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3.2: Use uma estratégia de resolução de problemas


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Aborde os problemas de palavras com uma atitude positiva
  • Use uma estratégia de resolução de problemas para problemas com palavras
  • Resolva problemas numéricos

Observação

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Traduza “6 menos de duas vezes x”Em uma expressão algébrica.
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 1.3.43.
  2. Resolva: ( frac {2} {3} x = 24 ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exercício 2.2.10.
  3. Resolva: (3x + 8 = 14 ).
    Se você não percebeu este problema, revise o Exercício 2.3.1.

Aborde os problemas da palavra com uma atitude positiva

“Se você acha que pode ... ou acha que não pode ... você está certo.” - Henry Ford

O mundo está cheio de problemas com palavras! Minha renda me qualificará para alugar aquele apartamento? Quanto ponche eu preciso dar para a festa? Qual é o tamanho do diamante que posso comprar para minha namorada? Devo voar ou dirigir para minha reunião de família? Quanto dinheiro preciso para abastecer o carro? Quanta gorjeta devo deixar em um restaurante? Quantas meias devo levar para as férias? Qual é o tamanho do peru que preciso comprar para o jantar de Ação de Graças e a que horas devo colocá-lo no forno? Se minha irmã e eu comprarmos um presente para nossa mãe, quanto cada uma de nós pagará?

Agora que podemos resolver equações, estamos prontos para aplicar nossas novas habilidades aos problemas com palavras. Você conhece alguém que teve experiências negativas no passado com problemas com palavras? Você já teve pensamentos como o do aluno abaixo (Figura ( PageIndex {1} ))?

Quando sentimos que não temos controle e continuamos a repetir pensamentos negativos, criamos barreiras para o sucesso. Precisamos acalmar nossos medos e mudar nossos sentimentos negativos.

Comece com uma nova lousa e comece a ter pensamentos positivos. Se assumirmos o controle e acreditarmos que podemos ter sucesso, seremos capazes de dominar os problemas de palavras! Leia os pensamentos positivos na Figura ( PageIndex {2} ) e diga-os em voz alta.

Pense em algo, fora da escola, que você pode fazer agora, mas não poderia fazer 3 anos atrás. É dirigir um carro? Snowboarding? Cozinhando uma refeição gourmet? Falando um novo idioma? Suas experiências anteriores com problemas com palavras aconteceram quando você era mais jovem - agora você está mais velho e pronto para o sucesso!

Use uma estratégia de resolução de problemas para problemas com palavras

Revisamos a tradução de frases em inglês para expressões algébricas, usando algum vocabulário e símbolos matemáticos básicos. Também traduzimos frases em inglês para equações algébricas e resolvemos alguns problemas com palavras. Os problemas de palavras aplicavam matemática a situações cotidianas. Reafirmamos a situação em uma frase, atribuímos uma variável e, em seguida, escrevemos uma equação para resolver o problema. Este método funciona desde que a situação seja familiar e a matemática não seja muito complicada.

Agora, vamos expandir nossa estratégia para que possamos usá-la para resolver com sucesso qualquer problema de palavras. Listaremos a estratégia aqui e, em seguida, a usaremos para resolver alguns problemas. Resumimos a seguir uma estratégia eficaz para a resolução de problemas.

USE UMA ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DA PALAVRA.

  1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Resolver a equação usando boas técnicas de álgebra.
  6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
  7. Responder a pergunta com uma frase completa.

Exercício ( PageIndex {1} )

Pilar comprou uma bolsa à venda por ($ 18 ), que é a metade do preço original. Qual era o preço original da bolsa?

Responder

Etapa 1. Leia o problema. Leia o problema duas ou mais vezes, se necessário. Procure palavras desconhecidas em um dicionário ou na Internet.

Neste problema, está claro o que está sendo discutido? Cada palavra é familiar?

Seja p = o preço original da bolsa.

Etapa 2. Identificar o que você está procurando. Você já foi ao seu quarto pegar alguma coisa e depois esqueceu o que estava procurando? É difícil encontrar algo se você não tiver certeza do que é! Leia o problema novamente e procure palavras que digam o que você está procurando!

Nesse problema, as palavras “qual era o preço original da bolsa” nos dizem o que precisamos encontrar.

Etapa 3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade. Podemos usar qualquer letra para a variável, mas escolha uma que torne mais fácil lembrar o que ela representa.

Etapa 4. Traduzir em uma equação. Traduzir a frase em inglês para uma equação algébrica.

Releia o problema com atenção para ver como as informações fornecidas estão relacionadas. Freqüentemente, há uma frase que fornece essas informações, ou pode ajudar escrever uma frase com todas as informações importantes. Procure palavras-chave para ajudar a traduzir a frase em álgebra. Traduza a frase em uma equação.

Repita o problema em uma frase com todas as informações importantes. ( color {cyan} underbrace { strut color {black} mathbf {18}} quad underbrace { strut color {black} textbf {is}} quad underbrace { color {black } textbf {metade do preço original.}} )
Traduza para uma equação. (18 qquad = qquad qquad qquad frac {1} {2} cdot p )

Etapa 5. Resolva a equação usando boas técnicas algébricas. Mesmo que você saiba a solução imediatamente, usar boas técnicas algébricas aqui o preparará melhor para resolver problemas que não têm respostas óbvias.

Resolva a equação. (18 = frac {1} {2} p )
Multiplique ambos os lados por 2. ({ color {red} {2}} cdot 18 = { color {red} {2}} cdot frac {1} {2} p )
Simplificar. (36 = p )

Etapa 6. Verifique a resposta do problema para ter certeza de que faz sentido. Resolvemos a equação e descobrimos que (p = 36 ), que significa “o preço original” era ($ 36 ).

$ 36 faz sentido no problema? Sim, porque 18 é metade de 36 e a bolsa estava à venda pela metade do preço original.

Se este fosse um exercício de lição de casa, nosso trabalho poderia ser assim:

Pilar comprou uma bolsa à venda por ($ 18 ), que é a metade do preço original. Qual era o preço original da bolsa?

Etapa 7. Resposta a pergunta com uma frase completa. O problema perguntava: "Qual era o preço original da bolsa?"

