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10.1: Adicionar e subtrair polinômios


Habilidades para desenvolver

  • Identifique polinômios, monômios, binômios e trinômios
  • Determine o grau de polinômios
  • Adicionar e subtrair monômios
  • Adicionar e subtrair polinômios
  • Avalie um polinômio para um determinado valor

esteja preparado!

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Simplifique: 8x + 3x. Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 2.3.10.
  2. Subtraia: (5n + 8) - (2n - 1). Se você não percebeu este problema, revise o Exemplo 7.4.13.
  3. Avalie: 4 anos2 quando y = 5 Se você não percebeu este problema, revise o Exemplo 2.3.6.

Identificar polinômios, monômios, binômios e trinômios

Em Avaliar, Simplificar e Traduzir Expressões, você aprendeu que um termo é uma constante ou o produto de uma constante e uma ou mais variáveis. Quando está na forma de machadom, onde a é uma constante em é um número inteiro, é chamado de monômio. Um monômio, ou uma soma e / ou diferença de monômios, é chamado de polinômio.

Definição: Polinômios

polinomial - Um monômio, ou dois ou mais monômios, combinados por adição ou subtração

monômio - Um polinômio com exatamente um termo

binômio - Um polinômio com exatamente dois termos

trinômio - Um polinômio com exatamente três termos

Observe as raízes:

  • poli- significa muitos
  • mono- significa um
  • bi- significa dois
  • tri- significa três

Aqui estão alguns exemplos de polinômios:

Polinomialb + 14 anos2 - 7a + 25x5 - 4x4 + x3 + 8x2 - 9x + 1
Monômio54b2-9x3
Binomial3a - 7y2 - 917x3 + 14x2
Trinômiox2 - 5x + 64 anos2 - 7a + 25a4 - 3a3 + a

Observe que todo monômio, binômio e trinômio também é um polinômio. Eles são membros especiais da família dos polinômios e, portanto, têm nomes especiais. Usamos as palavras 'monômio', 'binômio' e 'trinômio' quando nos referimos a esses polinômios especiais e apenas chamamos todos os demais de 'polinômios'.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio: (a) 8x2 - 7x - 9 (b) −5a4 (c) x4 - 7x3 - 6x2 + 5x + 2 (d) 11 - 4a3 (e) n

Solução

PolinomialNúmero de termosModelo
(a) 8x2 - 7x - 93Trinômio
(b) -5a41Monômio
(c) x4 - 7x3 - 6x2 + 5x + 25Polinomial
(d) 11 - 4 anos32Binomial
(e) n1Monômio

Exercício ( PageIndex {1} ):

Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio. (a) z (b) 2x3 - 4x2 - x - 8 (c) 6x2 - 4x + 1 (d) 9 - 4a2 (e) 3x7

Responder a

monômio

Resposta b

polinomial

Resposta c

trinômio

Resposta d

binômio

Resposta e

monômio

Exercício ( PageIndex {2} ):

Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio. (a) y3 - 8 (b) 9x3 - 5x2 - x (c) x4 - 3x2 - 4x - 7 (d) −y4 (ai credo

Responder a

binômio

Resposta b

trinômio

Resposta c

polinomial

Resposta d

monômio

Resposta e

monômio

Determine o grau de polinômios

Nesta seção, trabalharemos com polinômios que possuem apenas uma variável em cada termo. O grau de um polinômio e o grau de seus termos são determinados pelos expoentes da variável.

Um monômio sem variável, apenas uma constante, é um caso especial. O grau de uma constante é 0 - não tem variável.

Definição: Grau de um polinômio

O grau de um termo é o expoente de sua variável.

O grau de uma constante é 0.

O grau de um polinômio é o grau mais alto de todos os seus termos.

Vamos ver como isso funciona observando vários polinômios. Faremos isso passo a passo, começando com monômios e depois progredindo para polinômios com mais termos.

Lembre-se: qualquer base escrita sem um expoente tem um expoente implícito de 1.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Encontre o grau dos seguintes polinômios: (a) 4x (b) 3x3 - 5x + 7 (c) −11 (d) −6x2 + 9x - 3 (e) 8x + 2

Solução

(a) 4x

O expoente de x é um. x = x1O grau é 1.

(b) 3x3 - 5x + 7

O grau mais alto de todos os termos é 3.O grau é 3.

