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4.4.1: Equações Autônomas de Segunda Ordem (Exercícios) - Matemática


Q4.4.1

Em Exercícios 4.4.1-4.4.4 encontre as equações das trajetórias da equação não amortecida fornecida. Identifique as soluções de equilíbrio, determine se são estáveis ​​ou instáveis ​​e trace algumas trajetórias.

1. (y '' + y ^ 3 = 0 )

2. (y '' + y ^ 2 = 0 )

3. (y '' + y | y | = 0 )

4. (y '' + ye ^ {- y} = 0 )

Q4.4.2

Em Exercícios 4.4.5-4.4.8 encontre as equações das trajetórias da equação não amortecida fornecida. Identifique as soluções de equilíbrio, determine se são estáveis ​​ou instáveis ​​e encontre as equações das separatrizes (ou seja, as curvas através dos equilíbrios instáveis). Trace as separatrizes e algumas trajetórias em cada uma das regiões do plano de Poincaré determinadas por elas.

5. (y '' - y ^ 3 + 4y = 0 )

6. (y '' + y ^ 3-4y = 0 )

7. (y '' + y (y ^ 2-1) (y ^ 2-4) = 0 )

8. (y '' + y (y-2) (y-1) (y + 2) = 0 )

Q4.4.3

Em Exercícios 4.4.9-4.4.12 plote algumas trajetórias da equação dada para vários valores (positivo, negativo, zero) do parâmetro a. Encontre os equilíbrios da equação e classifique-os como estáveis ​​ou instáveis. Explique por que os gráficos do plano de fase correspondem aos valores positivos e negativos de a diferem tão acentuadamente. Você pode pensar em uma razão pela qual zero merece ser chamado de valor crítico de (a )?

9. (y '' + y ^ 2-a = 0 )

10. (y '' + y ^ 3-ay = 0 )

11. (y '' - y ^ 3 + ay = 0 )

12. (y '' + y-ay ^ 3 = 0 )

Q4.4.4

Em Exercícios 4.4.13-4.4.18 traçar trajetórias da equação dada para (c = 0 ) e pequenos valores diferentes de zero (positivo e negativo) de (c ) para observar os efeitos do amortecimento.

13. (y '' + cy '+ y ^ 3 = 0 )

14. (y '' + cy'-y = 0 )

15. (y '' + cy '+ y ^ 3 = 0 )

16. (y '' + cy '+ y ^ 2 = 0 )

17. (y '' + cy '+ y | y | = 0 )

18. (y '' + y (y-1) + cy = 0 )

Q4.4.5

19. O equação de van der Pol

[y '' - mu (1-y ^ 2) y '+ y = 0, tag {A} ]

onde ( mu ) é uma constante positiva e (y ) é a corrente elétrica (Seção 6.3), surge no estudo de um circuito elétrico cujas propriedades resistivas dependem da corrente. O termo de amortecimento (- mu (1-y ^ 2) y ') funciona para reduzir (| y | ) se (| y | <1 ) ou para aumentar (| y | ) se (| y |> 1 ). Pode-se mostrar que a equação de van der Pol tem exatamente uma trajetória fechada, que é chamada de ciclo limite. Trajetórias dentro do ciclo limite espiralam para fora, enquanto trajetórias fora do ciclo limite espiralam para dentro (Figura [figura: 4.4.16}). Use seu software de equações diferenciais favorito para verificar isso para ( mu = .5,1.1.5,2 ). Use uma grade com (- 4

20. Equação de Rayleigh,

[y '' - mu (1- (y ') ^ 2/3) y' + y = 0 ]

também tem um ciclo de limite. Siga as instruções de Exercício 4.4.19 para esta equação.

21. Em conexão com a Equação 4.4.16, suponha (y (0) = 0 ) e (y '(0) = v_0 ), onde (0

  1. Seja (T_1 ) o tempo necessário para (y ) aumentar de zero a (y _ { max} = 2 sin ^ {- 1} (v_0 / v_c) ). Mostre que [{dy over dt} = sqrt {v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2y / 2}, quad 0 le t
  2. Separe as variáveis ​​em (A) e mostre que [T_1 = int_0 ^ {y _ { max}} {du over sqrt {v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2u / 2}} tag {B} ]
  3. Substitua ( sin u / 2 = (v_0 / v_c) sin theta ) em (B) para obter [T_1 = 2 int_0 ^ { pi / 2} {d theta over sqrt {v_c ^ 2-v_0 ^ 2 sin ^ 2 theta}}. tag {C} ]
  4. Conclua da simetria que o tempo necessário para ((y (t), v (t)) ) percorrer a trajetória [v ^ 2 = v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2y / 2 ] é (T = 4T_1 ), e que conseqüentemente (y (t + T) = y (t) ) e (v (t + T) = v (t) ); ou seja, a oscilação é periódica com período (T ).
  5. Mostre que se (v_0 = v_c ), a integral em (C) é imprópria e diverge para ( infty ). Conclua disso que (y (t) < pi ) para todos (t ) e ( lim_ {t to infty} y (t) = pi ).

22. Dê uma definição direta de um equilíbrio instável de (y '' + p (y) = 0 ).

23. Seja (p ) contínuo para todos (y ) e (p (0) = 0 ). Suponha que haja um número positivo ( rho ) tal que (p (y)> 0 ) if (0

[ alpha (r) = min left { int_0 ^ rp (x) , dx, int _ {- r} ^ 0 | p (x) | , dx right } mbox { quad e quad} beta (r) = max left { int_0 ^ rp (x) , dx, int _ {- r} ^ 0 | p (x) | , dx right }. ]

Seja (y ) a solução do problema do valor inicial

[y '' + p (y) = 0, quad y (0) = v_0, quad y '(0) = v_0, ]

e defina (c (y_0, v_0) = v_0 ^ 2 + 2 int_0 ^ {y_0} p (x) , dx ).

