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14,4: Integrais duplos na forma polar - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Reconhecer o formato de uma integral dupla sobre uma região retangular polar.
  • Avalie uma integral dupla em coordenadas polares usando uma integral iterada.
  • Reconheça o formato de uma integral dupla sobre uma região polar geral.
  • Use integrais duplos em coordenadas polares para calcular áreas e volumes.

Integrais duplos às vezes são muito mais fáceis de avaliar se mudarmos as coordenadas retangulares para coordenadas polares. No entanto, antes de descrevermos como fazer essa mudança, precisamos estabelecer o conceito de integral dupla em uma região retangular polar.

Regiões retangulares polares de integração

Quando definimos a integral dupla para uma função contínua em coordenadas retangulares - digamos, (g ) sobre uma região (R ) no (xy ) - plano - dividimos (R ) em sub-retângulos com lados paralelo aos eixos coordenados. Esses lados têm valores constantes (x ) e / ou valores constantes (y ). Nas coordenadas polares, a forma com a qual trabalhamos é um retângulo polar, cujos lados têm valores constantes (r ) - valores e / ou valores constantes ( theta ). Isso significa que podemos descrever um retângulo polar como na Figura ( PageIndex {1a} ), com (R = {(r, theta) , | , a leq r leq b, , alpha leq theta leq beta } ).

Nesta seção, procuramos integrar retângulos polares. Considere uma função (f (r, theta) ) sobre um retângulo polar (R ). Dividimos o intervalo ([a, b] ) em (m ) subintervalos ([r_ {i-1}, r_i] ) de comprimento ( Delta r = (b - a) / m ) e divida o intervalo ([ alpha, beta] ) em (n ) subintervalos ([ theta_ {i-1}, theta_i] ) de largura ( Delta theta = ( beta - alpha) / n ). Isso significa que os círculos (r = r_i ) e raios ( theta = theta_i ) para (1 leq i leq m ) e (1 leq j leq n ) dividem o polar retângulo (R ) em sub-retângulos polares menores (R_ {ij} ) (Figura ( PageIndex {1b} )).

Como antes, precisamos encontrar a área ( Delta A ) do sub-retângulo polar (R_ {ij} ) e o volume “polar” da caixa fina acima (R_ {ij} ). Lembre-se de que, em um círculo de raio (r ), o comprimento (s ) de um arco subtendido por um ângulo central de ( theta ) radianos é (s = r theta ). Observe que o retângulo polar (R_ {ij} ) se parece muito com um trapézio com lados paralelos (r_ {i-1} Delta theta ) e (r_i Delta theta ) e com uma largura ( Delta r ). Portanto, a área do sub-retângulo polar (R_ {ij} ) é

[ Delta A = frac {1} {2} Delta r (r_ {i-1} Delta theta + r_i Delta theta). enhum número]

Simplificando e deixando

[r_ {ij} ^ * = frac {1} {2} (r_ {i-1} + r_i) não número ]

temos ( Delta A = r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta ).

Portanto, o volume polar da caixa fina acima (R_ {ij} ) (Figura ( PageIndex {2} )) é

[f (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) Delta A = f (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta. enhum número]

Usando a mesma ideia para todos os sub-retângulos e somando os volumes das caixas retangulares, obtemos uma soma de Riemann dupla como

[ sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta. enhum número]

Como vimos antes, obtemos uma melhor aproximação do volume polar do sólido acima da região (R ) quando deixamos (m ) e (n ) se tornarem maiores. Portanto, definimos o volume polar como o limite da soma dupla de Riemann,

[V = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta. enhum número]

Isso se torna a expressão para o integral duplo.

Definição: O integral duplo em coordenadas polares

A integral dupla da função (f (r, theta) ) sobre a região retangular polar (R ) no plano (r theta ) - é definida como

[ begin {align} iint_R f (r, theta) dA & = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) Delta A [4pt] & = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1 } ^ nf (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta. end {align} ]

Novamente, assim como na seção sobre Integrais duplos sobre regiões retangulares, a integral dupla sobre uma região retangular polar pode ser expressa como uma integral iterativa em coordenadas polares. Por isso,

[ iint_R f (r, theta) , dA = iint_R f (r, theta) , r , dr , d theta = int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = a} ^ {r = b} f (r, theta) , r , dr , d theta. ]

Observe que a expressão para (dA ) é substituída por (r , dr , d theta ) ao trabalhar em coordenadas polares. Outra maneira de ver a integral dupla polar é alterando a integral dupla em coordenadas retangulares por substituição. Quando a função (f ) é dada em termos de (x ) e (y ) usando (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ), e (dA = r , dr , d theta ) muda para

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_R f (r , cos , theta, , r , sin , theta) , r , dr , d theta. ]

Observe que todas as propriedades listadas na seção Integrais duplos sobre regiões retangulares para o integral duplo em coordenadas retangulares também são verdadeiras para o integral duplo em coordenadas polares, portanto, podemos usá-las sem hesitação.

