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2.5: Equações Lineares - Manipulação e Resolução (Resolvendo o Quebra-cabeça) - Matemática


Você está comprando na Old Navy sete roupas novas. Como você gasta $ 110 para adquirir todas as roupas necessárias sem exceder seu orçamento e, ao mesmo tempo, consegue o máximo de $ 30 itens possíveis?

Este é um problema de equações lineares e ilustra como você pode usá-las para tomar uma decisão ótima. Deixe (L ) representar a quantidade de roupas na faixa de preço mais baixa de $ 10, e (H ) representar a quantidade de roupas na faixa de preço mais alta de $ 30. Isso resulta nas seguintes equações algébricas:

[L + H = 7 text {(o número total de roupas que você precisa)} nonumber ]

[ $ 10 L + $ 30 H = $ 110 text {(seu orçamento total)} nonumber ]

Ao resolver essas equações simultaneamente, você pode determinar quantas roupas em cada faixa de preço você pode comprar.

Você encontrará muitas situações como essa em sua carreira empresarial, por exemplo, ao fazer o melhor uso da capacidade de produção de um fabricante. Suponha que sua empresa fabrique dois produtos na mesma linha de produção e venda toda a produção. Cada produto contribui de maneira diferente para a sua lucratividade e cada produto leva um tempo diferente para ser fabricado. Que combinação de cada um desses produtos você deve fazer para operar sua linha de produção na capacidade máxima e, ao mesmo tempo, maximizar os lucros obtidos? Esta seção explora como resolver equações lineares para variáveis ​​desconhecidas.

Entendendo Equações

Para manipular equações algébricas e resolver variáveis ​​desconhecidas, primeiro você deve se familiarizar com algumas linguagens importantes, incluindo equações lineares versus não lineares e lados da equação.

O objetivo de manipular e resolver uma equação linear é encontrar um valor para a variável desconhecida que torne a equação verdadeira. Se você substituir um valor de (x = −1 ) no exemplo acima, o lado esquerdo da equação é igual ao lado direito da equação (consulte a Figura abaixo). O valor de (x = −1 ) é conhecido como a raiz, ou solução, da equação linear.

Resolvendo uma equação linear com uma variável desconhecida

Em seu estudo de resolução de equações lineares, você precisa começar manipulando uma única equação para resolver uma única variável desconhecida. Mais adiante nesta seção, você irá estender a partir desta base para a solução de duas equações lineares com duas incógnitas.

Como funciona

Para determinar a raiz de uma equação linear com apenas uma variável desconhecida, aplique as seguintes etapas:

Passo 1: Seu primeiro objetivo é separar os termos que contêm o coeficiente literal dos termos que têm apenas coeficientes numéricos. Colete todos os termos com coeficientes literais em apenas um lado da equação e colete todos os termos com apenas coeficientes numéricos no outro lado da equação. Não importa quais termos vão para cada lado da equação, desde que você os separe.

Para mover um termo de um lado para outro de uma equação, pegue o oposto matemático do termo que está sendo movido e adicione-o a ambos os lados. Por exemplo, se você deseja mover +3 em (4x + 3 = −2x - 3 ) do lado esquerdo para o lado direito, o oposto matemático de +3 é −3. Ao mover um termo, lembre-se da regra fundamental: o que você faz para um lado de uma equação, você também deve fazer para o outro lado da equação. Quebrar essa regra quebra a igualdade na equação.

Passo 2: Combine todos os termos semelhantes em cada lado e simplifique a equação de acordo com as regras da álgebra.

etapa 3: No termo que contém o coeficiente literal, reduza o coeficiente numérico a 1 dividindo ambos os lados da equação pelo coeficiente numérico.

Anotações importantes

Quando você não tem certeza se sua raiz calculada é precisa, uma maneira fácil de verificar sua resposta é pegar a equação original e substituir sua raiz pela variável. Se você tiver a raiz correta, o lado esquerdo da equação é igual ao lado direito da equação. Se você tiver uma raiz incorreta, os dois lados serão desiguais. A desigualdade normalmente resulta de um dos três erros mais comuns na manipulação algébrica:

  1. As regras do BEDMAS foram quebradas.
  2. As regras da álgebra foram violadas.
  3. O que foi feito para um lado da equação não foi feito para o outro lado da equação.

Coisas a serem observadas

Ao mover um termo de um lado da equação para outro usando multiplicação ou divisão, lembre-se de que isso afeta todos os termos em ambos os lados da equação. Para remover (x ) do denominador na seguinte equação, multiplique ambos os lados da equação por (x ):

( dfrac {5} {x} + dfrac {1} {x} = dfrac {2} {x} +2 ) torna-se (x left ( dfrac {5} {x} + dfrac {1} {x} right) = left ( dfrac {2} {x} +2 right) x ) que então se torna (5 + 1 = 2 + 2 x )

Multiplicar todos os termos em ambos os lados por (x ) mantém a igualdade.

Caminhos para o sucesso

Números negativos podem causar muita dor a algumas pessoas. Ao mover os termos de um lado específico da equação, muitas pessoas preferem evitar coeficientes numéricos negativos na frente dos coeficientes literais. Revisitando (4x + 3 = −2x - 3 ), você pode mover (4x ) do lado esquerdo para o lado direito subtraindo (4x ) de ambos os lados. No entanto, no lado direito, isso resulta em (- 6x ). O negativo é facilmente esquecido ou acidentalmente descartado em etapas futuras. Em vez disso, mova a variável para o lado esquerdo da equação, produzindo um coeficiente positivo de (6x ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Como resolver o exemplo de abertura

Pegue o exemplo em andamento nesta seção e resolva para (x ): (4x + 3 = −2x - 3 )

Solução

Esta é uma equação linear, pois o expoente na variável é 1. Você deve resolver a equação e encontrar a raiz para (x ).

O que você já sabe

A equação já foi fornecida.

Como você chegará lá

Aplique as três etapas para resolver equações lineares. Para chegar à raiz, você deve seguir as regras de álgebra, BEDMAS e igualdade.

Executar

Passo 1: Mova os termos com coeficientes literais para um lado e os termos com apenas coeficientes numéricos para o outro lado. Vamos coletar o coeficiente literal no lado esquerdo da equação. Mova (- 2x ) para o lado esquerdo, colocando (+ 2x ) em ambos os lados.

[4x + 3 = −2x - 3 não numérico ]

No lado direito, (- 2x ) e (+ 2x ) se cancelam para zero.

[4x + 3 ( bf {+ 2x}) = −2x - 3 ( bf {+ 2x}) nonumber ]

Etapa 1 (continuação): Todos os termos com o coeficiente literal estão agora à esquerda. Vamos mover todos os termos contendo apenas coeficientes numéricos para o lado direito. Mova +3 para o lado direito, colocando −3 em ambos os lados.

[4x + 3 + 2x = −3 nonumber ]

No lado esquerdo, +3 e −3 se cancelam para zero.

[4x + 3 + 2x ( bf {- 3}) = −3 ( bf {- 3}) nonumber ]

Passo 2: Os termos agora estão separados. Combine termos semelhantes de acordo com as regras da álgebra.

[4x + 2x = −3 - 3 não numérico ]

etapa 3: O termo com o coeficiente literal está sendo multiplicado pelo coeficiente numérico de 6. Portanto, divida ambos os lados por 6.

[ bf {6x = −6} nonumber ]

Os coeficientes numéricos do lado esquerdo serão divididos por 1. Resolva os coeficientes numéricos do lado direito.

[ dfrac {6 x} { bf {6}} = dfrac {-6} { bf {6}} não numérico ]

Esta é a raiz da equação.

[x = -1 nonumber ]

A raiz da equação é (x = −1 ). Para verificar a precisão de sua manipulação, tire a raiz de (x = −1 ) e substitua-a na equação original:

[4 (−1) + 3 = −2 (−1) - 3 não numérico ]

[- 4 + 3 = 2 - 3 não numérico ]

[- 1 = −1 não numérico ]

O lado esquerdo é igual ao lado direito, então a raiz está correta.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Resolvendo uma equação linear com uma variável desconhecida

Resolva a seguinte equação para (m ): ( dfrac {3 m} {4} +2 m = 4 m-15 )

Solução

Esta é uma equação linear, pois o expoente da variável é 1. Você deve resolver a equação e encontrar a raiz para (m ).