  1. Mostre que [0
  2. Mostre que [v ^ 2 + 2 int_0 ^ y p (x) , dx = c (y_0, v_0), quad t> 0. ]
  3. Conclua de (b) que se (c (y_0, v_0) <2 alpha (r) ) então (| y | 0 ).
  4. Dado ( epsilon> 0 ), deixe ( delta> 0 ) ser escolhido de modo que [ delta ^ 2 + 2 beta ( delta) < max left { epsilon ^ 2/2 , 2 alpha ( epsilon / sqrt2) right }. ] Mostre que se ( sqrt {y_0 ^ 2 + v_0 ^ 2} < delta ) então ( sqrt {y ^ 2 + v ^ 2} < epsilon ) para (t> 0 ), o que implica que ( overline y = 0 ) é um equilíbrio estável de (y '' + p (y) = 0 ).
  5. Agora, seja (p ) contínuo para todos (y ) e (p ( overline y) = 0 ), onde ( overline y ) não é necessariamente zero. Suponha que haja um número positivo ( rho ) tal que (p (y)> 0 ) se ( overline y

24. Seja (p ) contínuo para todos (y ).

  1. Suponha que (p (0) = 0 ) e haja um número positivo ( rho ) tal que (p (y) <0 ) se (0 0 ). Conclua que ( overline y = 0 ) é um equilíbrio instável de (y '' + p (y) = 0 ).
  2. Agora vamos (p ( overline y) = 0 ), onde ( overline y ) não é necessariamente zero. Suponha que haja um número positivo ( rho ) tal que (p (y) <0 ) se ( overline y
  3. Modifique suas provas de (a) e (b) para mostrar que se houver um número positivo ( rho ) tal que (p (y)> 0 ) se ( overline y- rho le y < overline y ), então ( overline y ) é um equilíbrio instável de (y '' + p (y) = 0 ).

Equações diferenciais autônomas de segunda ordem

Introduza v = dR / dt. Então a equação diferencial é
v dv / dR = W ^ 2 R.

Integrar uma vez dá
v ^ 2 - v0^ 2 = W ^ 2 R ^ 2 - W ^ 2 R0^2
Onde eu assumi v (t = 0) = v0 e R (t = 0) = R0.

um arranjo rápido
v = +/- sqrt (v0^ 2 - W ^ 2 R0^ 2 + W ^ 2 R ^ 2)

e assim dR / dt = +/- sqrt (v0^ 2 - W ^ 2 R0^ 2 + W ^ 2 R ^ 2)

Esta é uma ODE separável de primeira ordem

definir tal que W ^ 2 a ^ 2 = v0^ 2 - W ^ 2 R0^2

Então
dR / dt = +/- sqrt (W ^ 2 a ^ 2 + W ^ 2 R ^ 2)

O lado direito é +/- Wt.
Para integrar o lado esquerdo, coloque R = a * sinh (x) de modo que
dR = a cosh (x) dx então
sqrt (a ^ 2 + R ^ 2) = sqrt (a ^ 2 + a ^ 2 sinh ^ 2 (x)) = a sqrt (1 + sinh (x) ^ 2)
= a sqrt (cosh ^ 2 (x)) = a * cosh (x).

Este dR / sqrt (a ^ 2 + R ^ 2) - & gt dx
O integral é assim

arcsinh (R / a) - arcsinh (R0 / a) = +/- Wt
e portanto

R = a sinh (+/- Wt + arcsinh (R0 / uma))
e a = sqrt (V0^ 2 / W ^ 2 - R0^2).

Conectar e verificar nos mostra que o
- sinal dá v (0) = - v0


Matemática 2552: Equações Diferenciais - Outono 2018 Sec T

Clique aqui para ver o programa, onde você pode encontrar o esquema de notas e a política de aula.

Recitações e horário de expediente do TA

Seção de recitação Nome e e-mail do TA Horário de atendimento do TA
T1 MW 4: 30-5: 20pm Skiles 170 Alexander Winkles
awinkles3 AT gatech.edu
Quinta-feira 11: 15-12: 15
Clough 280 (MathLab)
T2 MW 4: 30-5: 20pm Skiles 255 Tao Yu
tyu70 AT gatech.edu
Quinta-feira 3-4
Clough 280 (MathLab)
T3 MW 4: 30-5: 20pm Skiles 257 Renyi Chen
rchen342 AT gatech.edu
Quinta-feira 13h45-14h45
Clough 280 (MathLab)

Onde obter ajuda

  • Meu horário de atendimento e horário de atendimento do seu TA: veja acima. : Serviço gratuito fornecido pela Escola de Matemática: Serviço gratuito da GT. Líder MAIS: Samantha Bordy, sbordy3 em gatech.edu. Hora e local da sessão: Terça e quinta-feira, 18h às 19h em CULC 262.
  • Piazza (fórum de discussão online): Eu criei uma página de aula no Piazza.com, que oferece um fórum online gratuito para discussões relacionadas ao curso. O sistema é altamente preparado para obter sua ajuda rápida e eficiente de colegas de classe, dos TAs e de mim mesmo. Em vez de enviar perguntas por e-mail ao corpo docente, encorajo você a postar suas perguntas no Piazza se elas não tiverem nada a ver com sua privacidade. Você pode postar na Piazza anonimamente se isso o deixar mais confortável. Todos na classe devem se sentir absolutamente livres para fazer perguntas, discutir, ajudar, comentar, explorar e trocar ideias sobre a Piazza. Você pode encontrar nossa página de aula de Piazza em: http://piazza.com/gatech/fall2018/math2552yaoyao.

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Nosso exame final será em Terça-feira (12/11) 14h40 às 17h30, no Boggs B9. É um livro fechado, notas fechadas e calculadoras não são permitidas. Você está autorizado a trazer uma folha de cola de dois lados tamanho carta (8,5 por 11 polegadas), que deve ser escrita à mão por você. (Uma folha de cola impressa ou fotocopiada não é permitida.)
Meu horário de atendimento nesta semana e na próxima será: Quarta (12/5) das 15h às 16h, Sex (12/7) às 14h00, Seg (12/10) 11h às 12h.


