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11.5: Operadores positivos - Matemática


Lembre-se de que os operadores auto-adjuntos são o operador analógico para números reais. Vamos agora definir o operador analógico para números reais positivos (ou, mais precisamente, não negativos).

Definição 11.5.1. Um operador (T in mathcal {L} (V) ) é chamado positivo (denotado como (T ge 0 )) se (T = T ^ * ) e ( inner {Tv} {v} ge 0 ) para todos (v in V ).

Se (V ) é um espaço vetorial complexo, então a condição de auto-junção segue da condição ( inner {Tv} {v} ge 0 ) e, portanto, pode ser descartada.

Exemplo 11.5.2. Observe que, para todos os (T in mathcal {L} (V) ), temos (T ^ * T ge 0 ) uma vez que (T ^ * T ) é auto-adjunta e ( inner {T ^ * Tv} {v} = inner {Tv} {Tv} ge 0 ).

Exemplo 11.5.3. Seja (U subconjunto V ) um subespaço de (V ) e (P_U ) a projeção ortogonal em (U ).

Então (P_U ge 0 ). Para ver isso, escreva (V = U oplus U ^ bot ) e (v = u_v + u_v ^ bot ) para cada (v in V ), onde (u_v in U ) e (u_v ^ bot in U ^ bot ). Então ( interno {P_U v} {w} = interno {u_v} {u_w + u_w ^ bot} = interno {u_v} {u_w} = interno {u_v + u_v ^ bot} {u_w} = inner {v} {P_U w} ) de forma que (P_U ^ * = P_U ). Além disso, definindo (v = w ) na cadeia de equações acima, obtemos ( interno {P_U v} {v} = interno {u_v} {u_v} ge 0 ), para todos (v em V ). Portanto, (P_U ge 0 ).

Se ( lambda ) é um autovalor de um operador positivo (T ) e (v in V ) é um autovetor associado, então ( inner {Tv} {v} = inner { lambda v} {v} = lambda inner {v} {v} ge 0 ). Como ( inner {v} {v} ge 0 ) para todos os vetores (v in V ), segue-se que ( lambda ge 0 ). Este fato pode ser usado para definir ( sqrt {T} ) pela configuração

begin {equation *}
sqrt {T} e_i = sqrt { lambda_i} e_i,
end {equação *}

onde ( lambda_i ) são os autovalores de (T ) com respeito à base ortonormal (e = (e_1, ldots, e_n) ). Nós sabemos que estes existem pelo Teorema Espectral.


Um convite à teoria do operador

Este livro oferece uma exposição abrangente e de fácil leitura da teoria dos operadores lineares em espaços de Banach e treliças de Banach. Abramovich e Aliprantis fazem uma apresentação única que inclui muitos novos desenvolvimentos na teoria dos operadores e também reúne resultados que estão espalhados pela vasta literatura. Por exemplo, subespaços invariantes de operadores positivos e a equação de Daugavet são apresentados em forma de monografia pela primeira vez.

Os autores mantêm a discussão independente e usam exercícios para atingir esse objetivo. O livro contém mais de 600 exercícios para ajudar os alunos a dominar o material desenvolvido no texto. Os exercícios apresentam graus variados de dificuldade e desempenham um papel importante e útil na exposição. Eles ajudam a liberar as provas dos principais resultados de alguns detalhes técnicos, mas fornecem aos alunos relatos precisos e completos de como tais detalhes devem ser trabalhados. Os exercícios também contêm uma quantidade considerável de material adicional que inclui muitos resultados bem conhecidos cujas provas não estão prontamente disponíveis em outros lugares.

O volume que o acompanha, Problems in Operator Theory, também de Abramovich e Aliprantis, está disponível na AMS como Volume 51 na série Graduate Studies in Mathematics e contém soluções completas para todos os exercícios em Um convite à teoria do operador.

As soluções demonstram detalhes técnicos explicitamente nas provas de muitos resultados na teoria do operador, fornecendo ao leitor relatos rigorosos e completos de tais detalhes. Finalmente, o livro oferece uma quantidade considerável de material adicional e desenvolvimentos posteriores. Adicionando material extra a muitos exercícios, os autores conseguiram manter a apresentação o mais independente possível. A melhor maneira de aprender matemática é fazendo matemática, e o livro Problems in Operator Theory ajudará a atingir esse objetivo.

