Artigos

9.5: Cálculo e funções polares - Matemática


A seção anterior definiu coordenadas polares, levando às funções polares. Investigamos traçar essas funções e resolver uma questão fundamental sobre seus gráficos, a saber, onde dois gráficos polares se cruzam?

Agora voltamos nossa atenção para responder a outras questões, cujas soluções requerem o uso de cálculo. Uma base para muito do que é feito nesta seção é a capacidade de transformar uma função polar (r = f ( theta) ) em um conjunto de equações paramétricas. Usando as identidades (x = r cos theta ) e (y = r sin theta ), podemos criar as equações paramétricas (x = f ( theta) cos theta ), (y = f ( theta) sin theta ) e aplique os conceitos da Seção 9.3.

Funções polares e ( frac {dy} {dx} )

Estamos interessados ​​nas retas que tangenciam um determinado gráfico, independentemente de o gráfico ser produzido por equações retangulares, paramétricas ou polares. Em cada um desses contextos, a inclinação da reta tangente é ( frac {dy} {dx} ). Dado (r = f ( theta) ), geralmente somos não relacionado com (r ^ prime = f ^ prime ( theta) ); que descreve a rapidez com que (r ) muda em relação a ( theta ). Em vez disso, usaremos (x = f ( theta) cos theta ), (y = f ( theta) sin theta ) para calcular ( frac {dy} {dx} ) .

Usando a ideia-chave 37, temos [ frac {dy} {dx} = frac {dy} {d theta} Big / frac {dx} {d theta}. ]

Cada uma das duas derivadas do lado direito da igualdade requer o uso da Regra do Produto. Declaramos o resultado importante como uma ideia-chave.

ideia-chave 41 Encontrar ( frac {dy} {dx} ) com funções polares

Seja (r = f ( theta) ) uma função polar. Com (x = f ( theta) cos theta ) e (y = f ( theta) sin theta ),

[ frac {dy} {dx} = frac {f ^ prime ( theta) sin theta + f ( theta) cos theta} {f ^ prime ( theta) cos theta -f ( theta) sin theta}. ]

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando ( frac {dy} {dx} ) com funções polares.

Considere o limacon (r = 1 + 2 sin theta ) em ([0,2 pi] ).

  1. Encontre as equações das linhas tangentes e normais do gráfico em ( theta = pi / 4 ).
  2. Descubra onde o gráfico tem linhas tangentes verticais e horizontais.

Solução

  1. Começamos calculando ( frac {dy} {dx} ). Com (f ^ prime ( theta) = 2 cos theta ), temos [ begin {align *} frac {dy} {dx} & = frac {2 cos theta sin theta + cos theta (1 + 2 sin theta)} {2 cos ^ 2 theta- sin theta (1 + 2 sin theta)} & = frac { cos theta (4 sin theta + 1)} {2 ( cos ^ 2 theta- sin ^ 2 theta) - sin theta}. end {alinhar *} ]

    Quando ( theta = pi / 4 ), ( frac {dy} {dx} = - 2 sqrt {2} -1 ) (isso requer um pouco de simplificação). Em coordenadas retangulares, o ponto no gráfico em ( theta = pi / 4 ) é ((1+ sqrt {2} / 2,1 + sqrt {2} / 2) ). Assim, a equação retangular da linha tangente ao limacon em ( theta = pi / 4 ) é [y = (- 2 sqrt {2} -1) big (x- (1+ sqrt { 2} / 2) big) +1+ sqrt {2} / 2 approx -3,83 x + 8,24. ] O limacon e a linha tangente estão representados graficamente na Figura 9.47.
    A linha normal tem o oposto - inclinação recíproca como a linha tangente, então sua equação é
    [y approx frac {1} {3,83} x + 1,26. ]

  2. Para encontrar as linhas horizontais de tangência, encontramos onde ( frac {dy} {dx} = 0 ); assim, descobrimos onde o numerador de nossa equação para ( frac {dy} {dx} ) é 0.
    [ cos theta (4 sin theta + 1) = 0 quad Rightarrow quad cos theta = 0 quad text {ou} quad 4 sin theta + 1 = 0. ]
    Em ([0,2 pi] ), ( cos theta = 0 ) quando ( theta = pi / 2, 3 pi / 2 ).

    Definir (4 sin theta + 1 = 0 ) dá ( theta = sin ^ {- 1} (- 1/4) approx -0,2527 = -14,48 ^ circ ). Queremos os resultados em ([0,2 pi] ); também reconhecemos que há duas soluções, uma no quadrante 3 (^ text {rd} ) e uma no quadrante 4 (^ text {th} ). Usando ângulos de referência, temos nossas duas soluções como ( theta = 3,39 ) e (6,03 ) radianos. Os quatro pontos que obtivemos onde o limacon tem uma linha tangente horizontal são dados na Figura 9.47 com pontos pretos.

