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5.1E: Exercícios - Ângulos - Matemática


Origens [a] Estantes Abramson / Pré-cálculo / Livro: _Precalculus_ (OpenStax) /05:_Trigonometric_Functions/5.E:_Trigonometric_Functions_ (Exercícios) CC.BY

R: Conceitos

Exercício ( PageIndex {A} ): Conceitos

1) Desenhe um ângulo na posição padrão. Identifique o vértice, o lado inicial e o lado terminal.

2) Explique por que existe um número infinito de ângulos que são coterminais a um determinado ângulo.

3) Indique o que significa um ângulo positivo ou negativo e explique como desenhar cada um.

4) Como a medida em radianos de um ângulo se compara à medida em graus? Inclua uma explicação de (1 ) radiano em seu parágrafo.

Respostas 1-5

1.
3. Se o ângulo é positivo ou negativo determina a direção. Um ângulo positivo é desenhado no sentido anti-horário e um ângulo negativo é desenhado no sentido horário.

( grande estrela )

B: Ângulos na posição padrão

Exercício ( PageIndex {A} ): Conceitos

Desenhe um ângulo na posição padrão com a medida dada. Se a medida do ângulo não estiver entre (0 ) e (2 pi ) ou entre (0 ^ { circ} ) e (360 ^ { circ ), indique o ângulo coterminal que está dentro esse intervalo.

6) (30 ^ { circ} )

7) (300 ^ { circ} )

8) (- 80 ^ { circ} )

9) (135 ^ { circ} )

10) (- 150 ^ { circ} )

11) ( dfrac {2π} {3} )

12) ( dfrac {7π} {4} )

13) ( dfrac {5π} {6} )

14) ( dfrac {π} {2} )

15) (- dfrac {π} {10} )

16) (415 ^ { circ} )

17) (- 120 ^ { circ} )

18) (- 315 ^ { circ} )

19) ( dfrac {22π} {3} )

20) (- dfrac {π} {6} )

21) (- dfrac {4π} {3} )
Respostas 7-21
7. 9. 11. 13.

15.

17. (240 ^ { circ} )
19. ( dfrac {4π} {3} )21. ( dfrac {2π} {3} )
( grande estrela )

C: converter entre radianos e graus

Exercício ( PageIndex {C} ): Converta entre radianos e graus

Para os exercícios 26-32, converta ângulos em radianos em graus.

26) ( dfrac {3π} {4} ) radianos

27) ( dfrac {π} {9} ) radianos

28) (- dfrac {5π} {4} ) radianos

29) ( dfrac {π} {3} ) radianos

30) (- dfrac {7π} {3} ) radianos

31) (- dfrac {5π} {12} ) radianos

32) ( dfrac {11π} {6} ) radianos

Para os exercícios 33-39, converta ângulos em graus em radianos.

33) (90 ^ { circ} )

34) (100 ^ { circ} )

35) (- 540 ^ { circ} )

36) (- 120 ^ { circ} )

37) (180 ^ { circ} )

38) (- 315 ^ { circ} )

39) (150 ^ { circ} )

Respostas 27-39

27. (20 ^ { circ} qquad ) 29. (60 ^ { circ} qquad ) 31. (- 75 ^ { circ} qquad ) 33. ( dfrac { π} {2} ) radianos ( qquad ) 35. (- 3π ) radianos ( qquad ) 37. (π ) radianos ( qquad ) 39. ( dfrac { 5π} {6} ) radianos

( grande estrela )

D: Ângulos Coterminais

Exercício ( PageIndex {D} ): Ângulos Coterminais

Encontre o ângulo entre (0 ^ { circ} ) e (360 ^ { circ} ) que é coterminal ao ângulo dado.

50) (- 40 ^ { circ} ) ( qquad ) 51) (- 110 ^ { circ} ) ( qquad ) 52) (700 ^ { circ} ) ( qquad ) 53) (1400 ^ { circ} )

Encontre o ângulo entre (0 ) e (2 pi ) em radianos que é coterminal ao ângulo dado.

54) (- dfrac {π} {9} ) ( qquad ) 55) ( dfrac {10π} {3} ) ( qquad ) 56) ( dfrac {13π} {6} ) ( qquad ) 57) ( dfrac {44π} {9} )

Respostas 1-5

51. (250 ^ { circ} ) ( qquad ) 52. (320 ^ { circ} ) ( qquad ) 55. ( dfrac {4π} {3} ) ( qquad ) 55. ( dfrac {4π} {3} )

( grande estrela )

( star ) END 5.1 Exercícios.


