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3: Funções Geradoras


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3: Funções Geradoras

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Editor de Expressão Matemática

Utilizamos funções geradoras exponenciais

Lembre-se do problema de encontrar o número de permutações das letras na palavra MISSISSIPPI. A resposta foi. Vamos modificar um pouco a pergunta. Encontre o número de permutações de 9 das letras na palavra MISSISSIPPI.

A resposta é a soma do número de permutações de cada uma das combinações possíveis de 9 das letras.

Em outras palavras, devemos primeiro selecionar 9 das 11 letras, então devemos contar o número de permutações dessas 9 letras. Depois de fazer isso para cada seleção possível de 9 das 11 letras, somamos essas respostas. Existem 9 combinações diferentes de 9 das 11 letras:

SSISSIPPI, ISISSIPPI, ISSISSIPI, MSSSSIPPI, MSISSIPPI, MSSISSIPI, MIISSIPPI, MISISSIPI e MISSISSII.

Assim, o número total de maneiras de permutar 9 das 11 letras na palavra MISSISSIPPI é

Gostaríamos de ver essa resposta um coeficiente em alguma função geradora. Para a letra M, considere a função. Para a carta I, considere. Para a letra S, considere, e para a letra P, considere. O produto dessas funções é Observe que essa função é um polinômio de grau. Uma vez que estamos considerando as permutações de 9 das 11 letras na palavra, vamos inspecionar o coeficiente de. Percebemos que é quase a solução para o nosso problema. É assim que a resposta ao nosso problema pode ser considerada o coeficiente não de, mas de. Essa discussão motiva a seguinte definição de funções geradoras exponenciais e verifica a proposição que se segue.


Agora definimos o (g (t) ) para (X ) pela fórmula [ begin g (t) & amp = & amp sum_^ infty frac < mu_k t ^ k> = sum_^ infty frac & amp = & amp E (e ^) = int _ <- infty> ^ <+ infty> e ^ f_X (x) , dx , end] desde que esta série converge. Então, como antes, temos [ mu_n = g ^ <(n)> (0) . ]

[exame 10.3.1] Seja (X ) uma variável aleatória contínua com intervalo ([0,1] ) e função de densidade (f_X (x) = 1 ) para (0 leq x leq 1 ) (densidade uniforme). Então [ mu_n = int_0 ^ 1 x ^ n , dx = frac1, ] e [ begin g (t) & amp = & amp sum_^ infty frac<(k + 1)!> & amp = & amp fractratar] Aqui a série converge para todos (t ). Alternativamente, temos [ begin g (t) & amp = & amp int _ <- infty> ^ <+ infty> e ^ f_X (x) , dx & amp = & amp int_0 ^ 1 e ^, dx = fractratar] Então (pela regra de L & rsquoH & ocircpital & rsquos) [ begin mu_0 & amp = & amp g (0) = lim_ fract = 1 , mu_1 & amp = & amp g '(0) = lim_ frac = frac12 , mu_2 & amp = & amp g '' (0) = lim_ frac = frac13 . end] Em particular, verificamos que ( mu = g '(0) = 1/2 ) e [ sigma ^ 2 = g' '(0) - (g' (0)) ^ 2 = frac13 - frac14 = frac1 <12> ] como antes (consulte o Exemplo [exame 6.18.5]).

[exame 10.3.2] Deixe (X ) ter intervalo ([, 0, infty) ) e função de densidade (f_X (x) = lambda e ^ <- lambda x> ) (exponencial densidade com parâmetro ( lambda )). Neste caso [ begin mu_n & amp = & amp int_0 ^ infty x ^ n lambda e ^ <- lambda x> , dx = lambda (-1) ^ n frac int_0 ^ infty e ^ <- lambda x> , dx & amp = & amp lambda (-1) ^ n frac [ frac1 lambda] = frac < lambda ^ n> , end] e [ begin g (t) & amp = & amp sum_^ infty frac < mu_k t ^ k> & amp = & amp sum_^ infty [ frac t lambda] ^ k = frac lambda < lambda - t> . end] Aqui, a série converge apenas para (| t | & lt lambda ). Alternativamente, temos [ begin g (t) & amp = & amp int_0 ^ infty e ^ lambda e ^ <- lambda x> , dx & amp = & amp left. frac < lambda e ^ <(t - lambda) x >> right | _0 ^ infty = frac lambda < lambda - t> . end]

