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1.1: O paradoxo da flecha


Em seu famoso paradoxo da flecha, Zeno afirma que uma flecha não pode se mover, pois está em repouso a cada instante. Existem pelo menos dois problemas lógicos ocultos nesta afirmação.

Zero Dividido por Zero

Em uma interpretação, Zenão parece estar dizendo que, uma vez que a cada instante de tempo a flecha tem uma posição definida e, portanto, não viaja nenhuma distância durante esse instante de tempo, a velocidade da flecha é (0. ) O a questão é, se um objeto viaja uma distância 0 no tempo de duração (0, ) é a velocidade do objeto (0? )

Ou seja, é

[ frac {0} {0} = 0? ]

Para responder a essa pergunta, precisamos examinar o significado de dividir um número por outro. Se (a ) e (b ) forem números reais, com (b neq 0 ), então

[ frac {a} {b} = c ]

significa que

[a = b vezes c. ]

Em particular, para qualquer número real (b neq 0 ),

[ frac {0} {b} = 0 ]

desde (b times 0 = 0. ) Observe que se (a neq 0, ) então

[ frac {a} {0} ]

é indefinido, pois não existe um número real (c ) para o qual (0 vezes c ) é igual a a. Dizemos que a divisão de um número diferente de zero por zero não tem sentido. Por outro lado,

[ frac {0} {0} ]

é indefinido porque (0 times c = 0 ) para todos os números reais (c. ) Por esta razão, dizemos que a divisão de zero por zero é indeterminada.

O primeiro problema lógico exposto pelo paradoxo da seta de Zenão é o problema de dar significado determinado a proporções de grandezas com magnitude zero. Veremos que os infinitesimais nos fornecem uma maneira de atribuir significados definidos a proporções de quantidades com magnitudes zero, e essas proporções fornecerão a base para o que chamamos de cálculo diferencial.

Somando Zeros

Outra interpretação possível do paradoxo da flecha é que se a cada instante de tempo a flecha não se move nenhuma distância, então a distância total percorrida pela flecha é igual a 0 adicionado a si mesmo um grande, ou mesmo infinito, número de vezes. Agora, se (n ) é qualquer número inteiro positivo, então, é claro,

[n vezes 0 = 0. ]

Ou seja, zero adicionado a si mesmo um número finito de vezes é zero. No entanto, se um intervalo de tempo é composto por um número infinito de instantes, estamos pedindo o produto do infinito por zero, ou seja,

[ infty vezes 0. ]

A princípio, pode-se pensar que esse resultado também deveria ser zero; no entanto, é necessário um raciocínio mais cuidadoso.

Observe que um intervalo de tempo, digamos o intervalo ([0,1] ), é composto de uma infinidade de instantes sem duração. Portanto, neste caso, o produto de infinito e 0 deve ser (1, ) o comprimento do intervalo. No entanto, o mesmo raciocínio aplicado ao intervalo ([0,2] ) nos levaria a pensar que infinito vezes 0 é (2. ) De fato, como com o problema de zero dividido por (0, ) infinito vezes 0 é indeterminado.

Assim, o segundo problema lógico exposto pelo paradoxo da seta de Zenão é o problema de dar significado determinado a somas infinitas de magnitudes zero ou, nos casos mais simples, a produtos de números infinitesimais e infinitos.

Visto que a divisão é a operação inversa da multiplicação, devemos esperar uma conexão próxima entre essas questões. Este é, de fato, o caso, como veremos quando discutirmos o teorema fundamental do cálculo.


O paradoxo da flecha de Zenão

Premissas e a conclusão do paradoxo: (1) Quando a flecha está em um lugar de seu próprio tamanho, ela está em repouso. (2) A cada momento de seu vôo, a flecha está em um lugar de seu tamanho. (3) Portanto, a cada momento de seu vôo, a flecha está em repouso.

Se algo está em repouso, certamente tem $ ou nenhuma velocidade. Então, em termos modernos, o que o paradoxo diz é que a velocidade da flecha em "movimento" em qualquer instante $ t $ (uma duração sem duração) de tempo é '

UM OLHAR CONTEMPORÂNEO DOS PARADOXOS DE ZENO

A herança intelectual que nos foi legada pelos antigos gregos foi realmente rica. A ciência da geometria e todo o curso da filosofia ocidental, como observamos, tiveram seu início com Tales. Ambos desfrutaram de um desenvolvimento fantástico nas mãos de seus primeiros sucessores, alcançando um grau surpreendente de perfeição durante a antiguidade. Durante o mesmo período, Aristóteles forneceu o primeiro desenvolvimento sistemático da lógica formal. Mas o solo fértil de onde tudo isso cresceu também deu origem a uma série de quebra-cabeças que desafiaram gerações sucessivas de filósofos e cientistas até o presente. Esses são os famosos paradoxos de Zenão de Eléia, que floresceu por volta de 500 a.C. 1

Zenão era um discípulo devotado do filósofo Parmênides, que sustentava que a realidade consistia em um todo imóvel, indiferenciado e imutável, desprovido de quaisquer partes. Movimento, mudança e pluralidade eram, segundo ele, meras ilusões. Poucos filósofos poderiam aceitar essa visão, e Parmênides foi aparentemente objeto de algum ridículo por parte daqueles que discordavam. O principal objetivo de Zenão, é relatado, era refutar aqueles que zombavam de seu mestre. Seu objetivo era mostrar que aqueles que acreditavam em movimento, mudança e pluralidade estavam envolvidos em absurdos ainda maiores. Dos cerca de quarenta quebra-cabeças que ele propôs, menos de dez chegaram até nós, mas envolvem algumas dificuldades muito sutis. Como o movimento envolve a ocupação de lugares diferentes em momentos diferentes, esses paradoxos atingem o cerne de nossos conceitos de espaço e tempo.

Bertrand Russell certa vez observou que "os argumentos de Zeno, de alguma forma, forneceram bases para quase todas as teorias do espaço, do tempo e do infinito que foram construídas de sua época até a nossa." 2 Esta afirmação foi feita em 1914, em um ensaio que contém uma análise penetrante dos paradoxos, mas, como veremos, havia problemas inerentes a esses quebra-cabeças que escapavam até mesmo a Russell. Essas dificuldades, de fato, têm uma relação direta com nossas discussões anteriores sobre espaço e geometria, revelando problemas profundos que mal mencionamos. Além disso, antes de terminar este capítulo, relatarei um novo quebra-cabeça do tipo Zenão que apareceu pela primeira vez durante a década atual!

Os seguintes paradoxos se enquadram em duas categorias principais, paradoxos do movimento e paradoxos da pluralidade. Os paradoxos do movimento são os mais famosos, e começarei por eles.

Nosso conhecimento dos paradoxos do movimento vem de Aristóteles que, no decorrer de suas discussões, oferece uma paráfrase de cada um. As formulações originais de Zenão não sobreviveram.

    Aquiles e a tartaruga. Imagine que Aquiles, o mais veloz dos guerreiros gregos, deve correr uma corrida a pé contra uma tartaruga. É justo dar uma vantagem inicial à tartaruga. Sob essas circunstâncias, Zeno argumenta, Aquiles nunca pode alcançar a tartaruga, não importa o quão rápido ela corra. Para ultrapassar a tartaruga, Aquiles deve correr do seu ponto de partida A ao ponto de partida original da tartaruga T 0 (ver Figura 1). Enquanto ele está fazendo isso, a tartaruga terá avançado para T1. Agora Aquiles deve chegar ao ponto T1. Enquanto Aquiles cobre essa nova distância, a tartaruga se move ainda mais para T 2.

Em seguida, ele deve cobrir a primeira metade da distância restante e assim por diante. Em outras palavras, ele deve primeiro correr metade, depois um quarto adicional, depois um oitavo adicional, etc., sempre permanecendo em algum lugar abaixo de seu objetivo. Conseqüentemente, Zeno conclui, ele nunca poderá alcançá-lo. Esta é a forma progressiva do paradoxo, e tem quase a mesma força que Aquiles e a Tartaruga, a única diferença é que na Dicotomia a meta é estacionária, enquanto em Aquiles e a Tartaruga ela se move, mas a uma velocidade muito menos do que Aquiles.

A forma regressiva da Dicotomia tenta mostrar, pior ainda, que o corredor nem consegue começar. Antes que ele possa completar a distância total, ele deve correr metade dela (veja a Figura 3). Mas antes que ele possa completar a primeira metade, ele deve correr a outra metade, ou seja, o primeiro tempo.

Antes que ele possa completar o primeiro quarto, ele deve correr o primeiro oitavo. E assim por diante. Para cobrir qualquer distância, não importa quão curta, Zeno conclui, o corredor já deve ter completado um número infinito de corridas. Uma vez que a sequência de corridas que ele já deve ter completado tem a forma de uma regressão,

Tal conclusão seria garantida se assumirmos que o tempo que leva para um C passar para o próximo B é o mesmo que o tempo que leva para passar para o próximo A, mas essa suposição parece patentemente falsa. Parece que Zenão não teve nenhuma apreciação da velocidade relativa, supondo que a velocidade de C em relação a B é a mesma que a velocidade de C em relação a A. Se essa fosse a única base para o paradoxo, não teríamos razão para nos interessar. , exceto talvez como uma curiosidade histórica. Acontece, entretanto, que há uma interpretação desse paradoxo que lhe dá uma importância séria.

Suponha, como as pessoas ocasionalmente fazem, que o espaço e o tempo são atomísticos em caráter, sendo compostos de átomos de espaço e átomos de tempo de tamanho diferente de zero, em vez de serem compostos de pontos e instantes cujo tamanho é zero. 5 Nessas circunstâncias, o movimento consistiria em ocupar diferentes localizações discretas em diferentes instantes discretos. Agora, se supormos que os A's não estão se movendo, mas os B's se movem para a direita na taxa de um lugar por instante, enquanto os C's se movem para a esquerda na mesma velocidade, alguns dos C's passam por alguns dos B's sem sempre passando por eles. C 1 começa à direita de B 2 e termina à esquerda de B 2, mas não há nenhuma instância em que se alinhe com B 2, portanto, não há nenhum momento em que eles se cruzem - isso nunca acontece .

Foi sugerido que os argumentos de Zenão se encaixam em um padrão geral. 6 Aquiles e a tartaruga e a dicotomia são projetados para refutar a doutrina de que o espaço e o tempo são contínuos, enquanto a Flecha e o Estádio têm como objetivo refutar a visão de que o espaço e o tempo têm uma estrutura atômica. O paradoxo da pluralidade, que será discutido mais tarde, também se encaixa no esquema total. Assim, tem-se argumentado, Zenão tenta cortar todas as vias possíveis para escapar da conclusão de que espaço, tempo e movimento não são reais, mas ilusórios.

É extremamente tentador supor, à primeira vista, que os três primeiros desses paradoxos pelo menos surgem de confusões compreensíveis da parte de Zenão sobre os conceitos do cálculo infinitesimal. Foi com esse espírito que o filósofo americano CS Peirce, escrevendo no início do século XX, disse de Aquiles que "esta pequena pegadinha ridícula não apresenta nenhuma dificuldade para uma mente adequadamente treinada em matemática e lógica." 7 Não há razão para pensar. ele considerava qualquer um dos outros paradoxos de Zenão com mais consideração.

Devemos começar observando que, embora o cálculo tenha sido desenvolvido no século XVII, seus fundamentos foram cercados por sérias dificuldades lógicas até o século XIX - quando Cauchy esclareceu conceitos fundamentais como funções, limites, convergência de sequências e séries, o derivada, e a integral e quando seus sucessores Dedekind, Weierstrass, et al., forneceram uma análise satisfatória do sistema de números reais e suas conexões com o cálculo. Estou firmemente convencido de que os vários paradoxos de Zenão constituíram dificuldades insuperáveis ​​para o cálculo em sua forma anterior ao século XIX, mas que as realizações do século XIX com relação aos fundamentos do cálculo fornecem meios que vão muito em direção à resolução dos paradoxos de Zenão. Vejamos que luz esses conceitos purificados podem lançar sobre os paradoxos do movimento. 8

A soma de uma série infinita. É difícil adivinhar o quão profundo ou sutil o raciocínio real de Zenão era os especialistas divergem nesse ponto. 9 Pode ser que a versão original de Aquiles e a tartaruga de Zenão envolvesse o seguinte tipo de argumento: uma vez que Aquiles deve percorrer um número infinito de distâncias, cada uma maior do que zero, para alcançar a tartaruga, ele nunca poderá fazê-lo , pois tal processo levaria uma quantidade infinita de tempo. Contra esta forma de argumento, Aristóteles apontou muito apropriadamente que o período de tempo durante o qual Aquiles persegue a tartaruga pode ser subdividido em infinitos intervalos diferentes de zero, de modo que Aquiles tem infinitamente muitos intervalos de tempo diferentes de zero para atravessar o infinito muitos intervalos de espaço diferentes de zero. Mas essa resposta dificilmente pode ser adequada, pois a questão ainda permanece: como podem infinitamente muitos intervalos positivos de tempo ou espaço somar algo menos do que o infinito? A resposta a essa pergunta não foi fornecida até que Cauchy oferecesse um tratamento satisfatório das séries convergentes na primeira metade do século XIX.

O primeiro conceito de que precisamos é o limite de uma sequência infinita. Uma sequência infinita é simplesmente um conjunto ordenado de termos que correspondem de um para um com os inteiros positivos & mdash cada termo da sequência sendo coordenado pelo subscrito n para um inteiro positivo. A sequência é considerada convergente se tiver um limite. Dizer que tal sequência tem um limite significa que existe algum número L (o limite) de modo que os termos da sequência tornam-se e permanecem arbitrariamente próximos desse valor à medida que percorremos os termos sucessivos. Mais precisamente, para qualquer número e maior que 0, há algum número inteiro positivo N tal que para cada termo S n com n & gt N, a diferença entre S n e L é menor que e. Na sequência

o limite é 0, uma vez que a diferença entre os termos da sequência e 0 é arbitrariamente pequena para valores suficientemente grandes de n. Se, por exemplo, escolhermos e = 1/10, quando chegarmos ao quarto termo S 4 = 1/16, a diferença entre esse termo e L (= 0) será menor que 1/10, e a diferença permanecerá menos de 1/10 para cada membro subsequente da sequência. Para e = 1/100, | S n - 0 | é menor que e para n = 7, e a diferença permanece menor que 1/100 para cada termo subsequente. Da mesma forma, e pode ser escolhido tão pequeno quanto quisermos, digamos 1 / 1.000.000 ou 1 / 1.000.000.000, desde que seja maior que zero, e haja algum ponto nesta sequência além do qual todos os termos restantes diferem de L por menos que e. É fácil mostrar, por um raciocínio completamente paralelo, que a sequência

converge para o valor limite de 1.

Depois de definido o conceito de limite de uma sequência, ele pode ser usado para definir a soma de uma série infinita. Uma série infinita é simplesmente uma sequência infinita de termos que estão relacionados entre si por adição, por exemplo,

Tal soma não é definida na aritmética elementar, pois a adição ordinária é restrita a somas de números finitos de termos, mas esta operação pode ser estendida muito naturalmente a uma série infinita. Para definir a soma de uma série infinita

formamos a sequência de somas parciais,

Cada uma dessas somas parciais é uma soma com um número finito de termos e envolve apenas a operação familiar de adição da aritmética elementar. Já definimos o limite de uma sequência infinita. Se a sequência de somas parciais,

tem um limite, dizemos que a série infinita

é convergente, e definimos sua soma como o limite da seqüência de somas parciais. Isso equivale a dizer, intuitivamente, que a soma de uma série infinita convergente é um número que pode ser aproximado arbitrariamente pela adição de um número suficiente (finito!) De termos. Dada essa definição da soma de uma série infinita, torna-se perfeitamente significativo dizer que os infinitos termos de uma série convergente têm uma soma finita.

