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4.2: Nova Página - Matemática


4.2: Nova Página - Matemática

A SBOE aprovou os TEKS revisados ​​para adoção em abril de 2012. Os TEKS revisados ​​estão disponíveis na página de regras do TEA. Os TEKS revisados ​​têm “Adotado 2012” anotado no título. O TEKS de matemática revisado para o jardim de infância até a 8ª série será implementado no ano letivo de 2014-2015. Os TEKS de matemática revisados ​​para o ensino médio estão programados para implementação no ano letivo de 2015-2016, dependendo da disponibilidade de financiamento para materiais de instrução (Código Administrativo do Texas (TAC), Título 19, Parte II, Capítulo 111. Habilidades e conhecimentos essenciais do Texas para Matemática).

Propostas aprovadas para segunda leitura e adoção final em abril de 2012

Os documentos a seguir refletem as propostas de revisão do TEKS matemático conforme aprovado pelo Conselho Estadual de Educação em 20 de abril de 2012, para segunda leitura e adoção final, com edições técnicas, conforme autorizado pelas regras de funcionamento do Conselho Estadual de Educação:

Propostas aprovadas para primeira leitura e autorização de arquivamento em janeiro de 2012

As revisões propostas para o TEKS matemático foram postadas para comentários públicos de fevereiro a abril de 2012. Após o período oficial para comentários públicos, a SBOE tomou medidas para aprovar essas alterações em abril de 2012.

Recomendações do Comitê de Revisão da TEKS para revisões da Matemática TEKS (outubro de 2011)

Os seguintes documentos são as recomendações finais do comitê de revisão:

Primeiros rascunhos de recomendações para revisões do TEKS de matemática (julho de 2011)

As recomendações preliminares foram desenvolvidas pelos comitês de revisão matemática da TEKS, indicados por membros da SBOE. Esses rascunhos são baseados no Projeto de Padrões de Matemática do Comissário:

Em antecipação à revisão agendada para 2011-2012 do Conselho Estadual de Educação do TEKS para Matemática, o Comissário de Educação convocou um grupo de conselheiros para revisar a pesquisa e os recursos atuais e para oferecer sugestões sobre a próxima revisão do TEKS e futuro desenvolvimento profissional. O Grupo Consultivo de Matemática do Comissário, estabelecido no outono de 2010, inclui educadores matemáticos e matemáticos do Texas. As recomendações do Grupo Consultivo de Matemática do Comissário em relação à próxima geração de padrões de matemática no Texas foram compiladas e revisadas por um painel de consultores nacionais em matemática, conhecido como Equipe de Revisão Nacional, revisou as recomendações do Grupo Consultivo de Matemática do Comissário em relação à próxima geração de padrões de matemática no Texas.


4.2: Nova Página - Matemática

Matemática do dia a dia é dividido em unidades, que são divididas em lições. No canto superior esquerdo do Link de estudo, você deve ver um ícone como este:


O número da unidade é o primeiro número que você vê no ícone e o número da lição é o segundo número. Nesse caso, o aluno está trabalhando na Unidade 5, Lição 4. Para acessar os recursos de ajuda, você deve selecionar "Unidade 5" na lista acima e, em seguida, procurar a linha na tabela denominada "Lição 5-4".

Matemática cotidiana para pais: O que você precisa saber para ajudar seu filho a ter sucesso

Projeto de Matemática da Escola da Universidade de Chicago

University of Chicago Press


Respostas da série 8 do Go Math Capítulo 9 Transformações e congruência

Como muitos métodos de solução de problemas disponíveis no Go Math Grade 8 Capítulo 9 Transformações e chave de solução de congruência, o aluno & # 8217s pode selecionar o método de solução fácil e aprender o método de resolver problemas matemáticos. Além disso, incluímos imagens para um melhor entendimento do aluno. Portanto, os alunos que desejam obter boas notas no exame devem praticar com Go Math Grade 8 Answer Key Capítulo 9 Transformações e congruência.

Lição 1: Propriedades das traduções

Lição 2: Propriedades de reflexos

Lição 3: Representações Algébricas de Transformações

Lição 4: Figuras congruentes

Revisão mista

Prática guiada & # 8211 Propriedades das traduções & # 8211 Página No. 282

Questão 1.
Vocabulário A __________________é uma mudança na posição, tamanho ou forma de uma figura.
____________

Explicação:
Uma transformação é uma mudança na posição, tamanho ou forma de uma figura.

Questão 2.
Vocabulário Quando você executa uma transformação de uma figura no plano de coordenadas, a entrada da transformação é chamada de ________________ e a saída da transformação é chamada de_________________.
Digite abaixo:
____________

Explicação:
Quando você executa uma transformação de uma figura no plano de coordenadas, a entrada da transformação é chamada de pré-imagem e a saída da transformação é chamada de imagem.

Questão 3.
Joni traduz um triângulo retângulo 2 unidades para baixo e 4 unidades para a direita. Como a orientação da imagem do triângulo se compara com a orientação da pré-imagem?
A orientação é: _______

Responder:
A orientação é: a mesma

Explicação:
Uma vez que a tradução não muda a forma e o tamanho de uma figura geométrica, os dois triângulos são idênticos em forma e tamanho, então eles são congruentes e a orientação é a mesma

Questão 4.
Rashid desenhou o retângulo PQRS em um plano de coordenadas. Ele então traduziu o retângulo 3 unidades para cima e 3 unidades para a esquerda e rotulou a imagem P & # 8216Q & # 8216R & # 8216S & # 8216. Como o retângulo PQRS e o retângulo P & # 8216Q & # 8216R & # 8216S & # 8216 se comparam?
Eles estão: _______

Explicação:
Como a tradução não altera a forma e o tamanho de uma figura geométrica, os dois retângulos são idênticos em forma e tamanho, portanto, são congruentes.

Questão 5.
A figura mostra o trapézio WXYZ. Represente graficamente a imagem do trapézio após uma translação de 4 unidades para cima e 2 unidades para a esquerda.

Digite abaixo:
____________

Responder:
Após a tradução:
W '(- 4, 3)
X '(2, 3)
Y '(1, 1)
Z '(- 3, 1)

CHECK-IN DE QUESTÕES ESSENCIAIS

Questão 6.
Quais são as propriedades das traduções?
Digite abaixo:
____________

Responder:
- & gt uma tradução é uma transformação geométrica que move todos os pontos de uma figura ou espaço na mesma proporção em uma determinada direção.
- & gt Portanto, as figuras são idênticas e congruentes.

9.1 Prática Independente & # 8211 Propriedades de Traduções & # 8211 Página No. 283

Questão 7.
A figura mostra o triângulo DEF.

uma. Represente graficamente a imagem do triângulo após a translação que mapeia o ponto D ao ponto D & # 8216.
Digite abaixo:
____________

Questão 7.
b. Como você descreveria a tradução?
Digite abaixo:
____________

Responder:
Tem o mesmo tamanho, forma. e orientação, mas um local diferente

Questão 7.
c. Como a imagem do triângulo DEF se compara com a pré-imagem?
____________

Questão 8.
uma. Represente graficamente o quadrilátero KLMN com os vértices K (-3, 2), L (2, 2), M (0, -3) e N (-4, 0) na grade de coordenadas.

