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6: Factoring - Matemática


6: Factoring - Matemática

Fatoração - colchetes expansíveis

Esta seção mostra como fatorar e inclui exemplos, exemplos de perguntas e vídeos.

Os colchetes devem ser expandidos das seguintes maneiras:
Para uma expressão da forma a (b + c), a versão expandida é ab + ac, ou seja, multiplique o termo fora do colchete por tudo dentro do colchete (por exemplo, 2x(x + 3) = 2x² + 6x [lembre-se de que x × x é x²]).
Para uma expressão da forma (a + b) (c + d), a versão expandida é ac + ad + bc + bd, em outras palavras, tudo no primeiro colchete deve ser multiplicado por tudo no segundo.

Expanda (2x + 3) (x - 1):
(2x + 3) (x - 1)
= 2x² - 2x + 3x - 3
= 2x² + x - 3

Fatoração

Fatorar é o inverso de expandir os colchetes, portanto, é, por exemplo, colocar 2x² + x - 3 na forma (2x + 3) (x - 1). Esta é uma maneira importante de resolver equações quadráticas.
O primeiro passo para fatorar uma expressão é 'tirar' quaisquer fatores comuns que os termos tenham. Portanto, se você fosse solicitado a fatorar x² + x, uma vez que x inclui os dois termos, você escreveria x (x + 1).

Quadráticos de fatoração

Este vídeo mostra como resolver uma equação quadrática por fatoração.

Não existe um método simples de fatorar uma expressão quadrática, mas com um pouco de prática isso se torna mais fácil. Um método sistemático, no entanto, é o seguinte:

Fatorar 12y² - 20y + 3
= 12y² - 18y - 2y + 3 [aqui o 20y foi dividido em dois números cujo múltiplo é 36. 36 foi escolhido porque este é o produto de 12 e 3, os outros dois números].
Os dois primeiros termos, 12y² e -18y, dividem-se por 6y, portanto, 'tire' esse fator de 6y.
6y (2y - 3) - 2y + 3 [podemos fazer isso porque 6y (2y - 3) é o mesmo que 12y² - 18y]
Agora, faça com que as duas últimas expressões se pareçam com a expressão entre colchetes:
6y (2y - 3) -1 (2y - 3)
A resposta é (2a - 3) (6a - 1)

Fatorar x² + 2x - 8
Precisamos dividir o 2x em dois números que se multiplicam para dar -8. Deve ser 4 e -2.
x² + 4x - 2x - 8
x (x + 4) - 2x - 8
x (x + 4) - 2 (x + 4)
(x + 4) (x - 2)

Depois de descobrir o que está acontecendo, esse método facilita a fatoração de qualquer expressão. Vale a pena estudar mais esses exemplos se você não entender o que está acontecendo. Infelizmente, o único outro método de fatoração é por tentativa e erro.

A diferença de dois quadrados

Se você for solicitado a fatorar uma expressão que é um número quadrado menos outro, você pode fatorá-la imediatamente. Isso ocorre porque a² - b² = (a + b) (a - b).

Fatorar 25 - x²
= (5 + x) (5 - x) [imagine que a = 5 e b = x]

Clique aqui para obter mais informações sobre equações quadráticas.


Como fatorar uma equação quadrática?

A fatoração de uma equação quadrática pode ser definida como o processo de dividir a equação no produto de seus fatores. Em outras palavras, também podemos dizer que a fatoração é o reverso da multiplicação.

Para resolver a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0 por fatoração, o as seguintes etapas são usadas:

  • Expanda a expressão e limpe todas as frações, se necessário.
  • Mova todos os termos para o lado esquerdo do sinal de igual.
  • Fatorar a equação dividindo o termo do meio.
  • Iguale cada fator a zero e resolva as equações lineares

Expanda a equação e mova todos os termos para a esquerda do sinal de igual.

Equacione cada fator igual a zero e resolva

Portanto, as soluções são x = 2, 1/2.

Resolva a seguinte equação quadrática (2x & # 8211 3) 2 = 25

Expanda a equação (2x - 3) 2 = 25 para obter

Divida cada termo por 4 para obter

Existem muitos métodos de fatoração de equações quadráticas. Neste artigo, nossa ênfase será baseada em como fatorar equações quadráticas, nas quais o coeficiente de x 2 é 1 ou maior que 1.

Portanto, usaremos o método de tentativa e erro para obter os fatores corretos para a equação quadrática fornecida.


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Para terminar com um quadrático com coeficiente inicial de 1 (e sem frações), cada um dos binômios originais também precisava ter um coeficiente inicial de 1.

Olhando para dois binômios genéricos (usando a variável x e os números genéricos p e q), podemos multiplicar os binômios assim:

Acima, (p + q) = be pq = c de & quot x 2 + bx + c & quot. Essa multiplicação e simplificação explica por que, para fatorar um quadrático, precisaremos começar encontrando os dois números (sendo o p e o q acima) que somam igual b, onde esses números também se multiplicam para igual a c. É exigido pela lógica da fatoração (e fatorar o quadrático é o & quotundo & quot da multiplicação binomial original).

(A propósito, eu chamo este tópico de & quotfatoração quadrática & quot, onde seu livro pode se referir a este tópico como & quotfatoração de trinômios & quot. Mas um & quottrinômio & quot é qualquer polinômio de três termos, que pode não ser um polinômio quadrático (isto é, um polinômio de grau dois) . E nem todas as quadráticas têm três termos. Portanto, a seção do livro ou o título do capítulo está, na melhor das hipóteses, um pouco fora do alvo. Não se preocupe com a diferença, embora o título do livro signifique a mesma coisa que o que esta lição explica.)

Aqui está como o processo de fatoração quadrática & quotsimple & quot se parece, na prática:

Fator x 2 + 5x + 6

Essa quadrática tem um coeficiente líder de 1, portanto, este é o caso simples de fatoração. Para começar, preciso encontrar fatores de c = +6 que somam b = +5. Eu tenho duas opções, porque 6 fatores são o produto de 2 e 3, ou como o produto de 1 e 6.

Agora, porque estou multiplicando para um positivo seis, então meus fatores devem ter o mesmo sinal, ambos devem ser positivos ou então devem ser ambos negativos, porque é assim que os negativos funcionam. Como estou adicionando um cinco positivo, os dois fatores devem ser positivos.

Vou verificar as somas dos pares de fatores potenciais, para ver o que funciona:

Como preciso que a soma dos meus fatores seja mais-cinco, usarei os fatores +2 e +3.

Desde quando aprendi a multiplicar polinômios, sei que eles obtiveram essa quadrática multiplicando dois binômios. Como o coeficiente líder é apenas 1, sei que o coeficiente líder de cada um desses binômios também deve ter sido apenas 1. Isso significa que o produto começou parecido com isto:

No final de cada parênteses, vão os números que se multiplicam por +6 e somam por +5. Isso significa que posso terminar minha fatoração inserindo esses números em meus parênteses, em qualquer ordem:

Por que & quotem qualquer pedido & quot? Como os front ends dos dois parênteses eram os mesmos, eu teria acabado com a mesma fatoração, de qualquer maneira. Lembre-se: a ordem não importa na multiplicação.

É assim que todas as quadráticas & quoteasy & quot funcionam: encontramos fatores do termo constante que se somam ao meio termo e, em seguida, usamos esses fatores para preencher nossos parênteses.

A propósito, sempre podemos verificar nosso trabalho multiplicando nossos fatores novamente e verificar se recuperamos a resposta original. Para verificar a fatoração acima, a multiplicação é assim:

Seu texto ou professor pode referir-se à fatoração & quotpor agrupamento & quot, que é abordada na lição sobre fatoração simples. No caso de fatoração & quotfácil & quot, usar o método & quotgrouping & quot apenas fornece algum trabalho extra. Por exemplo, no problema acima, além de encontrar os fatores de +6 que somam +5, você teria que seguir estas etapas adicionais:

Você obteria a mesma resposta que eu, mas (eu acho) é mais fácil ir direto para o preenchimento dos parênteses.

Fator x 2 + 7x + 6

O termo principal é apenas 1, então este é o caso simples de fatoração. O termo constante é 6, que pode ser escrito como o produto de 2 e 3 ou de 1 e 6, exatamente como no exercício anterior. Mas o coeficiente no médio prazo é diferente desta vez. Em vez de +5, tenho +7.

O sinal no termo constante é o mesmo de antes (ou seja, um & quotplus & quot), então ainda precisarei dos fatores & quotplus & quot. Mas a soma (ou seja, o coeficiente do meio-termo) é diferente, agora é 7. Enquanto 2 + 3 = 5 funcionou para a quadrática anterior, +2 e +3 não são os números de que preciso neste caso. Por outro lado, 1 + 6 = +7, então usarei +1 e +6 para minha fatoração. E também irei direto de ter tirado essa conclusão para escrever minha resposta final:

Novamente, lembre-se de que a ordem não importa na multiplicação, então a resposta acima poderia ser escrita igualmente corretamente como & quot (x + 6)​(x + 1) & quot.

Fator x 2 & ndash 5x + 6

O termo constante (criado pela multiplicação) é +6, então meus fatores serão ambos & quot mais & quot ou & quotminus & quot. Mas o coeficiente do meio desta vez é & quotminus & quot. Como estou adicionando a um & quotminus & quot, (ou seja, a & ndash5), ambos os fatores devem ser & quotminus & quot.

Quando o coeficiente do termo do meio era & quot plus & quot cinco, usei os fatores +2 e +3. Agora que o coeficiente do meu termo do meio é & quotminus & quot, usarei & ndash2 e & ndash3:

Observe que podemos usar pistas dos sinais para determinar quais pares de fatores usar, como demonstrei nos exercícios anteriores. As regras, formalmente, são assim:

  • Se c for & quot mais & quot, então os fatores serão & quot mais & quot ou & quot menos & quot.
    • Se b for & quotplus & quot, então os fatores são & quotplus & quot.
    • Se b for & quotminus & quot, então os fatores são & quotminus & quot.
    • Se c for & quot menos & quot, então os fatores serão de sinais alternados, ou seja, um será & quot mais & quot e o outro será & quot menos & quot.
      • Se b for & quot mais & quot, o maior dos dois fatores é & quot mais & quot.
      • Se b for & quot menos & quot, então o maior dos dois fatores é & quot menos & quot.

      Fator x 2 & ndash 7x + 6

      O coeficiente principal é 1, então este é um quadrático de fatoração simples. Estou multiplicando para um & quot mais & quot seis, de modo que os fatores serão ambos & quot mais & quot ou & quot menos & quot. Olhando para o termo médio, vejo que estou adicionando a um & quotminus & quot sete, então meus fatores serão ambos & quotminus & quot.

      Os fatores (negativos) de +6 que somam 7 são & ndash1 e & ndash6, então usarei & ndash1 e & ndash6 para minha fatoração:

      Até agora, c (o termo constante) sempre foi um & quotplus & quot. E se c for um & quotminus & quot?

      Fator x 2 + x & ndash 6

      Uma vez que estou multiplicando para um & quot menos & quot seis, preciso de fatores que tenham sinais opostos, ou seja, um fator será & quot mais & quot e o outro será & quot menos & quot. O coeficiente no termo do meio é um & quot mais & quot 1, então sei que o maior dos dois fatores (maior, isto é, em termos de seu valor absoluto) obterá o sinal & quot mais & quot. Como esses números com sinais opostos serão somados para obter +1, preciso que os dois fatores estejam separados por uma unidade.

      Os pares de fatores para 6 são 1 e 6 e 2 e 3. Os valores do segundo par estão separados por uma unidade, então sei que estarei usando 2 e 3.

      Como preciso obter uma resposta & quot plus & quot para a soma dos dois fatores, precisarei do maior dos meus dois números para obter o sinal & quotplus & quot, ou seja, o 3 receberá o sinal & quotplus & quot (então o 2 receberá o sinal & quotminus & quot) . Então minha fatoração é:

      Fator x 2 & ndash x & ndash 6

      Isso se parece com o quadrático anterior, exceto que agora o termo do meio é & quotminus & quot. O termo constante ainda é & quotminus & quot, então ainda quero fatores com sinais opostos. E o coeficiente do termo do meio (diferente de seu sinal) ainda é 1, então ainda quero fatores separados por uma unidade. Mas, desta vez, o fator maior receberá o sinal & quotminus & quot.

      Todas as outras considerações permanecem as mesmas. Ainda quero fatores de 6 separados por uma unidade, então continuarei usando 2 e 3. Mas, desta vez, o sinal no 3 será um & quotminus & quot:


      6: Factoring - Matemática

      16. Fatore o seguinte polinômio.

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      Não se preocupe com o fato de que este polinômio não é quadrático. Só porque não é um polinômio quadrático, não significa que não podemos fatorá-lo.

      Para este polinômio, podemos ver que (< left (<> right) ^ 2> = ) e assim parece que podemos fatorar isso no formulário,

      Neste ponto, tudo o que precisamos fazer é prosseguir como fizemos com as quadráticas que fatoramos acima.

      Depois de anotar os fatores de -4, podemos ver que precisamos ter a seguinte fatoração.

