquecas no café da manhã, 22/25 não tinham panquecas. Algo simples. Tento variar o suficiente para que eles possam ver muitos exemplos. Alguns resultados em que é quase todos, alguns em que pode ser quase a metade e alguns em que são muito poucos. Às vezes, como um visual, as crianças também se levantam e podemos ver quantas do todo gostam de uma coisa ou de outra.

Eu faço meus alunos trabalharem em equipes de quatro para chegarem a uma pergunta de pesquisa que farão a 100 pessoas (25 cada). Grupos de 5 farão 20 pessoas cada e eu tenho um formulário separado neste caso. Eles criam uma pesquisa e obtêm os resultados, separando-se e indo visitar outras aulas, a biblioteca, o escritório e assim por diante. Nós obtemos a resposta, a idade e o sexo da pessoa. Classificamos e classificamos os resultados e criamos gráficos. Criamos uma fração para mostrar cada resposta também.

Com o número 100, também introduzo brevemente decimais e porcentagens, embora meus alunos da terceira série estejam apenas começando a entendê-los. No entanto, eles se perguntam sobre eles, e esta é uma boa maneira de mostrar como uma fração, um decimal e um percentual estão conectados.

Junto com essas lições de dados, também faço atividades práticas com quebra-cabeças de frações, fatias de pizza, o jogo da pizza e algumas planilhas.

Fazemos a dobra de papel e criamos livros de fração com frações comuns representadas como meio, quartos, terços e assim por diante. No entanto, a parte mais memorável da unidade de fração é o projeto de coleta de dados.

Nosso currículo é ótimo e apresenta frações como brownies e biscoitos, que as crianças adoram e eu faço essas lições ao longo da unidade também, embora não seja vinculado ao currículo e possa usar o que eu gosto dele.

Frações de palavras Escreva nossas palavras de grafia na primeira coluna.

A segunda coluna é a fração de vogais.

A terceira coluna é a fração de consoantes.

  • Círculos de papel de construção (pizzas)
  • Cartões de índice com frações
  • Cubos de ligação, marcadores de bingo ou quaisquer pequenos itens em sala de aula para usar como coberturas

Os círculos (pizzas) já estão divididos em metades, terços, quartos, sextos e oitavos (dependendo do nível dos alunos).

Como uma classe toda, as pizzas são expostas onde todos podem vê-las. Cada aluno se revezará e pegará uma ficha com uma fração.

O aluno deve decidir em qual pizza colocar a cobertura.

Exemplo. Se o aluno tirar 2/3, ele deve determinar que deve usar a pizza dividida em terços para colocar a cobertura. O aluno então cobrirá 2/3 da pizza certa com (calabresa, queijo) o que escolherem para a cobertura.

Após esta lição, os materiais podem ser colocados para o tempo central ou jogo de livre escolha.

  • Skittles de fração (Não Skittles como você come. Skittles são uma ferramenta de ensino de manipulação. Veja uma imagem aqui.) Este material tem 4 "skittles." O primeiro é completo e não pode ser separado. O segundo é cortado pela metade. O 3º em terços e o 4º em quartos.
  • Inserções de fração (veja uma imagem aqui). Estes são 10 círculos. O primeiro não é cortado (é um círculo inteiro). O segundo é cortado ao meio, o terceiro, em três, e assim por diante, até dez.

Há muitas coisas que podem ser feitas com eles, desde a exploração geral até conceitos matemáticos elevados. Vou explicar a divisão das frações. Não está claro para muitos adultos por que invertemos a 2ª fração e multiplicamos. Com essas duas ferramentas, fica óbvio.