Equações diferenciais elementares

Escritório: ACD 114A
Telefone: (860) 405-9294
Horário de atendimento: TTh 9h30 - 10h30. e por nomeação
Política de Portas Abertas: Você é bem-vindo para discutir qualquer aspecto do curso, a qualquer hora, nos dias em que estou no campus - terça, quinta e sexta-feira.

A MATEMÁTICA 2410 cobre principalmente o material dos capítulos 1-5 do livro didático.


Horário / local das reuniões de classe: terça, quinta, das 14h00 às 15h15. Sala de aula ACD 206.

Todas as aulas começam no ACD 206.

Equações diferenciais elementares de William F. Trench.

É um livro de código aberto disponível online gratuitamente aqui

O dever de casa é atribuído a cada aula e recolhido todas as quintas-feiras. Eles são devolvidos na terça-feira seguinte com comentários e notas. O peso total das notas dos trabalhos de casa é de 50 pontos do total de 500 pontos do curso.

Cronograma do exame: Exame 1: terça-feira, 9 de fevereiro, & nbsp 14h00 - 15h15, Sala: ACD 206
Exame 2: quinta-feira, 9 de março, & nbsp 14h - 15h15, Sala: ACD 206
Exame 3: terça-feira, 11 de abril, & nbsp 14h - 15h15, Sala: ACD 206
Exame final: terça-feira, 2 de maio, das 13h30 às 15h30, Sala: ACD 206

Política de avaliação: Dever de casa: 50, Exame 1: 100, Exame 2: 100, Exame 3: 100, Exame final: 150.



Encontro: Data Capítulo Tema Trabalho de casa
Semana 1 Ter. 1/17 1.1 Aplicações que levam a equações diferenciais

Qui. 1/19 1.2 Conceitos Básicos CH. 1.2: Exercícios 1,2,4 (a-d), 5,7,9





Semana 2 Ter. 24/01 1.3 Campos de direção para ODEs de primeira ordem CH. 1.3: Exercícios 1,2,3,4,5,12,13,14,15

Qui. 26/1 2.1 Equações lineares de primeira ordem CH. 2.1 Exercícios: 4,5,6,9,16,18,20,21





Semana 3 Ter. 1/31 2.2 Equações separáveis CH. 2.2 Exercícios: 1,3,4,6,11,12,17,18

Qui. 2/2 2.3 Existência e exclusividade de soluções CH. 2.3 Exercícios: 1,2,3,4,14,16,17,20





Semana 4 Ter. 2/7
Exame simulado 1
Exame simulado 1. Soluções


Qui. 2/9
Dia de neve!





Semana 5 Ter. 14/02
Prova 1

Qui. 2/16 3.1 Método de Euler. CH. 3.1 Exercícios: 1,4,6,14





Semana 6 Ter. 21/02 4.1 Crescimento e decadência CH. 4.1 Exercícios: 2,3,5,11

Qui. 23/02 4.2-4.3 Resfriamento, mistura e mecânica elementar CH. 4.2 Exercícios: 2,3,5,12
CH. 4.3 Exercícios: 4,10





Semana 7 Ter. 28/02 4.4 Equações autônomas de segunda ordem CH. 4.4 Exercícios:

Qui. 3/2 4.5 Aplicações a curvas CH. 4.5 Exercícios:





Semana 8 Ter. 3/7
Análise. Exame simulado 2
Exame simulado 2. Soluções


Qui. 3/9
Exame 2





Semana 9 Ter. 14/03
Recesso de primavera

Qui. 3/16
Recesso de primavera





Semana 10 Ter. 21/3 5.1 Equações lineares homogêneas CH. 5.1 Exercícios:

Qui. 23/03 5.2 Equações homogêneas de coeficiente constante CH. 5.2 Exercícios:





Semana 11 Ter. 28/03 5.3 Equações lineares não homogêneas CH. 5.3 Exercícios:

Qui. 30/3 5.4 O método de subestimar coeficientes 1 CH. 5.4 Exercícios:





Semana 12 Ter. 4/4 5.5 O método de subestimar coeficientes 2 CH. 5.5 Atribuição 4
Semana 12 Qui. 4/6 6.1-6.2 Problemas de primavera CH. 6,1





Semana 12 Ter. 4/11
Análise. Exame simulado 3
Exame simulado 3. Soluções


Qui. 13/04
Prova 3





Semana 14 Ter. 18/4 8.1-8.2 Laplace Transforms. Transformadas inversas CH. 8.1-8.2 Atribuição 5
Qui. 20/04 8.3-8.4 Soluções para o problema do valor inicial CH. 8.3 Exercícios:
CH. 8.4 Exercícios:





Semana 15 Ter. 25/04 8.5 Equações de coeficiente constante com funções de forçamento contínuas por partes CH. 8.5 Exercícios:
Qui. 27/4
Análise. Exame simulado final
Exame simulado final. Soluções






Semana 16 Ter. 5/2
Exame final, das 13h30 às 15h30

Esta página é mantida por Dmitriy Leykekhman
Última modificação: 27/04/2017


Isso é linearizável por ode de diferenciação.

