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5.3E: Equações Lineares Não Homogêneas (Exercícios)


Q5.3.1

Dentro Exercícios 5.3.1-5.3.6 encontre uma solução particular pelo método usado no Exemplo 5.3.2. Em seguida, encontre a solução geral e, onde indicado, resolva o problema do valor inicial e represente graficamente a solução.

1. (y '' + 5y'-6y = 22 + 18x-18x ^ 2 )

2. (y '' - 4y '+ 5y = 1 + 5x )

3. (y '' + 8y '+ 7y = -8-x + 24x ^ 2 + 7x ^ 3 )

4. (y '' - 4y '+ 4y = 2 + 8x-4x ^ 2 )

5. (y '' + 2y '+ 10y = 4 + 26x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3, quad y (0) = 2, quad y' (0) = 9 )

6. (y '' + 6y '+ 10y = 22 + 20x, quad y (0) = 2, ; y' (0) = - 2 )

Q5.3.2

7. Mostre que o método usado no Exemplo 5.3.2 não produzirá uma solução particular de

[y '' + y '= 1 + 2x + x ^ 2; tag {A} ]

ou seja, (A) não tem uma solução particular da forma (y_p = A + Bx + Cx ^ 2 ), onde (A ), (B ) e (C ) são constantes.

Q5.3.3

Dentro Exercícios 5.3.8-5.3.13 encontre uma solução particular pelo método usado no Exemplo 5.3.3.

8. (x ^ {2} y '' + 7xy '+ 8y = frac {6} {x} )

9. (x ^ {2} y '' - 7xy '+ 7y = 13x ^ {1/2} )

10. (x ^ {2} y '' - xy '+ y = 2x ^ {3} )

11. (x ^ {2} y '' + 5xy '+ 4y = frac {1} {x ^ {3}} )

12. (x ^ {2} y '' + xy '+ y = 10x ^ {1/3} )

13. (x ^ {2} y '' - 3xy '+ 13y = 2x ^ {4} )

Q5.3.4

14. Mostre que o método sugerido para encontrar uma solução particular em Exercícios 5.3.8-5.3.13 não vai render uma solução particular de

[x ^ 2y '' + 3xy'-3y = {1 sobre x ^ 3}; tag {A} ]

ou seja, (A) não tem uma solução particular da forma (y_p = A / x ^ 3 ).

15. Prove: Se (a ), (b ), (c ), ( alpha ) e (M ) são constantes e (M ne0 ) então

[ax ^ 2y '' + bxy '+ cy = M x ^ alpha ]

tem uma solução particular (y_p = Ax ^ alpha ) ( (A = ) constante) se e somente se (a alpha ( alpha-1) + b alpha + c ne0 ).

Q5.3.5

Se (a, b, c, ) e ( alpha ) são constantes, então [ alpha (e ^ { alpha x}) '' + b (e ^ { alpha x}) '+ ce ^ { alpha x} = (a alpha ^ {2} + b alpha + c) e ^ { alpha x}. ] Use isto em Exercícios 5.3.16-5.3.21 para encontrar uma solução específica. Em seguida, encontre a solução geral e, onde indicado, resolva o problema do valor inicial e represente graficamente a solução.

16. (y '' + 5y'-6y = 6e ^ {3x} )

17. (y '' - 4y '+ 5y = e ^ {2x} )

18. (y '' + 8y '+ 7y = 10e ^ {- 2x}, quad y (0) = - 2, ; y' (0) = 10 )

19. (y '' - 4y '+ 4y = e ^ {x}, quad y (0) = 2, quad y' (0) = 0 )

20. (y '' + 2y '+ 10y = e ^ {x / 2} )

21. (y '' + 6y '+ 10y = e ^ {- 3x} )

Q5.3.6

22. Mostre que o método sugerido para encontrar uma solução particular em Exercícios 5.3.16-5.3.21 não vai render uma solução particular de

[y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}; tag {A} ]

ou seja, (A) não tem uma solução particular da forma (y_p = Ae ^ {4x} ).

23. Prove: Se ( alpha ) e (M ) são constantes e (M ne0 ), então a equação do coeficiente constante

[ay '' + por '+ cy = M e ^ { alpha x} ]

tem uma solução particular (y_p = Ae ^ { alpha x} ) ( (A = ) constante) se e somente se (e ^ { alpha x} ) não é uma solução da equação complementar .

Q5.3.7

Se (ω ) for uma constante, diferenciar uma combinação linear de ( cos ωx ) e ( sin ωx ) em relação a (x ) resulta em outra combinação linear de ( cos ωx ) e ( sin ωx ). Dentro Exercícios 5.3.24-5.3.29 use isso para encontrar uma solução particular da equação. Em seguida, encontre a solução geral e, onde indicado, resolva o problema do valor inicial e represente graficamente a solução.

