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3.9 E: Derivatives Ln, etc. Exercícios


3.9: Derivados deLn, funções gerais de expoente e log; e diferenciação logarítmica

Exercício:

Para os exercícios a seguir, encontre (f ′ (x) ) para cada função.

333) (f (x) = e ^ {x ^ 3 ln x} )

Responder:

(e ^ {x ^ 3} ln x (3x ^ 2 ln x + x ^ 2) )

336) (f (x) = frac {10 ^ x} { ln10} )

337) (f (x) = 2 ^ {4x} + 4x ^ 2 )

Responder:

(2 ^ {4x + 2} ⋅ ln 2 + 8x )

338) (f (x) = 3 ^ { sin (3x)} )

339) (f (x) = x ^ π⋅π ^ x )

Responder:

(πx ^ {π − 1} ⋅π ^ x + x ^ π⋅π ^ x ln π )

340) (f (x) = ln (4x ^ 3 + x) )

341) (f (x) = ln sqrt {5x − 7} )

Responder:

( frac {5} {2 (5x − 7)} )

342) (f (x) = x ^ 2 ln (9x) )

343) (f (x) = log ( sec x) )

Responder:

( frac { tan x} { ln10} )

344) (f (x) = log_7 (6x ^ 4 + 3) ^ 5 )

345) (f (x) = 2 ^ x⋅log_37 ^ {x ^ 2−4} )

Responder:

(2 ^ x⋅ ln 2⋅log_37 ^ {x ^ 2−4} + 2 ^ x⋅ frac {2x ln 7} { ln 3} )

Para os exercícios a seguir, use a diferenciação logarítmica para encontrar ( frac {dy} {dx} ).

346) (y = x ^ { sqrt {x}} )

347) (y = ( sin (2x)) ^ {4x} )

Responder:

(( sin (2x)) ^ {4x} [4⋅ln ( sin (2x)) + 8x⋅ cot (2x)] )

348) (y = ( ln x) ^ { ln x} )

349) (y = x ^ {log_2x} )

Responder:

(x ^ {log_2x} ⋅ frac {2 ln x} {x ln 2} )

350) (y = (x ^ 2−1) ^ { ln x} )

351) (y = x ^ { cot x} )

Responder:

(x ^ { cot x} ⋅ [- csc ^ 2x⋅lnx + frac { cot x} {x}] )

352) (y = frac {x + 11} { sqrt [3] {x ^ 2−4}} )

353) (y = x ^ {- 1/2} (x ^ 2 + 3) ^ {2/3} (3x − 4) ^ 4 )

Responder:

(x ^ {- 1/2} (x ^ 2 + 3) ^ {2/3} (3x − 4) ^ 4⋅ [ frac {−1} {2x} + frac {4x} {3 ( x ^ 2 + 3)} + frac {12} {3x − 4}] )

354) [T] Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de (f (x) = 4xe ^ {(x ^ 2−1)} ) no ponto onde

(x = −1. ) Represente graficamente a função e a reta tangente.

355) [T] Encontre a equação da reta que é normal ao gráfico de (f (x) = x⋅5 ^ x ) no ponto onde (x = 1 ). Represente graficamente a função e a linha normal.

Responder:

(y = frac {−1} {5 + 5 ln 5} x + (5+ frac {1} {5 + 5 ln 5}) )

356) [T] Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (x ^ 3 − x ln y + y ^ 3 = 2x + 5 ) no ponto onde (x = 2 ). (Dica: Use a diferenciação implícita para encontrar ( frac {dy} {dx} ).) Represente graficamente a curva e a reta tangente.

J357)

use o gráfico de (y = f (x) ) (mostrado abaixo) para

uma. esboce o gráfico de (y = f ^ {- 1} (x) ), e

b. use a parte a. para estimar ((f ^ {- 1}) ′ (1) ).

Responder:

uma.

b. ((f ^ {- 1}) ′ (1) ~ 2 )

Para o próximo conjunto de exercícios, encontre ( frac {dy} {dx} ). [Dica: primeiro pegue o em de ambos os lados.]

J358) (y = frac {(2x ^ 3−15x) sqrt {6x ^ {4} +7}} {3x ^ 2 − x + 3} )

J359) (y = {30x ^ 4} sqrt {17x + 2} {( sin (x))} )

J360) (y = {e ^ {5x}} {(3x-1) ^ frac {2} {3}} {(8 ^ {3x})} )