Exemplo ( PageIndex {1A} ): Esboçando uma região retangular polar

Esboce a região retangular polar

[R = {(r, theta) , | , 1 leq r leq 3, 0 leq theta leq pi }. enhum número]

Solução

Como podemos ver na Figura ( PageIndex {3} ), (r = 1 ) e (r = 3 ) são círculos de raio 1 e 3 e (0 leq theta leq pi ) cobre toda a metade superior do avião. Portanto, a região (R ) parece uma banda semicircular.

Agora que esboçamos uma região retangular polar, vamos demonstrar como avaliar uma integral dupla sobre esta região usando coordenadas polares.

Exemplo ( PageIndex {1B} ): Avaliando um Integral Duplo em uma Região Retangular Polar

Avalie o integral ( displaystyle iint_R 3x , dA ) sobre a região (R = {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, , 0 leq theta leq pi }. )

Solução

Primeiro, esboçamos uma figura semelhante à Figura ( PageIndex {3} ), mas com raio externo (r = 2 ). Pela figura, podemos ver que temos

[ begin {align *} iint_R 3x , dA & = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 1} ^ {r = 2} 3r , cos , theta , r , dr , d theta quad text {Use uma integral com limites corretos de integração.} & = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} cos , theta left [ left. r ^ 3 right | _ {r = 1} ^ {r = 2} right] d theta quad text {Integre primeiro em relação a $ r $.} & = int _ { theta = 0 } ^ { theta = pi} 7 , cos , theta , d theta & = 7 , sin , theta bigg | _ { theta = 0} ^ { theta = pi} = 0. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Esboce a região (D = {(r, theta) vert 1 leq r leq 2, , - frac { pi} {2} leq theta leq frac { pi} { 2} } ), e avalie ( displaystyle iint_R x , dA ).

Dica

Siga as etapas em Exemplo ( PageIndex {1A} ).

Responder

( frac {14} {3} )

Exemplo ( PageIndex {2A} ): Avaliando um duplo integral convertendo de coordenadas retangulares

Avalie o integral

[ iint_R (1 - x ^ 2 - y ^ 2) , dA nonumber ]

onde (R ) é o círculo unitário no plano (xy ).

Solução

A região (R ) é um círculo unitário, então podemos descrevê-la como (R = {(r, theta) , | , 0 leq r leq 1, , 0 leq theta leq 2 pi } ).

Usando a conversão (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ) e (dA = r , dr , d theta ), temos

[ begin {align *} iint_R (1 - x ^ 2 - y ^ 2) , dA & = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 (1 - r ^ 2) , r , dr , d theta [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 (r - r ^ 3) , dr , d theta & = int_0 ^ {2 pi} left [ frac {r ^ 2} {2} - frac {r ^ 4} {4} right] _0 ^ 1 , d theta & = int_0 ^ {2 pi} frac {1} {4} , d theta = frac { pi} {2}. end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {2B} ): Avaliando um duplo integral convertendo de coordenadas retangulares

Avalie o integral [ displaystyle iint_R (x + y) , dA nonumber ] onde (R = big {(x, y) , | , 1 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 4, , x leq 0 big }. )

Solução

Podemos ver que (R ) é uma região anular que pode ser convertida em coordenadas polares e descrita como (R = left {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, , frac { pi} {2} leq theta leq frac {3 pi} {2} right } ) (veja o gráfico a seguir).

Portanto, usando a conversão (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ) e (dA = r , dr , d theta ), temos

[ begin {align *} iint_R (x + y) , dA & = int _ { theta = pi / 2} ^ { theta = 3 pi / 2} int_ {r = 1} ^ {r = 2} (r , cos , theta + r , sin , theta) r , dr , d theta & = left ( int_ {r = 1} ^ {r = 2} r ^ 2 , dr right) left ( int _ { pi / 2} ^ {3 pi / 2} ( cos , theta + sin , theta) , d theta right) & = left. left [ frac {r ^ 3} {3} right] _1 ^ 2 [ sin , theta - cos , theta] right | _ { pi / 2} ^ {3 pi / 2} & = - frac {14} {3}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Avalie o integral [ displaystyle iint_R (4 - x ^ 2 - y ^ 2) , dA nonumber ] onde (R ) é o círculo de raio 2 no plano (xy ).

