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2.1: Linhas - Matemática


1. Linhas (definições)

Todos sabem o que é uma linha, mas fornecer uma definição rigorosa prova ser um desafio.

[ dfrac {y-b} {x-a} = m. ]

2. A forma de inclinação e interceptação da equação de uma linha

Dado um ponto ((x_1, y_1) ) e uma inclinação (m ), a equação da reta é

[y-y_1 = m (x-x_1) ]

3. Funções lineares por partes

Uma função é linear por partes se for feito de partes de linhas

Representamos graficamente esta linha esboçando as partes apropriadas de cada linha no mesmo gráfico.

4. Aplicativos

[y = - dfrac {1} {5} x + 156. ]

Dica: temos os dois pontos: ((0,32) ) e ((100,212) ).

Suponha que sua empresa ganhe $ 30.000 há cinco anos e $ 35.000 há três anos. Supondo um modelo de crescimento linear, quanto ele ganhará este ano?

Meu aluguel foi comprado por $ 204.000 três anos atrás. A depreciação é definida de forma que a casa deprecie linearmente a zero em vinte anos a partir da compra da casa. Se eu planejar vender a casa em doze anos por $ 250.000 e os impostos sobre ganhos de capital forem 28% da diferença entre o preço de compra e o valor depreciado, quais serão meus impostos?

O restaurante Wasabi deve pagar uma taxa fixa de $ 400 pelo aluguel ou 5% da receita, o que for maior. Crie a equação da função que relaciona o aluguel como uma função da receita

Larry Green (Lake Tahoe Community College)


Phi e geometria

Insira um triângulo equilátero dentro de um círculo, adicione uma linha no ponto médio dos dois lados e estenda essa linha até o círculo. A proporção de AG para AB é Phi.

4 lados: quadrado

Insira um quadrado dentro de um semicírculo. A proporção de AG para AB é Phi.

5 lados: Pentágono

Insira um pentágono dentro de um círculo. Conecte três dos cinco pontos para cortar uma linha em três seções. A proporção de AG para AB é Phi.

Quando as relações phi básicas são usadas para criar um triângulo retângulo, ele forma as dimensões das grandes pirâmides do Egito, com a geometria mostrada abaixo criando um ângulo de 51,83 graus, cujo cosseno é phi, ou 0,618.

Uma régua e um compasso podem ser usados ​​para construir o & # 8220 retângulo de ouro & # 8221 como mostrado pelas animações abaixo, que eram usadas pelos gregos no Partenon. (Veja também a página Orthogons.)

Essas mesmas duas construções são mostradas em uma visualização passo a passo na Wikipedia:

Phi também define outras dimensões de um pentágono.

Existem também várias construções geométricas usando um círculo que produzem relações phi, conforme mostrado na página Construção geométrica de Phi em círculos.

Phi pode estar relacionado a Pi por meio de funções trigonométricas

Nota: as fórmulas acima expressas em radianos, não em graus

Phi aparece em sólidos geométricos 3D

Clique na forma abaixo e imprima a página para fazer você mesmo:

Esta é a base para dois sólidos geométricos

Dodecaedro

Icosaedro

Sólido Dodecaedro Icosaedro
Formato do rosto Pentágono Triângulo
Rostos 12 20
Pontos 20 12
Arestas 30 30

Alguns aspectos interessantes de dodecaedros e icosaedros:

Um dodecaedro com lados de comprimento 1 embute um cubo com lados de comprimento é Phi.

Um icosaedro com lados de comprimento 1, o dodecaedro duplo tem lados com comprimento 1 / Phi. Em outras palavras, o dual do dodecaedro com lado de comprimento 1 é um icosaedro com lados de comprimento Phi.

Saiba mais sobre phi e geometria nas páginas Penrose Tiling e Quasi-crystals.

Comentários

Em um triângulo retângulo
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
mas apenas quando a = 2 * b então
c = a * phi-b
e a = (c + b) / phi
examle
a = 2
b = 1
c = √ (2 ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (4 + 1) = √5 = 2,23606798 ou
c = 2 * 1,618033989-1 = 3,23606798-1 = 2,23606798
(c + b) / phi = a
(2.23606798+1)/1.618033989=3.23606798/1.618033989=2

Como mostrar que uma buckyball possui coordenadas que podem ser expressas em termos de proporção áurea?