Digite abaixo:
____________

Questão 8.
b. Na mesma grade de coordenadas, represente graficamente a imagem do quadrilátero KLMN após uma translação de 3 unidades para a direita e 4 unidades para cima.
Digite abaixo:
____________

Questão 8.
c. Qual lado da imagem é congruente com o lado ( overline )?
___________
Cite três outros pares de lados congruentes.
___________
Digite abaixo:
____________

Responder:
A linha LM é congruente com a linha L! M!
A linha KL é igual a K & # 8217L & # 8217
Linha MN é igual a M & # 8217N & # 8217
Linha KN é igual a K & # 8217N & # 8217

Desenhe a imagem da figura após cada tradução.

Questão 9.
4 unidades restantes e 2 unidades abaixo

Digite abaixo:
____________

Responder:
Depois da tradução
P '(- 3, 1)
Q '(0, 2)
R '(0, -1)
S '(- 3, -3)

Questão 10.
5 unidades certas e 3 unidades acima

Digite abaixo:
____________

Responder:
Depois da tradução
A '(0, 4)
B '(3, 5)
C '(3, 1)
D '(0, 0)

Propriedades das traduções & # 8211 Página No. 284

Questão 11.
A figura mostra a subida de um balão de ar quente. Como você descreveria a tradução?

Digite abaixo:
____________

Responder:
4 unidades ao longo de X positivo e 5 unidades ao longo de Y positivo

Explicação:
Coordenada inicial do balão = (-2, -4)
Coordenadas finais do balão = (2,1)
Translação ao longo do eixo x = 2 & # 8211 (-2)
= 4 unidades ao longo da direção x positiva
Translação ao longo do eixo y = 1 - (- 4)
= 5 unidades ao longo da direção y positiva

Questão 12.
Pensamento crítico É possível que a orientação de uma figura mude após sua tradução? Explique.
_________

Responder:
Não, não é possível alterar a orientação apenas pela tradução. Como translação significa, uma transformação na qual uma figura é movida para outro local sem qualquer mudança no tamanho ou orientação.

FOCO NO PENSAMENTO DE MAIOR ORDEM

Questão 13.
uma. Triângulo de gráfico de várias etapas XYZ com vértices X (-2, -5), Y (2, -2) e Z (4, -4) na grade de coordenadas.

Questão 13.
b. Na mesma grade de coordenadas, gráfico e rótulo triângulo X & # 8217Y & # 8217Z & # 8217, a imagem do triângulo XYZ após uma translação de 3 unidades para a esquerda e 6 unidades para cima.

Questão 13.
c. Agora, represente graficamente e rotule o triângulo X & # 8221Y & # 8221Z & # 8221, a imagem do triângulo X & # 8217Y & # 8217Z & # 8217 após uma translação de 1 unidade para a esquerda e 2 unidades para baixo.
Digite abaixo:
____________

Questão 13.
d. Analisar relacionamentos Como você descreveria a tradução que mapeia o triângulo XYZ no triângulo X & # 8221Y & # 8221Z & # 8221?
Digite abaixo:
____________

Responder:
O triângulo XYZ traduziu 4 unidades para cima e 4 unidades para a esquerda

Questão 14.
Pensamento crítico A figura mostra o retângulo P & # 8217Q & # 8217R & # 8217S & # 8217, a imagem do retângulo PQRS após uma translação de 5 unidades para a direita e 7 unidades para cima. Represente graficamente e rotule o PQRS da pré-imagem.

Digite abaixo:
____________

Questão 15.
Comunicar ideias matemáticas Explique por que a imagem de uma figura após uma tradução é congruente com sua pré-imagem.
Digite abaixo:
____________

Responder:
Uma tradução é uma transformação geométrica que move todos os pontos de uma figura ou espaço na mesma proporção em uma determinada direção. Portanto, as 2 figuras são idênticas e a figura traduzida é congruente com sua pré-imagem.

Prática guiada & # 8211 Propriedades de reflexos & # 8211 Página No. 288

Questão 1.
Vocabulário Um reflexo é uma transformação que inverte uma figura através de uma linha chamada __________.
____________

Explicação:
Um reflexo é uma transformação que vira uma figura através de uma linha chamada Eixo de reflexão.

Questão 2.
A figura mostra o trapézio ABCD.

uma. Represente graficamente a imagem do trapézio após uma reflexão no eixo x. Rotule os vértices da imagem.
Digite abaixo:
____________

Questão 2.
b. Como o trapézio ABCD e o trapézio A & # 8217B & # 8217C & # 8217D & # 8217 se comparam?
____________

Explicação:
trapézio ABCD e trapézio A & # 8217B & # 8217C & # 8217D & # 8217 são congruentes

Questão 2.
c. E se? Suponha que você refletiu o trapézio ABCD ao longo do eixo y. Como seria a orientação da imagem do trapézio em comparação com a orientação da pré-imagem?
Digite abaixo:
____________

Responder:
A orientação seria invertida horizontalmente.

CHECK-IN DE QUESTÕES ESSENCIAIS

Questão 3.
Quais são as propriedades dos reflexos?
Digite abaixo:
____________

Responder:
propriedades de reflexos
- & gt o tamanho permanece o mesmo
- & gt a forma permanece a mesma
- & gt a orientação NÃO permanece a mesma

9.2 Prática Independente & # 8211 Propriedades de Reflexos & # 8211 Página No. 289

O gráfico mostra quatro triângulos retângulos. Use o gráfico para os Exercícios 4-7.

Questão 4.
Quais são os dois triângulos que são reflexos um do outro no eixo x?
Digite abaixo:
____________

Responder:
Os triângulos A e C são os reflexos um do outro no eixo x.

Questão 5.
Para quais dois triângulos a linha de reflexão é o eixo y?
Digite abaixo:
____________

Responder:
Para o triângulo C e D, a linha de reflexão é o eixo y.

Questão 6.
Qual triângulo é uma tradução do triângulo C? Como você descreveria a tradução?
Digite abaixo:
____________

Responder:
O triângulo B é a translação do triângulo C.
Vamos pegar qualquer ponto do triângulo = (-2, -6)
Vamos pegar o lado correspondente do triângulo B = (4,2)
Translação no eixo x = 4 - (- 2) = 6 unidades
Translação no eixo y = 2 - (- 6) = 8 unidades

Questão 7.
Quais triângulos são congruentes? Como você sabe?
Digite abaixo:
____________

Responder:
Todos os 4 triângulos A, B, C, D são congruentes.
O comprimento da base e a altura de todos os quatro triângulos são 3 unidades e 4 unidades respectivamente.

Explicação:
Todos os 4 triângulos A, B, C, D são congruentes.
Se a base e a altura forem iguais, a hipotenusa também deve ser igual. Assim, todos os três lados dos triângulos A, B, C, D são iguais. Assim, esses triângulos são congruentes,
O comprimento da base e a altura de todos os quatro triângulos são 3 unidades e 4 unidades respectivamente.

Questão 8.
uma. Represente graficamente o quadrilátero WXYZ com os vértices W (-2, -2), X (3, 1), Y (5, -1) e Z (4, -6) na grade de coordenadas.
Digite abaixo:
____________

Questão 8.
b. Na mesma grade de coordenadas, represente graficamente o quadrilátero W & # 8217X & # 8217Y & # 8217Z & # 8217, a imagem do quadrilátero WXYZ após uma reflexão através do eixo x.
Digite abaixo:
____________

Questão 8.
c. Qual lado da imagem é congruente com o lado ( overline )?
_______________
Cite três outros pares de lados congruentes.
_______________
Digite abaixo:
____________

Responder:
Linha YZ = Linha Y & # 8217Z & # 8217
Linha WX = Linha W & # 8217X & # 8217
Linha XY = Linha X & # 8217Y & # 8217
Linha WZ = Linha W & # 8217Z & # 8217

Questão 8.
d. Qual ângulo da imagem é congruente com ∠X?
_______________
Cite três outros pares de ângulos congruentes.
_______________
Digite abaixo:
____________

Responder:
Ângulo X & # 8217
Ângulo W e Ângulo W & # 8217
Ângulo Y e Ângulo Y & # 8217
Ângulo Z e Ângulo Z & # 8217

Propriedades de reflexos & # 8211 Página No. 290

Questão 9.
Pensamento crítico É possível que a imagem de um ponto após uma reflexão seja o mesmo ponto que a pré-imagem? Explique.
________

Explicação:
É possível que a imagem de um ponto após uma reflexão seja o mesmo ponto da pré-imagem

FOCO NO PENSAMENTO DE MAIOR ORDEM

Questão 10.
uma. Represente graficamente a imagem da figura mostrada após uma reflexão no eixo y.