Como você viu, aplicada assim essa substituição apenas aumenta o número de variáveis. Você obtém um padrão homogêneo semelhante a uma equação de Euler-Cauchy multiplicando a equação original por $ x ^ 2 $, begin 0 & amp = 3 (x ^ 2y '') ^ 2-2 (3xy '+ y) (x ^ 2y' ') + 4 (xy') ^ 2 end Pode-se agora tornar isso autônomo tomando emprestado a substituição $ u (t) = y (e ^ t) $ da equação de Cauchy-Euler, $ u '(t) = e ^ ty' (e ^ t) = xy '( x) $, $ u '' (t) = e ^ <2t> y '' (t) + e ^ ty '(e ^ t) = x ^ 2y' '(x) + u' (t) $ começar 0 & amp = 3 (u '' (t) -u '(t)) ^ 2-2 (3u' (t) + u (t)) (u '' (t) -u '(t)) + 4u' (t) ^ 2 & amp = 3u '' ^ 2-6u''u '+ 3u' ^ 2-6u''u '+ 6u' ^ 2-2u''u + 2u'u + 4u '^ 2 & amp = 3u '' ^ 2-12u''u '+ 13u' ^ 2-2u''u + 2u'u end Por ser autônomo, pode-se inserir $ u '= v (u) $, $ u' '= v' (u) v (u) $. Mas mesmo isso não parece útil.

A expressão pode ser reescrita como:

$ 3x ^ 2 (y '') ^ 2 - 6 x y'y '' - 2yy '' + 4 (y ') ^ 2 = 0. $

Fazemos a seguinte observação. Suponha que $ y '' neq 0 $ para todos os $ x $ no domínio apropriado. A equação acima simplifica para:

Isso implica que podemos adivinhar uma possível solução poderia assumir a forma de um polinômio simples $ y (x) = C_0 + C_1 x + C_2 x ^ 2 + C_3 x ^ 3 ldots $ (Isso se deve ao fato de que a derivada de um polinômio é sempre um grau inferior ao do polinômio original.)

Lembre-se de que adivinhamos que $ y '' neq 0 $ para todos os $ x $. Isso, portanto, inspira que adivinhamos $ y '' = D $ para alguma constante $ D $. O equivalente & quot adivinhar & quot para a solução seria

Com isso, substitua nossa suposição na equação principal para obter:

$ 3x ^ 2 (2C) ^ 2 - 6 x (B + 2Cx) (2C) = 2 (A + Bx + Cx ^ 2) (2C) - 4 (B + 2Cx) ^ 2. $

Surpreendentemente, obtemos que o coeficiente de $ x ^ 2 $ e $ x $ é $. A equação é, portanto, reduzida a

Lembre-se de que somos livres para escolher os valores de $ A, B $ e $ C $, desde que eles satisfaçam a restrição que acabamos de derivar. Em particular, se você tentou resolver a equação usando WolframAlpha, a solução sugerida é dada por:

$ y [x] rightarrow x c_1 + x ^ 2 frac + c_2. $

Já que $ A = c_2, B = c_1, C = frac$, realmente temos $ B ^ 2 = AC $. A parametrização da solução do WolframAlpha é apenas uma parametrização particular para $ B ^ 2 = AC $.


Conclua os conjuntos de problemas:

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4.4.1: Equações Autônomas de Segunda Ordem (Exercícios) - Matemática

A seção 2.1 apresenta a terminologia e as idéias por meio de um exemplo natural de predador-presa. Nas Seções 2.2 e 2.3, são apresentadas as noções de sistemas autônomos, campos vetoriais, campos de direção, planos de fase, soluções e pontos de equilíbrio. Essas seções estão intimamente relacionadas e podem ser consideradas como uma longa seção que requer algumas classes para cobrir. As equações lineares, homogêneas, de coeficiente constante e de segunda ordem (osciladores harmônicos) são apresentadas e relacionadas aos sistemas na Seção 2.4. O método de Euler para sistemas de primeira ordem e equações de segunda ordem é abordado na Seção 2.5, e na Seção 2.6 discutimos métodos qualitativos para desenhar planos de fase. A seção 2.7 começa a discussão qualitativa do sistema de Lorenz como uma introdução aos sistemas tridimensionais.

A disponibilidade de algum tipo de tecnologia que os alunos possam usar para desenhar campos vetoriais, campos de direção e planos de fase é essencial. Para começar a ter uma ideia de quais imagens esperar, os alunos devem ver muitos exemplos desenhados com precisão. O software está disponível em várias fontes (verifique nossa página da web para informações mais específicas).

2.1 O modelo predador-presa

Usando a análise de um único modelo predador-presa, as idéias básicas dos sistemas de primeira ordem são apresentadas nesta seção. Nosso objetivo é apresentar a relação entre as várias representações gráficas do sistema, suas soluções e a interpretação das soluções em termos do modelo. As representações gráficas incluem o plano de fase, os gráficos das funções componentes das soluções, o campo vetorial e o campo de direção.

A transição para os sistemas é natural para os alunos. Relacionar a solução no plano de fase aos gráficos dos componentes é considerado difícil por alguns, mas geralmente é dominado após esforço suficiente.

Alguns instrutores acham que muito material novo é apresentado nesta seção. No entanto, repetimos as idéias básicas em um ambiente mais geral nas Seções 2.2 e 2.3, e cobriremos a Seção 2.1 rapidamente. Gostamos de usar o material da Seção 2.1 como um exemplo corrente para as definições mais formais nas próximas duas seções.

Comentários sobre exercícios selecionados

Os Exercícios 1 e 15 envolvem a interpretação dos parâmetros em um sistema, enquanto os Exercícios 9–14 envolvem a interpretação das equações.

Os Exercícios 2-6 requerem uma análise de um sistema predador-presa semelhante ao realizado na seção.

Os exercícios 7, 8, 16 e 17 dão prática na passagem do plano de fase aos gráficos de funções componentes e na interpretação de soluções. O Exercício 17 é particularmente bom para atribuir uma redação. (Este fenômeno predador-presa realmente ocorre.)

Nos Exercícios 9--14 e 18, modificações são feitas em um modelo de presa predadora. Isso é mais fácil do que desenvolver modelos do zero, mas ainda é um desafio. No Exercício 18, há mais de uma resposta razoável.