Os pré-requisitos para cada livro são os cursos de graduação introdutórios padrão em análise real, topologia geral, teoria da medida e análise funcional. Um convite para a teoria do operador é adequado para cursos de graduação ou avançados em teoria do operador, análise real, teoria da integração, teoria da medida, teoria da função e análise funcional. Problemas na teoria do operador é um texto suplementar muito útil nas áreas acima. Ambos os livros serão de grande interesse para pesquisadores e estudantes de matemática, bem como de física, economia, finanças, engenharia e outras áreas afins, e serão uma ferramenta de referência indispensável.

Leitores

Alunos de pós-graduação e pesquisadores interessados ​​em matemática, física, economia, finanças, engenharia e outras áreas relacionadas.

Críticas e endossos

O livro é uma boa introdução a esta parte específica da teoria do operador e hellip. Além da escolha do material e do livro ser tão bem escrito quanto normalmente se espera desses autores, há duas características que diferenciam este livro dos outros. O primeiro é o grande cuidado que os autores dão para a atribuição correta dos resultados originais & hellip e o segundo são os exercícios que estão incluídos & hellip há mais de 600 exercícios & hellip Os autores tomam o mesmo cuidado com a atribuição desses exercícios como fazem com o resulta no corpo do texto & hellip dificilmente se poderia desejar um texto melhor do que este.


As Quatro Operações Matemáticas Básicas

--adição, subtração, multiplicação e divisão - têm aplicação mesmo nas teorias matemáticas mais avançadas. Assim, dominá-los é uma das chaves para progredir na compreensão da matemática e, especificamente, da álgebra. As calculadoras eletrônicas tornaram essas (e outras) operações simples de executar, mas esses dispositivos também podem criar uma dependência que torna o entendimento da matemática bastante difícil. As calculadoras podem ser uma ferramenta útil para verificar as respostas, mas se você confiar demais em uma delas, poderá se privar do tipo de exercícios mentais rigorosos que o ajudarão não apenas a fazer matemática, mas a compreender totalmente o que está fazendo.

Adição e subtração são duas operações complementares - podemos realmente definir a subtração em termos de adição. A adição é simplesmente a combinação de conjuntos distintos de entidades semelhantes (e devemos enfatizar a palavra Como) Portanto, se adicionarmos um conjunto de quatro quadrados a outro conjunto de cinco quadrados, obteremos um total de nove quadrados. (Ou, se preferir, substitua por "quadrados" qualquer coisa que desejar - cachorros, bananas, pessoas, pedras ou qualquer outra coisa.)

O diagrama acima é uma ilustração do processo de adição. Observe que o sinal de mais (+) indica a operação realizada nas duas termos. Nesse caso, as somas são quatro quadrados e cinco quadrados. O sinal de igual (=) indica que o que está à sua esquerda e o que está à sua direita são equivalentes (ou iguais). No lado direito está o soma, que é o resultado da adição das somas. Claro, desenhar fotos toda vez que quisermos representar uma adição seria muito chato (e em alguns casos impossível). Assim, em vez de falar sobre um certo número de quadrados, maçãs, pessoas, polegadas ou dólares), por exemplo, podemos simplesmente lidar com os números.

Além disso, observe que a ordem em que adicionamos os quadrados não faz diferença. Quer adicionemos quatro quadrados a cinco quadrados ou vice-versa, o resultado é sempre nove quadrados.

Na linguagem matemática, a adição é comutativo podemos adicionar dois summands em qualquer ordem e sempre obter o mesmo resultado. Seguindo nosso exemplo,

Subtração é o oposto de adição. Em vez de adicionar duas quantidades (números), estamos removendo uma quantidade da outra. Assim, se tivermos nove quadrados e tirar (subtrair) cinco, ficamos com quatro quadrados. Usando apenas os números, onde o sinal de menos (& # 8211) representa a operação de subtração,

Aqui, 9 e 5 são os termos da operação e 4 é o diferença. Ao contrário da adição, a subtração não é comutativa. Ou seja, 9 & # 8211 5 e 5 & # 8211 9 são não o mesmo - na verdade, eles produzem resultados bastante diferentes! (O símbolo & # 8800 abaixo significa simplesmente "não é igual".)

A adição (e qualquer outra operação básica) pode envolver a contagem de números (1, 2, 3, 4, 5 e assim por diante), o número zero (0) e qualquer número intermediário (valores fracionários, como meio , por exemplo). Além disso, podemos encontrar negativo números, que são quantidades menores que zero. Se pensarmos em números positivos como quantidades de algo que possuímos (digamos, por exemplo, que temos 10 laranjas), então um número negativo seria uma quantidade de algo que devemos (se devêssemos a alguém 10 laranjas, então poderíamos digamos que temos 10 laranjas negativas). Os números negativos são normalmente expressos com um sinal de menos (& # 8211), portanto, 10 negativo pode ser escrito como -10. O uso do sinal de menos não é coincidência - na verdade, a subtração nada mais é do que uma adição envolvendo um número negativo! Imagine que você possui nove maçãs (nove positivas), mas deve a um amigo quatro maçãs (quatro negativas). Assim, você pega quatro maçãs das nove que tem, deixando cinco.