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

(8 pi )

Regiões Polares Gerais de Integração

Para avaliar a integral dupla de uma função contínua por integrais iterados sobre regiões polares gerais, consideramos dois tipos de regiões, análogos ao Tipo I e Tipo II, conforme discutido para coordenadas retangulares na seção sobre Integrais Duplos sobre Regiões Gerais. É mais comum escrever equações polares como (r = f ( theta) ) do que ( theta = f (r) ), portanto, descrevemos uma região polar geral como (R = {(r, theta) , | , alpha leq theta leq beta, , h_1 ( theta) leq r leq h_2 ( theta) } ) (Figura ( PageIndex {5} )).

Teorema: Integrais duplos sobre regiões polares gerais

Se (f (r, theta) ) é contínuo em uma região polar geral (D ) conforme descrito acima, então

[ iint_D f (r, theta) , r , dr , d theta = int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = h_1 ( theta) } ^ {r = h_2 ( theta)} f (r, theta) , r , dr , d theta. ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Avaliando um Duplo Integral em uma Região Polar Geral

Avalie o integral

[ iint_D r ^ 2 sin theta , r , dr , d theta nonumber ]

onde (D ) é a região limitada pelo eixo polar e a metade superior do cardióide (r = 1 + cos , theta ).

Solução

Podemos descrever a região (D ) como ( {(r, theta) , | , 0 leq theta leq pi, , 0 leq r leq 1 + cos , theta } ) como mostrado na Figura ( PageIndex {6} ).

Portanto, temos

[ begin {align *} iint_D r ^ 2 sin , theta , r , dr , d theta & = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1 + cos theta} (r ^ 2 sin , theta) , r , dr , d theta & = frac {1} {4} left. int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} [r ^ 4] right | _ {r = 0} ^ {r = 1 + cos , theta} sin , theta , d theta & = frac {1} {4} int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} (1 + cos , theta) ^ 4 sin , theta , d theta & = - frac {1} {4} left [ frac {(1 + cos , theta) ^ 5} {5} right] _0 ^ { pi} = frac {8} {5}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Avalie o integral

[ iint_D r ^ 2 sin ^ 2 2 theta , r , dr , d theta nonumber ]

onde (D = left {(r, theta) , | , 0 leq theta leq pi, , 0 leq r leq 2 sqrt { cos , 2 theta} direito}).

Dica

Represente graficamente a região e siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

( frac { pi} {8} )

Áreas polares e volumes

Como nas coordenadas retangulares, se um sólido (S ) é limitado pela superfície (z = f (r, theta) ), bem como pelas superfícies (r = a, , r = b, , theta = alpha ), e ( theta = beta ), podemos encontrar o volume (V ) de (S ) por dupla integração, como

[V = iint_R f (r, theta) , r , dr , d theta = int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = a} ^ {r = b} f (r, theta) , r , dr , d theta. ]

Se a base do sólido pode ser descrita como (D = {(r, theta) | alpha leq theta leq beta, , h_1 ( theta) leq r leq h_2 ( theta ) } ), então a integral dupla para o volume torna-se

[V = iint_D f (r, theta) , r , dr , d theta = int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = h_1 ( theta)} ^ {r = h_2 ( theta)} f (r, theta) , r , dr , d theta. ]

Ilustramos essa ideia com alguns exemplos.

Exemplo ( PageIndex {4A} ): Encontrando um volume usando um duplo integral

Encontre o volume do sólido que se encontra sob o parabolóide (z = 1 - x ^ 2 - y ^ 2 ) e acima do círculo unitário no (xy ) - plano (Figura ( PageIndex {7} )).

Solução

Pelo método de integração dupla, podemos ver que o volume é a integral iterada da forma

[ displaystyle iint_R (1 - x ^ 2 - y ^ 2) , dA nonumber ]

onde (R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq 1, , 0 leq theta leq 2 pi big } ).

Esta integração foi mostrada antes no Exemplo ( PageIndex {2A} ), então o volume é ( frac { pi} {2} ) unidades cúbicas.

Exemplo ( PageIndex {4B} ): Encontrando um volume usando integração dupla

Encontre o volume do sólido que se encontra sob o parabolóide (z = 4 - x ^ 2 - y ^ 2 ) e acima do disco ((x - 1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no (xy ) - plano. Veja o parabolóide na Figura ( PageIndex {8} ) interceptando o cilindro ((x - 1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) acima do plano (xy ) -.