24. (y '' - 8y '+ 16y = 23 cos x-7 sin x )

25. (y '' + y '= - 8 cos2x + 6 sin2x )

26. (y '' - 2y '+ 3y = -6 cos3x + 6 sin3x )

27. (y '' + 6y '+ 13y = 18 cos x + 6 sin x )

28. (y '' + 7y '+ 12y = -2 cos2x + 36 sin2x, quad y (0) = - 3, quad y' (0) = 3 )

29. (y '' - 6y '+ 9y = 18 cos3x + 18 sin3x, quad y (0) = 2, quad y' (0) = 2 )

Q5.3.8

30. Encontre a solução geral de

[y '' + omega_0 ^ 2y = M cos omega x + N sin omega x, ]

onde (M ) e (N ) são constantes e ( omega ) e ( omega_0 ) são números positivos distintos.

31. Mostre que o método sugerido para encontrar uma solução particular em Exercícios 5.3.24-5.3.29 não vai render uma solução particular de

[y '' + y = cos x + sin x; tag {A} ]

ou seja, (A) não tem uma solução particular da forma (y_p = A cos x + B sin x ).

32. Prove: Se (M ), (N ) são constantes (não ambos zero) e ( omega> 0 ), a equação do coeficiente constante

[ay '' + por '+ cy = M cos omega x + N sin omega x tag {A} ]

tem uma solução particular que é uma combinação linear de ( cos omega x ) e ( sin omega x ) se e somente se o lado esquerdo de (A) não for da forma (a (y ' '+ omega ^ 2y) ), de modo que ( cos omega x ) e ( sin omega x ) são soluções da equação complementar.

Q5.3.9

Dentro Exercícios 5.3.33-5.3.38 consulte os exercícios citados e use o princípio da superposição para encontrar uma solução particular. Em seguida, encontre a solução geral.

33. (y '' + 5y'-6y = 22 + 18x-18x ^ 2 + 6e ^ {3x} ) (Veja Exercícios 5.3.1 e 5.3.16.)

34. (y '' - 4y '+ 5y = 1 + 5x + e ^ {2x} ) (Veja Exercícios 5.3.2 e 5.3.17.)

35. (y '' + 8y '+ 7y = -8-x + 24x ^ 2 + 7x ^ 3 + 10e ^ {- 2x} ) (Veja Exercícios 5.3.3 e 5.3.18.)

36. (y '' - 4y '+ 4y = 2 + 8x-4x ^ 2 + e ^ {x} ) (Veja Exercícios 5.3.4 e 5.3.19.)

37. (y '' + 2y '+ 10y = 4 + 26x + 6x ^ 2 + 10x ^ 3 + e ^ {x / 2} ) (Veja Exercícios 5.3.5 e 5.3.20.)

38. (y '' + 6y '+ 10y = 22 + 20x + e ^ {- 3x} ) (Veja Exercícios 5.3.6 e 5.3.21.)

Q5.3.10

39. Prove: Se (y_ {p_1} ) é uma solução particular de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_1 (x) ]

em ((a, b) ) e (y_ {p_2} ) é uma solução particular de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_2 (x) ]

em ((a, b) ), então (y_p = y_ {p_1} + y_ {p_2} ) é uma solução de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = F_1 (x) + F_2 (x) ]

em ((a, b) ).

40. Suponha que (p ), (q ) e (f ) sejam contínuos em ((a, b) ). Seja (y_1 ), (y_2 ) e (y_p ) duas vezes diferenciáveis ​​em ((a, b) ), de modo que (y = c_1y_1 + c_2y_2 + y_p ) seja uma solução de

[y '' + p (x) y '+ q (x) y = f ]

em ((a, b) ) para cada escolha das constantes (c_1, c_2 ). Mostre que (y_1 ) e (y_2 ) são soluções da equação complementar em ((a, b) ).


Exercício 1.5: Matriz: Método de Eliminação Gaussiana

1. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares pelo método de eliminação de Gauss:

(i) 2x - 2 y + 3z = 2, x + 2 y - z = 3, 3x - y + 2z = 1

(ii) 2x + 4 y + 6z = 22, 3x + 8 y + 5z = 27, - x + y + 2z = 2



2. Se machado 2 + bx + c é dividido por x + 3, x - 5, e x -1, os restantes são 21, 61 e 9, respectivamente. Achar uma, b e c. (Use o método de eliminação de Gauss.)



3. Um montante de † 65.000 é investido em três títulos a taxas de 6%, 8% e 10% ao ano, respectivamente. A renda total anual é de $$ 4.800. A receita do terceiro título é de , 600 a mais do que o segundo título. Determine o preço de cada título. (Use o método de eliminação de Gauss.)



4. Um menino está caminhando ao longo do caminho y = machado 2 + bx + c através dos pontos (-6, 8), (-2, -12) e (3,8). Ele quer encontrar seu amigo em P(7, 60). Ele vai encontrar seu amigo? (Use o método de eliminação de Gauss.)


Notas sobre Diffy Qs: Equações Diferenciais para Engenheiros

Estudamos brevemente as equações de ordem superior. As equações que aparecem nas aplicações tendem a ser de segunda ordem. Equações de ordem superior aparecem de vez em quando, mas geralmente o mundo ao nosso redor é de "segunda ordem".

Os resultados básicos sobre EDOs lineares de ordem superior são essencialmente os mesmos que para equações de segunda ordem, com 2 substituído por (n text <.> ) O importante conceito de independência linear é um pouco mais complicado quando mais de duas funções estão envolvidas . Para EDOs de coeficiente constante de ordem superior, os métodos desenvolvidos também são um pouco mais difíceis de aplicar, mas não iremos nos alongar sobre essas complicações. Também é possível usar os métodos para sistemas de equações lineares do Capítulo 3 para resolver equações de coeficientes constantes de ordem superior.