      [ + 3 - 4 = left (<+ 4> direita) esquerda (<- 1> right) ] Mostrar Etapa 3

      Agora, precisamos ter cuidado aqui. Às vezes, isso terá mais fatoração que podemos fazer. Neste caso podemos ver que o segundo fator é a diferença de cubos perfeitos e temos uma fórmula para fatorar a diferença de cubos perfeitos.

      Portanto, a fatoração deste polinômio é,

      [ + 3 - 4 = left (<+ 4> direita) esquerda (<- 1> right) = require bbox [2pt, border: 1px sólido preto] << left (<+ 4> direita) esquerda ( direita) esquerda (<+ x + 1> direita) >> ]


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      Se eu não tirar primeiro o fator comum de & quot 2 & quot, encontrarei os fatores de 2 & vezes (& ndash16) = & ndash32 que se somam a & ndash4. Em outras palavras, vou precisar de fatores de sinal oposto (então irei subtraí-los) que estão separados por quatro unidades.

      Os pares de fatores de 32 e suas diferenças são:

      Ok, então 8 e 4 são quatro unidades separadas. Como estou adicionando a um & quotminus & quot, colocarei o sinal & quotminus & quot no maior dos dois números. Usarei & ndash8 e +4 para dividir o coeficiente do termo do meio de & ndash4. Minha & quotbox & quot se parece com isto:

      Minha fatoração é (2x & ndash 8) (2x + 4), que posso verificar multiplicando novamente. Mas logo no início da multiplicação de volta, vejo que estou obtendo um termo principal de 4x 2, que é não com o que eu comecei. Então, claramente, isso está errado!

      Ao não retirar esse fator comum primeiro, consegui criar fatores extras em & quotbox & quot em particular, ao não retirar o 2 primeiro, criei um fator estranho de 2.

      Para fazer as coisas corretamente, começo retirando o fator comum de 2. Isso me dá:

      Agora preciso fatorar o quadrático restante:

      Oh, ei! Depois de extrair o fator comum, isso se transformou em uma das fatorações de caso simples! Tudo que eu preciso são fatores de & ndash8 que somam & ndash2. Em outras palavras, preciso de fatores de 8 separados por duas unidades, em que o maior dos fatores (exceto o sinal) obtém o sinal & quot menos & quot. É fácil usar & ndash4 e +2. Os fatores quadráticos como:

      Então, minha resposta (lembrando-se de incluir os 2 que calculei no início) é:

      O único caso especial que costuma causar problemas aos alunos é quando o coeficiente principal é um valor & quotminus & quot. Um bom primeiro passo é fatorar esse valor de toda a quadrática (ou, pelo menos, fatorar o & quotminus & quot de toda a coisa).

      Fator & ndash6x 2 & ndash x + 2

      Não há fatores comuns (não triviais), então não há nada & quotinteressante & quot (como 2) que eu possa extrair de todos os três termos. O coeficiente inicial não é 1, então terei de usar & quotbox & quot. Como o coeficiente principal também é & quotminus & quot, meu primeiro passo será extrair um & ndash1 de todos os três termos. Isso me dá:

      (Eu preciso me lembrar disso cada o sinal muda quando eu multiplico ou divido por um & quotminus & quot. Não devo cair na armadilha de tirar o & ndash1 de apenas o primeiro mandato, devo tirá-lo de todos os três!)

      Posso ver que vou precisar de fatores de ac = (6) (& ndash2) = & ndash12 (então um & quotplus & quot e um & quotminus & quot) que somam o coeficiente do meio termo de 1 (então os fatores estarão separados por uma unidade, com o maior um obtendo o sinal & quotplus & quot). Este é simples o suficiente para que eu não precise listar pares de fatores. Eu já sei que 3 e 4 são uma unidade separados, então irei dividir o 1 usando +4 e & ndash3.

      Conectar o conteúdo dos parênteses em & quotbox & quot me dá:

      Lembrando-me do & ndash1 que calculei na minha primeira etapa, minha resposta então é:

      Colocando essas duas técnicas juntas (ou seja, fatorando qualquer coisa comum a todos os três termos e retirando um sinal & quot menos & quot à esquerda), podemos agora lidar com a fatoração de quadráticas mais complicadas, como:

      Fator & ndash6x 2 + 15x + 36

      O coeficiente líder não é 1, então precisarei usar & quotbox & quot para fatorar, como as coisas estão agora. No entanto, posso ver que há um fator de 3 que é comum a todos os três termos e também que o coeficiente líder é um & quotminus & quot. Isso me diz que um bom primeiro passo será puxar um & ndash3 para frente, aplicando & quotbox & quot a tudo o que for deixou. Então, meu primeiro passo me dá:

      Agora preciso fatorar o quadrático restante. Preciso encontrar fatores de ac = (2) (& ndash12) = & ndash24 (então um será & quotplus & quot e o outro será & quotminus & quot) que somam & ndash5 (então eles terão cinco unidades separadas, e o fator maior obterá o sinal & quotminus & quot). Supondo que eu não tenha percebido o par de fatores necessário imediatamente, aqui estão os pares e suas diferenças:

      Há outro par de fatores, mas posso parar por aqui, porque tenho o par de que preciso, a saber, 3 e 8. Como preciso que eles tenham sinais opostos e adicionem um & quotminus & quot, colocarei o sinal & quotminus & quot no 8. Então, & quotbox & quot se parece com isto:

      Quando escrevo minha resposta, preciso me lembrar de incluir o & ndash3 que considerei antes na minha primeira etapa:

      Uma versão disfarçada deste caso de factoring-out-the- & quotminus & quot é quando eles nos dão um quadrático reverso onde o termo ao quadrado é subtraído, assim:

      Para fazer a fatoração, o primeiro passo seria inverter o quadrático para colocá-lo de volta na ordem & quotnormal & quot

      Então, nós fatoraríamos da maneira usual:

      Podemos fazer isso & quotstrocando os termos em torno de & quot no caso acima porque a ordem não importa além disso. Na subtração, no entanto, a ordem faz importante ao virar um quadrático com sinais & quotminus & quot, precisamos ter cuidado com esses sinais. Por exemplo:

      Fator 6 + x & ndash x 2

      O termo & quotleader & quot não está adiantado, então vou começar invertendo as coisas. No entanto, terei de ter cuidado com os sinais, certificando-me de que os carrego junto com os seus (seguintes) termos. Isso me dá:

      Isso me dá um quadrático com um coeficiente inicial & quotminus & quot, então vou fatorar um & ndash1 de todos os três termos:

      Isso me deixa com um quadrático simples para fatorar. Os fatores de & ndash6 (então um é & quotplus & quot e o outro é & quotminus & quot) somam & ndash1 (então os fatores estão separados por uma unidade e o maior recebe o sinal & quotminus & quot) claramente, devo usar +2 e & ndash3. Incluindo o & ndash1 que tirei da frente, isso me dá:

      Normalmente, eles nos darão quadráticas para as quais o produto ab não tem muitos pares de fatores terríveis. No entanto, às vezes ab é grande o suficiente que é doloroso encontrar o par de fatores necessário. Nesse caso, podemos sempre criar uma lista (usando nossa calculadora para dividir valores progressivamente maiores em ab para encontrar esses pares), desistindo quando encontrarmos o par de que precisamos. Esse processo é parecido com este:

      Fator 20x 2 & ndash 17x & ndash 63

      Para este quadrático, ac = (20) (& ndash63) = & ndash1260. De cabeça para baixo, não tenho a menor ideia de quais fatores vou precisar usar. Tudo o que sei até agora é que esses fatores terão sinais opostos e que eles terão dezessete unidades separados, com o maior dos dois recebendo o sinal & quot menos & quot. Vou começar listando pares de fatores de 1.260 e ver se consigo encontrar um par que funcione.

      Minha calculadora me diz que 8 não é um fator de 1.260, mas 9 é (e posso ver claramente que 10 é), então:

      Ignorando os números restantes que minha calculadora me diz que não são fatores, eu obtenho:

      Finalmente! Sim, existem mais dois pares de fatores para 1.260, mas finalmente encontrei um par que funciona, então posso parar por aqui. Como estou adicionando a um & quotminus & quot, colocarei o sinal & quotminus & quot no maior dos dois fatores, e minha & quotbox & quot terá a seguinte aparência:

      Você deve Espero um exercício tão longo quanto este no próximo teste. Quando você obtém um valor para ac que é ridiculamente grande, não perca muito tempo tentando "cotar" a solução. Quando você tem números tão grandes, pode ser mais rápido escrever a lista de pares de fatores. Nesse caso, escreva seus pares em seu trabalho de entrega, pois esta será uma prova importante de que vocês encontrou a fatoração, ao invés de sua calculadora ou seu telefone (ou & quotipos de papel do vizinho & quot).

      Existe um outro tipo de quadrática que parece meio diferente, mas a fatoração em si funciona exatamente da mesma maneira que é o caso de uma quadrática com duas variáveis ​​quadradas, uma em cada extremidade da quadrática:

      Fator 6x 2 + xy & ndash 12y 2

      Isso pode parecer ruim, com o y 2 no final, mas é fatorado como todas as quadráticas anteriores. Lembro-me, por fatoração simples, que sei que os fatores de um caso simples quadrático tinham que ser da seguinte forma:

      (x + algo) (x + outra coisa)

      Para esta quadrática ligeiramente diferente, eles devem ter fatores multiplicados nesta forma ligeiramente diferente:

      Então eu terei y está no final de cada um dos meus parênteses. Mas, fora isso, o processo funcionará normalmente.

      Primeiro, preciso encontrar fatores de ac = (6) (& ndash12) = & ndash72 (então um & quotplus & quot e um & quotminus & quot) que somam a +1 (então eles estarão separados por uma unidade, com o maior recebendo o sinal & quotplus & quot) . Essa fatoração é fácil, usarei +9 e & ndash8 para dividir o termo do meio. Portanto, & quotbox & quot se parece com isto:

      Você pode usar o widget Mathway abaixo para praticar a fatoração quadrática (ou, como o widget os chama, & quottrinômios & quot). Experimente o exercício inserido ou digite seu próprio exercício. (Ou pule o widget e continue na próxima página.) Em seguida, clique no botão para comparar sua resposta com a de Mathway.

      Eles também têm a opção de verificar se um polinômio (como um quadrático) é & quotprime & quot, insira o quadrático, clique no botão e selecione & quotDetermine se Primo & quot.)

      (Clique em & quotToque para ver as etapas & quot para ser levado diretamente ao site do Mathway para uma atualização paga.)


      Calculadora de fator comum

      Forneça números inteiros separados por vírgula "," e clique no botão "Calcular" para encontrar seus fatores comuns.

      O que é um fator?

      Um fator é um termo em multiplicação. Por exemplo, em:

      3 e 4 são os fatores. É possível que um número tenha vários fatores. Usando 12 como exemplo, além de 3 e 4 sendo fatores:

      Pode-se ver que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são todos fatores do número 12. Esta é a forma mais básica de um fator, mas as expressões algébricas também podem ser fatoradas, embora essa não seja a intenção de esta calculadora.

      O que é um fator comum?

      Um fator comum é um fator compartilhado entre dois números diferentes. Ele também pode ser referido como um divisor comum. Como um exemplo:

      Os fatores de 16 incluem: 1, 2, 4, 8 e 16.

      Os fatores de 12 incluem: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

      Assim, os fatores comuns de 16 e 12 são: 1, 2 e 4.

      Freqüentemente, em problemas matemáticos, pode ser desejável encontrar o maior fator comum de alguns números dados. Nesse caso, o maior fator comum é 4.

      Esta calculadora aceita apenas inteiros positivos como entrada para calcular seus fatores comuns. Embora apenas dois números sejam usados ​​no exemplo acima, a calculadora pode calcular os fatores comuns de mais de dois números.


      Fator Trinomials por Unfoiling (tentativa e erro)

      Um dos métodos que podemos usar para fatorar os trinômios é por tentativa e erro ou por desvinculação ou reversão FOIL.

      Nessas lições, aprenderemos como fatorar trinômios pelo método de tentativa e erro. Muitos exemplos e soluções trabalhadas são mostrados.

      Também é possível fatorar trinômios quadráticos sem tentativa e erro. Isso é mostrado no último vídeo desta página.

      Também temos uma calculadora trinomial que o ajudará a fatorar trinômios. Use-o para verificar suas respostas.

      Fatore o seguinte trinômio.

      Passo 1: O primeiro termo é x 2 , que é o produto de x e x. Portanto, o primeiro termo em cada colchete deve ser x, ou seja,

      Passo 2 : O último termo é 6. Os fatores possíveis são & plusmn1 e & plusmn6 ou & plusmn2 e & plusmn3. Portanto, temos as seguintes opções.