Basta ver a página Bucky Ball para obter detalhes e uma lista completa das coordenadas xyz no espaço 3D de todos os seus cantos e pontos.

Encontrei a prova para o exemplo “3 Linhas” fornecido por Jo Niemeyer em outro site. Jo está realmente correto, e mais uma vez, PHI aparece do nada. Incrível.

Você poderia me dar o url do site?

Como construir um Dodecaedro, Icosaedro e Triacontaedro Rhômbico perfeitos

Não tenho nenhum conhecimento mínimo sobre isso, mas tive um sonho há muitos anos e estava obcecado com a forma que vi. Agora eu sei que era isso !! Obrigado por isso. poderia estar relacionado a uma máquina que pode ser usada na produção de propulsão ou eletricidade?

Você poderia compartilhar algumas informações sobre o maquinário a que se refere? Está muito interessado em saber se tal maquinário existe e como ele poderia ser utilizado para eletricidade

Uma observação interessante que fiz na semana passada:

Em um pentágono regular com comprimento lateral = 1, se você conectar todas as diagonais, criará um pentágono menor dentro do original e o comprimento lateral desse pentágono menor = Phi / (1 + Phi).

Essa relação também se mantém com heptágonos regulares, exceto nesse caso, há dois comprimentos diagonais diferentes (eu chamo a diagonal menor & # 8220rho & # 8221 e a diagonal maior & # 8220sigma & # 8221 após este artigo http: //sylvester.math. nthu.edu.tw/d2/imo-training-geometry/reg-poly.pdf)

Neste caso, o heptágono regular tem comprimento lateral = 1, e o heptágono menor tem comprimento lateral = Sigma / (1 + Sigma).

Isso poderia ser generalizado para todos os polígonos regulares com lados ímpares?

O exemplo do pentágono inscrito não foi declarado corretamente. Precisa ser um pentágono regular. período. É irrelevante que esteja inscrito em um círculo. Além disso, & # 8220Insira um pentágono dentro de um círculo & # 8221 não faz sentido, pois há infinitos pentágonos para inserir, que devem ser inscritos.

Aqui está uma extensão interessante do exemplo do triângulo equilátero que estende os cortes phi com um pentágono regular. https://drive.google.com/open?id=0B86gMl7IvdErVkd4TjJtUE9BY00&authuser=0

1 & # 8211 phi = 1 / phi
é que acho que você & # 8217d chama uma das & # 8220 fórmulas de identidade & # 8221 para phi.

Se tomarmos o cosseno inverso de 1 & # 8211 phi para obter o ângulo que isso representa, a resposta é
51,827 graus, que é extremamente próximo ao ângulo dos lados da Grande Pirâmide de Gizé, dentro de alguns centésimos de grau.

ei, neste VÍDEO & gt & gt & gt & gt & gt https://www.youtube.com/watch?v=Sl0BHueSjvA & lt & lt & lt & lt & lt & gt & gt & gt3: 11 & lt & lt & lt & lt & lt o número dourado na forma & quot ou a bola & quot theobleck! Por quê? faz um hit como esse faz o ar tomar aquela & quotfigura & quot de uma flor !! & # 8230 & # 8230. estou supondo que todo impacto se comporta dessa maneira? se assim for & # 8230 .. estou pensando em adicionar um pouco & quot fixativo & quot em nossas equações de projeção física-matemática & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230. O que você acha.

Estou ciente de que phi existe nas medidas de um quadrado dentro de um semicírculo, mas pode ser encontrado nas medidas de um quadrado dentro de um círculo?

qual é a fórmula geral para obter a proporção áurea de um edifício?

Para determinar as proporções de ouro encontradas em uma construção, ou em qualquer outro objeto, você pode simplesmente pegar uma dimensão e multiplicá-la ou dividi-la por 1,618. Essa dimensão estará em proporção áurea em relação ao original.

Publiquei um e-print sobre as construções da proporção áurea em qualquer triângulo.

Atenciosamente
Tran Quang Hung.

Querido senhor. Huang ,,
seu trabalho parece muito interessante do ponto de vista da pesquisa em que estou envolvido.
Se alguém achar interessante, é possível ler sobre isso aqui https://www.atiner.gr/presentations/GEO2019-0139.pdf

De acordo com isso, eu pediria a você mr. Trần Quang Hùng, essas construções que você apresentou em seu trabalho implicam em alguns desses valores ≈ 22.45555152 °, 27.8115295 °, 39.7329553 °, 46.2983668 °, 78.0785741 °?