Vamos começar com uma equação linear homogênea geral

Teorema 2.3.1. Sobreposição.

Suponha que (y_1 text <,> ) (y_2 text <,> ). (y_n ) são soluções da equação homogênea (2.4). Então

também resolve (2.4) para constantes arbitrárias (C_1, C_2, ldots, C_n text <.> )

Em outras palavras, um combinação linear de soluções para (2.4) também é uma solução para (2.4). Também temos o teorema da existência e da unicidade para equações lineares não homogêneas.

Teorema 2.3.2. Existência e singularidade.

Suponha que (p_0 ) a (p_ text <,> ) e (f ) são funções contínuas em algum intervalo (I text <,> ) (a ) é um número em (I text <,> ) e (b_0, b_1, ldots, b_) são constantes. A equação

tem exatamente uma solução (y (x) ) definida no mesmo intervalo (I ) satisfazendo as condições iniciais

Subseção 2.3.1 Independência linear

Quando tínhamos duas funções (y_1 ) e (y_2 ), dizíamos que eram linearmente independentes se uma não fosse múltipla da outra. A mesma ideia vale para funções (n ). Neste caso, é mais fácil afirmar o seguinte. As funções (y_1 text <,> ) (y_2 text <,> ). (y_n ) são Linearmente independente se a equação

tem apenas a solução trivial (c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0 text <,> ) onde a equação deve ser válida para todos (x text <.> ) Se pudermos resolver a equação com algumas constantes onde por exemplo (c_1 not = 0 text <,> ) então podemos resolver para (y_1 ) como uma combinação linear dos outros. Se as funções não são linearmente independentes, elas são linearmente dependente.

Exemplo 2.3.1.

Mostre que (e ^ x, e ^ <2x>, e ^ <3x> ) são linearmente independentes.

Vamos dar várias maneiras de mostrar esse fato. Muitos livros didáticos (incluindo [EP] e [F]) apresentam os Wronskians, mas é difícil ver por que eles funcionam e eles não são realmente necessários aqui.

Usamos regras de exponenciais e escrevemos (z = e ^ x text <.> ) Portanto (z ^ 2 = e ^ <2x> ) e (z ^ 3 = e ^ <3x> text < .> ) Então nós temos

O lado esquerdo é um polinômio de terceiro grau em (z text <.> ). É igual a zero ou tem no máximo 3 zeros. Portanto, é identicamente zero, (c_1 = c_2 = c_3 = 0 text <,> ) e as funções são linearmente independentes.

Vamos tentar outra maneira. Como antes de escrevermos

Esta equação deve ser válida para todos os (x text <.> ) Dividimos por (e ^ <3x> ) para obter

Como a equação é verdadeira para todos (x text <,> ) let (x to infty text <.> ) Depois de tirar o limite, vemos que (c_3 = 0 text <.> ) Portanto, nossa equação se torna

Que tal ainda outra maneira. Nós escrevemos novamente

Podemos avaliar a equação e suas derivadas em diferentes valores de (x ) para obter equações para (c_1 text <,> ) (c_2 text <,> ) e (c_3 text <.> ) Vamos primeiro dividir por (e ^) Pela simplicidade.

Definimos (x = 0 ) para obter a equação (c_1 + c_2 + c_3 = 0 text <.> ) Agora diferencie os dois lados

Definimos (x = 0 ) para obter (c_2 + 2c_3 = 0 text <.> ) Dividimos por (e ^ x ) novamente e diferenciamos para obter (2 c_3 e ^ = 0 text <.> ) É claro que (c_3 ) é zero. Então (c_2 ) deve ser zero como (c_2 = -2c_3 text <,> ) e (c_1 ) deve ser zero porque (c_1 + c_2 + c_3 = 0 text <.> )

Não existe uma maneira melhor de fazer isso. Todos esses métodos são perfeitamente válidos. O importante é entender por que as funções são linearmente independentes.

Exemplo 2.3.2.

Por outro lado, as funções (e ^ x text <,> ) (e ^ <-x> text <,> ) e ( cosh x ) são linearmente dependentes. Basta aplicar a definição do cosseno hiperbólico:

Subseção 2.3.2 Coeficiente constante ODEs de ordem superior

Quando temos uma equação linear homogênea de coeficiente constante de ordem superior, a música e a dança são exatamente as mesmas da segunda ordem. Precisamos apenas encontrar mais soluções. Se a equação for (n ^ < text> ) ordem, precisamos encontrar (n ) soluções linearmente independentes. É melhor visto por exemplo.

Exemplo 2.3.3.

Encontre a solução geral para

Experimente: (y = e ^ text <.> ) Nós conectamos e obtemos

Dividimos por (e ^ text <.> ) Então

O truque agora é encontrar as raízes. Existe uma fórmula para as raízes dos polinômios de grau 3 e 4, mas é muito complicada. Não há fórmula para polinômios de grau superior. Isso não significa que as raízes não existam. Sempre há (n ) raízes para um (n ^ < texto> ) grau polinomial. Eles podem ser repetidos e podem ser complexos. Os computadores são muito bons em encontrar raízes aproximadamente para polinômios de tamanho razoável.