      O único par de fatores que dá -5x como o meio termo é (x - 3)(x - 2)

      Etapa 3: A resposta é então

      Como fatorar trinômios por FOIL reverso (ou método de tentativa e erro) e agrupamento?
      Fator ax 2 + bx + c onde a & ne 1.
      Método 1: trilha e erro (reverso FOIL)
      Passo 1: Coloque os fatores do eixo 2 nas primeiras posições dos 2 conjuntos de parênteses que representam os fatores.
      Etapa 2: coloque 2 fatores possíveis de c nas segundas posições dos parênteses.
      Etapa 3: encontre os produtos internos e externos dos 2 conjuntos de parênteses.
      Etapa 4: Continue tentando fatores diferentes até que os produtos internos e externos adicionem ao bx.
      Exemplos:
      Fator
      1. 6x 2 - 19x + 15
      2. 15x 2 + 17x - 42

      Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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      Rs Aggarwal para Matemática da Classe 6, Capítulo 2 - Fatores e múltiplos

      Soluções Rs Aggarwal para Matemática da Classe 6 Capítulo 2 Fatores e múltiplos são fornecidos aqui com explicações simples passo a passo. Essas soluções para Fatores e Múltiplos são extremamente populares entre os alunos da Classe 6, pois as Soluções de Fatores e Múltiplos de Matemática são úteis para concluir rapidamente sua lição de casa e se preparar para os exames. Todas as perguntas e respostas do livro Rs Aggarwal da classe 6 de matemática, capítulo 2, são fornecidas aqui para você gratuitamente. Você também vai adorar a experiência sem anúncios nas Soluções Rs Aggarwal da Meritnation. Todas as soluções Rs Aggarwal para matemática da classe 6 são preparadas por especialistas e são 100% precisas.

      Página No 25:

      Questão 1:

      Defina: (i) fator (ii) múltiplo. Dê cinco exemplos de cada um.

      Responder:

      Fator: O fator de um número é um divisor exato desse número.
      Múltiplo: Um múltiplo de um número é um número obtido multiplicando-o por um número natural.

      Exemplo 1: sabemos que 15 = 1 & vezes 15 e 15 = 3 & vezes 5

      e lá 4 1, 3, 5 e 15 são os fatores de 15
      Em outras palavras, podemos dizer que 15 é um múltiplo de 1, 3, 5 e 15.

      Exemplo 2: sabemos que 8 = 8 & vezes 1, 8 = 2 & vezes 4 e 8 = 4 & vezes 2

      e lá 4 1, 2, 4 e 8 são os fatores de 8.
      Em outras palavras, podemos dizer que 8 é um múltiplo de 1, 2, 4 e 8.

      Exemplo 3: sabemos que 30 = 30 & vezes 1, 30 = 5 & vezes 6 e 30 = 6 & vezes 5

      e lá 4 1, 5, 6 e 30 são fatores de 30.
      Em outras palavras, podemos dizer que 30 é um múltiplo de 1, 5, 6 e 30.

      Exemplo 4: sabemos que 20 = 20 & vezes 1, 20 = 4 & vezes 5 e 20 = 5 & vezes 4

      e lá 4 1, 4, 5 e 20 são fatores de 20.
      Em outras palavras, podemos dizer que 20 é um múltiplo de 1, 4, 5 e 20.

      Exemplo 5: sabemos que 10 = 10 & vezes 1, 10 = 2 & vezes 5 e 10 = 5 & vezes 2

      e lá 4 1, 2, 5 e 10 são fatores de 10.
      Em outras palavras, podemos dizer que 10 é um múltiplo de 1, 2, 5 e 10.

      Página No 25:

      Questão 2:

      Anote todos os fatores de
      (i) 20
      (ii) 36
      (iii) 60
      (iv) 75

      Responder:

      (i) 20
      20 = 1 & vezes 20 20 = 10 & vezes 2 e 20 = 4 & vezes 5
      Os fatores de 20 são 1, 2, 4, 5, 10 e 20.

      (ii) 36
      36 = 1 & vezes 36 36 = 2 & vezes 18 36 = 3 & vezes 12 e 36 = 4 & vezes 9
      Os fatores de 36 são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 e 36.

      (iii) 60
      60 = 1 & vezes 60 60 = 2 & vezes 30 60 = 3 & vezes 20 60 = 4 & vezes 15 e 60 = 5 & vezes 12
      Os fatores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 e 60.

      (iv) 75
      75 = 1 & vezes 75 75 = 3 & vezes 25 e 75 = 5 & vezes 15
      Os fatores de 75 são 1, 3, 5, 15, 25 e 75.

      Página No 25:

      Questão 3:

      Escreva os primeiros cinco múltiplos de cada um dos seguintes números:
      (i) 17
      (ii) 23
      (iii) 65
      (iv) 70

      Responder:

      (i) 17
      17 & vezes 1 = 17 17 & vezes 2 = 34 17 & vezes 3 = 51 17 & vezes 4 = 68 e 17 & vezes 5 = 85
      & there4 Os primeiros cinco múltiplos de 17 são 17, 34, 51, 68 e 85.

      (ii) 23
      23 & vezes 1 = 23 23 & vezes 2 = 46 23 & vezes 3 = 69 23 & vezes 4 = 92 e 23 & vezes 5 = 115
      & there4 Os primeiros cinco múltiplos de 23 são 23, 46, 69, 92 e 115.

      (iii) 65
      65 & vezes 1 = 65 65 & vezes 2 = 130 65 & vezes 3 = 195 65 & vezes 4 = 260 e 65 & vezes 5 = 325
      & there4 Os primeiros cinco múltiplos de 65 são 65, 130, 195, 260 e 325.

      (iv) 70
      70 & times 1 = 70 70 & times 2 = 140 70 & times 3 = 210 70 & times 4 = 280 e 70 & times 5 = 350
      & there4 Os primeiros cinco múltiplos de 70 são 70, 140, 210, 280 e 350.

      Página No 25:

      Questão 4:

      Quais dos seguintes números são pares e quais são ímpares?
      (i) 32
      (ii) 37
      (iii) 50
      (iv) 58
      (v) 69
      (vi) 144
      (vii) 321
      (viii) 253

      Responder:

      (i) 32
      Como 32 é um múltiplo de 2, é um número par.
      (ii) 37
      Como 37 não é um múltiplo de 2, é um número ímpar.
      (iii) 50
      Como 50 é um múltiplo de 2, é um número par.
      (iv) 58
      Como 58 é um múltiplo de 2, é um número par.
      (v) 69
      Como 69 não é um múltiplo de 2, é um número ímpar.
      (vi) 144
      Como 144 é um múltiplo de 2, é um número par.
      (vii) 321
      Como 321 não é um múltiplo de 2, é um número ímpar.
      (viii) 253
      Como 253 não é um múltiplo de 2, é um número ímpar.

      Página No 25:

      Questão 5:

      O que são números primos? Dê dez exemplos.

      Responder:

      Número primo: Um número é chamado de número primo se tiver apenas dois fatores, a saber, 1 e ele mesmo.

      Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29 são números primos.

      Página No 25:

      Questão 6:

      Escreva todos os números primos entre
      (i) 10 e 40
      (ii) 80 e 100
      (iii) 40 e 80
      (iv) 30 e 40

      Responder:

      (i) Todos os números primos entre 10 e 40 são 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 37.
      (ii) Todos os números primos entre 80 e 100 são 83, 89 e 97.
      (iii) Todos os números primos entre 40 e 80 são 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 e 79.
      (iv) Todos os números primos entre 30 e 40 são 31 e 37.

      Página No 25:

      Questão 7:

      (i) Escreva o menor número primo.
      (ii) Liste todos os números primos pares.
      (iii) Escreva o menor número primo ímpar.

      Responder:

      (i) O menor número primo é 2.
      (ii) Existe apenas um número primo par, ou seja, 2.
      (iii) O menor número primo ímpar é 3.

      Página No 25:

      Questão 8:

      Descubra quais dos seguintes números são primos:
      (i) 87
      (ii) 89
      (iii) 63
      (iv) 91

      Responder:

      (i) 87
      Os divisores de 87 são 1, 3, 29 e 87, ou seja, 87 tem mais de 2 fatores. Portanto, 87 não é um número primo.

      (ii) 89
      Os divisores de 89 são 1 e 89. Portanto, 89 é um número primo.

      (iii) 63
      Os divisores de 63 são 1, 3, 7, 9, 21 e 63, ou seja, 63 tem mais de 2 fatores. Portanto, 63 não é um número primo.

      (iv) 91
      Os divisores de 91 são 1, 7, 13 e 91, ou seja, 91 tem mais de 2 fatores. Portanto, 91 não é um número primo.

      Página No 25:

      Questão 9:

      Faça uma lista de sete números consecutivos, nenhum dos quais primo.

      Responder:

      90, 91, 92, 93, 94, 95 e 96 são sete números consecutivos e nenhum deles é primo.

      Página No 25:

      Questão 10:

      (i) Existe algum número de contagem sem fator algum?
      (ii) Encontre todos os números que têm exatamente um fator.
      (iii) Encontre números entre 1 e 100 com exatamente três fatores.

      Responder:

      (i) Não, não há números de contagem sem nenhum fator porque cada número tem pelo menos dois fatores, ou seja, 1 e ele mesmo.
      (ii) Há apenas um número que tem exatamente um fator, ou seja, 1.
      (iii) Os números entre 1 e 100 que têm exatamente três fatores são 4, 9, 25 e 49.

      Página No 25:

      Questão 11:

      O que são números compostos? Um número composto pode ser ímpar? Em caso afirmativo, escreva o menor número composto ímpar.

      Responder:

      Os números que têm mais de dois fatores são conhecidos como números compostos.
      Sim, um número composto pode ser ímpar.
      O menor número composto ímpar é 9.

      Página No 25:

      Questão 12:

      O que são primos gêmeos? Escreva todos os pares de primos gêmeos entre 50 e 100.

      Responder:

      Dois números primos ímpares consecutivos são chamados de primos gêmeos.
      Os pares de números primos gêmeos entre 50 e 100 são (59, 61) e (71, 73).

      Página No 25:

      Questão 13:

      O que são co-primos? Dê exemplos de cinco pares de primos primos. Os co-primos são sempre primos? Se não, ilustre sua resposta com um exemplo.

      Responder:

      Se dois números não tiverem um fator comum diferente de 1, eles são considerados primos.

      Cinco pares de primos: (i) 2 e 3 (ii) 3 e 4 (iii) 4 e 5 (iv) 4 e 9 (v) 8 e 15

      Não, co & ndashprimes nem sempre são primos.

      Por exemplo, 3 e 4 são números primos, onde 3 é um número primo e 4 não é um número primo.

      Página No 25:

      Questão 14:

      Expresse cada um dos seguintes números como a soma de dois primos ímpares:
      (i) 36
      (ii) 42
      (iii) 84
      (iv) 98

      Responder:

      (i) 36
      36 como a soma de dois números primos ímpares é (36 = 31 + 5).
      (ii) 42
      42 como a soma de dois números primos ímpares é (42 = 31 + 11).
      (iii) 84
      84 como a soma de dois números primos ímpares é (84 = 41 + 43).
      (iv) 98
      98 como a soma de dois números primos ímpares é (98 = 31 + 67).

      Página No 25:

      Questão 15:

      Expresse cada um dos seguintes números ímpares como a soma de três números primos ímpares:
      (i) 31
      (ii) 35
      (iii) 49
      (iv) 63

      Responder:

      (i) 31
      31 pode ser expresso como a soma de três números primos ímpares como (31 = 5 + 7 + 19).
      (ii)) 35
      35 pode ser expresso como a soma de três números primos ímpares como (35 = 17 + 13 + 5).
      (iii) 49
      49 pode ser expresso como a soma de três números primos ímpares como (49 = 13 + 17 + 19).
      (iv) 63
      63 pode ser expresso como a soma de três números primos ímpares como (63 = 29 + 31 + 3).

      Página No 25:

      Questão 16:

      Expresse cada um dos seguintes números como a soma dos primos gêmeos:
      (i) 36
      (ii) 84
      (iii) 120
      (iv) 144

      Responder:

      (i) 36
      36 pode ser expresso como a soma de números primos gêmeos como (36 = 17 + 19).
      (ii) 84
      84 pode ser expresso como a soma de primos gêmeos como (84 = 41 + 43).
      (iii) 120
      120 pode ser expresso como a soma de números primos gêmeos como (120 = 59 + 61).
      (iv) 144
      144 pode ser expresso como a soma de primos gêmeos como (144 = 71 + 73).

      Página No 26:

      Questão 17:

      Qual das seguintes afirmações são verdadeiras?
      (i) 1 é o menor número primo.
      (ii) Se um número for primo, deve ser ímpar.
      (iii) A soma de dois números primos é sempre um número primo.
      (iv) Se dois números são primos, pelo menos um deles deve ser um número primo.

      Responder:

      (i) Falso. 2 é o menor número primo.
      (ii) Falso. 2 é um número primo par.
      (iii) Falso. 3 e 7 são dois números primos e sua soma é 10, que é par.
      (iv) Falso. 4 e 9 são primos, mas nenhum deles é um número primo.