Multiplicação e divisão

Digamos que queremos adicionar um número específico, como seis, a ele mesmo várias vezes. Por exemplo, um trabalhador de uma fábrica pode desejar contar o número de peças entregues em várias caixas. Cada caixa contém seis peças e há um total de cinco caixas. Para descobrir quantas peças ele possui, o trabalhador deve somar o número seis a ele mesmo cinco vezes.

Podemos encontrar a soma simplesmente realizando a adição várias vezes. Um atalho, entretanto, é a multiplicação. Imagine as partes em cada uma das cinco caixas dispostas em linhas, conforme mostrado abaixo (usamos um quadrado para representar uma parte).

Cada linha acima representa uma caixa em cada linha é seis partes. Temos um total de cinco linhas. Assim, em vez de realizar cinco adições de seis, simplesmente multiplicamos seis por cinco para obter um total de 30. A multiplicação é normalmente representada por um, embora às vezes um & # 183 seja usado em seu lugar. Os dois números que estão sendo multiplicados são chamados fatores, e o resultado é chamado de produtos.

Como a adição, a multiplicação é comutativa. Imagine inverter o arranjo dos quadrados mostrado acima de modo que, em vez de serem cinco fileiras de seis quadrados cada, sejam seis fileiras de cinco quadrados cada. Não alteramos o número total de quadrados, mas seguindo a lógica que usamos, podemos dizer que o número total de quadrados agora é seis multiplicado por (ou vezes) cinco.

A multiplicação de números negativos traz consigo algumas sutilezas adicionais. Digamos que alguém deva a um amigo cinco maçãs de alguma forma, então ele tem & # 82115 maçãs. Também podemos olhar para esta situação como aquela pessoa devendo a seu amigo uma maçã cinco vezes, que é & # 82111 multiplicado por 5. Já sabemos que ele tem & # 82115 maçãs, então o produto de & # 82111 e 5 deve ser & # 82115.

Assim, se um fator for positivo e outro negativo, seu produto será negativo. E quanto ao produto de dois números negativos? Podemos ver isso como a "negação de uma negação" ou uma negativa dupla - o resultado é um número positivo. (Imagine dever a um amigo um número negativo de maçãs - isso seria o mesmo que ter aquelas maçãs em primeiro lugar!) Por exemplo, então,

A divisão é o inverso da multiplicação. Por exemplo, imagine que o operário mencionado acima tenha 30 peças e queira distribuí-las em cinco caixas. Ele deve dividir 30 por 5 esta operação é mostrada usando o símbolo de divisão ().

Ou seja, entre as 30 peças, podemos contar 5 peças num total de 6 vezes. (Outra maneira de dizer isso é que 5 vai para 30 seis vezes.) O número que está sendo dividido (30 neste caso) é chamado de dividendo, o número pelo qual é dividido (5 neste caso) é chamado de divisor, e o resultado é chamado de quociente. Lembre-se de que escrevemos o seguinte produto:

Observe, então, que se o produto de dois fatores é dividido por um dos fatores, o quociente é igual ao outro fator.

A divisão, ao contrário da multiplicação, não é comutativa.

As regras para dividir números negativos são iguais às da multiplicação: se o dividendo e o divisor forem ambos positivos ou negativos, o quociente é positivo, e se um for positivo e o outro negativo, então o quociente é negativo. Os problemas de prática a seguir oferecem a oportunidade de praticar o uso de alguns dos conceitos discutidos neste artigo.

Problema de prática: Para cada par de expressões, determine se eles são iguais.

uma. 3 + (& # 82114) e (& # 82114) + 3 b. 4 2 e 2 4 c. 3 & # 8211 1 e (& # 82111) + 3

Solução: Cada par de expressões acima é igual. Vejamos por que esse é o caso. Para a parte a, lembre-se de que a adição é comutativa. Assim, não importa a ordem que usamos para os termos, independentemente de os números serem negativos ou positivos. O mesmo raciocínio se aplica à parte b: a multiplicação é comutativa. Na parte c, os dois também são iguais porque a subtração é o mesmo que a adição de um negativo:

Além disso, a adição é comutativa:

No entanto, você deve ter cuidado, porque 3 & # 8211 1 é não igual a 1 & # 8211 3!