O que você já sabe

A equação já foi fornecida.

Como você chegará lá

Simplifique as equações primeiro e, em seguida, aplique as três etapas para resolver equações lineares. Para chegar à raiz, você deve seguir as regras de álgebra, BEDMAS e igualdade. Você pode usar uma abordagem que evite negativos.

Executar

Primeiro, simplifique todas as frações para facilitar o trabalho com a equação.

[ dfrac {3 m} {4} +2 m = 4 m-15 não numérico ]

Ainda simplificando, colete termos semelhantes sempre que possível.

[( bf {0.75m}) + 2m = 4m - 15 nonumber ]

Passo 1: Colete todos os termos com o coeficiente literal em um lado da equação. Mova todos os termos com coeficientes literais para o lado direito.

[( bf {2.75m}) = 4m - 15 nonumber ]

Etapa 1 (continuação): Combine termos semelhantes e mova todos os termos com apenas coeficientes numéricos para o lado esquerdo.

[2.75m ( bf {- 2.75m}) = 4m - 15 ( bf {- 2.75m}) nonumber ]

No lado esquerdo, (+ 2.75m ) e (- 2.75m ) se cancelam. Agora mova os coeficientes numéricos para o lado esquerdo.

[( bf {0}) = 4m - 15 ( bf {- 2,75m}) não numérico ]

No lado direito, o −15 e o +15 se cancelam.

[0 ( bf {+ 15}) = 4m - 15 - 2,75m ( bf {+ 15}) nonumber ]

Passo 2: Combine termos semelhantes em cada lado.

[0 ( bf {+ 15}) = 4m - 2,75m não numérico ]

etapa 3: Divida os dois lados pelo coeficiente numérico que acompanha o coeficiente literal.

[ bf {15 = 1,25m} não numérico ]

Simplificar.

[ dfrac {15} { bf {1,25}} = dfrac {1,25 m} { bf {1,25}} não numérico ]

Esta é a raiz da equação.

[12 = m não numérico ]

A raiz da equação é (m = 12 ).

Isso torna os dois lados da equação,

( dfrac {3 m} {4} +2 m ) e (4 m-15 ), igual a 33.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Resolvendo uma equação linear com uma variável desconhecida contendo frações

Resolva a seguinte equação para (b ) e arredonde sua resposta para quatro decimais: ( dfrac {5} {8} b + dfrac {2} {5} = dfrac {17} {20} - dfrac { b} {4} )

Solução

Esta é uma equação linear, pois o expoente da variável é 1. Você deve resolver a equação e encontrar a raiz para (b ).

O que você já sabe

A equação já foi fornecida. Embora você possa tentar limpar todas as frações ou encontrar um denominador comum, lembre-se de que você pode eliminar as frações convertendo-as em decimais.

Como você chegará lá

Simplifique as frações na forma decimal. Em seguida, aplique as três etapas para resolver equações lineares. Para chegar à raiz, você deve seguir as regras de álgebra, BEDMAS e igualdade.

Executar

Simplifique as frações e converta em decimais.

[ dfrac {5} {8} b + dfrac {2} {5} = dfrac {17} {20} - dfrac {b} {4} não numérico ]

Passo 1: Mova os termos do coeficiente literal para o lado esquerdo.

[( bf {0,625}) b ( bf {+ 0,4}) = ( bf {0,85 - 0,25}) b não numérico ]

Os coeficientes literais do lado direito se cancelam.

[0,625b + 0,4 + ( bf {0,25b}) = 0,85 - 0,25b + ( bf {0,25b}) não-número ]

Mova os termos do coeficiente numérico para o lado direito.

[0,625b + 0,4 + 0,25b = 0,85 não numérico ]

Os coeficientes numéricos do lado esquerdo se cancelam.

[0,625b + 0,4 + 0,25b ( bf {- 0,4}) = 0,85 ( bf {- 0,4}) nonumber ]

Passo 2: Combine termos semelhantes em cada lado.

[0,625b + 0,25b = 0,85 - 0,4 não numérico ]

etapa 3: Divida os dois lados pelo coeficiente numérico que acompanha o coeficiente literal.

[ bf {0,875b = 0,45} não número ]

Simplificar.

[ dfrac {0,875 b} { bf {0,875}} = dfrac {0,45} { bf {0,875}} não numérico ]

Arredonde para quatro casas decimais conforme as instruções.

[b = 0,514285 não numérico ]

Esta é a raiz.

[b = 0,5143 não numérico ]

A raiz da equação, arredondada para quatro decimais, é (b = 0,5143 ).

Resolvendo Duas Equações Lineares com Duas Variáveis ​​Desconhecidas

O processo de manipulação que você acabou de praticar funciona bem para resolver uma equação linear com uma variável. Mas o que acontece se você precisar resolver duas equações lineares com duas variáveis ​​simultaneamente? Lembra quando você estava na Old Navy comprando sete roupas no início deste capítulo (equação 1)? Você precisava ficar dentro de um orçamento de preços (equação 2). Cada equação tinha duas variáveis ​​desconhecidas que representam o número de roupas com preços mais baixos e mais caros.

O objetivo é reduzir duas equações com duas incógnitas em uma única equação linear com uma incógnita. Depois que essa transformação for concluída, você identifica a variável desconhecida aplicando o procedimento de três etapas para resolver uma equação linear, conforme discutido anteriormente.

Quando você trabalha com duas equações lineares com duas incógnitas, as regras da álgebra permitem as duas seguintes manipulações:

  1. O que você faz para um lado da equação deve ser feito para o outro lado da equação para manter a igualdade. Portanto, você pode multiplicar ou dividir qualquer equação por qualquer número sem alterar a raiz da equação. Por exemplo, se você multiplicar todos os termos de (x + y = 2 ) por 2 em ambos os lados, resultando em (2x + 2y = 4 ), a igualdade da equação permanece inalterada e as mesmas raízes existem.
  2. Os termos que estão no mesmo lado de uma equação podem ser adicionados e subtraídos entre as equações combinando termos semelhantes. Cada uma das duas equações tem um lado esquerdo e um lado direito. Esta regra permite pegar o lado esquerdo da primeira equação e adicionar ou subtrair termos semelhantes no lado esquerdo da segunda equação. Ao realizar esta ação, lembre-se da primeira regra acima. Se você adicionar os lados esquerdos das equações, deverá adicionar o lado direito de ambas as equações para manter a igualdade.

Como funciona

Siga estas etapas para resolver duas equações lineares com duas variáveis ​​desconhecidas:

Passo 1: Escreva as duas equações uma acima da outra, alinhando verticalmente os termos que têm os mesmos coeficientes literais e os termos que têm apenas o coeficiente numérico. Se necessário, as equações podem precisar ser manipuladas de modo que todos os coeficientes literais fiquem de um lado e os coeficientes numéricos do outro lado.

Passo 2: Examine suas duas equações. Por meio da multiplicação ou divisão, faça o coeficiente numérico em um dos termos contendo um coeficiente literal exatamente igual à sua contraparte na outra equação.

etapa 3: Adicione ou subtraia as duas equações conforme necessário para eliminar o termo idêntico de ambas as equações.

Passo 4: Na nova equação, resolva o último coeficiente literal.

Etapa 5: Substitua a raiz do coeficiente literal conhecido em qualquer uma das duas equações originais. Se uma das equações assumir uma estrutura mais simples, escolha essa equação.

Etapa 6: Resolva a equação escolhida para o outro coeficiente literal.