      Página No 29:

      Questão 1:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 2:
      (i) 2650
      (ii) 69435
      (iii) 59628
      (iv) 789403
      (v) 357986
      (vi) 367314

      Responder:

      Um número é divisível por 2 se seu dígito de unidade for 0, 2, 4, 6 ou 8.
      (i) Como o dígito nas unidades em 26250 é 0, ele é divisível por 2
      (ii) Como o dígito na casa das unidades em 69435 não é 0, 2, 4, 6 ou 8, ele não é divisível por 2.
      (iii) Como o dígito na casa das unidades em 59628 é 8, ele é divisível por 2.
      (iv) Como o dígito na casa das unidades em 789403 não é 0, 2, 4, 6 ou 8, ele não é divisível por 2.
      (v) Como o dígito na casa das unidades em 357986 é 6, ele é divisível por 2.
      (vi) Como o dígito na casa das unidades em 367314 é 4, ele é divisível por 2.

      Página No 29:

      Questão 2:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 3:
      (i) 733
      (ii) 10038
      (iii) 20701
      (iv) 524781
      (v) 79124
      (vi) 872645

      Responder:

      Um número é divisível por 3 se a soma de seus dígitos for divisível por 3.
      (i) 733 não é divisível por 3 porque a soma de seus dígitos, 7 + 3 + 3, é 13, que não é divisível por 3.
      (ii) 10038 é divisível por 3 porque a soma de seus dígitos, 1 + 0 + 0 + 3 + 8, é 12, que é divisível por 3.
      (iii) 20701 não é divisível por 3 porque a soma de seus dígitos, 2 + 0 + 7 + 0 + 1, é 10, que não é divisível por 3.
      (iv) 524781 é divisível por 3 porque a soma de seus dígitos, 5 + 2 + 4 + 7 + 8 + 1, é 27, que é divisível por 3.
      (v) 79124 não é divisível por 3 porque a soma de seus dígitos, 7 + 9 + 1 + 2 + 4, é 23, que não é divisível por 3.
      (vi) 872645 não é divisível por 3 porque a soma de seus dígitos, 8 + 7 + 2 + 6 + 4 + 5, é 32, que não é divisível por 3.

      Página No 29:

      Questão 3:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 4:
      (i) 618
      (ii) 2314
      (iii) 63712
      (iv) 35056
      (v) 946126
      (vi) 810524

      Responder:

      Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dígitos em suas dezenas e unidades for divisível por 4.

      (i) 618 não é divisível por 4 porque o número formado por seus dígitos de dezenas e unidades é 18, que não é divisível por 4.
      (ii) 2314 não é divisível por 4 porque o número formado por seus dígitos de dezenas e unidades é 14, que não é divisível por 4.
      (iii) 63712 é divisível por 4 porque o número formado por suas dezenas e unidades é 12, que é divisível por 4.
      (iv) 35056 é divisível por 4 porque o número formado por seus dígitos de dezenas e unidades é 56, que é divisível por 4.
      (v) 946126 não é divisível por 4 porque o número formado por seus dígitos de dezenas e unidades é 26, que não é divisível por 4.
      (vi) 810524 é divisível por 4 porque o número formado por seus dígitos de dezenas e unidades é 24, que é divisível por 4.

      Página No 29:

      Questão 4:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 5:
      (i) 4965
      (ii) 23590
      (iii) 35208
      (iv) 723405
      (v) 124684
      (vi) 438750

      Responder:

      Um número é divisível por 5 se seu dígito de unidade for 0 ou 5.

      (i) 4965 é divisível por 5, porque o dígito em sua casa é 5.

      (ii) 23590 é divisível por 5, porque o dígito em sua casa é 0.

      (iii) 35208 não é divisível por 5, porque o dígito em sua casa é 8.

      (iv) 723405 é divisível por 5, porque o dígito em sua casa é 5.

      (v) 124684 não é divisível por 5, porque o dígito em sua casa é 4.

      (vi) 438750 é divisível por 5, porque o dígito em sua casa é 0.

      Página No 30:

      Questão 5:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 6:
      (i) 2070
      (ii) 46523
      (iii) 71232
      (iv) 934706
      (v) 251780
      (vi) 872536

      Responder:

      Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3.

      i) Como 2070 é divisível por 2 e 3, é divisível por 6.
      Verificando a divisibilidade por 2: Como o número 2070 tem 0 em seu lugar de unidades, ele é divisível por 2.
      Verificando a divisibilidade por 3: A soma dos dígitos de 2070, 2 + 0 + 7 + 0, é 9, que é divisível por 3. Portanto, é divisível por 3.


      (ii) Como 46523 não é divisível por 2, não é divisível por 6.

      Verificando a divisibilidade por 2: Como o número 46523 tem 3 em seu lugar de unidades, ele não é divisível por 2.

      (iii) Como 71232 é divisível por 2 e 3, é divisível por 6.

      Verificando a divisibilidade por 2: Como o número tem 2 em suas unidades, ele é divisível por 2.
      Verificando a divisibilidade por 3: A soma dos dígitos do número, 7 + 1 + 2 + 3 + 2, é 15, que é divisível por 3. Portanto, o número é divisível por 3.

      (iv) Uma vez que 934.706 não é divisível por 3, não é divisível por 6.
      Verificando a divisibilidade por 3: Como a soma dos dígitos do número, 9 + 3 + 4 + 7 + 0 + 6, é 29, que não é divisível por 3. Portanto, o número r não é divisível por 3.

      (v) Como 251780 não é divisível por 3, não é divisível por 6.
      Verificando a divisibilidade por 3: A soma dos dígitos do número, 2 + 5 + 1 + 7 + 8 + 0, é 23, que não é divisível por 3. Portanto, o número r não é divisível por 3.

      (vi) Uma vez que 872536 não é divisível por 3, não é divisível por 6.
      Verificando a divisibilidade por 3: A soma dos dígitos do número, 8 + 7 + 2 + 5 + 3 + 6, é 31, que não é divisível por 3. Portanto, o número r não é divisível por 3.

      Página No 30:

      Questão 6:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 7:
      (i) 826
      (ii) 117
      (iii) 2345
      (iv) 6021
      (v) 14126
      (vi) 25368

      Responder:

      Para determinar se um número é divisível por 7, dobre o último dígito do número e subtraia-o do número formado pelos dígitos restantes. Se a diferença for um múltiplo de 7, o número será divisível por 7.

      (i) 826 é divisível por 7.
      Temos 82 e menos 2 & vezes 6 = 70, que é um múltiplo de 7.

      (ii) 117 não é divisível por 7.
      Temos 11 & menos 2 & vezes 7 = & menos3, o que não é um múltiplo de 7.

      (iii) 2345 é divisível por 7.
      Temos 234 & menos 2 & vezes 5 = 224, que é um múltiplo de 7.

      (iv) 6021 é divisível por 7.
      Temos 602 e menos 2 & vezes 1 = 600, o que não é um múltiplo de 7.

      (v) 14126 é divisível por 7.
      Temos 1412 & menos 2 & vezes 6 = 1400, que é um múltiplo de 7.

      (vi) 25368 é divisível por 7.
      Temos 2536 & menos 2 & vezes 8 = 2520, que é um múltiplo de 7.

      Página No 30:

      Questão 7:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 8:
      (i) 9364
      (ii) 2138
      (iii) 36792
      (iv) 901674
      (v) 136976
      (vi) 1790184

      Responder:

      Um número é divisível por 8 se o número formado pelos três últimos dígitos (dígitos na casa das centenas, dezenas e unidades) for divisível por 8.

      (i) 9364 não é divisível por 8.
      É porque o número formado por seus dígitos de centenas, dezenas e unidades, ou seja, 364, não é divisível por 8.

      (ii) 2138 não é divisível por 8.
      É porque o número formado por seus dígitos de centenas, dezenas e unidades, ou seja, 138, não é divisível por 8.

      (iii) 36792 é divisível por 8.
      É porque o número formado por seus dígitos de centenas, dezenas e unidades, ou seja, 792, é divisível por 8.

      (iv) 901674 não é divisível por 8.
      É porque o número formado por seus dígitos de centenas, dezenas e unidades, ou seja, 674, não é divisível por 8.

      (v) 136976 é divisível por 8.
      É porque o número formado por seus dígitos de centenas, dezenas e unidades, ou seja, 976, é divisível por 8.

      (vi) 1790184 é divisível por 8.
      É porque o número formado por seus dígitos de centenas, dezenas e unidades, ou seja, 184, é divisível por 8.

      Página No 30:

      Questão 8:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 9:
      (i) 2358
      (ii) 3333
      (iii) 98712
      (iv) 257106
      (v) 647514
      (vi) 326999

      Responder:

      Um número é divisível por 9 se a soma de seus dígitos for divisível por 9.

      (i) 2358 é divisível por 9, porque a soma de seus dígitos, 2 + 3 + 5 + 8, é 18, que é divisível por 9.

      (ii) 3333 não é divisível por 9, porque a soma de seus dígitos, 3 + 3 + 3 + 3, é 12, que não é divisível por 9.

      (iii) 98712 é divisível por 9, porque a soma de seus dígitos, 9 + 8 + 7 + 1 + 2, é 27, que é divisível por 9.

      (iv) 257106 não é divisível por 9, porque a soma de seus dígitos, 2 + 5 + 1 0 + 6, é 21, que não é divisível por 9.

      (v) 647514 é divisível por 9, porque a soma de seus dígitos, 6 + 4 + 7 + 5 + 1 + 4, é 27, que é divisível por 9.

      (vi) 326999 não é divisível por 9, porque a soma de seus dígitos, 3 + 2 + 6 + 9 + 9 + 9, é 38, que não é divisível por 9.

      Página No 30:

      Questão 9:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 10:
      (i) 5790
      (ii) 63215
      (iii) 55555

      Responder:

      Um número é divisível por 10 se seu dígito de unidade for 0.

      (i) 5790 é divisível por 10, porque seu dígito de um é 0.
      (ii) 63215 não é divisível por 10, porque seu dígito da unidade é 5, não 0.
      (iii) 55555 não é divisível por 10, porque seu dígito da unidade é 5, não 0.

      Página No 30:

      Questão 10:

      Teste a divisibilidade dos seguintes números por 11:
      (i) 4334
      (ii) 83721
      (iii) 66311
      (iv) 137269
      (v) 901351
      (vi) 8790322

      Responder:

      Um número é divisível por 11 se a diferença da soma de seus dígitos em casas ímpares e a soma de seus dígitos em casas pares for 0 ou um múltiplo de 11.

      (i) 4334 é divisível por 11.

      Soma dos dígitos nas casas ímpares = (4 + 3) = 7
      Soma dos dígitos em casas pares = (3 + 4) = 7
      Diferença das duas somas = (7 e menos 7) = 0, que é divisível por 11.

      (ii) 83721 é divisível por 11.
      Soma dos dígitos nas casas ímpares = (1 + 7 + 8) = 16
      Soma dos dígitos em casas pares = (2 + 3) = 5
      Diferença das duas somas = (16 e menos 5) = 11, que é divisível por 11.

      (iii) 66311 não é divisível por 11.

      Soma dos dígitos nas casas ímpares = (1 + 3 + 6) = 10
      Soma dos dígitos em casas pares = (1 + 6) = 7
      Diferença das duas somas = (10 e menos 7) = 3, que não é divisível por 11.

      (iv) 137269 é divisível por 11.

      Soma dos dígitos nas casas ímpares = (9 + 2 + 3) = 14
      Soma dos dígitos em casas pares = (6 + 7 + 1) = 14
      Diferença das duas somas = (14 e menos 14) = 0, que é divisível por 11.

      (v) 901351 é divisível por 11.

      Soma dos dígitos nas casas ímpares = (0 + 3 + 1) = 4
      Soma dos dígitos em casas pares = (9 + 1 + 5) = 15
      Diferença das duas somas = (4 e menos 15) = & menos11, que é divisível por 11.

      (vi) 8790322 não é divisível por 11.

      Soma dos dígitos em casas ímpares = (2 + 3 + 9 + 8) = 22
      Soma dos dígitos em casas pares = (2 + 0 + 7) = 9
      Diferença das duas somas = (22 e menos 9) = 13, que não é divisível por 11.