Um bom lugar para começar é plotar o polinômio e verificar onde ele é zero. Também podemos simplesmente tentar conectar. Basta começar a inserir números (r = -2, -1,0,1,2, ldots ) ​​e ver se acertamos (também podemos tentar números complexos). Mesmo se não obtivermos um resultado, podemos obter uma indicação de onde está a raiz. Por exemplo, conectamos (r = -2 ) em nosso polinômio e obtemos (- 15 text <> ) plugamos (r = 0 ) e obtemos 3. Isso significa que há uma raiz entre (r = -2 ) e (r = 0 text <,> ) porque o sinal mudou. Se encontrarmos uma raiz, digamos (r_1 text <,> ), então sabemos que ((r-r_1) ) é um fator do nosso polinômio. A divisão longa polinomial pode então ser usada.

Uma boa estratégia é começar com (r = 0 text <,> ) (1 text <,> ) ou (- 1 text <.> ) Estes são fáceis de calcular. Nosso polinômio tem duas raízes, (r_1 = -1 ) e (r_2 = 1 text <.> ) Deve haver 3 raízes e a última raiz é razoavelmente fácil de encontrar. O termo constante em um polinômio monic 1 como este é o múltiplo das negações de todas as raízes porque (r ^ 3 - 3 r ^ 2 - r + 3 = (r-r_1) (r-r_2) (r- r_3) text <.> ) Então

Você deve verificar se (r_3 = 3 ) realmente é uma raiz. Portanto, (e ^ <-x> text <,> ) (e ^) e (e ^ <3x> ) são soluções para (2.5). Eles são linearmente independentes, o que pode ser facilmente verificado, e há 3 deles, que é exatamente o número de que precisamos. Portanto, a solução geral é

Suponha que recebamos algumas condições iniciais (y (0) = 1 text <,> ) (y '(0) = 2 text <,> ) e (y' '(0) = 3 texto <.> ) Então

É possível encontrar a solução pela álgebra do ensino médio, mas seria uma dor. A maneira sensata de resolver um sistema de equações como este é usar álgebra matricial, consulte a Seção 3.2 ou o Apêndice A. Por enquanto, notamos que a solução é (C_1 = - nicefrac <1> <4> text <, > ) (C_2 = 1 text <,> ) e (C_3 = nicefrac <1> <4> text <.> ) A solução específica para o ODE é

Em seguida, suponha que temos raízes reais, mas elas se repetem. Digamos que temos uma raiz (r ) repetida (k ) vezes. No espírito da solução de segunda ordem, e pelas mesmas razões, temos as soluções

Tomamos uma combinação linear dessas soluções para encontrar a solução geral.

Exemplo 2.3.4.

Notamos que a equação característica é

Por inspeção, notamos que (r ^ 4 - 3r ^ 3 + 3r ^ 2 -r = r <(r-1)> ^ 3 text <.> ) Portanto, as raízes dadas com multiplicidade são (r = 0 , 1, 1, 1 text <.> ) Assim, a solução geral é

O caso de raízes complexas é semelhante às equações de segunda ordem. Raízes complexas sempre vêm em pares (r = alpha pm i beta text <.> ) Suponha que temos duas dessas raízes complexas, cada uma repetida (k ) vezes. A solução correspondente é

onde (C_0 text <,> ). (C_ text <,> ) (D_0 text <,> ). (D_) são constantes arbitrárias.

Exemplo 2.3.5.

A equação característica é

Portanto, as raízes são (1 pm i text <,> ) ambas com multiplicidade 2. Portanto, a solução geral para o ODE é

A maneira como resolvemos a equação característica acima é, na verdade, adivinhando ou por inspeção. Em geral, não é tão fácil. Também poderíamos ter pedido as raízes a um computador ou a uma calculadora avançada.

Subseção 2.3.3 Exercícios

Exercício 2.3.1.

Encontre a solução geral para (y '' '- y' '+ y' - y = 0 text <.> )

Exercício 2.3.2.

Encontre a solução geral para (y ^ <(4)> - 5 y '' '+ 6 y' '= 0 text <.> )

Exercício 2.3.3.

Encontre a solução geral para (y '' '+ 2 y' '+ 2 y' = 0 text <.> )

Exercício 2.3.4.

Suponha que a equação característica de um ODE seja (<(r-1)> ^ 2 <(r-2)> ^ 2 = 0 text <.> )

Encontre essa equação diferencial.

Encontre sua solução geral.

Exercício 2.3.5.

Suponha que uma equação de quarta ordem tenha uma solução (y = 2 e ^ <4x> x cos x text <.> )

Encontre as condições iniciais que a solução dada satisfaz.

Exercício 2.3.6.

Encontre a solução geral para a equação do Exercício 2.3.5.

Exercício 2.3.7.

Seja (f (x) = e ^ x - cos x text <,> ) (g (x) = e ^ x + cos x text <,> ) e (h (x) = cos x text <.> ) São (f (x) text <,> ) (g (x) text <,> ) e (h (x) ) linearmente independentes? Se sim, mostre; se não, encontre uma combinação linear que funcione.