Solução

Primeiro mude o disco ((x - 1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) para coordenadas polares. Expandindo o termo quadrado, temos (x ^ 2 - 2x + 1 + y ^ 2 = 1 ). Em seguida, simplifique para obter (x ^ 2 + y ^ 2 = 2x ), que em coordenadas polares se torna (r ^ 2 = 2r , cos , theta ) e então (r = 0 ) ou (r = 2 , cos , theta ). Da mesma forma, a equação do parabolóide muda para (z = 4 - r ^ 2 ). Portanto, podemos descrever o disco ((x - 1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no plano (xy ) como a região

[D = {(r, theta) , | , 0 leq theta leq pi, , 0 leq r leq 2 , cos theta }. enhum número]

Portanto, o volume do sólido delimitado acima pelo parabolóide (z = 4 - x ^ 2 - y ^ 2 ) e abaixo por (r = 2 , cos theta ) é

[ begin {align *} V & = iint_D f (r, theta) , r , dr , d theta & = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi } int_ {r = 0} ^ {r = 2 , cos , theta} (4 - r ^ 2) , r , dr , d theta & = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} left. Left [4 frac {r ^ 2} {2} - frac {r ^ 4} {4} right | _0 ^ {2 , cos , theta} right] d theta & = int_0 ^ { pi} [8 , cos ^ 2 theta - 4 , cos ^ 4 theta] , d theta & = left [ frac {5} {2} theta + frac {5} {2} sin , theta , cos , theta - sin , theta cos ^ 3 theta right] _0 ^ { pi} = frac {5} {2} pi ; text {unidades} ^ 3. end {align *} ]

Observe no próximo exemplo que a integração nem sempre é fácil com coordenadas polares. A complexidade da integração depende da função e também da região sobre a qual precisamos realizar a integração. Se a região tem uma expressão mais natural em coordenadas polares ou se (f ) tem uma antiderivada mais simples em coordenadas polares, então a mudança nas coordenadas polares é apropriada; caso contrário, use coordenadas retangulares.

Exemplo ( PageIndex {5A} ): Encontrando um volume usando um duplo integral

Encontre o volume da região que se encontra sob o parabolóide (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) e acima do triângulo entre as linhas (y = x, , x = 0 ) e (x + y = 2 ) no plano (xy ).

Solução

Primeiro examine a região sobre a qual precisamos configurar a integral dupla e o parabolóide que a acompanha.

A região (D ) é ( {(x, y) , | , 0 leq x leq 1, , x leq y leq 2 - x } ). Convertendo as linhas (y = x, , x = 0 ) e (x + y = 2 ) no plano (xy ) - para funções de (r ) e ( theta ) temos ( theta = pi / 4, , theta = pi / 2 ) e (r = 2 / ( cos , theta + sin , theta) ), respectivamente. Representando graficamente a região no plano (xy ), vemos que se parece com (D = {(r, theta) , | , pi / 4 leq theta leq pi / 2 , , 0 leq r leq 2 / ( cos , theta + sin , theta) } ).

Agora, convertendo a equação da superfície dá (z = x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ). Portanto, o volume do sólido é dado pela integral dupla

[ begin {align *} V & = iint_D f (r, theta) , r , dr , d theta & = int _ { theta = pi / 4} ^ { theta = pi / 2} int_ {r = 0} ^ {r = 2 / ( cos , theta + sin , theta)} r ^ 2 r , dr d theta & = int _ { pi / 4} ^ { pi / 2} left [ frac {r ^ 4} {4} right] _0 ^ {2 / ( cos , theta + sin , theta) } d theta & = frac {1} {4} int _ { pi / 4} ^ { pi / 2} left ( frac {2} { cos , theta + sin , theta} right) ^ 4 d theta & = frac {16} {4} int _ { pi / 4} ^ { pi / 2} left ( frac {1} { cos , theta + sin , theta} right) ^ 4 d theta & = 4 int _ { pi / 4} ^ { pi / 2} left ( frac {1} { cos , theta + sin , theta} right) ^ 4 d theta. end {align *} ]

Como você pode ver, essa integral é muito complicada. Então, podemos avaliar esta integral dupla em coordenadas retangulares como

[V = int_0 ^ 1 int_x ^ {2-x} (x ^ 2 + y ^ 2) , dy , dx. enhum número]

Avaliando dá

[ begin {align *} V & = int_0 ^ 1 int_x ^ {2-x} (x ^ 2 + y ^ 2) , dy , dx & = int_0 ^ 1 left. esquerda [x ^ 2y + frac {y ^ 3} {3} direita] direita | _x ^ {2-x} dx & = int_0 ^ 1 frac {8} {3} - 4x + 4x ^ 2 - frac {8x ^ 3} {3} , dx & = left. Left [ frac {8x} {3} - 2x ^ 2 + frac {4x ^ 3} {3} - frac {2x ^ 4} {3} right] right | _0 ^ 1 & = frac {4} {3} ; text {unidades} ^ 3. end {align *} ]

Para responder à questão de como as fórmulas para os volumes de diferentes sólidos padrão, como uma esfera, um cone ou um cilindro, são encontradas, queremos demonstrar um exemplo e encontrar o volume de um cone arbitrário.