      Página No 30:

      Questão 11:

      Em cada um dos seguintes números, substitua * pelo menor número para torná-lo divisível por 3:
      (i) 27 * 4
      (ii) 53 * 46
      (iii) 8 * 711
      (iv) 62 * 35
      (v) 234 * 17
      (vi) 6 * 1054

      Responder:

      (i) 2724
      Aqui, 2 + 7 + * + 4 = 13 + * deve ser um múltiplo de 3.
      Para ser divisível por 3, o menor valor de * deve ser 2, ou seja, 13 + 2 = 15, que é um múltiplo de 3.
      & there4 * = 2

      (ii) 53046
      Aqui, 5 + 3 + * + 4 + 6 = 18 + * deve ser um múltiplo de 3.
      Como 18 é divisível por 3, o menor valor de * deve ser 0, ou seja, 18 + 0 = 18.
      & there4 * = 0

      (iii) 81711
      Aqui, 8+ * + 7 + 1 + 1 = 17 + * deve ser um múltiplo de 3.
      Para ser divisível por 3, o menor valor de * deve ser 1, ou seja, 17 + 1 = 18, que é um múltiplo de 3.
      & there4 * = 1

      (iv) 62235
      Aqui, 6 + 2 + * + 3 + 5 = 16 + * deve ser um múltiplo de 3.
      Para ser divisível por 3, o menor valor de * deve ser 2, ou seja, 16 + 2 = 18, que é um múltiplo de 3.
      & there4 * = 2

      (v) 234117
      Aqui, 2+ 3 +4 + * + 1 + 7 = 17 + * deve ser um múltiplo de 3.
      Para ser divisível por 3, o menor valor de * deve ser 1, ou seja, 17 + 1 = 18, que é um múltiplo de 3.
      & there4 * = 1

      (vi) 621054
      Aqui, 6 + * +1 + 0 + 5 + 4 = 16 + * deve ser um múltiplo de 3.
      Para ser divisível por 3, o menor valor de * deve ser 2, ou seja, 16 + 2 = 18, que é um múltiplo de 3.
      & there4 * = 2

      Página No 30:

      Questão 12:

      Em cada um dos seguintes números, substitua * pelo menor número para torná-lo divisível por 9:
      (i) 65 * 5
      (ii) 2 * 135
      (iii) 6702 *
      (iv) 91 * 67
      (v) 6678 * 1
      (vi) 835 * 86

      Responder:

      (i) 6525
      Aqui, 6 + 5+ * + 5 = 16 + * deve ser um múltiplo de 9.
      Para ser divisível por 9, o menor valor de * deve ser 2, ou seja, 16 + 2 = 18, que é um múltiplo de 9.
      & there4 * = 2

      (ii) 27135
      Aqui, 2 + * + 1 + 3 + 5 = 11 + * deve ser um múltiplo de 9.
      Para ser divisível por 9, o menor valor de * deve ser 7, ou seja, 11 + 7 = 18, que é um múltiplo de 9.
      & there4 * = 7

      (iii) 67023
      Aqui, 6 + * + 7 + 0 + 2 = 15 + * deve ser um múltiplo de 9.
      Para ser divisível por 9, o menor valor de * deve ser 3, ou seja, 15 + 3 = 18, que é um múltiplo de 9.
      & there4 * = 3

      (iv) 91467
      Aqui, 9 + 1 * + 6 + 7 = 23 + * deve ser um múltiplo de 9.
      Para ser divisível por 9, o menor valor de * deve ser 4, ou seja, 23 + 4 = 27, que é um múltiplo de 9.
      & there4 * = 4

      (v) 667881
      Aqui, 6 + 6 + 7 + 8 + * + 1 = 28 + * deve ser um múltiplo de 9.
      Para ser divisível por 9, o menor valor de * deve ser 8, ou seja, 28 + 8 = 36, que é um múltiplo de 9.
      & there4 * = 8

      (vi) 835686
      Aqui, 8 + 3 + 5 + * + 8 + 6 = 30 + * deve ser um múltiplo de 9.
      Para ser divisível por 9, o menor valor de * deve ser 6, ou seja, 30 + 6 = 36, que é um múltiplo de 9.
      & there4 * = 6

      Página No 30:

      Questão 13:

      Em cada um dos seguintes números, substitua * pelo menor número para torná-lo divisível por 11:
      (i) 26 * 5
      (ii) 39 * 43
      (iii) 86 * 72
      (iv) 467 * 91
      (v) 1723 * 4
      (vi) 9 * 8071

      Responder:

      (i) 26 * 5
      Soma dos dígitos em lugares ímpares = 5 + 6 = 11
      Soma dos dígitos em lugares pares = * + 2
      Diferença = s um de termos ímpares e soma instantânea de termos pares
      = 11 & ndash (* + 2)
      = 11 & ndash * & ndash 2
      = 9 & ndash *
      Agora, (9 & ndash *) será divisível por 11 se * = 9.
      ou seja, 9 & ndash 9 = 0
      0 é divisível por 11.
      & there4 * = 9
      Portanto, o número é 2695.

      (ii) 39 * 43
      Soma dos dígitos em lugares ímpares = 3 + * + 3 = 6 + *
      Soma dos dígitos em casas pares = 4 + 9 = 13
      Diferença = s um de termos ímpares e soma instantânea de termos pares
      = 6 + * & ndash 13
      = * & ndash 7
      Agora, (* & ndash 7) será divisível por 11 se * = 7.
      ou seja, 7 & ndash 7 = 0
      0 é divisível por 11.
      & there4 * = 7
      Portanto, o número é 39743.

      (iii) 86 * 72
      Soma dos dígitos nas casas ímpares 2 + * + 8 = 10 + *
      Soma dos dígitos em casas pares 6 + 7 = 13
      Diferença = s um de termos ímpares e soma instantânea de termos pares
      = 10 + * & ndash 13
      = * & ndash 3
      Agora, (* & ndash 3) será divisível por 11 se * = 3.
      ou seja, 3 & ndash 3 = 0
      0 é divisível por 11.
      & there4 * = 3
      Portanto, o número é 86372.

      (iv) 467 * 91
      Soma dos dígitos nas casas ímpares 1 + * + 6 = 7 + *
      Soma dos dígitos em casas pares 9 + 7 + 4 = 20
      Diferença = s um de termos ímpares e soma instantânea de termos pares
      = (7 + *) e menos 20
      = * e menos 13
      Agora, (* e menos13) será divisível por 11 se * = 2.
      ou seja, 2 & menos 13 = & menos11
      & menos11 é divisível por 11.
      & there4 * = 2
      Portanto, o número é 467291.

      (v) 1723 * 4
      Soma dos dígitos em casas ímpares 4+ 3+ 7 = 14
      Soma dos dígitos em lugares pares * + 2 + 1 = 3 + *
      Diferença = s um de termos ímpares e soma instantânea de termos pares
      = 14 & ndash (3 + *)
      = 11 e menos *
      Agora, (11 e menos *) será divisível por 11 se * = 0.
      ou seja, 11 e menos 0 = 11
      11 é divisível por 11.
      & there4 * = 0
      Portanto, o número é 172304.

      (vi) 9 * 8071
      Soma dos dígitos nas casas ímpares 1 + 0 + * = 1 + *
      Soma dos dígitos nas casas pares 7 + 8 + 9 = 24
      Diferença = s um de termos ímpares e soma instantânea de termos pares
      = 1 + * & ndash 24
      = * e menos 23
      Agora, (* e menos 23) será divisível por 11 se * = 1.
      ou seja, 1 e menos 23 = e menos 22
      & menos22 é divisível por 11.
      & there4 * = 1
      Portanto, o número é 918071 .

      Página No 30:

      Questão 14:

      Teste a divisibilidade de:
      (i) 1000001 por 11
      (ii) 19083625 por 11
      (iii) 2134563 por 9
      (iv) 10001001 por 3
      (v) 10203574 por 4
      (vi) 12030624 por 8

      Responder:

      (i) 10000001 por 11
      10000001 é divisível por 11.
      Soma dos dígitos nas casas ímpares = (1 + 0 + 0 + 0) = 1
      Soma de dígitos em casas pares = (0 + 0 + 0 + 1) = 1
      Diferença das duas somas = (1 e menos 1) = 0, que é divisível por 11.


      (ii) 19083625 por 11
      19083625 é divisível por 11.
      Soma de dígitos em casas ímpares = (5 + 6 + 8 + 9) = 28
      Soma de dígitos em casas pares = (2 + 3 + 0 + 1) = 6
      Diferença das duas somas = (28 e menos 6) = 22, que é divisível por 11.

      (iii) 2134563 por 9
      2134563 não é divisível por 9.
      É porque a soma de seus dígitos, 2 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 3, é 24, que não é divisível por 9.

      (iv) 10001001 por 3
      10001001 é divisível por 3.
      É porque a soma de seus dígitos, 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1, é 3, que é divisível por 3.

      (v) 10203574 por 4
      10203574 não é divisível por 4.
      É porque o número formado por suas dezenas e os dígitos de unidades é 74, que não é divisível por 4.
      (vi) 12030624 por 8
      12030624 é divisível por 8.
      É porque o número formado por seus dígitos de centenas, dezenas e unidades é 624, que é divisível por 8.

      Página No 30:

      Questão 15:

      Quais das seguintes opções são números primos?
      (i) 103
      (ii) 137
      (iii) 161
      (iv) 179
      (v) 217
      (vi) 277
      (vii) 331
      (viii) 397

      Responder:

      Um número entre 100 e 200 é um número primo se não for divisível por nenhum número primo menor que 15.
      Da mesma forma, um número entre 200 e 300 é um número primo se não for divisível por nenhum número primo menor que 20.

      (i) 103 é um número primo, porque não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11 e 13.
      (ii) 137 é um número primo, porque não é divisível por 2, 3, 5, 7 e 11.
      (iii) 161 é um número não primo, porque é divisível por 7.
      (iv) 179 é um número primo, porque não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11 e 13.
      (v) 217 ​​é um número não primo, porque é divisível por 7.
      (vi) 277 é um número primo, porque não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19.
      (vii) 331 é um número primo, porque não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19.
      (viii) 397 é um número primo, porque não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19.

      Página No 30:

      Questão 16:

      Dê um exemplo de um número
      (i) que é divisível por 2, mas não por 4.
      (ii) que é divisível por 4, mas não por 8.
      (iii) que é divisível por 2 e 8, mas não por 16.
      (iii) que é divisível por 3 e 6, mas não por 18.

      Responder:

      (i) 14 é divisível por 2, mas não por 4.
      (ii) 12 é divisível por 4, mas não por 8.
      (iii) 24 é divisível por 2 e 8, mas não por 16.
      (iv) 30 é divisível por 3 e 6, mas não por 18.

      Página No 30:

      Questão 17:

      Escreva (T) para verdadeiro e (F) para falso em cada uma das seguintes afirmações:
      (i) Se um número for divisível por 4, ele deve ser divisível por 8.
      (ii) Se um número for divisível por 8, ele deve ser divisível por 4.
      (iii) Se um número divide a soma de dois números exatamente, ele deve dividir exatamente os números separadamente.
      (iv) Se um número for divisível por 9 e 10, ele deve ser divisível por 90.
      (v) Um número é divisível por 18 se for divisível por 3 e 6.
      (vi) Se um número for divisível por 3 e 7, ele deve ser divisível por 21.
      (vii) A soma de dois números ímpares consecutivos é sempre divisível por 4.
      (viii) Se um número divide dois números exatamente, ele deve dividir sua soma exatamente.

      Responder:

      (i) Se um número for divisível por 4, ele deve ser divisível por 8. Falso
      Exemplo: 28 é divisível por 4, mas não divisível por 8.

      (ii) Se um número for divisível por 8, ele deve ser divisível por 4. Verdadeiro
      Exemplo: 32 é divisível por 8 e 4.

      (iii) Se um número divide a soma de dois números exatamente, ele deve dividir exatamente os números separadamente. Falso
      Exemplo: 91 (51 + 40) é exatamente divisível por 13. No entanto, 13 não divide exatamente 51 e 40.

      (iv) Se um número for divisível por 9 e 10, ele deve ser divisível por 90. Verdadeiro
      Exemplo: 900 é divisível por 9 e 10. Também é divisível por 90.

      (v) Um número é divisível por 18 se for divisível por 3 e 6. Falso
      Um número deve ser divisível por 9 e 2 para ser divisível por 18.
      Exemplo: 48 é divisível por 3 e 6, mas não por 18.

      (vi) Se um número for divisível por 3 e 7, ele deve ser divisível por 21. Verdadeiro
      Exemplo: 42 é divisível por 3 e 7. Também é divisível por 21.

      (vii) A soma dos números ímpares consecutivos é sempre divisível por 4. Verdadeiro
      Exemplo: 11 e 13 são números ímpares consecutivos.
      11 + 13 = 24, que é divisível por 4.

      (viii) Se um número divide dois números exatamente, ele deve dividir sua soma exatamente. Verdadeiro
      Exemplo: 42 e 56 são exatamente divisíveis por 7.
      42 + 56 = 98, que é exatamente divisível por 7.

      Página No 32:

      Questão 1:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      12

      Responder:

      Usamos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 2:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      18

      Responder:

      Página No 32:

      Questão 3:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      48

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 4:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      56

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 5:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      90

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 6:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      136

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 7:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      252

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 8:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      420

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 9:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      637

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 10:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      945

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 11:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      1224

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 12:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      1323

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 13:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      8712

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 14:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      9317

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 15:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      1035

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 16:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      1197

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 17:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      4641

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 18:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      4335

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 19:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      2907

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 32:

      Questão 20:

      Dê a fatoração principal de cada um dos seguintes números:
      13915

      Responder:

      Usaremos o método de divisão conforme mostrado abaixo:

      Página No 36:

      Questão 1:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de fatoração principal:
      84, 98

      Responder:

      Os números fornecidos são 84 e 98.

      84 = 2 & vezes 2 & vezes 3 & vezes 7 = 2 2 & vezes 3 & vezes 7
      98 = 2 & vezes 7 & vezes 7 = 2 & vezes 7 2

      & há 4 HCF dos números dados = 2 & vezes 7 = 14

      Página No 36:

      Questão 2:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de fatoração principal:
      170, 238

      Responder:

      Os números fornecidos são 170 e 238.

      & there4 H.C.F. dos números fornecidos = 2 & vezes 17 = 34

      Página No 36:

      Questão 3:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de fatoração principal:
      504, 980

      Responder:

      Os números fornecidos são 504 e 980.