Caminhos para o sucesso

Às vezes, não está claro exatamente como você precisa multiplicar ou dividir as equações para tornar dois dos termos idênticos. Por exemplo, suponha as seguintes duas equações:

[4,9x + 1,5y = 38,3 não numérico ]

[2.7x - 8.6y = 17.8 nonumber ]

Se o objetivo é tornar os termos que contêm o coeficiente literal (x ) idênticos, existem duas soluções alternativas:

  1. Pegue o maior coeficiente numérico para (x ) e divida-o pelo menor coeficiente numérico. O número resultante é o fator de multiplicação da equação contendo o menor coeficiente numérico. Neste caso, (4.9 div 2.7 = 1. Overline {814} ). Multiplique todos os termos na segunda equação por (1. Overline {814} ) para fazer os coeficientes numéricos para (x ) iguais uns aos outros, resultando neste par de equações:

[4,9x + 1,5y = 38,3 não numérico ]

[4,9 x-15,6 overline {074} y = 32,3 overline {037} text {(cada termo multiplicado por} 1. Overline {814}) nonumber ]

  1. Pegue a primeira equação e multiplique-a pelo coeficiente numérico da segunda equação. Em seguida, pegue a segunda equação e multiplique-a pelo coeficiente numérico da primeira equação. Nesse caso, multiplique todos os termos da primeira equação por 2,7. Em seguida, multiplique todos os termos da segunda equação por 4,9.

[13,23 x + 4,05 y = 103,41 text {(cada termo multiplicado por} 2,7) nonumber ]

[13,23 x-42,14 y = 87,22 text {(cada termo multiplicado por 4,9)} nonumber ]

Observe que ambas as abordagens resultam com sucesso em ambas as equações com o mesmo coeficiente numérico na frente do coeficiente literal (x ).

Caminhos para o sucesso

Em última análise, cada par de equações lineares com duas incógnitas pode ser convertido em uma única equação por meio da substituição. Para fazer a conversão, faça o seguinte:

  1. Resolva qualquer uma das equações para uma das variáveis ​​desconhecidas.
  2. Pegue a expressão algébrica resultante e substitua-a na outra equação. Esta nova equação pode ser resolvida para uma das variáveis ​​desconhecidas.
  3. Substitua sua variável recém-descoberta em uma das equações originais para determinar o valor da outra variável desconhecida.

Faça as duas equações a seguir:

[a + b = 4 quad quad 2a + b = 6 nonumber ]

  1. Resolver a primeira equação para a resulta em (a = 4 - b ).
  2. Substituir a expressão de a na segunda equação e resolver para b resulta em (2 (4 - b) + b = 6 ), que é resolvido como (b = 2 ).
  3. Finalmente, substituir a raiz de b na primeira equação para calcular a resulta em (a + 2 = 4 ) resultando em (a = 2 ). Portanto, as raízes dessas duas equações são (a = 2 ) e (b = 2 ).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Comprando essas roupas

Lembre-se do abridor de seção que, ao comprar roupas, há duas faixas de preço de $ 10 e $ 30, seu orçamento é de $ 110 e você precisa de sete peças de roupa. As equações abaixo representam essas condições. Identifique quantas roupas de baixo preço ( (L )) e roupas de alto preço ( (H )) você pode comprar.

[L + H = 7 text {} $ 10L + $ 30H = $ 110 nonumber ]

Solução

Você precisa determinar a quantidade de itens de ponto de preço baixo, ou (L ), e itens de ponto de preço alto, ou (H ), que estão dentro do seu orçamento limitado. Observe que os expoentes nas variáveis ​​são 1 e que existem duas incógnitas. Portanto, existem duas equações lineares com duas incógnitas.

O que você já sabe

Você precisa de sete peças de roupa e tem um orçamento de apenas $ 110. As equações expressam as relações de quantidade e orçamento.

Como você chegará lá

Aplique o procedimento de seis etapas para resolver duas equações lineares com duas incógnitas.

Passo 1:

Escreva as equações uma acima da outra e alinhe-as.

[ begin {array} {lllll} {L} & + & {H} & = & {7} { $ 10L} & + & { $ 30H} & = & { $ 110} end {array} nonumber ]

Passo 2:

Multiplique todos os termos da primeira equação por 10 para que (L ) tenha o mesmo coeficiente numérico em ambas as equações.

[ begin {array} {lllll} {10L} & + & {10H} & = & {70} { $ 10L} & + & { $ 30H} & = & { $ 110} end {array} nonumber ]

etapa 3:

Subtraia as equações subtraindo todos os termos em ambos os lados.

[ begin {array} {llllll} {} & {10L} & + & {10H} & = & {70} { text {subtract}} & { $ 10L} & + & { $ 30H } & = & { $ 110} {} & {} & - & { $ 20H} & = & {- $ 40} end {array} nonumber ]

Passo 4:

Resolva para (H ) dividindo ambos os lados por −20.

[ dfrac {- $ 20 H} {- $ 20} = dfrac {- $ 40} {- $ 20} quad H = 2 nonumber ]

Etapa 5:

Substitua o valor conhecido por (H ) em uma das equações originais. A primeira equação é simples, então escolha essa.

[ begin {array} {lllll} {L} & + & {H} & = & {7} {L} & + & {2} & = & {7} end {array} nenhum número ]

Etapa 6:

Resolva para (L ) subtraindo 2 de ambos os lados. Agora você tem as raízes para (L ) e (H ).

[ begin {array} {lllllllll} {L} & + & {2} & - & {2} & = & {7} & - & {2} {} & {} & {} & {} & {L} & = & {5} & {} & {} end {array} nonumber ]

Você pode comprar cinco artigos de vestuário na faixa de preço baixo e duas peças de roupa na faixa de preço alto. Isso permite que você compre sete artigos de vestuário e fique dentro do seu orçamento de $ 110.

Caminhos para o sucesso

Uma das áreas mais difíceis da matemática envolve a tradução de palavras em símbolos e operações matemáticas. Para ajudar nessa tradução, a tabela a seguir lista alguns idiomas comuns e o símbolo matemático que normalmente está associado à palavra ou frase.

LínguaSímbolo Matemático

Soma

Adição

Além de

Em excesso

Aumentado por

Mais

+

Subtrair

Diminuído por

Diminuído por

Menos menos

Diferença

Reduzido por

-

Multiplicado por

Vezes

Porcentagem de

Produto de

De

×

Dividir

Divisão

Divisível

Quociente

Por÷

Torna-se

É / Era / Era

Vai ser

Resulta em

Totais

=
Mais queMaior que>
Menor queMais baixo que<
Melhor que ou igual a
Menos que ou igual a
Diferente de

Exemplo ( PageIndex {5} ): Resolvendo duas equações lineares com duas desconhecidas para um parque de diversões

O Tinkertown Family Fun Park cobra US $ 15 por uma pulseira de criança e US $ 10,50 por uma pulseira de adulto. Em um dia quente de verão, o parque de diversões teve uma receita total de pulseiras de US $ 15.783 com a venda de 1.279 pulseiras. Quantas pulseiras para adultos e crianças o parque vendeu naquele dia?

Solução

Você precisa do número de pulseiras para adultos e crianças vendidas em um determinado dia. Portanto, você deve identificar duas incógnitas.

O que você já sabe

O preço das pulseiras, a quantidade total e as vendas são conhecidos:

Preço da pulseira infantil = $ 15

Preço da pulseira de adulto = $ 10,50

Receita total = $ 15.783

Vendas unitárias totais = 1.279

A quantidade de pulseiras de adulto vendidas e a quantidade de pulseiras de criança vendidas são desconhecidas:

Quantidade de pulseiras de adulto = (a )

Quantidade de pulseiras infantis = (c )

Como você chegará lá

  1. Trabalhe primeiro com as quantidades. Calcule o total de vendas unitárias adicionando o número de pulseiras de adulto ao número de pulseiras de criança:

[ # text {de pulseiras de adulto} + # text {de pulseiras de crianças} = text {total de vendas por unidade} nonumber ]

[a + c = 1.279 não numérico ]

  1. Agora considere os números em dólares. A receita total de qualquer empresa é calculada como o preço unitário multiplicado pelas unidades vendidas. Nesse caso, você deve somar a receita de dois produtos para obter a receita total.