Exercício 2.3.8.

Seja (f (x) = 0 text <,> ) (g (x) = cos x text <,> ) e (h (x) = sin x text <.> ) São (f (x) text <,> ) (g (x) text <,> ) e (h (x) ) linearmente independentes? Se sim, mostre; se não, encontre uma combinação linear que funcione.

Exercício 2.3.9.

(X text <,> ) (x ^ 2 text <,> ) e (x ^ 4 ) são linearmente independentes? Se sim, mostre; se não, encontre uma combinação linear que funcione.

Exercício 2.3.10.

(E ^ x text <,> ) (xe ^ x text <,> ) e (x ^ 2e ^ x ) são linearmente independentes? Se sim, mostre; se não, encontre uma combinação linear que funcione.

Exercício 2.3.11.

Encontre uma equação tal que (y = xe ^ <-2x> sin (3x) ) seja uma solução.

Exercício 2.3.101.

Encontre a solução geral de (y ^ <(5)> - y ^ <(4)> = 0 text <.> )

(y = C_1 e ^ x + C_2 x ^ 3 + C_3 x ^ 2 + C_4 x + C_5 )

Exercício 2.3.102.

Suponha que a equação característica de uma equação diferencial de terceira ordem tenha raízes ( pm 2i ) e 3.

Qual é a equação característica?

Encontre a equação diferencial correspondente.

Encontre a solução geral.

a) (r ^ 3-3r ^ 2 + 4r-12 = 0 ) b) (y '' '- 3y' '+ 4y'-12y = 0 ) c) (y = C_1 e ^ < 3x> + C_2 sin (2x) + C_3 cos (2x) )

Exercício 2.3.103.

Resolva (1001y '' '+ 3.2y' '+ pi y' - sqrt <4> y = 0 text <,> ) (y (0) = 0 text <,> ) ( y '(0) = 0 texto <,> ) (y' '(0) = 0 texto <.> )

Exercício 2.3.104.

São (e ^ text <,> ) (e ^ text <,> ) (e ^ <2x> text <,> ) ( sin (x) ) linearmente independente? Se sim, mostre, se não encontre uma combinação linear que funcione.

Exercício 2.3.105.

São ( sin (x) text <,> ) (x text <,> ) (x sin (x) ) linearmente independentes? Se sim, mostre, se não encontre uma combinação linear que funcione.

sim. (Dica: primeiro observe que ( sin (x) ) é limitado. Em seguida, observe que (x ) e (x sin (x) ) não podem ser múltiplos um do outro.)

Exercício 2.3.106.

Encontre uma equação tal que (y = cos (x) text <,> ) (y = sin (x) text <,> ) (y = e ^ x ) sejam soluções.


RD Sharma Class 12 Maths Capítulo 8 Soluções em equações lineares simultâneas respondem a todos os exercícios e perguntas com soluções precisas. Capítulo 8 das soluções de RD Sharma para matemática da classe 12 ajuda você a aprender e compreender sistemas consistentes, sistemas de equações lineares homogêneos, sistemas de equações lineares não homogêneos, sistemas de equações de resolução por método matricial, usando o método matricial para resolver problemas baseados em sistemas não homogêneos de equações, sistemas de equações lineares quando o coeficiente é não matricial ou não singular, ou para a matriz de coeficiente singular, ou quando obtido um inverso da matriz de coeficiente.

O conceito das equações lineares simultâneas do Capítulo 8 envolve sistemas homogêneos e não homogêneos. Os conceitos explicados no Capítulo 8 de Matemática da Classe 12 de RD Sharma incluem:

  • Sistemas consistentes, sua definição e significado
  • Um sistema homogêneo de equação linear simultânea
  • Sistema de equações lineares simultâneas não homogêneas
  • Resolvendo o sistema não homogêneo usando o método da matriz

As soluções RD Sharma ajudam os alunos a selecionar as questões e problemas importantes para os exames, amostras de papel e questões do ano anterior e links de soluções para se prepararem bem para o exame da classe 12 e passarem com notas altas.


Acústica de gabinetes

Paul J.T. Filippi, em Acústica, 1999

2.2.3 Regime forçado para o problema de Neumann: Expansão em série de modos próprios da solução

Vamos agora tentar estabelecer uma expressão para a solução da equação não homogênea

que satisfaz uma condição de contorno de Neumann homogênea. Pode-se provar que a sequência de funções Pprimeiro(x, y, z) como dado por (2.24) é uma base do espaço de Hilbert que p(x, y, z) pertence a: o espaço de funções que são quadradas integráveis ​​em Ω junto com suas primeiras derivadas e que satisfazem uma condição de contorno de Neumann homogênea em σ, a fronteira de Ω. Se o termo fonte f(x, y, z) é uma função quadrada integrável, ela pode ser expandida em uma série de modos próprios:

A pressão acústica p(x, y, z) é buscado como uma expansão em série das mesmas funções:

A expressão (2.36) é introduzida em (2.34), levando a

Intuitivamente, esta equação é satisfeita em todos os lugares em Ω se e somente se os coeficientes dos termos Pprimeiro(x, y, z) em ambos os lados da igualdade são iguais, ou seja, se

Se k é diferente de qualquer número de onda própria kprimeiro, obtém-se:

e, assim, a série que representa a resposta p(x, y, z) do fluido para a excitação f(x, y, z) é determinado de forma única. A priori, esta série não converge para a solução em cada ponto, mas converge no sentido do eu 2-norma. Pode-se mostrar que existe um ponto de convergência fora do suporte do termo fonte.