(c) -11

O grau de uma constante é 0.O grau é 0.

(d) -6x2 + 9x - 3

O grau mais alto de todos os termos é 2.O grau é 2.

(e) 8x + 2

O grau mais alto de todos os termos é 1.O grau é 1.

Exercício ( PageIndex {3} ):

Encontre o grau dos seguintes polinômios: (a) −6y (b) 4x - 1 (c) 3x4 + 4x2 - 8 (d) 2a2 + 3y + 9 (e) −18

Responder a

1

Resposta b

1

Resposta c

4

Resposta d

2

Resposta e

0

Exercício ( PageIndex {4} ):

Encontre o grau dos seguintes polinômios: (a) 47 (b) 2x2 - 8x + 2 (c) x4 - 16 (d) y5 - 5a3 + y (e) 9a3

Responder a

0

Resposta b

2

Resposta c

4

Resposta d

5

Resposta e

3

Trabalhar com polinômios é mais fácil quando você lista os termos em ordem decrescente de graus. Quando um polinômio é escrito desta forma, diz-se que está em forma padrão. Olhe novamente para os polinômios no Exemplo 10.2. Observe que todos eles estão escritos no formato padrão. Adquira o hábito de escrever o termo com o maior grau primeiro.

Adicionar e subtrair monômios

Em The Language of Algebra, você simplificou expressões combinando termos semelhantes. Adicionar e subtrair monômios é o mesmo que combinar termos semelhantes. Termos semelhantes devem ter a mesma variável com o mesmo expoente. Lembre-se de que, ao combinar termos semelhantes, apenas os coeficientes são combinados, nunca os expoentes.

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Adicionar: 17x2 + 6x2.

Solução

Exercício ( PageIndex {5} ):

Adicionar: 12x2 + 5x2.

Responder

17x2

Exercício ( PageIndex {6} ):

Adicionar: −11y2 + 8y2.

Responder

-3a2

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Subtraia: 11n - (−8n).

Solução

Exercício ( PageIndex {7} ):

Subtraia: 9n - (−5n).

Responder

14n

Exercício ( PageIndex {8} ):

Subtrair: −7a3 - (−5a3).

Responder

-2a3

Exemplo ( PageIndex {5} ):

Simplifique: a2 + 4b2 - 7a2.

Solução

Combine termos semelhantes.-6a2 + 4b2

Lembre-se, −6a2 e 4b2 não são como termos. As variáveis ​​não são as mesmas.

Exercício ( PageIndex {9} ):

Adicionar: 3x2 + 3a2 - 5x2.

Responder

-2x2 + 3a2

Exercício ( PageIndex {10} ):

Adicionar: 2a2 + b2 - 4a2.

Responder

-2a2 + b2

Adicionar e subtrair polinômios

Adicionar e subtrair polinômios pode ser considerado apenas adicionar e subtrair termos semelhantes. Procure termos semelhantes - aqueles com as mesmas variáveis ​​com o mesmo expoente. A propriedade comutativa nos permite reorganizar os termos para colocar termos semelhantes juntos. Também pode ser útil sublinhar, circular ou marcar termos semelhantes.

Exemplo ( PageIndex {6} ):

Encontre a soma: (4x2 - 5x + 1) + (3x2 - 8x - 9)

Solução

Exercício ( PageIndex {11} ):

Encontre a soma: (3x2 - 2x + 8) + (x2 - 6x + 2).

Responder

4x2 - 8x + 10

Exercício ( PageIndex {12} ):

Encontre a soma: (7 anos2 + 4a - 6) + (4a2 + 5y + 1)

Responder

11 anos2 + 9y - 5

Os parênteses são símbolos de agrupamento. Quando adicionamos polinômios como fizemos no Exemplo 10.6, podemos reescrever a expressão sem parênteses e, em seguida, combinar termos semelhantes. Mas quando subtraímos polinômios, devemos ter muito cuidado com os sinais.

Exemplo ( PageIndex {7} ):

Encontre a diferença: (7u2 - 5u + 3) - (4u2 − 2).

Solução

Exercício ( PageIndex {13} ):

Encontre a diferença: (6y2 + 3a - 1) - (3a2 − 4).

Responder

3 anos2 + 3y + 3

Exercício ( PageIndex {14} ):

Encontre a diferença: (8u2 - 7u - 2) - (5u2 - 6u - 4).