Ansioso pela resposta.

Muito obrigado pelo seu interesse em meu artigo. Seu link de arquivo pdf é muito interessante. Podemos discutir mais por e-mail?

Atenciosamente
Tran Quang Hung.

construindo uma pequena casa circular com proporção áurea (da argentina)
oi queridos, estou iniciando um projeto de construção de minha casinha circular aqui na argentina e gostaria de aprender sobre a proporção áurea para definir a altura das paredes e a altura e os ângulos do telhado triangular que ficará nessas paredes por um diâmetro de um círculo de 6,8 metros. estou um pouco perdido, é possível que a razão áurea para aquele diâmetro seja de aprox. um telhado com o ponto mais alto no centro de 4,2 metros aprox? qualquer sugestão será muito apreciada. obrigado! Gera


A inclinação de uma linha é freqüentemente descrita como "subida sobre o degrau". Ele nos diz o quanto o valor y muda conforme muda o valor x.

Dada uma inclinação de 2, isso significa que para cada mudança de 1 unidade em x, y muda 2 unidades. Como a inclinação é positiva, a linha aumenta (se move para cima) conforme o gráfico se move da esquerda para a direita. Se a inclinação fosse negativa, a linha diminuiria.

Represente graficamente as linhas y = 2x + 3 ey = -2x + 3

Com base na equação da linha, a interceptação y é 3, o que significa que a linha cruza o eixo y no ponto (0, 3). A inclinação é 2, ou 2/1, então para cada 1 unidade de mudança em y, há uma mudança de 2 unidades em y. Usando a interceptação y como ponto de referência, podemos mover para a direita 1 e para cima 2, ou para a esquerda 1 e para baixo 2 para determinar o próximo ponto. Uma vez que temos dois pontos, podemos apenas conectá-los para representar graficamente a linha. A figura abaixo mostra os dois pontos possíveis em cada lado do ponto de referência escolhido (a interceptação y).

A única diferença entre as duas equações acima é que a inclinação é positiva em uma, mas negativa na outra. Abaixo está o gráfico da linha dado que a inclinação é -2.


2.1: Linhas - Matemática

Conjunto de Problemas 2.1

1. a. Enuncie e prove uma condição 'se e somente se' relacionando dois acordes congruentes em um círculo e suas distâncias do centro do círculo. Certifique-se de que sua declaração e prova se apliquem aos seguintes casos:

Teorema: Dois acordes do mesmo círculo são congruentes se estiverem à mesma distância do centro.

Prova: Se AB = CD, construa triângulos isósceles AOB e COD. As altitudes AB e CD formam pares de triângulos retângulos. Eles são todos congruentes pela condição de congruência HL. Portanto, as altitudes têm o mesmo comprimento e os acordes estão à mesma distância do centro.

Se as altitudes forem de comprimento igual, os triângulos podem ser novamente mostrados como congruentes pela condição de congruência HL e que pode levar a AB = CD combinando os lados congruentes dos triângulos.

b. Dados dois acordes em um círculo, prove que o acorde mais longo está mais próximo do centro do círculo. Cuidado com todos os casos.

PROVA ALTERNATIVA para 2.1.1b

Considere esta figura e construa CD congruente com AB (OE é congruente com OG também).

(prova a ser desenvolvida por um voluntário)

c. O inverso: dado OE & gt OF, prove AB & lt CD.

2. Enuncie e prove o inverso da Proposição 2.3. Se um diâmetro divide ao meio uma corda e corta ao meio cada um dos arcos determinados pela corda, então o diâmetro é perpendicular à corda.

Ver arquivo GSP. Apenas um desenho para sugerir uma prova.

3.a. Prove que a tangente a um círculo cruza o círculo em apenas um ponto. (Veja agora, resolva isto 2.1) Abra o arquivo GSP.

3.b. Prove que a linha que cruza o círculo em exatamente um ponto é tangente ao círculo.

Observe a definição de tangente a um círculo. Ele diz & quotA tangente a um círculo O no ponto P no círculo é a reta que passa por P, perpendicular a OP. & Quot Este problema então é:

Dada uma linha que intercepta o círculo O em exatamente um ponto P, prove que OP é perpendicular à linha.

4, 5 e 6. Provas alternativas do Teorema do Ângulo Inscrito.