Tanto a primeira forma da Dicotomia quanto os paradoxos de Aquiles nos apresentam séries infinitas a serem somadas. Na Dicotomia, por exemplo, é mostrado que o corredor, para percorrer uma pista de corrida de uma milha de extensão, deve percorrer a seguinte série de distâncias não sobrepostas:

Cada termo desta série é maior que zero. Formamos a sequência de somas parciais

Como observamos acima, essa sequência converge para o limite 1 que é a soma dessa série infinita convergente. Aquiles e a tartaruga são bastante análogos. Se Aquiles pode correr duas vezes mais rápido que a tartaruga, e a tartaruga tem uma vantagem inicial de metade do curso, a série infinita gerada por Aquiles correndo para cada ponto de partida subsequente da tartaruga é precisamente aquela que acabamos de somar. Na medida em que esses paradoxos levantaram problemas sobre a inteligibilidade de somar um número infinito de termos positivos, a teoria do século XIX de sequências e séries convergentes resolveu o problema.

Velocidade instantânea. Uma reação inicial ao paradoxo da flecha pode ser a suspeita de que ele depende de uma confusão entre os conceitos de movimento instantâneo e repouso instantâneo. Talvez Zenão tenha sentido que a única maneira de uma flecha estar em um determinado lugar era estar em descubra que a noção de velocidade instantânea diferente de zero era ilegítima. Se Zenão argumentou & mdash, não temos como saber se ele fez ou não & mdash que a cada momento de seu vôo a flecha está em algum lugar em sua trajetória e, portanto, a cada momento de seu vôo tem velocidade zero, então ele teria estava correto ao concluir que sua velocidade durante todo o curso de seu vôo seria zero, tornando a flecha imóvel. A matemática do século XIX mostrou, entretanto, que uma dessas suposições está incorreta. É inteiramente inteligível atribuir velocidades instantâneas diferentes de zero a objetos em movimento quando uma velocidade instantânea é entendida como uma derivada - a saber, a taxa de mudança de posição em relação ao tempo. Essa derivada é definida como o limite da velocidade média durante intervalos de tempo diferentes de zero decrescentes. Suponha, por exemplo, que a flecha voe a uma velocidade uniforme. Descobrimos que em um segundo ele cobre dez pés, em um décimo de segundo ele cobre um pé, em um centésimo de segundo ele cobre um décimo de um pé, e assim por diante. À medida que tomamos essas velocidades médias em intervalos de tempo finitos decrescentes que convergem para um instante t 1, as velocidades médias se aproximam de um limite de dez pés por segundo, e esta é, por definição, a velocidade instantânea da flecha em t 1. O mesmo pode ser dito para cada momento durante seu vôo, ele viaja todo o seu curso a dez pés por segundo, e sua velocidade a cada momento é de dez pés por segundo. Se Zenão sentiu que a única velocidade instantânea inteligível é zero, a matemática do século XIX provou que ele estava errado.

O cálculo infinitesimal foi, é claro, desenvolvido no século XVII e fazia uso de velocidades instantâneas. Essas foram, infelizmente, consideradas distâncias infinitesimais percorridas em tempos infinitesimais. Foi contra essas noções que Berkeley apontou sua crítica em The Analyst, 10 caracterizando infinitesimais como "fantasmas de quantidades recentemente desaparecidas". É possível que o paradoxo da flecha de Zenão também fosse dirigido contra tal concepção. Se tentarmos conceber o movimento finito em uma distância finita durante um tempo finito como sendo composto de um grande número de movimentos em distâncias infinitesimais durante tempos infinitesimais, é provável que haja uma enorme confusão.Quanto espaço uma flecha ocupa durante um tempo infinitesimal? É tão grande quanto a flecha ou um pouquinho maior? Se for maior, como a flecha vai de uma parte do espaço para outra? E se não, como a flecha pode estar se movendo? E quanto tempo dura um intervalo de tempo infinitesimal? Tem partes ou não? Se sim, como podemos caracterizar o movimento durante suas partes? Se não, como o movimento pode ocorrer durante esse tempo infinitesimal? Essas são perguntas que Zenão e seus companheiros gregos não podiam responder, e para as quais o cálculo moderno anterior a Cauchy também não tinha uma resposta satisfatória. É por isso que observei anteriormente que a matemática do século XIX & mdash, não do século XVII & mdash, continha uma chave importante, no conceito de derivada, para a resolução do paradoxo da flecha de Zenão.

Funções matemáticas. No entanto, ainda existe um problema subjacente sobre a velocidade instantânea. Vimos como tal conceito pode ser definido de forma inteligível, mas essa definição faz referência essencial ao que está acontecendo em instantes vizinhos. A velocidade instantânea é definida como o limite de uma sequência de velocidades médias em intervalos de tempo finitos. Sem alguma informação sobre o que acontece nesses intervalos, nada podemos dizer sobre a velocidade instantânea. Se soubermos simplesmente que o centro da flecha estava no ponto s 1 no tempo t 1, não podemos tirar nenhuma conclusão sobre sua velocidade naquele instante. A menos que saibamos o que a flecha estava fazendo em outros momentos próximos a t 1, não podemos distinguir o movimento instantâneo do repouso instantâneo. Foi justamente essa consideração, creio eu, que levou o filósofo Henri Bergson a dizer que o paradoxo da flecha de Zenão chama a atenção para a proposição absurda & quot. . . aquele movimento é feito de imobilidades. ”11 Bergson concluiu que o paradoxo Arrow prova que a caracterização matemática padrão do movimento deve estar errada. Devemos examinar esse argumento um pouco mais de perto.

Na física moderna, o movimento é tratado como uma relação funcional entre pontos de espaço e instantes de tempo. A fórmula para o movimento de um corpo em queda livre, por exemplo, é

Essas fórmulas tornam possível, empregando a função f, calcular a posição x dado um valor de tempo t. Mas para compreender totalmente esse tratamento do movimento, é necessário ter uma concepção clara das funções matemáticas. Antes do século XIX, não havia tratamento satisfatório para as funções, as funções eram amplamente consideradas como coisas que se moviam ou fluiam. Tal concepção não ajuda em nada na tentativa de resolver os paradoxos de Zenão. Pelo contrário, os paradoxos do movimento de Zenão constituem graves dificuldades para qualquer noção de funções matemáticas. A situação melhorou dramaticamente quando Cauchy definiu uma função simplesmente como um par de números de um conjunto com números de outro conjunto. Os números do primeiro conjunto são os valores do argumento, às vezes chamados de variável independente, os números do segundo conjunto (que não precisam ser um conjunto diferente) são os valores da função, às vezes chamada de variável dependente. Por exemplo, a função F (x) = y = x 2 emparelha números reais com números reais não negativos. Com o número 2 associa o número 4, com o número - 1 associa o número 1, com o número 1/2 associa o número 1/4, e assim por diante. Agora, de acordo com Cauchy, a função matemática F simplesmente é o conjunto de todos esses pares de números, a saber,

Da mesma forma, a função f usada para descrever o movimento de um corpo em queda nada mais é do que um emparelhamento dos valores da variável de posição x com os valores da variável de tempo t. Em t = 0, x = 0 em t = 1, x = 16 em t = 2, x = 64. É assim que dizemos, em linguagem matemática, que um corpo partindo do repouso nas proximidades da superfície da Terra e a queda percorre livremente 16 pés no primeiro segundo, 48 pés no próximo segundo e assim por diante.

Vamos agora aplicar esta concepção de uma função matemática ao movimento de uma flecha para manter a aritmética simples, deixá-la viajar a uma velocidade uniforme de dez pés por segundo em linha reta, começando de x = 0 em t = 0. Em em qualquer momento t subsequente, sua posição x = 10 t. Consequentemente, parte do que queremos dizer ao dizer que a flecha se moveu do ponto A (x = 10) para o ponto B (x = 30) é simplesmente que ela estava em A quando t = 1, e estava em B quando t = 3 . Quando perguntamos como ele foi de A para B, a resposta é que ocupou cada um dos pontos intermediários x (10 & lt x & lt 30) em tempos adequados t (1 & lt t & lt 3) & mdash ou seja, satisfazendo a equação x = 10 t. Por exemplo, quando t = 2, a seta estava no ponto C (x = 20). Quando perguntamos como ele passou de A para C, a resposta é novamente: ocupando as posições intermediárias em momentos adequados. Observe que esta resposta não é: passando pelos pontos intermediários a dez pés por segundo. O requisito é que a flecha esteja no ponto apropriado no momento apropriado & mdash nada é dito sobre a velocidade instantânea da flecha conforme ela ocupa cada um desses pontos. Esta abordagem foi apropriadamente apelidada de & quotthe at-at teoria do movimento. & Quot Uma vez que o movimento foi descrito por uma função matemática que associa posições com tempos, é então possível diferenciar a função e encontrar sua derivada, que por sua vez fornece o instantâneo velocidades para cada momento da viagem. Mas o movimento em si é descrito pelo emparelhamento de posições com tempos isolados. Assim, Russell foi levado a observar, & quotWeierstrass, ao banir estritamente todos os infinitesimais, finalmente mostrou que vivemos em um mundo imutável, e que a flecha, em cada momento de seu vôo, está verdadeiramente em repouso. O único ponto em que Zenão provavelmente errou foi ao inferir (se é que o fez) que, porque não há mudança, portanto o mundo deve estar no mesmo estado em um momento e em outro. Esta conseqüência não segue de forma alguma. . . . & quot 12

O que Russell está dizendo é basicamente correto, embora ele talvez o faça de forma exagerada. Não é que a flecha esteja "verdadeiramente em repouso" durante seu voo, mas o movimento consiste em estar em um determinado ponto em um determinado momento e, em relação a cada posição individual em cada momento específico, não há distinção entre estar em repouso no ponto e estar em movimento no ponto. A distinção entre repouso e movimento surge apenas quando consideramos as posições do corpo em vários momentos diferentes. Isso significa que, além de estar nos lugares apropriados nos momentos apropriados, não há nenhum processo adicional de passar de um para o outro. Nesse sentido, não há nenhum absurdo em supor que o movimento seja composto de imobilidades. 13

Embora essa maneira de ver o movimento seja, creio eu, logicamente impecável, pode ser psicologicamente difícil de aceitar. Talvez o problema possa ser melhor visto em conexão com a forma regressiva do paradoxo da dicotomia. Aqui temos Aquiles no ponto de partida, no exato momento em que a corrida começa. O que, perguntamos, ele deve fazer primeiro? Bem, alguém poderia dizer, primeiro ele tem que correr para o ponto de partida da tartaruga. Mas essa resposta não pode ser correta, pois antes que ele possa fazer isso, ele deve correr até um ponto a meio caminho entre o seu ponto de partida e o da tartaruga. Antes que ele possa fazer isso, no entanto, ele deve chegar a um ponto a meio do caminho. E assim por diante. Estamos na regressão infinita. Parece que não há uma primeira coisa para ele fazer seja o que for que supomos ser sua primeira tarefa, há outra que deve ser concluída antes que ele possa concluí-la. Em outras palavras, não há primeiro intervalo para ele cruzar. Esta conclusão é verdadeira. Mas isso não quer dizer que Aquiles não possa começar.

Considere a flecha mais uma vez. Suponha que ele esteja no ponto C no meio de sua trajetória de vôo. Quando perguntamos como ele vai de C para B, podemos estar nos perguntando, consciente ou inconscientemente, para onde ele vai a seguir e como vai chegar ao próximo ponto. Mas essa pergunta é certamente ilegítima, pois pensamos no caminho da flecha como contínuo. Como os pontos em um continuum são densamente ordenados, não há próximo ponto. Entre quaisquer dois pontos distintos, há outro (e, portanto, infinitamente muitos). A questão sobre Aquiles, que acabamos de considerar em conexão com a dicotomia regressiva, pode surgir da mesma fonte psicológica. Podemos sentir que seu primeiro ato deve ser chegar ao ponto próximo ao seu ponto de partida, mas tal ponto não existe. De acordo com a teoria do movimento at-at, esse fato não é obstáculo ao movimento. Tanto o espaço quanto o tempo são considerados contínuos e, portanto, densamente ordenados. É verdade que não há próximo ponto de espaço para Aquiles ocupar, mas também não há próximo momento de tempo em que ele deva fazê-lo. Para cada momento de tempo existe um ponto correspondente, e para cada ponto espacial existe um momento correspondente, nada mais é necessário.

A compulsão psicológica para exigir um próximo ponto ou um próximo momento pode surgir do fato de que não experimentamos o tempo como um continuum de instantes sem duração, mas sim, como uma série discreta de presentes especiosos, cada um dos quais dura talvez alguns milissegundos . À parte o antropomorfismo, entretanto, não há razão para tentar impor a estrutura discreta do tempo psicológico à noção matemática do tempo como um continuum, uma vez que a concepção contínua provou ser uma ferramenta extremamente fecunda para a descrição do movimento físico. 14

Limites de funções. Há uma questão final, decorrente dos paradoxos do movimento, que foi significativamente esclarecida pelos fundamentos da matemática do século XIX. Durante os dois séculos anteriores, enquanto o cálculo flutuava em vagas intuições espaciais e temporais, houve considerável controvérsia sobre a capacidade de uma função atingir seu limite. Algumas funções pareciam funcionar, outras não. Era tudo muito desconcertante. Esse quebra-cabeça está diretamente relacionado aos paradoxos de Aquiles e a tartaruga de Zenão e à forma progressiva da dicotomia. Aquiles parece capaz de perseguir a tartaruga até o ponto de ultrapassá-la, mas será que ele pode chegar a esse limite? Da mesma forma, sozinho na pista, Aquiles parece capaz de percorrer as várias partes fracionárias do percurso até a linha de chegada, mas será que ele pode atingir esse limite? Mais uma vez, as definições de funções e limites fornecidas no século XIX vêm em grande ajuda. Um limite é simplesmente um número. Uma função é simplesmente um par de dois conjuntos de números. Se o limite for um dos números no conjunto de valores da função, a função assume o valor limite para algum valor de sua variável de argumento. Caso contrário, a função nunca assume o valor limite. Nenhuma outra questão sobre a capacidade de uma função de & quotalcançar & quot seu limite pode surgir apropriadamente.

