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9.7: Resolva Desigualdades Racionais - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Resolva desigualdades racionais
  • Resolva uma desigualdade com funções racionais

Esteja preparado

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Encontre o valor de (x-5 ) quando ⓐ (x = 6 ) ⓑ (x = -3 ) ⓒ (x = 5 )
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 1.2.16.
  2. Resolva: (8-2 x <12 )
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 2.6.13.
  3. Escreva em notação de intervalo: (- 3 leq x <5 )
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 2.6.4.

Resolva Desigualdades Racionais

Aprendemos a resolver desigualdades lineares depois de aprender a resolver equações lineares. As técnicas eram praticamente as mesmas, com uma exceção importante. Quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, o sinal de desigualdade se inverteu.

Tendo acabado de aprender a resolver equações racionais, agora estamos prontos para resolver desigualdades racionais. Uma desigualdade racional é uma desigualdade que contém uma expressão racional.

Desigualdade Racional

Uma desigualdade racional é uma desigualdade que contém uma expressão racional.

Desigualdades como ( quad dfrac {3} {2 x}> 1, quad dfrac {2 x} {x-3} <4, quad dfrac {2 x-3} {x-6} geq x, quad ) e ( quad dfrac {1} {4} - dfrac {2} {x ^ {2}} leq dfrac {3} {x} quad ) são racionais desigualdades, pois cada uma contém uma expressão racional.

Quando resolvermos uma desigualdade racional, usaremos muitas das técnicas que usamos para resolver desigualdades lineares. Devemos lembrar especialmente que quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, o sinal de desigualdade deve ser invertido.

Outra diferença é que devemos considerar cuidadosamente qual valor pode tornar a expressão racional indefinida e, portanto, deve ser excluído.

Quando resolvemos uma equação e o resultado é (x = 3 ), sabemos que existe uma solução, que é 3.

Quando resolvemos uma desigualdade e o resultado é (x> 3 ), sabemos que existem muitas soluções. Representamos graficamente o resultado para ajudar a mostrar melhor todas as soluções e começamos com 3. Três se torna um ponto crítico e então decidimos se sombreia à esquerda ou à direita dele. Os números à direita de 3 são maiores que 3, então sombreamos à direita.

Para resolver uma desigualdade racional, primeiro devemos escrever a desigualdade com apenas um quociente à esquerda e 0 à direita.

Em seguida, determinamos os pontos críticos a serem usados ​​para dividir a reta numérica em intervalos. UMA ponto crítico é um número que torna a expressão racional zero ou indefinida.

Em seguida, avaliaremos os fatores do numerador e denominador e encontraremos o quociente em cada intervalo. Isso identificará o intervalo, ou intervalos, que contém todas as soluções da desigualdade racional.

Escrevemos a solução em notação de intervalo, tendo o cuidado de determinar se os terminais estão incluídos.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 )

Solução

Passo 1. Escreva a desigualdade como um quociente à esquerda e zero à direita.

Nossa desigualdade está neste formato. [ Dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 nonumber ]

Passo 2. Determine os pontos críticos - os pontos onde a expressão racional será zero ou indefinida.

A expressão racional será zero quando o numerador for zero. Como (x-1 = 0 ) quando (x = 1 ), então 1 é um ponto crítico.

A expressão racional será indefinida quando o denominador for zero. Como (x + 3 = 0 ) quando (x = -3 ), então -3 é um ponto crítico.

Os pontos críticos são 1 e -3.

etapa 3. Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

A linha numérica é dividida em três intervalos:

[(- infty, -3) quad (-3,1) quad (1, infty) nonumber ]

Passo 4. Teste um valor em cada intervalo. Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator da expressão racional em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.

Para encontrar o sinal de cada fator em um intervalo, escolhemos qualquer ponto nesse intervalo e o usamos como um ponto de teste. Qualquer ponto no intervalo dará à expressão o mesmo sinal, portanto, podemos escolher qualquer ponto no intervalo.

[ text {Intervalo} (- infty, -3) nonumber ]

O número -4 está no intervalo ((- infty, -3) ). Teste (x = -4 ) na expressão no numerador e no denominador.

O numerador:

[ begin {array} {l} {x-1} {-4-1} {-5} { text {Negativo}} end {array} nonumber ]

O denominador:

[ begin {array} {l} {x + 3} {-4 + 3} {-1} { text {Negativo}} end {array} nonumber ]

Acima da reta numérica, marque o fator (x-1 ) negativo e marque o fator (x + 3 ) negativo.