5.1E: Exercícios - Ângulos - Matemática

Uma linha é um objeto geométrico unidimensional com largura e profundidade desprezíveis.
Quando duas linhas se encontram em um ponto, elas formam um ângulo nesse ponto. O ponto é denominado vértice do ângulo e as 2 linhas são os braços. Existem diferentes tipos de ângulos com base na posição dos braços.

Aprenda sobre os ângulos formados quando duas linhas se cruzam e a relação entre esses ângulos.

  • ângulos correspondentes são iguais
  • ângulos internos alternativos são iguais
  • ângulos internos do mesmo lado da transversal são complementares
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Tipos de ângulos: como nomear pares de ângulos

Ângulo com um vértice comum e um lado comum. & # 601 e & # 602 são ângulos adjacentes.

Dois ângulos cujas medidas somam 90 graus. Os ângulos 1 e 2 são ângulos complementares porque, juntos, formam um ângulo reto.

Observe que os ângulos 1 e 2 não precisam ser adjacentes para serem complementares, desde que somam 90 graus.

Dois ângulos cujas medidas somam 180 graus. A seguir estão os ângulos suplementares.

Ângulos que possuem um vértice comum e cujos lados são formados pelas mesmas linhas. O seguinte (ângulo 1 e ângulo 2) são ângulos verticais.

Quando duas linhas paralelas são cruzadas por uma terceira linha (Transversal), 8 ângulos são formados. Dê uma olhada na figura a seguir

Ângulos 3,4,5,8 são ângulos internos

Ângulos 1,2,6,7 são ângulos externos

Ângulos interiores alternativos:

Pares de ângulos internos em lados opostos da transversal.

Por exemplo, o ângulo 3 e o ângulo 5 são ângulos internos alternados. O ângulo 4 e o ângulo 8 também são ângulos internos alternados.

Ângulos externos alternativos:

Pares de ângulos externos em lados opostos da transversal.

O ângulo 2 e o ângulo 7 são ângulos externos alternativos.

Pares de ângulos que estão em posições semelhantes.

O ângulo 3 e o ângulo 2 são ângulos correspondentes.

Ângulo 5 e ângulo 7 são ângulos correspondentes

Aqui vamos nós! Estude os tipos de ângulos cuidadosamente. É aqui que começa qualquer estudo sério de geometria.


Perguntas no Exercício 24 (B)

Dois ângulos complementares estão na proporção 7: 8. Encontre os ângulos.

Dois ângulos suplementares estão na proporção 7: 11. Encontre os ângulos.

As medidas de dois ângulos complementares são (2x - 7) ° e (x + 4) °. Encontre x.

As medidas de dois ângulos suplementares são (3x + 15) ° e (2x + 5) °. Encontre x.

(i) o ângulo complementar

(ii) o ângulo suplementar

(iii) o valor de x ° se o seu ângulo suplementar for três vezes o seu ângulo complementar.

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Escreva o ângulo do complemento de:

Escreva o ângulo do suplemento de:

Escreva o ângulo do complemento de:

(i) que é igual ao seu complemento?

(ii) que é igual ao seu suplemento?

Dois ângulos complementares estão na proporção 7: 8. Encontre os ângulos.

Dois ângulos suplementares estão na proporção 7: 11. Encontre os ângulos.

As medidas de dois ângulos complementares são (2x - 7) ° e (x + 4) °. Encontre x.

As medidas de dois ângulos suplementares são (3x + 15) ° e (2x + 5) °. Encontre x.

(i) o ângulo complementar

(ii) o ângulo suplementar

(iii) o valor de x ° se o seu ângulo suplementar for três vezes o seu ângulo complementar.


Perguntas no Exercício 5.1

Q1) Encontre o complemento de cada um dos seguintes ângulos.

eu)

ii)

iii)

Q2) Encontre o suplemento de cada um dos seguintes ângulos.

eu)

ii)

iii)

Q3) Identifique quais dos seguintes pares de ângulos são complementares e quais são suplementares.

Q4) Encontre o ângulo que é igual ao seu complemento.

Q5) Encontre o ângulo que é igual ao seu suplemento.