Não pode haver dúvida séria de que os mencionados desenvolvimentos matemáticos do século XIX contribuíram muito para resolver os problemas que Zenão levantou sobre espaço, tempo e movimento. A única questão é se ainda existem problemas associados aos paradoxos do movimento. Começando por volta de 1950, vários escritores matematicamente sofisticados, que estavam totalmente cientes das considerações anteriores, sentiram que um problema importante ainda permanecia. Um dos mais articulados foi Max Black, que argumentou que a análise da tentativa de Aquiles de capturar a tartaruga em uma sequência infinita de corridas distintas apresenta uma grave dificuldade lógica. 15 O problema, especificamente, é se faz sentido supor que alguém completou uma sequência infinita de corridas. Black coloca a questão de forma vigorosa e sucinta quando diz que a operação matemática de somar uma série infinita nos dirá onde e quando Aquiles pegará a tartaruga se ele conseguir pegá-la, mas isso é um grande & quotif. & Quot. Black argumenta, uma dificuldade fundamental em supor que ele pode pegar a tartaruga, pois, ele mantém, & quotthe expressão, "série infinita de atos", é autocontraditória. "

O argumento de Black é baseado na consideração de várias máquinas imaginárias que transferem bolas de uma bandeja para outra. 17 Suponha, por exemplo, que existam duas máquinas, Hal e Pal, cada uma equipada com uma bandeja na frente. Quando uma bola é colocada na bandeja de Hal, ele a move para a bandeja de Pal, quando uma bola é colocada na bandeja de Pal, ele a move para a bandeja de Hal. Eles têm uma espécie de rivalidade amigável para se livrar das bolas. Suponha, ainda, que eles sejam programados de tal forma que cada transferência sucessiva da bola leve um tempo mais curto, em particular, quando a bola é colocada pela primeira vez em qualquer bandeja, a máquina leva 1/2 minuto para movê-la para a outra bandeja , da próxima vez levará 1/4 minuto, da próxima vez 1/8 minuto e assim por diante. (Na verdade, é mais como uma compulsão frenética para se livrar da bola que carregam a máxima & quotÉ mais abençoado dar do que receber & quot a um extremo ridículo.) Começamos colocando uma bola na bandeja de Hal, e ele pega 1 / 2 minutos para movê-lo para a bandeja de Pal. Pal então leva 1/2 minuto para colocá-lo de volta na bandeja de Hal, tempo durante o qual Hal está descansando. Em seguida, Hal leva 1/4 de minuto para transferi-lo para a bandeja de Pal, enquanto Pal está descansando no próximo 1/4 minuto. Pal o devolve para a bandeja de Hal enquanto Hal descansa. À medida que o processo continua, o ritmo aumenta até vermos apenas um borrão, mas ao final de dois minutos tudo acaba e as duas máquinas param. A bola foi transferida infinitamente muitas vezes, na verdade, cada máquina fez infinitas transferências (e desfrutou de períodos infinitos de descanso) durante os dois minutos.

Agora, devemos perguntar, onde está a bola? Está na bandeja de Hal? Não, não pode estar na bandeja de Hal, porque toda vez que foi colocado, Hal o removeu. Está na bandeja do Pal? Não, porque toda vez que foi colocado lá, Pal o removeu. Black conclui que a suposição de que essa sequência infinita de tarefas foi concluída leva a um absurdo.

Outra máquina hipotética de infinito & mdash talvez a mais simples & mdash é a lâmpada Thomson. 18 Esta lâmpada é de uma variedade comum e possui um único botão de pressão em sua base. Se a lâmpada estiver desligada e você pressionar o interruptor, a lâmpada acenderá se a lâmpada estiver ligada e você pressionar o interruptor, a lâmpada será desligada. Agora, suponha que alguém aperte a chave um número infinito de vezes ao completar o primeiro impulso em 1/2 minuto, o segundo em 1/4 minuto, o terceiro em 1/8 minuto, da mesma forma que o corredor na Dicotomia é suposto cobrir a sequência infinita de distâncias em tempos decrescentes. Considere o estado final da lâmpada após a sequência infinita de mudanças. A lâmpada está acesa ou apagada? Não pode estar ligado, pois cada vez que estava ligado, estava desligado. Não pode estar desligado, pois cada vez que estava desligado, estava ligado.

A velocidade de comutação exigida está, é claro, além da capacidade humana, mas estamos preocupados com possibilidades lógicas, não com limitações "médicas". Além disso, existem dificuldades mecânicas inerentes à velocidade exigida de Hal e Pal, bem como da lâmpada de Thomson, mas não estamos preocupados com problemas de engenharia. Além disso, não adianta tentar escapar da pergunta dizendo que a lâmpada iria queimar ou o interruptor iria se desgastar. Mesmo se pudéssemos cobrir tais eventualidades com avanços tecnológicos, ainda resta um problema lógico em supor que uma sequência infinita de comutação (ou transferências de bola) foi alcançada. A lâmpada deve estar ligada e desligada e também não ligada nem desligada. Esta é uma situação totalmente insatisfatória.

Black e Thomson não afirmam que Aquiles não pode ultrapassar a tartaruga e terminar a corrida. Todos nós sabemos que ele pode, e argumentar o contrário seria tolice. Black está argumentando que é incorreto descrever qualquer um dos feitos como "completar uma sequência infinita de tarefas", e Thomson traça uma moral semelhante. Eles estão sugerindo que os paradoxos surgem por causa de uma descrição incorreta da situação.

Esses autores enfocaram um ponto fundamental. Devemos começar percebendo que nenhuma definição, por si só, pode fornecer a resposta para um problema físico. Considere o caso mais simples possível, a definição familiar de adição aritmética de dois termos. Descobrimos, por experiência, que se aplica em algumas situações e não em outras. Se tivermos m maçãs em uma cesta e n laranjas em outra, teremos m + n peças de fruta se as colocarmos juntas no mesmo recipiente. (Apesar do folclore popular, obviamente podemos & quotadicionar & quot as maçãs e laranjas.) No entanto, como é bem sabido, se tivermos m quartos de álcool em um balde e n quartos de água em outro, não teremos m + n litros de solução se os colocarmos juntos no mesmo recipiente. A situação é simplesmente outro exemplo da relação entre matemática pura e aplicada discutida no capítulo anterior. Podemos definir várias operações matemáticas dentro da matemática pura, mas isso não é garantia de sua aplicabilidade ao mundo físico. Se tais operações devem ser aplicadas na descrição de fatos físicos, devemos determinar empiricamente se uma dada operação física é uma interpretação admissível de uma dada operação matemática. Acabamos de ver que a combinação de maçãs e laranjas em cestas de frutas é uma contrapartida adequada da adição aritmética, enquanto a mistura de álcool e água não. Um exemplo mais significativo ocorre na teoria da relatividade especial de Einstein, onde a composição das velocidades não é vista como uma contrapartida física da adição vetorial padrão, como veremos no próximo capítulo.

O mesmo tipo de questão surge quando consideramos a aplicação da definição (agora padrão) da soma de uma série infinita. Uma dada situação física corresponde a uma operação matemática particular, neste caso, a operação de somar uma série infinita? Black conclui que a corrida de uma corrida não corresponde à soma de uma série infinita, pois a conclusão de uma sequência infinita de tarefas é uma impossibilidade lógica. Assim, a execução de uma corrida não pode ser corretamente descrita como a conclusão de uma sequência infinita de tarefas. Essa conclusão tem implicações de longo alcance para a ciência moderna. Se estiver certa, a descrição científica usual da pista de corrida como um contínuo matemático infinitamente divisível está fundamentalmente incorreta. Pode ser uma idealização útil para alguns propósitos, mas os paradoxos de Zenão mostram que a descrição não pode ser literalmente correta. A consequência inescapável dessa visão parece ser que a física matemática precisa de uma base matemática radicalmente diferente para lidar adequadamente com a realidade física.

Antes de aceitar qualquer resultado, devemos examinar as máquinas do infinito mais de perto. Eles envolvem dificuldades, mas Black e Thomson não os identificaram com precisão. Considere a lâmpada de Thomson. (As mesmas considerações se aplicam às máquinas infinitas de Black ou a qualquer uma das outras.) Thomson descreveu um processo de comutação física que ocupa um minuto.Dado que começamos em t 0 com a lâmpada desligada, e dado que ocorre uma mudança em t 1 = 1/2, t 2 = 3/4, e assim por diante, temos uma descrição que diz, para qualquer momento anterior ao tempo T = 1 (ou seja, um minuto após t 0), estando a lâmpada acesa ou apagada. Para T = 1 e nas vezes subsequentes, não nos diz nada. Para qualquer momento anterior a T em que a lâmpada esteja acesa, há um momento subsequente antes de T em que a lâmpada esteja desligada e inversamente. Mas isso não significa que a lâmpada esteja acesa e apagada em T, podemos fazer qualquer suposição que quisermos sem conflito lógico. Temos, de fato, uma função definida em um intervalo semiaberto 0 t & lt 1, e somos solicitados a inferir seu valor em t = 1. Obviamente, não há uma resposta definida para essa questão. Se a função se aproximou de um limite em t = 1, seria natural estender a definição da função tornando esse limite o valor da função no ponto final. Mas a & quot função de comutação & quot que descreve a lâmpada de Thomson não tem tal limite, portanto, qualquer extensão que escolhermos pareceria arbitrária. 19 O mesmo vale para a posição da bola que Hal e Pal passam para frente e para trás. Na Dicotomia e nos paradoxos de Aquiles, ao contrário, a "função de movimento" do corredor se aproxima de um limite, e esse limite fornece uma resposta adequadamente atraente à pergunta sobre a localização do corredor na conclusão de sua sequência de corridas. 20

Não se pode escapar da sensação, no entanto, de que existem diferenças significativas e ainda não mencionadas entre a sequência infinita de corridas que Aquiles deve fazer para pegar a tartaruga e a sequência infinita de transferências de bola executadas pelas máquinas das Pretas (ou a sequência infinita de toques necessários pela lâmpada Thomson). E há pelo menos uma diferença absolutamente crucial. Considere o movimento da bola conforme ela é passada para frente e para trás entre Hal e Pal. Digamos que as bandejas estejam separadas por sete centímetros. Em seguida, a bola é feita para percorrer essa distância fixa positiva infinitamente muitas vezes. Para fazer isso, ele deve percorrer uma distância infinita em um período de tempo finito. Agora, ninguém está interessado em mostrar que Aquiles pode correr uma distância infinita em uma quantidade finita de tempo & mdash ele é rápido, mas não tão rápido. O problema é mostrar como ele pode percorrer uma distância finita que pode ser subdividida em um número infinito de subintervalos.

Aquiles pode correr se conseguir atingir uma velocidade positiva fixa - a bola que se desloca para frente e para trás na distância fixa entre Hal e Pal deve atingir velocidades que aumentam sem qualquer limite. Essa dificuldade pode, é claro, ser reparada. Suponha que estipulemos que as distâncias percorridas pela bola, como as distâncias que Aquiles deve percorrer, diminuem à medida que diminui o tempo disponível para cada trânsito. Isso pode ser feito fazendo com que as bandejas de Hal e Pal se movam cada vez mais perto durante o intervalo de dois minutos, de modo que coincidam no meio no final da sequência infinita de transferências. Mas agora não há nenhum problema com a posição da bola no final & mdash ela está bem no meio em ambas as bandejas! Considerações semelhantes se aplicam à lâmpada Thomson. Para realizar uma comutação, o botão deve ser movido uma certa distância finita, digamos 1/8 de polegada. Se isso for feito infinitamente muitas vezes, o dedo que pressiona o botão e o próprio botão deve percorrer uma distância total infinita. Uma condição necessária, embora não suficiente, para a convergência de uma série infinita é que os termos convergem para zero. Para superar esta dificuldade, o interruptor teria que ser modificado de alguma forma adequada, caso em que uma resposta pode ser dada à pergunta sobre o estado final aceso-apagado da lâmpada. 21

Na literatura sobre os paradoxos do movimento de Zenão, especialmente no que diz respeito às máquinas do infinito, muita ênfase foi colocada na questão de saber se Aquiles pode ser considerado capaz de realizar uma série infinita de tarefas distintas. Quando dividimos a pista de corrida em uma série infinita de subintervalos positivos, muitas vezes é afirmado, estamos quebrando artificialmente o que é devidamente considerado um movimento em infinitas partes que & mdash então a alegação vai & mdash não podem ser consideradas como tarefas individuais. Para esclarecer essa questão, Adolf Gr nbaum deu a Aquiles um gêmeo fictício & mdash um doppelg & aumlnger & mdash que corre uma pista de corrida paralela, começando e terminando ao mesmo tempo que o Aquiles original. 22

O novo Aquiles é um corredor espasmódico. Ele começa e corre a primeira metade do percurso duas vezes mais rápido que o seu homólogo e, em seguida, para e espera por ele. Quando o mais lento atinge o ponto médio, o intruso corre duas vezes mais rápido até a marca de três quartos e novamente espera que o mais lento o alcance. Ele repete o mesmo desempenho para cada uma das séries infinitas de subintervalos restantes. Grüumlnbaum chama o Aquiles original, que funciona suavemente do início ao fim, o corredor legato de seu novo gêmeo que começa e para é chamado de corredor staccato. Os fatos importantes sobre o corredor em staccato são: (1) Ele chega ao final do percurso ao mesmo tempo que o corredor em legato, se o Aquiles original pode executar o percurso, o mesmo ocorre com o corredor em staccato. (2) O corredor em staccato leva um descanso de duração finita (diferente de zero) entre cada uma de sua sucessão infinita de corridas, portanto, não pode haver dúvida de que ele executa uma sequência infinita de corridas distintas. (3) O corredor staccato (enquanto ele está correndo) corre a uma velocidade fixa que é

simplesmente o dobro de seu companheiro legato, portanto, ele não está envolvido nos tipos de velocidades sempre crescentes que eram exigidas nos dispositivos Black e Thomson não modificados.

Há apenas uma característica final do staccato de Aquiles que pode ser uma fonte de preocupação. Embora ele não seja obrigado a atingir velocidades crescentes indefinidamente, ele é obrigado a fazer muitas paradas e partidas repentinas, mudando instantaneamente da velocidade zero para a velocidade 2 v (onde v é a velocidade do corredor legato) e vice-versa. Isso claramente envolve acelerações infinitas & mdash e infinitamente muitas delas. Pode-se duvidar razoavelmente da possibilidade desse grau de espasmos. Acontece, entretanto, que mesmo a descontinuidade na velocidade não é uma característica necessária do corredor em staccato. O físico Richard Friedberg mostrou, por meio de uma função matemática complicada, como descrever o movimento de um corredor staccato mais sofisticado (e menos espasmódico!) Que cobre cada uma das infinitas sequências de subintervalos partindo do repouso, acelerando continuamente até um velocidade máxima finita, desacelerando suavemente até o repouso e permanecendo em repouso pelo intervalo necessário entre as corridas. Este corredor em staccato executa um movimento em conformidade com uma função contínua, sua velocidade (primeira derivada) e aceleração (segunda derivada) são contínuas, assim como todas as derivadas de tempo superiores também. Além disso, as velocidades de pico que ocorrem nas corridas sucessivamente mais curtas também diminuem, convergindo para zero à medida que o comprimento da corrida também converge para zero. 23 É difícil ver que tipo de objeção lógica (ou conceitual) pode ser levantada contra esse tipo de movimento. Mas se a série de tarefas do sofisticado corredor em staccato é viável, o mesmo ocorre com os movimentos de qualquer uma das máquinas infinitas apropriadamente modificadas. O movimento da bola passada entre Hal e Pal, por exemplo, poderia ser descrito por uma combinação de duas dessas funções & mdash a primeira descreveria uma sequência de movimentos da esquerda para a direita com períodos intercalados de descanso e a segunda consistiria em uma sequência semelhante , mas com os movimentos da direita para a esquerda. O segundo conjunto de moções seria executado durante os períodos de descanso concedidos pela primeira função, e o primeiro conjunto de moções ocorreria durante os períodos de descanso concedidos pela segunda função. Portanto, parece que um par de máquinas de infinito Hal-Pal adequadamente projetado é logicamente possível se o legato Achilles & mdash aquele que todos nós concedemos desde o início & mdash puder completar sua corrida comum.

O problema zenonês mais recente com o qual estou familiarizado é interessante em parte porque suas características zenonianas não são imediatamente evidentes. Foi publicado originalmente na Mathematics Magazine (janeiro de 1971) como um quebra-cabeça matemático simples, mas foi captado por Martin Gardner, que reconheceu suas afinidades com os paradoxos do movimento de Zenão. Ele reafirmou em sua coluna & quotMathematical Games & quot na Scientific American da seguinte forma: * [declaração de Gardner e minha resposta a ela é de & quotMathematical Games & quot por Martin Gardner, dezembro de 1971. Copyright & copy 1971 por Scientific American, Inc. Todos os direitos reservados.]