Responder

3u2 - u + 2

Exemplo ( PageIndex {8} ):

Subtrair: (m2 - 3m + 8) de (9m2 - 7m + 4).

Solução

Exercício ( PageIndex {15} ):

Subtrair: (4n2 - 7n - 3) de (8n2 + 5n - 3).

Responder

4n2 + 12n

Exercício ( PageIndex {16} ):

Subtraia: (a2 - 4a - 9) de (6a2 + 4a - 1).

Responder

5a2 + 8a + 8

Avalie um polinômio para um determinado valor

Em The Language of Algebra, avaliamos expressões. Como os polinômios são expressões, seguiremos os mesmos procedimentos para avaliar os polinômios - substitua o valor fornecido pela variável no polinômio e simplifique.

Exemplo ( PageIndex {9} ):

Avalie 3x 2 - 9x + 7 quando (a) x = 3 (b) x = −1

Solução

(a) x = 3

Substitua 3 por x.3(3)2 − 9(3) + 7
Simplifique a expressão com o expoente.3 • 9 − 9(3) + 7
Multiplicar.27 − 27 + 7
Simplificar.7

(b) x = −1

Substitua x por -1.3(-1)2 − 9(-1) + 7
Simplifique a expressão com o expoente.3 • 1 − 9(-1) + 7
Multiplicar.3 + 9 + 7
Simplificar.19

Exercício ( PageIndex {17} ):

Avalie: 2x2 + 4x - 3 quando (a) x = 2 (b) x = −3

Responder a

13

Resposta b

3

Exercício ( PageIndex {18} ):

Avaliação: 7 anos2 - y - 2 quando (a) y = −4 (b) y = 0

Responder a

114

Resposta b

-2

Exemplo ( PageIndex {10} ):

O polinômio −16t 2 + 300 fornece a altura de um objeto t segundos após ele ser largado de uma ponte de 300 pés de altura. Encontre a altura após t = 3 segundos.

Solução

Substitua 3 por t.-16(3)2 + 300
Simplifique a expressão com o expoente.-16 • 9 + 300
Multiplicar.-144 + 300
Simplificar.156

Exercício ( PageIndex {19} ):

O polinômio −8t2 + 24t + 4 dá a altura, em pés, de uma bola t segundos depois de ser lançada para o ar, de uma altura inicial de 4 pés. Encontre a altura após t = 3 segundos.

Responder

4 pés

Exercício ( PageIndex {20} ):

O polinômio −8t2 + 24t + 4 dá a altura, em pés, de uma bola x segundos depois de ser lançada para o ar, de uma altura inicial de 4 pés. Encontre a altura após t = 2 segundos.

Responder

20 pés

A prática leva à perfeição

Identificar polinômios, monômios, binômios e trinômios

Nos exercícios a seguir, determine se cada um dos polinômios é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio.

  1. 5x + 2
  2. z2 - 5z - 6
  3. uma2 + 9a + 18
  4. -12p4
  5. y3 - 8a2 + 2a - 16
  6. 10 - 9x
  7. 23 anos2
  8. m4 + 4m3 + 6m2 + 4m + 1

Determine o grau de polinômios

Nos exercícios a seguir, determine o grau de cada polinômio.

  1. 8a5 - 2a3 + 1
  2. 5c3 + 11c2 - c - 8
  3. 3x - 12
  4. 4y + 17
  5. −13
  6. −22

Adicionar e subtrair monômios

Nos exercícios a seguir, adicione ou subtraia os monômios.

  1. 6x2 + 9x2
  2. 4 anos3 + 6y3
  3. −12u + 4u
  4. -3m + 9m
  5. 5a + 7b
  6. 8y + 6z
  7. Adicionar: 4a, - 3b, - 8a
  8. Adicionar: 4x, 3y, - 3x
  9. 18x - 2x
  10. 13a - 3a
  11. Subtrair 5x6 de - 12x6
  12. Subtraia 2p4 de - 7p4

Adicionar e subtrair polinômios

Nos exercícios a seguir, adicione ou subtraia os polinômios.