Vamos supor que o problema seja 2/9 dividido por 1/3. Pegamos 1/3 do bolo de fração e o colocamos na mesa. Temos então que dar este 2/9, então pegamos 2 das 9ª peças e as colocamos no chão. A questão na divisão sempre se torna "quanto cada um ganha?" Sabemos que 1/3 não é 1. Portanto, investigamos o que precisamos fazer para torná-lo um. A resposta óbvia é pegar as outras duas peças do skittle. A criança pode colocá-los juntos para confirmar que faz um e, em seguida, colocá-los um ao lado do outro. “Se ele tem 2/9 (apontando para o original), do que ele precisa? (Apontando para um dos novos)“ A criança vai colocar 2/9 embaixo de cada um. "Agora, vamos colocá-los juntos para ver o quanto temos." Quando a criança os junta, criando assim um dos skittles, então junta os insets, criando assim 6/9. A essa altura, a criança já trabalhou com esses materiais o suficiente para reconhecer aquela forma como 2/3. Se não o fizerem, está tudo bem no início, pois há muito tempo para trabalhar com isso mais tarde. Mas deveria ser tão simples neste ponto, apenas dizer: "Por que podemos mudar isso?" uma vez que eles já fizeram um trabalho de intercâmbio. Eles colocarão 3 das 9 inserções de lado e obterão 1 das 3 inserções. Eles farão isso até que fiquem com sua versão simplificada de 2/3.

Fazemos smores para comer, mas primeiro fazemos partes fracionadas com os chocolates e marshmallows. para frações iguais: Se Katie distribuísse 6 marshmallows para Brad, quantos deles ela comeria se comesse 1/3 dos marshmallows.

Nós criamos problemas de história de fração com os chocolates, marshmallows e biscoitos que comem ao longo do caminho até fazermos partes de frações: dê metade do biscoito para um amigo: agora, quem nós temos 1/4 do novo biscoito de graham, etc. as crianças adoram isso .. você também pode usar mini marshmallows para torná-lo mais barato e mini barras Hershey também!

  • Só as crianças no começo!
  • Papel milimetrado e papel pautado (ou você pode fazer suas próprias planilhas)

Começo com a introdução de pesquisas. Fazemos isso no início do ano, como parte das atividades "Conheça você". Peço às crianças que criem uma pesquisa sobre as coisas favoritas, permitindo 4 categorias. Assim, alguém poderia pesquisar esportes favoritos e oferecer as opções: Futebol, Futebol, Beisebol ou Natação.

Eles começam fazendo uma contagem e obtendo as respostas de todos os alunos. Em seguida, eles fazem um gráfico. Analisamos os gráficos e começamos a discutir como 9 de 25 gostam de beisebol e 4 de 25 gostam de natação.

Continuamos com esta atividade como parte de nossa atividade de reunião matinal diária, fazemos uma breve pesquisa com um levantar de mãos. Relatamos os resultados em forma de fração no quadro. 25/3 tinham panquecas no café da manhã, 22/25 não tinham panquecas. Algo simples. Tento variar o suficiente para que eles possam ver muitos exemplos. Alguns resultados em que é quase todos, alguns em que pode ser quase a metade e alguns em que são muito poucos. Às vezes, como um visual, as crianças também se levantam e podemos ver quantas do todo gostam de uma coisa ou de outra.

Eu faço meus alunos trabalharem em equipes de quatro para chegarem a uma pergunta de pesquisa que farão a 100 pessoas (25 cada). Grupos de 5 farão 20 pessoas cada e eu tenho um formulário separado neste caso. Eles criam uma pesquisa e obtêm os resultados, separando-se e indo visitar outras aulas, a biblioteca, o escritório e assim por diante. Nós obtemos a resposta, a idade e o sexo da pessoa. Classificamos e classificamos os resultados e criamos gráficos. Criamos uma fração para mostrar cada resposta também.

Com o número 100, também introduzo brevemente decimais e porcentagens, embora meus alunos da terceira série estejam apenas começando a entendê-los. Eles se perguntam sobre eles, porém, e esta é uma boa maneira de mostrar como uma fração, um decimal e um percentual estão conectados.

Junto com essas lições de dados, também faço atividades práticas com quebra-cabeças de frações, fatias de pizza, o jogo da pizza e algumas planilhas.

Fazemos a dobra de papel e criamos livros de fração com frações comuns representadas como meio, quartos, terços e assim por diante. No entanto, a parte mais memorável da unidade de fração é o projeto de coleta de dados.