A resposta à pergunta é: “O preço original da bolsa era de US $ 36”.
Seja (p = ) o preço original.
(18 ) é a metade do preço original.
(18 = frac {1} {2} p )
Multiplique ambos os lados por (2 ). ({ color {red} {2}} cdot 18 = { color {red} {2}} cdot frac {1} {2} p )
Simplificar. (36 = p )
Verificar. É ($ 36 ) um preço razoável para uma bolsa?
sim.
É (18 ) uma metade de (36 )?
(18 stackrel {?} {=} Frac {1} {2} cdot 36 )
(18 = 18 marca de seleção )
O preço original da bolsa era ($ 36 ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Joaquin comprou uma estante de livros à venda por ($ 120 ), que era dois terços do preço original. Qual foi o preço original da estante?

Responder

($180)

Exercício ( PageIndex {3} )

Dois quintos das canções na lista de reprodução de Mariel são country. Se houver (16 ) músicas country, qual é o número total de músicas na lista de reprodução?


Responder

(40)

Vamos tentar essa abordagem com outro exemplo.

Exercício ( PageIndex {4} )

Ginny e seus colegas formaram um grupo de estudo. O número de meninas no grupo de estudo era três a mais do que o dobro do número de meninos. Havia (11 ) meninas no grupo de estudo. Quantos meninos estavam no grupo de estudo?

Responder
Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que nós estamos procurando.Quantos meninos estavam no grupo de estudo?
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representar o número de meninos.Seja (n = ) o número de meninos.
Etapa 4. Traduzir. Repita o problema em uma frase com todas as informações importantes. ( color {cyan} underbrace { color {black} textbf {O número} color {black} textbf {de meninas} (11)} quad underbrace { strut text {} color {black} textbf {was}} quad underbrace { color {black} textbf {três a mais que} color {black} textbf {duas vezes o número de meninos}} )
Traduza para uma equação. ( qquad 11 qquad quad = qquad qquad quad 2b + 3 )
Etapa 5. Resolva a equação. ( quad 11 = 2b + 3 )
Subtraia 3 de cada lado.
Simplificar. ( quad 8 = 2b )
Divida cada lado por 2. ( quad dfrac {8} { color {red} {2}} = dfrac {2b} { color {red} {2}} )
Simplificar. ( quad 4 = b )
Etapa 6. Verifique. Primeiro, nossa resposta é razoável? Sim, ter (4 ) meninos em um grupo de estudo parece OK. O problema diz que o número de meninas era (3 ) mais do que o dobro do número de meninos. Se há quatro meninos, isso dá onze meninas? Duas vezes (4 ) meninos é (8 ). Três a mais que (8 ) é (11 ).
Etapa 7. Resposta a questão.Havia (4 ) meninos no grupo de estudo.

Exercício ( PageIndex {5} )

O Guilherme comprou livros didáticos e cadernos na livraria. O número de livros didáticos era (3 ) mais do que o dobro do número de cadernos. Ele comprou (7 ) livros didáticos. Quantos cadernos ele comprou?

Responder

(2)

Exercício ( PageIndex {6} )

Gerry trabalhou com quebra-cabeças de Sudoku e palavras cruzadas esta semana. O número de quebra-cabeças de Sudoku que ele completou é oito, mais que o dobro do número de palavras cruzadas. Ele completou (22 ) quebra-cabeças de Sudoku. Quantas palavras cruzadas ele fez?

Responder

(7)

Resolva Problemas de Número

Agora que temos uma estratégia de resolução de problemas, vamos usá-la em vários tipos diferentes de problemas com palavras. O primeiro tipo com o qual trabalharemos é "problemas de número". Os problemas com números fornecem algumas pistas sobre um ou mais números. Usamos essas pistas para escrever uma equação. Os problemas com números geralmente não surgem no dia a dia, mas fornecem uma boa introdução para praticar a estratégia de resolução de problemas descrita acima.

Exercício ( PageIndex {7} )

A diferença de um número e seis é (13 ). Encontre o número.

Responder
Etapa 1. Todas as palavras são familiares?
Etapa 2. Identificar o que nós estamos procurando.o número
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representar o número.Deixe (n = ) o número.
Etapa 4. Traduzir. Lembre-se de procurar palavras-chave como "diferença ... de ... e ..."
Reafirme o problema em uma frase. ( color {cyan} underbrace { color {black} textbf {A diferença do número e} mathbf {6}} quad underbrace { strut color {black} textbf {is}} quad underbrace { strut color {black} mathbf {13}} )
Traduza para uma equação.
Etapa 5. Resolva a equação.
Simplificar. ( quad n = 19 )
Etapa 6. Verifique.
A diferença de (19 ) e (6 ) é (13 ). Ele verifica!
Etapa 7. Resposta a questão.O número é (19 ).

Exercício ( PageIndex {8} )

A diferença de um número e oito é (17 ). Encontre o número.

Responder

(25)

Exercício ( PageIndex {9} )

A diferença de um número e onze é (- 7 ). Encontre o número.

Responder

(4)

Exercício ( PageIndex {11} )

A soma de quatro vezes um número e dois é (14 ). Encontre o número.

Responder

(3)

Exercício ( PageIndex {12} )

A soma de três vezes um número e sete é (25 ). Encontre o número.

Responder

(6)

Alguns problemas com palavras numéricas exigem que encontremos dois ou mais números. Pode ser tentador nomeá-los todos com variáveis ​​diferentes, mas até agora resolvemos apenas equações com uma variável. Para evitar o uso de mais de uma variável, definiremos os números em termos da mesma variável. Certifique-se de ler o problema com atenção para descobrir como todos os números se relacionam entre si.

Exercício ( PageIndex {14} )

Um número é seis a mais que outro. A soma dos números é vinte e quatro. Encontre os números.

Responder

9, 15

Exercício ( PageIndex {15} )

A soma de dois números é cinquenta e oito. Um número é quatro a mais que o outro. Encontre os números.

Responder

27, 31

Exercício ( PageIndex {17} )

A soma de dois números é vinte e três negativos. Um número é sete a menos que o outro. Encontre os números.

Responder

-15, -8

Exercício ( PageIndex {18} )

A soma dos dois números é (- 18 ). Um número é (40 ) a mais que o outro. Encontre os números.

Responder

-29, 11

Exercício ( PageIndex {20} )

Um número é oito mais do que o dobro do outro. A soma deles é quatro negativos. Encontre os números.

Responder

(-4,; 0)

Exercício ( PageIndex {21} )

Um número é três mais do que três vezes o outro. A soma deles é (- 5 ). Encontre os números.