[exame 10.3.3] Deixe (X ) ter intervalo ((- infty, + infty) ) e função de densidade [f_X (x) = frac1 < sqrt <2 pi >> e ^ <-x ^ 2/2> ] (densidade normal). Neste caso, temos [ begin mu_n & amp = & amp frac1 < sqrt <2 pi >> int _ <- infty> ^ <+ infty> x ^ ne ^ <- x ^ 2/2> , dx & amp = & amp esquerda < começar frac <(2m)!> <2 ^m!>, & amp mbox cr 0, & amp mboxfim right. end] (Esses momentos são calculados integrando uma vez por partes para mostrar que ( mu_n = (n - 1) mu_), e observando que ( mu_0 = 1 ) e ( mu_1 = 0 ).) Portanto, [ begin g (t) & amp = & amp sum_^ infty frac < mu_n t ^ n> & amp = & amp sum_^ infty frac> <2^m!> = e ^ .fim] Esta série converge para todos os valores de (t ). Novamente, podemos verificar que (g ^ <(n)> (0) = mu_n ).

Seja (X ) uma variável aleatória normal com os parâmetros ( mu ) e ( sigma ). É fácil mostrar que a função geradora de momento de (X ) é dada por [e ^. ] Agora, suponha que (X ) e (Y ) sejam duas variáveis ​​aleatórias normais independentes com parâmetros ( mu_1 ), ( sigma_1 ) e ( mu_2 ), ( sigma_2 ), respectivamente. Então, o produto das funções geradoras de momento de (X ) e (Y ) é [e ^. ] Esta é a função geradora de momento para uma variável aleatória normal com média ( mu_1 + mu_2 ) e variância ( sigma_1 ^ 2 + sigma_2 ^ 2 ). Assim, a soma de duas variáveis ​​aleatórias normais independentes é novamente normal. (Isso foi provado para o caso especial de que ambos os somatórios são normais padrão no Exemplo [exame 7.8].)

Em geral, a série que define (g (t) ) não convergirá para todos (t ). Mas no caso especial importante em que (X ) é limitado (ou seja, onde o intervalo de (X ) está contido em um intervalo finito), podemos mostrar que a série converge para todos (t ).

[thm 10.4] Suponha que (X ) seja uma variável aleatória contínua com intervalo contido no intervalo ([- M, M] ). Então a série [g (t) = sum_^ infty frac < mu_k t ^ k>] converge para todos (t ) em uma função infinitamente diferenciável (g (t) ), e (g ^ <(n)> (0) = mu_n ). Temos [ mu_k = int_ <-M> ^ <+ M> x ^ k f_X (x) , dx , ] então [ begin | mu_k | & amp leq & amp int_ <-M> ^ <+ M> | x | ^ k f_X (x) , dx & amp leq & amp M ^ k int_ <-M> ^ <+ M> f_X (x) , dx = M ^ k . end] Portanto, para todos os (N ) temos [ sum_^ N left | frac < mu_k t ^ k> certo | leq sum_^ N frac <(M | t |) ^ k> leq e ^, ] o que mostra que a série de potências converge para todos (t ). Sabemos que a soma de uma série de potências convergentes é sempre diferenciável.


Conteúdo

A função geradora de momentos recebe esse nome porque pode ser usada para encontrar os momentos da distribuição. [2] A expansão em série de e t X < displaystyle e ^> é

uma vez que a transformação de Laplace de dois lados do PDF é fornecida como

e a definição da função geradora de momento se expande (pela lei do estatístico inconsciente) para

Aqui estão alguns exemplos da função geradora de momento e da função característica para comparação. Pode-se ver que a função característica é uma rotação Wick da função geradora de momento M X (t) < displaystyle M_(t)> quando o último existe.