Nosso currículo é ótimo e apresenta frações como brownies e biscoitos, que as crianças adoram e eu faço essas lições ao longo da unidade também, embora não esteja vinculado ao currículo e possa usar o que quiser dele.


FRAÇÕES DE UNIDADE

Uma unidade - "um" - é a fonte de uma série de qualquer coisa.


1. O que é uma fração unitária?
Uma fração com 1 como numerador.

Cada fração unitária é uma parte do número 1. Metade de 1, uma terceira, uma quarta e assim por diante.

Aqui está como nós contamos. "Um quinto, dois quintos, três quintos" e assim por diante.

Cada fração é, portanto, um número de frações unitárias.

O de nom inador de uma fração nomeia a unidade O num erador diz seu número - quantos.

Exemplo 1. Na fração, que número é a unidade e quantos deles há?

Responder. A unidade é 1
6
. E existem 5 deles.

Novamente, cada fração é uma soma - um número - de frações unitárias.

Os símbolos para todos os números da aritmética
representam uma soma de unidades.

Exemplo 3. Adicionar 2
8
+ 3
8
.
Responder . 5
8
.

2 oitavos + 3 oitavos são 5 oitavos. A unidade que estamos adicionando é.

Isso ilustra o seguinte princípio:

Só podemos adicionar ou subtrair coisas que têm o mesmo nome,
que chamamos de unidade.
No exemplo acima, o nome do que estamos adicionando é "Oitavos".

Veremos isso na Lição 25. O denominador de uma fração não tem outra função a não ser nomear a unidade.

Exemplo 4. 1 é quantos quintos?

Responder . 1 = 5
5
("Cinco quintos.")

E assim por diante. Podemos expressar 1 como uma fração com qualquer denominador.

Exemplo 5. Adicione e expresse a soma como uma fração imprópria:

5
9
+ 1.
Responder . 5
9
+ 1 = 5
9
+ 9
9
= 14
9
.

Era necessário expressar 1 como nove nonos porque tudo o que adicionarmos deve ter o mesmo nome.

2. Como podemos expressar um número inteiro como fração
com um determinado denominador?
Multiplique o denominador pelo número inteiro. Faça desse produto o numerador.

Exemplo 8. 2 = 2 e 5 vezes
5
= 10
5
.
Uma vez que 1 = 5
5
, então 2 é o dobro de quintos:
2 = 10
5
. 3 = 15
5
. 4 = 20
5
.

Exemplo 9. 6 = ?
3
Responder . 6 = 6 e 3 vezes
3
= 18
3
.
Exemplo 10. Quantas vezes é 1
8
contido em 5?
Ou seja, 5 = ?
8
.
Responder . 5 = 40
8
.
Exemplo 11. Adicione: 5
3
+ 4.
Responder . 5
3
+ 4 = 5
3
+ 12
3
= 17
3
= 5 2
3
.

Vamos agora revisitar a regra para transformar um número misto em uma fração imprópria (Lição 20). Na verdade, veremos por que temos essa regra.


3. Como podemos transformar um número misto em uma fração imprópria?
Mude o número inteiro para uma fração com o mesmo denominador. Em seguida, adicione essas frações.
Exemplo 12. 3 5
8
= 3 + 5
8
= 24
8
+ 5
8
= 29
8
.
Exemplo 13. 5 2
7
= 5 + 2
7
= 35
7
+ 2
7
= 37
7
.

O complemento de uma fração adequada


4. O que queremos dizer com complemento de uma fração adequada?
É a fração adequada que devemos adicionar para obter 1.

Responder . Como 1 =, então + = 1.

é chamado de complemento de. completa para fazer 1.

Equivalentemente, uma vez que descobrir qual número adicionar é uma subtração:

1 e menos 5
8
= 3
8
.
Exemplo 15. 1 e menos 3
5
= 2
5
.

uma vez que estamos subtraindo - que é menos de 1 - de 6, a resposta ficará entre 5 e 6. Será 5.

Novamente, é o complemento de.


5. Qual será a resposta quando subtrairmos uma fração apropriada de um número inteiro maior que 1?
Será o número misto que é um número inteiro a menos e cuja fração é o complemento da fração adequada.
Exemplo 17. 5 e menos 1
3
= 4 2
3

Na verdade, sempre que subtrairmos de um número inteiro, a parte fracionária será.