A hipótese de que f(x, y, z) é uma função quadrada integrável pode ser relaxada e substituída por outra menos restritiva que f é uma distribuição com suporte compacto: por exemplo, uma pequena fonte isotrópica localizada em torno de um ponto (você, v, C) pode ser descrito com muita precisão como uma medida de Dirac

Rigorosamente, a equação (2.37) deve ser resolvida no sentido fraco. Isso significa que deve ser substituído por

onde Φ (x, y, z) é qualquer função do espaço de Hilbert que p(x, y, z) pertence a. Se escolhermos a sequência de modos próprios Pr′s′t ′(x, y, z), o resultado já fornecido é direto. Se f é uma distribuição, as integrais na igualdade anterior são substituídas pelos produtos de dualidade e Φ (x, y, z) é qualquer função indefinidamente diferenciável com suporte compacto em Ω: em particular, os modos próprios são tais funções. Então, para uma medida de Dirac, o seguinte resultado é facilmente estabelecido:

Expressões dos coeficientes Ψprimeiro e da série (2,36) permanecem inalterados. No entanto, a série que representa a pressão acústica converge no sentido da distribuição. Praticamente, há um ponto de convergência fora do suporte de termo de origem. Esse resultado elementar é uma aplicação direta dos conceitos básicos da teoria das distribuições desenvolvida no livro de L. Schwartz [10] referenciado no final deste capítulo.


Notas sobre Diffy Qs: Equações Diferenciais para Engenheiros

Primeiro, vamos falar sobre funções com valor de matriz ou vetor. Essa função é apenas uma matriz ou vetor cujas entradas dependem de alguma variável. Se (t ) é a variável independente, escrevemos um função com valor vetorial ( vec(t) ) como

Da mesma forma um função com valor de matriz (A (t) ) é

A derivada (A '(t) ) ou ( frac

) é apenas a função com valor de matriz cujo (ij ^ < text> ) a entrada é (a_'(t) text <.> )

As regras de diferenciação de funções com valor de matriz são semelhantes às regras para funções normais. Sejam (A (t) ) e (B (t) ) funções com valor de matriz. Seja (c ) um escalar e seja (C ) uma matriz constante. Então

Observe a ordem da multiplicação nas duas últimas expressões.

UMA sistema linear de primeira ordem de ODEs é um sistema que pode ser escrito como a equação vetorial

onde (P (t) ) é uma função com valor de matriz, e ( vec(t) ) e ( vec(t) ) são funções com valor vetorial. Freqüentemente, suprimiremos a dependência de (t ) e apenas escreveremos (< vec> '= P vec + vec text <.> ) Uma solução do sistema é uma função com valor vetorial ( vec) satisfazendo a equação vetorial.

Por exemplo, as equações

Vamos nos concentrar principalmente em equações que não são apenas lineares, mas são de fato coeficiente constante equações. Ou seja, a matriz (P ) será constante e não dependerá de (t text <.> )

Quando ( vec = vec <0> ) (o vetor zero), então dizemos que o sistema é homogêneo. Para sistemas lineares homogêneos, temos o princípio da superposição, assim como para equações homogêneas simples.

Teorema 3.3.1. Sobreposição.

Deixe (< vec> '= P vec) ser um sistema homogêneo linear de EDOs. Suponha que ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n ) são (n ) soluções da equação e (c_1, c_2, ldots, c_n ) são quaisquer constantes, então

também é uma solução. Além disso, se este for um sistema de (n ) equações ( (P ) é (n vezes n )), e ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n ) são linearmente independentes, então todas as soluções ( vec) pode ser escrito como (3.2).

A independência linear para funções com valor vetorial é a mesma ideia que para funções normais. As funções com valor vetorial ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n ) são linearmente independentes quando

tem apenas a solução (c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0 text <,> ) onde a equação deve ser válida para todos (t text <.> )

Exemplo 3.3.1.

( vec_1 = Bigl [ begin t ^ 2 t end Bigr] text <,> ) ( vec_2 = Bigl [ begin 0 1 + t fim Bigr] text <,> ) ( vec_3 = Bigl [ begin -t ^ 2 1 end Bigr] ) são linearmente dependentes porque ( vec_1 + vec_3 = vec_2 text <,> ) e isso vale para todos (t text <.> ) Então (c_1 = 1 text <,> ) (c_2 = -1 text <,> ) e (c_3 = 1 ) acima funcionará.