Exemplo ( PageIndex {5B} ): Encontrando um volume usando um duplo integral

Use coordenadas polares para encontrar o volume dentro do cone (z = 2 - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) e acima do plano (xy ) -.

Solução

A região (D ) para a integração é a base do cone, que parece ser um círculo no plano (xy ) (Figura ( PageIndex {10} )).

Encontramos a equação do círculo definindo (z = 0 ):

[ begin {align *} 0 & = 2 - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} 2 & = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} x ^ 2 + y ^ 2 & = 4. end {align *} ]

Isso significa que o raio do círculo é (2 ) então para a integração temos (0 leq theta leq 2 pi ) e (0 leq r leq 2 ). Substituindo (x = r , cos theta ) e (y = r , sin , theta ) na equação (z = 2 - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) temos (z = 2 - r ). Portanto, o volume do cone é

[ int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 2} (2 - r) , r , dr , d theta = 2 pi frac {4} {3} = frac {8 pi} {3} ; text {unidades cúbicas.} nonumber ]

Análise

Observe que se encontrarmos o volume de um cone arbitrário com unidades de raio ( alpha ) e unidades de altura (h ), então a equação do cone seria (z = h - frac {h} {a} sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ).

Ainda podemos usar Figure ( PageIndex {10} ) e configurar a integral como

[ int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = a} left (h - frac {h} {a} r right) r , dr , d theta. enhum número]

Avaliando a integral, obtemos ( frac {1} {3} pi a ^ 2 h ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Use coordenadas polares para encontrar uma integral iterada para encontrar o volume do sólido delimitado pelos parabolóides (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) e (z = 16 - x ^ 2 - y ^ 2 ).

Dica

Desenhar os gráficos pode ajudar.

Responder

[V = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ {2 sqrt {2}} (16 - 2r ^ 2) , r , dr , d theta = 64 pi ; text {unidades cúbicas.} nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {6B} ): Encontrando a área entre duas curvas polares

Encontre a área delimitada pelo círculo (r = 3 , cos , theta ) e o cardióide (r = 1 + cos , theta ).

Solução

Em primeiro lugar, esboce os gráficos da região (Figura ( PageIndex {12} )).

Podemos ver a simetria do gráfico de que precisamos para encontrar os pontos de intersecção. Definir as duas equações iguais uma à outra dá

[3 , cos , theta = 1 + cos , theta. enhum número]

Um dos pontos de interseção é ( theta = pi / 3 ). A área acima do eixo polar consiste em duas partes, com uma parte definida pelo cardióide de ( theta = 0 ) a ( theta = pi / 3 ) e a outra parte definida pelo círculo de ( theta = pi / 3 ) a ( theta = pi / 2 ). Por simetria, a área total é o dobro da área acima do eixo polar. Assim, temos

[A = 2 left [ int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 3} int_ {r = 0} ^ {r = 1 + cos , theta} 1 , r , dr , d theta + int _ { theta = pi / 3} ^ { theta = pi / 2} int_ {r = 0} ^ {r = 3 , cos , theta } 1 , r , dr , d theta right]. enhum número]

Avaliando cada peça separadamente, descobrimos que a área é

[A = 2 left ( frac {1} {4} pi + frac {9} {16} sqrt {3} + frac {3} {8} pi - frac {9} { 16} sqrt {3} right) = 2 left ( frac {5} {8} pi right) = frac {5} {4} pi , text {unidades quadradas.} Nonumber ]

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre a área delimitada dentro do cardióide (r = 3 - 3 , sin theta ) e fora do cardióide (r = 1 + sin theta ).

Dica

Esboce o gráfico e resolva os pontos de intersecção.

Responder

[A = 2 int _ {- pi / 2} ^ { pi / 6} int_ {1+ sin , theta} ^ {3-3 sin , theta} , r , dr , d theta = left (8 pi + 9 sqrt {3} right) ; text {unidades} ^ 2 não numérico ]

Exemplo ( PageIndex {7} ): Avaliando um Integral Duplo Impróprio em Coordenadas Polares

Avalie o integral

[ iint_ {R ^ 2} e ^ {- 10 (x ^ 2 + y ^ 2)} , dx , dy. enhum número]

Solução

Esta é uma integral imprópria porque estamos integrando sobre uma região ilimitada (R ^ 2 ). Em coordenadas polares, todo o plano (R ^ 2 ) pode ser visto como (0 leq theta leq 2 pi, , 0 leq r leq infty ).