Digite abaixo:
____________

Questão 10.
b. Na mesma grade de coordenadas, represente graficamente a imagem da figura que você desenhou na parte a após uma reflexão no eixo x.
Digite abaixo:
____________

Questão 10.
c. Faça uma conjectura Que outra sequência de transformações produziria a mesma imagem final da pré-imagem original? Verifique sua resposta realizando as transformações. Em seguida, faça uma conjectura que generalize suas descobertas.
Digite abaixo:
____________

Responder:
A mesma imagem pode ser obtida refletindo primeiro no eixo x e, em seguida, no eixo y.
Refletir uma figura primeiro no eixo y e depois no eixo x tem o mesmo resultado. refletindo primeiro no eixo x e, em seguida, no eixo y.

Questão 11.
uma. Represente graficamente o triângulo DEF com os vértices D (2, 6), E (5, 6) e F (5, 1) na grade de coordenadas.

Questão 11.
b. Próximo gráfico triângulo D ′ E ′ F ′, a imagem do triângulo DEF após uma reflexão através do eixo y.
Digite abaixo:
____________

Questão 11.
c. Na mesma grade de coordenadas, faça o gráfico do triângulo D ′ ′ E ′ ′ F ′ ′, a imagem do triângulo D ′ E ′ F ′ após uma translação de 7 unidades para baixo e 2 unidades para a direita.
Digite abaixo:
____________

Questão 11.
d. Analise os relacionamentos Encontre uma sequência diferente de transformações que transformará o triângulo DEF no triângulo D ′ ′ E ′ ′ F ′ ′.
Digite abaixo:
____________

Responder:
Traduza o triângulo DEF 7 unidades para baixo e 2 unidades para a esquerda. Em seguida, reflita a imagem no eixo y.

Prática guiada & # 8211 Propriedades de reflexos & # 8211 Página No. 294

Questão 1.
Vocabulário Uma rotação é uma transformação que gira uma figura em torno de um dado _____ denominado centro de rotação.
____________

Explicação:
Uma rotação é uma transformação que gira uma figura em torno de um determinado ponto denominado centro de rotação.

Siobhan gira um triângulo retângulo 90 ° no sentido anti-horário em torno da origem.

Questão 2.
Como a orientação da imagem do triângulo se compara com a orientação da pré-imagem?
Digite abaixo:
____________

Responder:
Cada perna na pré-imagem é perpendicular à perna correspondente na imagem.

Questão 3.
A imagem do triângulo é congruente com a pré-imagem?
______

Explicação:
A imagem do triângulo é congruente com a pré-imagem

Desenhe a imagem da figura após a rotação dada sobre a origem.

Questão 4.
90 ° no sentido anti-horário

Digite abaixo:
____________

Responder:

Questão 5.
180°

Digite abaixo:
____________

Responder:
Após rotação de 180 °
A '(- 2, -3)
B '(- 4, -1)
C '(- 2, 0)
D '(0, -1)

CHECK-IN DE QUESTÕES ESSENCIAIS

Questão 6.
Quais são as propriedades das rotações?
Digite abaixo:
____________

Responder:
As rotações preservam o tamanho e a forma, mas mudam a orientação.

9.3 Prática Independente & # 8211 Propriedades de Reflexões & # 8211 Página No. 295

Questão 7.
A figura mostra o triângulo ABC e uma rotação do triângulo em torno da origem.

uma. Como você descreveria a rotação?
____________

Responder:
ABC foi girado 90º no sentido anti-horário sobre a origem

Questão 7.
b. Quais são as coordenadas da imagem?
Digite abaixo:
____________

Questão 8.
O gráfico mostra uma figura e sua imagem após uma transformação.

uma. Como você descreveria isso como uma rotação?
____________

Responder:
A figura foi girada 180º sobre a origem.

Questão 8.
b. Você pode descrever isso como uma transformação diferente de uma rotação? Explique.
____________

Explicação:
Isso também pode ser descrito como um reflexo no eixo y.

Questão 9.
Que tipo de rotação preservará a orientação da figura em forma de H na grade?

____________

Responder:
Uma rotação de 180º sobre a origem preservará a orientação da figura em forma de H na grade.

Questão 10.
Um ponto com coordenadas (-2, -3) é girado 90 ° no sentido horário em torno da origem. Quais são as coordenadas de sua imagem?
(_______ , _______)

Explicação:
As novas coordenadas são (-3, 2)

Complete a mesa com rotações de 180 ° ou 90 °. Inclui a direção de rotação para rotações de 90 °.

Questão 11.

Digite abaixo:
____________

Responder:

Propriedades de reflexos & # 8211 Página No. 296

Desenhe a imagem da figura após a rotação dada sobre a origem.

Questão 14.
180°

Digite abaixo:
____________

Questão 15.
270 ° no sentido anti-horário

Digite abaixo:
____________

Responder:
Após rotação de 270º no sentido anti-horário
A '(1, 2)
B '(2, -1)
C '(4, 2)

Questão 16.
Existe uma rotação para a qual a orientação da imagem é sempre a mesma da pré-imagem? Se sim, o quê?
______

Explicação:
Uma rotação de 360º será sempre igual à imagem original

FOCO NO PENSAMENTO DE MAIOR ORDEM

Questão 17.
Resolução de problemas Lucas está jogando um jogo em que ele precisa girar uma figura para que ela caiba em um espaço aberto. Cada vez que ele clica em um botão, a figura gira 90 graus no sentido horário. Quantas vezes ele precisa clicar no botão para que cada figura volte à sua orientação original?
Figura A ____________
Figura B ____________
Figura C ____________

Figura A: _________ hora (es)
Figura B: _________ hora (es)
Figura C: _________ hora (es)

Responder:
Figura A: 2 vez (es)
Figura B: 1 vez (es)
Figura C: 4 vez (es)

Explicação:
2 vezes para retornar à orientação original
1 vez para retornar à orientação original
4 vezes para retornar à orientação original

Questão 18.
Faça uma conjectura O triângulo ABC é refletido no eixo y para formar a imagem A′B′C ′. O triângulo A′B′C ′ é então refletido no eixo x para formar a imagem A ″ B ″ C ″. Que tipo de rotação pode ser usado para descrever a relação entre o triângulo A ″ B ″ C ″ e o triângulo ABC?
Digite abaixo:
____________

Responder:
O triângulo A & # 8217B & # 8217C & # 8217 é uma rotação de 90º do triângulo ABC
O triângulo A & # 8221B & # 8221C & # 8221 é uma rotação de 90º do triângulo A & # 8217B & # 8217C & # 8217
Portanto, o Triângulo A & # 8221B & # 8221C & # 8221 é uma rotação de 180º do triângulo ABC

Questão 19.
Comunicar ideias matemáticas O ponto A está no eixo y. Descreva todas as localizações possíveis da imagem A ′ para rotações de 90 °, 180 ° e 270 °. Inclua a origem como um local possível para A.
Digite abaixo:
____________

Responder:
Se o ponto A estiver no eixo y, o ponto A & # 8217 estará no eixo x para rotações de 190 ° e 270 ° e no eixo y para rotação de 180 °
Se o ponto A estiver na origem,
A & # 8217 está na origem para qualquer rotação sobre a origem.