Problema de prática: Calcule cada um dos seguintes.

Solução: Em cada caso, observe atentamente o sinal dos termos, fatores, dividendos e divisores das operações, certificando-se de seguir as regras estabelecidas anteriormente. As partes aeb são diretas.

Se você não consegue se lembrar das regras para os sinais ao dividir, lembre-se de que o produto do quociente pelo divisor é o dividendo. (Neste caso, o produto de & # 82113 e & # 82117 é 21)

Você também pode reescrever a parte d usando a adição: (& # 82116) & # 8211 (3) = (& # 82116) + (& # 82113). O restante das partes segue as regras básicas já discutidas ou as estratégias que revisamos para esse problema.


Acu, A.M., Raşa, I .: Novas estimativas para as diferenças de operadores lineares positivos. Numer. Algoritmos 73, 775–789 (2016)

Agratini, O .: Propriedades de operadores discretos não multiplicativos. Anal. Matemática. Phys. (2017). https://doi.org/10.1007/s13324-017-0186-4

DeVore, R.A., Lorentz, G.G .: Constructive Approximation. Springer, Berlim (1993)

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Szász, O .: Generalization of S. Bernstein’s polinomials to the infinite interval. J. Res. Natl. Bur. Ficar. 45, 239–245 (1950)


Operadores positivos, espaços Riesz e aplicativos

Um workshop está planejado para estabelecer um grupo de pesquisadores nas áreas de Operadores Positivos, Espaços Riesz (ou espaços vetoriais ordenados mais gerais) e suas aplicações em Economia e Finanças entre a University of the Free State, University of Fort Hare, University of Johannesburg , Universidade de Limpopo, Universidade Sefako Makgatho e Universidade de Pretória. Recrutar e treinar alunos graduados e também participar da rede de pesquisa anual MASAMU em colaborações com a Auburn University nos EUA e a Southern African Mathematical Science Association (SAMSA).

A teoria da positividade na análise moderna foi desenvolvida na década de 70 do século 20, principalmente por Zaanen com seus colaboradores, mas também por escolas russas e polonesas. Isso resultou no desenvolvimento da teoria do espaço de Riesz (rede vetorial) e, logo depois, as aplicações da teoria da positividade foram encontradas na teoria espectral de operadores positivos e na economia. Em 1990, Aliprantis e sua equipe de colaboradores realizaram uma mini-conferência sobre operadores positivos, espaços de Riesz e suas aplicações, convidando teóricos e economistas do espaço de Riesz que trabalham com problemas de equilíbrio para trocar ideias e compartilhar experiências. A partir daí, muitas descobertas foram feitas resultando na publicação de diversos artigos e livros nessas áreas. Alguns livros seminais sobre Riesz Spaces com aplicações para Economia foram escritos por Aliprantis e seus colaboradores, notavelmente o livro estendido sobre Locally Solid Riesz Spaces and Applications to Economics (2003). Em 2000, as aplicações dos Espaços de Riesz a processos estocásticos foram desenvolvidas principalmente por C.C.A. Labuschagne e sua equipe de pesquisadores, bem como por Troitsky e outros. Labuschagne e seus alunos de doutorado desenvolveram uma ideia em processos estocásticos em espaços Riesz que forneceu novas e mais informações sobre a convergência martingale em espaços Bochner. Recentemente, aplicações de Espaços de Riesz em redes assimetricamente normadas foram dadas e alguns avanços foram alcançados nesta direção, em particular no que diz respeito à noção de compactação em tais espaços. A principal motivação no estudo destes vem de suas aplicações à ciência da computação teórica. A principal referência sobre desenvolvimentos recentes nesta área é o livro Functional Analysis in Asymmetric Normed Spaces (2013) de S. Cobzas.

Nosso objetivo é estabelecer um grupo de pesquisadores nas áreas de operadores positivos, espaços Riesz (ou espaços vetoriais ordenados mais gerais) e suas aplicações em Economia e Finanças entre a Universidade do Estado Livre, Universidade de Fort Hare, Universidade de Joanesburgo, Universidade de Limpopo, Universidade Sefako Makgatho e Universidade de Pretória. Recrutar e treinar alunos graduados e também participar da rede de pesquisa anual MASAMU em colaborações com a Auburn University nos EUA e a Southern African Mathematical Science Association (SAMSA).