A função geradora de momento é a expectativa de uma função da variável aleatória, ela pode ser escrita como:

Transformações lineares de variáveis ​​aleatórias Editar

Combinação linear de variáveis ​​aleatórias independentes Editar

Variáveis ​​aleatórias com valor vetorial Editar

Para variáveis ​​aleatórias com valor vetorial X < displaystyle mathbf > com componentes reais, a função geradora de momento é dada por

As funções geradoras de momento são positivas e convexas logarítmicas, com M(0) = 1.

Uma propriedade importante da função geradora de momento é que ela determina a distribuição de maneira única. Em outras palavras, se X < displaystyle X> e Y < displaystyle Y> são duas variáveis ​​aleatórias e para todos os valores de t,

para todos os valores de x (ou equivalente X e Y têm a mesma distribuição). Esta afirmação não é equivalente à afirmação "se duas distribuições têm os mesmos momentos, então elas são idênticas em todos os pontos." Isso ocorre porque, em alguns casos, os momentos existem, mas a função geradora de momentos não, porque o limite

pode não existir. A distribuição log-normal é um exemplo de quando isso ocorre.

Cálculos de momentos Editar

A função geradora de momento é assim chamada porque se existe em um intervalo aberto em torno t = 0, então é a função geradora exponencial dos momentos da distribuição de probabilidade:

Ou seja, com n sendo um número inteiro não negativo, o no momento cerca de 0 é o nderivada da função geradora de momento, avaliada em t = 0.

A desigualdade de Jensen fornece um limite inferior simples na função de geração de momento:

O limite superior da função geradora de momento pode ser usado em conjunto com a desigualdade de Markov para limitar a cauda superior de uma variável real aleatória X. Esta declaração também é chamada de limite de Chernoff. Uma vez que x ↦ e x t < displaystyle x mapsto e ^> está aumentando monotonicamente para t & gt 0 < displaystyle t & gt0>, temos

Vários lemas, como o lema de Hoeffding ou a desigualdade de Bennett fornecem limites na função geradora de momento no caso de uma variável aleatória limitada de média zero.

Relacionado à função geradora de momento, há uma série de outras transformações que são comuns na teoria da probabilidade:


Fazlee Hossain 1 , Sabuj Das 2 , Haradhan Kumar Mohajan 3 ,

1 Departamento de Matemática, Universidade de Chittagong, Bangladesh

2 Departamento de Matemática, Raozan University College, Bangladesh

3 Premier University, Chittagong, Bangladesh

Abstrato

Em 1894, Rogers encontrou as duas identidades pela primeira vez. Em 1913, Ramanujan encontrou as duas identidades mais tarde e, em seguida, as duas identidades são conhecidas como as identidades Rogers-Ramanujan. Em 1982, Baxter usou as duas identidades na solução do Modelo Hard Hexagon em Mecânica Estatística. Em 1829 Jacobi provou sua tripla identidade de produto, sendo usado para provar as identidades Rogers-Ramanujan. Em 1921, Ramanujan usou a identidade de produto tripla de Jacobi para provar suas famosas congruências de partição. Este artigo mostra como gerar a função geradora para C '(n), C 1' (n), C '' (n) e C 1 '' (n), e mostra como provar os Corolários 1 e 2 com a ajuda da identidade de produto tripla de Jacobi. Este artigo mostra como provar a Observação 3 com a ajuda de várias funções auxiliares e mostra como provar as identidades de Rogers-Ramanujan com a ajuda do dispositivo de Ramanujan de introdução de um segundo parâmetro a.