Prática Guiada & # 8211 Representações Algébricas de Transformações & # 8211 Página No. 300

Questão 1.
O triângulo XYZ possui os vértices X (-3, -2), Y (-1, 0) e Z (1, -6). Encontre os vértices do triângulo X′Y′Z ′ após uma translação de 6 unidades à direita. Em seguida, represente graficamente o triângulo e sua imagem.

Digite abaixo:
____________

Responder:
Após uma tradução de 6 unidades para a direita:
X '(3, -2)
Y '(5, 0)
Z '(7, -6)

Questão 2.
Descreva o que acontece com as coordenadas xey depois que um ponto é refletido no eixo x.
Digite abaixo:
____________

Responder:
A coordenada x permanece a mesma, enquanto o sinal da coordenada y muda

Questão 3.
Use a regra (x, y) → (y, -x) para representar graficamente a imagem do triângulo à direita. Em seguida, descreva a transformação.

Digite abaixo:
____________

Responder:
O triângulo é girado 90º no sentido horário sobre a origem

CHECK-IN DE QUESTÕES ESSENCIAIS

Questão 4.
Como as coordenadas xey mudam quando uma figura é traduzida para a direita das unidades a e para baixo unidades de b?
Digite abaixo:
____________

Responder:
As coordenadas x aumentam em a, e as coordenadas y diminuem em b

9.4 Prática Independente & # 8211 Representações Algébricas de Transformações & # 8211 Página No. 301

Escreva uma regra algébrica para descrever cada transformação. Em seguida, descreva a transformação.

Questão 5.

Digite abaixo:
____________

Responder:
regra algébrica
(x, y) - & gt (x-2, y-5)
transformação
tradução de 2 unidades para a esquerda e 5 unidades para baixo
novas coordenadas
M '(- 4, -2)
N '(- 2, -2)
O '(- 1, -4)
P '(- 4, -4)

Questão 6.

Digite abaixo:
____________

Responder:
regra algébrica
(x, y) - & gt (-x, -y)
transformação
rotação de 180º
novas coordenadas
A '(0, 0)
B '(0, -3)
C '(2, -3)
D '(2, 0)

Questão 7.
O triângulo XYZ tem vértices X (6, -2,3), Y (7,5, 5) e Z (8, 4). Quando traduzido, X ′ tem coordenadas (2.8, -1.3). Escreva uma regra para descrever essa transformação. Em seguida, encontre as coordenadas de Y ′ e Z ′.
Digite abaixo:
____________

Responder:
regra algébrica
(x, y) - & gt (x-3.2, y + 1)
novas coordenadas
Y '(4,3, 6)
Z '(4,8, 5)

Questão 8.
O ponto L possui coordenadas (3, -5). As coordenadas do ponto L ′ após uma reflexão são (-3, -5). Sem representar graficamente, diga em qual ponto do eixo L foi refletido. Explique sua resposta.
____________

Responder:
O ponto L foi refletido no eixo y.
Quando você reflete um ponto no eixo y, o sinal da coordenada x muda e o sinal da coordenada y permanece o mesmo

Questão 9.
Use a regra (x, y) → (x & # 8211 2, y & # 8211 4) para representar graficamente a imagem do retângulo. Em seguida, descreva a transformação.

Digite abaixo:
____________

Responder:
O retângulo é traduzido 2 unidades para a esquerda e 4 unidades para baixo

Questão 10.
O paralelogramo ABCD tem vértices A (−2, −5 ( frac <1> <2> )), B (−4, −5 ( frac <1> <2> )), C (-3 , -2) e D (-1, -2). Encontre os vértices do paralelogramo A′B′C′D ′ após uma translação de 2 ( frac <1> <2> ) unidades para baixo.
Digite abaixo:
__________

Representações Algébricas de Transformações & # 8211 Página No. 302

Questão 11.
Alexandra desenhou o logotipo mostrado em papel milimetrado de meia polegada. Escreva uma regra que descreva a tradução que Alexandra usou para criar a sombra na letra A.

Digite abaixo:
__________

Explicação:
tradução em unidades
(x, y) & # 8211 & gt (x + 1, y-0,5)
Esta etapa converte a regra de conversão em unidades para a regra de conversão em polegadas. (Divida por 2, pois o papel milimetrado é um papel de meia polegada.
(x + 1, y-0,5) & # 8211 & gt (x + 0,5, y-0,25)

Questão 12.
Kite KLMN tem vértices em K (1, 3), L (2, 4), M (3, 3) e N (2, 0). Depois que a pipa é girada, K ′ tem as coordenadas (-3, 1). Descreva a rotação e inclua uma regra em sua descrição. Em seguida, encontre as coordenadas de L ′, M ′ e N ′.
Digite abaixo:
__________

Responder:
rotação
90 sentido anti-horário
regra
(x, y) - & gt (-y, x)
novas coordenadas
L '(- 4, 2)
M '(- 3, 3)
N '(0, 2)

FOCO NO PENSAMENTO DE MAIOR ORDEM

Questão 13.
Faça um gráfico de conjectura do triângulo com vértices (-3, 4), (3, 4) e (-5, -5). Use a transformação (y, x) para representar graficamente sua imagem.
uma. Qual vértice da imagem tem as mesmas coordenadas de um vértice da figura original? Explique por que isso é verdade.

Digite abaixo:
__________

Responder:
(-5, 5) tem as mesmas coordenadas

Questão 13.
b. Qual é a equação de uma linha que passa pela origem e este ponto?
Digite abaixo:
__________

Responder:
x e y são iguais, portanto, alternar x e y não tem efeito nas coordenadas

Questão 13.
c. Descreva a transformação do triângulo.
Digite abaixo:
__________

Responder:
x e y são iguais, portanto, alternar x e y não tem efeito nas coordenadas

Questão 14.
Pensamento crítico Mitchell diz que o ponto (0, 0) não muda quando refletido no eixo x ou y ou quando girado sobre a origem. Você concorda com Mitchell? Explique por que ou por que não.
_______

Responder:
Sim concordo com o Mitchell

Explicação:
Refletir no eixo x ou eixo y muda o sinal da coordenada y ou x 0 não pode mudar os sinais.
Girar sobre a origem não altera a origem (0, 0)

Questão 15.
Analisar as relações do triângulo ABC com os vértices A (-2, -2), B (-3, 1) e C (1, 1) é traduzido por (x, y) → (x & # 8211 1, y + 3) . Então a imagem, triângulo A′B′C ′, é traduzida por (x, y) → (x + 4, y & # 8211 1), resultando em A ″ B ″ C ″.
uma. Encontre as coordenadas para os vértices do triângulo A ″ B ″ C ″.
Digite abaixo:
__________

Questão 15.
b. Escreva uma regra para uma tradução que mapeie o triângulo ABC para o triângulo A ″ B ″ C ″.
Digite abaixo:
__________

Prática guiada & # 8211 Figuras congruentes & # 8211 Página No. 306

Questão 1.
Aplique a série indicada de transformações ao retângulo. Cada transformação é aplicada à imagem da transformação anterior, não à figura original. Rotule cada imagem com a letra da transformação aplicada.