    Para encontrar as linhas verticais de tangência, definimos o denominador de ( frac {dy} {dx} = 0 ).
    [ begin {align *} 2 ( cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta) - sin theta & = 0. text {Converta o ( cos ^ 2 theta ) termo para (1- sin ^ 2 theta ):} & 2 (1- sin ^ 2 theta- sin ^ 2 theta) - sin theta & = 0 4 sin ^ 2 theta + sin theta -1 & = 0. text {Reconhecer isso como um quadrático na variável ( sin theta ).} & Text {Usando a fórmula quadrática, temos} sin theta & = frac {-1 pm sqrt {33}} {8}. end {alinhar *} ]

    Resolvemos ( sin theta = frac {-1+ sqrt {33}} 8 ) e ( sin theta = frac {-1- sqrt {33}} 8 ):
    [ begin {align *} sin theta & = frac {-1+ sqrt {33}} 8 & sin theta & = frac {-1- sqrt {33}} {8} theta & = sin ^ {- 1} left ( frac {-1+ sqrt {33}} 8 right) & theta & = sin ^ {- 1} left ( frac {- 1- sqrt {33}} 8 right) theta & = 0,6399 & theta & = -1,0030 end {align *} ]

    Em cada uma das soluções acima, obtemos apenas uma das duas soluções possíveis, pois ( sin ^ {- 1} x ) só retorna soluções em ([- pi / 2, pi / 2] ), os 4 quadrantes (^ text {th} ) e (1 ^ text {st} ). Novamente usando ângulos de referência, temos:
    [ sin theta = frac {-1+ sqrt {33}} 8 quad Rightarrow quad theta = 0,6399, 3,7815 text {radianos} ]
    e
    [ sin theta = frac {-1- sqrt {33}} 8 quad Rightarrow quad theta = 4.1446, 5.2802 text {radianos.} ]
    Esses pontos também são mostrados na Figura 9.47 com pontos preenchidos em branco.

Quando o gráfico da função polar (r = f ( theta) ) intercepta o pólo, significa que (f ( alpha) = 0 ) para algum ângulo ( alpha ). Assim, a fórmula para ( frac {dy} {dx} ) em tais casos é muito simples, reduzindo-se simplesmente a

[ frac {dy} {dx} = tan alpha. ]

Esta equação mostra um ponto interessante. Ele nos diz que a inclinação da linha tangente no pólo é ( tan alpha ); alguns de nossos trabalhos anteriores (ver, por exemplo, Exemplo 9.4.3) nos mostram que a reta que passa pelo pólo com inclinação ( tan alpha ) tem equação polar ( theta = alpha ). Assim, quando um gráfico polar toca o pólo em ( theta = alpha ), a equação da reta tangente no pólo é ( theta = alpha ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando linhas tangentes no pólo.

Seja (r = 1 + 2 sin theta ), um limacon. Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico no pólo.

Solução

Precisamos saber quando (r = 0 ).

[ begin {align *}
1 + 2 sin theta & = 0
sin theta & = -1/2
theta & = frac {7 pi} {6}, frac {11 pi} 6.
end {align *} ]

Assim, as equações das retas tangentes, em polares, são ( theta = 7 pi / 6 ) e ( theta = 11 pi / 6 ). Na forma retangular, as linhas tangentes são (y = tan (7 pi / 6) x ) e (y = tan (11 pi / 6) x ). O limacon completo pode ser visto na Figura 9.47; ampliamos as linhas tangentes na Figura 9.48.

Observação: Lembre-se de que a área de um setor de um círculo com raio r subtendido por um ângulo ( theta ) é (A = frac {1} {2} theta r ^ 2 ).


Área

Ao usar coordenadas retangulares, as equações (x = h ) e (y = k ) definem linhas verticais e horizontais, respectivamente, e as combinações dessas linhas criam retângulos (daí o nome "coordenadas retangulares ''). então, algo natural usar retângulos para aproximar a área, como fizemos quando aprendemos sobre a integral definida.

Ao usar coordenadas polares, as equações ( theta = alpha ) e (r = c ) formam linhas através da origem e círculos centrados na origem, respectivamente, e as combinações dessas curvas formam setores de círculos. Portanto, é um tanto natural calcular a área das regiões definidas por funções polares, primeiro aproximando com setores de círculos.

Considere a Figura 9.49 (a), onde uma região definida por (r = f ( theta) ) em ([ alpha, beta] ) é dada. (Observe como os "lados '' da região são as linhas ( theta = alpha ) e ( theta = beta ), enquanto nas coordenadas retangulares os" lados '' das regiões são frequentemente as linhas verticais (x = a ) e (x = b ).)

Particionar o intervalo ([ alpha, beta] ) em (n ) subintervalos igualmente espaçados como ( alpha = theta_1 < theta_2 < cdots < theta_ {n + 1} = beta ) . O comprimento de cada subintervalo é ( Delta theta = ( beta- alpha) / n ), representando uma pequena mudança no ângulo. A área da região definida pelo subintervalo (i , ^ text {th} ) ([ theta_i, theta_ {i + 1}] ) pode ser aproximada com um setor de um círculo com raio (f (c_i) ), para algum (c_i ) em ([ theta_i, theta_ {i + 1}] ). A área deste setor é ( frac12f (c_i) ^ 2 Delta theta ). Isso é mostrado na parte (b) da figura, onde ([ alpha, beta] ) foi dividido em 4 subintervalos. Aproximamos a área de toda a região somando as áreas de todos os setores:

[ text {Area} approx sum_ {i = 1} ^ n frac12f (c_i) ^ 2 Delta theta. ]

Esta é uma soma de Riemann. Tomando o limite da soma como (n a infty ), encontramos a área exata da região na forma de uma integral definida.