Responder

(-3,; -2)

Alguns problemas de número envolvem inteiros consecutivos. Inteiros consecutivos são inteiros que se seguem imediatamente. Exemplos de inteiros consecutivos são:

[ begin {array} {l} {1,2,3,4} {-10, -9, -8, -7} {150,151,152,153} end {array} ]

Observe que cada número é um a mais do que o número que o precede. Portanto, se definirmos o primeiro inteiro como (n ), o próximo inteiro consecutivo será (n + 1 ). O que vem depois disso é um a mais do que (n + 1 ), então é (n + 1 + 1 ), que é (n + 2 ).
[ begin {array} {ll} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro}} {n + 1} & {2 ^ { text {nd}} text {inteiro consecutivo}} {n + 2} & {3 ^ { text {rd}} text {inteiro consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ]

Exercício ( PageIndex {23} )

A soma de dois inteiros consecutivos é 95. Encontre os números.

Responder

47, 48

Exercício ( PageIndex {24} )

A soma de dois inteiros consecutivos é −31. Encontre os números.

Responder

-16, -15

Exercício ( PageIndex {26} )

Encontre três inteiros consecutivos cuja soma seja −96.

Responder

-33, -32, -31

Exercício ( PageIndex {27} )

Encontre três inteiros consecutivos cuja soma seja −36.

Responder

-13, -12, -11

Agora que trabalhamos com inteiros consecutivos, expandiremos nosso trabalho para incluir inteiros pares consecutivos e inteiros ímpares consecutivos. Inteiros pares consecutivos são até inteiros que se seguem imediatamente. Exemplos de inteiros pares consecutivos são:

[ begin {array} {l} {18,20,22} {64,66,68} {-12, -10, -8} end {array} ]

Observe que cada número inteiro é (2 ) maior que o número que o precede. Se chamarmos o primeiro de (n ), o próximo será (n + 2 ). O próximo seria (n + 2 + 2 ) ou (n + 4 ).
[ begin {array} {cll} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro par}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} texto {inteiro par consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd}} text {inteiro par consecutivo} ldots texto {etc.}} end {array} ]

Inteiros ímpares consecutivos são inteiros ímpares que se seguem imediatamente. Considere os inteiros ímpares consecutivos (77 ), (79 ) e (81 ).

[ begin {array} {l} {77,79,81} {n, n + 2, n + 4} end {array} ]

[ begin {array} {cll} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro ímpar}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} texto {número inteiro ímpar consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { texto {rd}} texto {número inteiro ímpar consecutivo} ldots texto {etc.}} end {matriz} ]

Parece estranho adicionar 2 (um número par) para ir de um inteiro ímpar para o próximo? Você obtém um número ímpar ou um número par quando somamos 2 a 3? para 11? para 47?

Se o problema pede números pares ou ímpares consecutivos, você não precisa fazer nada diferente. O padrão ainda é o mesmo - para ir de um número inteiro ímpar ou par para o próximo, adicione 2.

Exercício ( PageIndex {28} )

Encontre três inteiros pares consecutivos cuja soma seja 84.

Responder

[ begin {array} {ll} { textbf {Etapa 1. Leia} text {o problema.}} & {} { textbf {Etapa 2. Identifique} text {o que estamos procurando. }} & { text {três inteiros pares consecutivos}} { textbf {Etapa 3. Nome} text {os inteiros.}} & { text {Let} n = 1 ^ {st} text {even inteiros.}} {} & {n + 2 = 2 ^ {nd} text {inteiro par consecutivo}} {} & {n + 4 = 3 ^ {rd} text {inteiro par consecutivo}} { textbf {Etapa 4. Traduzir.}} & {} { text {Repita como uma frase. }} & { text {A soma dos três inteiros pares é 84.}} { text {Traduza para uma equação.}} & {n + n + 2 + n + 4 = 84} { textbf {Etapa 5. Resolva} text {a equação. }} & {} { text {Combine os termos semelhantes.}} & {n + n + 2 + n + 4 = 84} { text {Subtraia 6 de cada lado.}} & {3n + 6 = 84} { text {Divida cada lado por 3.}} & {3n = 78} {} & {n = 26 space 1 ^ {st} text {integer}} { } & {n + 2 espaço 2 ^ {nd} texto {inteiro}} {} & {26 + 2} {} & {28} {} & {n + 4 espaço 3 ^ {rd} text {integer}} {} & {26 + 4} {} & {30} { textbf {Etapa 6. Verifique.}} & {} { 26 + 28 + 30 stackrel {?} {=} 84} & {} {84 = 84 checkmark} & {} { textbf {Etapa 7. Responda} text {a pergunta.}} & { text {Os três inteiros consecutivos são 26, 28 e 30.}} end {array} ]

Exercício ( PageIndex {29} )

Encontre três inteiros pares consecutivos cuja soma seja 102.

Responder

32, 34, 36

Exercício ( PageIndex {30} )

Encontre três inteiros pares consecutivos cuja soma seja −24.

Responder

−10,−8,−6

Exercício ( PageIndex {31} )

Um casal ganha $ 110.000 por ano. A esposa ganha $ 16.000 menos do que o dobro do que seu marido ganha. O que o marido ganha?

Responder
Etapa 1. Identificar o que nós estamos procurando.Quanto ganha o marido?
Etapa 3. Nome.
Escolha uma variável para representar o valor
o marido ganha.
Seja (h = ) a quantia que o marido ganha.
A esposa ganha ($ 16.000 ) menos que o dobro disso. (2h − 16.000 ) a quantia que a esposa ganha.
Passo 4. Juntos, o marido e a esposa ganham ($ 110.000 ).
Repita o problema em uma frase com
todas as informações importantes.
Traduza para uma equação.
Etapa 5. Resolva a equação. (h + 2h - 16.000 = 110.000 )
Combine termos semelhantes. (3h - 16.000 = 110.000 )
Adicione (16.000 ) a ambos os lados e simplifique. (3h = 126.000 )
Divida cada lado por (3 ). (h = 42.000 )
($ 42.000 ) valor que o marido ganha
(2h - 16.000 ) quantia que a esposa ganha
(2(42,000) − 16,000)
(84,000 − 16,000)
(68,000)
Etapa 6. Verifique.
Se a esposa ganha ($ 68.000 ) e o marido ($ 42.000 ) é o total ($ 110.000 ) (? Sim!
Etapa 7. Resposta a questão.O marido ganha ($ 42.000 ) por ano.