Como converter distância em mm para fração de polegadas?

Imagine que você queira comprar pneus novos para sua bicicleta ou esteja preparando uma vaga para sua nova TV. Você pega sua régua ou régua e começa a medir. Mas é em mm ou cm, ou outra unidade métrica com a qual você não está exatamente familiarizado. Então, Existe uma maneira fácil de converter a fração de mm em polegadas?

Se você tem o comprimento em mm, divida o resultado por 25,4

Se você tem o comprimento em cm, divida o resultado por 2,54

Se você tem o comprimento em m, divida o resultado por 0,0254

Em seguida, converta este decimal em polegadas fracionárias como você aprendeu na seção anterior

Você pode converter qualquer unidade de comprimento em polegadas, mas não precisa se lembrar de todas as fórmulas de cor - basta usar nossa calculadora de polegadas para fração e escolher uma das unidades de comprimento mais comuns.


Atividades interessantes baseadas em frações desenvolvidas para alunos do jardim de infância

1. Crie Tiras de Barras de Fração e cole-as nos gráficos

Você pode criar um gráfico âncora informando os valores 1/12, 1/6, 1/8, 1/4 e assim por diante, no lado esquerdo. Agora, você pega uma longa tira de cerca de 6 polegadas e pede à criança para criar tiras correspondentes a um valor fracionário, como 1/4, 1/6, 1/2 polegada e assim por diante.

Eles podem ir ao gráfico de âncora fixados em um quadro ou mantidos em uma mesa e colar suas tiras na frente do valor fracionário indicado no lado esquerdo do gráfico. Esta atividade é bastante eficaz para contar sobre vários valores fracionários e eles podem memorizá-los olhando o gráfico âncora diariamente.

2. Use o manipulador em forma de pizza para dar exercícios de aprendizagem de fração

Quem não gosta de pizza e seu formato não é muito intrigante? Você pode hospedar uma festa de pizza ou simplesmente trazer um manipulador em forma de pizza. O manipulador pode ser dividido em 1/6 partes e você pode mostrar às crianças como adicionar 1/6 porções para criar mais valores como 1/3 e outros.

Ao usar um manipulador, pode-se pedir à criança que numere as peças feitas, como 1/4, 1/3, e espalhe na mesa em alguma ordem. Esta atividade ajuda a internalizar o conceito de quebrar o número um em partes até 1/6. Ao usar uma pizza real, você pode usar um cortador de pizza para demonstrar o conceito de frações e recompensar a criança que adivinhar o valor fracionário corretamente com aquele pedaço de pizza.

3. Atividade de copo meio vazio ou meio cheio

Você pode pegar um copo e marcar nele 1/2 ou 1/3 dos níveis. Pegue outro copo cheio de água até a marca 1. Agora, peça à criança para encher o copo vazio até 1/3 da marca e peça para ela ver a diferença na quantidade de água nos dois copos.

Gradualmente, você pode pedir que eles encham mais água até os níveis marcados para ajudá-los a entender como as frações serão somadas para criar o número 1. Esta atividade é bastante envolvente e pode ser feita com copos de suco transparentes que vêm com 1/2, 1/4, e assim por diante marcas nele.

4. Crie pedaços de papel de cores diferentes e organize-os em uma linha numérica

Uma linha numérica é um manipulador muito fácil de usar que pode ser usado para atividades de fração adequadas para alunos do jardim de infância. Você dá à criança as longas tiras de papel. Peça-lhes que alinhem a tira na linha numérica e marquem as porções nas tiras de cores diferentes como 1/2, 1/4, 1/6, que você marca na linha numérica.

Agora, peça a eles que codifiquem as porções por cores e cortem as tiras de papel de acordo com a fração escolhida para aquela cor. Eles podem colar as tiras cortadas na linha para ver como os valores fracionários ficam na forma de uma parte da tira. Tanto a diferença de cor quanto de tamanho da tira reforçam o conceito de frações nas mentes dos primeiros alunos com esta atividade.