[ text {Receita total de adultos} + text {Receita total de crianças} = text {Receita total} não numérico ]

[ text {(Preço de adulto} times text {Garantia de adulto}) + text {(Preço de criança} times text {Quantidade de criança)} = text {Receita total} nonumber ]

[ $ 10,50 a + $ 15 c = $ 15.783 não número ]

  1. Aplique o procedimento de seis etapas para resolver duas equações lineares com duas incógnitas.

Executar

Passo 1:

Escreva as equações uma acima da outra e alinhe-as.

[ begin {array} {lllll} {a} & + & {c} & = & {1.279} { $ 10.50a} & + & { $ 15c} & = & { $ 15.783} end {array} nonumber ]

Passo 2:

Multiplique todos os termos da primeira equação por 10,5, resultando em um tendo o mesmo coeficiente numérico em ambas as equações.

[ begin {array} {lllll} { bf {10.50} a} & + & { bf {10.50} c} & = & { bf {13.429.50}} { $ 10.50a} & + & { $ 15c} & = & { $ 15.783} end {array} nonumber ]

etapa 3:

Subtraia as equações subtraindo todos os termos em ambos os lados.

[ begin {array} {llllll} {} & { bf {10.50} a} & + & { bf {10.50} c} & = & { bf {13.429,50}} { text {Subtrair} } & { underline { $ 10.50a}} & { underline {+}} & { underline { $ 15c}} & { underline {=}} & { underline { $ 15.783}} {} & {} & {} & { bf {-4.5c}} & { bf {=}} & { bf {-2.353,50}} end {array} nonumber ]

Passo 4:

Resolva para (c ) dividindo ambos os lados por -4,5.

[ dfrac {-4,5 c} {- 4,5} = dfrac {-2,353,50} {- 4,5} quad c = 523 não numérico ]

Etapa 5:

Substitua o valor conhecido por (c ) em uma das equações originais. A primeira equação é simples, então escolha essa.

[ begin {array} {lllll} {a} & + & {c} & = & {1.279} {a} & + & { bf {523}} & = & {1.279} end {array} nonumber ]

Etapa 6:

Resolva a subtraindo 523 de ambos os lados. Agora você tem as raízes de (a ) e (c ).

[ begin {alinhados} a + 523 bf {-523} & = 1.279 bf {-523} a & = 756 end {alinhados} nonumber ]

O Tinkertown Family Fun Park vendeu 523 pulseiras infantis e 756 pulseiras adultas.


2.5: Equações Lineares - Manipulação e Resolução (Resolvendo o Quebra-cabeça) - Matemática

Álgebra linear é a linguagem da computação quântica. Portanto, é crucial desenvolver uma boa compreensão dos conceitos matemáticos básicos sobre os quais a álgebra linear é construída, a fim de chegar a muitas das construções surpreendentes e interessantes vistas na computação quântica. O objetivo desta seção é criar uma base de conhecimento introdutório da álgebra linear, sobre a qual o leitor pode construir durante seu estudo de computação quântica.

Vetores e espaços vetoriais

Começaremos nossa investigação na introdução da álgebra linear discutindo primeiro uma das quantidades matemáticas mais importantes na computação quântica: o vetor.

Formalmente, um vetor $ | v rangle $ é definido como elementos de um conjunto conhecido como espaço vetorial. Uma definição mais intuitiva e geométrica é que um vetor "é uma quantidade matemática com direção e magnitude". Por exemplo, considere um vetor com componentes $ x $ e $ y $ da forma $ begin 3 5 fim$. Este vetor pode ser visualizado como uma seta apontando na direção de $ 3 $ unidades ao longo do eixo $ x $ e $ 5 $ unidades ao longo do eixo $ y $:

Observe que a "cauda" do vetor não precisa ser posicionada na origem, apenas precisa apontar na direção correta.

Na computação quântica, muitas vezes lidamos com vetores de estado, que são simplesmente vetores que apontam para um ponto específico no espaço que corresponde a um determinado estado quântico. Isso pode ser visualizado usando uma esfera de Bloch. Por exemplo, um vetor que representa o estado de um sistema quântico pode ser parecido com esta seta, dentro da esfera de Bloch, que é o chamado "espaço de estado" de todos os pontos possíveis para os quais nossos vetores de estado podem "apontar":

Este estado particular corresponde a uma superposição uniforme entre $ | 0 rangle $ e $ | 1 rangle $ (a seta está a meio caminho entre $ | 0 rangle $ no topo e $ | 1 rangle $ na parte inferior da esfera ) Nossos vetores podem girar em qualquer lugar da superfície da esfera, e cada um desses pontos representa um estado quântico diferente.

Vamos revisitar nossa definição mais formal de vetor, que é que um vetor é um elemento de um espaço vetorial. Devemos agora definir um espaço vetorial. UMA Espaço vetorial $ V $ sobre um campo $ F $ é um conjunto de objetos (vetores), onde duas condições são válidas. Em primeiro lugar, adição de vetor de dois vetores $ | a rangle, | b rangle in V $ resultará em um terceiro vetor $ | a rangle + | b rangle = | c rangle $, também contido em $ V $. A segunda condição é que multiplicação escalar entre algum $ | a rangle in V $ e algum $ n in F $, denotado por $ n | a rangle $, também está contido em $ V $.

Agora vamos esclarecer essa definição anterior, trabalhando por meio de um exemplo básico. Vamos demonstrar que o conjunto $ mathbb^ 2 $ sobre o campo $ mathbb$ é um espaço vetorial. Afirmamos que

$ begin x_1 y_1 end + começo x_2 y_2 end = começar x_1 + x_2 y_1 + y_2 end$

está contido em $ mathbb^ 2 $. Este é evidentemente o caso, já que a soma de dois números reais é um número real, tornando ambas as componentes do vetor recém-formado números reais, portanto, o vetor está contido em $ mathbb^ 2 $ por definição. Também afirmamos que:

$ n | v rangle = begin nx ny end in V forall n in mathbb$

Isso também é verdade, pois o produto de um número real por um número real é um número real, tornando real todo o novo vetor e, assim, comprovando essa afirmação.

Matrizes e operações de matriz

Vamos voltar nossa atenção para outro conceito fundamental: a matriz. Matrizes são objetos matemáticos que transformam vetores em outros vetores:

$ | v rangle rightarrow | v ' rangle = M | v rangle $

Geralmente, as matrizes são escritas como "matrizes" de números, parecidas com isto:

Podemos "aplicar" uma matriz a um vetor realizando a multiplicação de matrizes. Em geral, a multiplicação de matrizes entre duas matrizes envolve pegar a primeira linha da primeira matriz e multiplicar cada elemento por seu "parceiro" na primeira coluna da segunda matriz (o primeiro número da linha é multiplicado pelo primeiro número do coluna, segundo número da linha e segundo número da coluna, etc.). A soma desses novos números se torna o primeiro elemento da primeira linha da nova matriz. Para preencher o resto da primeira linha, repetimos este processo para a segunda, terceira, etc. colunas da segunda matriz. Em seguida, pegamos a segunda linha da primeira matriz e repetimos o processo para cada coluna da segunda matriz, para produzir a segunda linha. Realizamos esse processo até usarmos todas as linhas da primeira matriz. A matriz resultante é nossa nova matriz. Aqui está um exemplo:

Para realizar uma computação quântica, temos algum vetor de estado quântico que manipulamos aplicando uma matriz a esse vetor. Um vetor é simplesmente uma matriz com uma coluna. Para aplicar uma matriz a um vetor, portanto, seguimos o mesmo procedimento de multiplicação de matrizes descrito acima. Nós manipulamos qubits em nosso computador quântico aplicando sequências de portas quânticas. Cada porta quântica pode ser expressa como uma matriz que pode ser aplicada a vetores de estado, alterando assim o estado. Por exemplo, um portão quântico comumente visto é o portão Pauli-X, que é representado pela seguinte matriz:

Esta porta atua de forma semelhante à porta lógica NOT clássica. Ele mapeia o estado de base computacional $ | 0 rangle $ para $ | 1 rangle $ e $ | 1 rangle $ para $ | 0 rangle $ (ele "inverte" o estado). Escrevemos os dois estados básicos como vetores de coluna:

$ | 0 rangle = begin 1 0 fim | 1 rangle = begin 0 1 fim$

Quando aplicamos esta matriz a cada um dos vetores:

$ sigma_x | 0 rangle = begin 0 & amp 1 1 & amp 0 end começar 1 0 fim = começar (0) (1) + (1) (0) (1) (1) + (0) (0) fim = começar 0 1 fim = | 1 rangle $

$ sigma_x | 1 rangle = begin 0 & amp 1 1 & amp 0 end começar 0 1 fim = começar (0) (0) + (1) (1) (1) (0) + (0) (1) fim = começar 1 0 fim = | 0 rangle $

A matriz atua nos vetores de estado conforme o esperado.