Como um negativo dividido por um negativo é positivo, marque o quociente positivo no intervalo ((- infty, -3) )

[ text {Intervalo} (-3,1) nonumber ]

O número 0 está no intervalo ((- 3,1) ). Teste (x = 0 ).

O numerador:

[ begin {array} {l} {x-1} {0-1} {-1} { text {Negativo}} end {array} nonumber ]

O denominador:

[ begin {array} {l} {x + 3} {0 + 3} {3} { text {Positive}} end {array} nonumber ]

Acima da reta numérica, marque o fator (x-1 ) negativo e marque (x + 3 ) positivo.

Como um negativo dividido por um positivo é negativo, o quociente é marcado como negativo no intervalo ((- 3,1) ).

[ text {Intervalo} (1, infty) nonumber ]

O número 2 está no intervalo ((1, infty) ). Teste (x = 2 ).

O numerador:

[ begin {array} {l} {x-1} {2-1} {1} { text {Positive}} end {array} nonumber ]

O denominador:

[ begin {array} {l} {x + 3} {2 + 3} {5} { text {Positive}} end {array} nonumber ]

Acima da reta numérica, marque o fator (x-1 ) positivo e marque (x + 3 ) positivo.

Como um positivo dividido por um positivo é positivo, marque o quociente positivo no intervalo ((1, infty) ).

Etapa 5. Determine os intervalos em que a desigualdade está correta. Escreva a solução em notação de intervalo.

Queremos que o quociente seja maior ou igual a zero, então os números nos intervalos ((- infty, -3) ) e ((1, infty) ) são soluções.

Mas e os pontos críticos?

O ponto crítico (x = -3 ) torna o denominador 0, portanto deve ser excluído da solução e o marcamos com um parêntese.

O ponto crítico (x = 1 ) torna toda a expressão racional 0. A desigualdade requer que a expressão racional seja maior ou igual a. Portanto, 1 é parte da solução e vamos marcá-lo com um colchete.

Lembre-se de que, quando temos uma solução composta por mais de um intervalo, usamos o símbolo de união, ( cup ), para conectar os dois intervalos. A solução na notação de intervalo é ((- infty, -3) cup [1, infty) ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {x-2} {x + 4} geq 0 )

Responder

((- infty, -4) cup [2, infty) )

Exercício ( PageIndex {2} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {x + 2} {x-4} geq 0 )

Responder

((- infty, -2] cup (4, infty) )

Resumimos as etapas para facilitar a consulta.

Como resolver uma desigualdade racional

Etapa 1. Escreva a inequação como um quociente à esquerda e zero à direita.

Etapa 2. Determine os pontos críticos - os pontos onde a expressão racional será zero ou indefinida.

Etapa 3. Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Passo 4. Acima da reta numérica, mostre o sinal de cada fator do numerador e denominador em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.

Etapa 5. Escreva a solução em notação de intervalo.

O próximo exemplo requer que primeiro coloquemos a desigualdade racional na forma correta.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {4 x} {x-6} <1 )

Solução

[ dfrac {4 x} {x-6} <1 não numérico ]

Subtraia 1 para obter zero à direita.

[ dfrac {4 x} {x-6} -1 <0 não numérico ]

Reescreva 1 como uma fração usando o LCD.

[ dfrac {4 x} {x-6} - frac {x-6} {x-6} <0 não numérico ]

Subtraia os numeradores e coloque a diferença sobre o denominador comum.

[ dfrac {4 x- (x-6)} {x-6} <0 não numérico ]

Simplificar.

[ dfrac {3 x + 6} {x-6} <0 não numérico ]

Fatore o numerador para mostrar todos os fatores.

[ dfrac {3 (x + 2)} {x-6} <0 não numérico ]

Encontre os pontos críticos.

O quociente será zero quando o numerador for zero. O quociente é indefinido quando o denominador é zero.

[ begin {array} {rlrl} {x + 2} & {= 0} & {x-6} & {= 0} {x} & {= -2} & {x} & {= 6 } end {array} nonumber ]

Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Teste um valor em cada intervalo.

((- infty, -2) )((-2,6)) ((6, infty) )
(x + 2) )

x + 2

-3+2

-1

-

x + 2

0+2

2

+

x + 2

7+2

9

+

(x-6 )

x-6

-3-6

-9

-

x-6

0-6

-6

-

x-6

7-6

1

+

Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator da expressão racional em cada intervalo. Abaixo da linha numérica, mostra o sinal do quociente.