Exercício ( PageIndex {32} )

De acordo com a National Automobile Dealers Association, o custo médio de um carro em 2014 foi de $ 28.500. Isso era $ 1.500 menos do que 6 vezes o custo em 1975. Qual era o custo médio de um carro em 1975?

Responder

$5000

Exercício ( PageIndex {33} )

Os dados do Censo dos EUA mostram que o preço médio de uma casa nova nos Estados Unidos em novembro de 2014 era de $ 280.900. Isso era $ 10.700 mais do que 14 vezes o preço em novembro de 1964. Qual era o preço médio de uma casa nova em novembro de 1964?

Responder

$19300

Conceitos chave

  • Estratégia de resolução de problemas
    1. Ler o problema. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação de álgebra.
    2. Resolver a equação usando boas técnicas de álgebra.
    3. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
    4. Responder a pergunta com uma frase completa.
  • Inteiros consecutivos
    Inteiros consecutivos são inteiros que se seguem imediatamente.

    [ begin {array} {cc} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro}} {n + 1} & {2 ^ { text {nd}} text {inteiro consecutivo}} {n + 2} & {3 ^ { text {rd}} text {inteiro consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ]


    Inteiros pares consecutivos são inteiros pares que se seguem imediatamente.

    [ begin {array} {cc} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {inteiro par consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd}} text {inteiro par consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ]


    Inteiros ímpares consecutivos são inteiros ímpares que se sucedem imediatamente.

    [ begin {array} {cc} {n} & {1 ^ { text {st}} text {inteiro}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {inteiro ímpar consecutivo}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd}} text {inteiro ímpar consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ]


O primeiro da lista que temos é uma estratégia que foi introduzida por Bransford e Stein em 1984. É chamada de abordagem "IDEAL" de solução de problemas. Vamos decompô-lo.

eu & # 8211 Identifique o problema

E & # 8211 Explorar estratégias possíveis

Vamos aprender sobre cada letra na estratégia de solução de problemas IDEAL.

Primeiro é eu dentificar o problema. Em vez de ir com o jogo da culpa, tente descobrir qual é exatamente o problema? O verdadeiro problema pode não ser o que você está enfrentando agora. Por exemplo: a equipe de vendas não conseguiu cumprir as metas este ano. Em vez de culpar inteiramente as vendas, tente descobrir o que os levou ao fracasso neste mês. Pode ser que não houvesse suporte suficiente da equipe de desenvolvimento para melhorar o produto ou a equipe de suporte não estava ajudando. Sempre há uma causa que leva a um problema, essa é a primeira etapa.

O segundo é D definindo a causa. Depois de descobrir todas as razões possíveis, defina o problema em uma linha. Qual é exatamente o problema? Não é a situação que você está enfrentando, porque isso pode ser um dos resultados da causa principal. Defina a causa em uma linha simples. Definir a causa pode salvá-lo de muitos problemas futuros. Por exemplo, se uma empresa não conseguiu realizar uma tarefa no prazo, e a causa é “Fraca comunicação entre as equipes”, há mais de um problema que pode ser resolvido resolvendo a causa.

Para resolver a “comunicação fraca entre equipes”, você pode implementar várias ferramentas de comunicação. Ao resolver a causa, a produtividade do trabalho também pode ser melhorada. O tempo gasto para as tarefas será reduzido e o tempo médio para concluir um projeto será reduzido. Portanto, resolver um caso resolverá vários problemas.

O terceiro é E xplorando estratégias possíveis. Agora que você sabe a causa que formou o problema, terá de fazer um brainstorm novamente. Pense em todas as soluções e estratégias possíveis que podem ser facilmente implementadas em seu local de trabalho. Você definitivamente deve aceitar sugestões de seus colegas de equipe, pois eles sofreram o problema.

A quarta etapa é UMA ct. Escolha na lista de soluções possíveis e comece a agir de acordo. Aqui está a diversão em não perder seu tempo e matar a produtividade. Ao tentar uma nova solução rapidamente, você verá as mudanças muito rapidamente também. Agora, se você acha que uma solução específica não está resolvendo o problema, pode passar rapidamente para a próxima solução. Dessa forma, você encontrará o fluxo de trabalho necessário em um curto espaço de tempo.

O último é para eu ook de volta e eu ganhar porque sempre há algum aprendizado. Há uma ótima citação de Robert H. Schuller: “Os problemas não são sinais de parada, são diretrizes”. Parar o problema não estava em suas mãos em algum momento, mas você pode parar os próximos eventos bizarros aprendendo uma lição.


Conheça o problema fazendo perguntas e divulgando todas as informações pertinentes.

Faça perguntas importantes à sua equipe que os farão se abrir e compartilhar:

  • Quando foi a última vez que este sistema funcionou corretamente?
  • Quando surgiu esse problema?
  • O que sabemos / não sabemos sobre este problema?

Conclua este passo por criando uma definição de uma frase de a problema.

Revise / edite esta frase (como um grupo) até que ela represente clara e sucintamente seu desafio / objetivo.


Encontrando padrões em problemas matemáticos:

Então, quando as crianças devem usar resolução de problemas encontrando um padrão? Bem, quando o problema fornece um conjunto de dados ou um padrão que continua e pode ser organizado em uma tabela, é bom considerar a procura do padrão e determinar a & # 8220regra & # 8221 do padrão.

Como mencionei quando discuti a solução de problemas fazendo uma lista, encontrando um padrão pode ser extremamente útil e economizar muito tempo ao trabalhar em um problema de palavras. Às vezes, no entanto, um aluno pode não reconhecer o padrão imediatamente ou pode ficar atolado em todos os detalhes da questão.

Configurar uma mesa e preencher as informações fornecidas na pergunta é uma ótima maneira de organizar as coisas e fornecer um visual para que a “regra” do padrão possa ser determinada. A “regra” pode então ser usada para encontrar a resposta à pergunta. Isso remove o trabalho tedioso de completar uma tabela, o que é especialmente bom se muitos cálculos estiverem envolvidos.

Mas uma mesa também é ótima para crianças que lutam com matemática, porque lhes dá uma maneira de chegar à solução, mesmo que tenham dificuldade em encontrar o padrão ou não tenham certeza de que estão usando a "regra" corretamente.