Na computação quântica, muitas vezes encontramos dois tipos importantes de matrizes: Hermitiano e Unitário matrizes. O primeiro é mais importante no estudo da mecânica quântica, mas ainda é necessário discutir em um estudo de computação quântica. Este último é de importância incomparável tanto na mecânica quântica quanto na computação quântica. Se você retirar apenas um conceito desta seção sobre álgebra linear, deve ser o conceito de matriz unitária.

Uma matriz Hermitiana é simplesmente uma matriz igual à sua conjugado transpor (denotado com um símbolo $ dagger $). Isso significa que inverter o sinal dos componentes imaginários de uma matriz hermitiana e, em seguida, refletir suas entradas ao longo de sua diagonal principal (do canto superior esquerdo para o inferior direito), produz uma matriz igual. Por exemplo, a matriz Pauli-Y, comumente usada em computação quântica, é Hermitiana:

$ sigma_y = begin 0 & amp -i i & amp 0 end Rightarrow sigma_y ^ < dagger> = begin 0 & amp - (i) - (- i) & amp 0 end = começar 0 & amp -i i & amp 0 end = sigma_y $

Observe como trocamos os lugares de $ i $ e $ -i $ (conforme refletimos na diagonal principal, os zeros permanecem inalterados) e, em seguida, invertemos o sinal.

Uma matriz unitária é muito semelhante. Especificamente, é uma matriz tal que o matriz inversa é igual à transposta conjugada da matriz original.

O inverso de alguma matriz $ A $, denotada como $ A ^ <-1> $, é uma matriz tal que:

onde $ mathbb$ é a matriz de identidade. A matriz de identidade tem $ 1 $ s ao longo da diagonal principal (superior esquerdo para inferior direito) e $ s em todos os outros lugares. É chamada de matriz de identidade porque atua trivialmente em qualquer outra matriz (não tem efeito). Você pode provar isso por conta própria multiplicando uma matriz de identidade por qualquer outra matriz.

When matrices get larger than $2 imes 2$, calculating the inverse becomes sufficiently complicated that it is usually left to computers to calculate. For a $2 imes 2$ matrix, the inverse is defined as:

where $ ext A$ is the determinant of the matrix. In the $2 imes 2$ case, $ ext A = ad - bc$.

Calculating inverse matrices is rarely important in quantum computing. Since most of the matrices we encounter are unitary, we can assume that the inverse is simply given by taking the conjugate transpose.

Let's look at a basic example. The Pauli-Y matrix, in addition to being Hermitian, is also unitary (it is equal to its conjugate transpose, which is also equal to its inverse therefore, the Pauli-Y matrix is its own inverse!). We can verify that this matrix is in fact unitary:

$sigma_y = egin 0 & -i i & 0 end sigma_y^ = egin 0 & -i i & 0 end Rightarrow sigma_y^ sigma_y = egin (0)(0) + (-i)(i) & (0)(-i) + (-i)(0) (i)(0) + (0)(i) & (i)(-i) + (0)(0) end = egin 1 & 0 0 & 1 end = mathbb$

The reason unitary matrices are important will become more apparent in the section on Hilbert spaces, and more so in the quantum mechanics subtopic of this textbook. The basic idea is that evolution of a quantum state by application of a unitary matrix "preserves" the norm (magnitude) of the quantum state.

Spanning Sets, Linear Dependence, and Bases

We are now in a position to discuss the construction of vector spaces. Consider some vector space $V$. We say that some set of vectors $S$ spans a subspace $V_S subset V$ (subset closed under vector space operations) of the vector space, if we can write any vector in the subspace as a linear combination of vectors contained within the spanning set.

A linear combination of some collection vectors $|v_1 angle, . |v_n angle$ in some vector space over a field $F$ is defined as an arbitrary sum of these vectors (which of course will be another vector that we will call $|v angle$):

$|v angle = f_1 |v_1 angle + f_2 |v_2 angle + . + f_n |v_n angle = displaystylesum_ f_i |v_i angle$

where each $f_i$ is some element of $F$. If we have a set of vectors that spans a space, we are saying that any other vector in the vector space can be written as a linear combination of these vectors.

A set of vectors $|v_1 angle, . |v_n angle$ is said to be linearly dependent if there exist corresponding coefficients for each vector, $b_i in F$, such that:

$b_1 |v_1 angle + b_2 |v_2 angle + . + b_n |v_n angle = displaystylesum_ b_i |v_i angle = 0,$

where at least one of the $b_i$ coefficients is non-zero. This is equivalent to the more intuitive statement that "the set of vectors can be expressed as linear combinations of each other". For example, let us have the set $<|v_1 angle, . |v_n angle >$ along with the corresponding coefficients $$, such that the linear combination is equal to $. Since there is at least one vector with a non-zero coefficient, we choose a term in the linear combination $b_a |v_a angle$:

$displaystylesum_ b_i |v_i angle = b_a |v_a angle + displaystylesum_ b_i |v_i angle = 0 Rightarrow |v_a angle = - displaystylesum_ frac |v_i angle = displaystylesum_ c_i |v_i angle$

In the case that $b_a$ is the only non-zero coefficient, it is necessarily true that $|v_a angle$ is the null vector, automatically making the set linearly dependent. If this is not the case, $|v_a angle$ has been written as a linear combination of non-zero vectors, as was shown above. To prove the converse, we assume that there exists some vector $|v_a angle$ in the subspace $|v_1 angle, . |v_n angle$ that can be written as a linear combination of other vectors in the subspace. This means that:

$|v_a angle = displaystylesum_ b_s |v_s angle$

where $s$ is an index that runs over a subset of the subspace. It follows that:

$|v_a angle - displaystylesum_ b_s |v_s angle = |v_a angle - (b_1|v_ angle + . + b_r|v_ angle) = 0$

For all vectors in the subspace that are not included in the subset indexed by $s$, we set their coefficients, indexed by $q$, equal to $. Thus,

$|v_a angle - (b_1|v_ angle + . + b_r|v_ angle) + (0)(|v_ angle + . + |v_ angle) = 0$

which is a linear combination of all elements in the subspace $|v_1 angle, . |v_n angle$. This is equal to $, thus completing the proof that the two definitions of linear dependence imply each other.

Let's now consider a basic example. Consider the set of two vectors in $mathbb^2$, consisting of $|a angle = egin 1 0 end$ and $|b angle = egin 2 0 end$. If we choose the field over our vector space to be $mathbb$, then we can create a linear combination of these vectors that equates to $. For example:

A set of vectors is said to be linearly independent if there is no vector in the set that can be expressed as a linear combination of all the others.

The notion of a base is simply a linearly independent spanning set. In this sense, the basis of a vector space is the minimal possible set that spans the entire space. We call the size of the basis set the dimension of the vector space.

Bases and spanning sets are important because they allow us to "shrink down" vector spaces and express them in terms of only a few vectors. We can come to certain conclusions about our basis set that we can generalize to the entire vector space, simply because we know every vector in the space is just a linear combination of the basis vectors.

In quantum computation, one of the bases that we often encounter is $|0 angle, |1 angle$. We can write any other qubit state as a linear combination of these basis vectors. For instance, the linear combination

represents a superposition between the $|0 angle$ and $|1 angle$ basis state, with equal probability of measuring the state to be in either one of the basis vector states (this is intuitive, as the "weight" or the "amount of each basis vector" in the linear combination is equal, both being scaled by $1/sqrt<2>$).