      504 = 2 & vezes 2 & vezes2 & vezes 3 & vezes 3 & vezes 7 = 2 3 & vezes 3 2 & vezes 7
      980 = 2 & vezes 2 & vezes 5 & vezes 7 & vezes 7 = 2 2 & vezes 5 & vezes 7 2
      & há 4 HCF dos números dados = 2 2 & vezes 7 = 28

      Página No 36:

      Questão 4:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de fatoração principal:
      72, 108, 180

      Responder:

      Os números fornecidos são 72, 108 e 180

      Página No 36:

      Questão 5:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de fatoração principal:
      84, 120, 138

      Responder:

      Os números fornecidos são 84, 120 e 138.

      Página No 36:

      Questão 6:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de fatoração principal:
      106, 159, 371

      Responder:

      Os números fornecidos são 106, 159 e 371.
      Nós temos:

      Página No 36:

      Questão 7:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de fatoração principal:
      272, 425

      Responder:

      Os números dados são 272 e 425.

      Página No 36:

      Questão 8:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de fatoração principal:
      144, 252, 630

      Responder:

      Os números fornecidos são 144, 252 e 630.
      Nós temos:

      Página No 36:

      Questão 9:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de fatoração principal:
      1197, 5320, 4389

      Responder:

      Os números fornecidos são 1197, 5320 e 4389.

      Página No 36:

      Questão 10:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de divisão:
      58, 70

      Responder:


      & there4 O HCF de 58 e 70 é 2.

      Página No 36:

      Questão 11:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de divisão:
      399, 437

      Responder:

      Os números fornecidos são 399 e 437.

      Página No 36:

      Questão 12:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de divisão:
      1045, 1520

      Responder:

      Os números fornecidos são 1045 e 1520.
      Nós temos:


      & there4 O HCF de 1045 e 1520 é 95.

      Página No 36:

      Questão 13:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de divisão:
      1965, 2096

      Responder:

      Os números fornecidos são 1965 e 2096.

      Página No 36:

      Questão 14:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de divisão:
      2241, 2324

      Responder:

      Os números fornecidos são 2241 e 2341.
      Nós temos:

      Página No 36:

      Questão 15:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de divisão:
      658, 940, 1128

      Responder:

      Os números fornecidos são 658, 940 e 1128.

      Primeiro, encontraremos o HCF de 658 e 940.


      Assim, o HCF de 658 e 940 é 94.

      Agora, encontraremos o HCF de 94 e 1128.


      Assim, o HCF de 94 e 1128 é 94.

      & there4 O HCF de 658, 940 e 1128 é 94.

      Página No 36:

      Questão 16:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de divisão:
      754, 1508, 1972

      Responder:

      Os números fornecidos são 754, 1508 e 1972.

      Primeiro, encontraremos o HCF de 754 e 1508.

      Portanto, o HCF de 754 e 1508 é 754.

      Agora, encontraremos o HCF de 754 e 1972.


      Portanto, o HCF de 754 e 1972 é 58.

      & there4 O HCF de 754, 1058 e 1972 é 58.

      Página No 36:

      Questão 17:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de divisão:
      391, 425, 527

      Responder:

      Os números fornecidos são 391, 425 e 527.
      Primeiro, encontraremos o HCF de 391 e 425.

      Portanto, o HCF de 391 e 425 é 17.
      Agora, encontraremos o HCF de 17 e 527.


      Portanto, o HCF de 17 e 527 é 17.
      & there4 O HCF de 391, 425 e 527 é 17.

      Página No 36:

      Questão 18:

      Encontre o HCF dos números em cada um dos seguintes, usando o método de divisão:
      1794, 2346, 4761

      Responder:

      Os números fornecidos são 1794, 2346 e 4761.
      Primeiro, encontraremos o HCF de 1794 e 2346.

      Portanto, o HCF de 1794 e 2346 é de 138.
      Agora, encontraremos o HCF de 138 e 4761.

      Portanto, o HCF de 138 e 4761 é 69.

      & there4 O HCF de 1794, 2346 e 4761 é 69.

      Página No 36:

      Questão 19:

      Mostre que os seguintes pares são primos:
      59, 97

      Responder:

      Os números fornecidos são 59 e 97.

      Como 59 e 97 não têm nenhum fator comum diferente de 1, os dois números são primos.

      Página No 36:

      Questão 20:

      Mostre que os seguintes pares são primos:
      161, 192

      Responder:

      Agora, 161 = 7 & vezes 23 & vezes 1
      192 = 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 3 = 2 6 & vezes 3 & vezes 1
      & there4 HCF = 1
      Portanto, 161 e 192 são primos intermediários.

      Página No 36:

      Questão 21:

      Mostre que os seguintes pares são primos:
      343, 432

      Responder:

      Agora, 343 = 7 & vezes 7 & vezes 7 & vezes 1 = 7 3 & vezes 1
      432 = 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes2 & vezes 3 & vezes 3 & vezes3 = 2 4 & vezes 3 3 & vezes 1
      & there4 HCF = 1
      Conseqüentemente, 343 e 432 são primos intermediários.

      Página No 36:

      Questão 22:

      Mostre que os seguintes pares são primos:
      512, 945

      Responder:

      512 = 2 & vezes 2 & vezes2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 2 = 2 9
      945 = 3 & vezes 3 & vezes 3 & vezes 5 & vezes 7 = 3 & vezes 5 & vezes 7
      Assim, o HCF de 512 e 945 é 1.
      e lá 4 512 e 945 são primos intermediários.

      Página No 36:

      Questão 23:

      Mostre que os seguintes pares são primos:
      385, 621

      Responder:

      Página No 36:

      Questão 24:

      Mostre que os seguintes pares são primos:
      847, 1014

      Responder:

      Os números fornecidos são 847 e 1014.

      847 = 7 & vezes 11 & vezes 11 & vezes 1 = 7 & vezes 11 2 & vezes 1
      1014 = 2 & vezes 3 & vezes 13 & vezes 13 & vezes 1
      & there4 HCF = 1
      Portanto, 847 e 1014 são primos intermediários.

      Página No 36:

      Questão 25:

      Encontre o maior número que divide 615 e 963, deixando os 6 restantes em cada caso.

      Responder:

      Como o resto é 6, temos que encontrar o número que divide exatamente (615 - 6) e (963 - 6).

      Portanto, o número necessário é 87.

      Página No 36:

      Questão 26:

      Encontre o maior número que divide 2011 e 2623, deixando os restantes 9 e 5, respectivamente.

      Responder:

      & there4 O número necessário é 154.

      Página No 36:

      Questão 27:

      Encontre o maior número que dividirá 445, 572 e 699, deixando os restos 4, 5 e 6, respectivamente.

      Responder:

      Como os respectivos restos de 445, 572 e 699 são 4, 5 e 6, temos que encontrar o número que divide exatamente (445-4), (572-5) e (696-6).

      Portanto, o número necessário é o HCF de 441, 567 e 693.
      Em primeiro lugar, encontraremos o HCF de 441 e 567.

      Agora, encontraremos o HCF de 63 e 693.

      & there4 HCF = 63

      Portanto, o número necessário é 63.

      Página No 36:

      Questão 28:

      Reduza cada uma das seguintes frações aos termos mais baixos:
      (i) 161 207
      (ii) 517 799
      (iii) 296 481

      Responder:

      (i) 161 207
      Para reduzir a fração dada ao seu termo mais baixo, dividiremos o numerador e o denominador por seu HCF.

      Agora, encontraremos o HCF de 161 e 207.

      Dividindo o numerador e o denominador pelo HCF, obtemos:


      (ii) 517 799
      Para reduzir a fração dada ao seu termo mais baixo, dividiremos o numerador e o denominador por seu HCF.
      Agora, encontraremos o HCF de 517 e 799.

      Dividindo o numerador e o denominador pelo HCF, obtemos:

      (iii) 296 481
      Para reduzir a fração dada ao seu termo mais baixo, dividiremos o numerador e o denominador por seu HCF.
      Agora, encontraremos o HCF de 296 e 481.

      Dividindo o numerador e o denominador pelo HCF, obtemos:

      Página No 36:

      Questão 29:

      Três peças de madeira, de 42 m, 49 m e 63 m de comprimento, devem ser divididas em pranchas do mesmo comprimento. Qual é o maior comprimento possível de cada prancha?

      Responder:

      Os comprimentos das três peças de madeira são 42 m, 49 me 63 m.
      O maior comprimento possível de cada prancha será dado pelo HCF de 42, 49 e 63.

      Em primeiro lugar, encontraremos o HCF de 42 e 49 pelo método de divisão.

      & there4 O HCF de 42 e 49 é 7.
      Agora, encontraremos o HCF de 7 e 63.
      ​​

      & there4 O HCF de 7 e 63 é 7.
      Portanto, HCF de todos os três números é 7
      Portanto, o maior comprimento possível de cada prancha é de 7 m.

      Página No 36:

      Questão 30:

      Três recipientes diferentes contêm 403 L, 434 L e 465 L de leite, respectivamente. Encontre a capacidade de um recipiente que possa medir o leite de todos os recipientes em um número exato de vezes.

      Responder:

      Três recipientes diferentes contêm 403 L, 434 L e 465 L de leite.

      A capacidade do recipiente que pode medir o leite em um número exato de vezes será dada pelos HCF de 403, 434 e 465.

      Agora, encontraremos o HCF de 31 e 465.

      Portanto, a capacidade do contêiner necessário é de 31 L.

      Página No 36:

      Questão 31:

      Existem 527 maçãs, 646 peras e 748 laranjas. Eles devem ser dispostos em montes contendo o mesmo número de frutas. Encontre o maior número possível de frutas em cada pilha. Quantas pilhas são formadas?

      Responder:

      Número de maçãs = 527
      Número de peras = 646
      Número de laranjas = 748
      Os frutos devem ser dispostos em montes contendo o mesmo número de frutos.
      O maior número possível de frutos em cada pilha será dado pelo HCF de 527, 646 e 748.

      Em primeiro lugar, encontraremos o HCF de 527 e 646.


      & there4 H CF de 527, 646 e 748 = 17

      Portanto, o maior número de frutas em cada pilha será 17.

      Página No 36:

      Questão 32:

      Determine a fita mais longa que pode ser usada para medir exatamente os comprimentos 7 m, 3 m 85 cm e 12 m 95 cm.

      Responder:

      7 m = 700 cm
      3 m 85 cm = 385 cm
      12 m 95 cm = 1295 cm

      O comprimento necessário da fita que pode medir os comprimentos 700 cm, 385 cm e 1295 cm será dado pelo HCF de 700 cm, 385 cm e 1295 cm.

      Avaliando o HCF de 700, 385 e 1295 usando o método de fatoração principal, temos:

      Portanto, a fita mais longa que pode medir os comprimentos de 7 m, 3 m 85 cm e 12 m 95 cm exatamente é de 35 cm.

      Página No 36:

      Questão 33:

      Um pátio retangular tem 18 m 72 cm de comprimento e 13 m 20 cm de largura. Deve ser pavimentado com ladrilhos quadrados do mesmo tamanho. Encontre o menor número possível dessas peças.

      Responder:

      Comprimento do pátio = 18 m 72 cm = 1872 cm
      Largura do pátio = 13 m 20 cm = 1320 cm

      Agora, a borda máxima do ladrilho quadrado é dada pelo HCF de 1872 cm e 1320 cm.

      HCF de 1872 e 1320 = 24
      e há 4 borda máxima do ladrilho quadrado = 24 cm

      Necessário & # 160 número & # 160 de & # 160 tiles & # 160 = & # 160 area & # 160 of & # 160 pátio area & # 160 of & # 160 each & # 160 square & # 160 tile = 1872 & # 215 1320 24 & # 215 24 = 4290

      Página No 36:

      Questão 34:

      Encontre o HCF de
      (i) dois números primos
      (ii) dois números consecutivos
      (iii) dois co-primos
      (iv) 2 e um número par

      Responder:

      (i) 2 e 3 são dois números primos.
      Agora, HCF de 2 e 3 é o seguinte:
      2 = 2 & vezes 1
      3 = 3 & vezes 1
      & there4 HCF = 1

      (ii) 4 e 5 são dois números consecutivos.
      Agora, HCF de 4 e 5 é o seguinte:
      4 = 2 & vezes 2 & vezes 1 = 2 2 & vezes 1
      5 = 5 & vezes 1
      & there4 HCF = 1

      (iii) 2 e 3 são dois co-primos.
      Agora, HCF de 2 e 3 é o seguinte:
      2 = 2 & vezes 1
      3 = 3 & vezes 1
      & there4 HCF = 1

      (iv) 2 e 4 são dois números pares.
      Agora, HCF de 2 e 4 é o seguinte:
      2 = 2 & vezes 1
      4 = 2 & vezes 2 & vezes 1
      & there4 HCF = 2 & times 1 = 2

      Página No 40:

      Questão 1:

      Encontre o LCM dos números fornecidos abaixo:
      42, 63

      Responder:

      Os números fornecidos são 42 e 63.