A. Reflexo através do eixo y
B. Rotação 90 ° no sentido horário em torno da origem
C. (x, y) → (x & # 8211 2, y)
D. Rotação 90 ° no sentido anti-horário em torno da origem
E. (x, y) → (x & # 8211 7, y & # 8211 2)
Digite abaixo:
__________

Responder:
A. Após a transformação
(1, 3)
(1, 4)
(4, 4)
(4, 3)
B. Após a transformação
(3, -1)
(4, -1)
(4, -4)
(3, -4)
C. Após a transformação
(1, -1)
(2, -1)
(2, -4)
(1, -4)
D. Após a transformação
(1, 1)
(1, 2)
(4, 2)
(4, 1)
E. Após a transformação
(-6, -1)
(-6, 0)
(-3, 0)
(-3, -1)

Identifique uma sequência de transformações que transformará a figura A na figura C.

Questão 2.
Que transformação é usada para transformar a figura A na figura B?
Digite abaixo:
__________

Responder:
Reflexo através do eixo y

Explicação:
A reflexão através do eixo y é usada para transformar a figura A na figura B

Questão 3.
Que transformação é usada para transformar a figura B na figura C?
Digite abaixo:
__________

Responder:
Tradução 3 unidades para a direita e 4 unidades para baixo

Explicação:
A translação de 3 unidades para a direita e 4 unidades para baixo é usada para transformar a figura B na figura C

Questão 4.
Que sequência de transformações é usada para transformar a figura A na figura C? Expresse as transformações algebricamente.
Digite abaixo:
__________

Responder:
A reflexão através do eixo y é usada para transformar a figura A na figura B
A translação de 3 unidades para a direita e 4 unidades para baixo é usada para transformar a figura B na figura C
Algebricamente:
(x, y) - & gt (-x, y)
(x, y) - & gt (x +3, y-4)

Questão 5.
Vocabulário O que significa duas figuras serem congruentes?
Digite abaixo:
__________

Responder:
Duas figuras são congruentes quando as figuras têm o mesmo tamanho e a mesma forma.

CHECK-IN DE QUESTÕES ESSENCIAIS

Questão 6.
Depois de uma sequência de traduções, reflexões e rotações, o que é verdade sobre a primeira figura e a figura final?
Digite abaixo:
__________

Responder:
Após uma sequência de translações, reflexões e rotações, a primeira e a última figura têm o mesmo tamanho e formato. (Eles são congruentes)

9.5 Prática Independente & # 8211 Figuras Congruentes & # 8211 Página No. 307

Para cada figura A fornecida, represente graficamente as figuras B e C usando a sequência de transformações fornecida. Indique se as figuras A e C têm a mesma orientação ou orientações diferentes.

Questão 7.

Figura B: uma tradução de 1 unidade para a direita e 3 unidades para cima
Figura C: uma rotação de 90 ° no sentido horário em torno da origem
Digite abaixo:
__________

Responder:
Orientação diferente

Questão 8.

Figura B: uma reflexão através do eixo y
Figura C: uma rotação de 180 ° em torno da origem
Digite abaixo:
__________

Responder:
Orientação diferente

Questão 9.

Figura B: uma reflexão através do eixo y
Figura C: uma tradução 2 unidades para baixo
Digite abaixo:
__________

Responder:
Orientação diferente

Questão 10.

Figura B: uma tradução 2 unidades para cima
Figura C: uma rotação de 180 ° em torno da origem
Digite abaixo:
__________

Responder:
Orientação diferente

Figuras congruentes & # 8211 Página No. 308

Questão 11.
Representar problemas do mundo real Um planejador de cidade queria colocar a nova biblioteca da cidade no local A. O prefeito achou que seria melhor no local B. Que transformações foram aplicadas ao edifício no local A para realocar o edifício no local B? O prefeito mudou o tamanho ou a orientação da biblioteca?

Digite abaixo:
__________

Responder:
Do Site A para o Site B: Tradução 2 unidades à direita e 4 unidades para baixo
O tamanho NÃO mudou
A orientação mudou

Questão 12.
Persevere na solução de problemas Encontre uma sequência de três transformações que podem ser usadas para obter a figura D da figura A. Represente graficamente as figuras B e C que são criadas pelas transformações.

Digite abaixo:
__________

Responder:
Da figura A a D:
Reflexo através do eixo x (-1, -5) (-1, -6) (2, -5) (4, -6)
Rotação 90º no sentido horário (4, -1) (5, -1) (5, -4) (4, -6)
tradução 6 unidades restantes (4, -1) (5, -1) (5, -4) (4, -6)

FOCO NO PENSAMENTO DE MAIOR ORDEM

Questão 13.
Contra-exemplos As propriedades comutativas para adição e multiplicação afirmam que a ordem dos dois números sendo adicionados ou multiplicados não altera a soma ou o produto. As traduções e rotações são comutativas? Se não, dê um contra-exemplo.
________

Responder:
Não, a translação e as rotações não são comutativas

Explicação:
O ponto (2, 2) torna-se (2, -4) quando transladado 2 unidades para a direita e girado 90 em torno da origem.
O ponto (2, 2) torna-se (4, -2) quando girado 90 em torno da origem e então transladado 2 unidades para a direita.
Os dois pontos acima não são iguais.

Questão 14.
Representações múltiplas Para cada representação, descreva uma possível sequência de transformações.
uma. (x, y) → (-x & # 8211 2, y + 1)
Digite abaixo:
____________

Responder:
tradução 2 unidades à direita e 1 unidade acima
reflexão através do eixo y

Questão 14.
b. (x, y) → (y, -x & # 8211 3)
Digite abaixo:
____________

Responder:
rotação 90º no sentido horário em torno da origem
tradução 3 unidades abaixo

Pronto para continuar? & # 8211 Questionário do modelo & # 8211 Página No. 309

9.1-9.3 Propriedades de traduções, reflexões e rotações

Questão 1.
Represente graficamente a imagem do triângulo ABC após uma translação de 6 unidades para a direita e 4 unidades para baixo. Rotule os vértices da imagem A ', B' e C '.

Digite abaixo:
____________

Responder:
Após a tradução:
A '(2, 1)
B '(2, -1)
C '(5, -1)

Questão 2.
Na mesma grade de coordenadas, represente graficamente a imagem do triângulo ABC após uma reflexão no eixo x. Rotule os vértices da imagem A ”, B” e C ”.
Digite abaixo:
____________

Questão 3.
Represente graficamente a imagem de HIJK depois de girada 180 ° sobre a origem. Rotule os vértices da imagem H’I’J’K ’.

Digite abaixo:
____________

9.4 Representações Algébricas de Transformações

Questão 4.
Um triângulo tem vértices em (2, 3), (−2, 2) e (−3, 5). Quais são as coordenadas dos vértices da imagem após a translação (x, y) → (x + 4, y - 3)?
Digite abaixo:
____________

Responder:
Após a tradução:
(6, 0)
(2, -1)
(1, 2)

9.5 Figuras congruentes

Questão 5.
Traduções de vocabulário, reflexões e rotações produzem uma figura que é _____ à figura original.
Digite abaixo:
____________

Explicação:
As traduções de vocabulário, reflexos e rotações produzem uma figura que é congruente com a figura original.

Questão 6.
Use a grade de coordenadas para o Exercício 3. Reflita H’I’J’K ’sobre o eixo y e, em seguida, gire-o 180 ° sobre a origem. Identifique a nova figura H ″ I ″ J ″ K ″.
Digite abaixo:
____________

QUESTÃO ESSENCIAL

Questão 7.
Como você pode usar transformações para resolver problemas do mundo real?
Digite abaixo:
____________

Responder:
As propriedades transformacionais permitem o movimento sistemático de figuras congruentes, mantendo ou ajustando sua orientação.