O foco principal é no desenvolvimento e extensão dos resultados em Espaços Riesz para espaços vetoriais ordenados mais gerais,

  1. O estudo de bandas em espaços vetoriais ordenados que não são necessariamente espaços de Riesz.
  2. O estudo dos cones, bases dos cones e suas aplicações na caracterização da reflexividade e problemas de equilíbrio em economia.
  3. Desenvolvimento de Martingales livres de medidas em espaços Riesz.
  4. Teoria da norma assimétrica em espaços de Riesz normatizados.
  5. Estudo de funções de utilidade em espaços vetoriais ordenados.
  6. Teoria do ponto fixo em espaços de Riesz (ou espaços vetoriais ordenados) e em configuração assimétrica.
  7. Aplicações dos espaços de Riesz na teoria espectral de operadores positivos.

As seguintes atividades serão seguidas,

  1. Organize pelo menos um mini workshop em um ano a ser realizado na Universidade de Pretória, campus de Hatfield.
  2. Reunião de pesquisa / discussão / seminário face a face entre os membros a uma distância de viagem.
  3. Skype ou reunião de pesquisa online com membros cujas Universidades estejam distantes do resto do grupo.
  4. Participar da conferência Positivity, Topology, Algebra, Analysis and Geometry (TAAG), Southern African Mathematical Science Association (SAMSA), South African Mathematical Society, Topology and your application conference.

Os departamentos de Matemática, Ciência da Computação e Economia das seguintes Universidades são nossos parceiros

  1. Babes Bolyai University, Cluj, Romênia
  2. Universidade Pública de Navarra, Pamplona, ​​Espanha
  3. Universidade das Ilhas Baleares, Palma de Maiorca, Espanha
  4. Universidade de Valência, Valência, Espanha
  5. Auburn University, EUA.
  1. Dr. Abdullah Aydin, Departamento de Matemática, Universidade Mus Alparslan, Mus, Turquia, a) Convergência Multiplicativa em Espaços Riesz
    b) Convergência de ordem em f-álgebras.
  2. Prof Nazife Erkusun, Departamento de Matemática, Hacettepe University, Ancara, Turquia
    a) Sobre propriedades ergódicas de redes de operadores em álgebras de Von Neumann.
    b) Convergência p não limitada em espaços de Riesz normatizados.
  3. Prof Jacek Banasiak, Departamento de Matemática e Matemática Aplicada, Universidade de Pretória.
    a) Redes e aplicações de Banach.
  4. Dr. Mokhwetha Mabula, Departamento de Matemática e Matemática Aplicada, Universidade de Pretória.
    a) Convergência de ordem em Espaços de Riesz e operadores contínuos de ordem.
  5. Miss Queen Mabe, Departamento de Economia, Universidade de Joanesburgo
    a) Espaços de Riesz e equações de equilíbrio.
  1. Prof Stefan Cobzas, Departamento de Matemática e Ciência da Computação, Universidade Babes Bolyai, Romênia
  2. Prof Geraldo De Souza, Departamento de Matemática e Estatística, Auburn University, Estados Unidos da América.
  3. Prof Oscar Valero, Departamento de Matemática e Ciência da Computação, Universidade das Ilhas Baleares, Espanha
  4. Prof Enrique Sanchez-Perez, Departamento de Matemática e Matemática Aplicada, Universitat Politecnica de Valencia, Espanha
  5. Prof Esteban Indurain, Departamento de Estatística, Informática e Matemática, Universidade Pública de Navare, Espanha

Eventos históricos:

Programa Masamu: Tópicos em Análise Funcional - Curso Virtual - Outono 2020

Programa do curso em Tópicos em Análise Funcional a ser ministrado na Universidade de Pretória, África do Sul, de 5 de agosto de 2020 a 16 de dezembro de 2020. Este curso é patrocinado pelo Programa Masamu: Rede de Pesquisa Colaborativa EUA-África

O curso acontecerá todas as quartas-feiras das 17h às 19h, horário da África do Sul (17h às 19h).
O curso começará: quarta-feira, 5 de agosto de 2020
O curso terminará: quarta-feira, 16 de dezembro de 2020

As palestras deste curso serão ministradas por:

Geraldo Soares de Souza (PhD)
Professor emérito
Departamento de Matemática
Auburn University
Auburn, AL USA 36849
Email: [email & # 160 protegido]

Eddy Kwessi (PhD)
professor adjunto
Departamento de Matemática
Trinity University
San Antonio, TX, EUA 78212
Email: [email & # 160 protegido]