TEOREMA 83 ÁREA DE UMA REGIÃO POLAR

Seja (f ) contínuo e não negativo em ([ alpha, beta] ), onde (0 leq beta- alpha leq 2 pi ). A área (A ) da região delimitada pela curva (r = f ( theta) ) e as linhas ( theta = alpha ) e ( theta = beta ) é

[A = frac12 int_ alpha ^ beta f ( theta) ^ 2 d theta = frac12 int_ alpha ^ beta r ^ {, 2} d theta ]

O teorema afirma que (0 leq beta- alpha leq 2 pi ). Isso garante que a região não se sobreponha, o que daria um resultado que não corresponderia diretamente à área.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Área de uma região polar

Encontre a área do círculo definida por (r = cos theta ). (Lembre-se de que este círculo tem raio (1/2 ).)

Solução

Esta é uma aplicação direta do Teorema 83. O círculo é traçado em ([0, pi] ), levando à integral

[ begin {align *}
text {Area} & = frac12 int_0 ^ pi cos ^ 2 theta d theta
& = frac12 int_0 ^ pi frac {1+ cos (2 theta)} {2} d theta
& = frac14 big ( theta + frac12 sin (2 theta) big) Bigg | _0 ^ pi
& = frac14 pi.
end {align *} ]

Claro, já conhecíamos a área de um círculo com raio (1/2 ). Fizemos este exemplo para demonstrar que a fórmula da área está correta.

Observação: O Exemplo 9.5.3 requer o uso da integral ( int cos ^ 2 theta d theta ). Isso é bem tratado com o uso da fórmula de redução de energia encontrada no final deste texto. Devido à natureza da fórmula da área, a integração de ( cos ^ 2 theta ) e ( sin ^ 2 theta ) é frequentemente necessária. Oferecemos aqui essas integrais indefinidas como uma medida de economia de tempo.

[ int cos ^ 2 theta d theta = frac12 theta + frac14 sin (2 theta) + C ]

[ int sin ^ 2 theta d theta = frac12 theta- frac14 sin (2 theta) + C ]

Exemplo ( PageIndex {4} ): Área de uma região polar

Encontre a área do cardiodo (r = 1 + cos theta ) limitada entre ( theta = pi / 6 ) e ( theta = pi / 3 ), conforme mostrado na Figura 9.50.

Solução
Esta é novamente uma aplicação direta do Teorema 83.

[ begin {align *}
text {Area} & = frac12 int _ { pi / 6} ^ { pi / 3} (1+ cos theta) ^ 2 d theta
& = frac12 int _ { pi / 6} ^ { pi / 3} (1 + 2 cos theta + cos ^ 2 theta) d theta
& = frac12 left ( theta + 2 sin theta + frac12 theta + frac14 sin (2 theta) right) Bigg | _ { pi / 6} ^ { pi / 3}
& = frac18 big ( pi + 4 sqrt {3} -4 big) aproximadamente 0,7587.
end {align *} ]

Área Entre Curvas

Nosso estudo de área no contexto de funções retangulares levou naturalmente a encontrar a área limitada entre as curvas. Consideramos o mesmo no contexto das funções polares. index {polar! funções! área entre as curvas}

Considere a região sombreada mostrada na Figura 9.51. Podemos encontrar a área desta região calculando a área delimitada por (r_2 = f_2 ( theta) ) e subtraindo a área delimitada por (r_1 = f_1 ( theta) ) em ([ alpha, beta]). Desse modo

[ text {Area} = frac12 int_ alpha ^ beta r_2 ^ {, 2} d theta - frac12 int_ alpha ^ beta r_1 ^ {, 2} d theta = frac12 int_ alpha ^ beta big (r_2 ^ {, 2} -r_1 ^ {, 2} big) d theta. ]

IDÉIA CHAVE 42 área entre as curvas polares

A área (A ) da região delimitada por (r_1 = f_1 ( theta) ) e (r_2 = f_2 ( theta) ), ( theta = alpha ) e ( theta = beta ), onde (f_1 ( theta) leq f_2 ( theta) ) em ([ alpha, beta] ), é

[A = frac12 int_ alpha ^ beta big (r_2 ^ {, 2} -r_1 ^ {, 2} big) d theta. ]

Exemplo ( PageIndex {5} ): Área entre as curvas polares

Encontre a área limitada entre as curvas (r = 1 + cos theta ) e (r = 3 cos theta ), como mostrado na Figura 9.52.

Solução
Precisamos encontrar os pontos de intersecção entre essas duas funções. Definindo-os iguais, encontramos:

[ begin {align *}
1+ cos theta & = 3 cos theta
cos theta & = 1/2
theta & = pm pi / 3
end {align *} ]

Assim, integramos ( frac12 big ((3 cos theta) ^ 2- (1+ cos theta) ^ 2 big) ) em ([- pi / 3, pi / 3] ).

[ begin {align *}
text {Area} & = frac12 int _ {- pi / 3} ^ { pi / 3} big ((3 cos theta) ^ 2- (1+ cos theta) ^ 2 big ) d theta
& = frac12 int _ {- pi / 3} ^ { pi / 3} big (8 cos ^ 2 theta-2 cos theta-1 big) d theta
& = big (2 sin (2 theta) - 2 sin theta + 3 theta big) Bigg | _ {- pi / 3} ^ { pi / 3}
& = 2 pi.
end {align *} ]

Surpreendentemente, a área entre essas curvas tem um valor "bom"

Exemplo ( PageIndex {6} ): Área definida por curvas polares

Encontre a área limitada entre as curvas polares (r = 1 ) e (r = 2 cos (2 theta) ), conforme mostrado na Figura 9.53 (a).