Usando as mudanças de variáveis ​​de coordenadas retangulares para coordenadas polares, temos

[ begin {align *} iint_ {R ^ 2} e ^ {- 10 (x ^ 2 + y ^ 2)} , dx , dy & = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = infty} e ^ {- 10r ^ 2} , r , dr , d theta = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} left ( lim_ {a rightarrow infty} int_ {r = 0} ^ {r = a} e ^ {- 10r ^ 2} r , dr right) d theta & = left ( int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} right) d theta left ( lim_ {a rightarrow infty} int_ {r = 0} ^ { r = a} e ^ {- 10r ^ 2} r , dr right) & = 2 pi left ( lim_ {a rightarrow infty} int_ {r = 0} ^ {r = a } e ^ {- 10r ^ 2} r , dr right) & = 2 pi lim_ {a rightarrow infty} left (- frac {1} {20} right) left ( left. e ^ {- 10r ^ 2} right | _0 ^ a right) & = 2 pi left (- frac {1} {20} right) lim_ {a rightarrow infty } left (e ^ {- 10a ^ 2} - 1 right) & = frac { pi} {10}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Avalie o integral

[ iint_ {R ^ 2} e ^ {- 4 (x ^ 2 + y ^ 2)} dx , dy. enhum número]

Dica

Converta para o sistema de coordenadas polares.

Responder

( frac { pi} {4} )

Conceitos chave

  • Para aplicar uma integral dupla a uma situação com simetria circular, muitas vezes é conveniente usar uma integral dupla em coordenadas polares. Podemos aplicar essas integrais duplas sobre uma região retangular polar ou uma região polar geral, usando uma integral iterativa semelhante àquelas usadas com integrais duplas retangulares.
  • A área (dA ) em coordenadas polares torna-se (r , dr , d theta ).
  • Use (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ) e (dA = r , dr , d theta ) para converter um integral em coordenadas retangulares para uma integral em coordenadas polares.
  • Use (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e ( theta = tan ^ {- 1} left ( frac {y} {x} right) ) para converter uma integral em polar coordenadas para um integral em coordenadas retangulares, se necessário.
  • Para encontrar o volume em coordenadas polares limitadas acima por uma superfície (z = f (r, theta) ) sobre uma região no plano (xy ), use uma integral dupla nas coordenadas polares.

Equações Chave

  • Integral duplo sobre uma região retangular polar (R )

[ iint_R f (r, theta) dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) Delta A = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (r_ {ij} ^ *, theta_ {ij} ^ *) r_ {ij} ^ * Delta r Delta theta nonumber ]

  • Integral duplo sobre uma região polar geral

[ iint_D f (r, theta) , r , dr , d theta = int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = h_1 ( theta) } ^ {r_2 ( theta)} f (r, theta) , r , dr , d theta nonumber ]

Glossário

retângulo polar
a região delimitada entre os círculos (r = a ) e (r = b ) e os ângulos ( theta = alpha ) e ( theta = beta ); é descrito como (R = {(r, theta) , | , a leq r leq b, , alpha leq theta leq beta } )

14.4: Integrais Duplos na Forma Polar - Matemática

6. Use uma integral dupla para determinar o volume do sólido que está dentro do cilindro ( + = 16 ), abaixo de (z = 2 + 2) e acima do plano (xy ).

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Vamos começar este problema com um esboço rápido do sólido que estamos vendo aqui neste problema.

O topo do sólido é o parabolóide (a superfície dourada nos esboços). As paredes do sólido são o cilindro ( + = 16 ) e é mostrado com a superfície semitranslúcida no esboço. A parte inferior do sólido é o plano (xy ).

Assim, o volume do sólido que está sob o parabolóide e acima da região (D ) no plano (xy ) - é dado por,

[V = iint limits_ <<2+ 2, dA >> ] Mostrar Etapa 3

A região (D ) é a região do plano (xy ) que usamos para esboçar a superfície sob a qual estamos encontrando o volume (ou seja, o parabolóide).

Determinar (D ) neste caso é muito simples se você pensar sobre isso. O sólido é definido pela porção do parabolóide que está dentro do cilindro ( + = 16 ). Mas isso é exatamente o que define a parte do plano (xy ) que usamos para representar graficamente a superfície. Usamos apenas os pontos do plano (xy ) - que estão dentro do cilindro e então a região (D ) é então apenas o disco definido por ( + le 16 ).