      Página No 40:

      Questão 2:

      Encontre o LCM dos números fornecidos abaixo:
      60, 75

      Responder:

      Os números fornecidos são 60 e 75.

      Página No 40:

      Questão 3:

      Encontre o LCM dos números fornecidos abaixo:
      12, 18, 20

      Responder:

      Os números fornecidos são 12, 18 e 20.
      Nós temos:

      Página No 40:

      Questão 4:

      Encontre o LCM dos números fornecidos abaixo:
      36, 60, 72

      Responder:

      Os números fornecidos são 36, 60 e 72.

      Página No 40:

      Questão 5:

      Encontre o LCM dos números fornecidos abaixo:
      36, 40, 126

      Responder:

      Os números fornecidos são 36, 40 e 126.

      Página No 40:

      Questão 6:

      Encontre o LCM dos números fornecidos abaixo:
      16, 28, 40, 77

      Responder:

      Os números fornecidos são 16, 28, 40 e 77.
      Nós temos:

      Página No 40:

      Questão 7:

      Encontre o LCM dos números fornecidos abaixo:
      28, 36, 45, 60

      Responder:

      Os números fornecidos são 28, 36, 45 e 60.

      Página No 40:

      Questão 8:

      Encontre o LCM dos números fornecidos abaixo:
      144, 180, 384

      Responder:

      Página No 40:

      Questão 9:

      Encontre o LCM dos números fornecidos abaixo:
      48, 64, 72, 96, 108

      Responder:

      Os números fornecidos são 48, 64, 72, 96 e 108.
      Nós temos:

      Página No 40:

      Questão 10:

      Encontre o HCF e LCM de
      117, 221

      Responder:

      Os números fornecidos são 117 e 221.

      Agora,
      117 = 3 & vezes 3 & vezes 13
      221 = 13 e vezes 17

      Agora, LCM = 13 & vezes 17 & vezes 3 & vezes 3
      = 1989

      Página No 40:

      Questão 11:

      Encontre o HCF e LCM de
      234, 572

      Responder:

      Os números fornecidos são 234 e 572.

      & lá 4 LCM = 13 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 11 & vezes 9
      = 5148
      Além disso, HCF = 13 e vezes 2 = 26

      Página No 40:

      Questão 12:

      Encontre o HCF e LCM de
      693, 1078

      Responder:

      Os números fornecidos são 693 e 1078.

      Página No 40:

      Questão 13:

      Encontre o HCF e LCM de
      145, 232

      Responder:

      & there4 HCF = 29
      Além disso, LCM = 29 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 5 = 1160

      Página No 40:

      Questão 14:

      Encontre o HCF e LCM de
      861, 1353

      Responder:

      Os números fornecidos são 861 e 1353.

      861 = 3 & vezes 41 & vezes 7
      1353 = 41 & vezes 11 & vezes 3

      & there4 HCF = 41 & times 3 = 123
      Além disso, LCM = 41 & vezes 3 & vezes 11 & vezes 7 = 9471

      Página No 40:

      Questão 15:

      Encontre o HCF e LCM de
      2923, 3239

      Responder:

      Sabemos que o produto de dois números = HCF e vezes LCM

      Página No 40:

      Questão 16:

      Para cada par de números, verifique se seu produto = (HCF & vezes LCM).
      (i) 87, 145
      (ii) 186, 403
      (iii) 490, 1155

      Responder:

      Nós temos:
      87 = 3 e vezes 29
      145 = 5 & vezes 29

      HCF = 29
      LCM = 29 & vezes 15 & vezes 1 = 435

      Agora, HCF & vezes LCM = 29 & vezes 435 = 12615
      Produto dos dois números = 87 & vezes 145 = 12615

      & there4 HCF & times LCM = Produto dos dois números
      Verificado.

      (ii) 186 e 403

      186 = 2 & vezes 3 & vezes 31
      403 = 31 e vezes 13

      HCF = 31
      LCM = 31 & vezes 13 & vezes 6 = 2418

      Agora, HCF & vezes LCM = 31 & vezes 2418 = 74958
      Produto dos dois números = 186 & vezes 403 = 74958

      & there4 HCF & times LCM = Produto dos dois números
      Verificado.

      HCF = 7 e vezes 5 = 35
      LCM = 7 & vezes 5 & vezes7 & vezes 2 & vezes 3 & vezes 11 = 16170

      Agora, HCF & vezes LCM = 35 & vezes 16170 = 565950
      Produto dos dois números = 490 & vezes 1155 = 565950

      & there4 HCF & times LCM = Produto dos dois números
      Verificado.

      Página No 40:

      Questão 17:

      O produto de dois números é 2160 e seu HCF é 12. Encontre seu LCM.

      Responder:

      Produto dos dois números = 2160
      HCF = 12

      Sabemos que LCM & times HCF = Produto dos dois números

      & lá 4 LCM = 2160 12 = 180

      Página No 40:

      Questão 18:

      O produto de dois números é 2160 e seu LCM é 320. Encontre seu HCF.

      Responder:

      Produto dos dois números = 2560
      LCM = 320

      LCM & times HCF = Produto dos dois números

      Página No 40:

      Questão 19:

      O HCF de dois números é 145 e seu LCM é 2175. Se um dos números for 725, encontre o outro.

      Responder:

      HCF = 145
      LCM = 2175
      Um do número = 725

      Nós sabemos isso
      HCF e vezes LCM = Produto de dois números
      & there4 Outro número = 145 & # 215 2175 725 = 435

      Página No 40:

      Questão 20:

      O HCF e o LCM de dois números são 131 e 8253, respectivamente. Se um dos números for 917, encontre o outro.

      Responder:

      HCF = 131
      LCM = 8253
      Um do número = 917

      Nós sabemos isso
      LCM & times HCF = Produto de dois números
      Outro número = 8253 & # 215 131 917

      Página No 40:

      Questão 21:

      Encontre o menor número divisível por 15, 20, 24, 32 e 36.

      Responder:

      Os números fornecidos são 15, 20, 24, 32 e 36.

      O menor número divisível pelos números fornecidos acima será seu LCM.

      LCM = 2 5 & vezes 3 2 & vezes 5
      = 1440
      & there4 O menor número divisível por 15, 20, 24, 32 e 36 é 1440.

      Página No 40:

      Questão 22:

      Encontre o menor número que, quando dividido por 25, 40 e 60, deixa 9 como o resto em cada caso.

      Responder:

      25, 40 e 60 divide exatamente o menor número igual ao seu MMC.
      Portanto, o número necessário que deixa 9 como resto será LCM + 9.

      Página No 40:

      Questão 23:

      Encontre o menor número de cinco dígitos que seja exatamente divisível por 16, 18, 24 e 30.

      Responder:

      Precisamos encontrar o número mínimo de cinco dígitos que seja exatamente divisível por 16, 18, 24 e 30.
      Mas LCM = 720 é um número de três dígitos.

      Página No 40:

      Questão 24:

      Encontre o maior número de cinco dígitos divisíveis exatamente por 9, 12, 15, 18 e 24.

      Responder:

      Página No 40:

      Questão 25:

      Três sinos tocam em intervalos de 9, 12, 15 minutos. Se eles começarem a dobrar juntos, depois de que horas eles vão dobrar juntos da próxima vez?

      Responder:

      Três sinos tocam em intervalos de 9, 12 e 15 minutos.
      O momento em que eles farão o pedágio novamente é dado pelo LCM de 9, 12 e 15.

      Tempo necessário = 2 2 & vezes 3 2 & vezes 5
      = 180 minutos
      = 3 h
      Se eles começarem a dobrar juntos, eles farão o mesmo novamente após 3 h.

      Página No 40:

      Questão 26:

      Três meninos saem juntos do mesmo lugar. Se os seus passos medem 36 cm, 48 cm e 54 cm, a que distância do ponto de partida eles vão pisar novamente?

      Responder:

      Do ponto de partida, eles se juntarão novamente quando percorrerem uma distância que é exatamente divisível pelo comprimento de seus passos.
      A menor distância do ponto de partida onde eles pisarão juntos será dada pelo LCM de 36, 48 e 54.

      2 36 , 48 , 54 2 18 , 24 , 27 3 9 , 12 , 27 3 3 , 4 , 9 3 1 , 4 , 3 2 1 , 4 , 1 ق 1 , 2 , 1     ف,1,1

      A distância necessária = 2 & vezes 2 & vezes3 & vezes 3 & vezes 3 & vezes 2 & vezes 2
      = 16 e vezes 27
      = 432 cm
      & there4 Eles se juntarão novamente a uma distância de 432 cm do ponto inicial.

      Página No 40:

      Questão 27:

      Os semáforos em três cruzamentos de estradas diferentes mudam a cada 48 segundos, 72 segundos e 108 segundos. Se eles começarem a mudar simultaneamente às 8h, depois de quanto tempo eles mudarão de novo simultaneamente?

      Responder:

      O tempo em que as luzes mudarão simultaneamente novamente será a quantidade que é exatamente divisível por 48, 72 e 108. O menor tempo em que elas mudarão simultaneamente será dado por seu LCM.

      2 48 , 72 , 108 2 24 , 36 , 54 2 12 , 18 , 27 2 6 , 9 , 27 3 3 , 9 , 27 3 1 , 3 , 9 3 1 , 1 , 3  ف,1,1
      Tempo necessário = 2 4 e vezes 3 3
      = 432 segundos
      = 7 min 12 segundos
      Portanto, as luzes mudarão simultaneamente às 8h07h12.

      Página No 40:

      Questão 28:

      Três hastes de medição têm 45 cm, 50 cm e 75 cm de comprimento. Qual é o menor comprimento (em metros) de uma corda que pode ser medido pelo comprimento total de cada uma dessas três hastes?

      Responder:

      O comprimento da corda necessária deve ser tal que seja exatamente divisível por 45, 50 e 75. O comprimento mínimo será dado pelo LCM de 45, 50 e 75.

      2 45 , 50 , 75 3 45 , 25 , 75 3 15 , 25 , 25 5 5 , 25 , 25 5 1 , 5 , 5   ف,1,1

      Comprimento necessário = 3 & vezes 3 & vezes5 & vezes 5 & vezes 2
      = 450 cm
      Portanto, o comprimento mínimo da corda que pode ser medido pelo comprimento total de cada uma das três hastes é de 450 cm.

      Página No 40:

      Questão 29:

      Um dispositivo eletrônico emite um bipe a cada 15 minutos. Outro dispositivo emite um bipe a cada 20 minutos. Eles apitaram juntos às 6 da manhã. A que horas eles farão o próximo bipe juntos?

      Responder:

      O LCM dos intervalos de tempo dos bipes fornecerá o tempo em que os dispositivos eletrônicos tocarão juntos.

      5 15 , 20 3 3 , 4 2 1 , 4 2 1 , 2       1 , 1

      Tempo necessário = 5 & vezes 3 & vezes 2 & vezes 2
      = 60 min
      Portanto, eles irão emitir um bipe simultaneamente após 60 min ou 1 h.

      & there4 Eles buzinarão juntos novamente às 7:00 da manhã.

      Página No 41:

      Questão 30:

      As circunferências de quatro rodas são 50 cm, 60 cm, 75 cm e 100 cm. Eles começam a se mover simultaneamente. Que distância mínima eles devem cobrir para que cada roda faça um número completo de revoluções?

      Responder:

      Distância percorrida por uma roda para uma volta completa = circunferência da roda

      Todas as rodas farão números completos de revoluções quando as distâncias percorridas por elas forem iguais ao seu MMC.
      5 50 , 60 , 75 , 100 5 10 , 12 , 15 , 20 2 2 , 12 , 3 , 4 2 1 , 6 , 3 , 2 3 1 , 3 , 3 , 1   ف,1,1,1 
      Distância mínima necessária = 5 & vezes 5 & vezes2 & vezes 2 & vezes 3
      = 25 & vezes 4 & vezes 3
      = 300 cm = 3 m
      Assim, cada roda fará um número completo de revoluções após percorrer 3 m.

      Página No 41:

      Questão 1:

      Qual dos seguintes números é divisível por 3?
      (a) 24357806
      (b) 35769812
      (c) 83479560
      (d) 3336433

      Responder:

      Um número é divisível por 3 se a soma de seus dígitos for divisível por 3.

      a) Considere o número 24357806.
      Soma de seus dígitos = 2 + 4 + 3 + 5+ 7 + 8 + 0 + 6 = 35, que não é divisível por 3.
      Portanto, 2357806 não é divisível por 3.

      b) Considere o número 35769812.
      Soma de seus dígitos = 3 + 5 + 7 + 6 +9 + 8 + 1 + 2 = 41, que não é divisível por 3.
      Portanto, 35769812 não é divisível por 3.

      c) Considere o número 83479560.
      Soma de seus dígitos = 8 + 3 + 4+ 7 + 9 + 5 + 6 + 0 = 42, que é divisível por 3.
      Portanto, 2357806 é divisível por 3.

      d) Considere o número 3336433.
      Soma de seus dígitos = 3 + 3 +3 + 6 +4 + 3 +3 = 25, que não é divisível por 3.
      Portanto, 3336433 não é divisível por 3.