1 Espaços Vectoriais
2. Espaços métricos e normados
3. Espaços Banach e Hilbert
4. Espaços de sequência e compactação em espaços de sequência
5. Transformações lineares e caracterização de funcionais lineares limitados
6. Teorema de Hahn Banach
7. Teorema do gráfico fechado
8. Abra o Teorema de Mapeamento
9. Topologias fracas
10. Princípio de limite uniforme
11. Equivalência de alguns espaços de Banach
12. Exercícios

Este curso será baseado nas palestras do “Mini-Curso de Análise Funcional” ministrado pelo Prof. Geraldo de Souza no Instituto de Estudos Avançados SAMSA Masamu realizado em Livingstone, Zâmbia, de 2 a 12 de dezembro de 2011. As notas do curso estarão disponíveis para Todos os alunos.

Coordenador local da África do Sul:

Mokhwetha Mabula (PhD)
Professor Sênior de Matemática
Universidade de Pretória
Pretória, África do Sul
Email: [email & # 160 protegido]

Overtoun Jenda (PhD)
Reitor Assistente de Projetos e Iniciativas Especiais e Professor de Matemática
Auburn University
Auburn, AL USA 36849
Email: [email & # 160 protegido]


11.5: Operadores positivos - Matemática

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O Artigo pode ser um artigo de pesquisa original, um estudo de pesquisa substancial que frequentemente envolve várias técnicas ou abordagens, ou um artigo de revisão abrangente com atualizações concisas e precisas sobre os últimos avanços no campo que revisa sistematicamente os avanços mais interessantes na área científica literatura. Este tipo de papel fornece uma perspectiva sobre as futuras direções de pesquisa ou possíveis aplicações.

Os artigos do Editor’s Choice são baseados nas recomendações dos editores científicos de periódicos MDPI de todo o mundo. Os editores selecionam um pequeno número de artigos publicados recentemente na revista que eles acreditam ser particularmente interessantes para os autores ou importantes neste campo. O objetivo é fornecer um instantâneo de alguns dos trabalhos mais interessantes publicados nas várias áreas de pesquisa da revista.


Conteúdo

Normalmente, as entradas de um glossário são estruturadas por tópicos e classificadas em ordem alfabética. Isso não é possível aqui, pois não há ordem natural nos símbolos, e muitos símbolos são usados ​​em diferentes partes da matemática com diferentes significados, muitas vezes completamente não relacionados. Portanto, algumas escolhas arbitrárias tiveram que ser feitas, que são resumidas a seguir.

O artigo é dividido em seções que são classificadas por um nível crescente de tecnicidade. Ou seja, as primeiras seções contêm os símbolos encontrados na maioria dos textos matemáticos e que devem ser conhecidos até mesmo por iniciantes. Por outro lado, as últimas seções contêm símbolos que são específicos para alguma área da matemática e são ignorados fora dessas áreas. No entanto, a longa seção em colchetes foi colocada perto do final, embora a maioria de suas entradas sejam elementares: isso torna mais fácil pesquisar uma entrada de símbolo por rolagem.

A maioria dos símbolos tem vários significados que geralmente são distinguidos pela área da matemática onde são usados ​​ou por seus sintaxe, isto é, por sua posição dentro de uma fórmula e a natureza das outras partes da fórmula que estão próximas a eles.

Como os leitores podem não estar cientes da área da matemática à qual está relacionado o símbolo que procuram, os diferentes significados de um símbolo são agrupados na seção correspondente ao seu significado mais comum.

Quando o significado depende da sintaxe, um símbolo pode ter entradas diferentes dependendo da sintaxe. Para resumir a sintaxe no nome da entrada, o símbolo ◻ < displaystyle Box> é usado para representar as partes vizinhas de uma fórmula que contém o símbolo. Consulte § Suportes para exemplos de uso.

A maioria dos símbolos tem duas versões impressas. Eles podem ser exibidos como caracteres Unicode ou no formato LaTeX. Com a versão Unicode, é mais fácil usar os mecanismos de pesquisa e copiar e colar. Por outro lado, a renderização do LaTeX geralmente é muito melhor (mais estética) e geralmente é considerada um padrão em matemática. Portanto, neste artigo, a versão Unicode dos símbolos é usada (quando possível) para rotular sua entrada, e a versão LaTeX é usada em sua descrição. Portanto, para descobrir como digitar um símbolo em LaTeX, basta olhar a fonte do artigo.