Porque embora o uso de um padrão conhecido possa economizar seu tempo e eliminar a necessidade de preencher toda a tabela, não é necessário. Um aluno inseguro pode simplesmente continuar preenchendo sua tabela até chegar à solução que está procurando.

Ajudar os alunos a aprender a montar uma mesa também é útil porque eles podem usá-la para organizar informações (da mesma forma que fazer uma lista), mesmo que não haja um padrão a ser encontrado, porque isso pode ser feito de forma sistemática, garantindo que nada fica de fora.

Se seus alunos estão apenas aprendendo a ler e criar tabelas, sugiro que eles circule a resposta deles na tabela para mostrar que eles entenderam a pergunta e sabiam onde encontrar a resposta na tabela.

Se você tiver alunos mais velhos, incentive-os a encontrar um padrão na tabela e explicá-lo em palavras e, em seguida, também com símbolos matemáticos e / ou uma equação. Isso os ajudará a formar conexões e aumentar o senso de número. Também os ajudará a ver como usar sua “regra” ou equação para resolver a questão dada, bem como fazer previsões sobre os dados.

Também é importante que os alunos considerem se seu padrão continuará ou não de forma previsível. Em alguns casos, o padrão pode parecer unilateral nas primeiras entradas e, em seguida, mudar, portanto, é importante considerar isso à medida que os problemas se tornam mais desafiadores.

Existem muitos exemplos de problemas em que criar uma mesa e encontrar um padrão é uma estratégia útil, mas aqui está apenas um exemplo para você:

Ben decide se preparar para uma maratona correndo dez minutos por dia, seis dias por semana. A cada semana, ele aumenta seu tempo de corrida em dois minutos por dia. Quantos minutos ele executará na semana 8?

Incluído na tabela está o número da semana (estamos considerando as semanas de 1 a 8), bem como o número de minutos por dia e o total de minutos da semana. A primeira etapa é preencher as primeiras semanas calculando o tempo total.

Depois de encontrar as semanas 1-3, você pode veja um padrão e ser capaz de calcular o total de minutos para a semana 8. Por exemplo, neste caso, o número total de minutos aumenta em 12 a cada semana, o que significa que na semana 8 ele correrá 144 minutos.

Se não, entretanto, simplesmente continue com a tabela até chegar à semana 8, e então você terá sua resposta.

Acho que é especialmente importante deixar claro para os alunos que é perfeitamente aceitável preencher a tabela inteira (ou continuar uma determinada tabela) se eles não virem ou não souberem como usar o padrão para resolver o problema.

Eu estava trabalhando com uma aluna uma vez e ela recebeu uma mesa, mas foi feita uma pergunta sobre informações não incluído naquela tabela. Ela foi capaz de me dizer o padrão que viu, mas não foi capaz de usar a "regra" corretamente para encontrar a resposta. Insisti em que ela simplesmente estendesse a mesa até encontrar o que precisava. Então Mostrei a ela como usar a “regra” do padrão para obter a mesma resposta.

Eu espero que você ache isto útil! Procurar e encontrar padrões é uma parte essencial da educação matemática! Se você estiver procurando por mais ideias para explorar padrões, verifique esta enorme postagem de “Idéias para ensinar padrões para crianças em idade pré-escolar”.

E, claro, não perca as outras postagens desta série de solução de problemas matemáticos:

Nunca fique sem idéias divertidas de matemática

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3.2. O que é análise de algoritmo? ¶

É muito comum para estudantes iniciantes em ciência da computação comparar seus programas entre si. Você também deve ter notado que é comum que os programas de computador sejam muito semelhantes, especialmente os mais simples. Muitas vezes surge uma questão interessante. Quando dois programas resolvem o mesmo problema, mas parecem diferentes, um programa é melhor do que o outro?

Para responder a essa pergunta, precisamos lembrar que há uma diferença importante entre um programa e o algoritmo subjacente que o programa está representando. Conforme declaramos no Capítulo 1, um algoritmo é uma lista genérica e passo a passo de instruções para resolver um problema. É um método para resolver qualquer instância do problema de forma que, dada uma determinada entrada, o algoritmo produza o resultado desejado. Um programa, por outro lado, é um algoritmo que foi codificado em alguma linguagem de programação. Pode haver muitos programas para o mesmo algoritmo, dependendo do programador e da linguagem de programação que está sendo usada.

Para explorar mais essa diferença, considere a função mostrada em ActiveCode 1. Esta função resolve um problema familiar, calculando a soma do primeiro n inteiros. O algoritmo usa a ideia de uma variável acumuladora que é inicializada em 0. A solução então itera através do n inteiros, adicionando cada um ao acumulador.

Agora olhe para a função em ActiveCode 2. À primeira vista pode parecer estranho, mas após uma inspeção mais detalhada, você pode ver que essa função está essencialmente fazendo a mesma coisa que a anterior. O motivo pelo qual isso não é óbvio é a má codificação. Não usamos bons nomes de identificador para ajudar na legibilidade e usamos uma instrução de atribuição extra durante a etapa de acumulação que não era realmente necessária.

A questão que levantamos anteriormente perguntou se uma função é melhor do que outra. A resposta depende de seus critérios. A função sumOfN é certamente melhor do que a função foo se você estiver preocupado com a legibilidade. Na verdade, você provavelmente já viu muitos exemplos disso em seu curso introdutório de programação, uma vez que um dos objetivos é ajudá-lo a escrever programas fáceis de ler e entender. Neste curso, no entanto, também estamos interessados ​​em caracterizar o algoritmo em si. (Certamente esperamos que você continue a se esforçar para escrever um código legível e compreensível.)

A análise de algoritmo se preocupa com a comparação de algoritmos com base na quantidade de recursos de computação que cada algoritmo usa. Queremos ser capazes de considerar dois algoritmos e dizer que um é melhor do que o outro porque é mais eficiente no uso desses recursos ou talvez porque simplesmente usa menos. Sob essa perspectiva, as duas funções acima parecem muito semelhantes. Ambos usam essencialmente o mesmo algoritmo para resolver o problema de soma.