Solução

Precisamos encontrar o ponto de intersecção entre as duas curvas. Definindo as duas funções iguais uma à outra, temos

[2 cos (2 theta) = 1 quad Rightarrow quad cos (2 theta) = frac12 quad Rightarrow quad 2 theta = pi / 3 quad Rightarrow quad theta = pi / 6. ]

Na parte (b) da figura, ampliamos a região e notamos que ela não é realmente limitada entre duas curvas polares, mas sim de duas curvas polares, junto com ( theta = 0 ). A linha tracejada divide a região em suas partes componentes. Abaixo da linha tracejada, a região é definida por (r = 1 ), ( theta = 0 ) e ( theta = pi / 6 ). (Observação: a linha tracejada encontra-se na linha ( theta = pi / 6 ).) Acima da linha tracejada, a região é limitada por (r = 2 cos (2 theta) ) e ( theta = pi / 6 ). Como temos duas regiões separadas, encontramos a área usando duas integrais separadas.

Chame a área abaixo da linha tracejada (A_1 ) e a área acima da linha tracejada (A_2 ). Eles são determinados pelos seguintes integrais:
[A_1 = frac12 int_0 ^ { pi / 6} (1) ^ 2 d theta qquad A_2 = frac12 int _ { pi / 6} ^ { pi / 4} big (2 cos (2 theta) big) ^ 2 d theta. ]
(O limite superior da computação integral (A_2 ) é ( pi / 4 ), pois (r = 2 cos (2 theta) ) está no pólo quando ( theta = pi / 4 ).)

Omitimos os detalhes de integração e deixamos o leitor verificar se (A_1 = pi / 12 ) e (A_2 = pi / 12- sqrt {3} / 8 ); a área total é (A = pi / 6- sqrt {3} / 8 ).

Comprimento do arco

Como já consideramos o comprimento do arco das curvas definidas por equações retangulares e paramétricas, agora o consideramos no contexto das equações polares. Lembre-se de que o comprimento do arco (L ) do gráfico definido pelas equações paramétricas (x = f (t) ), (y = g (t) ) em ([a, b] ) é

[L = int_a ^ b sqrt {f ^ prime (t) ^ 2 + g ^ prime (t) ^ 2} dt = int_a ^ b sqrt {x ^ prime (t) ^ 2 + y ^ prime (t) ^ 2} dt. label {eq: polar_arclength} ]

Agora considere a função polar (r = f ( theta) ). Usamos novamente as identidades (x = f ( theta) cos theta ) e (y = f ( theta) sin theta ) para criar equações paramétricas com base na função polar. Calculamos (x ^ prime ( theta) ) e (y ^ prime ( theta) ) como feito antes ao calcular ( frac {dy} {dx} ), em seguida, aplicamos a Equação ref {eq: polar_arclength}.

A expressão (x ^ prime ( theta) ^ 2 + y ^ prime ( theta) ^ 2 ) pode ser bastante simplificada; deixamos isso como um exercício e afirmamos que [x ^ prime ( theta) ^ 2 + y ^ prime ( theta) ^ 2 = f ^ prime ( theta) ^ 2 + f ( theta) ^ 2. ]
Isso nos leva à fórmula do comprimento do arco.

ideia-chave 43 comprimento de arco de curvas polares

Seja (r = f ( theta) ) uma função polar com (f ^ prime ) contínua em um intervalo aberto (I ) contendo ([ alpha, beta] ), no qual o gráfico se rastreia apenas uma vez. O comprimento do arco (L ) do gráfico em ([ alpha, beta] ) é
[L = int_ alpha ^ beta sqrt {f ^ prime ( theta) ^ 2 + f ( theta) ^ 2} d theta = int_ alpha ^ beta sqrt {(r ^ prime) ^ 2 + r ^ 2} d theta. ]

Exemplo ( PageIndex {7} ): Comprimento do arco de um limacon

Encontre o comprimento do arco do limacon (r = 1 + 2 sin t ).

Solução

Com (r = 1 + 2 sin t ), temos (r ^ prime = 2 cos t ). O limacon é traçado uma vez em ([0,2 pi] ), nos dando nossos limites de integração. Aplicando a ideia-chave 43, temos

[ begin {align *}
L & = int_0 ^ {2 pi} sqrt {(2 cos theta) ^ 2 + (1 + 2 sin theta) ^ 2} d theta
& = int_0 ^ {2 pi} sqrt {4 cos ^ 2 theta + 4 sin ^ 2 theta +4 sin theta + 1} d theta
& = int_0 ^ {2 pi} sqrt {4 sin theta + 5} d theta
& aproximadamente 13.3649.
end {align *} ]



Figura 9.54:
O limacon no Exemplo 9.5.7 cujo comprimento do arco é medido.

A integral final não pode ser resolvida em termos de funções elementares, então recorremos a uma aproximação numérica. (A regra de Simpson, com (n = 4 ), aproxima o valor de (13,0608 ). Usar (n = 22 ) fornece o valor acima, que tem precisão de 4 casas após o decimal.)

Superfície

A fórmula para o comprimento do arco nos leva a uma fórmula para a área de superfície. A seguinte ideia-chave é baseada na ideia-chave 39.