Q6) Na figura dada, ∠1 e ∠2 são ângulos suplementares.

Se ∠1 for diminuído, quais mudanças devem ocorrer

em ∠2 para que ambos os ângulos permaneçam suplementares.

Q7) Dois ângulos podem ser complementares se ambos forem:

Q8) Um ângulo é maior que 45 °. Seu ângulo complementar é maior que 45 ° ou igual a 45 ° ou menor que 45 °?

Q9) Na figura ao lado:

(ii) ∠AOC é adjacente a ∠AOE?

(iii) ∠COE e ∠EOD formam um par linear?

(iv) ∠BOD e ∠DOA são complementares?

(v) ∠1 é verticalmente oposto a ∠4?

(vi) Qual é o ângulo verticalmente oposto de ∠5?

Q10) Indique quais pares de ângulos são:

(i) Ângulos verticalmente opostos.

Q11) Na figura a seguir, ∠1 é adjacente a ∠2? Dê razões.

Q12) Encontre os valores dos ângulos x, y e z em cada um dos seguintes:

eu)

ii)

(i) Se dois ângulos são complementares, então a soma de suas medidas é _______.

(ii) Se dois ângulos são suplementares, então a soma de suas medidas é ______.

(iii) Dois ângulos formando um par linear são _______________.

(iv) Se dois ângulos adjacentes são suplementares, eles formam um ___________.

(v) Se duas linhas se cruzam em um ponto, então os ângulos verticalmente opostos são sempre

_.

(vi) Se duas linhas se cruzam em um ponto, e se um par de ângulos verticalmente opostos são

ângulos agudos, então o outro par de ângulos verticalmente opostos são __________.


Soluções NCERT para Matemática da Classe 7, Capítulo 5, Exercício 5.1

Soluções NCERT para Matemática da Classe 7 Capítulo 5 Exercício 5.1 (Ex. 5.1) Linhas e ângulos atualizados para o novo ano acadêmico 2021-2022 gratuitamente para uso online ou download. Todas as soluções estão em formato de arquivo PDF e também em formato de vídeo para aprender da melhor maneira.

O exercício de matemática 5.1 da Classe 7 contém questões baseadas em ângulos complementares, ângulos suplementares, par linear, ângulos opostos e outros conceitos semelhantes de linhas e ângulos.

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Pares de ângulos

Na geometria, frequentemente encontramos pares de ângulos. Eles receberam nomes específicos.

Ângulos Adjacentes

Se dois ângulos têm:
(i) um braço comum,
(ii) um vértice comum e
(iii) seus outros braços ficam nos lados opostos do braço comum, então os ângulos são chamados de ângulos adjacentes.

Par Linear de Ângulos

Um par linear é um par de ângulos adjacentes formados quando duas linhas se cruzam. Se um raio está em uma linha, então os dois ângulos adjacentes formados são chamados de pares lineares de ângulos.

Ângulos suplementares

Dois ângulos são considerados suplementares se a soma de suas medidas for 180 °.
Assim, o ângulo A e o ângulo B são suplementares se o ângulo A + ângulo B = 180 °.
Exemplo:
Se o ângulo A = 75 ° e o ângulo B = 105 °, então o ângulo A e o ângulo B são suplementares, uma vez que o ângulo A + ângulo B = 180 °.

Ângulos complementares

Dois ângulos são considerados complementares se a soma de suas medidas for 90 °.
Assim, o ângulo A e o ângulo B são complementares se o ângulo A + ângulo B = 90 °.
Exemplo:
Se o ângulo A = 36 ° e o ângulo B = 54 °, então o ângulo A e o ângulo B são ângulos complementares, uma vez que o ângulo A + ângulo B = 90 °.

Classe 7, Exercício de Matemática 5.1 Perguntas extras

Encontre o complemento de cada um dos seguintes ângulos: (i) 60 ° (ii) 25 °

(i) O ângulo dado é 60 °.
Seja a medida de seu complemento x °.
Então, x + 60 = 90
Ou, x = (90 & # 8211 60) = 30 °.
Portanto, o complemento do ângulo dado mede 30 °.
(ii) O ângulo dado é de 25 °.
Seja a medida de seu complemento x °.
Então, x + 25 = 90
Ou, x = (90 & # 8211 25) = 65 °.
Portanto, o complemento de determinado ângulo mede 65 °.