Neste ponto, é importante pensar mais sobre o que realmente queremos dizer com recursos de computação. Existem duas maneiras diferentes de ver isso. Uma maneira é considerar a quantidade de espaço ou memória que um algoritmo requer para resolver o problema. A quantidade de espaço necessária para a solução de um problema é normalmente ditada pela própria instância do problema. De vez em quando, no entanto, existem algoritmos que têm requisitos de espaço muito específicos e, nesses casos, seremos muito cuidadosos ao explicar as variações.

Como alternativa aos requisitos de espaço, podemos analisar e comparar algoritmos com base na quantidade de tempo que requerem para serem executados. Essa medida às vezes é chamada de “tempo de execução” ou “tempo de execução” do algoritmo. Uma maneira de medir o tempo de execução da função sumOfN é fazer uma análise de benchmark. Isso significa que rastrearemos o tempo real necessário para o programa calcular seu resultado. Em Python, podemos avaliar uma função observando a hora de início e a hora de término em relação ao sistema que estamos usando. No módulo de tempo, há uma função chamada tempo que retornará o tempo do relógio do sistema atual em segundos desde algum ponto de partida arbitrário. Chamando essa função duas vezes, no início e no final, e depois calculando a diferença, podemos obter um número exato de segundos (frações na maioria dos casos) para execução.

A Listagem 1 mostra a função sumOfN original com as chamadas de tempo incorporadas antes e depois da soma. A função retorna uma tupla que consiste no resultado e na quantidade de tempo (em segundos) necessária para o cálculo. Se realizarmos 5 invocações da função, cada uma calculando a soma dos primeiros 10.000 inteiros, obtemos o seguinte:

Descobrimos que o tempo é bastante consistente e leva em média cerca de 0,0019 segundos para executar esse código. E se executarmos a função adicionando os primeiros 100.000 inteiros?

Novamente, o tempo necessário para cada corrida, embora mais longo, é muito consistente, em média cerca de 10 vezes mais segundos. Para n igual a 1.000.000, obtemos:

Nesse caso, a média volta a ser cerca de 10 vezes a anterior.

Agora considere o ActiveCode 3, que mostra um meio diferente de resolver o problema de soma. Esta função, sumOfN3, tira proveito de uma equação fechada ( sum_^ i = frac <(n)(n+1)> <2> ) para calcular a soma dos primeiros n inteiros sem iteração.

Se fizermos a mesma medição de benchmark para sumOfN3, usando cinco valores diferentes para n (10.000, 100.000, 1.000.000, 10.000.000 e 100.000.000), obteremos os seguintes resultados:

Há duas coisas importantes a serem observadas sobre essa saída. Primeiro, os tempos registrados acima são mais curtos do que qualquer um dos exemplos anteriores. Em segundo lugar, eles são muito consistentes, independentemente do valor de n. Parece que sumOfN3 dificilmente é afetado pelo número de inteiros sendo adicionados.

Mas o que esse benchmark realmente nos diz? Intuitivamente, podemos ver que as soluções iterativas parecem estar fazendo mais trabalho, uma vez que algumas etapas do programa estão sendo repetidas. Este é provavelmente o motivo pelo qual está demorando mais. Além disso, o tempo necessário para a solução iterativa parece aumentar à medida que aumentamos o valor de n. No entanto, existe um problema. Se executássemos a mesma função em um computador diferente ou usássemos uma linguagem de programação diferente, provavelmente obteríamos resultados diferentes. It could take even longer to perform sumOfN3 if the computer were older.

We need a better way to characterize these algorithms with respect to execution time. The benchmark technique computes the actual time to execute. It does not really provide us with a useful measurement, because it is dependent on a particular machine, program, time of day, compiler, and programming language. Instead, we would like to have a characterization that is independent of the program or computer being used. This measure would then be useful for judging the algorithm alone and could be used to compare algorithms across implementations.


3.2. What Is Algorithm Analysis?¶

It is very common for beginning computer science students to compare their programs with one another. You may also have noticed that it is common for computer programs to look very similar, especially the simple ones. An interesting question often arises. When two programs solve the same problem but look different, is one program better than the other?

In order to answer this question, we need to remember that there is an important difference between a program and the underlying algorithm that the program is representing. As we stated in Chapter 1, an algorithm is a generic, step-by-step list of instructions for solving a problem. It is a method for solving any instance of the problem such that given a particular input, the algorithm produces the desired result. A program, on the other hand, is an algorithm that has been encoded into some programming language. There may be many programs for the same algorithm, depending on the programmer and the programming language being used.

To explore this difference further, consider the function shown in ActiveCode 1 . This function solves a familiar problem, computing the sum of the first n integers. The algorithm uses the idea of an accumulator variable that is initialized to 0. The solution then iterates through the n integers, adding each to the accumulator.

Now look at the function in ActiveCode 2 . At first glance it may look strange, but upon further inspection you can see that this function is essentially doing the same thing as the previous one. The reason this is not obvious is poor coding. We did not use good identifier names to assist with readability, and we used an extra assignment statement during the accumulation step that was not really necessary.

The question we raised earlier asked whether one function is better than another. The answer depends on your criteria. The function sumOfN is certainly better than the function foo if you are concerned with readability. In fact, you have probably seen many examples of this in your introductory programming course since one of the goals there is to help you write programs that are easy to read and easy to understand. In this course, however, we are also interested in characterizing the algorithm itself. (We certainly hope that you will continue to strive to write readable, understandable code.)

Algorithm analysis is concerned with comparing algorithms based upon the amount of computing resources that each algorithm uses. We want to be able to consider two algorithms and say that one is better than the other because it is more efficient in its use of those resources or perhaps because it simply uses fewer. From this perspective, the two functions above seem very similar. They both use essentially the same algorithm to solve the summation problem.

At this point, it is important to think more about what we really mean by computing resources. There are two different ways to look at this. One way is to consider the amount of space or memory an algorithm requires to solve the problem. The amount of space required by a problem solution is typically dictated by the problem instance itself. Every so often, however, there are algorithms that have very specific space requirements, and in those cases we will be very careful to explain the variations.

As an alternative to space requirements, we can analyze and compare algorithms based on the amount of time they require to execute. This measure is sometimes referred to as the “execution time” or “running time” of the algorithm. One way we can measure the execution time for the function sumOfN is to do a benchmark analysis. This means that we will track the actual time required for the program to compute its result. In Python, we can benchmark a function by noting the starting time and ending time with respect to the system we are using. In the time module there is a function called time that will return the current system clock time in seconds since some arbitrary starting point. By calling this function twice, at the beginning and at the end, and then computing the difference, we can get an exact number of seconds (fractions in most cases) for execution.