      Página No 41:

      Questão 2:

      Qual dos seguintes números é divisível por 9?
      (a) 8576901
      (b) 96345210
      (c) 67594310
      (d) nenhum destes

      Responder:

      Um número é divisível por 9 se a soma de seus dígitos for divisível por 9.

      a) Considere o número 8576901.
      Soma de seus dígitos = 8 + 5 +7 + 6 + 9+ 0 + 1 = 36, que é divisível por 9.
      Portanto, 8576901 é divisível por 9.

      b) Considere o número 96345210.
      Soma de seus dígitos = 9 + 6 + 3+ 4 + 5+ 2 + 1 + 0 = 30, que não é divisível por 9.
      Portanto, 96345210 não é divisível por 9.

      c) Considere o número 67594310.
      Soma de seus dígitos = 6 + 7 + 5 + 9 + 4 + 3 + 1 + 0 = 35, que não é divisível por 9.
      Portanto, 67594310 não é divisível por 9.

      Página No 41:

      Questão 3:

      Qual dos seguintes números é divisível por 4?
      (a) 78653234
      (b) 98765042
      (c) 24689602
      (d) 87941032

      Responder:

      Um número é divisível por 4 se o número formado por seus dígitos nas casas das dezenas e unidades for divisível por 4.

      (a) 78653234
      Considere o número 78653234.
      Aqui, o número formado pelas dezenas e os dígitos das unidades é 34, que não é divisível por 4.
      Portanto, 78653234 não é divisível por 4.

      (b) 98765042
      Considere o número 98765042.
      Aqui, o número formado pelas dezenas e os dígitos das unidades é 42, que não é divisível por 4.
      Portanto, 98765042 não é divisível por 4.

      (c) 24689602
      Considere o número 24689602.
      Aqui, o número formado pelas dezenas e os dígitos das unidades é 02, que não é divisível por 4.
      Portanto, 24689602 não é divisível por 4


      (d) 87941032
      Considere o número 87941032.
      Aqui, o número formado pelas dezenas e unidades é 32, que é divisível por 4.
      Portanto, 87941032 é divisível por 4.

      Página No 41:

      Questão 4:

      Qual dos seguintes números é divisível por 8?
      (a) 96354142
      (b) 37450176
      (c) 57064214
      (d) nenhum destes

      Responder:

      Um número é divisível por 8 se o número formado por seus dígitos nas casas das centenas, dezenas e unidades for divisível por 8.

      (a) 96354142
      Considere o número 96354142.
      Aqui, o número formado pelos dígitos em centenas, dezenas e unidades é 142, que claramente não é divisível por 8.
      Portanto, 96354142 não é divisível por 8.

      (b) 37450176
      Considere o número 37450176.
      O número formado pelos dígitos em centenas, dezenas e unidades é 176, que é claramente divisível por 8.
      Portanto, 37450176 é divisível por 8.

      (c) 57064214
      Considere o número 57064214.
      Aqui, o número formado pelos dígitos em centenas, dezenas e unidades é 214, que claramente não é divisível por 8.
      Portanto, 57064214 não é divisível por 8.

      Página No 41:

      Questão 5:

      Qual dos seguintes números é divisível por 6?
      (a) 8790432
      (b) 98671402
      (c) 85492014
      (d) nenhum destes

      Responder:

      Um número é divisível por 6, se for divisível por 2 e 3.

      (a) 8790432
      Considere o número 8790432.
      O número no dígito da unidade é 2.
      Portanto, 8790432 é divisível por 2.
      Agora, a soma de seus dígitos (8 + 7 + 9 + 0 + 2 + 3 + 2) é 33. Como 33 é divisível por 3, podemos dizer que 8790432 também é divisível por 3.
      Como 8790432 é divisível por 2 e 3, também é divisível por 6.

      (b) 98671402
      Considere o número 98671402.
      O número no dígito da unidade é 2.
      Portanto, 98671402 é divisível por 2.
      Agora, a soma de seus dígitos (9 + 8 + 6 + 7 + 1 + 4 + 0 + 2) é 37. Como 37 não é divisível por 3, podemos dizer que 98671402 também não é divisível por 3.
      Como 98671402 não é divisível por 2 e 3, não é divisível por 6.

      (c) 85492014
      Considere o número 85492014.
      O número no dígito da unidade é 4.
      Portanto, 85492014 é divisível por 2.
      Agora, a soma de seus dígitos (8 + 5 + 4 + 9 + 2 + 0 + 1 + 4) é 33. Como 33 é divisível por 3, podemos dizer que 85492014 também é divisível por 3.
      Como 85492014 é divisível por 2 e 3, também é divisível por 6.

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      Questão 6:

      Qual dos seguintes números é divisível por 11?
      (a) 3333333
      (b) 1111111
      (c) 22222222
      (d) nenhum destes

      Responder:

      (c) 22222222
      Um número é divisível por 11, se a diferença da soma de seus dígitos em casas ímpares e a soma dos dígitos em casas pares (começando com uma casa) for 0 ou um múltiplo de 11.

      (a) 3333333
      Considere o número 3333333.
      Soma de seus dígitos em lugares ímpares (3 + 3 + 3 + 3) = 12
      Soma de seus dígitos em lugares pares (3 + 3 + 3) = 9
      Diferença das duas somas = 12 e menos 9 = 3
      Uma vez que este número (3) não é divisível por 11, 3333333 não é divisível por 11.

      (b) 1111111
      Considere o número 1111111.
      Soma de seus dígitos em lugares ímpares (1 + 1 + 1 + 1) = 4
      Soma de seus dígitos em lugares pares (1 + 1 + 1) = 3
      Diferença das duas somas = 4 e menos 3 = 1
      Uma vez que este número (1) não é divisível por 11, 1111111 também não é divisível por 11.

      (c) 22222222
      Considere o número 22222222.
      Soma de seus dígitos em lugares ímpares (2 + 2 + 2 + 2) = 8
      Soma de seus dígitos em lugares pares (2 + 2 + 2 + 2) = 8
      Diferença das duas somas = 8 e menos 8 = 0
      Como este número (0) é divisível por 11, 22222222 também é divisível por 11.

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      Questão 7:

      Qual das alternativas a seguir é um número primo?
      (a) 81
      (b) 87
      (c) 91
      (d) 97

      Responder:

      (a) 81 não é um número primo porque 81 pode ser escrito como 9 e vezes9.
      (b) 87 não é um número primo porque 87 pode ser escrito como 29 & vezes3.
      (c) 91 não é um número primo porque 91 pode ser escrito como 13 e vezes7.
      (d) 97 é um número primo.

      Página No 41:

      Questão 8:

      Qual dos seguintes é um número primo?
      (a) 117
      (b) 171
      (c) 179
      (d) nenhum destes

      Responder:

      (a) 117 não é um número primo porque 117 pode ser escrito como 3 e vezes 39.
      (b) 171 não é um número primo porque 171 pode ser escrito como 19 e vezes9.
      (c) 179 é o número primo.

      Página No 41:

      Questão 9:

      Qual das alternativas a seguir é um número primo?
      (a) 323
      (b) 361
      (c) 263
      (d) nenhum destes

      Responder:

      (a) 323 não é um número primo porque 323 pode ser escrito como 17 e vezes 19.
      (b) 361 não é um número primo porque 361 pode ser escrito como 19 e vezes 19.
      (c) 263 é um número primo.

      Página No 41:

      Questão 10:

      Quais das seguintes opções são primos?
      (a) 8, 12
      (b) 9, 10
      (c) 6, 8
      (d) 15, 18

      Responder:

      (a) 8, 12 não são primos, pois têm um fator comum 4.
      (b) 9, 10 são primos, pois não têm um fator comum.
      (c) 6, 8 não são primos, pois têm um fator comum 2.
      (d) 15,18 não são primos porque têm um fator comum 3.

      Página No 41:

      Questão 11:

      Qual das alternativas a seguir é um número composto?
      (a) 23
      (b) 29
      (c) 32
      (d) nenhum destes

      Responder:

      (a) 23 não é um número composto, pois não pode ser dividido em fatores.
      (b) 29 não é um número composto, pois não pode ser dividido em fatores.
      (c) 32 é um número composto, pois pode ser dividido em fatores, que são 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 2.

      Página No 41:

      Questão 12:

      O HCF de 144 e 198 é
      (a) 9
      (b) 12
      (c) 6
      (d) 18

      Responder:

      (d) 2 & vezes 3 2 = 18
      Primeiro fatoramos os dois números:

      144 = 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 2 & vezes 3 & vezes 3 = 2 4 & vezes 3 2
      198 = 2 & vezes 3 & vezes 3 & vezes 11 = 2 & vezes 3 2 & vezes 11
      Aqui, 18 (2 & vezes 3 2 = 18) é o maior fator comum dos dois números.

      Página No 41:

      Questão 13:

      O HCF de 144, 180 e 192 é
      (a) 12
      (b) 16
      (c) 18
      (d) 8

      Responder:

      (a) 2 2 & times3 = 12
      Primeiro fatoraremos os dois números:

      Aqui, 12 (ou seja, 2 2 & vezes 3 = 12) é o maior fator comum dos três números.

      Página No 41:

      Questão 14:

      Quais das seguintes opções são primos?
      (a) 39, 91
      (b) 161, 192
      (c) 385, 462
      (d) nenhum destes

      Responder:

      (a) 39 e 91 não são primos, pois 39 e 91 têm um fator comum, ou seja, 13.
      (b) 161 e 192 são primos, pois 161 e 192 não têm fator comum diferente de 1.
      (c) 385 e 462 não são primos, pois 385 e 462 têm fatores comuns 7 e 11.

      Página No 41:

      Questão 15:

      289 391 quando reduzido aos termos mais baixos é
      (a) 11 23
      (b) 13 31
      (c) 17 31
      (d) 17 23

      Responder:

      Dividindo o numerador e o denominador pelo H.C.F. de 289 e 391:

      Página No 41:

      Questão 16:

      O maior número que divide 134 e 167, deixando 2 como resto em cada caso, é
      (a) 14
      (b) 17
      (c) 19
      (d) 11

      Responder:

      (d) 11
      Como precisamos de 2 como resto, subtrairemos 2 de cada um dos números.
      167 e menos 2 = 165
      134 e menos 2 = 132
      Agora, qualquer um dos fatores comuns de 165 e 132 será o divisor necessário.
      Na fatoração:
      165 = 3 & vezes 5 & vezes 11
      132 = 2 & vezes 2 & vezes 3 & vezes 11
      Seus fatores comuns são 11 e 3.
      Portanto, 11 é o divisor necessário.

      Página No 41:

      Questão 17:

      O LCM de 24, 36, 40 é
      (a) 4
      (b) 90
      (c) 360
      (d) 720


      Regra 9: Fatoração de números inteiros

      Para fatorar um número inteiro, simplesmente divida o número inteiro em um grupo de números cujo produto é igual ao número original. Os fatores são separados por sinais de multiplicação. Observe que o número 1 é o fator de cada número. Todos os fatores de um número podem ser divididos igualmente nesse número.

      Exemplo 1: Fatore o número 3.

      Resposta: Como 3 x 1 = 3, os fatores de 3 são 3 e 1.

      Exemplo 2: Fatore o número 10.

      Resposta: Como 10 pode ser escrito como 5 x 2 x 1, os fatores de 10 são 10, 5, 2 e 1. O número 10 pode ser dividido por 10, 5, 2 e 1.

      Exemplo 3: Fatore o número 18.

      Resposta: O número 18 pode ser escrito como 18 x 1 ou 9 x 2 ou 6 x 3 ou 3 x 3 x 2. Como 18 pode ser dividido por 18, 9, 6, 3, 2 e 1, então 18, 9 , 6, 3, 2 e 1 são fatores de 18.

      Exemplo 4: Fatore o número 24.

      Resposta: O número 24 pode ser escrito como 24 x 1 ou 12 x 2 ou 8 x 3 ou 4 x 6 ou 2 x 2 x 2 x 3. Como 24 pode ser dividido por 24, 12, 8, 6, 4, 3 , 2 e 1, então 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2 e 1 são fatores de 24.

      Exemplo 5: Fatore o número 105.

      Resposta: O número 105 pode ser escrito como 105 x 1 ou 21 x 5 ou 3 x 7 x 5 ou 15 x 7 ou 35 x 3. Como 105 pode ser dividido por 105, 35, 21, 15, 7, 5, 3 , e 1, então 105, 35, 21, 15, 7, 5, 3 e 1 são fatores de 105.

      Exemplo 6: Fatore o número 1200 completamente.

      Resposta: Esta instrução significa fatorar 1200 em um conjunto de fatores primos (fatores que não podem ser fatorados novamente). O número 1200 pode ser escrito como 1200 x 1 ou 100 x 12. Observe que o 100 pode ser novamente fatorado para 10 x 10 e o 12 pode ser fatorado para 6 x 2. Portanto, agora você tem 1200 = 100 x 12 = 10 x 10 x 6 x 2. Este conjunto fatorado pode ser novamente fatorado em (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 3) x 2 x 1. O número 1200 é totalmente fatorado como 5 x 5 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1.


      Assista o vídeo: Math Antics - Factoring (Novembro 2021).