Por outro lado, se mudarmos o exemplo apenas ligeiramente ( vec_1 = Bigl [ begin t ^ 2 t end Bigr] text <,> ) ( vec_2 = Bigl [ begin 0 t fim Bigr] text <,> ) ( vec_3 = Bigl [ begin -t ^ 2 1 end Bigr] text <,> ) então as funções são linearmente independentes. Primeira gravação (c_1 vec_1 + c_2 vec_2 + c_3 vec_3 = vec <0> ) e observe que deve ser válido para todos (t text <.> ) Nós entendemos isso

Em outras palavras (c_1 t ^ 2 - c_3 t ^ 2 = 0 ) e (c_1 t + c_2 t + c_3 = 0 text <.> ) Se definirmos (t = 0 text <,> ) então a segunda equação se torna (c_3 = 0 text <.> ) Mas então a primeira equação se torna (c_1 t ^ 2 = 0 ) para todos (t ) e assim (c_1 = 0 texto <.> ) Assim, a segunda equação é apenas (c_2 t = 0 texto <,> ) o que significa (c_2 = 0 texto <.> ) Então (c_1 = c_2 = c_3 = 0 ) é a única solução e ( vec_1 text <,> ) ( vec_2 text <,> ) e ( vec_3 ) são linearmente independentes.

A combinação linear (c_1 vec_1 + c_2 vec_2 + cdots + c_n vec_n ) sempre pode ser escrito como

onde (X (t) ) é a matriz com colunas ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n text <,> ) e ( vec) é o vetor de coluna com entradas (c_1, c_2, ldots, c_n text <.> ) Supondo que ( vec_1, vec_2, ldots, vec_n ) são linearmente independentes, a função com valor de matriz (X (t) ) é chamada de matriz fundamental, ou um solução de matriz fundamental.

Para resolver sistemas lineares não homogêneos de primeira ordem, usamos a mesma técnica que aplicamos para resolver equações lineares não homogêneas simples.

Teorema 3.3.2.

Deixe (< vec> '= P vec + vec) ser um sistema linear de EDOs. Suponha que ( vec_p ) é uma solução particular. Então, cada solução pode ser escrita como

onde ( vec_c ) é uma solução para a equação homogênea associada ( (< vec> '= P vec)).

O procedimento para sistemas é o mesmo que para equações simples. Encontramos uma solução particular para a equação não homogênea, então encontramos a solução geral para a equação homogênea associada e, finalmente, adicionamos as duas.

Tudo bem, suponha que você encontrou a solução geral de (< vec> '= P vec + vec text <.> ) Em seguida, suponha que você receba uma condição inicial do formulário

para algum (t_0 ) fixo e um vetor constante ( vec text <.> ) Seja (X (t) ) uma solução de matriz fundamental da equação homogênea associada (ou seja, colunas de (X (t) ) são soluções). A solução geral pode ser escrita como

Estamos procurando um vetor ( vec) de tal modo que

Em outras palavras, estamos resolvendo para ( vec) o sistema não homogêneo de equações lineares

Exemplo 3.3.2.

com condições iniciais (x_1 (0) = 1 text <,> ) (x_2 (0) = 2 text <.> ) Vamos considerar este problema no idioma desta seção.

O sistema é homogêneo, então ( vec(t) = vec <0> text <.> ) Escrevemos o sistema e as condições iniciais como

Descobrimos que a solução geral é (x_1 = c_1 e ^ t ) e (x_2 = frac<2> e ^ + c_2e ^ <-t> text <.> ) Deixando (c_1 = 1 ) e (c_2 = 0 text <,> ) obtemos a solução ( left [ begin e ^ t (1/2) e ^ t end right] text <.> ) Deixando (c_1 = 0 ) e (c_2 = 1 text <,> ) obtemos ( left [ begin 0 e ^ <-t> end right] text <.> ) Essas duas soluções são linearmente independentes, como pode ser visto definindo (t = 0 text <,> ) e observando que os vetores constantes resultantes são linearmente independentes. Na notação de matriz, uma solução de matriz fundamental é, portanto,

Para resolver o problema do valor inicial, resolvemos para ( vec) na equação

Uma única operação de linha elementar mostra ( vec = left [ begin 1 3/2 fim right] text <.> ) Nossa solução é

Esta nova solução está de acordo com nossa solução anterior da Seção 3.1.

Subseção 3.3.1 Exercícios

Exercício 3.3.1.

Escreva o sistema (x_1 '= 2 x_1 - 3t x_2 + sin t text <,> ) (x_2' = e ^ t x_1 + 3 x_2 + cos t ) na forma (< vec> '= P (t) vec + vec(t) text <.> )

Exercício 3.3.2.

Verifique se o sistema (< vec> '= left [ begin 1 & amp 3 3 & amp 1 end right] vec) tem as duas soluções ( left [ begin 1 1 fim right] e ^ <4t> ) e ( left [ begin 1 -1 fim right] e ^ <-2t> text <.> )

Escreva a solução geral.

Escreva a solução geral na forma (x_1 =? Text <,> ) (x_2 =? ) (Ou seja, escreva uma fórmula para cada elemento da solução).

Exercício 3.3.3.

Verifique se ( left [ begin 1 1 fim direita] e ^) e ( left [ begin 1 -1 fim direita] e ^) são linearmente independentes. Dica: basta conectar (t = 0 text <.> )

Exercício 3.3.4.

Verifique se ( left [ begin 1 1 0 fim direita] e ^) e ( left [ begin 1 -1 1 fim direita] e ^) e ( left [ begin 1 -1 1 fim right] e ^ <2t> ) são linearmente independentes. Dica: você deve ser um pouco mais complicado do que no exercício anterior.