Palavras-chave: no máximo, função auxiliar, conveniente, expansão, diferença mínima, operador, dispositivo de Ramanujan

Jornal Turco de Análise e Teoria dos Números, 2015 3 (2), pp 37-42.
DOI: 10.12691 / tjant-3-2-1

Recebido em 12 de fevereiro de 2015 Revisado em 28 de março de 2015 Aceito em 01 de abril de 2015

direito autoral © 2015 Publicação de Ciência e Educação. Todos os direitos reservados.

Cite este artigo:

  • Hossain, Fazlee, Sabuj Das e Haradhan Kumar Mohajan. "As identidades Rogers-Ramanujan." Jornal Turco de Análise e Teoria dos Números 3.2 (2015): 37-42.
  • Hossain, F., Das, S., & Mohajan, H. K. (2015). As identidades Rogers-Ramanujan. Jornal Turco de Análise e Teoria dos Números, 3(2), 37-42.
  • Hossain, Fazlee, Sabuj Das e Haradhan Kumar Mohajan. "As identidades Rogers-Ramanujan." Jornal Turco de Análise e Teoria dos Números 3, não. 2 (2015): 37-42.

1. Introdução

Neste artigo, fornecemos algumas definições relacionadas de,,,, e. Descrevemos as funções geradoras para,,, e, e estabelecemos as Observações 1 e 2 com exemplos numéricos e também provamos os Corolários 1 e 2 com a ajuda da identidade tripla do produto de Jacobi [3]. Transferimos a função auxiliar para outra função auxiliar com a ajuda do dispositivo de Ramanujan de introdução de um segundo parâmetro uma [5] ,

Onde k = 1, e uma = x, é usado para provar a identidade de Rogers-Ramanujan 1. Provamos as identidades de Rogers-Ramanujan com a ajuda de funções auxiliares.

2. Algumas definições relacionadas

[7]: O número de partições de n como: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 P (4)=5.

[6]: O número de partições de n em partes, cada uma das quais é de uma das formas 5m + 1 e.

: O número de partições de em m partes no máximo.

: O número de partições de n em partes dos formulários 5m + 2 e 5m + 3.

: O número de partições de n em partes sem repetições ou partes cuja diferença mínima é 2.

: O número de partições de em m partes no máximo.

: O número de partições de n em partes não inferiores a 2 e com diferença mínima 2.

3. Gerando Funções para C '(n) e C' '(n)

Nesta seção, descrevemos as funções geradoras de e respectivamente. A função geradora de é da forma [5]

onde o coeficiente de é o número de partições de n em partes, cada uma das quais é de uma dessas formas 5m + 1 e 5m + 4.

Agora, consideramos uma função especial, que é fornecida a seguir:

É conveniente definir. O coeficiente de na expansão acima é o número de partições de em m partes no máximo. Outra função especial, que é definida como

onde o coeficiente é o número de partições de n em partes sem repetições ou partes, cuja diferença mínima é 2.

De (1) e (2), podemos estabelecer a seguinte observação:

ou seja, o número de partições de n com diferença mínima 2 é igual ao número de partições de n em partes dos formulários 5m + 1 e 5m + 4.

Exemplo 1: Para n = 11, existem 7 partições de 11 que são enumeradas pela declaração acima, que são fornecidas abaixo [6]:

Existem 7 partições de 11 são enumeradas pela declaração acima, que são fornecidas abaixo:

que será comprovada posteriormente como identidade 1, é conhecida como a identidade Rogers-Ramanujan 1.

A função geradora de é da forma [1]

onde o coeficiente é o número de partições de n em partes dos formulários 5m + 2 e.

Agora consideramos uma função especial, que tem a forma [1]

onde o coeficiente de na expansão acima é o número de partições de em m partes no máximo.

Outra função especial, que é definida como

onde o coeficiente é o número de partições de n em partes não inferiores a 2 e com diferença mínima 2.

De (4) e (5), podemos estabelecer a seguinte observação:

ou seja, o número de partições de n em partes não inferiores a 2 e com diferença mínima 2 é igual ao número de partições de n em partes dos formulários 5m + 2 e 5m + 3.