IDÉIA CHAVE 44 ÁREA DE SUPERFÍCIE DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO

Considere o gráfico da equação polar (r = f ( theta) ), onde (f ^ prime ) é contínuo em um intervalo aberto contendo ([ alpha, beta] ) no qual o gráfico não se cruza.

  1. A área da superfície do sólido formado pela rotação do gráfico sobre o raio inicial ( ( theta = 0 )) é: [ text {Área da superfície} = 2 pi int_ alpha ^ beta f ( theta ) sin theta sqrt {f ^ prime ( theta) ^ 2 + f ( theta) ^ 2} d theta. ]
  2. A área da superfície do sólido formado pela rotação do gráfico em torno da linha ( theta = pi / 2 ) é: [ text {Área da superfície} = 2 pi int_ alpha ^ beta f ( theta ) cos theta sqrt {f ^ prime ( theta) ^ 2 + f ( theta) ^ 2} d theta. ]

Exemplo ( PageIndex {8} ): Área de superfície determinada por uma curva polar

Encontre a área de superfície formada girando uma pétala da curva rosa (r = cos (2 theta) ) em torno de seu eixo central (ver Figura 9.55.

Solução

Escolhemos, como está implícito na figura, girar a parte da curva que se encontra em ([0, pi / 4] ) sobre o raio inicial. Usando a ideia-chave ref {ideia: superfície_área_polar} e o fato de que (f ^ prime ( theta) = -2 sin (2 theta) ), temos

[ begin {align *}
text {Área da superfície} & = 2 pi int_0 ^ { pi / 4} cos (2 theta) sin ( theta) sqrt { big (-2 sin (2 theta) big ) ^ 2 + big ( cos (2 theta) big) ^ 2} d theta
& aproximadamente 1.36707.
end {align *} ]

A integral é outra que não pode ser avaliada em termos de funções elementares. A regra de Simpson, com (n = 4 ), aproxima o valor em (1,36751 ).%; com (n = 10 ), o valor é preciso até 4 casas decimais.

Este capítulo tratou das curvas no plano. Embora haja grande matemática a ser descoberta nas duas dimensões de um plano, vivemos em um mundo tridimensional e, portanto, também devemos procurar fazer matemática em 3D - isto é, em espaço. O próximo capítulo começa nossa exploração no espaço, introduzindo o tópico de vetores, que são objetos matemáticos incrivelmente úteis e poderosos.


Os 5 problemas de cálculo mais difíceis do mundo

No momento, estou no meio do meu curso de Cálculo 2 e já à beira da exaustão mental. Mesmo assim, quero desesperadamente saber quais são os problemas de cálculo mais difíceis e o que pode ser necessário para resolvê-los. Além disso, quero saber quais aplicativos do mundo real eles podem ter se forem resolvidos.

Fiz algumas pesquisas e o que descobri foi realmente emocionante. Na verdade, existem vários problemas de cálculo não resolvidos que, se resolvidos, podem ter algumas aplicações revolucionárias no mundo real em vários campos.

Além disso, dois dos problemas que compõem esta lista podem render a uma pessoa US $ 1.000.000, concedidos pelo Clay Mathematics Institute se uma solução for encontrada. Esses 5 problemas não resolvidos estão entre os mais difíceis do mundo que caem no domínio do Cálculo.


Avaliações

Avaliado por Andy Rich, Professor de Matemática, PALNI, Manchester University em 19/12/19

Tem todos os tópicos habituais e mais alguns. Eu gostei do desenvolvimento de formas diferenciais no final e de ter o capítulo 11 como um teaser para coisas de nível superior. O desenvolvimento foi claro o suficiente para que eu espero que a maioria dos alunos neste nível consiga. consulte Mais informação

Avaliado por Andy Rich, Professor de Matemática, PALNI, Manchester University em 19/12/19

Avaliação de abrangência: 5 veja menos

Tem todos os tópicos habituais e mais alguns. Eu gostei do desenvolvimento de formas diferenciais no final e de ter o capítulo 11 como um teaser para coisas de nível superior. O desenvolvimento foi claro o suficiente para que eu espero que a maioria dos alunos neste nível consiga entendê-lo. Alguns dos meus exemplos favoritos estavam faltando: por exemplo, o ciclóide e as leis de Kepler derivadas das leis de Newton, mas todo mundo tem seus próprios favoritos, então estou bem com isso. Ao discutir a continuidade multivariável, teria sido bom retirar a discussão dos dois caminhos que aparece no texto e destacá-la como um teorema, mas esses são todos pontos secundários. Ainda dou a este texto 5 para abrangência.

Avaliação de exatidão do conteúdo: 5

Minha única reclamação aqui é a discussão sobre torção. Ele descreve a torção como "cambaleante", o que me dá uma ideia errada. Oscilar significa ir e voltar, o que pode acontecer no avião. A torção está "quottwisting" para fora do avião. A matemática está toda correta e o autor é honesto sobre onde as coisas estão sendo varridas para debaixo do tapete, por exemplo, na prova do Teorema de Green.

Avaliação de relevância / longevidade: 5

Isso não é um grande problema para textos de matemática.

Excelente! Boas explicações claras das ideias por trás da teoria, por exemplo, multiplicadores de Lagrange que às vezes são apresentados como mágicos, mas aqui são motivados por ideias geométricas. Bom tratamento da regra da cadeia multidimensional por meio da multiplicação de matrizes com uma seção na imagem conceitual e outra em cálculos. Bons diagramas, presentes sempre que necessário para ajudar na compreensão, por exemplo, mostrando a relação de duas parametrizações diferentes ao provar que o valor da integral é independente da parametrização.