Listing 1 shows the original sumOfN function with the timing calls embedded before and after the summation. The function returns a tuple consisting of the result and the amount of time (in seconds) required for the calculation. If we perform 5 invocations of the function, each computing the sum of the first 10,000 integers, we get the following:

We discover that the time is fairly consistent and it takes on average about 0.0019 seconds to execute that code. What if we run the function adding the first 100,000 integers?

Again, the time required for each run, although longer, is very consistent, averaging about 10 times more seconds. For n equal to 1,000,000 we get:

In this case, the average again turns out to be about 10 times the previous.

Now consider ActiveCode 3 , which shows a different means of solving the summation problem. This function, sumOfN3 , takes advantage of a closed equation (sum_^ i = frac <(n)(n+1)><2>) to compute the sum of the first n integers without iterating.

If we do the same benchmark measurement for sumOfN3 , using five different values for n (10,000, 100,000, 1,000,000, 10,000,000, and 100,000,000), we get the following results:

There are two important things to notice about this output. First, the times recorded above are shorter than any of the previous examples. Second, they are very consistent no matter what the value of n . It appears that sumOfN3 is hardly impacted by the number of integers being added.

But what does this benchmark really tell us? Intuitively, we can see that the iterative solutions seem to be doing more work since some program steps are being repeated. This is likely the reason it is taking longer. Also, the time required for the iterative solution seems to increase as we increase the value of n . However, there is a problem. If we ran the same function on a different computer or used a different programming language, we would likely get different results. It could take even longer to perform sumOfN3 if the computer were older.

We need a better way to characterize these algorithms with respect to execution time. The benchmark technique computes the actual time to execute. It does not really provide us with a useful measurement, because it is dependent on a particular machine, program, time of day, compiler, and programming language. Instead, we would like to have a characterization that is independent of the program or computer being used. This measure would then be useful for judging the algorithm alone and could be used to compare algorithms across implementations.


Stage 5. Postpurchase Use and Evaluation

At this point in the process you decide whether the backpack you purchased is everything it was cracked up to be. Hopefully it is. If it’s not, you’re likely to suffer what’s called postpurchase dissonance . You might call it buyer’s remorse. Typically, dissonance occurs when a product or service does not meet your expectations. Consumers are more likely to experience dissonance with products that are relatively expensive and that are purchased infrequently.

You want to feel good about your purchase, but you don’t. You begin to wonder whether you should have waited to get a better price, purchased something else, or gathered more information first. Consumers commonly feel this way, which is a problem for sellers. If you don’t feel good about what you’ve purchased from them, you might return the item and never purchase anything from them again. Or, worse yet, you might tell everyone you know how bad the product was.

Companies do various things to try to prevent buyer’s remorse. For smaller items, they might offer a money back guarantee or they might encourage their salespeople to tell you what a great purchase you made. How many times have you heard a salesperson say, “That outfit looks so great on you!” For larger items, companies might offer a warranty, along with instruction booklets, and a toll-free troubleshooting line to call or they might have a salesperson call you to see if you need help with product. Automobile companies may offer loaner cars when you bring your car in for service.

Companies may also try to set expectations in order to satisfy customers. Service companies such as restaurants do this frequently. Think about when the hostess tells you that your table will be ready in 30 minutes. If they seat you in 15 minutes, you are much happier than if they told you that your table would be ready in 15 minutes, but it took 30 minutes to seat you. Similarly, if a store tells you that your pants will be altered in a week and they are ready in three days, you’ll be much more satisfied than if they said your pants would be ready in three days, yet it took a week before they were ready.


Determine the Causes

Fishbone Diagram

Once you have defined the problem, you are ready to dig deeper and start to determine what is causing it.  You can use a fishbone diagram to help you perform a cause and effect analysis.

If you consider the problem as a gap between where you are now and where you want to be, the causes of the problem are the obstacles that are preventing you from closing that gap immediately.

This level of analysis is important to make sure your solutions address the actual causes of the problem instead of the symptoms of the problem. If your solution fixes a symptom instead of an actual cause, the problem is likely to reoccur since it was never truly solved.


Use a Problem Solving Strategy

    Translate “six less than twice x” into an algebraic expression.

If you missed this problem, review [link].

If you missed this problem, review [link].

If you missed this problem, review [link].

Have you ever had any negative experiences in the past with word problems? When we feel we have no control, and continue repeating negative thoughts, we set up barriers to success. Realize that your negative experiences with word problems are in your past. To move forward you need to calm your fears and change your negative feelings.

Start with a fresh slate and begin to think positive thoughts. Repeating some of the following statements may be helpful to turn your thoughts positive. Thinking positive thoughts is a first step towards success.

I think I can! I think I can!

While word problems were hard in the past, I think I can try them now.

I am better prepared now—I think I will begin to understand word problems.

I am able to solve equations because I practiced many problems and I got help when I needed it—I can try that* * *

It may take time, but I can begin to solve word problems.

You are now well prepared and you are ready to succeed. If you take control and believe you can be successful, you will be able to master word problems.

Use a Problem Solving Strategy for Word Problems

Now that we can solve equations, we are ready to apply our new skills to word problems. We will develop a strategy we can use to solve any word problem successfully.

Normal yearly snowfall at the local ski resort is 12 inches more than twice the amount it received last season. The normal yearly snowfall is 62 inches. What was the snowfall last season at the ski resort?

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. What was the snowfall last season?
Etapa 3. Nome what we are looking for and choose a variable to represent it. Let s = the snowfall last season.
Step 4. Translate. Restate the problem in one sentence with all the important information.
Translate into an equation.
Etapa 5. Resolva a equação.
Subtract 12 from each side.
Simplificar.
Divide each side by two.
Simplificar.
Step 6. Check: First, is our answer reasonable? Yes, having 25 inches of snow seems OK. The problem says the normal snowfall is twelve inches more than twice the number of last season. Twice 25 is 50 and 12 more than that is 62.
Etapa 7. Resposta a questão. The snowfall last season was 25 inches.

Guillermo bought textbooks and notebooks at the bookstore. The number of textbooks was three more than twice the number of notebooks. He bought seven textbooks. How many notebooks did he buy?