Exemplo 2: Se n = 11, as quatro partições de 11 em partes não inferiores a 2 e com diferença mínima 2 são fornecidas abaixo:

Mais uma vez, as quatro partições de 11 em partes do formulário 5m + 2 e 5m + 3 são dados como

que será comprovada posteriormente como identidade 2, é conhecida como a identidade Rogers-Ramanujan 2.

Agora damos dois corolários, que estão relacionados à identidade do produto triplo de Jacobi [3].

Prova: Do Teorema de Jacobi [2], temos

para todos z exceto z = 0, se.

Se escrevermos para x, para z e substituir n de n + 1 no lado esquerdo, obtemos

Prova: Do Teorema de Jacobi, temos

para todos z exceto z = 0, quando.

Se escrevermos para x, para z e substituir n de n + 1 no lado esquerdo, obtemos

4. As Identidades Rogers-Ramanujan

Primeiro, transferimos a seguinte função auxiliar para outra função auxiliar. Vamos considerar a função auxiliar [1, 2] com e.

é conhecido como o dispositivo de Ramanujan de introdução de um segundo parâmetro uma, Onde k é 0, 1 ou 2 e,

que é outra função auxiliar, e é usada para provar as identidades de Rogers-Ramanujan [1].

Mas de (7) podemos facilmente verificar isso com k = 1, 2 e uma = x.

(9)
(10)

Em (8), também podemos descobrir que, se k = 1 e uma = x, então

De novo para k = 2 e uma = x, Nós temos

Agora podemos considerar a seguinte observação [2].

Observação 3: , onde o operador & # 951 é definido por & # 951 f(uma) = f(machado), e k = 1 ou 2.

Prova: De (8) nós temos

É conveniente definir,. Nós temos

Na segunda soma do lado direito da Identidade, mudamos n para dentro n + 1. Assim,

As identidades Rogers-Ramanujan

Prova: De (8) nós temos

Da observação acima, nós temos

onde o operador & # 951 é definido por & # 951 f(uma) = f(machado), e k = 1 ou 2. Em particular

(14)

onde os coeficientes dependem de x só. Substituindo isso em (15), obtemos

Portanto, igualando os coeficientes de várias potências de a de ambos os lados, obtemos

De (13) e (16), temos para k = 2

Novamente de (13), (14) e (16) temos com k = 1,

Se uma = x, então nós temos

5. Conclusão

Neste estudo, mostramos com a ajuda de um exemplo numérico quando n= 11, e também mostraram com a ajuda de um exemplo numérico quando n = 11. Transferimos a função auxiliar para outra função auxiliar com a ajuda do dispositivo de Ramanujan de introdução de um segundo parâmetro uma,

Onde k = 2, e uma = x, é usado para provar a identidade de Rogers-Ramanujan 2. Finalmente, provamos as identidades de Roger-Ramanujan com a ajuda da função auxiliar,


Palavras-chave

Pesquisa parcialmente apoiada por Grants INCITE09-207-064-PR do Xunta de Galicia , ECO2008-03484-C02-02 / ECONof do Ministério da Ciência e Inovação da Espanha e do Fundo Europeu de Desenvolvimento Regional, e MTM 2011-27731-C03-03.

Pesquisa parcialmente financiada pela Grant SGR 2009-1029 de Generalitat de Catalunya .

Pesquisa parcialmente financiada por Grants MTM 2009-08037 e MTM 2012-34426 do Ministério da Economia e Competitividade da Espanha.

Pesquisa parcialmente financiada pela Grant SGR 2009-1137 de Generalitat de Catalunya .


Funções de geração de Fungsi Pembangkit Fungsi pembangkit digunakan untuk

Fungsi pembangkit digunakan untuk merepresentasikan barisan secara efisien dengan mengkodekan unsur barisan sebagai koefisien dalam deret pangkat suatu variabel x. Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk: ¡memecahkan berbagai masalah contagem, ¡memecahkan relasi recorrência, dan ¡membuktikan identitas kombinatorik.