  1. (4 anos2 + 10a + 3) + (8a2 - 6a + 5)
  2. (7x2 - 9x + 2) + (6x2 - 4x + 3)
  3. (x2 + 6x + 8) + (−4x2 + 11x - 9)
  4. (y2 + 9y + 4) + (−2y2 - 5a - 1)
  5. (3a2 + 7) + (a2 - 7a - 18)
  6. (p2 - 5p - 11) + (3p2 + 9)
  7. (6m2 - 9m - 3) - (2m2 + m - 5)
  8. (3n2 - 4n + 1) - (4n2 - n - 2)
  9. (z2 + 8z + 9) - (z2 - 3z + 1)
  10. (z2 - 7z + 5) - (z2 - 8z + 6)
  11. (12s2 - 15s) - (s - 9)
  12. (10r2 - 20r) - (r - 8)
  13. Encontre a soma de (2p3 - 8) e (p2 + 9p + 18)
  14. Encontre a soma de (q2 + 4q + 13) e (7q3 − 3)
  15. Subtrair (7x2 - 4x + 2) de (8x2 - x + 6)
  16. Subtrair (5x2 - x + 12) de (9x2 - 6x - 20)
  17. Encontre a diferença de (w2 + w - 42) e (w2 - 10s + 24)
  18. Encontre a diferença de (z2 - 3z - 18) e (z2 + 5z - 20)

Avalie um polinômio para um determinado valor

Nos exercícios a seguir, avalie cada polinômio para o valor fornecido.

  1. Avalie 8 anos2 - 3a + 2
    1. y = 5
    2. y = -2
    3. y = 0
  2. Avalie 5 anos2 - y - 7 quando:
    1. y = −4
    2. y = 1
    3. y = 0
  3. Avalie 4 - 36x quando:
    1. x = 3
    2. x = 0
    3. x = -1
  4. Avalie 16 - 36x2 quando:
    1. x = -1
    2. x = 0
    3. x = 2
  5. Um limpador de vidros deixa cair um rodo de uma plataforma de 275 pés de altura. O polinômio −16t2 + 275 dá a altura do rodo t segundos depois de cair. Encontre a altura após t = 4 segundos.
  6. Um fabricante de fornos de microondas descobriu que a receita recebida da venda de microondas a um custo de p dólares cada é dada pelo polinômio −5p2 + 350p. Encontre a receita recebida quando p = 50 dólares.

Matemática cotidiana

  1. Eficiência do combustível A eficiência de combustível (em milhas por galão) de um ônibus indo a uma velocidade de x milhas por hora é dada pelo polinômio (- dfrac {1} {160} x ^ {2} + dfrac {1} {2 } x ). Encontre a eficiência de combustível quando x = 40 mph.
  2. Distância de parada O número de pés que um carro leva para viajar a x milhas por hora para parar no nível de concreto seco é dado pelo polinômio 0,06x2 + 1,1x. Encontre a distância de parada quando x = 60 mph.

Exercícios de escrita

  1. Usando suas próprias palavras, explique a diferença entre um monômio, um binômio e um trinômio.
  2. Eloise acha a soma 5x2 + 3x4 é 8x6. O que há de errado com seu raciocínio?

Auto-verificação

(a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

(b) Se a maioria de seus cheques fosse:

… Com confiança. Parabéns! Você atingiu os objetivos desta seção. Reflita sobre as habilidades de estudo que você usou para que possa continuar a usá-las. O que você fez para ter certeza de sua capacidade de fazer essas coisas? Seja específico.

… Com alguma ajuda. Isso deve ser tratado rapidamente porque os tópicos que você não domina tornam-se buracos no seu caminho para o sucesso. Em matemática, cada tópico se baseia em trabalhos anteriores. É importante ter certeza de que você tem uma base sólida antes de prosseguir.

A quem você pode pedir ajuda? Seus colegas de classe e instrutor são bons recursos. Há algum lugar no campus onde professores de matemática estejam disponíveis? Suas habilidades de estudo podem ser melhoradas?

... não, eu não entendo! Este é um sinal de alerta e você não deve ignorá-lo. Você deve obter ajuda imediatamente ou ficará sobrecarregado rapidamente. Consulte seu instrutor assim que puder para discutir sua situação. Juntos, vocês podem traçar um plano para obter a ajuda de que você precisa.


Adicionando e subtraindo polinômios - Explicação e exemplos

Um polinômio é uma expressão que contém variáveis ​​e coeficientes.

Por exemplo, ax + b, 2x 2 - 3x + 9 e x 4 - 16 são polinômios.