5. Corte de barras de chocolate em diferentes partes

A barra de chocolate, que é divisível em porções pequenas e de tamanhos iguais, pode ser um bom material de orientação para a realização de uma atividade baseada em frações para envolver os alunos do jardim de infância. Você simplesmente conta o número de porções quebráveis ​​da barra. E, a seguir, corte-o em grupos diferentes dessas porções.

Significa que, se o chocolate estiver na forma ou 6 × 2, você pode começar a quebrar um cubo, depois mover para um conjunto de 2 e 3, para demonstrar o conceito de 1/12, 2/12, 4/12 e assim em. Novamente, aplique o método da fala numérica para fazer a criança adivinhar o tamanho da porção e recompensá-la com aquela porção, se ela indicar a fração correta.

6. Faça mostradores de relógio redondos e corte-os em partes menores

Um relógio é um objeto de uso diário com o qual as crianças se identificam facilmente. O seu mostrador redondo dá uma ideia da totalidade de um número. Você pode fazer o mostrador do relógio em papel cartão e demarcar suas porções fracionárias. Em seguida, você orienta a criança para cortar nas linhas pontilhadas para criar sua parte 1/2 a 1/12. Você pode mostrar à criança como contorná-lo usando um marcador e numerá-lo como a fração correspondente e pedir para repetir para outras partes.

Essa atividade simples oferece uma introdução justa ao conceito de valor fracionário para a criança. Esta atividade é útil para ensinar às crianças valores que variam de 1/12 a 1/2 para a criança. Além disso, a ideia de minutos em uma hora torna-se fácil de entender para as crianças por meio dessa atividade.


6.1: Introdução às Frações

Uma fração representa parte de um todo. Quando algo é dividido em várias partes, a fração mostra quantas dessas partes você possui.

Imagens de frações

Às vezes, a melhor maneira de aprender sobre frações é por meio de uma imagem. Veja as fotos abaixo para ver como todo um círculo pode ser dividido em diferentes frações. A primeira foto mostra o todo e, em seguida, as outras fotos mostram frações desse todo.

Numerador e denominador

Ao escrever uma fração, há duas partes principais: o numerador e o denominador. O numerador é quantas peças você possui. O denominador é em quantas partes o todo foi dividido.

As frações são escritas com o numerador sobre o denominador e uma linha entre eles.

Existem três tipos diferentes de frações:

1. Frações próprias - uma fração adequada é aquela em que o numerador é menor que o denominador. Observe que uma fração adequada é sempre menor que um.

2. Frações impróprias - Uma fração imprópria é aquela em que o numerador é maior que o denominador. Observe que uma fração imprópria é sempre maior que um.

3. Frações mistas - uma fração mista tinha uma parte de número inteiro e uma parte fracionária.

Um recíproco é uma fração em que o numerador e o denominador são invertidos. Também pode ser visto como 1 sobre o número. Quando você pega um número ou fração e o multiplica pelo recíproco, a resposta é sempre 1.

Às vezes, as frações podem parecer diferentes e ter números diferentes, mas são equivalentes ou têm o mesmo valor.

Um dos exemplos mais simples de frações equivalentes é o número 1. Se o numerador e o denominador forem iguais, a fração terá o mesmo valor equivalente a 1.

Aqui estão algumas frações equivalentes para 3/4. As frações equivalentes são todas múltiplas de 3/4. Pegue 15/20, por exemplo. 3x5 = 15 e 4x5 = 20.

Quando pontos decimais são usados ​​em números, o número à direita do ponto decimal é um tipo de fração. Dependendo do valor posicional, pode ser 1/10, 1/100, 1/1000 ou algum outro fator de 10.

Outro tipo de fração é a porcentagem. A "porcentagem" é uma fração com denominador de 100. Quando você diz 50%, é o mesmo que dizer 50/100.


Conteúdo

Edição de frações simples, comuns ou vulgares

Frações comuns podem ser positivos ou negativos e podem ser adequados ou impróprios (veja abaixo). Frações compostas, frações complexas, numerais mistos e decimais (veja abaixo) não são frações comuns embora, a menos que sejam irracionais, eles podem ser avaliados como uma fração comum.