A divisão em partes, capítulos e seções fazia sentido e as seções não eram muito longas.

Classificação da Organização / Estrutura / Fluxo: 5

Bom. O prefácio e o índice resumem a organização e facilitam a localização de tópicos. Pode ser útil introduzir as coordenadas polares mais cedo.

Sem problemas que eu vi. É fácil navegar pulando com o painel de favoritos no Adobe. Boas ilustrações coloridas mostrando figuras geométricas, quando úteis.

Classificação de erros gramaticais: 5

Avaliação de relevância cultural: 5

Eu realmente gostei desse texto. É mais teórico, mais baseado em provas do que o que normalmente ensino, e eu poderia pular parte disso se estivesse ensinando a partir deste texto, mas acho que é bom incluir as provas no texto. Gostei da apresentação de formas diferenciadas no final. Acho que um acréscimo ao capítulo 11 como mais um teaser e para tentar mostrar a relação dos vários teoremas, seria configurar a sequência deRham em R ^ 3 e mostrar como gradiente, curvatura e divergência entram nessa única sequência unificadora . (Isso vai na ponta dos pés para a topologia do espaço subjacente ao qual o autor já aludiu em vários lugares.) O estilo de conversação era ótimo: & quottentar encontrar o máximo de uma função como. é bobo & quot, por exemplo. O humor está espalhado por toda parte, por exemplo, incluindo a imagem de um porco-espinho como exemplo de um mamífero com uma orientação. Parecia haver muitos exercícios. No geral, acho que este é um excelente texto para cálculo multivariável.


Problemas na conversão de equações retangulares para a forma polar

Problema 1

  • Vamos reescrever as equações da seguinte forma:
    2 (x 2 + y 2) - x + y = 0
  • Agora usamos as fórmulas que fornecem a relação entre as coordenadas polares e retangulares: R 2 = x 2 + y 2, y = R sin t e x = R cos t:
    2 (R 2) - R cos t + R sen t = 0
  • Fatore R
    R (2 R - cos t + sen t) = 0
  • A equação acima fornece:
    R = 0
    ou
    2 R - cos t + sen t = 0
  • A equação R = 0 é o pólo. Mas o pólo está incluído no gráfico da segunda equação 2 R - cos t + sen t = 0 (verifique que para t = & # 960/4, R = 0). Portanto, podemos manter apenas a segunda equação.
    2 R - cos t + sen t = 0
    ou
    R = (1/2) (cos t - sen t)

Problema 2

    Use y = R sin t e x = R cos t na equação dada:
    x + y = 0
    R cos t + R sen t = 0


Matemática 181: Cálculo II

Math 181 é o segundo semestre da sequência de cálculo de três semestres padrão. Assim, seu objetivo é dar continuidade ao estudo do cálculo na linha real, iniciado no Math 180 (Cálculo I), com foco na integração, noções básicas de sequências e séries, bem como nas descrições paramétricas de conjuntos no plano.

Crédito concedido

Direito

Materiais do Curso

Livro didático

Cálculo: Primeiros Transcendentais de William Briggs e Lyle Cochran, 3ª edição, publicado pela Addison-Wesley.

Observe que um código MyLabMath é necessário para este curso, enquanto o livro impresso é opcional.

O ISBN para acesso por semestre é 9780135329221, o ISBN para acesso por semestre múltiplo é 9780135329276. O site estará disponível na semana 0, que é a semana anterior ao início das aulas. Observe que apenas esses ISBNs funcionarão com o curso MyLabMath. Um livro comprado com acesso MyLabMath da Amazon ou outras fontes provavelmente não funcionará com o código de acesso MyLabMath.

Os capítulos 6 a 10 são abordados no Math 181.

Código de acesso do MyMathLab

Um código MyLabMath pode ser comprado online após registrar-se no MyMathLab por meio do Blackboard ou na livraria UIC, com ou sem o livro didático. Certifique-se de que seu código MyMathLab esteja vinculado ao curso Blackboard. O código do MyMathLab inclui uma versão eletrônica do livro, a compra de uma cópia física é opcional.

Os alunos vindos do Math 180 na UIC podem usar o mesmo código de acesso para o Math 181, se ele não tiver expirado.

Pacote de planilhas

O pacote de planilhas será usado nas sessões de resolução de problemas às terças e quintas-feiras. Uma cópia eletrônica para impressão pode ser encontrada no site do Blackboard ou entrando em contato com qualquer instrutor do curso ou TA. Uma cópia física pode ser adquirida diretamente na livraria UIC.

Verifique o Blackboard para obter a programação atualizada e informações específicas do semestre.


Calculus Animations with Mathcad

A declaração
pode ser intuitivamente interpretado da seguinte forma:
o número L é aproximado pelos valores da função f (x) correspondentes a valores x que se aproximam de c.
Dois exemplos são ilustrados:

Observe que os valores positivos de aumento / execução são indicados em verde; os valores negativos são indicados em vermelho.