Resposta Selecionada & # 8211 Revisão Mista & # 8211 Página No. 310

Questão 1.
Qual seria a orientação da figura L após uma translação de 8 unidades para a direita e 3 unidades para cima?

Opções:
uma. UMA
b. B
c. C
d. D

Explicação:
Após uma translação de 8 unidades para a direita e 3 unidades para cima, a orientação da figura L permanece a mesma.

Questão 2.
A Figura A é refletida sobre o eixo y e, em seguida, abaixada 6 unidades. Qual sequência descreve essas transformações?
Opções:
uma. (x, y) - & gt (x, -y) e (x, y) - & gt (x, y & # 8211 6)
b. (x, y) - & gt (-x, y) e (x, y) - & gt (x, y & # 8211 6)
c. (x, y) - & gt (x, -y) e (x, y) - & gt (x & # 8211 6, y)
d. (x, y) - & gt (-x, y) e (x, y) - & gt (x & # 8211 6, y)

Responder:
b. (x, y) - & gt (-x, y) e (x, y) - & gt (x, y & # 8211 6)

Explicação:
reflexão sobre o eixo y:
(x, y) - & gt (-x, y)
Tradução 6 unidades para baixo
(x, y) - & gt (x, y-6)

Questão 3.
Em que quadrante estaria o triângulo após uma rotação de 90 ° no sentido anti-horário em torno da origem?

Opções:
uma. eu
b. II
c. III
d. 4

Explicação:
Após uma rotação de 90 ° no sentido anti-horário sobre a origem, o triângulo estará em QIV

Questão 4.
Qual número racional é maior que −3 ( frac <1> <3> ) mas menor que - ( frac <4> <5> )?
Opções:
uma. -0,4
b. - ( frac <9> <7> )
c. -0,19
d. - ( frac <22> <5> )

Questão 5.
Qual das afirmações a seguir não é verdadeira para um trapézio que foi refletido no eixo x?
Opções:
uma. O novo trapézio tem o mesmo tamanho do trapézio original.
b. O novo trapézio tem o mesmo formato do trapézio original.
c. O novo trapézio está na mesma orientação do trapézio original.
d. As coordenadas x do novo trapézio são iguais às coordenadas x do trapézio original.

Responder:
d. As coordenadas x do novo trapézio são iguais às coordenadas x do trapézio original.

Explicação:
As coordenadas x do novo trapézio são iguais às coordenadas x do trapézio original.

Questão 6.
Um triângulo com coordenadas (6, 4), (2, −1) e (−3, 5) é transladado 4 unidades para a esquerda e girado 180 ° sobre a origem. Quais são as coordenadas de sua imagem?
Opções:
uma. (2, 4), (-2, -1), (-7, 5)
b. (4, 6), (-1, 2), (5, -3)
c. (4, -2), (-1, 2), (5, 7)
d. (-2, -4), (2, 1), (7, -5)

Questão 7.
Um retângulo com vértices (3, -2), (3, -4), (7, -2), (7, -4) é refletido no eixo x e, em seguida, girado 90 ° no sentido anti-horário.
uma. Em que quadrante está a imagem?
____________

Responder:
Após reflexão e rotação, a imagem encontra-se em QII

Questão 7.
b. Quais são os vértices da imagem?
Digite abaixo:
____________

Questão 7.
c. Que outras transformações produzem a mesma imagem?
Digite abaixo:
____________

Responder:
Uma reflexão através do eixo y e uma rotação de 90º no sentido horário produzirá o mesmo resultado.

Conclusão:

Gabarito Go Math Grade 8 Answer Key Capítulo 9 Transformações e congruência disponíveis online e offline. Os alunos podem consultar a chave de resposta do Go Math Grade 8 da maneira conveniente. Obtenha suas perguntas e respostas matemáticas favoritas do Capítulo e comece a praticá-las.


3. Platonismo

Nos anos anteriores à Segunda Guerra Mundial, tornou-se claro que pesadas objeções haviam sido levantadas contra cada um dos três programas antiplatônicos na filosofia da matemática. O predicativismo foi talvez uma exceção, mas na época era um programa sem defensores. Assim, foi criado espaço para um interesse renovado nas perspectivas de visões platônicas sobre a natureza da matemática. Na concepção platonística, o assunto da matemática consiste em entidades abstratas.

3.1 Platonismo G & oumldel & rsquos

G & oumldel era um platonista com respeito a objetos matemáticos e com respeito a conceitos matemáticos (G & oumldel 1944 G & oumldel 1964). Mas sua visão platônica era mais sofisticada do que a do matemático da rua.

G & oumldel sustentou que há um forte paralelismo entre teorias plausíveis de objetos e conceitos matemáticos, por um lado, e teorias plausíveis de objetos físicos e propriedades, por outro. Como objetos e propriedades físicas, objetos e conceitos matemáticos não são construídos por humanos. Like physical objects and properties, mathematical objects and concepts are not reducible to mental entities. Mathematical objects and concepts are as objective as physical objects and properties. Mathematical objects and concepts are, like physical objects and properties, postulated in order to obtain a good satisfactory theory of our experience. Indeed, in a way that is analogous to our perceptual relation to physical objects and properties, through mathematical intuition we stand in a quasi-perceptual relation with mathematical objects and concepts. Our perception of physical objects and concepts is fallible and can be corrected. In the same way, mathematical intuition is not fool-proof &mdash as the history of Frege&rsquos Basic Law V shows&mdash but it can be trained and improved. Unlike physical objects and properties, mathematical objects do not exist in space and time, and mathematical concepts are not instantiated in space or time.

Our mathematical intuition provides intrinsic evidence for mathematical principles. Virtually all of our mathematical knowledge can be deduced from the axioms of Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice (ZFC). In Gödel&rsquos view, we have compelling intrinsic evidence for the truth of these axioms. But he also worried that mathematical intuition might not be strong enough to provide compelling evidence for axioms that significantly exceed the strength of ZFC.

Aside from intrinsic evidence, it is in Gödel&rsquos view also possible to obtain extrinsic evidence for mathematical principles. If mathematical principles are successful, then, even if we are unable to obtain intuitive evidence for them, they may be regarded as probably true. Gödel says that &ldquosuccess here means fruitfulness in consequences, particularly in &ldquoverifiable&rdquo consequences, i.e. consequences verifiable without the new axiom, whose proof with the help of the new axiom, however, are considerably simpler and easier to discover, and which make it possible to contract into one proof many different proofs [&hellip] There might exist axioms so abundant in their verifiable consequences, shedding so much light on a whole field, yielding such powerful methods for solving problems [&hellip] that, no matter whether or not they are intrinsically necessary, they would have to be accepted at least in the same sense as any well-established physical theory&rdquo (Gödel 1947, p. 477). This inspired Gödel to search for new axioms which can be extrinsically motivated and which can decide questions such as the continuum hypothesis which are highly independent of ZFC (cf. section 5.1).

Gödel shared Hilbert&rsquos conviction that all mathematical questions have definite answers. But platonism in the philosophy of mathematics should not be taken to be ipso facto committed to holding that all set-theoretical propositions have determinate truth values. There are versions of platonism that maintain, for instance, that all theorems of ZFC are made true by determinate set-theoretical facts, but that there are no set-theoretical facts that make certain statements that are highly independent of ZFC truth-determinate. It seems that the famous set theorist Paul Cohen held some such view (Cohen 1971).