Um menino, uma menina e um cachorro estão no mesmo lugar em uma estrada reta. O menino e a menina caminham para a frente - o menino a quatro milhas por hora, a menina a cinco milhas por hora. À medida que avançam, o cão trota para a frente e para trás entre eles a dezesseis quilômetros por hora. Suponha que cada reversão de direções seja instantânea. Uma hora depois, onde está o cachorro e para que lado está voltado?

Resposta: O cachorro pode estar em qualquer ponto entre o menino e a menina, de frente para os dois lados. Prova: ao final de uma hora, coloque o cachorro em qualquer lugar entre o menino e a menina, voltado para as duas direções. Inverta o tempo de todos os movimentos e os três retornarão no mesmo instante ao ponto inicial. 24

Aqui está a resposta que enviei em resposta a uma carta de Gardner:

Quase todo mundo já ouviu falar do velho castigo sobre o pássaro que voa para a frente e para trás entre duas locomotivas que se aproximam. Digamos que eles estejam a 30 milhas de distância, que cada um esteja viajando a 15 mph e que o pássaro voe para frente e para trás a 60 mph conforme eles se aproximam. A que distância o pássaro voa antes que os dois motores se encontrem? Ou, para obter uma perspectiva histórica, suponha que Aquiles esteja perseguindo a tartaruga e uma mosca de Tróia zumba de um lado para o outro entre eles. Dado um conjunto de velocidades e distâncias, e nossa garantia dos últimos dias de que Aquiles alcançará a tartaruga em um determinado tempo e lugar, podemos facilmente descobrir a distância que a mosca irá percorrer. Até agora, não temos novos paradoxos Zenonianos. Mas, como Martin Gardner apontou em uma carta recente, um problema devido a A.K. Austin da Sheffield University [afirmado acima] traz à tona um novo aspecto do velho quebra-cabeça, na verdade, é apenas a inversão do tempo do problema do pássaro e do trem.

Para reter a perspectiva histórica, vamos voltar a Aquiles e à tartaruga. Apesar da desvantagem inicial tradicionalmente imposta a Aquiles, ele apanha a tartaruga e, para reparar a ofensa que há muito tempo guarda contra Zenão, continua a correr, aumentando de forma constante a sua vantagem sobre a tartaruga afortunada. (Eu o considero afortunado nesta versão do conto & mdash, pelo menos em comparação com o relato de Lewis Carroll, & quotWhat the Tortoise Said to Achilles & quot, em que Aquiles para e senta-se nas costas da tartaruga, para grande desconforto deste). Mas considere o Trojan fly, que tenta continuar voando para frente e para trás entre os dois corredores, mesmo depois que o mais rápido ultrapassa o mais lento. Quando Aquiles e a tartaruga estão equilibrados, a mosca se vê exatamente na posição do cachorro do Sr. Austin.

Para ser mais preciso, digamos que a tartaruga viaja a 1 mph, Aquiles a 5 mph (ele corre desde 500 a.C., portanto, não é tão veloz quanto antes) e a mosca a 10 mph. Todos eles chegam ao ponto de encontro comum sem dificuldade. Mas, parafraseando o comentário do Sr. Gardner, como eles podem continuar? Se os três começarem simultaneamente do ponto comum, a mosca imediatamente avança à frente de ambos ou se move para trás de ambos & mdash, cada um dos quais viola a condição de que a mosca está sempre no intervalo entre os dois (pontos finais incluídos). Pois, ao que parece, poderíamos argumentar [aqui tento elaborar o ponto de Gardner], em qualquer intervalo de tempo e & gt 0, por menor que seja, a tartaruga percorre uma distância de 1 e, Aquiles percorre uma distância de 5 e, e a mosca vai 10 e. Portanto, em um tempo arbitrariamente pequeno após o encontro, a mosca sai do intervalo entre a tartaruga e Aquiles. Mesmo se tivermos mostrado como Aquiles pode realizar a & quotsupertarefa & quot de pegar a tartaruga, e como a tartaruga pode realizar a supertarefa de iniciar seu movimento, parece que a mosca agora enfrenta a nova supertarefa de continuar a voar para frente e para trás entre Aquiles e o tartaruga após o último ter sido ultrapassado. Em outras palavras, a mosca agora enfrenta a supertarefa de não passar por Aquiles! 25

A aparente dificuldade me parece análoga ao problema apontado por Zenão em seu paradoxo da dicotomia regressiva. Não há dúvida de que a mosca se distanciará tanto de Aquiles quanto da tartaruga se ela voar firmemente em uma direção sem se virar, mesmo no período arbitrariamente pequeno de duração e. Este fato não torna o movimento da mosca impossível, porém, por menor que seja o intervalo de tempo que escolhermos, a mosca já inverteu sua direção durante esse intervalo (infinitas vezes, então ela está realmente muito tonta). Isso significa simplesmente que não existe um intervalo inicial diferente de zero durante o qual ele voa em linha reta sem inverter sua direção, portanto, não se segue que ele abandone imediatamente o intervalo entre a tartaruga e Aquiles. Na verdade, podemos ver precisamente como suas rápidas reversões permitem que ele permaneça entre Aquiles e a tartaruga após o encontro, examinando a inversão de tempo desse movimento em sua abordagem ao ponto de encontro do lado anterior. O fato de a mosca não percorrer uma trajetória reta inicial diferente de zero é análogo ao fato de que a tartaruga, ao deixar seu ponto de partida, não percorre nenhum segmento inicial diferente de zero de sua trajetória. A falta de um segmento inicial adequado não é um obstáculo sério para nenhum deles.

A literatura recente sobre os paradoxos de Zenão contém uma boa quantidade de discussão sobre as chamadas "máquinas do infinito". Estes são dispositivos idealizados que supostamente executam uma sequência infinita de tarefas que foram introduzidas na discussão por causa das dificuldades que parecem encontrar para completar o sequência infinita de tarefas (a & quotsupertask & quot). A resolução dos problemas que cercam as máquinas do infinito é fortemente análoga à resolução da forma progressiva do paradoxo da dicotomia de Zenão. O movimento do cavalo de Tróia até e incluindo o momento em que Aquiles ultrapassa a tartaruga envolve exatamente as mesmas considerações. Até agora, não estou ciente de que alguém tenha introduzido explicitamente o tipo de máquina do infinito que seria análoga à forma regressiva do paradoxo da dicotomia de Zenão - uma máquina cuja dificuldade está em iniciar sua série de tarefas, em contraste com o infinito usual máquina cuja dificuldade está em terminar sua série de tarefas. Acontece que nossa mosca de Tróia, em seu movimento do ponto de encontro de Aquiles e a tartaruga até a parte subsequente da corrida em que Aquiles está à frente da tartaruga, constitui exatamente essa máquina infinita (como o cachorro de Austin) & mdash uma máquina regressiva do infinito, poderíamos dizer. Assim como o tratamento da máquina padrão do infinito se assemelha de perto à resolução do paradoxo da dicotomia progressiva, o mesmo ocorre com o tratamento da mosca de Tróia, na última parte de seu voo, que se assemelha de perto à resolução do paradoxo da dicotomia regressiva.

Um outro problema sobre o movimento da mosca merece atenção explícita, a saber, qual é o estado do movimento da mosca no exato instante do encontro? Sua posição é bem determinada, pois coincide com a de Aquiles e da tartaruga. A função matemática que descreve a posição da mosca é uma função contínua do tempo que passa pelo ponto de encontro no instante apropriado. A função de velocidade da mosca, por outro lado, é descontínua. Seu valor é +10 quando a mosca está se movendo para frente, -10 quando ela está se movendo para trás e (podemos também dizer) zero quando a mosca encontra Aquiles ou a tartaruga (ou ambos). Assim, podemos atribuir apropriadamente o valor zero à velocidade da mosca no instante em que os três se encontram. Obviamente, a função velocidade tem infinitas descontinuidades em cada lado na vizinhança do ponto de encontro comum. Cada descontinuidade finita na função velocidade corresponde a uma descontinuidade infinita na aceleração, pois requer uma aceleração infinita para que a velocidade da mosca mude instantaneamente de +10 para -10 e vice-versa. Além disso, como mostram o problema de Austin e sua solução, o estado de movimento da mosca (ou do cachorro) no ponto de encontro não determina exclusivamente como o movimento deve continuar além desse ponto. Em outras palavras, embora tenhamos mostrado como (em algum sentido de & quotpossível & quot) é possível para a mosca continuar seu movimento através do ponto de encontro e além, o movimento além do ponto de encontro pode ser executado de infinitas maneiras distintas, todas consistentes com as condições impostas pelo problema. Dizer que existem maneiras alternativas de realizar uma tarefa não prova, entretanto, que a tarefa seja impossível de ser executada.

Nas formulações habituais, os paradoxos de Aquiles e da dicotomia de Zenão envolvem um número finito de descontinuidades do tipo que acabamos de mencionar & mdash Aquiles e a tartaruga são assumidos para acelerar instantaneamente em seus pontos de partida para suas respectivas velocidades médias e desacelerar instantaneamente para zero no final . Da mesma forma, a maioria das "máquinas do infinito" (por exemplo, as máquinas de transferência de Black, a lâmpada Thomson) envolvem um número infinito de tais descontinuidades agrupadas em torno de algum momento de término. Usando uma função matemática fornecida por Richard Friedberg, Adolf Gr & uumlnbaum mostrou como tais movimentos podem ser modificados de modo a eliminar todas as descontinuidades e ainda alcançar o resultado total desejado. Parece razoável conjeturar que uma abordagem semelhante poderia ser aplicada ao problema da mosca de Tróia (ou menino-menina-cachorro de Austin) a fim de obter uma descrição totalmente inquestionável do movimento. 26

Peirce ao contrário, não obstante, o fato de que os paradoxos de Zenão apresentam dificuldades para mentes bem treinadas em matemática é atestado pelo grande número de cartas recebidas pela Mathematics Magazine e por Martin Gardner de leitores com conhecimento matemático afirmando que de uma forma ou de outra a afirmação do quebra-cabeça menino-menina-cachorro de Austin contém uma inconsistência.

Embora Zenão seja mais conhecido por seus quatro paradoxos do movimento, ele propôs uma série de outros paradoxos, incluindo um que é ainda mais fundamental. Embora seja geralmente conhecido como um paradoxo da pluralidade, pode plausivelmente ser interpretado como um paradoxo geométrico que questiona a própria estrutura da linha geométrica (ou qualquer outro continuum). Zenão apresenta o argumento em termos de coisas físicas e suas partes, mas as considerações que ele traz parecem depender apenas do fato de que essas coisas são estendidas - isto é, ocupam algum espaço finito, diferente de zero.Embora ele fale sobre a possibilidade de subdividir as partes, ele não está falando sobre a possibilidade de cortar um objeto físico em partes físicas separadas que podem ser afastadas uma da outra. Ele não está lidando com a hipótese física da constituição atômica da matéria. Em vez disso, seus argumentos dependem da possibilidade de fazer divisões conceituais ou matemáticas, por exemplo, mesmo se houver átomos físicos (ou partículas subatômicas) que não podem ser divididos em dois, se ocuparem uma região extensa do espaço & mdash mesmo que seja tão pequeno & mdash esse espaço pode ser dividido no sentido de que podemos distinguir geometricamente suas partes.

Visto que a separação física das partes não está em questão, podemos também discutir a composição da linha matemática. O argumento de Zeno é o seguinte. 27 Como vimos nos paradoxos de Aquiles e da Dicotomia, qualquer segmento de linha é infinitamente divisível. Se pararmos com apenas um número finito de divisões, sempre será possível levar a divisão adiante. O processo de dividir a linha pela metade e depois reduzir pela metade não tem fim. Conseqüentemente, se a linha é composta de partes, como certamente parece ser, então há um número infinito delas. Agora, Zeno apresenta um dilema simples. Qual é o tamanho das peças? Se eles tiverem magnitude zero, então não importa quantos deles você some, o resultado ainda será zero. O processo de adicionar zeros nunca produz nenhuma resposta, exceto zero. Se, no entanto, as partes tiverem um tamanho positivo diferente de zero, a soma da coleção infinita delas será infinita. Em outras palavras, um segmento de linha deve ter um comprimento de zero ou infinito, um segmento de linha com uma polegada ou uma milha de comprimento é impossível.

Uma objeção imediata pode ser levantada contra a afirmação de que o todo deve ter uma magnitude infinita se as partes têm tamanho diferente de zero, uma vez que nossa discussão dos paradoxos de Aquiles e da Dicotomia mostrou como é inteiramente possível para uma série infinita de termos positivos têm uma soma finita. Mas esta resposta é inadequada aqui. Para que uma série infinita de termos positivos convirja, é necessário que não haja o menor termo, a seqüência de termos deve convergir para zero. Essa condição exclui claramente a possibilidade de convergência para uma série infinita de termos positivos, todos iguais uns aos outros. Nos paradoxos de Aquiles e da Dicotomia, poderíamos nos contentar com a divisão de um segmento de linha em partes desiguais, pois não estávamos tentando dividi-lo em suas partes finais. É difícil ver, no entanto, como diferentes peças finais podem ter tamanhos diferentes. Se uma parte "última" fosse maior do que outra, pareceria que a maior seria subdividível e, portanto, não seria a última, afinal. Aparentemente, Zenão viu esse ponto com bastante clareza. 28 Assim, o segundo chifre do dilema ainda permanece: se as partes (últimas) têm tamanho diferente de zero, o todo é infinito em extensão.

Vejamos, então, a primeira trompa. Já investigamos o problema de somar os infinitos termos de uma série infinita. Formamos a sequência de somas parciais e, se houver um limite, tomamos esse limite como a soma das séries. Obviamente, uma série infinita cujos termos são todos zero convergirá para zero, uma vez que toda soma parcial, sendo a soma de um número finito de zeros, será igual a zero. Não é de admirar que filósofos de Aristóteles a Bergson tenham negado que a linha seja composta de pontos!

No entanto, omitimos um fato crucial. Como Georg Cantor, o pai da moderna teoria dos conjuntos, descobriu no final do século XIX, o número de pontos em um segmento de linha finito é maior do que o número de inteiros positivos. Ambos os números são, é claro, infinitos, mas não são iguais um ao outro. O número de pontos em um segmento de linha finito (ou em toda a linha reta infinitamente longa) é c (representando contínuo), o número de inteiros positivos é (pronunciado & quotaleph null & quot aleph é a primeira letra do alfabeto hebraico). Um conjunto que tem o mesmo número de elementos que o conjunto de inteiros positivos é chamado de "numerável" ou "incontávelmente infinito". Conjuntos com maior número de membros, incluindo, é claro, aqueles com c membros, são chamados de "não-enumerável" ou "infinitamente incontável" . & quot Sequências e séries infinitas envolvem conjuntos contáveis ​​de termos; eles podem ser colocados em correspondência um a um com os inteiros positivos. É impossível estabelecer uma correspondência um a um entre o conjunto de inteiros positivos e qualquer conjunto contendo c elementos. Portanto, se tentarmos somar um número não enumerável de zeros, ficaremos presos no início, uma vez que a adição é definida apenas para somas de termos finitos ou somas de conjuntos de termos enumeráveis. A operação de adição nem mesmo está definida para um conjunto inumerável de termos, conseqüentemente, não temos justificativa para a conclusão da primeira ponta do dilema. Não temos base alguma para dizer que a soma de um conjunto não enumerável de zeros deve ser zero. Esta conclusão de Zenão não segue. 29

Não quero dizer que seja impossível estender a definição de adição um passo além de forma a torná-la aplicável a somas de c termos, nem afirmar que, se isso for feito, a soma de c zeros deve ser diferente de zero. Imagino que seja possível, consistentemente, definir tal operação de uma maneira que produza a resposta zero para a soma de qualquer número de zeros, finito, denumerável ou não-denumerável. No entanto, a matemática que consideramos até agora não nos força a qualquer extensão do conceito de adição e, para os presentes propósitos, seria obviamente imprudente adotá-la, se houver alguma maneira de evitá-la.