A palavra “polinômio” é derivado das palavras “poli" e "nominal, ”Que significa muitos e termos, respectivamente. Um polinômio pode ter variáveis, constantes e expoentes, mas uma expressão não é um polinômio se a variável estiver no denominador, como 2 / x + 3, 9xy -2, etc.

Como os números, eles podem sofrer o mesmo tipo de operações. A operação de adicionar e subtrair polinômios é tão fácil quanto uma pizza. Você só precisa estar familiarizado com a combinação de termos semelhantes e a ordem das operações dentro da pergunta. Antes de começarmos, vamos relembrar como são os termos.

Em matemática, termos semelhantes são termos que contêm variáveis ​​e expoentes idênticos, independentemente de seus coeficientes. Você pode simplificar uma expressão adicionando ou subtraindo, dependendo dos sinais antes dos termos.

Por exemplo , 7xy + 6y + 6xy é um polinômio cujos termos são 7xy e 6xy. Portanto, podemos simplificar esse polinômio combinando termos semelhantes como 7xy + 6xy + 6y = 13xy + y. Ao combinar termos semelhantes, apenas adicionamos ou subtraímos os coeficientes das variáveis ​​idênticas.

Por outro lado, termos ao contrário são termos que não são idênticos em termos de variáveis ​​ou expoentes.

Por exemplo , uma expressão 4x + 9y 2, contém termos diferentes porque as variáveis ​​xey são diferentes e não são elevadas à mesma potência.


10.1: Adicionar e subtrair polinômios

Aqui estão as etapas necessárias para adicionar e subtrair polinômios:

Passo 1: Remova todos os parênteses. Eu sugiro escrever o problema verticalmente em vez de horizontalmente porque torna a próxima etapa mais fácil. Ao adicionar, distribua o sinal positivo (ou adição), que não altera nenhum dos sinais. Ao subtrair, distribua o sinal negativo (ou subtração), que muda cada sinal após o sinal de subtração.
Passo 2: Combine termos semelhantes. Esta etapa é muito mais fácil se as coisas forem escritas verticalmente, porque termos semelhantes são escritos uns sobre os outros. Lembre-se de que para combinar termos semelhantes, a variável e a potência de cada variável devem ser exatamente iguais.

Exemplo 1 & ndash Simplifique: (3x 3 & # 8211 5x + 9) + (6x 3 + 8x & # 8211 7)

Exemplo 2 & ndash Simplifique: (& # 82113x 2 + 9xy & # 8211 5y 2) & # 8211 (4x 2 + 7xy & # 8211 8y 2)

Exemplo 3 & ndash Simplifique: (5x 3 & # 8211 7x 2 & # 8211 8) & # 8211 (4x 2 + 5x & # 8211 6)

Exemplo 4 & ndash Adicione 4x 3 & # 8211 9x + 3 e 5x 2 & # 8211 4x + 7.

Exemplo 5 & ndash Subtraia 4x 2 & # 8211 7x + 5 de 3x 2 & # 8211 2x + 6.


Adicionando e subtraindo polinômios

Certifique-se de alterar a subtração para adição antes de combinar termos semelhantes.

Exemplo 2: Subtraia os polinômios.

(4x - 5y 2 + 2 - x 2) - (- 2y + 2x 2 - 3x + 7)

Mude a divisão em adição, distribuindo um negativo até o segundo conjunto de parênteses. O sinal de cada termo no segundo parênteses muda.

(4x −5y 2 + 2 - x 2) - (- 2y + 2x 2 - 3x + 7)

= 4x ​​−5y 2 + 2 - x 2 + 2y - 2x 2 + 3x - 7

Reescreva a expressão para que termos semelhantes sejam agrupados:

(4x + 3x) + (- x 2 - 2x 2) + (2 - 7) −5y 2 + 2y

Combine termos semelhantes adicionando os coeficientes.

A forma simplificada de (4x - 5y 2 + 2 - x 2) - (- 2y + 2x 2 - 3x + 7) é
7x −3x 2 - 5 −5y 2 + 2y.


Adicionar e subtrair polinômios

Vídeos, planilhas, soluções e atividades para ajudar os alunos de álgebra a aprender como adicionar e subtrair polinômios.

Polinômios (parte 2 de 4) - combinação de termos semelhantes em polinômios

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Introdução aos polinômios

Expressões conhecidas como polinômios são amplamente utilizadas em álgebra. As aplicações dessas expressões são essenciais para muitas carreiras, incluindo economistas, engenheiros e cientistas. Neste capítulo, descobriremos o que são polinômios e como manipulá-los por meio de operações matemáticas básicas.