  • Uma fração unitária é uma fração comum com um numerador de 1 (por exemplo, 1 7 < displaystyle < tfrac <1> <7> >>). As frações unitárias também podem ser expressas usando expoentes negativos, como em 2 −1, que representa 1/2, e 2 −2, que representa 1 / (2 2) ou 1/4.
  • Uma fração diádica é uma fração comum em que o denominador é uma potência de dois, por ex. 1 8 = 1 2 3 < displaystyle < tfrac <1> <8>> = < tfrac <1> <2 ^ <3> >>>.

Editar frações adequadas e impróprias

As frações comuns podem ser classificadas como adequadas ou impróprias. Quando o numerador e o denominador são ambos positivos, a fração é considerada adequada se o numerador for menor que o denominador e imprópria caso contrário. [12] [13] O conceito de "fração imprópria" é um desenvolvimento tardio, com a terminologia derivando do fato de que "fração" significa "um pedaço", então uma fração própria deve ser menor que 1. [11] foi explicado no livro didático do século 17 The Ground of Arts. [14] [15]

Em geral, uma fração comum é considerada um fração própria, se o valor absoluto da fração for estritamente menor que um, ou seja, se a fração for maior que -1 e menor que 1. [16] [17] Diz-se que é um Fração imprópria, ou às vezes fração pesada superior, [18] se o valor absoluto da fração for maior ou igual a 1. Exemplos de frações próprias são 2/3, −3/4 e 4/9, enquanto os exemplos de frações impróprias são 9/4, −4 / 3 e 3/3.

Recíprocos e o "denominador invisível" Editar

O recíproca de uma fração é outra fração com o numerador e o denominador trocados. O recíproco de 3 7 < displaystyle < tfrac <3> <7> >>, por exemplo, é 7 3 < displaystyle < tfrac <7> <3> >>. O produto de uma fração e seu recíproco é 1, portanto, o recíproco é o inverso multiplicativo de uma fração. O recíproco de uma fração adequada é impróprio, e o recíproco de uma fração imprópria diferente de 1 (ou seja, o numerador e o denominador não são iguais) é uma fração adequada.

Edição de proporções

Uma proporção é uma relação entre dois ou mais números que às vezes podem ser expressos como uma fração. Normalmente, vários itens são agrupados e comparados em uma proporção, especificando numericamente a relação entre cada grupo. As proporções são expressas como "grupo 1 para grupo 2. para grupo n". Por exemplo, se um estacionamento tivesse 12 veículos, dos quais

então, a proporção de carros vermelhos para carros brancos e amarelos é de 6 para 2 para 4. A proporção de carros amarelos para carros brancos é de 4 para 2 e pode ser expressa como 4: 2 ou 2: 1.

Edição de frações decimais e porcentagens

UMA fração decimal é uma fração cujo denominador não é fornecido explicitamente, mas é entendido como uma potência inteira de dez. Decimal fractions are commonly expressed using decimal notation in which the implied denominator is determined by the number of digits to the right of a decimal separator, the appearance of which (e.g., a period, a raised period (•), a comma) depends on the locale (for examples, see decimal separator). Thus for 0.75 the numerator is 75 and the implied denominator is 10 to the second power, viz. 100, because there are two digits to the right of the decimal separator. In decimal numbers greater than 1 (such as 3.75), the fractional part of the number is expressed by the digits to the right of the decimal (with a value of 0.75 in this case). 3.75 can be written either as an improper fraction, 375/100, or as a mixed number, 3 75 100 <100>>> .

Decimal fractions can also be expressed using scientific notation with negative exponents, such as 6.023 × 10 −7 , which represents 0.0000006023. The 10 −7 represents a denominator of 10 7 . Dividing by 10 7 moves the decimal point 7 places to the left.

Another kind of fraction is the percentage (Latin per centum meaning "per hundred", represented by the symbol %), in which the implied denominator is always 100. Thus, 51% means 51/100. Percentages greater than 100 or less than zero are treated in the same way, e.g. 311% equals 311/100, and −27% equals −27/100.