Há uma alternativa viável, como Gr & uumlnbaum mostrou, na moderna teoria da medida. 30 Essa teoria fornece uma generalização do conceito de duração de um intervalo. Um intervalo é o conjunto de pontos entre dois pontos finais A e B. Se o intervalo contém ambos os pontos finais, é um intervalo fechado [A, B] se ambos os pontos finais são excluídos, é um intervalo aberto representado como (A, B ) e se apenas um ponto final for incluído, teremos um intervalo semiaberto, seja [A, B) ou (A, B]. Para dois pontos finais fixos A e B, as medidas atribuídas a todos esses intervalos são iguais. Isso está de acordo com nosso conceito padrão de comprimento, a adição ou remoção de um ponto final não altera a duração do intervalo. As medidas, como os comprimentos, são aditivas. Se um intervalo I for dividido em dois subintervalos não sobrepostos I 1 e I 2 , a medida de I deve ser igual à soma das medidas de I 1 e I 2. Se A e B não são pontos distintos, mas são um e o mesmo, o intervalo [A, B] (que é o mesmo intervalo como [A, A]) é dito degenerado & mdash é o conjunto de unidades que contém apenas o ponto A. Como as medidas são aditivas, o intervalo degenerado m Você deve receber a medida zero e, portanto, deve receber qualquer conjunto que contenha qualquer número finito de pontos. Essa medida é, além disso, estendida a conjuntos infinitos de intervalos, e diz-se que é enumerável ou contável aditiva. Isso significa que a medida de uma seqüência infinita de intervalos não sobrepostos é igual à soma das medidas desses intervalos (onde a soma é definida exatamente como já explicamos para a soma das séries convergentes infinitas). Portanto, é possível atribuir medidas a conjuntos infinitos de pontos, e para todos esses conjuntos a medida é zero. Por extensão, podemos dizer que toda a reta euclidiana é também um intervalo, cuja medida é infinito positivo (+).

A maneira mais direta - e também a maneira padrão - de lidar com medidas de conjuntos de pontos em uma determinada linha é atribuir coordenadas aos pontos da linha da maneira usual. A cada ponto é atribuído um número real, a diferença numérica entre duas coordenadas é considerada a distância entre esses dois pontos, e também o comprimento do intervalo do qual eles são os pontos finais. É claro, por exemplo, que a medida de todos os pontos entre zero e um & mdash a medida do intervalo [0, 1] & mdash é igual a um. Uma vez que o conjunto de todos os números racionais é enumerável, a medida de todos os pontos naquele intervalo com coordenadas racionais é zero. A medida de todos os pontos irracionais entre zero e um é, portanto, por subtração, um. Esse conjunto, é claro, não é um intervalo, nem é a união de qualquer conjunto finito ou enumerável de intervalos. É duvidoso que possamos nos referir apropriadamente ao "comprimento" de qualquer um desses conjuntos, no entanto, ele tem uma medida bem definida. Vemos que este conceito de medida é, de fato, uma generalização do conceito de comprimento. No entanto, nem todos os conjuntos de pontos na linha têm medidas por razões que não precisamos examinar, alguns conjuntos não são mensuráveis ​​e eles não recebem nenhuma medida (o que não quer dizer que sua medida seja zero, pois zero é muito medida definitiva).

É importante enfatizar o fato de que a teoria da medida não representa meramente uma extensão da adição aritmética ordinária (incluindo a soma de séries infinitas) à adição de conjuntos de termos não enumeráveis. Na aritmética elementar, se nos é dado um conjunto de termos, digamos 2, 3, 5, ele tem a soma única 10. Dado o mesmo conjunto de termos novamente, a soma deve ser a mesma mais uma vez. Além disso, até mesmo a ordem dos termos não importa, mas ao lidar com séries infinitas, a ordem dos termos pode fazer diferença. 31 No entanto, dado o mesmo conjunto infinito de termos na mesma ordem, a soma deve ser sempre a mesma. Por exemplo, nossa série

tem a soma única 1 e a série infinita

As medidas não se comportam da mesma maneira. Como Cantor mostrou, qualquer segmento de linha de qualquer comprimento com seus pontos finais removidos tem exatamente o mesmo número de pontos que qualquer outro, e a linha reta infinita também tem o mesmo número c. Além disso, os pontos que compõem qualquer intervalo aberto ou linha inteira têm precisamente a mesma ordem interna entre si. Isso pode ser mostrado por um argumento diagramático simples (veja a Figura 5). Dados dois segmentos de linha AB e CD de comprimento desigual, podemos colocar o mais curto acima do mais longo e conectar os pontos finais de AB e CD com linhas que se cruzam no ponto P. Usando P como um ponto de projeção, podemos conectar qualquer ponto em

o intervalo aberto (AB) a um ponto no intervalo aberto (CD) por uma linha através de P, e podemos conectar de forma semelhante qualquer ponto em (CD) a um ponto em (AB). Isso mostra que deve haver o mesmo número de pontos em (AB) e (CD), pois acabamos de mostrar como estabelecer uma correspondência um a um entre os membros dos dois conjuntos de pontos. Ao quebrar o segmento AB, podemos mostrar por raciocínio semelhante que o intervalo aberto (AB) tem o mesmo número de pontos que a reta infinita. Além disso, essa correspondência entre os pontos nas duas linhas preserva a ordem, ou seja, se dois pontos aeb em (AB) correspondem respectivamente a dois pontos c e d de (CD), então se a está à esquerda de b encontraremos c à esquerda de d. A existência de tal correspondência um a um que preserva a ordem é a característica definidora da igualdade da ordem. Dois conjuntos que têm a mesma ordem neste sentido precisamente definido são considerados isomórficos um ao outro. Assim, vemos que todo intervalo aberto, finito ou infinito, é isomorfo a todos os outros.

É uma conseqüência imediata desses fatos que a medida de um intervalo não é determinada exclusivamente pelo número de pontos que ele contém e a ordem em que ocorrem. Portanto, se atribuirmos zero a cada medida de ponto e tentarmos & quotá-los & quot na ordem em que ocorrem, descobriremos que um determinado conjunto de termos em uma determinada ordem não determina um & quotsum único. & Quot A medida de um conjunto de pontos depende de mais do que o tamanho (medida) de cada um dos pontos e a ordem em que ocorrem.

Acabamos de ver que conjuntos de pontos contendo c elementos podem ter qualquer comprimento finito (medida) maior que zero, ou comprimento infinito. Também vimos que qualquer conjunto de pontos com um número finito ou infinitamente infinito de membros deve ter comprimento zero (medida). Para evitar o tentador equívoco de que a medida de um conjunto de pontos é maior do que zero se e somente se ele tiver cardinalidade c, consideremos o engenhoso descontinuo de Cantor: ele contém c pontos, mas tem medida zero. Começamos com um segmento de linha, digamos, o conjunto de pontos entre zero e um, incluindo os pontos finais. Removemos o terço médio desta linha, mas sem tirar os pontos finais. Isso deixa os intervalos fechados [0, 1/3] e [2/3, 1]. Em seguida, removemos os intervalos abertos que constituem os terços médios de cada um desses intervalos, deixando quatro intervalos fechados. Esse processo é continuado indefinidamente, sempre removendo o terço médio aberto de cada intervalo fechado produzido na etapa anterior. De forma pictórica, é assim:

Os comprimentos dos intervalos abertos removidos em cada estágio formam a seguinte série infinita

cuja soma é 1. Tendo começado com um segmento com comprimento 1, e tendo removido um conjunto infinito de intervalos abertos cujos comprimentos somam 1, ficamos com um conjunto de pontos tendo medida zero. Esse conjunto é chamado de descontinuo porque, entre quaisquer dois pontos restantes, pelo menos um intervalo foi removido, e os pontos restantes ainda possuem a cardinalidade do continuum c.

Para provar que a cardinalidade do conjunto restante é c, atribuímos a cada ponto no segmento [0, 1] seu valor de coordenada de número real, mas expressamos esse número em notação ternária & mdash ou seja, na notação que usa apenas o três dígitos & quot0, & quot & quot1, '& quot e & quot2. & quot Nesta notação, os pontos cujas coordenadas têm & quot0 & quot em primeiro lugar pertencem ao primeiro terço da linha, e aqueles que têm um & quot2 & quot em primeiro lugar pertencem ao terceiro terceiro. Os pontos com um & quot1 & quot em primeiro lugar pertencem ao terço do meio e foram removidos. No estágio seguinte, removemos os pontos do meio do primeiro terço e do meio do terceiro terço, esses são os pontos cujas coordenadas têm um & quot1 & quot no segundo lugar. As remoções sucessivas retiram os pontos cujas coordenadas têm & quot1 & quot na terceira, quarta, quinta e assim por diante. O resultado da sequência infinita de remoções é livrar-se de todos os pontos que possuem o numeral & quot1 & quot em qualquer lugar na expressão ternária de suas coordenadas. As coordenadas restantes são expressas como sequências infinitas de "0" e "2". E todas as sequências possíveis desta descrição permanecem.

Em cada uma dessas sequências, agora alteramos cada & quot2 & quot para & quot1. & Quot. O resultado é uma coleção de sequências de & quot0 & quot e & quot1 & quot; e estas podem ser interpretadas como representações binárias de números reais. Na verdade, temos todas as sequências possíveis de & quot0 & quot e & quot1, & quot; portanto, existe uma tal sequência para cada número real entre zero e um. Desta forma, estabelecemos uma correspondência um a um entre os pontos no descontinuo de Cantor e os números reais entre zero e um. Sabemos que este último conjunto possui o número cardinal c. QED.

Descobrimos que conjuntos de pontos finitos ou infinitamente infinitos necessariamente têm medida zero na teoria da medida padrão, mas que conjuntos de pontos de cardinalidade c (se eles tiverem qualquer medida) podem ter medida zero, uma medida finita positiva ou uma medida de infinito positivo. Isso significa que ter cardinalidade c não determina de forma alguma a medida de um conjunto de pontos. E vimos, além disso, que para segmentos de medida diferente de zero (sejam finitos ou infinitos), não há relação entre medida e ordenação interna de pontos, pois todos os intervalos abertos, independentemente do comprimento, compartilham a mesma ordem interna. Isso significa que a medida de um intervalo ou segmento de linha é determinada pelos números de coordenadas que atribuímos aos pontos finais, e não por qualquer fato sobre a estrutura interna do intervalo ou a maneira como ele é construído a partir de seus pontos constituintes. Essas considerações servem para resolver o & quotparadoxo da pluralidade & quot de Zenão, pois mostram como podemos atribuir significativamente medidas finitas diferentes de zero a intervalos e segmentos finitos sem entrar em qualquer contradição em relação à & quotadição de zeros.

As descobertas anteriores nos permitem lançar mais luz sobre um grande problema que foi discutido no capítulo anterior & mdash, a saber, o problema de determinar a estrutura geométrica do espaço físico. Afirmamos que a resposta a essa questão depende de maneira essencial de nossa interpretação do conceito de congruência de intervalos espaciais. Nesse contexto, argumentamos que várias definições de congruência são admissíveis, algumas envolvendo "forças universais", outras não. Nesse ponto, chamamos a atenção para uma objeção fundamental. Nesse contexto, afirmamos que era igualmente legítimo dizer que uma determinada barra de medição, que não é afetada por quaisquer forças diferenciais, encolhe para metade de seu tamanho anterior à medida que é movida de um lugar para outro, ou dizer, em vez disso, que retém do mesmo tamanho para onde quer que seja transportado. Suponha, por exemplo, que nossa barra de medição seja colocada com suas duas extremidades coincidindo com os pontos A e B. Ela é então movida para uma posição diferente onde suas extremidades coincidem com os pontos C e D. Dissemos que somos livres para estipular esse intervalo AB é congruente com o intervalo CD, ou para estipular que o comprimento de AB é igual a, digamos, duas vezes o comprimento CD. Mas, você pode objetar, quer saibamos como determinar a resposta ou não, a questão básica é se o intervalo AB contém a mesma quantidade de espaço que o intervalo CD. A resposta é & quotes & quot ou & quotno & quot. Se for & quotes & quot; então estaremos enganados se dissermos que a haste mudou seu comprimento ao ser movida. Um newtoniano, por exemplo, insistiria em uma distinção cuidadosa entre o espaço absoluto e vários dispositivos externos (como corpos sólidos) que são usados ​​para investigar sua estrutura.

A análise anterior das medidas do continuum fornece uma resposta a essa objeção newtoniana. Vimos que a medida padrão de um intervalo depende dos números de coordenadas atribuídos a seus pontos finais, não de qualquer estrutura intrínseca do próprio intervalo. Assim, o intervalo AB recebeu a mesma medida do intervalo CD sempre que as diferenças de coordenadas correspondentes eram iguais, caso contrário, eles receberam uma medida diferente. Mas a atribuição de números de coordenadas a pontos em uma linha é algo que fazemos por estipulação ou convenção. Não podemos insistir que os números das coordenadas sejam atribuídos de maneira a fazer coincidir diferenças de coordenadas iguais com distâncias iguais, pois distâncias iguais são definidas em termos de diferenças de coordenadas iguais.

Gr & uumlnbaum resumiu essas considerações ao descrever o contínuo geométrico como "amorfo métrico". A amorfa métrica (como ele a caracteriza) depende de dois fatores distintos: (1) o arranjo dos elementos no tipo de ordem do contínuo linear, e (2) a homogeneidade qualitativa ou indistinguibilidade dos elementos. As cores, por exemplo, podem ser organizadas em um contínuo linear, mas as cores diferentes & mdash os matizes distintos & mdash não são qualitativamente iguais. O continuum de cores, portanto, viola a segunda condição para amorfo métrico. Os pontos do espaço, ao contrário, não diferem qualitativamente. Um pode diferir do outro por ser o local de um flash azul, enquanto o outro é o local de um flash rosa, mas essas são diferenças qualitativas entre os eventos que ocorrem em lugares diferentes, não diferenças nos pontos em si mesmos. Gr & uumlnbaum conclui, então, que o espaço não possui métrica intrínseca, sua estrutura interna não determina relações de distância. 32 Estabelecemos relações de distância pela forma como atribuímos as coordenadas aos pontos, ou pela forma como definimos a relação de congruência geométrica.

Agora temos duas maneiras distintas de estabelecer relações à distância, e elas podem nem sempre concordar uma com a outra. Uma palavra deve ser dita para esclarecer as relações entre eles. Para simplificar, tratemos apenas das relações entre os pontos de uma única linha. Dada essa linha (veja a Figura 7), vamos atribuir números de coordenadas a seus pontos, sujeitos apenas à condição de que os números de coordenadas satisfaçam as mesmas relações de intermediação dos pontos aos quais são atribuídos. Em outras palavras, se o ponto B estiver entre os pontos A e C na linha, então a coordenada atribuída a B deve ser um número entre os números das coordenadas dos pontos A e C & mdash, por exemplo, se B estiver entre A e C, seria inadmissível atribuir a A a coordenada 1, B a coordenada 2 e C a coordenada 3/2. Acima e acima desta condição, entretanto, a atribuição de coordenadas é totalmente arbitrária. Ambos I e II (Figura 7) são formas aceitáveis ​​de atribuir coordenadas aos pontos A, B, C, D, E.