Nos Exercícios 19-24, são desenvolvidos modelos para concentrações de reagentes em reações químicas simples. Esses modelos reaparecem nas seções subsequentes (Seção 2.3, Exercícios 22–26 e Seção 2.6, Exercícios 14–18).

2.2 Sistemas de Equações Diferenciais

Esta seção estabelece notação e terminologia para sistemas. Os vetores são introduzidos junto com muitos adjetivos para descrever sistemas. Campos de vetor, campos de direção e pontos de equilíbrio também são discutidos.

Um dos principais objetivos da seção é desenvolver uma compreensão de quais são as condições e soluções iniciais e como verificar (substituindo no sistema) se uma determinada função com valor vetorial é uma solução. Uma vez que os alunos dominam a capacidade de verificar soluções de sistemas (e passam a pensar na ideia como algo natural), eles alcançam um ponto importante em sua compreensão dos sistemas.

Comentários sobre exercícios selecionados

Os exercícios 1-8 dizem respeito ao vocabulário dos sistemas. Nos Exercícios 36 e 37, a relação entre os sistemas dos Exercícios 5 e 7 e os sistemas dos Exercícios 6 e 8 (respectivamente) são explorados.

Os exercícios 9–16 e 21–27 envolvem a verificação de que determinadas funções são soluções de um determinado sistema. Essa tarefa é direta, mas extremamente necessária.

Nos Exercícios 17–20, os campos de direção são correspondidos aos sistemas. Este tipo de exercício é menos tedioso do que esboçar campos de direção manualmente. Se ensaios são necessários para justificar porque um determinado sistema corresponde a um campo de direção particular, os alunos devem examinar os campos de perto.

Os exercícios 28-35 pedem pontos de equilíbrio e esboços de campos de direção para sistemas dados. Esses sistemas reaparecem na Seção 2.3, Exercícios 1--8, onde o plano de fase também é solicitado.

2.3 Representação Gráfica de Soluções de Sistemas

Nesta seção, veremos os vários gráficos de soluções de sistemas e como os esboços desses gráficos podem ser gerados a partir do campo de direção. A relação entre uma curva de solução no plano de fase e os gráficos das funções dos componentes é difícil no início, mas acaba sendo dominada pela maioria dos alunos. É importante que os alunos percebam que os dois tipos de gráfico são necessários porque nenhum dos gráficos sozinho contém todas as informações sobre uma solução. Uma boa analogia é tentar entender um furtivo de suas sombras (veja a Figura 2.26).

Alguns exemplos são dados para os quais fórmulas para soluções podem ser encontradas, e a idéia da solução geral de um sistema é brevemente introduzida. Além disso, o Teorema da Existência-Unicidade para o sistema é resumido. Tal como acontece com as equações de primeira ordem, é a metade da unicidade do teorema que é enfatizada, visto que é a mais útil para desenhar planos de fase de sistemas autônomos.

Comentários sobre exercícios selecionados

Os exercícios 1--8 pedem uma análise detalhada dos sistemas complicados fornecidos. Os pontos de equilíbrio podem ser encontrados manualmente. Idealmente, a tecnologia deve ser usada para desenhar os campos de direção, então os alunos devem esboçar as curvas de solução no topo desses campos.

Os sistemas nos Exercícios 9–12 podem ser resolvidos explicitamente porque os sistemas se desacoplam. Esses exercícios são uma boa revisão das equações separáveis ​​e lineares, conforme discutido no Capítulo 1.

Os sistemas nos Exercícios 13–16 podem ser resolvidos explicitamente para a condição inicial dada devido a alguma geometria especial do sistema. Eles também fornecem uma boa revisão das equações lineares e separáveis ​​e são bastante difíceis.

Os exercícios 17-21 referem-se a um modelo de corrida armamentista. O uso de tecnologia para desenhar campos de direção e planos de fase deve ser encorajado, por exemplo, para aproximar as coordenadas dos pontos de equilíbrio.

Os Exercícios 22-26 iniciam a análise dos modelos de reação química introduzidos no conjunto de exercícios da Seção 2.1. Esses modelos reaparecem na Seção 2.6, Exercícios 14--18.

Os Exercícios 27–31 referem-se ao Teorema da Unicidade para sistemas.

O Exercício 32 dá um exemplo de solução que não está definida para todos os números reais.

2.4 Equações de segunda ordem e o oscilador harmônico

Nesta seção, derivamos a equação de segunda ordem para o movimento de um oscilador harmônico usando as leis de Newton e Hooke. Essa equação de segunda ordem é então convertida em um sistema de primeira ordem e analisamos exemplos usando o campo vetorial. Apresentamos as técnicas de solução em detalhes no Capítulo 3.

Relacionamos a descrição qualitativa das soluções ao que é fisicamente razoável para o oscilador harmônico massa-mola. Essa abordagem é importante e perigosa. Os alunos às vezes pensam que o argumento físico textit a análise do sistema, em vez de simplesmente uma verificação dos resultados da análise matemática.

Optamos por não incluir o método padrão de "adivinhar e testar" para resolver a equação do oscilador harmônico neste ponto por várias razões. Em primeiro lugar, queremos manter a ênfase na análise qualitativa de soluções. Em segundo lugar, uma vez que não discutimos a importância da linearidade, é difícil fazer muito com adivinhação e teste neste ponto. Voltaremos a essa discussão na Seção 3.1, depois que o Princípio da Linearidade for discutido.

Certamente é possível pular diretamente para o Capítulo 3 neste ponto, mas preferimos cobrir o material (com a possível exceção da Seção 2.7) na ordem dada, a fim de manter o equilíbrio entre as abordagens analítica, numérica e qualitativa.

Comentários sobre exercícios selecionados

Os exercícios 1-4 envolvem a conversão de equações de segunda, terceira e quarta ordem em sistemas de primeira ordem.

Os Exercícios 5–7 derivam as equações para uma mola suspensa com a gravidade como força extra.