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    • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Prealgebra
    • Data de publicação: 25 de setembro de 2015
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/prealgebra/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/prealgebra/pages/10-introduction-to-polynomials

    © 16 de setembro de 2020 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution License 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


    Adicionar e subtrair polinômios

      Simplificar:

    Determine o grau de polinômios

    Nós aprendemos que um prazo é uma constante ou o produto de uma constante e uma ou mais variáveis. Um monômio é uma expressão algébrica com um termo. Quando é da forma Onde uma é uma constante e m é um número inteiro, é chamado de monômio em uma variável. Alguns exemplos de monômio em uma variável são. Monômios também podem ter mais de uma variável, como e

    UMA monômio é uma expressão algébrica com um termo.

    Um monômio em uma variável é um termo da forma Onde uma é uma constante e m é um número inteiro.

    Um monômio, ou dois ou mais monômios combinados por adição ou subtração, é um polinômio. Alguns polinômios têm nomes especiais, com base no número de termos. Um monômio é um polinômio com exatamente um termo. Um binômio tem exatamente dois termos e um trinômio tem exatamente três termos. Não há nomes especiais para polinômios com mais de três termos.

    polinomial—Um monômio, ou dois ou mais termos algébricos combinados por adição ou subtração é um polinômio.

    monômio—Um polinômio com exatamente um termo é chamado de monômio.

    binômio—Um polinômio com exatamente dois termos é chamado de binômio.

    trinômio—Um polinômio com exatamente três termos é chamado de trinômio.

    Aqui estão alguns exemplos de polinômios.

    Polinomial
    Monômio 14
    Binomial
    Trinômio

    Observe que todo monômio, binômio e trinômio também é um polinômio. Eles são apenas membros especiais da “família” dos polinômios e, portanto, têm nomes especiais. Nós usamos as palavras monômio, binômio, e trinômio ao se referir a esses polinômios especiais e apenas chamar todo o resto polinômios.

    O grau de um polinômio e o grau de seus termos são determinados pelos expoentes da variável.

    Um monômio que não possui variável, apenas uma constante, é um caso especial. O grau de uma constante é 0.

    O grau de um termo é a soma dos expoentes de suas variáveis.

    O grau de uma constante é 0.

    O grau de um polinômio é o grau mais alto de todos os seus termos.

    Vamos ver como isso funciona observando vários polinômios. Faremos isso passo a passo, começando com monômios e, em seguida, progredindo para polinômios com mais termos.

    Vamos começar observando um monômio. O monômio tem duas variáveis uma e b. Para encontrar o grau, precisamos encontrar a soma dos expoentes. A variável a não possui um expoente escrito, mas lembre-se de que isso significa que o expoente é 1. O expoente de b é 2. A soma dos expoentes, é 3, então o grau é 3.

    Aqui estão alguns exemplos adicionais.

    Trabalhar com polinômios é mais fácil quando você lista os termos em ordem decrescente de graus. Quando um polinômio é escrito dessa maneira, diz-se que está na forma padrão de um polinômio. Adquira o hábito de escrever o termo com o maior grau primeiro.

    Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio. Em seguida, encontre o grau de cada polinômio.

    ⓔ 15

    Polinomial Número de termos Modelo Grau de mandatos Grau de polinômio
    3 Trinômio 2, 1, 0 2
    1 Monômio 4, 2 6
    5 Polinomial 5, 3, 2, 1, 0 5
    2 Binomial 1, 4 4
    15 1 Monômio 0 0

    Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio. Em seguida, encontre o grau de cada polinômio.

    Ⓑ polinomial, 3 ⓒ trinomial, 3

    Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio. Em seguida, encontre o grau de cada polinômio.

    Ⓐ binomial, 3 ⓑ trinomial, 3 ⓒ monomial, 0 ⓓ polinomial, 4 ⓔ monomial, 7

    Adicionar e subtrair polinômios

    Aprendemos como simplificar expressões combinando termos semelhantes. Lembre-se de que termos semelhantes devem ter as mesmas variáveis ​​com o mesmo expoente. Uma vez que monômios são termos, adicionar e subtrair monômios é o mesmo que combinar termos semelhantes. Se os monômios forem como termos, simplesmente os combinamos adicionando ou subtraindo os coeficientes.