Em cada um dos casos a seguir, se possível, encontre valores exclusivos para x ou para x, y e z. Se não for possível provar que existem infinitas soluções. (O é o centro de cada círculo.)

8. Abrir arquivo GSP.

Dado um triângulo ABC inscrito em um círculo com o Orthocententer em H. Estenda a altitude AD até a interseção com o circunscrito em K. Prove que HD = DK.

9. a. Mostre o ângulo formado pela intersecção de duas secantes no interior do círculo em termos dos arcos interceptados.

Dica: Construa a linha AD. Considere o triângulo AED. Ângulo BEA é um ângulo externo do triângulo e os ângulos remotos internos podem ser expressos em termos dos arcos interceptados AB e CD.

Abrir arquivo GSP?

Solução de Anne Marie Marshall (Arquivo GSP)

9.b. Mostre o ângulo formado pela intersecção de duas secantes no exterior do círculo em termos dos arcos interceptados.

Abrir arquivo GSP?

Dica: Precisamos de pelo menos um segmento auxiliar. Experimente dois: AC e BD. Agora, o ângulo DBC é um ângulo externo do triângulo DBE.

Solução de Anne Marie Marshall (Arquivo GSP)

Discuta os resultados em termos do teorema do ângulo inscrito sendo um caso especial de ambos.

10. Prove que dois acordes paralelos em um círculo criam arcos congruentes. Isso é o mesmo que mostrar os segmentos AB e CD

Abrir arquivo GSP?

Dica: O segmento AC seria uma transversal das duas cordas paralelas. Ângulos internos alternativos CAD e ACB seriam de igual medida e cada um subtende um dos arcos de interesse.

Solução de Anne Marie Marshall (arquivo GSP)

11. Use o resultado do problema 10 para resolver o problema 9a.

Solução de Brenda King (arquivo GSP)

Solução de Anne Marie Marshall (arquivo GSP)

12. a. Que tipo de paralelogramos são cíclicos? Justificar.

b. Que tipo de trapézio é cíclico? Justificar.

Dica: A medida do ângulo CAB é a medida do ângulo formado pela linha me CB. Mas CB é uma transversal de duas linhas paralelas. Portanto, a linha do ângulo n forma com CB também é congruente com o ângulo CAB. Assim, ângulo DEB + ângulo CAB = 180 graus e ABED é cíclico.

14. O triângulo ABC está inscrito no círculo O. A altitude BH cruza os diâmetros através de A e C, respectivamente.

uma. Prove que o triângulo DOE é isósceles. Abrir arquivo GSP?

b. Será que isso acontecerá se o ABC for um triângulo obtuso? NOTA: Estenda os lados do triângulo ABC fora do círculo.

15. O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo com centro O. Seja S no raio AB, e seja a linha SC tangente ao semicírculo. Se ST corta o ângulo ASC ao meio e faz a intersecção do arco AC em D, encontre a medida do ângulo STC. Justificar. Abrir arquivo GSP?

16. Dado um círculo com centro O e um ponto A externo ao círculo. Sejam B e C os pontos de tangência das tangentes traçadas de A ao círculo, e seja CP o diâmetro do círculo. Construa a linha PB e localize sua interseção E com a linha CA.

Prove que a medida do ângulo BAC é duas vezes a medida do ângulo BEC. Uma figura está no arquivo GSP, mas você deve tentar desenhar sua própria figura primeiro. Dica para a prova? Experimente primeiro.

Abrir arquivo GSP?

17. ABCD está inscrito em um círculo O. AB é um diâmetro e E é a interseção de linhas ao longo dos lados opostos AD e BC. Construir OD. Para a segunda parte do problema, considere o caso em que AB não é diâmetro.

uma. Quando AB é um diâmetro, prove o ângulo ODC é congruente com o ângulo AEB.

Abrir arquivo GSP.

b. Prove que a linha OD é tangente ao círculo que circunscreve o triângulo DEC.


Esta seção examina a geometria coordenada.

A distância entre dois pontos

Desenhe uma linha entre os dois pontos. Complete um triângulo retângulo e use o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da linha.

O ponto médio de uma linha que une dois pontos

O ponto médio da linha que une os pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:

Encontre as coordenadas do ponto médio da linha que une (1, 2) e (3, 1).