Para a maioria dos símbolos, o nome da entrada é o símbolo Unicode correspondente. Assim, para pesquisar a entrada de um símbolo, basta digitar ou copiar o símbolo Unicode na caixa de texto de pesquisa. Da mesma forma, quando possível, o nome de entrada de um símbolo também é uma âncora, o que permite um link fácil de outro artigo da Wikipedia. Quando um nome de entrada contém caracteres especiais como [,] e |, também há uma âncora, mas é preciso consultar a fonte do artigo para saber isso.

Finalmente, quando há um artigo sobre o próprio símbolo (não seu significado matemático), ele é vinculado no nome da entrada.

Vários símbolos lógicos são amplamente usados ​​em toda a matemática e estão listados aqui. Para símbolos que são usados ​​apenas em lógica matemática, ou raramente usados, consulte Lista de símbolos lógicos.

O tipo de letra negro em negrito é amplamente utilizado para denotar os sistemas numéricos básicos. Freqüentemente, esses sistemas também são indicados pela correspondente letra maiúscula em negrito. Uma vantagem clara do negrito do quadro-negro é que esses símbolos não podem ser confundidos com qualquer outra coisa. Isso permite utilizá-los em qualquer área da matemática, sem ter que lembrar sua definição. Por exemplo, se encontrar R < displaystyle mathbb > em combinatória, deve-se saber imediatamente que isso denota os números reais, embora a combinatória não estude os números reais (mas os usa para muitas provas).

Muitos tipos de colchetes são usados ​​em matemática. Seus significados dependem não apenas de suas formas, mas também da natureza e do arranjo do que é delimitado por eles e, às vezes, do que aparece entre ou diante deles. Por esse motivo, nos títulos das entradas, o símbolo □ é usado para esquematizar a sintaxe que fundamenta o significado.

Edição de parênteses

Colchetes Editar

Edição de colchetes

Outros colchetes Editar

  • a extensão linear em um espaço vetorial (também frequentemente denotada por Span (S) ),
  • o subgrupo gerado em um grupo,
  • o ideal gerado em um anel,
  • o submódulo gerado em um módulo.

Nesta seção, os símbolos listados são usados ​​como alguns tipos de sinais de pontuação no raciocínio matemático ou como abreviações de frases em inglês. Eles geralmente não são usados ​​dentro de uma fórmula. Alguns foram usados ​​na lógica clássica para indicar a dependência lógica entre sentenças escritas em inglês simples. Com exceção dos dois primeiros, eles normalmente não são usados ​​em textos matemáticos impressos, pois, para facilitar a leitura, é geralmente recomendado ter pelo menos uma palavra entre duas fórmulas. No entanto, eles ainda são usados ​​em um quadro negro para indicar relações entre fórmulas.


11.5: Operadores positivos - Matemática

À medida que começamos a compilar uma lista de séries convergentes e divergentes, novas séries podem às vezes ser analisadas comparando-as com outras que já conhecemos.

Exemplo 11.5.1 Faz $ ds sum_^ infty <1 over n ^ 2 ln n> $ converge?

A primeira abordagem óbvia, com base no que sabemos, é o teste integral. Infelizmente, não podemos calcular a antiderivada necessária. Mas, olhando para a série, parece que ela deve convergir, porque os termos que estamos adicionando são menores do que os termos de uma série $ p $, ou seja, $ <1 over n ^ 2 ln n> Exemplo 11.5 .2 Faz $ ds sum_^ infty <| sin n | over n ^ 2> $ converge?

Não podemos aplicar o teste integral aqui, porque os termos desta série não estão diminuindo. Assim como no exemplo anterior, entretanto, $ <| sin n | over n ^ 2> le <1 over n ^ 2>, $ porque $ | sin n | le 1 $. Mais uma vez, as somas parciais são não decrescentes e limitadas acima por $ ds sum 1 / n ^ 2 = L $, de modo que a nova série converge.

Como o teste integral, o teste de comparação pode ser usado para mostrar convergência e divergência. No caso do teste integral, um único cálculo irá confirmar o que for o caso. Para usar o teste de comparação, devemos primeiro ter uma boa ideia quanto à convergência ou divergência e escolher a sequência para comparação de acordo.

Exemplo 11.5.3 Faz $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ converge?