The related concept of permille ou parts per thousand (ppt) has an implied denominator of 1000, while the more general parts-per notation, as in 75 parts per million (ppm), means that the proportion is 75/1,000,000.


Egyptian fraction

Beyond their historical use, Egyptian fractions have some practical advantages over other representations of fractional numbers. For instance, Egyptian fractions can help in dividing food or other objects into equal shares. [1] For example, if one wants to divide 5 pizzas equally among 8 diners, the Egyptian fraction

means that each diner gets half a pizza plus another eighth of a pizza, for example by splitting 4 pizzas into 8 halves, and the remaining pizza into 8 eighths.

Similarly, although one could divide 13 pizzas among 12 diners by giving each diner one pizza and splitting the remaining pizza into 12 parts (perhaps destroying it), one could note that

and split 6 pizzas into halves, 4 into thirds and the remaining 3 into quarters, and then give each diner one half, one third and one quarter.

Edição de Notação

To write the unit fractions used in their Egyptian fraction notation, in hieroglyph script, the Egyptians placed the hieroglyph

(er, "[one] among" or possibly re, mouth) above a number to represent the reciprocal of that number. Similarly in hieratic script they drew a line over the letter representing the number. Por exemplo:

Calculation methods Edit

  • For small odd prime denominators p, the expansion
  • For larger prime denominators, an expansion of the form
  • For composite denominators, factored as p × q , one can expand
  • 2 / pq using the identity
  • One can also expand
  • 2 / pq as
  • 1 / pr +
  • 1 / qr , where r =
  • p + q / 2 . For instance, Ahmes expands
  • 2 / 35 =
  • 1 / 30 +
  • 1 / 42 , where p = 5 , q = 7 , and r =
  • 5 + 7 / 2 = 6 . Later scribes used a more general form of this expansion,
  • For some other composite denominators, the expansion for
  • 2 / pq has the form of an expansion for
  • 2 / q with each denominator multiplied by p. For instance, 95 = 5 × 19 , and
  • 2 / 19 =
  • 1 / 12 +
  • 1 / 76 +
  • 1 / 114 (as can be found using the method for primes with UMA = 12 ), so
  • 2 / 95 =
  • 1 / 5 × 12 +
  • 1 / 5 × 76 +
  • 1 / 5 × 114 =
  • 1 / 60 +
  • 1 / 380 +
  • 1 / 570 . [7] This expression can be simplified sonce
  • 1 / 380 +
  • 1 / 570 =
  • 1 / 228 , but the Rhind papyrus uses the unsimplified form.
  • The final (prime) expansion in the Rhind papyrus,
  • 2 / 101 , does not fit any of these forms, but instead uses an expansion

Egyptian fraction notation continued to be used in Greek times and into the Middle Ages, [8] despite complaints as early as Ptolemy's Almagest about the clumsiness of the notation compared to alternatives such as the Babylonian base-60 notation. An important text of medieval mathematics, the Liber Abaci (1202) of Leonardo of Pisa (more commonly known as Fibonacci), provides some insight into the uses of Egyptian fractions in the Middle Ages, and introduces topics that continue to be important in modern mathematical study of these series.

The primary subject of the Liber Abaci is calculations involving decimal and vulgar fraction notation, which eventually replaced Egyptian fractions. Fibonacci himself used a complex notation for fractions involving a combination of a mixed radix notation with sums of fractions. Many of the calculations throughout Fibonacci's book involve numbers represented as Egyptian fractions, and one section of this book [9] provides a list of methods for conversion of vulgar fractions to Egyptian fractions. If the number is not already a unit fraction, the first method in this list is to attempt to split the numerator into a sum of divisors of the denominator this is possible whenever the denominator is a practical number, and Liber Abaci includes tables of expansions of this type for the practical numbers 6, 8, 12, 20, 24, 60, and 100.

The next several methods involve algebraic identities such as

where ⌈ ⌉ represents the ceiling function since (−y) mod x & lt x , this method yields a finite expansion.