Esta animação pode ser visualizada para as seguintes funções:

Atualmente, as animações correspondentes às seguintes p-series estão disponíveis:

Esta definição é ilustrada por duas elipses com diferentes excentricidades

curva os raios começam em
um foco outro (s) ponto (s)
Elipse
x 2/9 + y 2/4 = 1
(sqrt (5), 0) ( 1, 1 ), ( 0, 0 ),
(0, - sqrt (2)), (- 2, 0)
Parábola
y 2 = x
( 0.25, 0 ) ( 1, 0 )

A área dentro de uma curva paramétrica (x (t), y (t)) pode ser calculada pelas seguintes fórmulas

Ilustramos o uso dessas fórmulas para cálculo de área nos dois exemplos abaixo. Integrais definidas são aproximadas com as somas de Riemann correspondentes, e cada quadro de animação corresponde a adicionar um termo à soma. A área correspondente ao termo atual é delimitada por um retângulo - se o termo for positivo, o retângulo é verde, caso contrário, é vermelho.
A soma parcial dos termos incluídos já é representada usando um padrão pontilhado - os pontos são verdes dentro da região cuja área é contabilizada com um fator +1, os pontos vermelhos correspondem às regiões contabilizadas com um fator -1.

ou
se a curva for percorrida no sentido anti-horário, e
ou
se a curva for percorrida no sentido horário.
Área dentro da curva Fórmula usada


sentido anti-horário

Tamanho do arquivo AVI: 134K
(ou tente uma animação mais curta com 83K)

Tamanho do arquivo AVI: 166 K
(ou tente uma animação mais curta com 102K)


sentido horário

Tamanho do arquivo AVI: 75K

Tamanho do arquivo AVI: 73K

Durante a animação de cada plotagem polar, os valores correspondentes de e será tabulado. Estão disponíveis animações das seguintes curvas polares:

9.5: Cálculo e funções polares - Matemática

Sabemos que, se uma curva suave é dada pelas equações paramétricas

providenciou que f (t) ≠ 0.

Para encontrar a inclinação de uma curva polar r = f (θ), devemos primeiro expressar a curva na forma paramétrica. Desde a

Se f (θ) é diferenciável, assim como x e y então

Também se então

Ao fazer um exercício, muitas vezes é mais fácil simplesmente expressar a equação polar parametricamente e, em seguida, encontrar tingir/dx, em vez de memorizar a fórmula.

(a) Encontre a inclinação do cardióide r = 2 (1 + cos θ) em Veja a Figura N4–24.

(b) Onde a tangente à curva é horizontal?

FIGURA N4-24

(a) Use r = 2 (1 + cos θ), x = r cos θ, y = r sin θ, e r = −2 sen θ então

No

(b) Como o cardióide é simétrico a θ = 0, precisamos considerar apenas a metade superior da curva para a parte (b). A tangente é horizontal onde (forneceu ) Desde a fatores em 2 (2 cos θ - 1) (cos θ + 1), que é igual a 0 para cos ou -1, ou π. Da parte (a), é igual a 0 em π. Portanto, a tangente é horizontal apenas em (e, por simetria, em ).

É óbvio na Figura N4-24 que r (θ) faz não forneça a inclinação do cardióide. Como θ varia de 0 a a inclinação varia de −∞ a 0 a + ∞ (com a tangente girando no sentido anti-horário), assumindo todos os valores reais. Contudo, r (θ) é igual a −2 sen θ, que assume valores apenas entre −2 e 2!

Resumo do capítulo

Neste capítulo, revisamos muitas aplicações de derivados. Vimos como encontrar inclinações de curvas e usamos essa habilidade para escrever equações de linhas tangentes a uma curva. Essas linhas geralmente fornecem boas aproximações para valores de funções. Vimos maneiras pelas quais os derivados podem nos ajudar a entender o comportamento de uma função. A primeira derivada pode nos dizer se uma função está aumentando ou diminuindo e localiza os pontos máximo e mínimo. A segunda derivada pode nos dizer se o gráfico da função é côncavo para cima ou côncavo para baixo e localiza pontos de inflexão. Revisamos como usar derivados para determinar a velocidade e aceleração de um objeto em movimento ao longo de uma linha e para descrever as relações entre as taxas de mudança.

Para alunos de Cálculo BC, este capítulo revisou a descoberta de inclinações de curvas definidas parametricamente ou na forma polar. Também revisamos o uso de vetores para descrever a posição, velocidade e aceleração de objetos em movimento ao longo de curvas.

Se você é o detentor dos direitos autorais de qualquer material contido em nosso site e pretende removê-lo, entre em contato com o administrador do site para aprovação.


Math 2210 | Cálculo III

Esses vídeos de aula são organizados em uma ordem que corresponde ao livro atual que estamos usando para nossos cursos Math2210, Calculus 3 (Cálculo, com Equações Diferenciais, de Varberg, Purcell e Rigdon, 9ª edição publicada por Pearson) Numeramos os vídeos para referência rápida, então é razoavelmente óbvio que cada vídeo subsequente pressupõe conhecimento do material dos vídeos anteriores. Juntamente com o vídeo-aula para cada tópico, incluímos as "pré-notas" e "pós-notas" que são as notas da aula antes de resolvermos os problemas e depois de resolvermos tudo durante a aula, respectivamente. Você pode baixar as notas para usar como referência enquanto assiste ao vídeo da aula ou para referência posterior.

Se você encontrar um erro na palestra ou um problema com o vídeo, ou se você gostaria de nos enviar um feedback sobre essas palestras, envie um e-mail para [email protected] para fazer isso.


NOTA: Esses vídeos não foram gravados em som estéreo. Se você estiver ouvindo esses vídeos em fones de ouvido, considere definir os canais de som para ambos os lados. Este documento lhe dará uma ideia de como fazer isso.