Determine os intervalos em que a desigualdade está correta. Queremos que o quociente seja negativo, então a solução inclui os pontos entre −2 e 6. Como a desigualdade é estritamente menor que, os pontos finais não são incluídos.

Escrevemos a solução em notação de intervalo como (−2, 6).

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {3 x} {x-3} <1 ).

Responder

( left (- dfrac {3} {2}, 3 right) )

Exercício ( PageIndex {4} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {3 x} {x-4} <2 ).

Responder

((-8,4))

No próximo exemplo, o numerador é sempre positivo, então o sinal da expressão racional depende do sinal do denominador.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {5} {x ^ {2} -2 x-15}> 0 ).

Solução

A desigualdade está na forma correta.

[ dfrac {5} {x ^ {2} -2 x-15}> 0 não numérico ]

Fatore o denominador.

[ dfrac {5} {(x + 3) (x-5)}> 0 não numérico ]

Encontre os pontos críticos. O quociente é 0 quando o numerador é 0. Como o numerador é sempre 5, o quociente não pode ser 0.

O quociente será indefinido quando o denominador for zero.

[ begin {alinhado} & (x + 3) (x-5) = 0 & x = -3, x = 5 end {alinhado} nonumber ]

Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Valores de teste em cada intervalo. Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator do denominador em cada intervalo. Abaixo da reta numérica, mostre o sinal do quociente.

Escreva a solução em notação de intervalo.

[(- infty, -3) cup (5, infty) nonumber ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {1} {x ^ {2} +2 x-8}> 0 ).

Responder

((- infty, -4) cup (2, infty) )

Exercício ( PageIndex {6} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {3} {x ^ {2} + x-12}> 0 ).

Responder

((- infty, -4) cup (3, infty) )

O próximo exemplo requer algum trabalho para colocá-lo na forma necessária.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {1} {3} - dfrac {2} {x ^ {2}} < dfrac {5} {3 x} ).

Solução

[ dfrac {1} {3} - dfrac {2} {x ^ {2}} < dfrac {5} {3 x} nonumber ]

Subtraia ( dfrac {5} {3 x} ) para obter zero à direita.

[ dfrac {1} {3} - dfrac {2} {x ^ {2}} - dfrac {5} {3 x} <0 não número ]

Reescreva para obter cada fração com o LCD

[ dfrac {1 cdot x ^ {2}} {3 cdot x ^ {2}} - dfrac {2 cdot 3} {x ^ {2} cdot 3} - dfrac {5 cdot x} {3 xx} <0 não numérico ]

Simplificar.

[ dfrac {x ^ {2}} {3 x ^ {2}} - dfrac {6} {3 x ^ {2}} - dfrac {5 x} {3 x ^ {2}} <0 enhum número ]

Subtraia os numeradores e coloque a diferença sobre o denominador comum.

[ dfrac {x ^ {2} -5 x-6} {3 x ^ {2}} <0 não numérico ]

Fatore o numerador.

[ dfrac {(x-6) (x + 1)} {3 x ^ {2}} <0 não numérico ]

Encontre os pontos críticos.

[ begin {array} {rlrl} {3 x ^ {2} = 0} && {x-6 = 0} && {x + 1 = 0} {x = 0} && {x = 6} && {x = -1} end {array} nonumber ]

Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Acima da reta numérica mostra o sinal de cada fator em cada intervalo. Abaixo da reta numérica, mostre o sinal do quociente.

Uma vez que 0 é excluído, a solução são os dois intervalos ((- 1,0) cup (0,6) ), ((- 1,0) ) e ((0,6) ) .

Exercício ( PageIndex {7} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {1} {2} + dfrac {4} {x ^ {2}} < dfrac {3} {x} ).

Responder

((2,4))

Exercício ( PageIndex {8} )

Resolva e escreva a solução na notação de intervalo: ( dfrac {1} {3} + dfrac {6} {x ^ {2}} < dfrac {3} {x} ).

Responder

((3,6))

Resolva uma desigualdade com funções racionais

Ao trabalhar com funções racionais, às vezes é útil saber quando a função é maior ou menor que um determinado valor. Isso leva a uma desigualdade racional.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Dada a função (R (x) = dfrac {x + 3} {x-5} ), encontre os valores de x que tornam a função menor ou igual a 0.