Definisi dan contoh Definisi. Fungsi pembangkit (função geradora) untuk barisan bilangan real: a 0, a 1,…, ak,… adalah deret pangkat tak hingga: Contoh 1. a. Fungsi pembangkit dari barisan dengan ak = 5 adalah b. Fungsi pembangkit dari barisan dengan ak = k + 3 adalah c. Fungsi pembangkit dari barisan dengan ak = 3 k adalah

Contoh 2 Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1 Solusi. Fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1 adalah: 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5

Contoh 3. Fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, ... adalah 1 + x 2 + x 3 + ... Contoh 4. Fungsi pembangkit dari barisan 1, a, a 2, a 3, ... adalah 1 + machado + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ...

Teorema 1 Contoh 5. Misal f (x) = 1 / (1 -x) 2. Tentukan koefisien a 0, a 1,… dalam ekspansi f (x) = akxk. Solusi. Jadi, ak = k + 1.

Koefisien Binomial Diperluas Misalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak negatif. Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan sebagai: Contoh 6. Tentukan nilai dari: a. b.

Teorema Binomial Diperluas Teorema 2. Misal x bilangan real dengan | x | & lt 1 dan u bilangan real. Maka, Catatan. Jika u bilangan bulat positif maka Teorema Binomial Diperluas menjadi Teorema Binomial.

Contoh 7 Tentukan fungsi pembangkit untuk (1 + x) -n dan (1 -x) -n, dengan n bilangan bulat positif. Solusi.

Soal 1 Tentukan koefisien x 10 dalam deret pangkat fungsi-fungsi berikut ini: a. 1 / (1 + x) 2 b. 1 / (1 -2 x) c. x 4 / (1 -3 x) 3

Contagem de Masalah dan Fungsi Pembangkit Contoh 8. Tentukan banyaknya solusi dari n 1 + n 2 + n 3 = 17, bila n 1, n 2 dan n 3 bilangan bulat taknegatif dengan 2 n 1 5, 3 n 2 6 dan 4 n 3 7 Solusi. Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x 17 dalam ekspansi: (x 2 + x 3 + x 4 + x 5) (x 3 + x 4 + x 5 + x 6) (x 4 + x 5 + x 6 + x 7). Setiap bentuk x 17 dalam perkalian ini didapat dengan mengalikan xn 1 pada faktor pertama dengan xn 2 pd faktor kedua dan xn 3 pada faktor ketiga yang memenuhi: n 1 + n 2 + n 3 = 17. Bila dihitung, didapat koefisien x x Jadi, ada tepat 3 solusi.

Contoh 9 Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue? Solusi. Misalkan cn: banyaknya cara membagikan n kue. Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak ada suatu faktor yang berbentuk: (x 2 + x 3 + x 4) dalam fungsi pembangkit barisan . Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya adalah: (x 2 + x 3 + x 4) 3. Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari x 8, yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada 3 anak tadi.

Soal 2 Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara mendistribusikan 25 donat identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat.

Contoh 10 Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara memilih pecahan mata uang bernilai Rp. 100, Rp. 500 dan Rp. 1000 jika kita ingin membayar suatu barang yang bernilai Rp. r, apabila: a. urutan pemilihan diperhatikan atau b. tidak diperhatikan. Contoh. Untuk membayar Rp. 600, ada 2 cara bila urutan tidak diperhatikan, yaitu (Rp. 100, Rp. 100) atau (Rp. 100, Rp. 500) dan ada 3 cara bila urutan diperhatikan, yaitu (Rp. 100, Rp. 100), ( Rp. 100, Rp. 500), atau (Rp. 500, Rp. 100)

Contoh 10… b. Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan. Karena masing-masing pecahan dapat dipergunakan berkali-kali, maka • faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 100 adalah 1 + x 2 + x 3 +…, • faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 500 adalah 1 + x 5 + x 10 +…, • faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 1000 adalah 1 + x 10 + x 20 +… Jadi, banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr / 100 dalam fungsi pembangkit (1 + x 2 + x 3 + ...) (1 + x 5 + x 10 + ...) (1 + x 10 + x 20 + ...)