Observamos que $ -3 $ deve ter pouco efeito em comparação com $ ds n ^ 2 $ dentro da raiz quadrada e, portanto, acho que os termos são suficientes como $ ds 1 / sqrt= 1 / n $ que a série deve divergir. Tentamos mostrar isso em comparação com a série harmônica. Observamos que $ <1 over sqrt>> <1 over sqrt> = <1 over n>, $ para que $ s_n = <1 over sqrt <2 ^ 2-3 >> + <1 over sqrt <3 ^ 2-3 >> + cdots + <1 sobre sqrt>> <1 over 2> + <1 over3> + cdots + <1 over n> = t_n, $ onde $ ds t_n $ é 1 menor do que a soma parcial correspondente da série harmônica (porque começamos em $ n = 2 $ em vez de $ n = 1 $). Desde $ ds lim_t_n = infty $, $ ds lim_s_n = infty $ também.

Portanto, a abordagem geral é esta: se você acredita que uma nova série é convergente, tente encontrar uma série convergente cujos termos sejam maiores do que os termos da nova série se você acredita que uma nova série é divergente, tente encontrar uma série divergente cujos termos são menores do que os termos da nova série.

Exemplo 11.5.4 Será que $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ converge?

Assim como no último exemplo, achamos que é muito parecido com a série harmônica e, portanto, diverge. Infelizmente, $ <1 over sqrt> <1 over sqrt> = <1 over2n>, $ então se $ sum 1 / (2n) $ diverge, então a série dada diverge. Mas como $ sum 1 / (2n) = (1/2) sum 1 / n $, o teorema 11.2.2 implica que ele realmente diverge.

Para referência, resumimos o teste de comparação em um teorema.

Teorema 11.5.5 Suponha que $ ds a_n $ e $ ds b_n $ sejam não negativos para todos os $ n $ e que $ ds a_n le b_n $ quando $ n ge N $, para algum $ N $.

Se $ ds sum_^ infty b_n $ converge, assim como $ ds sum_^ infty a_n $.

Se $ ds sum_^ infty a_n $ diverge, assim como $ ds sum_^ infty b_n $.


Operadores de atribuição C

Um operador de atribuição é usado para atribuir um valor a uma variável. O operador de atribuição mais comum é =

Operador Exemplo Igual a
= a = b a = b
+= a + = b a = a + b
-= a - = b a = a-b
*= a * = b a = a * b
/= a / = b a = a / b
%= a% = b a = a% b

Exemplo 3: Operadores de Atribuição

Operadores relacionais C

Um operador relacional verifica o relacionamento entre dois operandos. Se a relação for verdadeira, ele retorna 1 se a relação for falsa, ele retorna o valor 0.

Operadores relacionais são usados ​​na tomada de decisões e loops.

Operador Significado do Operador Exemplo
== Igual a 5 == 3 é avaliado como 0
& gt Maior que 5 & ​​gt 3 é avaliado como 1
& lt Menor que 5 e 3 é avaliado como 0
!= Diferente de 5! = 3 é avaliado como 1
& gt = Melhor que ou igual a 5 & ​​gt = 3 é avaliado como 1
& lt = Menos que ou igual a 5 & ​​lt = 3 é avaliado como 0

Exemplo 4: Operadores relacionais

Operadores lógicos C

Uma expressão contendo operador lógico retorna 0 ou 1 dependendo se a expressão resulta em verdadeiro ou falso. Operadores lógicos são comumente usados ​​na tomada de decisões em programação C.

Operator Meaning Exemplo
&& Logical AND. True only if all operands are true If c = 5 and d = 2 then, expression ((c==5) && (d>5)) equals to 0.
|| Logical OR. True only if either one operand is true If c = 5 and d = 2 then, expression ((c==5) || (d>5)) equals to 1.
! Logical NOT. True only if the operand is 0 If c = 5 then, expression !(c==5) equals to 0.

Example 5: Logical Operators

Explanation of logical operator program

  • (a == b) && (c > 5) evaluates to 1 because both operands (a == b) and (c > b) is 1 (true).
  • (a == b) && (c < b) evaluates to 0 because operand (c < b) is 0 (false).
  • (a == b) || (c < b) evaluates to 1 because (a = b) is 1 (true).
  • (a != b) || (c < b) evaluates to 0 because both operand (a != b) and (c < b) are 0 (false).
  • !(a != b) evaluates to 1 because operand (a != b) is 0 (false). Hence, !(a != b) is 1 (true).
  • !(a == b) evaluates to 0 because (a == b) is 1 (true). Hence, !(a == b) is 0 (false).

C Bitwise Operators

During computation, mathematical operations like: addition, subtraction, multiplication, division, etc are converted to bit-level which makes processing faster and saves power.

Bitwise operators are used in C programming to perform bit-level operations.


Assista o vídeo: HELP MATEMÁTICA BÁSICA - Expressão Numérica #247 (Dezembro 2021).