Os exercícios 8-11 perguntam sobre o campo de direção e o comportamento qualitativo das soluções para o oscilador harmônico com coeficientes dados. Nós encorajamos o uso de tecnologia nesses exercícios.

Os Exercícios 12–14 são semelhantes aos Exercícios 5–7. Um sistema envolvendo duas molas opostas é considerado.

O exercício 15 pede o modelo de molas duras e macias (consulte também o Laboratório 4.1).

Os exercícios 16–20 dizem respeito a um modelo para uma ponte pênsil flexível. Esse modelo é abordado em detalhes na Seção 5.4 e esses problemas são bastante desafiadores neste ponto do curso.

2.5 Método de Euler para Sistemas Autônomos

A abordagem do método de Euler é mantida o mais simples e geométrica possível. Novamente, o ponto mais difícil é a relação entre os gráficos. Por exemplo, soluções próximas a um ponto de equilíbrio se movem lentamente (os vetores no campo vetorial são pequenos), então a aproximação de Euler no plano de fase é composta de pequenos passos.

O exemplo de um edifício oscilante é apresentado nesta seção porque as informações quantitativas determinam qual modelo é mais apropriado.

Comentários sobre exercícios selecionados

Os exercícios 1--6 envolvem a computação das soluções do método de Euler com tamanhos de etapas razoavelmente grandes e a comparação dos resultados com o campo de direção e / ou soluções reais. Os cálculos são tediosos, mas gerenciáveis ​​se feitos à mão.

Os Exercícios 7–11 referem-se ao modelo de construção oscilante. Um dos dois modelos deve ser selecionado por comparação com dados numéricos fornecidos. O exercício 11 pergunta que experimento deve ser feito para distinguir entre os dois sistemas.

2.6 Análise Qualitativa

Nesta seção, usamos o campo de direção, juntamente com alguns números quando necessário, para estudar o comportamento de longo prazo de soluções de sistemas não lineares. A única nova técnica introduzida é a localização de nullclines no plano de fase. Infelizmente, muitos alunos ficam confusos inicialmente sobre a diferença entre nulas e curvas de solução.

A análise geométrica desse tipo é particularmente difícil para os alunos porque envolve muitas etapas e muitas idéias e técnicas diferentes. (Eles esperam que você apenas dê a eles a fórmula mágica para entender os sistemas e ficam céticos quando você diz que não há um.) Projetos estendidos são particularmente úteis para fazer os alunos perceberem que não há um modelo que leve a uma fase completa avião.

Comentários sobre exercícios selecionados

Nos Exercícios 1--6, 10-13 e 14-18, uma análise qualitativa do sistema dado é solicitada. Essa análise deve ir além do que um aluno pode imprimir a partir de um bom solucionador numérico. Os Exercícios 14-18 estão relacionados aos sistemas de reação química da Seção 2.1 (Exercícios 19-24) e da Seção 2.3 (Exercícios 22-26).

O exercício 7 é um problema bastante difícil de geometria de soluções no plano de fase.

Os exercícios 8 e 9 referem-se aos modelos gerais de Volterra-Lotka de um par de espécies.

Os Exercícios 19-21 estudam uma sela não linear.

2.7 As Equações de Lorenz

Apresentamos o sistema Lorenz aqui principalmente porque é possível fazê-lo. Quase nenhum de nossos alunos viu qualquer matemática moderna (ou seja, pós-1800). e ficam surpresos ao saber que há perguntas sem resposta e que há pesquisas ativas em matemática. Neste ponto, podemos apenas descrever o sistema de Lorenz e exibir algumas soluções numéricas. Conseqüentemente, esta é uma espécie de seção "golly-gee-whiz". Os sistemas lineares tridimensionais são discutidos na Seção 3.7, e o sistema de Lorenz é estudado mais cuidadosamente nas Seções 4.4 e 6.4.

Se você cobrir esta seção, recomendamos que mencione o livro "Chaos" de James Gleick. Também há uma série de vídeos interessantes que foram produzidos. Eles geralmente ilustram melhor as curvas de solução do que nós com nossos solucionadores.

Comentários sobre exercícios selecionados

Os Exercícios 1--5 cobrem detalhes do sistema Lorenz que podem ser facilmente verificados à mão

O exercício 6 requer alguns números razoavelmente sofisticados para comparar as soluções do sistema de Lorenz.

Todos esses laboratórios exigem tecnologia capaz de esboçar soluções no plano de fase. A capacidade de desenhar gráficos das funções de coordenadas também é muito útil.

Laboratório 2.1: Modelos de população de espécies cooperativas e competitivas

Este laboratório pode ser iniciado assim que a Seção 2.1 for abordada. Pode ser uma exploração puramente de computador ou, se a Seção 2.6 foi abordada, pode incluir uma análise qualitativa mais cuidadosa. Uma atenção especial deve ser dada à interpretação das soluções em termos físicos.

Laboratório 2.2: O oscilador harmônico com amortecimento modificado

A seção 2.4 deve ser abordada antes que este laboratório possa ser atribuído. A primeira parte refere-se ao oscilador harmônico. Portanto, essa parte do laboratório deve ser concluída antes de prosseguir para o Capítulo 3.

Laboratório 2.3: Modelos de construção oscilantes

Este laboratório requer um solucionador que produza dados numéricos (em vez de apenas gráficos). Isso pode ser feito com uma calculadora programável.


Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem em pacotes de jato e o problema inverso do cálculo de variações

O. Krupková, G.E. Prince, em Handbook of Global Analysis, 2008

6.1 História e configuração do problema

O problema inverso para equações de segunda ordem na forma normal tem uma história e estado atual bastante diferente do problema na forma covariante, conforme discutido na seção 3.2 e em outros lugares na seção 3. Isto é essencialmente porque no caso covariante perguntamos se o sistema tal como está é variacional e no caso contravariante temos que procurar uma forma covariante variacional. Portanto, o problema inverso para semisprays envolve decidir se as soluções de um determinado sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem (49), a saber

são as soluções de um conjunto de equações de Euler-Lagrange

para alguma função Lagrangiana L (t, x b, x ˙ b).