Gerry worked Sudoku puzzles and crossword puzzles this week. The number of Sudoku puzzles he completed is eight more than twice the number of crossword puzzles. He completed 22 Sudoku puzzles. How many crossword puzzles did he do?

He did seven crosswords puzzles.

We summarize an effective strategy for problem solving.

  1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identificar o que você está procurando.
  3. Nome o que você está procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Then, translate the English sentence into an algebra equation.
  5. Resolver the equation using proper algebra techniques.
  6. Verificar the answer in the problem to make sure it makes sense.
  7. Responder a pergunta com uma frase completa.

Solve Number Word Problems

We will now apply the problem solving strategy to “number word problems.” Number word problems give some clues about one or more numbers and we use these clues to write an equation. Number word problems provide good practice for using the Problem Solving Strategy.

The sum of seven times a number and eight is thirty-six. Find the number.

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. the number
Etapa 3. Nome what you are looking for and choose a variable to represent it. Deixar n = the number.
Step 4. Translate: Restate the problem as one sentence. Translate into an equation.
Etapa 5. Resolva a equação. Subtract eight from each side and simplify. Divide each side by seven and simplify.
Step 6. Check. Is the sum of seven times four plus eight equal to 36? 7 · 4 + 8 = ? 36 28 + 8 = ? 36 36 = 36 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. The number is 4.

Did you notice that we left out some of the steps as we solved this equation? If you’re not yet ready to leave out these steps, write down as many as you need.

The sum of four times a number and two is fourteen. Find the number.

The sum of three times a number and seven is twenty-five. Find the number.

Some number word problems ask us to find two or more numbers. It may be tempting to name them all with different variables, but so far, we have only solved equations with one variable. In order to avoid using more than one variable, we will define the numbers in terms of the same variable. Be sure to read the problem carefully to discover how all the numbers relate to each other.

The sum of two numbers is negative fifteen. One number is nine less than the other. Find the numbers.

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. two numbers
Etapa 3. Nome what you are looking for by choosing a variable to represent the first number. “One number is nine less than the other.” Let n = 1 st number. n − 9 = 2 nd number
Step 4. Translate. Write as one sentence. Translate into an equation. The sum of two numbers is negative fifteen.
Etapa 5. Resolva a equação. Combine termos semelhantes. Add nine to each side and simplify. Simplificar.
Step 6. Check. Is −12 nine less than −3 ? −3 − 9 = ? − 12 −12 = −12 ✓ Is their sum −15 ? −3 + ( −12 ) = ? − 15 −15 = −15 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. The numbers are −3 and −12 .

The sum of two numbers is negative twenty-three. One number is seven less than the other. Find the numbers.

The sum of two numbers is negative eighteen. One number is forty more than the other. Find the numbers.

Some number problems involve consecutive integers. Consecutive integers are integers that immediately follow each other. Examples of consecutive integers are:

Notice that each number is one more than the number preceding it. Therefore, if we define the first integer as n, the next consecutive integer is n + 1 .

The one after that is one more than n + 1 ,

We will use this notation to represent consecutive integers in the next example.

Find three consecutive integers whose sum is −54 .

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. three consecutive integers
Etapa 3. Nome each of the three numbers Let n = 1 st integer. n + 1 = 2 nd consecutive integer n + 2 = 3 rd consecutive integer
Step 4. Translate. Restate as one sentence. Translate into an equation. The sum of the three integers is −54 .
Etapa 5. Resolva a equação. Combine termos semelhantes. Subtract three from each side. Divide each side by three.
Step 6. Check. −19 + ( −18 ) + ( −17 ) = −54 −54 = −54 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. The three consecutive integers are −17 , − 18, and −19 .

Find three consecutive integers whose sum is −96 .

Find three consecutive integers whose sum is −36 .

Now that we have worked with consecutive integers, we will expand our work to include consecutive even integers e consecutive odd integers. Consecutive even integers are even integers that immediately follow one another. Examples of consecutive even integers are:

Notice each integer is two more than the number preceding it. If we call the first one n, then the next one is n + 2 .

The one after that would be n + 2 + 2

Consecutive odd integers are odd integers that immediately follow one another. Consider the consecutive odd integers 63, 65, and 67.

Does it seem strange to have to add two (an even number) to get the next odd number? Do we get an odd number or an even number when we add 2 to 3? to 11? to 47?

Whether the problem asks for consecutive even numbers or odd numbers, you do not have to do anything different. The pattern is still the same—to get to the next odd or the next even integer, add two.

Find three consecutive even integers whose sum is 120

Find three consecutive even integers whose sum is 102.

Find three consecutive even integers whose sum is −24 .

When a number problem is in a real life context, we still use the same strategies that we used for the previous examples.

A married couple together earns $110,000 a year. The wife earns $16,000 less than twice what her husband earns. What does the husband earn?

According to the National Automobile Dealers Association, the average cost of a car in 2014 was $28,400. This was $1,600 less than six times the cost in 1975. What was the average cost of a car in 1975?

The average cost was $5,000.

US Census data shows that the median price of new home in the U.S. in November 2014 was $280,900. This was $10,700 more than 14 times the price in November 1964. What was the median price of a new home in November 1964?

The median price was $19,300.

Solve Percent Applications

There are several methods to solve percent equations. In algebra, it is easiest if we just translate English sentences into algebraic equations and then solve the equations. Be sure to change the given percent to a decimal before you use it in the equation.

ⓒ 168 is what percent of 112?

| | | | | <: valign=”top”>| Translate into algebra. Deixar n = the number. | | | | <: valign=”top”>| Multiplicar. | | | | <: valign=”top”>| | | | 37.8 is 45% of 84. | <: valign=”top”>

| | | | | <: valign=”top”>| Translate. Deixar n = the amount. | | | | <: valign=”top”>| Multiplicar. | | | | <: valign=”top”>| Divide both sides by 0.085 and simplify. | | | | <: valign=”top”>| | | | 8.5% of $56 is $4.76 | <: valign=”top”>

We are asked to find percent, so we must have our result in percent form.
Translate into algebra. Deixar p = the percent.
Multiplicar.
Divide both sides by 112 and simplify.
Convert to percent.
168 is 150% of 112.

Translate and solve: ⓐ What number is 45% of 80? ⓑ 7.5% of what amount is $1.95? ⓒ 110 is what percent of 88?


Assista o vídeo: Estratégia de resolução de Situações-problema (Dezembro 2021).