Hilbert Spaces, Orthonormality, and the Inner Product

Hilbert Spaces are one of the most important mathematical constructs in quantum mechanics and quantum computation. A Hilbert space can be thought of as the state space in which all quantum state vectors "live". The main difference between a Hilbert space and any random vector space is that a Hilbert space is equipped with an inner product, which is an operation that can be performed between two vectors, returning a scalar.

In the context of quantum mechanics and quantum computation, the inner product between two state vectors returns a scalar quantity representing the amount to which the first vector lies along the second vector. From this, the probabilities of measurement in different quantum states (among other things) can be calculated (this will be discussed more in the quantum mechanics subtopic).

For two vectors $|a angle$ and $|b angle$ in a Hilbert space, we denote the inner product as $langle a | b angle$, where $langle a |$ is equal to the conjugate transpose of $|a angle$, denoted $|a angle^$. Thus, the inner product between two vectors of the Hilbert space looks something like:

$langle a | b angle = egin a_1^ <*>& a_2^ <*>& . & a_n^ <*>end egin b_1 b_2 . . . b_n end = a_1^ <*>b_1 + a_2^ <*>b_2 + . + a_n^ <*>b_n$

where $*$ denotes the complex conjugate of the vector.

One of the most important conditions for a Hilbert space representing a quantum system is that the inner product of a vector with itself is equal to one: $langle psi | psi angle = 1$. This is the so-called normalization condition, which states that the length of the vector squared (each component of the vector is squared and summed together, by definition of the inner product) must be equal to one. The physical significance of this is that the length of a vector in a particular direction is representative of the "probability amplitude" of the quantum system with regards to measurement in that particular state. Obviously, the probability of the quantum system being measured in the state that it is in must be $1$ (after all, the sum of the probabilities of finding the quantum system in any particular state must equal $1$).


Equations Games

In this post we present a number of free Algebra Equations Games and Activities that students can use to reinforce their equation solving skills.

Simply click on the image of the game, or the provided text link, to open the game in a new window on your web browser.

Since most of these games use Flash, Shockwave, or Javascript, they probably will not work on Apple devices. Apple products do not have the functionality to run such applications, but the games should work fine on any normal netbook, laptop, or PC.

Battleship One Step Equations

This is played just like the classic Battleship game. We click on the opponent’s right hand side grid and get splash circles if there is not a ship on that grid square.

However, when there is a ship there, we get given a one step equation to solve. If we get it correct, we get a dot to confirm the hit.

If we get it wrong we can try again by clicking back on the dot and re-doing the same equation on our next turn.

Note that the game does use negative numbers, and so some questions will look like this: 15 = 5 – x . For this example equation, the correct answer from the multiple choice options will be -10.

The game can be played at the following link.

This game will not start unless you first click your mouse into the game area, then the cursor movement and space bar shooter start functioning.

The equations are one and two step equations involving both positive and negative numbers.

The game only has one level, but restarting the game gives a new set of equations to do.

The game can be played at the following link.

In this game, we need to click and drag numbers down from the top and into the right position to create a balanced equation.

In a balanced equation, both sides of the equals sign generate the same number. Por exemplo. 10 x 2 = 5 x 4 .

The game can be played at the following link.

Equation Match Picture Puzzle

This game by BBC requires the free Adobe Shockwave player to be installed on your computer.

The object of the game is to match up a pair of equations that both have the same Answer.

Por exemplo. We could match x-5 = 2 (which has an answer of x=7) with 3x=21 which also has an answer of 7.

When we match correctly, two more parts of the underlying image are revealed.

The game has levels, where Level 1 appears to only give simple one step equations. Level 3 gives letters both sides and brackets equations.

The game can be played at the following link.

One-step adding and subtracting game, as well as a one-step multiplication and division game.

The equations are challenging, as they use fractions, negative numbers and decimals.

If you get a question correct, you get to aim your ball and have a shot at the basket.

This game can be played at the following link.

There is this exact same game, but as a Two Step Equations Game, at the following link:

There are four levels of this game, but each level always has the same equation to solve for that level.

Level 1 is always the same single step equation, and Level 4 is always the equation 4w + 2 = 2w – 4 .

However it is till worthwhile giving this game a go.

The idea is to go through the solving steps one by one, and if we reach the answer in the least possible steps we get a double tick on our answer.

The main page where levels can be selected is at the following link.

This game has a mixture of difficulties, ranging from single step with negative numbers, through to brackets equations and fractions.

It has a set of three “hints” that are like lifelines, and give clues such as “The answer is not D”.

This game can be played at the following link.

This is more of an interactive online activity, where we can choose the reversing operation to do, type in the value we want to do the operation to and then press enter to get to the next line.

Note that we use the red “:” for doing divided by.

We can also make up our own equation, type it in, and then solve it.

The activity can be found at the following link.

Equation Substitution Match

This game required us to install the free “Adobe Shockwave Player” add-in to our browser before we could play the game.

The game involves substituting into an equation and working out which is the correct answer. It has three levels of difficulty.

The game can be played at the following link.

Interactive Equation Balancing

This activity is really cool. We can click on the purple buttons to add or remove x’s or ones. As we do this, the items are added or removed from both sides of the balance.

The idea is to reduce the items on the balance down until we just have one “x” on the balance. The remaining numbers on the other side of the balance tell us what the answer for the value of “x” is.

This activity can be found at the following link.

This game involves putting number weights on the balance to match the weight of the strange looking Poodle.

Hover the mouse over the bottom right hand corner “Help” button, to get instructions on how to play the game.

Hover the mouse over the bottom left hand corner “Hint” button, to reveal the number equation which needs solving.

Then click on the number weights to make them go onto the balance and add up to the required answer.

To remove a number off the balance, simply click the number on the right hand side of the balance that we want to remove.

The game can be played at the following link.

Solve Equations Time Trial

This game is more of a time trialled Online Test, rather than a game. It focuses on two step equations and includes negative numbers.

The game can be played at the following link.

In addition, there are XP Math One Step Equations Time Trials activities at the web pages below.

These cover One Step Addition, Subtraction, Multiplication, and Division.

This one is really a basic primary school game, and involves working out missing values in an addition sum.

However it does the train students to be thinking of the concept of balancing, and is good brain exercise when students push themselves against the timer.

The game can be played at the following link.

That’s it for our selection of Equations Games.

These games could be added individually to lessons, or used as a group item when students are revising their work.

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Questões

For Questions 1 to 8, find the equations needed to solve the problems. Do not solve.