Como as equações de Euler-Lagrange não estão geralmente na forma normal, o problema é encontrar uma chamada matriz multiplicadora (não degenerada) g a b (t, x c, x ˙ c) de modo que

Como nas seções anteriores, usamos a notação gab para frisar que os multiplicadores que consideramos são regulares (não degenerados).

O conjunto mais comumente usado de condições necessárias e suficientes para a existência do gab são as chamadas condições de Helmholtz devido a Douglas [30] e colocadas da seguinte forma por Sarlet [118]:

onde substituímos x de você e utilizamos todas as nossas notações até o momento.

Essas condições algébricas-diferenciais exigem, em última análise, a aplicação de uma teoria da integrabilidade para determinar a existência e a singularidade de suas soluções. Até o momento, as teorias de integrabilidade utilizadas estão associadas aos nomes de Riquier-Janet, Cartan-Kähler e Spencer. Destes, iremos delinear apenas o uso do teorema de Cartan-Kähler em sua manifestação de sistemas diferenciais exteriores (na seção 6.3).

Antes de prosseguir com a descrição e análise matemática, fornecemos ao leitor alguma perspectiva histórica desse problema inverso local para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.

Helmholtz [47] discutiu primeiro se os sistemas de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem são Euler-Lagrange para um Lagrangiano de primeira ordem (isto é, um dependendo das velocidades, mas não das acelerações) na forma apresentada (o problema covariante inverso), e encontrou as condições necessárias para que isso seja verdade. Mayer [99] mais tarde provou que as condições também são suficientes.

No entanto, em 1886, um ano antes de Helmholtz publicar seu célebre resultado, em um artigo que infelizmente permaneceu desconhecido por anos, Sonin [133] descobriu que 1 sode

sempre pode ser colocado na forma de uma equação de Euler-Lagrange multiplicando x - f por uma função adequada g ≠ 0. Ele também caracterizou a multiplicidade da solução, ou seja, forneceu uma descrição de todos os Lagrangianos para (63). Agora, o resultado de Sonin & # x27s pode ser provado facilmente usando as condições de Helmholtz, que para uma equação (63) se reduz a uma única equação diferencial parcial para a função desconhecida g (t, x, x ˙):

Desde g ≠ 0, esta equação assume a forma

que é bem conhecido que sua solução geral depende de uma única função arbitrária de quaisquer duas soluções específicas da equação homogênea correspondente. Conseqüentemente, o Lagrangiano mais geral para (63) depende de uma função arbitrária de dois parâmetros.

Posteriormente, Hirsch [50] formulou de forma independente, e em um cenário mais geral, o problema do multiplicador, isto é, a questão da existência de funções multiplicadoras que convertem um sistema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem na forma normal em equações de Euler-Lagrange. Surprisingly it turned out that a solution to the multiplier problem need not exist if there is more than one equation. Hirsch gave certain self-adjointness conditions for the problem but they are not effective in classifying second order equations according to the existence and uniqueness of the corresponding multipliers.

This multiplier problem was completely solved by Douglas in 1941 [30] for two degrees of freedom, that is, a pair of second order equations on the plane. He produced an exhaustive classification of all such equations in normal form. In each case Douglas identified all (if any) Lagrangians producing Euler-Lagrange equations whose normal form is that of the equations in that particular case. His method avoided Hirsch's self-adjointness conditions and he produced his own necessary and sufficient algebraic-differential conditions. His approach was to generate a sequence of integrability conditions, solving these using Riquier-Janet theory. While this approach is singularly effective and forms the basis of current efforts, it has been particularly difficult to see how to cast it into a form suitable for higher dimensions.

Interest from the physics community in the non-uniqueness aspects of the inverse problem provided the next contribution to solving the Helmholtz conditions. Henneaux [48] and Henneaux and Shepley [49] developed an algorithm for solving the Helmholtz conditions for any given system of second order equations. In particular, they solved the problem for spherically symmetric problems in dimension 3. In this fundamental case Henneaux and Shepley showed that a two-parameter family of Lagrangians produce the same equations of motion. Startlingly these Lagrangians produced inequivalent quantum mechanical hydrogen atoms. Further mathematical aspects of this case were elaborated by Crampin and Prince [ 17 , 19 ].)

At around the same time Sarlet [118] showed that the part of the Helmholtz conditions which ensures the correct time evolution of the multiplier matrix could be replaced by a possibly infinite sequence of purely algebraic initial conditions. Along with the work of Henneaux this provided a prototype for geometrising Douglas's Helmholtz conditions.

Over the next 10 years or so Cantrijn, CariñTena, Crampin, Ibort, Marmo, Prince, Sarlet, Saunders and Thompson explored the tangent bundle geometry of second order ordinary differential equations in general and the Euler-Lagrange equations in particular. The inverse problem provided central inspiration for their examination of the integrability theorems of classical mechanics, multi-Lagrangian systems, geodesic first integrals and equations with symmetry. Using the geometrical approach to second order equations of Klein and Grifone [ 41 , 42 , 56 , 57 ], the Helmholtz conditions for non-autonomous second order equations on a manifold were reformulated in terms of the corresponding non-linear connection on its tangent bundle (see section 5.1 ). This occurred in 1985 after a sequence of papers [ 15 , 21 , 118 ]. The work of Sarlet [121] , and collectively Martínez, Carinena and Sarlet [95, 96, 97] on derivations along the tangent bundle projection (see section 5.2 ) opened the way to the geometrical reformulation of Douglas's solution of the two-degree of freedom case. This was achieved in 1993 by Crampin, Sarlet, Martínez, Byrnes and Prince and is reported in [23] . A number of dimension n classes were subsequently solved ([ 124 , 123 , 20 ]). The reader is directed to the review by Prince [110] for more details of this program up to the turn of the current century.