Ponto médio = [½ (3 + 1), ½ (2 + 1)] = (2, 1.5)

O gradiente de uma linha que une dois pontos

Linhas paralelas e perpendiculares

Se duas linhas são paralelas, então elas têm o mesmo gradiente.

Se duas linhas são perpendiculares, o produto dos gradientes das duas linhas é -1.

a) y = 2x + 1
b) y = -½ x + 2
c) ½y = x - 3

Os gradientes das linhas são 2, -½ e 2, respectivamente. Portanto (a) e (b) e perpendiculares, (b) e (c) são perpendiculares e (a) e (c) são paralelas.

A equação de uma linha usando um ponto e o gradiente

A equação de uma linha que tem gradiente me que passa pelo ponto (x1, y1) é:


Prova da fórmula da distância de um ponto a uma linha para o problema de espaço

Se l é a equação linear, então s = é o vetor de direção da linha, M1(x 1, y 1, z 1) são as coordenadas do ponto na linha. A partir das propriedades de produto vetorial, sabe-se que o módulo de produto vetorial dos vetores é igual à área de um paralelogramo construído nesses vetores

Por outro lado, a área do paralelogramo é igual ao produto de seu lado pela altura passada para este lado

Depois de igualar as áreas, é simples receber a fórmula da distância de um ponto a uma linha.


Geometria: relações que provam que as linhas são paralelas

Quando você recebeu o Postulado 10.1, foi capaz de provar várias relações de ângulos que se desenvolveram quando duas linhas paralelas foram cortadas por uma transversal. Há momentos em que relações angulares específicas são fornecidas a você e você precisa determinar se as linhas são paralelas ou não. Você desenvolverá alguns teoremas para ajudá-lo a fazer isso facilmente. Seu primeiro teorema, Teorema 10.7, será estabelecido usando a contradição. O restante dos teoremas seguirá usando uma prova direta e o Teorema 10.7.

Figura 10.8 l e m são cortados por uma transversal t,? 1 e ?2 são ângulos correspondentes.

Vamos revisar as etapas envolvidas na construção de uma prova por contradição. Comece presumindo que a conclusão é falsa e, em seguida, mostre que as hipóteses também devem ser falsas. Na afirmação original da prova, você começa com ângulos correspondentes congruentes e conclui que as duas linhas são paralelas. Para provar este teorema usando contradição, assuma que as duas retas não são paralelas e mostre que os ângulos correspondentes não podem ser congruentes.

Figura 10.9 l e m são cortados por uma transversal t, l? ? Sr ? ? eu, e r, m, e eu cruzar em O.

  • Teorema 10.7: Se duas linhas são cortadas por uma transversal de modo que os ângulos correspondentes sejam congruentes, então essas linhas são paralelas.

Um desenho dessa situação é mostrado na Figura 10.8. Duas retas, l e m são cortadas por um t transversal, e? 1 e? 2 são ângulos correspondentes.

  • Dado: l e m são cortados por uma transversal t, l? /? m.
  • Prove:? 1 e? 2 não são congruentes (? 1

Isso completa sua prova por contradição. O resto dos teoremas que você prova nesta seção farão uso do Teorema 10.7. O resto dos teoremas nesta seção são conversos de teoremas provados anteriormente.

Vamos dar uma olhada em algumas outras relações de ângulos que podem ser usadas para provar que duas retas são paralelas. Esses dois teoremas são semelhantes e, para ser justo, provarei o primeiro e deixarei que você prove o segundo.

  • Teorema 10.8: Se duas linhas são cortadas por uma transversal de modo que os ângulos internos alternados sejam congruentes, então essas linhas são paralelas.
  • Teorema 10.9: Se duas linhas são cortadas por uma transversal de modo que os ângulos externos alternados sejam congruentes, então essas linhas são paralelas.

A Figura 10.10 mostra duas linhas cortadas por um t transversal, com ângulos internos alternados identificados como? 1 e? 2.

Figura 10.10 l e m são cortados por uma transversal t, e ?1 e ?2 são ângulos interiores alternativos.

O Teorema 10.4 estabeleceu o fato de que se duas linhas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos internos do mesmo lado da transversal são ângulos suplementares. O Teorema 10.5 afirmava que se duas linhas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos externos do mesmo lado da transversal são ângulos suplementares. Agora é hora de provar o contrário dessas afirmações. Vamos dividir o trabalho: provarei o Teorema 10.10 e você cuidará do Teorema 10.11.