Encontre os ângulos que são seu próprio complemento.

Deixe a medida do ângulo necessário ser x °.
Então, x + x = 90
Ou 2x = 90 Þ x = 45.
Portanto, o ângulo necessário mede 45 °.

Ângulos verticalmente opostos

Dois ângulos são chamados de par de ângulos verticalmente opostos se seus braços formarem dois pares de raios opostos. Deixe duas linhas AB e CD se cruzarem em um ponto O.
Então, dois pares de ângulos verticalmente opostos são formados:
(i) ângulo AOC e ângulo BOD
(ii) ângulo AOD e ângulo BOC.

Classe 7, Exercício de Matemática 5.1 Perguntas importantes

Quantos pares de ângulos existem?

Duas variedades interessantes de pares de ângulos somam 180 °. Esses são pares lineares e ângulos suplementares. Os pares lineares recebem esse nome porque os lados não comuns aos dois ângulos formam uma linha reta. Os pares lineares sempre compartilham um vértice comum e um raio, segmento de linha ou linha comum.

Dois ângulos podem ser complementares se ambos forem agudos ou obtusos?

Assim, os dois ângulos agudos não podem ser ângulos suplementares. Assim, os dois ângulos obtusos não podem ser ângulos suplementares. Assim, dois ângulos retos são ângulos suplementares.

O que é um requisito de ângulos complementares?

As medidas dos ângulos complementares devem somar 90 °. As medidas dos ângulos complementares devem somar 180 °.


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Teoria de Variável Complexa

11.1 Variáveis ​​e funções complexas

Já vimos (no Capítulo 1) a definição de números complexos z = x + iy como pares ordenados de dois números reais, x e y. Revisamos lá as regras para suas operações aritméticas, identificamos o conjugado complexo z* do número complexo z, e discutiu as representações cartesianas e polares de números complexos, introduzindo para esse fim o Diagrama de Argand (plano complexo). Na representação polar z = re iθ , notamos que r (a magnitude do número complexo) também é chamado de módulo, e o ângulo θ é conhecido como seu argumento. Provamos que e iθ satisfaz a importante equação

Esta equação mostra que de verdade θ, e iθ é de magnitude unitária e, portanto, está situado no círculo unitário, em um ângulo θ do eixo real.

Nosso foco no presente capítulo está nas funções de uma variável complexa e em suas propriedades analíticas. Já observamos que ao definir funções complexas f (z) para ter a mesma expansão de série de potência (em z) como a expansão (em x) da função real correspondente f (x), as definições reais e complexas coincidem quando z é real. Também mostramos que, pelo uso da representação polar, z = re iθ , torna-se claro como calcular poderes e raízes de quantidades complexas. Em particular, notamos que as raízes, vistas como potências fracionárias, tornam-se multivalorado funções no domínio complexo, devido ao fato de que exp (2nπi) = 1 para todos os inteiros positivos e negativos n. Assim encontramos z 1/2 para ter dois valores (não é uma surpresa, pois para reais positivos x, temos ± x). Mas também notamos que z 1/m terá m diferentes valores complexos. Também observamos que o logaritmo torna-se multivalorado quando estendido para valores complexos, com

com n qualquer número inteiro positivo ou negativo (incluindo zero).

Se necessário, o leitor deve revisar os tópicos mencionados acima, relendo a Seção 1.8.


5.1E: Exercícios - Ângulos - Matemática

Um triângulo equilátero tem um comprimento lateral de 4 cm. Encontre o perímetro, a área e o tamanho dos ângulos internos e externos do triângulo.

O ângulo externo de um triângulo isósceles é de 87 °. Encontre os ângulos internos do triângulo.

Uma das pernas de um triângulo retângulo tem um comprimento de 12 cm. A que distância está o ponto médio da hipotenusa da outra perna?

Considere um triângulo abc . Qual é o tamanho de um ângulo entre a altitude do lado AC e a altitude do lado AB, onde os ângulos nos vértices UMA, B são α = 30°, β = 45°?

Em um triângulo retângulo com a hipotenusa de 50 cm, sabemos o perímetro do triângulo P = 1,2 me a área A = 6 dm 2. Encontre o comprimento das pernas e o tamanho de todos os ângulos internos do triângulo.