  1. A is 60 kilometres from B. An automobile at A starts for B at the rate of 20 km/h at the same time that an automobile at B starts for A at the rate of 25 km/h. How long will it be before the automobiles meet?
  2. Two automobiles are 276 kilometres apart and start to travel toward each other at the same time. They travel at rates differing by 5 km/h. If they meet after 6 h, find the rate of each.
  3. Two trains starting at the same station head in opposite directions. They travel at the rates of 25 and 40 km/h, respectively. If they start at the same time, how soon will they be 195 kilometres apart?
  4. Two bike messengers, Jerry and Susan, ride in opposite directions. If Jerry rides at the rate of 20 km/h, at what rate must Susan ride if they are 150 kilometres apart in 5 hours?
  5. A passenger and a freight train start toward each other at the same time from two points 300 kilometres apart. If the rate of the passenger train exceeds the rate of the freight train by 15 km/h, and they meet after 4 hours, what must the rate of each be?
  6. Two automobiles started travelling in opposite directions at the same time from the same point. Their rates were 25 and 35 km/h, respectively. After how many hours were they 180 kilometres apart?
  7. A man having ten hours at his disposal made an excursion by bike, riding out at the rate of 10 km/h and returning on foot at the rate of 3 km/h. Find the distance he rode.
  8. A man walks at the rate of 4 km/h. How far can he walk into the country and ride back on a trolley that travels at the rate of 20 km/h, if he must be back home 3 hours from the time he started?
  1. A boy rides away from home in an automobile at the rate of 28 km/h and walks back at the rate of 4 km/h. The round trip requires 2 hours. How far does he ride?
  2. A motorboat leaves a harbour and travels at an average speed of 15 km/h toward an island. The average speed on the return trip was 10 km/h. How far was the island from the harbour if the trip took a total of 5 hours?
  3. A family drove to a resort at an average speed of 30 km/h and later returned over the same road at an average speed of 50 km/h. Find the distance to the resort if the total driving time was 8 hours.
  4. As part of his flight training, a student pilot was required to fly to an airport and then return. The average speed to the airport was 90 km/h, and the average speed returning was 120 km/h. Find the distance between the two airports if the total flying time was 7 hours.
  5. Sam starts travelling at 4 km/h from a campsite 2 hours ahead of Sue, who travels 6 km/h in the same direction. How many hours will it take for Sue to catch up to Sam?
  6. A man travels 5 km/h. After travelling for 6 hours, another man starts at the same place as the first man did, following at the rate of 8 km/h. When will the second man overtake the first?
  7. A motorboat leaves a harbour and travels at an average speed of 8 km/h toward a small island. Two hours later, a cabin cruiser leaves the same harbour and travels at an average speed of 16 km/h toward the same island. How many hours after the cabin cruiser leaves will it be alongside the motorboat?
  8. A long distance runner started on a course, running at an average speed of 6 km/h. One hour later, a second runner began the same course at an average speed of 8 km/h. How long after the second runner started will they overtake the first runner?
  9. Two men are travelling in opposite directions at the rate of 20 and 30 km/h at the same time and from the same place. In how many hours will they be 300 kilometres apart?
  10. Two trains start at the same time from the same place and travel in opposite directions. If the rate of one is 6 km/h more than the rate of the other and they are 168 kilometres apart at the end of 4 hours, what is the rate of each?
  11. Two cyclists start from the same point and ride in opposite directions. One cyclist rides twice as fast as the other. In three hours, they are 72 kilometres apart. Find the rate of each cyclist.
  12. Two small planes start from the same point and fly in opposite directions. The first plane is flying 25 km/h slower than the second plane. In two hours, the planes are 430 kilometres apart. Find the rate of each plane.
  13. On a 130-kilometre trip, a car travelled at an average speed of 55 km/h and then reduced its speed to 40 km/h for the remainder of the trip. The trip took a total of 2.5 hours. For how long did the car travel at 40 km/h?
  14. Running at an average rate of 8 m/s, a sprinter ran to the end of a track and then jogged back to the starting point at an average of 3 m/s. The sprinter took 55 s to run to the end of the track and jog back. Find the length of the track.

<a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-8-8/”>Answer Key 8.8


Cramer's Rule

Having covered how to manipulate and evaluate determinants, now we'll explore one of the practical uses of determinants, which is in solving systems of equations. Consider the following system of equations:

We could solve this system of equations the old-fashioned way, but we can also do it using determinants. Let's suppose that we have been asked to find the value of y in this system. The first thing we do is we create a determinant out of the coefficients on the left-hand side. I've named this determinant d, because we're going to use it as a denominator:

Now I'm going to create another determinant by replacing the coefficients of y with the values on the right-hand side of the equation. I'm going to call this ny, because we're going to use it as a numerator to help us find y.

Systems with Three Unknowns
This process may actually be more work than the "old-fashioned" method, if you're solving a system of two equations in two unknowns, but if you have three unknowns, it becomes a bit more useful. Especially if you only need to know one of the three unknowns.

Here's an example. Solve for y in the following system:

2x + 5y + 3z = 47
x - 2y + 5z = 38
3x + y + z = 23

Since we only need to find y, we just need ny:

Note that we always need to make sure we have the equations formatted the same way (variables in the same order, with the constant on the opposite side of the equation). Also note that if an equation is missing a variable, we need to include it anyway. For example, if you have a system of equations in x,y, and z, and one of the equations is x + 3z = 5, it needs to be written as x + 0y + 3z = 5.

But Wait.
Not all systems of equations have a solution, right? If two of the linear equations are parallel, there is no solution, and if two of the linear equations are equivalent, then there could be an infinite number of solutions! So how does Cramer's Rule trap this issue?

It's actually pretty simple. If two of the equations are parallel or identical, then their coefficients are either equal or multiples of the other, right? And they become rows in a determinant, and all we need to do is subtract the multiple times the row of smaller coefficients times the row of larger coefficients, and we have a row of zeroes, making the determinant zero.

In other words, whenever the system of equations is indeterminate or inconsistent, Cramer's Rule gives you a division by zero, which tells you you can't get solutions. Pretty nice, huh?


Cooperative Whiteboards

Kids practice solving one-step equations in the cooperative whiteboard activity by sharing a whiteboard of some kind and solving problems on their section/whiteboard. You can have them all working on the same problem and then they check with each other to make sure that they have the same answers. Another variation is for everyone to be working on a different problem, but the answers are the same to all the problems. You could set this up in centers and have students rotate.

The link for this idea goes to a blog post with a lot of ideas for solving equations. Halfway down the page she describes what she calls “Placemat Equations”, which can be done with dry-erase sleeves or large student whiteboards. You can download a few free placemats, but they are two step equations. If you need a set of problems for this activity, you can click this link for a worksheet of problems you could use.


Algebra II Help

Most Algebra II courses are placed at an important point in the young person&rsquos studies. Whether the course directly follows on his or her first algebra class or is taken after the study of geometry, this class builds on these previously gained skills, preparing the young student for further advanced work in mathematics. Whether you need top Algebra tutors in Miami, Algebra tutors in Kansas City, or top Algebra tutors in Oklahoma City, working with a pro may take your studies to the next level.

When Algebra II immediately follows Algebra I, the young student will likely focus on continued growth in manipulating and using equations, building directly on the skills gained in Algebra I. This will require focus on non-linear single-variable equations, focusing on quadratic equations in particular, but with further attention to higher-order polynomials in general. Likewise, more advanced skills in manipulating and using exponents and radicals will greatly augment the equation-solving skills that students gained through previous coursework. In addition to manipulating and solving equations, such students will likely also focus on the concepts needed for evaluating various transformations of equations, particularly graphs of quadratic functions, absolute values, and other non-linear functions. Varsity Tutors offers resources like free Algebra II Practice Tests to help with your self-paced study, or you may want to consider an Algebra II tutor.

When Algebra II follows a course in geometry, it is often possible to cover quite a bit more information, as the student will be at a more advanced level than he or she was directly after taking a first algebra course. Having had an additional year of mathematical studies, he or she will arrive with strengthened general skills as well as the understanding of an assortment of new topics pertinent to geometry. In such an Algebra II course, many of the aforementioned skills will be taught&mdashthe various types of equation manipulation, graph transformation, and so forth. However, it will also be easier to consider other topics in preparation for trigonometry and pre-calculus, such as trigonometric identities and conic sections.

Whenever it occurs in a young person&rsquos math curriculum, Algebra II is a rigorous and difficult course. Marking an important transition in a student&rsquos mathematical learning, the course requires an increased amount of work and devotion from students. Often, when taking this course, young students are struck by the increased amount of time required outside of class in order to solidify the skills gained each day in school. In all mathematics courses, practice can help one learn the new topics presented however, as the topics become increasingly complex, the amount of work required increases. In addition to the Algebra II Help section and Algebra II tutoring, you may also want to consider taking some of our Algebra II Flashcards.

Therefore, in order to succeed, it is critical that a student be rigorously devoted to his or her assigned work. It is very easy for the topics learned in a course of this sort to begin to pile up, leaving a student utterly overwhelmed in a short period of time. Varsity Tutors&rsquo free Algebra 2 Help can assist you in understanding any topic which you have not completely mastered before they begin to cause you trouble in understanding new material in your course. Our Algebra 2 content is divided into specific topics to assist you in pinpointing your exact area of confusion. Clicking on one of these topics will present you with Algebra 2 questions testing that concept, as well as the correct answer and a full explanation. You can work through questions on your own and check your answers, or simply analyze problems as correct examples on which to model your work. Varsity Tutors&rsquo free Algebra II Help can be particularly useful when employed alongside our other free Algebra II resources, including practice tests, diagnostic tests, and flashcards. Answering questions using these three methods can give you feedback about which areas of Algebra II you understand least well and give specificity to your studying.