  • Teorema 10.10: Se duas linhas são cortadas por uma transversal de modo que os ângulos internos do mesmo lado da transversal sejam complementares, então essas linhas são paralelas.
  • Teorema 10.11: Se duas linhas são cortadas por uma transversal de modo que os ângulos externos do mesmo lado da transversal sejam complementares, então essas linhas são paralelas.

A Figura 10.11 o ajudará a visualizar essa situação. Duas linhas, l e m, são cortadas por uma transversal t, com ângulos internos no mesmo lado da transversal etiquetada? 1 e? 2.

Figura 10.11 l e m, são cortados por uma transversal t, e ?1 e ? 2 são ângulos internos do mesmo lado da transversal.

  • Dado: l e m são cortados por um t transversal,? 1 e? 2 são ângulos suplementares.
  • Prove: eu? ? m.
  • Prova: aqui está o plano de jogo. Para usar o Teorema 10.7, você precisa mostrar que os ângulos correspondentes são congruentes. Mas pode ser mais fácil usar o Teorema 10.8 se você puder mostrar que? 2 e? 3 são congruentes. Você pode fazer isso facilmente, se aplicar o que descobriu. Como? 1 e? 3 são ângulos suplementares, e? 1 e? 2 são ângulos suplementares, você pode concluir que? 2

Em um mundo complicado, um teorema complicado requer um desenho complicado. Se o seu desenho for muito complexo, pode ser difícil decidir quais linhas são paralelas por causa dos ângulos congruentes. Considere a Figura 10.12. Suponha que? 1

=? 3. Quais linhas devem ser paralelas? Porque? 1 e? 3 são ângulos correspondentes ao ver as linhas o e n cortadas por m transversal, o? ? n.

Figura 10.12 A interseção das linhas l, m, n e o.

Esta é sua chance de brilhar. Lembre-se de que estou com você em espírito e respondi a essas perguntas no Gabarito.

  1. Se eu? ? m como na Figura 10.4, com m? 2 = 2x - 45 e m? 1 = x, encontre m? 6 e m? 8.
  2. Escreva uma prova formal para o Teorema 10.3.
  3. Escreva uma prova formal para o Teorema 10.5.
  4. Prove o Teorema 10.9.
  5. Prove o Teorema 10.11.
  6. Na Figura 10.12, quais linhas devem ser paralelas se? 3


COMO ENCONTRAR OS PONTOS DE TRISECÇÃO DE UMA LINHA

Como encontrar os pontos de trissecção de uma linha:

Veremos aqui como encontrar os pontos de trissecção do segmento de linha que une os pontos dados.

Os pontos de trissecção significam os pontos & # xa0 que dividem exatamente o segmento de linha em três partes iguais.

Vejamos alguns exemplos de problemas para entender o conceito acima.

Encontre os pontos de trissecção do segmento de reta que une (4, - 1) e (-2, - 3).

Sejam A (4, -1) e B (-2, -3) os pontos dados.

Sejam P (x, y) e Q (a, b) os pontos de & # xa0 trissecção de AB de modo que AP = PQ = QB

Portanto, P divide AB internamente na proporção & # xa0 1: 2 e Q divide AB internamente & # xa0 na proporção 2: 1

Pela fórmula da seção, os pontos necessários são

Fórmula da seção internamente = (lx₂ + mx₁) / (l + m), (ly₂ + my₁) / (l + m)

P divide o segmento de linha na proporção 1: 2

Q divide o segmento de linha na proporção 2: 1

Encontre os pontos de trissecção do segmento de reta que une os pontos A (2, -2) e B (-7, 4).

Sejam P e Q os pontos da trissecção do segmento de linha que une os pontos A e B

Fórmula da seção internamente = (Lx₂ + mx₁) / (L + m), (Ly₂ + my₁) / (L + m)

P divide o segmento de linha na proporção 1: 2

Q divide o segmento de linha na proporção 2: 1

Depois de examinar as informações fornecidas acima, esperamos que os alunos tenham entendido as informações sobre como encontrar os pontos de trissecção de uma linha. .

Além do material fornecido acima, se você & # xa0 quiser saber mais sobre "Como encontrar os pontos de trissecção de uma linha", & # xa0 por favor, clique aqui.