Solução

Queremos que a função seja menor ou igual a 0.

[R (x) leq 0 nonumber ]

Substitua a expressão racional por (R (x) ).

[ dfrac {x + 3} {x-5} leq 0 quad x neq 5 nonumber ]

Encontre os pontos críticos.

[ begin {array} {rlrl} {x + 3 = 0} && {x-5 = 0} {x = -3} && {x = 5} end {array} nonumber ]

Use os pontos críticos para dividir a reta numérica em intervalos.

Valores de teste em cada intervalo. Acima da reta numérica, mostre o sinal de cada fator em cada intervalo. Abaixo da reta numérica, mostre o sinal do quociente. Escreva a solução em notação de intervalo. Como 5 é excluído, não o incluímos no intervalo.

[[- 3,5) nonumber ]

Exercício ( PageIndex {9} )

Dada a função (R (x) = dfrac {x-2} {x + 4} ), encontre os valores de (x ) que tornam a função menor ou igual a 0.

Responder

((-4,2])

Exercício ( PageIndex {10} )

Dada a função (R (x) = dfrac {x + 1} {x-4} ), encontre os valores de (x ) que tornam a função menor ou igual a 0.

Responder

([-1,4))

Em economia, a função (C (x) ) é usada para representar o custo de produção de (x ) unidades de uma mercadoria. O custo médio por unidade pode ser encontrado dividindo (C (x) ) pelo número de itens (x ). Então, o custo médio por unidade é (c (x) = dfrac {C (x)} {x}).

Exemplo ( PageIndex {6} )

A função (C (x) = 10 x + 3000 ) representa o custo para produzir (x ), número de itens. Achar:

  1. A função de custo médio, (c (x) )
  2. Quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a $ 40.

Solução

  1. [C (x) = 10 x + 3000 nonumber ]

A função de custo médio é (c (x) = dfrac {C (x)} {x}) ). Para encontrar a função de custo médio, divida a função de custo por (x ).

[ begin {alinhado} & c (x) = dfrac {C (x)} {x} & c (x) = dfrac {10 x + 3000} {x} end {alinhado} nonumber ]

A função de custo médio é (c (x) = dfrac {10 x + 3000} {x} )

  1. Queremos que a função (c (x) ) seja menor que 40.

[c (x) <40 não numérico ]

Substitua a expressão racional por c (x).

[ dfrac {10 x + 3000} {x} <40, quad x neq 0 nonumber ]

Subtraia 40 para obter 0 à direita.

[ dfrac {10 x + 3000} {x} -40 <0 nonumber ]

Reescreva o lado esquerdo como um quociente encontrando o LCD e realizando a subtração.

[ begin {alinhados} dfrac {10 x + 3000} {x} -40 left ( dfrac {x} {x} right) & <0 dfrac {10 x + 3000} {x} - dfrac {40 x} {x} & <0 dfrac {10 x + 3000-40 x} {x} & <0 dfrac {-30 x + 3000} {x} & <0 fim {alinhado} não numérico ]

Fatore o numerador para mostrar todos os fatores.

[ begin {array} {ll} { dfrac {-30 (x-100)} {x} <0} {-30 (x-100) = 0} && {x = 0} end { array} nonumber ]

Encontre os pontos críticos.

[ begin {array} {rl} {-30 neq 0} & {x-100 = 0} & {x = 100} end {array} nonumber ]

Mais de 100 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo de US $ 40 por item.

Exercício ( PageIndex {11} )

A função (C (x) = 20 x + 6000 ) representa o custo para produzir (x ), número de itens. Achar:

  1. A função de custo médio, (c (x) )
  2. Quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a $ 60.
Responder
  1. (c (x) = dfrac {20 x + 6000} {x} )
  2. Mais de 150 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo de US $ 60 por item.

Exercício ( PageIndex {12} )

A função (C (x) = 5 x + 900 ) representa o custo para produzir (x ), número de itens. Achar:

  1. A função de custo médio, (c (x) )
  2. Quantos itens devem ser produzidos para que o custo médio seja inferior a $ 20.
Responder
  1. (c (x) = dfrac {5 x + 900} {x} )
  2. Mais de 60 itens devem ser produzidos para manter o custo médio abaixo de US $ 20 por item.


Assista o vídeo: INEQUAÇÕES DO 1º GRAU: EXERCÍCIOS #1 (Novembro 2021).