  • 1 vídeo de aula de equações paramétricas
    • 1 pré-notas
    • 1 Post Notes
    • 2 pré-notas
    • 2 notas de postagem
    • 3 notas prévias
    • 3 notas de postagem
    • 4 pré-notas
    • 4 notas de postagem
    • 5 notas prévias
    • 5 notas de postagem
    • 6 pré-notas
    • 6 Post Notes
    • 7 pré-notas
    • 7 postar notas
    • 8 pré-notas
    • 8 notas de postagem
    • 9 pré-notas
    • 9 Post Notes
    • 10 pré-notas
    • 10 Post Notes
    • 11 pré-notas
    • 11 Post Notes
    • 12 pré-notas
    • 12 Post Notes
    • 13 pré-notas
    • 13 Post Notes
    • 14 pré-notas
    • 14 Post Notes
    • 15 pré-notas
    • 15 Post Notes
    • 16 pré-notas
    • 16 Post Notes
    • 17 pré-notas
    • 17 notas de postagem
    • 18 pré-notas
    • 18 Post Notes
    • 19 pré-notas
    • 19 Post Notes
    • 20 pré-notas
    • 20 Post Notes
    • 21 pré-notas
    • 21 Post Notes
    • 22 pré-notas
    • 22 Post Notes
    • 23 pré-notas
    • 23 Post Notes
    • 24 pré-notas
    • 24 Post Notes
    • 25 Pre Notes
    • 25 Post Notes
    • 26 Pre Notes
    • 26 Post Notes
    • 27 Pre Notes
    • 27 Post Notes
    • 28 Pre Notes
    • 28 Post Notes
    • 29 Pre Notes
    • 29 Post Notes
    • 30 Pre Notes
    • 30 Post Notes
    • 31 Pre Notes
    • 31 Post Notes
    • 32 Pre Notes
    • 32 Post Notes

    The Polar Form of a Complex Number

    are points on the circle of radius one centered at the origin.

    Think of the point moving counterclockwise around the circle as the real number moves from left to right. Similarly, the point moves clockwise if decreases. And whether increases or decreases, the point returns to the same position on the circle whenever changes by or by or by where k is any integer.

    Exercise: Prove de Moivre's formula

    Now picture a fixed complex number on the unit circle

    Consider multiples of z by a real, positive number r .

    As r grows from 1, our point moves out along the ray whose tail is at the origin and which passes through the point z . As r shrinks from 1 toward zero, our point moves inward along the same ray toward the origin. The modulus of the point is r . We call the angle which this ray makes with the x-axis, the argument of the number z . All the numbers rz have the same argument. We write

    Just as a point in the plane is completely determined by its polar coordinates , a complex number is completely determined by its modulus and its argument.

    Notice that the argument is not defined when r =0 and in any case is only determined up to an integer multiple of .

    Why not just use polar coordinates? What's new about this way of thinking about points in the plane?


    Se você acredita que o conteúdo disponível por meio do Site (conforme definido em nossos Termos de Serviço) infringe um ou mais de seus direitos autorais, notifique-nos fornecendo um aviso por escrito ("Aviso de Violação") contendo as informações descritas abaixo para o designado agente listado abaixo. Se Varsity Tutors tomar medidas em resposta a um Aviso de Infração, ele fará uma tentativa de boa fé para entrar em contato com a parte que disponibilizou tal conteúdo por meio do endereço de e-mail mais recente, se houver, fornecido por tal parte aos Tutores do Varsity.

    Seu Aviso de violação pode ser encaminhado para a parte que disponibilizou o conteúdo ou para terceiros, como ChillingEffects.org.

    Informamos que você será responsabilizado por danos (incluindo custas e honorários advocatícios) caso expresse indevidamente que um produto ou atividade está infringindo seus direitos autorais. Portanto, se você não tiver certeza de que o conteúdo localizado ou vinculado ao site viola seus direitos autorais, você deve primeiro entrar em contato com um advogado.

    Siga estas etapas para registrar um aviso:

    Você deve incluir o seguinte:

    Uma assinatura física ou eletrônica do proprietário dos direitos autorais ou de uma pessoa autorizada a agir em seu nome Uma identificação dos direitos autorais alegados como tendo sido violados Uma descrição da natureza e localização exata do conteúdo que você alega violar seus direitos autorais, em suficiente detalhes para permitir que os tutores do time do colégio encontrem e identifiquem positivamente esse conteúdo, por exemplo, exigimos um link para a questão específica (não apenas o nome da questão) que contém o conteúdo e uma descrição de qual parte específica da questão - uma imagem, um link, o texto, etc - sua reclamação refere-se ao seu nome, endereço, número de telefone e endereço de e-mail e uma declaração sua: (a) que você acredita de boa fé que o uso do conteúdo que você alega infringir seus direitos autorais é não autorizado por lei, ou pelo proprietário dos direitos autorais ou agente do proprietário (b) que todas as informações contidas em seu Aviso de violação são precisas, e (c) sob pena de perjúrio, que você é o proprietário dos direitos autorais ou uma pessoa autorizada a agir em seu nome.

    Envie sua reclamação para o nosso agente designado em:

    Charles Cohn Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suíte 300
    St. Louis, MO 63105


    Assista o vídeo: relación entre coordenadas polares y cartesianas (Dezembro 2021).