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Segmento de Linha - Definição com Exemplos

Esta é uma linha! Não tem pontos de extremidade e se estende infinitamente em ambas as direções.

Se você marcar dois pontos A e B nele e selecionar este segmento separadamente, ele se tornará um segmento de linha.

Este segmento de linha tem dois pontos finais A e B cujo comprimento é fixo. O comprimento deste segmento de linha é a distância entre seus pontos finais A e B.

Portanto, um segmento de linha é uma parte ou parte de uma linha com dois pontos finais. Ao contrário de uma linha, um segmento de linha tem um comprimento definido.

O comprimento de um segmento de linha pode ser medido em unidades métricas, como milímetros, centímetros, ou unidades habituais, como pés ou polegadas.

Medindo um segmento de linha

Siga as etapas fornecidas para medir o comprimento de um segmento de linha:

Passo 1: Escolha uma escala para medir o comprimento de um segmento de linha. Geralmente, segmentos de linha menores são medidos em uma escala de centímetros.

Passo 2: Identifique o segmento de linha que deseja medir.

etapa 3: Coloque a ponta da régua no ponto inicial do segmento de linha.

Passo 4: Leia o número na escala onde termina o segmento de linha. Nesse caso, é 5. Portanto, o comprimento do segmento de linha dado é de 5 cm.

Desenhar um segmento de linha usando régua e compasso

Suponha que precisamos desenhar um segmento de linha de 5 cm de comprimento. Seguiremos os passos dados:

Passo 1: Desenhe uma linha de qualquer comprimento. Marque um ponto A na linha, que é o ponto inicial do segmento de linha.

Passo 2: Usando uma régua, posicione o ponteiro do compasso 5 cm afastado do lápis e da grafite.

etapa 3: Coloque o ponteiro do compasso em A e marque um arco na linha com a ponta do lápis.

Passo 4: Marque o ponto onde o arco e a linha se cruzam como B.

Etapa 5: AB é o segmento de linha necessário com 5 cm de comprimento.

Exemplo da vida real

Lados de um polígono, bordas de uma régua, bordas de um papel são exemplos de um segmento de linha


Matemática: Como Encontrar a Linha Tangente de uma Função em um Ponto

Em matemática, uma linha tangente é uma linha que toca o gráfico de uma determinada função em um ponto e tem a mesma inclinação que a inclinação da função naquele ponto. Por definição, uma linha é sempre reta e não pode ser uma curva. Portanto, uma linha tangente pode ser descrita como uma função linear da forma y = ax + b.

Para encontrar os parâmetros uma e b, temos que usar as características da função e o ponto para o qual estamos olhando. Primeiro, precisamos da inclinação da função naquele ponto específico. Isso pode ser calculado tomando primeiro a derivada da função e, em seguida, preenchendo o ponto. Então, também há detalhes suficientes para encontrar b.

Outra interpretação foi dada por Leibniz quando ele introduziu pela primeira vez a ideia de uma linha tangente. Uma linha pode ser definida por dois pontos. Então, se escolhermos esses pontos infinitamente próximos uns dos outros, obteremos a linha tangente.

O nome linha tangente vem da palavra tangere, que é & quottouching & quot em latim.

O derivado

Para encontrar uma reta tangente, precisamos da derivada. A derivada de uma função é uma função que para cada ponto fornece a inclinação do gráfico da função. A definição formal de uma derivada é a seguinte:

A interpretação é que se h é muito pequena a diferença entre x e x + h é muito pequena, então a diferença entre f (x + h) e f (x) também deve ser pequeno. Em geral, esse não precisa ser o caso & # x2014; por exemplo, quando f (x) não é contínuo. No entanto, se uma função for contínua, esse será o caso. A definição de & quotcontínuo & quot é bastante complexa, mas significa tanto quanto você pode desenhar o gráfico da função em um movimento sem tirar a caneta do papel.

Então o que a definição da derivada faz é imaginar a parte da função entre x e x + h como se fosse uma linha reta e determinar a direção dela. Desde que pegamos h ser infinitesimalmente próximo de zero, isso corresponde à inclinação no ponto x.

Se você quiser mais informações sobre a derivada, pode ler meu artigo que escrevi sobre o cálculo da derivada. Se quiser saber mais sobre os limites que são usados, também pode consultar o meu artigo sobre o limite de uma função.


Assista o vídeo: Matematyka na klockach. matematyka mentalna (Dezembro 2021).