O próximo passo é decidir sobre um método para determinar a distância entre dois pontos, quando sabemos suas coordenadas, vamos chamar esse método de regra métrica. A regra métrica mais óbvia é aquela que empregamos acima para atribuir uma medida ao intervalo entre dois pontos: a distância entre dois pontos é a diferença entre suas coordenadas. Adotando essa regra métrica, descobrimos que AB é congruente com CD no sistema I, uma vez que 1 - 0 = 3 - 2. No sistema II, usando a mesma regra métrica, esses intervalos não são congruentes, porque 1 - 0 9 - 4. Embora seja conveniente tomar a própria diferença de coordenadas como uma medida da distância entre dois pontos, não é necessário fazer isso. Pode-se, por exemplo, definir a distância como a metade da diferença de coordenadas, ou como a diferença entre os quadrados das coordenadas dos pontos finais. Usar esta última regra em combinação com o sistema de coordenadas I é obviamente equivalente ao uso do sistema de coordenadas II em conjunto com a regra métrica padrão mais simples. Claramente, é a combinação do sistema de coordenadas e regra métrica que determina as relações de distância entre os pontos na linha. O fato importante é que, dado um sistema de coordenadas e uma regra métrica, todas as relações de congruência entre os intervalos da linha foram determinadas. 33

Se uma régua de medição for agora introduzida, podemos verificar empiricamente como ela se comportará. Suponha, por exemplo, que os pontos finais da barra coincidam com os pontos A e B, respectivamente, quando ela está situada naquela parte da linha, e com os pontos C e D, respectivamente, quando ela está localizada mais longe do direito. No sistema de coordenadas I, adotando a regra métrica segundo a qual o comprimento do intervalo é igual à diferença das coordenadas dos pontos finais, a barra permanece do mesmo tamanho nessas duas localizações diferentes. Nessas condições, a haste não está sujeita a quaisquer forças universais que mudam de tamanho quando é transportada de uma dessas posições para a outra. No sistema de coordenadas II, adotando a mesma regra métrica, a haste se expande de um comprimento de 1 a um comprimento de 5 conforme é movida da primeira posição para a segunda. Nessas condições, a haste está sujeita a forças universais que resultam em uma mudança de tamanho. Poderíamos, é claro, adotar uma regra métrica que igualasse o comprimento de um intervalo às diferenças entre as raízes quadradas das coordenadas dos pontos finais com esta regra e o sistema de coordenadas II, novamente descobrimos que a haste permanece do mesmo tamanho quando ele é movido de um lugar para outro. Qual dessas descrições está correta? Eles estão todos corretos, pois são descrições equivalentes da mesma situação.

Existe outra maneira de atacar a mesma linha. Em vez de atribuir coordenadas arbitrariamente, podemos usar nossa régua de medição para esse propósito. Poderíamos escolher o ponto A como nossa origem, atribuindo-lhe a coordenada 0, e marcar os intervalos com nossa barra. Colocando uma extremidade em A, descobrimos de fato que a outra extremidade coincide com o ponto B. Movendo-se para a direita, descobrimos ainda que a extremidade direita da barra coincide com o ponto C quando a extremidade esquerda está em B, além disso, a extremidade direita coincide com D quando a extremidade esquerda é colocada em C, e assim por diante, conforme mostrado em III (Figura 7). Vamos agora estipular que nossa barra de medição está livre de forças universais & mdash que ela mantém o mesmo comprimento onde quer que esteja localizada. Conclui-se que os intervalos AB, BC, CD, DE são todos congruentes entre si. Se atribuirmos as coordenadas 1 a B, 2 a C, 3 a D e 4 a E, adotando a regra métrica que iguala o comprimento à diferença de coordenadas, expressaremos a congruência mútua desses intervalos. Poderíamos, é claro, ter escolhido uma definição de coordenação diferente, submetendo nossa vara às forças universais. Poderíamos ter dito que ele se expande para três vezes seu tamanho original quando é movido uma posição para a direita, cinco vezes seu tamanho original quando é movido para a próxima posição à direita, sete vezes seu tamanho original quando é movido para a próxima posição e assim por diante. Se atribuirmos a coordenada 1 a B, 4 a C, 9 a D, 16 a E, adotando a regra métrica padrão, descobrimos que os intervalos AB, BC, CD, DE são todos incongruentes entre si. Mais uma vez, chegamos a descrições equivalentes da mesma situação, ambas igualmente corretas.

Encontramos duas maneiras de abordar a questão do comprimento dos intervalos em uma linha. Primeiro, foi possível atribuir coordenadas arbitrariamente e escolher livremente entre as regras métricas. Então, a questão de saber se nossa barra de medição permanecia do mesmo tamanho, ou mudava de tamanho, conforme se movia & mdash, a questão se estava sujeita a forças universais & mdash teve que ser resolvida por investigação empírica. Em segundo lugar, era possível estipular, por meio de uma definição coordenada, se a haste permanecia do mesmo tamanho ou não ao ser transportada de um lugar para outro. Quando isso foi feito, a questão de quais intervalos na linha são congruentes entre si teve que ser respondida empiricamente. A situação reitera os resultados de nossa discussão do Capítulo 1. Dissemos lá que qualquer descrição geométrica do mundo tem dois componentes, uma especificação de congruência e uma geometria. Qualquer um poderia ser escolhido livremente, por estipulação, o outro então se tornaria uma questão factual (pelo menos em parte). Escolher a geometria e então investigar a presença ou ausência de forças universais é paralelo a estipular o sistema de coordenadas e a regra métrica - a primeira das duas abordagens anteriores. A escolha de uma definição coordenada de congruência e, em seguida, a verificação da estrutura geométrica do espaço, é paralela ao uso da barra de medição para fornecer a combinação do sistema de coordenadas e regra métrica. Em nenhum caso, entretanto, a estrutura interna da linha como um conjunto ordenado de pontos dita sua estrutura métrica. Seu caráter métrico é imposto de fora por meios como a escolha do sistema de coordenadas, a escolha da regra métrica ou o comportamento de algum tipo de instrumento de medição. Nossa investigação da estrutura do contínuo linear, portanto, reforça nossos resultados anteriores a respeito de nossa liberdade de selecionar definições alternativas de congruência.

O DISCRETO VS. O CONTÍNUO

O cálculo infinitesimal tem sido & mdash e ainda é & mdash a ferramenta matemática básica na descrição da realidade física. Ele emprega variáveis ​​que variam em conjuntos contínuos de valores e as funções com as quais lida são contínuas. Embora o cálculo tenha sido completamente "quotaritmetizado", de modo que seu desenvolvimento formal não exija nenhum conceito geométrico, ele ainda é aplicado a fenômenos que ocorrem no espaço físico. Sua aplicabilidade às ocorrências espaciais é alcançada por meio da geometria analítica, que começa com uma correspondência um a um entre os pontos de uma linha e o conjunto de números reais. O conjunto de números reais constitui um continuum no sentido matemático estrito, conseqüentemente, a correspondência um a um que preserva a ordem entre os números reais e os pontos da linha geométrica torna a linha um continuum também. Se, além disso, a linha geométrica é uma representação correta das linhas no espaço físico, então o espaço físico é igualmente contínuo. Além disso, o movimento é tratado como uma função de uma variável de tempo contínua, e a própria função é contínua. A continuidade da função de movimento é essencial, pois a velocidade é considerada como a primeira derivada de tal função e a aceleração como a segunda derivada. Funções que não são contínuas não são diferenciáveis ​​e, portanto, nem mesmo têm derivadas. A continuidade está profundamente enterrada na física matemática padrão. É por esta razão que nos preocupamos longamente com os problemas que a continuidade suscita. 34

Uma objeção séria pode ser levantada, entretanto, à visão de que o continuum matemático fornece uma representação precisa e literal da realidade física. Uma vez que a física costuma usar idealizações como planos sem fricção, pontos de massa e gases ideais, o argumento poderia ir, pode ser razoável supor que o continuum matemático é outra idealização que é conveniente para alguns fins, mas não fornece uma informação totalmente precisa descrição de espaço, tempo e movimento. Além disso, há um amplo precedente para tratar magnitudes que são sabidamente discretas como se fossem contínuas. A lei do decaimento radioativo, por exemplo, emprega uma função exponencial contínua, embora seja universalmente reconhecido que o fenômeno que descreve envolve desintegrações discretas de átomos individuais. Quando um número finito muito grande de entidades está envolvido, a ficção de uma coleção infinita é freqüentemente conveniente, o que produz boas aproximações do que realmente acontece. Na teoria eletromagnética, por outro exemplo, o cálculo infinitesimal é amplamente usado para lidar com cargas, embora todas as evidências apontem para a quantização de cargas. Algumas vezes foi sugerido que essas considerações contêm a solução para os paradoxos de Zenão. Por exemplo, o físico P.W. Bridgman disse, & quotCom relação aos paradoxos de Zeno. . . se eu literalmente pensasse que uma linha consiste em um conjunto de pontos de comprimento zero e em um intervalo de tempo como a soma de momentos sem duração, o paradoxo então se apresentaria. ”

Embora eu esteja totalmente de acordo com a afirmação de que a física usa idealizações com excelente vantagem, não me parece que isso forneça qualquer base para uma resposta aos paradoxos de Zenão de pluralidade ou movimento. Os primeiros três paradoxos do movimento pretendem mostrar a priori que o movimento, se ocorrer, deve ser descontínuo. Na verdade, a intenção de Zenão, até onde podemos dizer, parece ter sido provar a priori que o movimento não pode ocorrer. Com exceção de muito poucos metafísicos da linha de F.H. Bradley, a maioria dos filósofos admitiria que a questão de saber se algo se move deve ser respondida com base em evidências empíricas, e que as evidências disponíveis parecem esmagadoramente apoiar a resposta afirmativa. Dado que o movimento é um fato do mundo físico, parece-me uma outra questão empírica se ele é contínuo ou não. Pode ser uma questão muito difícil e altamente teórica, mas não acho que possa ser respondida a priori. Outros filósofos discordaram. Alfred North Whitehead acreditava que os paradoxos de Zenão apóiam a visão de que o movimento é atomístico em caráter, enquanto Henri Bergson parecia manter um compromisso a priori com a continuidade do movimento. 36 Parece-me que é atribuída uma importância considerável à análise dos paradoxos de Zenão justamente por esta razão. O espaço e o tempo podem, como sugeriram alguns físicos, ser quantizados, assim como alguns outros parâmetros, como carga, são considerados. 37 Se for assim, deve ser a conclusão de uma investigação física sofisticada da estrutura espaço-temporal dos domínios atômico e subatômico. Argumentos a priori, como os paradoxos de Zenão, não podem sustentar tal conclusão. A estrutura fina do espaço-tempo é um assunto para a física teórica, não para a metafísica a priori, apesar de físicos e filósofos. O resultado de nossas tentativas de resolver os paradoxos do movimento de Zenão não é uma prova de que o espaço, o tempo e o movimento são contínuos, a conclusão é que, para tudo o que podemos dizer a priori, é uma questão em aberto se eles são contínuos ou não.

Antes de finalmente deixarmos os paradoxos de Zenão, algo deve ser dito sobre a visão do espaço, do tempo e do movimento como quantidades discretas. A evidência histórica sugere que alguns dos argumentos de Zenão foram direcionados contra esta alternativa que é uma interpretação plausível do paradoxo do estádio de qualquer forma. Zeno parece ter percebido que, se o espaço e o tempo têm uma estrutura discreta, existe um tipo padrão de movimento que deve sempre ocorrer a uma velocidade fixa. Se, por exemplo, uma flecha deve voar da posição A para a posição B de maneira quase contínua quanto possível em um espaço e tempo discretos, então ela deve ocupar átomos espaciais adjacentes em átomos de tempo adjacentes. Em outras palavras, a velocidade padrão seria um átomo de espaço por átomo de tempo. Para viajar a uma velocidade menor, a flecha teria que ocupar pelo menos alguns dos átomos espaciais para mais de um átomo de tempo viajar em uma velocidade maior, a flecha teria que pular alguns dos átomos espaciais intervenientes inteiramente, nunca os ocupando no decorrer da viagem. Tudo isso soa um pouco estranho, talvez, mas certamente não é logicamente contraditório. Essa é a maneira como o mundo pode ser. Além disso, é possível, como mostra o paradoxo do estádio original de Zenão, que duas flechas passem uma pela outra viajando em direções opostas, sem nunca estarem localizadas próximas uma da outra. Imagine dois caminhos, localizados o mais próximos possível em nosso espaço discreto, entre A e B. Deixe uma seta viajar um desses caminhos de A para B, enquanto a outra viaja o outro caminho de B para A (veja a Figura 8). Suponha que a flecha viajando na trilha superior deixe A e ocupe o primeiro quadrado à esquerda, enquanto a flecha viajando na trilha inferior deixe B no mesmo momento (atômico) de tempo, ocupando o primeiro quadrado na extremidade direita de seu caminho. Deixe cada flecha se mover ao longo de sua trilha na taxa de um quadrado para cada átomo de tempo. No quarto momento, a seta superior está apenas à esquerda da seta inferior no momento seguinte, a seta superior está apenas à direita da seta inferior. Em nenhum momento eles estão lado a lado & mdash eles passam um pelo outro, mas não há nenhum evento que se qualifique como a passagem (se queremos dizer estar localizado lado a lado viajando em direções opostas). Isso é estranho, talvez, mas, novamente, dificilmente é logicamente impossível.

O matemático Hermann Weyl, no entanto, apresentou uma dificuldade básica para quem gostaria de quantizar o espaço. 38 Se pensarmos em um espaço bidimensional como sendo feito de um grande número de ladrilhos (algo como a Figura 8), teremos problemas imediatos sobre certas relações geométricas. Suponha, por exemplo, que temos um triângulo retângulo ABC em tal espaço (veja a Figura 9). Considere, primeiro, o

ladrilhos desenhados com linhas sólidas. Se as posições A, B e C representam os respectivos ladrilhos de canto, então vemos que o lado AB tem quatro unidades de comprimento, o lado AC tem quatro unidades de comprimento e a hipotenusa BC também tem quatro unidades de comprimento. O teorema de Pitágoras diz, entretanto, que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Isso significa que um triângulo retângulo com duas pernas de quatro unidades cada deve ter uma hipotenusa com cerca de 5-2 / 3 unidades de comprimento. O teorema de Pitágoras é pelo menos aproximadamente verdadeiro no espaço físico, como descobrimos por muita experiência. O resultado baseado na contagem de peças não começa a se aproximar do resultado correto.

Este exemplo mostra algo importante sobre aproximações. É fácil ver que o movimento descontínuo em espaço e tempo discretos seria difícil de distinguir do movimento contínuo se nossos átomos de espaço e tempo fossem pequenos o suficiente. Pode ser tentador supor que nossas relações geométricas se aproximariam das habituais se tornássemos nossos ladrilhos pequenos o suficiente. Isso, infelizmente, não é o caso, como você pode ver tomando a grade mais precisa na Figura 9 dada pelas linhas quebradas e sólidas juntas. Em vez de 16 blocos, agora temos 64 blocos cobrindo a mesma região do espaço. Mas olhando para o nosso triângulo ABC mais uma vez, vemos que todos os três lados têm agora 8 unidades de comprimento. Não importa o quão pequenos façamos os quadrados, a hipotenusa permanece igual em comprimento aos outros dois lados. Não é de se admirar que isso às vezes seja chamado de argumento & quotWeyl tile & quot! 39 Este é um caso em que a transição para átomos muito pequenos não ajuda em nada a produzir a aproximação necessária para as características óbvias do espaço macroscópico. Mostra o perigo de supor que tal aproximação ocorrerá automaticamente à medida que tornamos as divisões cada vez menores.