Separately Anderson and Thompson [7] applied exterior differential systems theory to some special cases of the geometrised problem with considerable success. In order to pursue the EDS approach Aldridge [1] used the Massa and Pagani connection of section 5.3 and recovered all the dimension n results to date along with an overall classification scheme for this general case. It appears that the inverse problem still holds many accessible secrets.


4.4.1: Autonomous Second Order Equations (Exercises) - Mathematics

In the introduction to this section we briefly discussed how a system of differential equations can arise from a population problem in which we keep track of the population of both the prey and the predator. It makes sense that the number of prey present will affect the number of the predator present. Likewise, the number of predator present will affect the number of prey present. Therefore the differential equation that governs the population of either the prey or the predator should in some way depend on the population of the other. This will lead to two differential equations that must be solved simultaneously in order to determine the population of the prey and the predator.

The whole point of this is to notice that systems of differential equations can arise quite easily from naturally occurring situations. Developing an effective predator-prey system of differential equations is not the subject of this chapter. However, systems can arise from (n^< ext>) order linear differential equations as well. Before we get into this however, let’s write down a system and get some terminology out of the way.

We are going to be looking at first order, linear systems of differential equations. These terms mean the same thing that they have meant up to this point. The largest derivative anywhere in the system will be a first derivative and all unknown functions and their derivatives will only occur to the first power and will not be multiplied by other unknown functions. Here is an example of a system of first order, linear differential equations.

We call this kind of system a coupled system since knowledge of (x_<2>) is required in order to find (x_<1>) and likewise knowledge of (x_<1>) is required to find (x_<2>). We will worry about how to go about solving these later. At this point we are only interested in becoming familiar with some of the basics of systems.

Now, as mentioned earlier, we can write an (n^< ext>) order linear differential equation as a system. Let’s see how that can be done.

We can write higher order differential equations as a system with a very simple change of variable. We’ll start by defining the following two new functions.

[eginleft( t ight) & = yleft( t ight) left( t ight) & = y'left( t ight)end]

Now notice that if we differentiate both sides of these we get,

Note the use of the differential equation in the second equation. We can also convert the initial conditions over to the new functions.

[eginleft( 3 ight) & = yleft( 3 ight) = 6 left( 3 ight) & = y'left( 3 ight) = - 1end]

Putting all of this together gives the following system of differential equations.

We will call the system in the above example an Initial Value Problem just as we did for differential equations with initial conditions.

Let’s take a look at another example.

Just as we did in the last example we’ll need to define some new functions. This time we’ll need 4 new functions.

[egin & = y & Rightarrow hspace<0.25in><_1> & = y' = \ & = y' & Rightarrow hspace<0.25in><_2> & = y'' = \ & = y'' & Rightarrow hspace<0.25in><_3> & = y''' = \ & = y''' & Rightarrow hspace<0.25in><_4>& = > = - 8y + sin left( t ight)y' - 3y'' + = - 8 + sin left( t ight) - 3 + fim]

The system along with the initial conditions is then,

[egin<_1> & = & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 1 <_2> & = & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 2 <_3> & = & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 3 <_4> & = - 8 + sin left( t ight) - 3 + & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 4end]

Now, when we finally get around to solving these we will see that we generally don’t solve systems in the form that we’ve given them in this section. Systems of differential equations can be converted to matrix form and this is the form that we usually use in solving systems.

First write the system so that each side is a vector.

Now the right side can be written as a matrix multiplication,

The system can then be written in the matrix form,

We’ll start with the system from Example 1.

Now, let’s do the system from Example 2.

In this case we need to be careful with the t 2 in the last equation. We’ll start by writing the system as a vector again and then break it up into two vectors, one vector that contains the unknown functions and the other that contains any known functions.

Now, the first vector can now be written as a matrix multiplication and we’ll leave the second vector alone.

Note that occasionally for “large” systems such as this we will go one step farther and write the system as,

[vec x' = Avec x + vec gleft( t ight)]

The last thing that we need to do in this section is get a bit of terminology out of the way. Starting with

[vec x' = Avec x + vec gleft( t ight)]

we say that the system is homogeneous if (vec gleft( t ight) = vec 0) and we say the system is nonhomogeneous if (vec gleft( t ight) e vec 0).


4.4.1: Autonomous Second Order Equations (Exercises) - Mathematics

Recall that we call a differential equation autonomous if it doesn't depend on the independent variable (the $"x"$) except in that the derivatives are taken with respect to $x$. For example, $displaystylefrac+3frac-5y=2$ and $displaystylefrac-2yfrac=0$ are both autonomous equations. There is a special trick that will let us reduce a second-order autonomous equation into a pair of first-order equations. This trick isn't important when we are dealing with linear equations, since a linear autonomous equation must be constant coefficient and can be more easily solved using the techniques of this section. But the trick for autonomous second-order equations also applies to non-linear equations, like the second example above, which can't be solved by the other techniques we've learned.

Consider the autonomous equation $ frac=fleft(y,frac ight). $ We will make the substitution $displaystyle v=frac$, just as in the development of numerical methods for second-order equations. This will give us $ frac=f(y,v). ag <1>$ Now by the chain rule $ frac= fracfrac= fracv. $ Substituting this into equation (1), we now have $ vfrac=f(y,v) $ and we have reduced our problem from a second-order equation in $y$ and $x$ to a first-order equation in $v$ and $y$. We now solve this using our techniques for first order equations to get a solution $v=g(y)$ for some function $g$. But recalling that $v=displaystylefrac$, this solution $v=g(y)$ becomes the first-order equation $ frac=g(y). $ We solve this equation, which is separable, and we have the solution of our original equation with $y$ as a function of $x$.


Assista o vídeo: Estudo qualitativo de equações autônomas (Dezembro 2021).