More than any previous mathematics coursework&mdashbe it Algebra I or Geometry&mdashAlgebra II will require daily devotion and assiduous care in order to succeed. However, with such industriousness, it is possible to gain skills that will have great effects in coming years of study in areas of study as disparate as calculus, economics, and physics. Therefore, whenever it might be timed in the curriculum today, Algebra II deserves assiduous attention and devoted labor, for tomorrow&rsquos success may well hinge on this important course.


2.5: Linear Equations - Manipulating and Solving (Solving the Puzzle) - Mathematics

Solving Linear Inequalities:
Advanced Examples
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  • The velocity of an object fired directly upward is given by V = 80 &ndash 32t , Onde t is in seconds.

Note that, since I had to divide through by a negative, I had to flip the inequality signs. Note also that you might (as I do) find the above answer to be more easily understood if written the other way around:

Looking back at the original question, it did not ask for the value of the variable " t ", but asked for the times when the velocity was between certain values. So the actual answer is:

The velocity will be between 32 and 64 feet per second between 0.5 seconds after launch and 1.5 seconds after launch.

Always remember when doing word problems, that, once you've found the value for the variable, you need to go back and re-read the problem to make sure that you're answering the actual question. The inequality " 0.5 < t < 1.5 " did not answer the actual question regarding time. I had to interpret the inequality and express the values in terms of the original question.

First I'll multiply through on the right-hand side, and then solve as usual:

5x + 7 < 3(x + 1)
5x + 7 < 3x + 3
2x + 7 < 3
2x < &ndash4
x < &ndash2

Since I divided through by a positive " 2 " to get the final answer, I didn't have to flip the inequality sign.

  • You want to invest $30,000 . Part of this will be invested in a stable 5% -simple-interest rate account. The remainder will be "invested" in your father ' s business, and he says that he'll pay you back with 7% interest. Your father knows that you're making these investments in order to pay your child's college tuition with the interest income. What is the least you can "invest" with your father, and still (assuming he really pays you back) get at least $1900 in interest?

First, I have to set up equations for this. The interest formula for simple interest is I = Prt, Onde eu is the interest, P is the beginning principal, r is the interest rate expressed as a decimal, and t is the time in years. Since no time-frame is specified for this problem, I'll assume that t = 1. I'll let " x " be the amount that I'm going to "invest" with my father. Then there will be 30000 &ndash x left to invest in the safe account. The interest on the business investment, assuming that I get paid back, will be:

The interest on the safe investment will be:

(30 000 &ndash x)(0.05)(1) = 1500 &ndash 0.05x

Then the total interest is:

0.07x + (1500 &ndash 0.05x) = 0.02x + 1500

I need to get at least $1900 , so:

0.02x + 1500 & gt 1900
0.02x & gt 400
x & gt 20 000

That is, I will need to "invest" at least $20,000 with my father in order to get $1,900 in interest income. Since I want to give him as little money as possible, I will give him the minimum amount:

I will invest $20,000 at 7%.

  • An alloy needs to contain between 46% copper and 50% copper. Find the least and greatest amounts of a 60% copper alloy that should be mixed with a 40% copper alloy in order to end up with thirty pounds of an alloy containing an allowable percentage of copper.

This is similar to a mixture word problem , except that this will involve inequality signs, rather than "equals" signs. I'll set it up the same way, though:

pounds % copper pounds copper
60% x 0.6 0.6x
40% 30 &ndash x 0.4 0.4(30 &ndash x) = 12 &ndash 0.4x
mix 30 between 0.46 and 0.5 between 13.8 and 15

How did I get those values in the bottom right-hand box? I multiplied the total number of pounds in the mixture ( 30 ) by the minimum and maximum percentages ( 46% and 50% , respectively). That is, I multiplied across the bottom row, just as I did in the " 60% " row and the " 40% " row, to get the right-hand column's value. The total amount of copper in the mixture will be the sum of the copper from the two alloys put into the mixture, so I'll add the expressions for the amount of copper from the alloys, and place the total between the minimum and the maximum allowable amounts of copper: Copyright © Elizabeth Stapel 2002-2011 All Rights Reserved

I will need to use between 9 and 15 pounds of the 60% alloy.

First I'll multiply through and simplify then I'll solve:

Why did I move the " 3x " over to the right-hand side (to get to the line marked with a star), instead of moving the " 4x " to the left-hand side? Because by moving the smaller term, I was able to avoid having a negative coefficient on the variable, and therefore I was able to avoid having to remember to flip the inequality when I divided off that coefficient. I find it simpler to work this way I make fewer errors. But it's just a matter of taste.

Why did I switch the inequality in the last line and put the variable on the left? Because I'm more comfortable with inequalities when the answers are formatted this way. Again, it's only a matter of taste. The form of the answer in the previous line, " 4 & gt x ", is perfectly acceptable. As long as you remember to flip the inequality sign when you multiply or divide through by a negative, you shouldn't have any trouble with solving linear inequalities.


Symbolic Math Toolbox

Symbolic Math Toolbox™ provides functions for solving, plotting, and manipulating symbolic math equations. You can create, run, and share symbolic math code using the MATLAB ® Live Editor. The toolbox provides functions in common mathematical areas such as calculus, linear algebra, algebraic and ordinary differential equations, equation simplification, and equation manipulation.

Symbolic Math Toolbox lets you analytically perform differentiation, integration, simplification, transforms, and equation solving. You can perform dimensional computations and conversions using SI and US unit systems. Your computations can be performed either analytically or using variable-precision arithmetic, with the results displayed in mathematical typeset.

You can share your symbolic work with other MATLAB users as live scripts or convert them to HTML or PDF for publication. You can generate MATLAB functions, Simulink ® function blocks, and Simscape™ equations directly from symbolic expressions.


MathHelp.com

Whatever the original form of a linear equation, it is often helpful, especially for graphing, to have the equation rearranged into " y= " form. Solving a linear equation in two variables for y= is a type of literal-equation solving. Here's how it works:

Find the slope of the line with equation 3x + 2y = 8

In order to find the slope, it is simplest to put this line equation into slope-intercept form. If I rearrange this line to be in the form " y = mx + b ", it will be easy to read off the slope m . So I'll solve:

I know that the slope of the line is whatever number is multiplied on the x , so my answer is:

I didn't have to solve the equation above for y= . I could have picked two x -values, plugged them into the equation, solved for the corresponding y -values, plugged the two resulting points into the slope formula, and simplified to find the value of m . But, all things considered, solving for y= and simply reading the value of m from the equation was a whole lot easier and faster.

Find the slope and the y -intercept of the line with equation 2x & ndash y = 5 .

I know that, if I can solve the equation for y= , I'll be able to read the values of the slope m e a y -intercept b right off of the equation. So I'll solve for " y= ":

Now that I have the equation rearranged into slope-intercept form, I can read the values I need right from the equation:

Given the line with equation x &ndash 2y = 5 , find the slope and the y -intercept.

I could go to the trouble of finding two points and computing the slope, or of plugging zero in for x and solving for the y -intercept value, but it's simpler to just solve for " y= ".

If I prefer, I can flip the sides of the equation, so I get:

This isn't required, but can make things look nicer. Either way, I can now read the required values from the equation:

Find the slope and the y -intercept of the line with equation 4x + 5y = 12 .

The values here are messy, but that's okay. In fact, by simply solving the equation for y , I probably helped myself avoid making errors with the fractions. In any case, my answers are:

Sometimes, there is no particular context they just want you to solve the equation for y .

Solve 4y &ndash 5x &ndash 18 = 13x &ndash 2y + 6 for y

Well, that's certainly. needlessly complicated. Whatever the solution method remains the same:


Assista o vídeo: Sistema de equações lineares Resolução Regra de Cramer e Escalonamento Matemática Instrumental (Novembro 2021).