    Adicionar ou subtrair: ⓐ

    Adicionar ou subtrair: ⓐ

    Adicionar ou subtrair: ⓐ

    Lembre-se de que termos semelhantes devem ter as mesmas variáveis ​​com os mesmos expoentes.

    Simplifique: ⓐ

    Adicionar: ⓐ

    Adicionar: ⓐ

    Podemos pensar em adicionar e subtrair polinômios como apenas adicionar e subtrair uma série de monômios. Procure termos semelhantes - aqueles com as mesmas variáveis ​​e o mesmo expoente. A propriedade comutativa nos permite reorganizar os termos para colocar termos semelhantes juntos.

    Encontre a soma:

    Encontre a soma:

    Encontre a soma:

    Tenha cuidado com os sinais conforme você distribui enquanto subtrai os polinômios no próximo exemplo.

    Encontre a diferença:

    Encontre a diferença:

    Encontre a diferença:

    Para subtrair a partir de nós escrevemos como colocando o primeiro.

    Subtrair a partir de

    Subtrair a partir de

    Subtrair a partir de

    Encontre a soma:

    Encontre a soma:

    Encontre a soma:

    Quando adicionamos e subtraímos mais de dois polinômios, o processo é o mesmo.

    Simplificar:

    Simplificar:

    Simplificar:

    Avalie uma função polinomial para um determinado valor

    Uma função polinomial é uma função definida por um polinômio. Por exemplo, e são funções polinomiais, porque e são polinômios.

    UMA função polinomial é uma função cujos valores de intervalo são definidos por um polinômio.

    Em Gráficos e funções, onde introduzimos funções pela primeira vez, aprendemos que avaliar uma função significa encontrar o valor de para um determinado valor de x. Para avaliar uma função polinomial, substituiremos o valor fornecido pela variável e, em seguida, simplificaremos usando a ordem das operações.

    Para a função encontrar: ⓐ

    Simplifique os expoentes.
    Multiplicar.
    Simplificar.
    Simplifique os expoentes.
    Multiplicar.
    Simplificar.
    Simplifique os expoentes.
    Multiplicar.
    Simplificar.

    Para a função encontrar ⓐ

    ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ

    Para a função encontrar ⓐ

    ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ

    As funções polinomiais semelhantes à do próximo exemplo são usadas em muitos campos para determinar a altura de um objeto em algum momento depois de ele ser projetado no ar. O polinômio na próxima função é usado especificamente para derrubar algo de 250 pés.

    A função polinomial dá a altura de uma bola t segundos depois de cair de um prédio de 250 pés de altura. Encontre a altura depois segundos.

    A função polinomial dá a altura de uma pedra t segundos depois de cair de um penhasco de 45 metros de altura. Encontre a altura depois segundos (a altura inicial do objeto).

    A altura é pés.

    A função polinomial dá a altura de uma bola t segundos depois de cair de uma ponte de 175 pés de altura. Encontre a altura depois segundos.

    Adicionar e subtrair funções polinomiais

    Assim como polinômios podem ser adicionados e subtraídos, funções polinomiais também podem ser adicionadas e subtraídas.

    Para funções e

    Para funções e encontrar:

    Reescreva sem os parênteses.
    Coloque os termos semelhantes juntos.
    Combine termos semelhantes.

    Ⓑ Na parte (a) encontramos e agora são solicitados a encontrar

    Observe que poderíamos ter encontrado encontrando primeiro os valores de e separadamente e, em seguida, adicionando os resultados.

    Encontrar
    Encontrar
    Encontrar

    Reescreva sem os parênteses.
    Coloque os termos semelhantes juntos.
    Combine termos semelhantes.

    Para funções e encontrar: ⓐ

    Para funções e encontrar ⓐ

    Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática com adição e subtração de polinômios.

    Conceitos chave

    • Monômio
      • UMA monômio é uma expressão algébrica com um termo.
      • Um monômio em uma variável é um termo da forma Onde uma é uma constante e m é um número inteiro.
      • Polinomial—Um monômio, ou dois ou mais termos algébricos combinados por adição ou subtração é um polinômio.
      • monômio —Um polinômio com exatamente um termo é chamado de monômio.
      • binômio - Um polinômio com exatamente dois termos é chamado de binomial.
      • trinômio —Um polinômio com exatamente três termos é chamado de trinômio.
      • O grau de um termo é a soma dos expoentes de suas variáveis.
      • O grau de uma constante é 0.
      • O grau de um polinômio é o grau mais alto de todos os seus termos.