3.2 Naturalism and Indispensability

Quine formulated a methodological critique of traditional philosophy. He suggested a different philosophical methodology instead, which has become known as naturalism (Quine 1969). According to naturalism, our best theories are our best scientific theories. If we want to obtain the best available answer to philosophical questions such as O que do we know? e Which kinds of entities exist?, we should not appeal to traditional epistemological and metaphysical theories. We should also refrain from embarking on a fundamental epistemological or metaphysical inquiry starting from first principles. Rather, we should consult and analyze our best scientific theories. They contain, albeit often implicitly, our currently best account of what exists, what we know, and how we know it.

Putnam applied Quine&rsquos naturalistic stance to mathematical ontology (Putnam 1972). At least since Galilei, our best theories from the natural sciences are mathematically expressed. Newton&rsquos theory of gravitation, for instance, relies heavily on the classical theory of the real numbers. Thus an ontological commitment to mathematical entities seems inherent to our best scientific theories. This line of reasoning can be strengthened by appealing to the Quinean thesis of confirmational holism. Empirical evidence does not bestow its confirmatory power on any one individual hypothesis. Rather, experience globally confirms the theory in which the individual hypothesis is embedded. Since mathematical theories are part and parcel of scientific theories, they too are confirmed by experience. Thus, we have empirical confirmation for mathematical theories. Even more appears true. It seems that mathematics is indispensable to our best scientific theories: it is not at all obvious how we could express them without using mathematical vocabulary. Hence the naturalist stance commands us to accept mathematical entities as part of our philosophical ontology. This line of argumentation is called an indispensability argument (Colyvan 2001).

If we take the mathematics that is involved in our best scientific theories at face value, then we appear to be committed to a form of platonism. But it is a more modest form of platonism than Gödel&rsquos platonism. For it appears that the natural sciences can get by with (roughly) function spaces on the real numbers. The higher regions of transfinite set theory appear to be largely irrelevant to even our most advanced theories in the natural sciences. Nevertheless, Quine thought (at some point) that the sets that are postulated by ZFC are acceptable from a naturalistic point of view they can be regarded as a generous rounding off of the mathematics that is involved in our scientific theories. Quine&rsquos judgement on this matter is not universally accepted. Feferman, for instance, argues that all the mathematical theories that are essentially used in our currently best scientific theories are predicatively reducible (Feferman 2005). Maddy even argues that naturalism in the philosophy of mathematics is perfectly compatible with a non-realist view about sets (Maddy 2007, part IV).

In Quine&rsquos philosophy, the natural sciences are the ultimate arbiters concerning mathematical existence and mathematical truth. This has led Charles Parsons to object that this picture makes the obviousness of elementary mathematics somewhat mysterious (Parsons 1980). For instance, the question whether every natural number has a successor ultimately depends, in Quine&rsquos view, on our best empirical theories however, somehow this fact appears more immediate than that. In a kindred spirit, Maddy notes that mathematicians do not take themselves to be in any way restricted in their activity by the natural sciences. Indeed, one might wonder whether mathematics should not be regarded as a science in its own right, and whether the ontological commitments of mathematics should not be judged rather on the basis of the rational methods that are implicit in mathematical practice.

Motivated by these considerations, Maddy set out to inquire into the standards of existence implicit in mathematical practice, and into the implicit ontological commitments of mathematics that follow from these standards (Maddy 1990). She focussed on set theory, and on the methodological considerations that are brought to bear by the mathematical community on the question which large cardinal axioms can be taken to be true. Thus her view is closer to that of Gödel than to that of Quine. In more recent work, she isolates two maxims that seem to be guiding set theorists when contemplating the acceptability of new set theoretic principles: unify e maximize (Maddy 1997). The maxim &ldquounify&rdquo is an instigation for set theory to provide a single system in which all mathematical objects and structures of mathematics can be instantiated or modelled. The maxim &ldquomaximize&rdquo means that set theory should adopt set theoretic principles that are as powerful and mathematically fruitful as possible.

3.3 Deflating Platonism

Bernays observed that when a mathematician is at work she &ldquonaively&rdquo treats the objects she is dealing with in a platonistic way. Every working mathematician, he says, is a platonist (Bernays 1935). But when the mathematician is caught off duty by a philosopher who quizzes her about her ontological commitments, she is apt to shuffle her feet and withdraw to a vaguely non-platonistic position. This has been taken by some to indicate that there is something wrong with philosophical questions about the nature of mathematical objects and of mathematical knowledge.

Carnap introduced a distinction between questions that are internal to a framework and questions that are external to a framework (Carnap 1950). Tait has worked out in detail how something like this distinction can be applied to mathematics (Tait 2005). This has resulted in what might be regarded as a deflationary version of platonism.

According to Tait, questions of existence of mathematical entities can only be sensibly asked and reasonably answered from within (axiomatic) mathematical frameworks. If one is working in number theory, for instance, then one can ask whether there are prime numbers that have a given property. Such questions are then to be decided on purely mathematical grounds.

Philosophers have a tendency to step outside the framework of mathematics and ask &ldquofrom the outside&rdquo whether mathematical objects mesmo exist and whether mathematical propositions are mesmo true. In this question they are asking for supra-mathematical or metaphysical grounds for mathematical truth and existence claims. Tait argues that it is hard to see how any sense can be made of such external questions. He attempts to deflate them, and bring them back to where they belong: to mathematical practice itself. Of course not everyone agrees with Tait on this point. Linsky and Zalta have developed a systematic way of answering precisely the sort of external questions that Tait approaches with disdain (Linsky & Zalta 1995).

It comes as no surprise that Tait has little use for Gödelian appeals to mathematical intuition in the philosophy of mathematics, or for the philosophical thesis that mathematical objects exist &ldquooutside space and time&rdquo. More generally, Tait believes that mathematics is not in need of a philosophical foundation he wants to let mathematics speak for itself. In this sense, his position is reminiscent of the (in some sense Wittgensteinian) natural ontological attitude that is advocated by Arthur Fine in the realism debate in the philosophy of science.

3.4 Benacerraf&rsquos Epistemological Problem

Benacerraf formulated an epistemological problem for a variety of platonistic positions in the philosophy of science (Benacerraf 1973). The argument is specifically directed against accounts of mathematical intuition such as that of Gödel. Benacerraf&rsquos argument starts from the premise that our best theory of knowledge is the causal theory of knowledge. It is then noted that according to platonism, abstract objects are not spatially or temporally localized, whereas flesh and blood mathematicians are spatially and temporally localized. Our best epistemological theory then tells us that knowledge of mathematical entities should result from causal interaction with these entities. But it is difficult to imagine how this could be the case.

Today few epistemologists hold that the causal theory of knowledge is our best theory of knowledge. But it turns out that Benacerraf&rsquos problem is remarkably robust under variation of epistemological theory. For instance, let us assume for the sake of argument that reliabilism is our best theory of knowledge. Then the problem becomes to explain how we succeed in obtaining reliable beliefs about mathematical entities.

Hodes has formulated a semantical variant of Benacerraf&rsquos epistemological problem (Hodes 1984). According to our currently best semantic theory, causal-historical connections between humans and the world of concreta enable our words to refer to physical entities and properties. According to platonism, mathematics refers to abstract entities. The platonist therefore owes us a plausible account of how we (physically embodied humans) are able to refer to them. On the face of it, it appears that the causal theory of reference will be unable to supply us with the required account of the &lsquomicrostructure of reference&rsquo of mathematical discourse.