Um triângulo isósceles abc tem uma base |AB| = 12 cm. Uma altitude h c da base tem 10 cm de comprimento. Encontre o comprimento do braço e a mediana do braço.

A escada de 8,5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. A sua extremidade inferior assenta no solo a uma distância de 1,8 m da parede.
a) A que altura da parede chega à extremidade superior da escada?
b) Em que ângulo a escada está encostada na parede?

Em um triângulo MPN é |NP| = 7 cm, |PM| = 13 cm e a altitude do lado MN é |PP '| = 5 cm. Encontre o comprimento do lado MN.

Um perímetro de um triângulo isósceles abc tem 60 cm de comprimento, o quadrado de uma altitude da base h c 2 = 60. Encontre o comprimento de uma base e o comprimento dos braços do triângulo.

Em um triângulo isósceles abc o tamanho de um ângulo no vértice UMA é igual a 42 °. No braço AB é construído de tal ponto D, que |CB| = |CD| Encontre um ângulo ACD.

Encontre o tamanho dos ângulos do triângulo abc, se | α | = 2|β| e |β| = 3 | γ |.

Três círculos com raios r 1 = 5 cm, r 2 = 10 cm e r 3 = 12 cm se tocam pelo lado de fora. Encontre o comprimento dos lados e o tamanho dos ângulos do triângulo que é formado conectando os centros do círculo.

Encontre o tamanho dos ângulos e lados do triângulo, em que é válido para o tamanho dos ângulos α : β: γ = 3: 4: 5 e o lado oposto ao ângulo α tem um comprimento a = .

No topo da colina está uma torre de 30 m de altura. Vemos seu topo e seu fundo de um certo ponto do vale abaixo dos ângulos de elevação α, β. Qual é a altura do topo da colina acima da posição horizontal de nossa observação, se α = 28°30', β = 30°40' ?

Da torre de 20 m de altura distante 20 m do rio aparece a largura do rio em um ângulo de 15 °. Qual é a largura do rio neste ponto?

Encontre o tamanho dos ângulos e lados do triângulo abc, se você conhece α = 51°19', β = 67 ° 38 'e a altitude do lado c é h c = 28.

Em um triângulo abc é um ângulo α situado oposto ao lado a = duas vezes o tamanho de um ângulo β deitado do lado oposto b = 1. Encontre o perímetro e a área do triângulo abc.

Encontre o comprimento dos lados do triângulo abc, em que α = 113°, β = 48 ° e o raio do círculo circunscrito do triângulo é r = 10 cm.

Encontre os comprimentos laterais e os tamanhos dos ângulos do triângulo abc, que é dado por a = 8.4, β = 105 ° 35 ', mediana m uma = 12.5.

Três círculos com raios r 1 = 5, r 2 = 4 e r 3 = 6 se tocam de fora. Encontre a área de um padrão entre eles.

Descubra se um triângulo com comprimentos laterais a = 11, b = 14, c = 18 tem um ângulo interno obtuso.

Encontre os comprimentos laterais e os tamanhos dos ângulos internos do triângulo abc, que é dado por A = 501,9, α = 15 ° 28 'e β = 45°.

Duas forças de tamanhos 72 N e 58 N estão agindo no mesmo ponto de um corpo sólido em direções abrangendo um ângulo de 72 ° 30 '. Encontre o tamanho da resultante das duas forças.

Paralelogramo ABCD tem área de 40 cm 2, |AB| = 8,5 cm e |AC| = 5,65 cm. Encontre o comprimento de suas diagonais.

Encontre o comprimento de todos os lados de um triângulo retângulo abc, se você sabe o comprimento das medianas m uma = 12 e m b = 15.

Verifique se um triângulo cujos lados têm comprimentos 2, n - n –1 , n + n -1 é um ângulo reto.

O círculo tem um quadrado inscrito e um quadrado circunscrito. A diferença entre as áreas dos quadrados é 18. Encontre o raio do círculo.

Encontre o raio do círculo em que a corda de um círculo distante do centro do círculo de 8 cm é 13 cm maior que o raio do círculo.

Rhombus tem a área de A = 120 e a proporção de suas diagonais é e: f = 5:12. Encontre o tamanho de sua lateral umaaltitude h e diagonais e, f.

Considere um triângulo retângulo abc dado por sua perna a = 5 e a altitude h c = 3. Encontre o comprimento dos lados b e c.