Outra maneira de pensar em determinar (D ) para este caso é olhar para o sólido diretamente acima dele. A região 2D que você vê será a região (D ). Neste caso, a região que vemos é o interior do cilindro ou do disco ( + le 16 ).

Agora, a região (D ) é um disco e isso sugere fortemente que usemos coordenadas polares para este problema. Os limites polares para esta região (D ) são,

[começar0 le theta le 2 pi 0 le r le 4 end] Mostrar Etapa 4

Ok, vamos intensificar a integral em termos de coordenadas polares.

Não se esqueça de converter todos os (x ) 'se (y )' s em (r ) 'se ( theta ) e certifique-se de simplificar o integrando ao máximo que possível. Além disso, não se esqueça de adicionar o (r ) que obtemos do (dA ).

Aqui está a integração (r ) simples.

Finalmente, aqui está a integração ( theta ) realmente simples.

Observe que esta foi uma integração muito simples e, portanto, não fizemos nenhum trabalho e deixamos para você verificar os detalhes.


14.4: Integrais Duplos na Forma Polar - Matemática

7. Use uma integral dupla para determinar o volume do sólido que é limitado por (z = 8 - - ) e (z = 3 + 3 - 4).

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Vamos começar este problema com um esboço rápido do sólido que estamos vendo aqui neste problema.

O topo do sólido é o parabolóide dado por (z = 8 - - ) (a superfície colorida de ouro nos esboços) e a parte inferior do sólido é o parabolóide dado por (z = 3 + 3 - 4 ) (a superfície de cor azul nos esboços).

Para obter o volume deste sólido, precisaremos saber o valor de (z ) onde essas duas superfícies se cruzam. Para resolvermos a equação do parabolóide superior como segue,

Agora, conecte isso à equação do segundo parabolóide para obter,

[z = 3 left (<+ > right) - 4 = 3 left (<8 - z> right) - 4 = 20 - 3z hspace <0.25in> para hspace <0.25in> 4z = 20 hspace <0.25in> para hspace <0,25in> z = 5 ]

Portanto, sabemos que eles se cruzarão em (z = 5 ). Conectar isso à equação parabolóide e fazer uma pequena simplificação dará a seguinte equação.

Agora, o que isso nos diz? Este é o círculo onde os dois parabolóides se cruzam em (z = 5 ). Isso também nos diz que a região (D ) no plano (xy ) - que vamos usar neste problema é o disco definido por ( + le 3 ). Isso faz sentido se você pensar bem. É a região no plano (xy ) - que usaríamos para representar graficamente cada um dos parabolóides nos esboços.

Não temos uma fórmula para encontrar o volume deste sólido neste ponto, então vamos ver se podemos descobrir o que é.

Vamos começar com o volume apenas da parte inferior do sólido. Em outras palavras, qual é o volume da porção do sólido que está abaixo do plano (z = 5 ) e acima do parabolóide dado por (z = 3 + 3 - 4).

Vimos um sólido como este nas notas desta seção. Seguindo a mesma lógica nesse problema o volume da porção inferior do sólido é dado por,

onde (D ) é o disco ( + le 3 ) como discutimos acima.

Observe que embora este parabolóide deslize sob o plano (xy ), a fórmula ainda é válida.

O volume da porção superior do sólido, ou seja. a parte sob (z = 8 - - ) e acima do plano (z = 5 ) pode ser encontrado com um argumento semelhante ao que usamos para a região inferior. O volume da região superior é então,

onde (D ) é o disco ( + le 3 ) como discutimos acima.

O volume de todo o sólido é então,

Observe que poderíamos combinar as duas integrais porque ambas estavam na mesma região (D ).

Ok, como já determinamos (D ) é o disco dado por ( + le 3 ) e porque este é um disco, faz sentido fazer esta integral em coordenadas polares. Aqui estão os limites polares para esta integral / região.

[começar0 le theta le 2 pi 0 le r le sqrt 3 end] Mostrar Etapa 6

A integral de volume (em termos de coordenadas polares) é, então,

Não se esqueça de converter todos os (x ) 'se (y )' s em (r ) 'se ( theta ) e certifique-se de simplificar o integrando ao máximo que possível. Além disso, não se esqueça de adicionar o (r ) que obtemos do (dA ).

Aqui está a integração (r ).

Finalmente, aqui está a integração ( theta ) realmente simples.

Observe que esta foi uma integração muito simples e, portanto, não fizemos nenhum trabalho e deixamos para você verificar os detalhes.


Convertendo integrais duplos impróprios para a forma polar: o que eu faço com os limites do infinito

Primeiro observe que, na integral original, a região sobre a qual você está integrando, é o todo $ mathbb$ (o plano $ xy $).