      A prática leva à perfeição

      Determine o tipo de polinômios

      Nos exercícios a seguir, determine se o polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio.

      Ⓐ trinomial, 5 ⓑ polinomial, 3 ⓒ binomial, 1 ⓓ monomial, 1


      Adicionar e subtrair polinômios



      Exemplos, vídeos e soluções para ajudar os alunos de Álgebra I a aprender como adicionar e subtrair polinômios.

      Álgebra Matemática Comum do Estado de Nova York I, Módulo 1, Lição 8

      Os alunos entendem que a soma ou diferença de dois polinômios produz outro polinômio e relacionam os polinômios ao sistema de inteiros. Os alunos somam e subtraem polinômios.

      UMA monômio é uma expressão polinomial gerada usando apenas o operador de multiplicação (__ & times__). Portanto, ele não contém operadores + ou & ndash. Monômios são escritos com fatores numéricos multiplicados juntos e variáveis ​​ou outros símbolos, cada um ocorrendo uma vez (usando expoentes para condensar várias instâncias da mesma variável)

      UMA polinomial é a soma (ou diferença) dos monômios.

      O grau de monômio é a soma dos expoentes dos símbolos variáveis ​​que aparecem no monômio.

      O grau de um polinômio é o grau do termo monomial com o grau mais alto.

      1. A soma de três polinômios deve ser novamente um polinômio?

      Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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      (7.1.2) & # 8211 Avalie um polinômio para determinados valores

      Você pode avaliar polinômios da mesma forma que avalia as expressões o tempo todo. Para avaliar uma expressão para um valor da variável, você substitui o valor da variável toda vez parece. Em seguida, use a ordem das operações para encontrar o valor resultante para a expressão.

      Exemplo

      Avalie [latex] 3x ^ <2> -2x + 1 [/ latex] para [latex] x = -1 [/ latex].

      Seguindo a ordem das operações, avalie primeiro os expoentes.

      Multiplique 3 vezes 1 e, em seguida, multiplique [latex] -2 [/ latex] vezes [latex] -1 [/ latex].

      Altere a subtração para adição do oposto.

      Responder

      [latex] 3x ^ <2> -2x + 1 = 6 [/ latex], para [latex] x = -1 [/ latex]

      Exemplo

      Avalie [latex] displaystyle - frac <2> <3> p ^ <4> + 2 ^ <3> -p [/ latex] para [latex] p = 3 [/ latex].

      [latex] displaystyle - frac <2> <3> left (3 right) ^ <4> +2 left (3 right) ^ <3> -3 [/ latex]

      Seguindo a ordem das operações, avalie os expoentes primeiro e depois multiplique.

      [latex] displaystyle - frac <2> <3> left (81 right) +2 left (27 right) -3 [/ latex]

      Adicione e subtraia para obter [latex] -3 [/ latex].

      Responder

      [latex] displaystyle - frac <2> <3> p ^ <4> + 2p ^ <3> -p = -3 [/ latex], para [latex] p = 3 [/ latex]

      No vídeo a seguir, mostramos mais exemplos de avaliação de polinômios para determinados valores da variável.


      Adição / subtração de polinômios

      É simples adicionar ou subtrair dois polinômios. Simplesmente adicionamos ou subtraímos os termos do mesmo grau. Por exemplo:

      Considere dois polinômios de graus m e n. Suponha que adicionamos ou subtraímos os dois polinômios. Dois casos surgem agora:

      Se m e n são desiguais, o polinômio resultante será de um grau igual ao maior de m e n.

      Se m e n são iguais, o polinômio resultante terá um grau que é no máximo igual a m e n, mas também pode ter um grau menor que m e n.

      Vamos entender esses fatos por meio dos seguintes exemplos:

      Assim, no caso em que os dois polinômios têm graus iguais, vemos que há uma possibilidade de os termos de maior grau se cancelarem mediante adição ou subtração e, portanto, o polinômio resultante pode ter um grau menor do que os graus originais do dois polinômios.


      Assista o vídeo: Odejmowanie wielomianów (Dezembro 2021).