É importante resistir a qualquer tentação de explicar a dificuldade, dizendo que a distância diagonal através de um ladrilho é maior do que a largura ou altura de um ladrilho, e que devemos levar essa diferença em consideração ao determinar o comprimento da hipotenusa do triângulo. Tais considerações são certamente apropriadas se estivermos pensando nos ladrilhos como subdivisões de um espaço de fundo contínuo que possui as características euclidianas familiares. Mas a ideia básica por trás dos ladrilhos, em primeiro lugar, era eliminar o espaço contínuo e substituí-lo por um espaço discreto. No espaço discreto, um átomo espacial constitui uma unidade, e isso é tudo que há para fazer.Não pode ser considerado como tendo uma forma adequada, pois não podemos atribuir tamanhos a suas partes & mdash ele não tem partes.

Agora, não pretendo argumentar que não existe uma maneira consistente de descrever um espaço ou tempo atômico. Seria tão ilegítimo tentar provar a priori a continuidade do espaço e do tempo quanto seria tentar provar a priori sua discrição. Mas, para cumprir a afirmação de que o espaço e o tempo são genuinamente quantizados, seria necessário fornecer uma geometria adequada com base nesses conceitos. Não estou sugerindo que isso seja impossível, mas não é um exercício matemático de rotina e não sei se realmente foi feito. 40


Paradoxo da seta de Zenão

Zeno afirma que para que o movimento ocorra, um objeto deve mudar a posição que ocupa. Ele dá um exemplo de uma flecha em vôo. Ele afirma que em qualquer instante (sem duração) de tempo, a flecha não está se movendo para onde está, nem para onde não está. Ele não pode se mover para onde não está, porque nenhum tempo passa para que ele se mova para lá, ele não pode se mover para onde está, porque já está lá. Em outras palavras, a cada instante de tempo nenhum movimento ocorre. Se tudo está imóvel a cada instante e o tempo é inteiramente composto de instantes, o movimento é impossível.

O paradoxo diz que "em qualquer instante (sem duração) de tempo, a flecha não está se movendo para onde está, nem para onde não está". Mas deve estar correto se a duração do tempo passado for 0 porque, por exemplo, se pegarmos uma bala com velocidade constante e pegarmos um tempo instantâneo (dt

0) em seu movimento, obviamente veremos que a relação entre o deslocamento com o tempo passado será igual à velocidade do projétil. Mas se a duração do tempo passado for 0, não dizemos mais que dividimos o tempo em uma pequena parte, porque não importa quantas vezes você some esses tempos instantâneos, você nunca atinge a primeira duração de tempo que dividiu.

Mas se minha explicação estivesse correta, não seria um paradoxo, então qual é o problema com minha explicação?


Um descanso de flecha comumente visto em arcos de caça é o descanso de flecha do tipo cerdas. Este tipo de descanso de flecha também é freqüentemente chamado de biscoito de bigode. Este descanso de flecha guia a flecha por meio de pequenas cerdas. Quando a flecha é atirada, ela desliza pelas cerdas.

Este descanso de flecha mantém o descanso de flecha firmemente no lugar entre as cerdas, o que o torna uma opção popular para caçadores. Mas as cerdas também tendem a influenciar ligeiramente a precisão. Também influencia pouco a velocidade da flecha, mas essa diferença é insignificante. Portanto, os arqueiros que atiram em distâncias maiores (50 jardas / metros e além) tendem a preferir as outras duas opções.


A importância de I: R para Pdx: Grande Campanha

A jornada começa, inscreva-se agora e obtenha um item especial no jogo quando o jogo for lançado.

Crusader Kings III já está disponível!

O reino se regozija quando a Paradox Interactive anuncia o lançamento de Crusader Kings III, a última entrada na grande franquia de RPG de estratégia da editora. Os conselheiros agora podem disputar posições de influência e os adversários devem salvar seus planos para outro dia, porque neste dia Crusader Kings III pode ser comprado no Steam, na Paradox Store e em outros grandes varejistas online.

Assinatura de expansão do Crusader Kings II

Assine a Expansão CK II e tenha acesso ilimitado a 13 grandes expansões e muito mais!

Maxk94

Maior

A jornada para PDXCON começa: Apresentando a Grande Campanha! 4 jogos, 4 semanas e 5 dias de jogo!

Junte-se às equipes de Crusader Kings III, Europa Universalis IV, Hearts of Iron IV e Stellaris para o maior evento deste lado do PDXCON Remixed. Em um conto que nos leva de 867A.D para um futuro distante, você, a Comunidade Paradoxo, terá uma palavra decisiva sobre os eventos que se desenrolam!

Atuando como nosso Senado, a comunidade terá a oportunidade de influenciar como cada campanha se desdobra, juntando-se a nós na seção Grande Campanha do PDXCON Remixed Discord. Faça parte do Senado aqui: https://discord.gg/pdxcon

Cada etapa da jornada também terá um efeito indireto sobre a próxima, criando um estado de jogo completamente único no momento em que chegarmos ao nosso jogo final Stellaris. Você tem o poder não apenas de moldar a história, mas o universo!

O evento será transmitido ao vivo no Paradox Interactive Twitch Channel

  1. Crusader Kings III: 21 de abril, 12: 00-22: 00 CEST
  2. Europa Universalis IV: 28 de abril, das 12h às 22h CEST
  3. Hearts of Iron IV: 7 de maio, 12h - 22h CEST
  4. Stellaris: 15 a 16 de maio, das 12:00 às 20:00 CEST

& quotJunte-se às equipes de Crusader Kings III, Europa Universalis IV, Hearts of Iron IV e Stellaris para o maior evento deste lado do PDXCON Remixed. Em um conto que nos leva de 867A.D para um futuro distante, você, a Comunidade Paradoxo, terá uma palavra decisiva sobre os eventos que se desenrolam! & Quot

Sim, agora as objeções vêm para a linha do tempo.

Mas eles também são interrompidos nos 4 jogos entre EU4 1822 a HOI4 1936 e 1949 a 2200 Stellaris.

Você poderia, é claro, ter jogado uma região do mundo no Imperator, quase no mesmo mapa do CK3.

O fato de Pdx não fazer isso fala por si.

IsaacCAT

Marechal de campo

Prefiro pensar que a equipe de desenvolvimento não tem tempo para isso e está trabalhando na próxima atualização.

Participar da Grande Campanha pode trazer um pico de jogadores, mas no longo prazo queremos o melhor jogo com atualizações periódicas para acumular uma base de jogadores leais.

Maxk94

Maior

Cristal de neve

Content Designer no Stellaris
Capitão

É tudo relativo, não é? Trata-se de maximizar a audiência no tempo disponível, e meu palpite é que todos esses jogos são maiores em termos de base de jogadores e audiência. O que não quer dizer que I: R seja irrelevante ou que não pudesse ter se beneficiado de alguma exposição.

Mas, novamente, este é principalmente um evento de marketing. Faz sentido mostrar os jogos que são novos ou que tenham algum DLC novo e quente rondando pelo cano.

Não há necessidade de ficar triste e triste com o I: R até que o PDX nos dê uma indicação inequívoca de que eles não farão mais com ele. Todo o resto é pura especulação.

IsaacCAT

Marechal de campo

Como eles vão preencher a lacuna entre HOIIV e Stellaris? Se o Eixo vencer haverá a Comunidade do Homem e se os aliados vencerem as Nações Unidas da Terra? Faz sentido.

Maxk94

Maior

Scriptkiddy

Segundo tenente

Promover CK3 em vez de I: R é um grande LOL. E mesmo o EU4 não pertence mais a essa lista porque seu ciclo de produtos já chegou ao fim com o DLC do Imperador.

PDX deve focar em I: R como seu único título que já foi lançado e vale a pena expandir. Vic2, EU4 e HOI 4 precisam de sequências. Stellaris também, embora tenha se mostrado muito versátil, então eles também podem continuar a corrigi-lo por um tempo. O CK3 precisa de uma revisão técnica no que eles estavam pensando ao lançar um jogo sem configurações de mensagem !? E a outra coisa de fantasia é. Nós vamos. estranhas.

Ter_p3

Capitão

Oshidashi

Corporal

Como consumidor, eu realmente não me importo, mas trabalhando em marketing, estou surpreso e curioso que uma empresa exclua um título como I: R de um evento promocional, uma vez que cobre um período único da história que tem uma grande público potencialmente interessado. Com 2.0 sendo elogiado como talvez tendo a melhor mecânica de qualquer jogo PDX até agora, parece não haver nenhuma desvantagem em incluí-lo no evento.

Não consigo pensar em uma única razão pela qual qualquer empresa trabalharia para criar menos promoção para um bom produto, então entendo que as pessoas expressem preocupações de que I: R possa se tornar desprovido de desenvolvimento posterior, embora, mesmo se fosse o caso, a empresa ainda deve desejar aumentar os lucros simplesmente promovendo-o. Portanto, suspeito que o problema pode ser simplesmente o tempo, não havendo ninguém disponível para apresentar o I: R ao evento.

Edit: Não fui bem informado sobre o evento. Aparentemente, sua principal característica é fazer uma grande campanha. Considerando a linha do tempo do Imperators e a lacuna com o CK, faz todo o sentido para mim que eles não o incluíssem. Eu estava pensando em um evento de desenvolvedor comum, onde é principalmente sobre mostrar tudo o que eles têm e entreter os fãs.

A mente

Capitão

IsaacCAT

Marechal de campo

Não sei. Mas presumo que a equipe seja maior. Não sei como eles distribuem recursos, mas a base de jogadores pode ter algo a ver com isso:

Cristal de neve

Content Designer no Stellaris

Ah, sim, o mentor da retórica que começa todo contra-argumento com "argumento fraco", para ter certeza de que seu oponente sabe que ele está errado. O gênio se move bem aí.

  • Duas religiões gigantescas (ver Cristianismo e Islã) tomaram o lugar das antigas religiões.
  • O Império Romano Ocidental desmoronou e desmoronou.
  • Toda a Europa mudou culturalmente, após as migrações significativas que aconteceram.
  • O papa surgiu como líder religioso em Roma, em grande parte da Europa.
  • O HRE, por meio de Carlos Magno, passou a existir.

Akbar o Grande

Coronel

Promover CK3 em vez de I: R é um grande LOL. E mesmo EU4 não pertence mais a essa lista porque seu ciclo de produtos já chegou ao fim com o DLC do Imperador.

PDX deve se concentrar em I: R como seu único título atualmente que já foi lançado e vale a pena expandir. Vic2, EU4 e HOI 4 precisam de sequências. Stellaris também, embora tenha se mostrado muito versátil, então eles também podem continuar a corrigi-lo por um tempo. O CK3 precisa de uma revisão técnica no que eles estavam pensando ao lançar um jogo sem configurações de mensagem !? E a outra coisa de fantasia é. Nós vamos. estranhas.

IsaacCAT

Marechal de campo
Capitão

E, novamente, presumo que a base de jogadores, vendas, DLCs anunciados ou esperados também figuram no processo de tomada de decisão.

Para mim, meio que faz sentido. Isso poderia significar que o PDX sacrificou ritualmente toda a equipe I: R (@Arheo parece muito quieto) em um esforço para aumentar as vendas de HoI, mas eu duvido.

A Suécia não é conhecida apenas por 52 semanas de férias. Também desaprovamos os assassinatos, especialmente aqueles que podem ser percebidos como assassinatos rituais nórdicos.

Mas, novamente, e em uma nota mais séria, as pessoas estão lendo muito sobre isso. Sim, você poderia argumentar que I: R se beneficiaria com a exposição, mas aposto que todos os outros jogos são julgados para trazer mais atenção para o evento e, no final, esse será um dos parâmetros mais importantes que eles têm para trabalhar com.

Maxk94

Maior

Ah, sim, o mentor da retórica que começa todo contra-argumento com "argumento fraco", para ter certeza de que seu oponente sabe que ele está errado. O gênio se move bem aí.

  • Duas religiões gigantescas (ver Cristianismo e Islã) tomaram o lugar das antigas religiões.
  • O Império Romano Ocidental desmoronou e desmoronou.
  • Toda a Europa mudou culturalmente, após as migrações significativas que aconteceram.
  • O papa surgiu como líder religioso em Roma, em grande parte da Europa.
  • O HRE, por meio de Carlos Magno, passou a existir.

Acredite em mim, se fosse algo em que estivéssemos trabalhando, eu não falaria sobre isso aqui.

Jogue Imperator no sul da Índia

Pandya e Chola estão disponíveis em IR e CK3

Em Imperator, o sul da Índia é hindu, em CK3 também.

Realmente, nada aconteceu lá. Continuidade pura. Mais do que entre EU4 e HOI4.

Maxk94

Maior

Não sei. Mas presumo que a equipe seja maior. Não sei como eles distribuem recursos, mas a base de jogadores pode ter algo a ver com isso:

Ver anexo 703808
Eu amo os 4 caras da UE: Roma

Essa é a verdadeira resposta porque Imperator: Rome não está incluído na Grande Campanha. É a base de fãs.
Estaria tudo bem se eles dissessem - eles não o fazem.


Antes de explorar os paradoxos do movimento de Zenão em mais detalhes, precisamos notar que o problema fundamental surge do problema da divisão infinita versus contagem infinita.

Para entender o que está acontecendo, categorizamos conjuntos infinitos em dois tipos:

  • contávelmente infinito: um conjunto infinito que pode ser enumerado
  • incontavelmente infinito: um conjunto infinito que não pode ser enumerado.

Pode ser rigorosamente demonstrado que contínuo ou conjuntos infinitamente divisíveis são na verdade incontáveis ​​infinitos, o que é o caso com espaço e tempo (pelo menos na física clássica ou tão relevante para este problema). Na verdade, o continuum está no cerne da análise real.

Uma das principais falácias do argumento de Zenão é que ele essencialmente tenta quebrar o espaço e o tempo em componentes discretos e, assim, enumerá-los, o que é o que não pode ser feito com esses objetos contínuos.

Portanto, perguntando qual é o primeiro passo não é realmente uma questão válida, desde que o espaço e o tempo sejam contínuos.

Observe que é possível realizar um número incontável e infinito de tarefas porque o tempo, como o espaço, também é contínuo.


1. História da teoria da escolha social

1.1 Condorcet

Os dois estudiosos mais frequentemente associados ao desenvolvimento da teoria da escolha social são o francês Nicolas de Condorcet (1743 e ndash1794) e o americano Kenneth Arrow (nascido em 1921). Condorcet foi um pensador liberal da época da Revolução Francesa perseguido pelas autoridades revolucionárias por criticá-las. Depois de um período escondido, ele foi finalmente preso, embora aparentemente não identificado imediatamente, e morreu na prisão (para mais detalhes sobre Condorcet, consulte McLean e Hewitt 1994). No dele Ensaio sobre a aplicação da análise à probabilidade das decisões da maioria (1785), ele defendeu um sistema de votação particular, votação por maioria de pares, e apresentou seus dois insights mais proeminentes. O primeiro, conhecido como Teorema do júri de Condorcet, é que se cada membro de um júri tem uma chance igual e independente melhor do que aleatória, mas pior do que perfeita, de fazer um julgamento correto sobre se um réu é culpado (ou em alguma outra proposição factual), a maioria dos jurados é mais provavelmente está correto do que cada jurado individualmente, e a probabilidade de um julgamento correto da maioria se aproxima de 1 conforme o tamanho do júri aumenta. Assim, sob certas condições, a regra da maioria é boa em "rastrear a verdade" (por exemplo, Grofman, Owen e Feld 1983 List e Goodin 2001).