Compared to ancient Egyptian expansions or to more modern methods, this method may produce expansions that are quite long, with large denominators, and Fibonacci himself noted the awkwardness of the expansions produced by this method. For instance, the greedy method expands

while other methods lead to the shorter expansion

Although Egyptian fractions are no longer used in most practical applications of mathematics, modern number theorists have continued to study many different problems related to them. These include problems of bounding the length or maximum denominator in Egyptian fraction representations, finding expansions of certain special forms or in which the denominators are all of some special type, the termination of various methods for Egyptian fraction expansion, and showing that expansions exist for any sufficiently dense set of sufficiently smooth numbers.

  • One of the earliest publications of Paul Erdős proved that it is not possible for a harmonic progression to form an Egyptian fraction representation of an integer. The reason is that, necessarily, at least one denominator of the progression will be divisible by a prime number that does not divide any other denominator. [10] The latest publication of Erdős, nearly 20 years after his death, proves that every integer has a representation in which all denominators are products of three primes. [11]
  • The Erdős–Graham conjecture in combinatorial number theory states that, if the integers greater than 1 are partitioned into finitely many subsets, then one of the subsets has a finite subset of itself whose reciprocals sum to one. That is, for every r > 0 , and every r-coloring of the integers greater than one, there is a finite monochromatic subset S of these integers such that
    and primary pseudoperfect numbers are closely related to the existence of Egyptian fractions of the form
  • Egyptian fractions are normally defined as requiring all denominators to be distinct, but this requirement can be relaxed to allow repeated denominators. However, this relaxed form of Egyptian fractions does not allow for any number to be represented using fewer fractions, as any expansion with repeated fractions can be converted to an Egyptian fraction of equal or smaller length by repeated application of the replacement
  • Graham and Jewett [12] proved that it is similarly possible to convert expansions with repeated denominators to (longer) Egyptian fractions, via the replacement
  • Any fraction
  • x / y has an Egyptian fraction representation in which the maximum denominator is bounded by [13]
    characterized the numbers that can be represented by Egyptian fractions in which all denominators are nth powers. In particular, a rational number q can be represented as an Egyptian fraction with square denominators if and only if q lies in one of the two half-open intervals
    showed that any rational number has very dense expansions, using a constant fraction of the denominators up to N for any sufficiently large N. , sometimes called an Egyptian product, is a form of Egyptian fraction expansion in which each denominator is a multiple of the previous one:
    study numbers that have multiple distinct Egyptian fraction representations with the same number of terms and the same product of denominators for instance, one of the examples they supply is
  • The number of different n-term Egyptian fraction representations of the number one is bounded above and below by double exponential functions of n. [17]

Some notable problems remain unsolved with regard to Egyptian fractions, despite considerable effort by mathematicians.

  • The Erdős–Straus conjecture[15] concerns the length of the shortest expansion for a fraction of the form
  • 4 / n . Does an expansion
  • It is unknown whether an odd greedy expansion exists for every fraction with an odd denominator. If Fibonacci's greedy method is modified so that it always chooses the smallest possible odd denominator, under what conditions does this modified algorithm produce a finite expansion? An obvious necessary condition is that the starting fraction
  • x / y have an odd denominator y, and it is conjectured but not known that this is also a sufficient condition. It is known [18] that every
  • x / y with odd y has an expansion into distinct odd unit fractions, constructed using a different method than the greedy algorithm.
  • It is possible to use brute-force search algorithms to find the Egyptian fraction representation of a given number with the fewest possible terms [19] or minimizing the largest denominator however, such algorithms can be quite inefficient. The existence of polynomial time algorithms for these problems, or more generally the computational complexity of such problems, remains unknown.

Guy (2004) describes these problems in more detail and lists numerous additional open problems.

Egyptian fractions provide a solution to the rope-burning timer puzzle, in which a given duration is to be measured by igniting non-uniform ropes which burn out after a set time, say, one hour. The time taken to fully burn a rope is linearly proportional to the number of flame fronts maintained on the rope. Any rational fraction of one hour can be timed by finding the equivalent Egyptian fraction expansion and sequentially burning ropes with the appropriate number of flame fronts for the fractions. The usual restriction that every fraction is different may be relaxed. [20]


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