Em coordenadas polares, devemos então ter que $ r $ e $ theta $ também têm seu "domínio máximo".

Observação: minha escolha de palavras acima é MUITO grosseira, pois quero explicá-la o mais facilmente possível.

Teremos os seguintes limites: $ 0 leq r leq infty , 0 leq theta leq 2 pi $ Esta é uma região retangular dentro do plano $ r theta $ (usaremos este fato para intercambiar ordem de integração posterior).

Isso garante que TODAS as regiões circulares dentro do plano $ xy $ original sejam incluídas.

Nossa integral então se torna begin int limits _ <- infty> ^ infty int limits _ <- infty> ^ infty-e ^ < frac<5>> dA & amp = int limits _ < theta = 0> ^ <2 pi> int limits_^ < infty> -e ^ frac<5> rdrd theta & amp = int limits_^ infty int limits _ < theta = 0> ^ <2 pi> -e ^ frac<5> rd theta dr & amp = int limits_^ infty -2 pi e ^ < frac<5>> rdr & amp = -2 pi int limits_^ infty re ^ frac<5> dr end

Observe, porém, que a resposta acima está em sua forma mais simples, pois a integral imprópria dada no último passo não converge para $ r in [0, infty) $.


Problemas resolvidos

Clique ou toque em um problema para ver a solução.

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

Exemplo 7

Exemplo 8

Exemplo 9

Exemplo 10

Exemplo 1.

A região (R ) é esboçada na Figura (4. )

Usando a fórmula para a área de uma região do tipo (I )

Exemplo 2.

Primeiro determinamos os pontos de intersecção das duas curvas.

Portanto, as coordenadas dos pontos de intersecção são

É mais simples considerar (R ) como uma região do tipo (II ) ( left (< text

5> right). )

Para calcular a área da região, transformamos as equações dos limites:


Derivadas de funções polares

A posição dos pontos no plano pode ser descrita em diferentes sistemas de coordenadas. Além do sistema de coordenadas cartesianas, o sistema de coordenadas polares também é difundido. Neste sistema, a posição de qualquer ponto (M ) é descrita por dois números (ver Figura (1 )):

  • o comprimento do vetor de raio (r) desenhado da origem (O) (pólo) ao ponto (M)
  • o ângulo polar ( theta ) formado pelo segmento (OM ) e a direção positiva do eixo (x ). O ângulo ( theta ) é medido no sentido anti-horário.

A equação (r = f left ( theta right) ), que expressa a dependência do comprimento do vetor do raio (r ) com o ângulo polar ( theta ), descreve uma curva no plano e é chamada de equação polar da curva.

Por exemplo, a espiral arquimediana (Figura (2 )) é descrita pela equação polar

onde (a ) é um parâmetro que determina a densidade das voltas espirais.

A distância de separação entre voltas sucessivas na espiral arquimediana é constante e igual a (2 pi a. )

As fórmulas gerais para converter as coordenadas polares ( left ( ight)) to Cartesian ones (left( ight)) are as follows:

If a curve is given by a polar equation (r = fleft( heta ight),) then in Cartesian coordinates it is described by the system of equations

[ left < eginx &= fleft( heta ight)cos heta y &= fleft( heta ight)sin heta end ight., ]

As you can see, these equations are the parametric equations of the polar curve where ( heta) is a parameter. Then the derivative (large><>> ormalsize) of a polar function (r = fleft( heta ight)) is defined by the formula for the derivative of a parametric function:


CONVERT COMPLEX NUMBERS FROM POLAR TO RECTANGULAR FORM

Hence the real part of the complex number is  - √2. Now we have to find the imaginary part.

So the rectangular form of the complex number is 

Convert the given polar form to rectangular form

Rectangular form of a complex number is x + iy

Since 60 ° lies in the first quadrant, we have to put positive sign for all trigonometric ratios.

Hence the real part of the complex number is 1 . Now we have to find the imaginary part.

So the rectangular form of the complex number is 

Convert the given polar form to rectangular form

Rectangular form of a complex number is x + iy

2cos( -2Π/3) = 2cos(-120 °) ==>  2cos120 °

2cos(90 + 30) ==> 2sin30 ° ==> 2 x (1/2) ==> 1

Hence the real part of the complex number is 1 . Now we have to find the imaginary part.

2sin( -2Π/3) = 2sin(-120°) ==> - 2sin120 °

-2sin(90 + 30) ==> -2cos30 ° ==> -2 x ( √3 /2) ==> - √3

So the rectangular form of the complex number is 

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