Contoh 10… a. Jika urutan pemilihan diperhatikan. Banyaknya cara untuk menggunakan tepat n pecahan untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien xr / 100 dalam (x + x 5 + x 10) n Karena kita dapat menggunakan berapa pun jumlah pecahan, maka banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr / 100 dalam 1 + (x + x 5 + x 10) 2 +…

Soal 3 Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara untuk menukar uang $ 100 dengan menggunakan pecahan: a) $ 10, $ 20 dan $ 50 b) $ 5, $ 10, $ 20 dan $ 50 c) $ 5, $ 10, $ 20 dan $ 50 bila setiap pecahanali digunakan sekali digunakan. d) $ 5, $ 10 e $ 20 bila setiap pecahan digunakan sedikitnya sekali tapi tidak lebih dari 4 kali.

Contoh 11 Gunakan fungsi pembangkit untuk menghitung banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda berbeda jika kita harus memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenisnya. Solusi. Misalkan ar: banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda bila dari setiap jenis terpilih sedikitnya satu objek. Karena kita perlu memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenis, maka setiap jenis menyumbangkan faktor (x + x 2 + x 3 +…) pada fungsi pembangkit. Akibatnya, fungsi pembangkit G (x) dari barisan adalah G (x) = (x + x 2 + x 3 +…) n = xn (1 + x + x 2 + x 3 +…) n = xn / (1 -x) n.

Contoh 11… Dengan menggunakan Teorema Binomial Diperluas: Jadi, ada C (r-1, r-n) cara memilih.

Fungsi Pembangkit dan Solusi Relasi Recorrência Contoh 12. Cari solusi relasi recorrência ak = 3 ak-1 untuk k = 1, 2, 3,… dengan kondisi awal a 0 = 2. Solusi. Misal G (x): fungsi pembangkit untuk barisan , Maka,

Fungsi Pembangkit e Pembuktian Identitas Contoh 13. Gunakan fungsi pembangkit para membuktikan: Solusi. C (2 n, n) adalah koefisien xn dlm ekspansi (1 + x) 2 n. Akan tetapi, (1 + x) 2 n = [(1 + x) n] 2. = [C (n, 0) + C (n, 1) x +… + C (n, n) xn] 2. Koefisien dari xn dlm ekspansi ini: C (n, 0) C (n, n) + C (n, 1) C (n, n-1) +… + C (n, n) C (n, 0). Ini sama dgn C (n, k) 2, krn C (n, n-k) = C (n, k). Karena C (2 n, n) dan C (n, k) 2 menyatakan koefisien xn dlm (1 + x) 2 n maka haruslah