3.5 Plenitudinous Platonism

A version of platonism has been developed which is intended to provide a solution to Benacerraf&rsquos epistemological problem (Linsky & Zalta 1995 Balaguer 1998). This position is known as plenitudinous platonism. The central thesis of this theory is that every logically consistent mathematical theory necessarily refers to an abstract entity. Whether the mathematician who formulated the theory knows that it refers or does not know this, is largely immaterial. By entertaining a consistent mathematical theory, a mathematician automatically acquires knowledge about the subject matter of the theory. So, on this view, there is no epistemological problem to solve anymore.

In Balaguer&rsquos version, plenitudinous platonism postulates a multiplicity of mathematical universes, each corresponding to a consistent mathematical theory. Thus, in particular a question such as the continuum problem (cf. section 5.1) does not receive a unique answer: in some set-theoretical universes the continuum hypothesis holds, in others it fails to hold. However, not everyone agrees that this picture can be maintained. Martin has developed an argument to show that multiple universes can always to a large extent be &ldquoaccumulated&rdquo into a single universe (Martin 2001).

In Linsky and Zalta&rsquos version of plenitudinous platonism, the mathematical entity that is postulated by a consistent mathematical theory has exactly the mathematical properties which are attributed to it by the theory. The abstract entity corresponding to ZFC, for instance, is partial in the sense that it neither makes the continuum hypothesis true nor false. The reason is that ZFC neither entails the continuum hypothesis nor its negation. This does not entail that all ways of consistently extending ZFC are on a par. Some ways may be fruitful and powerful, others less so. But the view does deny that certain consistent ways of extending ZFC are preferable because they consist of true principles, whereas others contain false principles.


Order of operations problems

First, study the example in the figure carefully!

Multiply and Divide from left to right

Add and Subtract from left to right

The following mnemonic may help you remember the rule:

PEMDAS ( Please Excuse My Dear Aunt Sally )

The P stands for Parentheses

The E stands for Exponents

The M stands for Multiply

The D stands for Division

The S stands for Subtraction

Even though M comes before D in PEMDAS, the two operations have the same power. By the same token, even though A comes before S, the two operations have the same power.


Try it Yourself

But you may see a circle equation and not know it!

Because it may not be in the neat "Standard Form" above.

As an example, let us put some values to a, b and r and then expand it

It is a circle equation, but "in disguise"!

So when you see something like that think "hmm . that poderia be a circle!"

In fact we can write it in "General Form" by putting constants instead of the numbers:

Note: General Form always has x 2 + y 2 for the first two terms.


Math Work Problems - Two Persons

In these lessons, we will learn how to solve work problems that involve two persons who may work at different rates.

Problemas de trabalho são problemas de palavras que envolvem pessoas diferentes trabalhando juntas, mas em ritmos diferentes. If the people were working at the same rate then we can use the Inversely Proportional Method instead.

How To Solve Work Problems: Two Persons, Unknown Time

We will learn how to solve math work problems that involve two persons. We will also learn how to solve work problems with unknown time.

The following diagram shows the formula for Work Problems that involve two persons. Scroll down the page for more examples and solutions on solving algebra work problems.

This formula can be extended for more than two persons.

"Work" Problems: Two Persons

Exemplo:
Peter can mow the lawn in 40 minutes and John can mow the lawn in 60 minutes. How long will it take for them to mow the lawn together?

Solução:
Step 1: Assign variables:
Deixar x = time to mow lawn together.

Etapa 3: Resolva a equação
The LCM of 40 and 60 is 120
Multiply both sides with 120

Answer: The time taken for both of them to mow the lawn together is 24 minutes.

Work Problems With One Unknown Time

  1. Catherine can paint a house in 15 hours. Dan can paint a house in 30 hours. How long will it take them working together.
  2. Evan can clean a room in 3 hours. If his sister, Faith helps, it takes them two and two-fifths hours. How long will it take Faith working alone?

Variations Of GMAT Combined Work Problems

  1. Working at a constant rate, Joe can paint a fence in 4 hours. Working at a constant rate, his brother can paint the same fence in 2 hours. How long will it take them to paint the fence if they both work together at their respective constant rates?
  2. Working alone at a constant rate, machine A takes 2 hours to build a care. Working alone at a constant rate, machine B takes 3 hours to build the same car. If they work together for 1 hour at their respective constant rates and then machine B breaks down, how much additional time will it take machine A to finish the car by itself?
  3. Working alone at a constant rate, Carla can wash a load of dishes in 42 minutes. If Carla works together with Dan and they both work at constant rates, it takes them 28 minutes to wash the same load of dishes. Working at a constant rate, how long would it take Dan to wash the load of dishes by himself?

How To Solve &ldquoWorking Together&rdquo Problems?

Exemplo:
It takes Andy 40 minutes to do a particular job alone. It takes Brenda 50 minutes to do the same job alone. How long would it take them if they worked together?

Word Problem: Work, Rates, Time To Complete A Task

We are given that a person can complete a task alone in 32 hours and with another person they can finish the task in 19 hours. We want to know how long it would take the second person working alone.

Exemplo:
Latisha and Ricky work for a computer software company. Together they can write a particular computer program in 19 hours. Latisha van write the program by herself in 32 hours. How long will it take Ricky to write the program alone?

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4.2: New Page - Mathematics

Matemática do dia a dia is divided into Units, which are divided into Lessons. In the upper-left corner of the Home Link, you should see an icon like this:


The Unit number is the first number you see in the icon, and the Lesson number is the second number. In this case, the student is working in Unit 5, Lesson 4. To access the help resources, you would select "Unit 5" from the list above, and then look for the row in the table labeled "Lesson 5-4."

Everyday Mathematics for Parents: What You Need to Know to Help Your Child Succeed

The University of Chicago School Mathematics Project

University of Chicago Press


WHAT THEY’RE SAYING:

"That was the best, most motivating, most powerful inservice in my 20 years of teaching. Thank you so much for that opportunity and thanks for re-energizing my math planning and thinking in the middle of the year. Kudos. My kids are addicted to the Kakooma puzzles after just one try!"

"This is the best money I&aposve spent on my classroom in a long time! I just wanted to say THANK YOU so much for making math come alive for our students. and teachers. Everyone has a renewed spirit for learning thanks to your energy."

"Thank you so much for a fun afternoon!! I brought the Greg Tang kit home to try out with my second grader. We have been playing for the past TWO hours! He said he wants to play until midnight. ) He has had so much fun learning math and I can&apost wait to share with my teachers. He even made up a game of his own that he said was "very mathy". and it was! He wants to share it with you!"

"Thanks, Greg Tang for the easiest math night ever! I was able to set up and train my teacher volunteers to play the games in less than a half hour. We literally had to pry the game pieces out of the families&apos hands at 7pm when the event was over. One parent yelled across the parking lot to me the next morning that her two daughters were still "Greg Tanging" it for another hour after they got home. Thank you for making math practice FUN!"

"Thank you so much for this class kit! I used the kit over the summer to play math games with some students and they loved it! Even the reluctant ones were engaged and having fun. Also, it&aposs great that I can differentiate the games because there are multiple levels included. We already play the online Greg Tang math games, so this is a great extension of those activities. I can&apost wait to introduce this year&aposs class to these games!"

"My students struggled at first with the Tangy Tuesday packet. However, after a month they are screaming for more. I hand the packed out on Tuesday and collect on Friday. We review the packet the following week. Thank you Greg Tang for bringing excitement into my math class!"


Assista o vídeo: Videoaula de Matemática 3ºBimestre- 3ºA (Dezembro 2021).