O segundo insight de Condorcet, muitas vezes chamado Paradoxo de Condorcet, é a observação de que as preferências da maioria podem ser & lsquoirrational & rsquo (especificamente, intransitivas), mesmo quando as preferências individuais são & lsquorational & rsquo (especificamente, transitivas). Suponha, por exemplo, que um terço de um grupo prefere a alternativa x para y para z, um segundo terço prefere y para z para x, e um terço final prefere z para x para y. Então, há maiorias (de dois terços) para x contra y, para y contra z, e para z contra x: a & lsquocycle & rsquo, que viola a transitividade. Além disso, nenhuma alternativa é um Vencedor Condorcet, uma alternativa que vence, ou pelo menos empata com, todas as outras alternativas em disputas por maioria de pares.

Condorcet antecipou um tema-chave da teoria da escolha social moderna: a regra da maioria é ao mesmo tempo um método plausível de tomada de decisão coletiva e, ainda assim, sujeita a alguns problemas surpreendentes. Resolver ou contornar esses problemas continua sendo uma das principais preocupações da teoria da escolha social.

1.2 Arrow e sua influência

Enquanto Condorcet investigou um especial método de votação (votação por maioria), Arrow, que ganhou o Prêmio Nobel Memorial de Economia em 1972, introduziu um em geral abordagem para o estudo da agregação de preferências, parcialmente inspirada por seu professor de lógica, Alfred Tarski (1901 e ndash1983), com quem ele aprendeu a teoria da relação como um estudante de graduação no City College de Nova York (Suppes 2005). Arrow considerou uma classe de possível métodos de agregação, que ele chamou funções de bem-estar social, e perguntou qual deles satisfaz certos axiomas ou desiderata. Ele provou que, surpreendentemente, não existe nenhum método para agregar as preferências de dois ou mais indivíduos sobre três ou mais alternativas em preferências coletivas, onde este método satisfaz cinco axiomas aparentemente plausíveis, discutidos abaixo.

Este resultado, conhecido como Teorema da impossibilidade de Arrow, gerou muito trabalho e muitos debates na teoria da escolha social e na economia do bem-estar. William Riker (1920 & ndash1993), que inspirou a escola de Rochester na ciência política, interpretou-a como uma prova matemática da impossibilidade da democracia populista (por exemplo, Riker 1982). Outros, principalmente Amartya Sen (nascido em 1933), que ganhou o Prêmio Nobel em 1998, entenderam que as preferências ordinais são insuficientes para fazer escolhas sociais satisfatórias. Os comentaristas também questionaram se os desideratos de Arrow em um método de agregação são tão inócuos quanto afirmado ou se deveriam ser relaxados.

As lições do teorema de Arrow dependem, em parte, de como interpretamos uma função de bem-estar social arroviana. O uso de preferências ordinais como & lsquoaggregenda & rsquo pode ser mais fácil de justificar se interpretarmos a regra de agregação como um método de votação do que se interpretarmos como um método de avaliação de bem-estar. Sen argumentou que quando um planejador social busca classificar diferentes alternativas sociais em uma ordem de bem-estar social (empregando assim alguma regra de agregação como um método de avaliação de bem-estar), pode ser justificável usar informações adicionais além das preferências ordinais, como comparáveis ​​interpessoalmente medidas de bem-estar (por exemplo, Sen 1982).

O próprio Arrow manteve a visão

que a comparação interpessoal de utilidades não tem significado e, diabos, não há nenhum significado relevante para comparações de bem-estar na mensurabilidade da utilidade individual. (1951/1963: 9)

Esta visão foi influenciada pela economia neoclássica, associada a estudiosos como Vilfredo Pareto (1848 e ndash 1923), Lionel Robbins (1898 e ndash 1984), John Hicks (1904 e ndash 1989), co-ganhador do Prêmio Nobel de Economia com Arrow e Paul Samuelson (1915 e ndash2009), outro Prêmio Nobel. O teorema de Arrow demonstra as implicações gritantes das suposições & lsquoordinalist & rsquo do pensamento neoclássico.

Hoje em dia, a maioria dos teóricos da escolha social foram além das primeiras interpretações negativas do teorema de Arrow e estão interessados ​​nas compensações envolvidas na descoberta de procedimentos de decisão satisfatórios. Sen promoveu esta interpretação & lsquopossibilista & rsquo da teoria da escolha social (por exemplo, em sua palestra no Nobel de 1998).

Dentro desta abordagem, o método axiomático de Arrow é talvez ainda mais influente do que seu teorema da impossibilidade (sobre o método axiomático, ver Thomson 2000). O tipo paradigmático de resultado no trabalho axiomático contemporâneo é o & lsquocharacterization teorema & rsquo. Aqui, o objetivo é identificar um conjunto de condições plausíveis, necessárias e suficientes, que caracterizam de maneira única uma solução particular (ou classe de soluções) para um determinado tipo de problema de decisão coletiva. Um exemplo inicial é a caracterização de Kenneth May (1952) da regra da maioria, discutida abaixo.

1.3 Borda, Carroll, Black e outros

Condorcet e Arrow não são as únicas figuras fundadoras da teoria da escolha social. O contemporâneo e co-nacional Jean-Charles de Borda de Condorcet (1733 & ndash1799) defendeu um sistema de votação que muitas vezes é visto como uma alternativa proeminente à votação por maioria. O Contagem de Borda, formalmente definido mais tarde, evita o paradoxo de Condorcet, mas viola uma das condições de Arrow, a independência de alternativas irrelevantes. Assim, o debate entre Condorcet e Borda é um precursor de alguns debates modernos sobre como responder ao teorema de Arrow.

As origens desse debate precedem Condorcet e Borda. Na Idade Média, Ramon Llull (c1235 & ndash1315) propôs o método de agregação da votação por maioria de pares, enquanto Nicolas Cusanus (1401 & ndash1464) propôs uma variante da contagem de Borda (McLean 1990). Em 1672, o estadista e estudioso alemão Samuel von Pufendorf (1632 e ndash1694) comparou as regras de maioria simples, maioria qualificada e unanimidade e ofereceu uma análise da estrutura de preferências que pode ser vista como um precursor de descobertas posteriores (por exemplo, em pico único, discutido abaixo) (Gaertner 2005).

No século 19, o matemático e clérigo britânico Charles Dodgson (1832 e ndash1898), mais conhecido como Lewis Carroll, redescobriu independentemente muitos dos insights de Condorcet e Borda e também desenvolveu uma teoria da representação proporcional. Foi em grande parte graças ao economista escocês Duncan Black (1908 e ndash1991) que as idéias teóricas da escolha social de Condorcet, Borda e Dodgson foram atraídas à atenção da comunidade de pesquisa moderna (McLean, McMillan e Monroe 1995). Black também fez várias descobertas relacionadas à votação por maioria, algumas das quais são discutidas abaixo.

Na França, George-Th & eacuteodule Guilbaud ([1952] 1966) escreveu um artigo importante, mas muitas vezes esquecido, revisitando a teoria do voto de Condorcet de uma perspectiva lógica e lançando uma literatura francesa sobre o Efeito Condorcet, o problema lógico subjacente ao paradoxo de Condorcet, que só recentemente recebeu mais atenção na teoria da escolha social anglófona (Monjardet 2005). Para outras contribuições sobre a história da teoria da escolha social, consulte McLean, McMillan e Monroe (1996), McLean e Urken (1995), McLean e Hewitt (1994), e uma edição especial de Escolha social e bem-estar, editado por Salles (2005).


O paradoxo da flecha Xeno

Acho que estou me tornando um nerd. Acredite ou não, achei o tutorial de ontem sobre o público da mídia bastante interessante. Dito isso, não ficarei nem um pouco surpreso por ter mudado o Nerd-O-Meter de "Dude with Nerdy Tendencies" para "Nerd with Social Life". Dê-me mais dois meses e serei atualizado para "Nerd com resquícios de vida social" e, finalmente, no final deste semestre, serei apenas um "Nerd" completo. Ainda assim, há um vislumbre de esperança, porque a parte mais interessante do tutorial tinha pouca relação com o tópico real em questão.

Nosso tutor falou sobre o Paradoxo da Flecha de Xeno. Ora, Xeno era esse filósofo matemático grego que provavelmente, como todos os outros naquela época, tinha muito tempo livre para se preocupar. Para expor adequadamente essa teoria, eu exigiria o uso de diagramas.

Ok, vamos apresentá-lo a nossos dois amigos (Figura 1.1). Visto como essa teoria foi conceituada durante a era greco-romana, usaremos nomes mais adequados para esse período.

Portanto, temos Hefesto, o arqueiro, e Leto, o um. outro cara. Então, eles estão parados nesta pequena planície gramada em um belo dia de sol, cuidando da própria vida. Não pergunte como eles chegaram lá e por que estão se encarando assim. Isso é hipotético. Então está tudo bem até Leto o um. outro cara dá a Hefesto o dedo o arqueiro (Fig 1.2).

Hefesto, o arqueiro, fica naturalmente zangado. E naquela época em que o feudalismo era mais abertamente recebido e menos questionado, era perfeitamente normal que Hefesto, o arqueiro, atirasse na cabeça de Leto, o outro cara (Figura 1.3). Incidente muito comum na Grécia antiga, as pessoas descobrem que Hefesto, o arqueiro, é um sodomita violento, então fique longe dele, as pessoas ficam sabendo que Leto, o outro cara, está morto - você não sabe, aquele filho da puta ainda nos deve cinquenta denários ! - e então continuam bebendo suas cervejas. Nada de especial, na verdade.

Mas é aqui que o Xeno entra, ele se torna um pouco matemático agora, então se seu padrão de Matemática Adicional atinge problemas como "Se eu tenho duas maçãs, quantas maçãs eu tenho?" (Fig 1.4) então eu sugiro que você não vá mais longe até que tenha corrigido isso. Agora Xeno teoriza que antes que a flecha possa alcançar o Ponto B a partir do Ponto A, ela tem que passar pelo ponto médio M (Fig 1.5).

Parece bom até agora? Agora, como se isso não bastasse, Xeno continua dizendo que antes que a flecha alcance M, ela deve primeiro atingir o ponto médio entre A e M, Ponto Médio N (Fig 1.6).

Agora isso é muito bom e elegante. Claro, faz sentido. Antes de chegar ao ponto médio, você precisa obter o ponto médio do ponto médio. Qualquer que seja. Fim da história certo? Errado-O, porque Xeno agora diz que, para que a flecha alcance o N, ela deve primeiro atingir o ponto médio entre A e N, o ponto médio O (Figura 1.7).

Sim, você adivinhou, entre A e O, há outro ponto médio em que a flecha deve primeiro atravessar, entre o qual há ainda outro ponto médio. Portanto, Xeno teoriza que, uma vez que não há um número finito de divisões de pontos médios (ou seja, qualquer número pode ser dividido pela metade, não importa o quão pequeno), não haverá fim para os pontos médios que a flecha estúpida deve primeiro alcançar. E, portanto, se você disparar uma flecha, a flecha nunca alcançará o ponto B (Fig 1.8).

E esse é o paradoxo da Flecha de Xeno. Realmente interessante se você pensar bem, que este grego Xeno realmente teve a audácia de apresentar uma teoria tão ousada que desafia as leis da Física. Ou ele deve ter sido um gênio matemático, ou ele só queria encontrar uma maneira de impedir as pessoas de atirar flechas nele constantemente.

Então, se você estiver em uma festa rave e for chamado para uma conversa fiada, mostre a eles que você também pode ser um nerd / geek / idiota (exclua onde for apropriado, se a exclusão for apropriada para começar) e compartilhe com eles os Xeno's Arrow Paradox. Com certeza é melhor comentar constantemente sobre o quão grande é o rack daquela garota. Além disso, também é um ótimo momento para mostrar às meninas um pouco de sua pseudo-inteligência (Fig 1.9)

E assim termina meu longo discurso sobre o paradoxo da flecha de Xeno. Pelo que vale a pena, tenho a estranha sensação de que Xeno pode ter percebido em um ponto que havia uma falha séria em sua pequena teoria. Mas, como se viu, não acho que ele ficou por aqui por muito tempo para descobrir o que era (Figura 1.10)

Vocês que buscam audiência, falem agora!

hahahah finais felizes que eu gosto, woot woot. menino, você tem muito tempo. aqui está a mais desenhos em postagens futuras.

E então aconteceu que em 31 de março de 2006 22:52, na presença de The Eddie G., Jo Jo Bumps havia falado o seguinte.

alguns ppl são muito grátis. pule aula para fazer anotações de aula.

E então aconteceu que em 02 de abril de 2006 23:35, na presença de The Eddie G., joanne liyeng tinha falado o seguinte.

ESSE É HOMER SIMPSON !! NÃO É UMA MENINA !!

E então aconteceu que em 03 de abril de 2006 09:39, na presença de The Eddie G., Eddie G. havia falado o seguinte.

"Além disso, também é um ótimo momento para mostrar às meninas um pouco de sua pseudo-inteligência (Figura 1.9)"

Como Co-Editor do MonGa, você provavelmente deve ter aprendido que citar erroneamente é uma coisa muito perigosa.

E então aconteceu que em 04 de abril de 2006 10:19, na presença de The Eddie G., Imprevisível Mortal havia falado o seguinte.

Eu sei que não tenho postado comentários no seu blog, mas. hrmm. orgulhoso de ti. tal conquista. VÁ PARA A AULA.

E então aconteceu que em 08 de abril de 2006 01:09, na presença de The Eddie G., joanne liyeng havia falado o seguinte.

E foi exatamente por isso que postei aquele comentário.

ESTÁ LOUCO HOMER SIMPSON.

ou prefere comer meu sapato?

E então aconteceu que em 08 de abril de 2006 19:21, na presença de The Eddie G., Eddie G. havia falado o seguinte.

coloque desta forma, jo. Se seu sapato fosse a última fonte de nutrição neste planeta, preferia comer minha própria merda.


3 respostas 3

Então, Barry mantém sua consciência da linha do tempo x quando na linha do tempo x + 1?

sim. Isso é mostrado no episódio a seguir, onde Barry tenta falar com o Dr. Wells sobre o que ele sabe e se lembra da linha do tempo X. As coisas que ele lembra incluem todos os eventos com o Weather Wizard, os ataques a Joe e a delegacia / chefe de polícia, o sequestro de Iris, o maremoto e a confissão de sentimentos de Iris por ele

Se sim, então Barry da linha do tempo x tinha as memórias da linha do tempo x-1 quando viu uma miragem de velocidade?

Vou assumir que a linha do tempo X-1 é aquela em que Nora Allen não foi morta na batalha entre os Flashes e Thawne não substituiu o Dr. Wells.

Nesse caso, o Barry (X) que vemos não teria memórias completas da linha do tempo X-1, pois ele mesmo nunca experimentou esses eventos.

Se sim, por que ele não impediu que os eventos da linha do tempo x acontecessem?

Barry faz impedir que os eventos da linha do tempo X aconteçam - é essencialmente o que cria Linha do tempo X-1. As diferenças entre eles originam-se de Barry saber de repente o que aconteceu originalmente e, em seguida, tomar medidas para evitá-los. Infelizmente, as coisas não acabaram como Barry esperava / esperava (especialmente no caso de Iris, e ainda outro pessoa que está aprendendo a verdadeira identidade do Flash),


Assista o vídeo: O Paradoxo de Olbers (Dezembro 2021).