Capítulo 1: Análise de Algoritmos 3

1.1 Por que analisar um algoritmo? 3

1.2 Teoria dos Algoritmos 6

1.3 Análise de Algoritmos 13

1.4 Análise de Caso Médio 16

1.5 Exemplo: Análise do Quicksort 18

1.6 Aproximações assintóticas 27

1.8 Algoritmos Randomizados 33

Capítulo 2: Relações de recorrência 41

2.2 Recorrências de Primeira Ordem 48

2.3 Recorrências não lineares de primeira ordem 52

2.4 Recorrências de ordem superior 55

2.5 Métodos para resolver recorrências 61

2.6 Recorrências de divisão e conquista binárias e números binários 70

2.7 Recorrências de divisão e conquista geral 80

Capítulo 3: Gerando Funções 91

3.1 Funções Geradoras Ordinárias 92

3.2 Funções de Geração Exponencial 97

3.3 Gerando Solução de Função de Recorrências 101

3.4 Expandindo Funções de Geração 111

3.5 Transformações com Funções Geradoras 114

3.6 Equações funcionais na geração de funções 117

3.7 Resolvendo a recorrência de mediana de três Quicksort com OGFs 120

3.8 Contando com Funções Geradoras 123

3.9 Funções Geradoras de Probabilidade 129

3.10 Funções de geração bivariada 132

3.11 Funções Especiais 140

Capítulo 4: Aproximações assintóticas 151

4.1 Notação para Aproximações Assintóticas 153

4.2 Expansões assintóticas 160

4.3 Manipulando Expansões Assintóticas 169

4.4 Aproximações assintóticas de somas finitas 176

4.5 Soma de Euler-Maclaurin 179

4.6 Assintóticos bivariados 187

4.8 Exemplos & ldquoNormal & rdquo da Análise de Algoritmos 207

4.9 Exemplos & ldquoPoisson & rdquo da Análise de Algoritmos 211

Capítulo 5: Combinatória Analítica 219

5.2 Método Simbólico para Classes Não Classificadas 221

5.3 Método Simbólico para Classes Rotuladas 229

5.4 Método Simbólico para Parâmetros 241

5.5 Gerando Assintóticos de Coeficiente de Função 247

6.3 Equivalências Combinatórias para Árvores e Árvores Binárias 264

6.4 Propriedades das Árvores 272

6.5 Exemplos de Algoritmos de Árvore 277

6.6 Árvores de pesquisa binárias 281

6,7 Comprimento Médio do Caminho em Árvores Catalãs 287

6.8 Comprimento do caminho em árvores de pesquisa binárias 293

6.9 Parâmetros Aditivos de Árvores Aleatórias 297

6.11 Resumo dos resultados de caso médio em propriedades de árvores 310

6,12 Inversão de Lagrange 312

6,13 Árvores Enraizadas Não Ordenadas 315

6,15 Outros tipos de árvores 331

Capítulo 7: Permutações 345

7.1 Propriedades Básicas de Permutações 347

7.2 Algoritmos em Permutações 355

7.3 Representações de Permutações 358

7.4 Problemas de enumeração 366

7.5 Analisando Propriedades de Permutações com CGFs 372

7.6 Inversões e Classes de Inserção 384

7.7 Mínimos da esquerda para a direita e ordenação por seleção 393

7,8 Ciclos e Permutação In Situ 401

7,9 Parâmetros Extremais 406

Capítulo 8: Strings and Tries 415

8.2 Propriedades Combinatórias de Bitstrings 420

8.3 Expressões regulares 432

8.4 Autômatos de Estados Finitos e o Algoritmo Knuth-Morris-Pratt 437

8.5 Gramáticas livres de contexto 441

8.8 Propriedades Combinatórias de Tentativas 459

Capítulo 9: Palavras e Mapeamentos 473

9.1 Hashing com encadeamento separado 474

9.2 O modelo de bolas e urnas e propriedades das palavras 476

9.3 Paradoxo do aniversário e problema do coletor de cupons 485

9.4 Restrições de ocupação e parâmetros externos 495

9.5 Distribuições de ocupação 501

9.6 Hashing de endereçamento aberto 509

9.8 Fatoração e Mapeamentos Inteiros 532


A presente investigação foi concluída durante a visita do segundo autor nomeado ao Instituto de Matemática (Academia Sinica) em Taipei em julho de 1993. Um relatório preliminar sobre este artigo foi incluído em uma palestra proferida pelo segundo autor nomeado no All -Taiwan Workshop on Nonlinear Analysis, que foi realizado em Chi-Tou de 19 a 22 de julho de 1993. Este trabalho foi apoiado, em parte, pelo National Science Council da República da China sob o Grant NSC-82-0208-M- 1-145 e, em parte, pelo Conselho de Pesquisa em Ciências Naturais e Engenharia do Canadá sob o Grant OGP0007353.

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