Exercício 3.3.5.

Verifique se ( left [ begin t t ^ 2 end right] ) e ( left [ begin t ^ 3 t ^ 4 end right] ) são linearmente independentes.

Exercício 3.3.6.

Pegue o sistema (x_1 '+ x_2' = x_1 text <,> ) (x_1 '- x_2' = x_2 text <.> )

Escreva no formulário (A < vec> '= B vec) para matrizes (A ) e (B text <.> )

Calcule (A ^ <-1> ) e use-o para escrever o sistema na forma (< vec> '= P vec text <.> )

Exercício 3.3.101.

São ( left [ begin e ^ <2t> e ^ t end right] ) e ( left [ begin e ^ e ^ <2t> end right] ) linearmente independente? Justificar.

Exercício 3.3.102.

São ( left [ begin cosh (t) 1 end right] text <,> ) ( left [ begin e ^ 1 fim right] text <,> ) e ( left [ begin e ^ <-t> 1 end right] ) linearmente independente? Justificar.


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  • Use as informações abaixo para gerar uma citação. Recomendamos o uso de uma ferramenta de citação como esta.
    • Autores: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Cálculo Volume 3
    • Data de publicação: 30 de março de 2016
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/5-key-equations

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    5,4 Respostas para problemas de equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem

    A seguir estão as respostas às questões práticas apresentadas ao longo deste capítulo. Cada um é resolvido passo a passo para que, se você errar em algum deles, possa ver mais facilmente onde pegou o caminho errado.

    1 Qual é a solução geral para esta equação diferencial não homogênea de segunda ordem?

    Solução: y = c 1 e −x + c 2 e −2 x + e x

    Primeiro, encontre a versão homogênea da equação original:

    Suponha que a solução para a equação diferencial homogênea seja da forma y = e rx. Quando você substitui essa solução na equação, você obtém a equação característica

    Vá em frente e calcule isso da seguinte maneira:

    Se você determinar que as raízes, r 1 e r 2, da equação característica são -1 e -2, você sabe que

    Assim, a solução para a equação diferencial homogênea é dada por

    Agora você precisa de uma solução específica para a equação diferencial:

    Note that g ( x ) has the form e x here, so assume that the particular solution has the form

    Substitute yp ( x ) into the equation:

    Ae x + 3 Ae x + 2 Ae x = 6 e x

    Your particular solution is

    Because the general solution of the nonhomogeneous equation that you started with is the sum of the corresponding homogeneous equation's general solution and a particular solution .

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    Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers

    Note: 1 or 1.5 lecture, §8.2 in [EP], §5.2 and §5.3 in [BD]

    Suppose we have a linear second order homogeneous ODE of the form

    Suppose that (p(x) ext<,>) (q(x) ext<,>) and (r(x)) are polynomials. We will try a solution of the form

    and solve for the (a_k) to try to obtain a solution defined in some interval around (x_0 ext<.>)

    The point (x_0) is called an ordinary point if (p(x_0) ot= 0 ext<.>) That is, the functions

    are defined for (x) near (x_0 ext<.>) If (p(x_0) = 0 ext<,>) then we say (x_0) is a singular point. Handling singular points is harder than ordinary points and so we now focus only on ordinary points.

    Example 7.2.1 .

    Let us start with a very simple example

    Let us try a power series solution near (x_0 = 0 ext<,>) which is an ordinary point. Every point is an ordinary point in fact, as the equation is constant coefficient. We already know we should obtain exponentials or the hyperbolic sine and cosine, but let us pretend we do not know this.

    If we differentiate, the (k=0) term is a constant and hence disappears. We therefore get

    We differentiate yet again to obtain (now the (k=1) term disappears)

    We reindex the series (replace (k) with (k+2)) to obtain

    Now we plug (y) and (y'') into the differential equation

    As (y'' - y) is supposed to be equal to 0, we know that the coefficients of the resulting series must be equal to 0. Therefore,

    The equation above is called a recurrence relation for the coefficients of the power series. It did not matter what (a_0) or (a_1) was. They can be arbitrary. But once we pick (a_0) and (a_1 ext<,>) then all other coefficients are determined by the recurrence relation.

    Let us see what the coefficients must be. First, (a_0) and (a_1) are arbitrary. Then,

    So for even (k ext<,>) that is (k=2n ext<,>) we have

    and for odd (k ext<,>) that is (k=2n+1 ext<,>) we have

    Let us write down the series

    We recognize the two series as the hyperbolic sine and cosine. Portanto,

    Of course, in general we will not be able to recognize the series that appears, since usually there will not be any elementary function that matches it. In that case we will be content with the series.

    Example 7.2.2 .

    Let us do a more complex example. Consider Airy's equation 1 :

    near the point (x_0 = 0 ext<.>) Note that (x_0 = 0) is an ordinary point.

    We differentiate twice (as above) to obtain

    We plug (y) into the equation

    We reindex to make things easier to sum

    Again (y''-xy) is supposed to be 0, so (a_2 = 0 ext<,>) and

    We jump in steps of three. First, since (a_2 = 0) we must have , (a_5 = 0 ext<,>) (a_8 = 0 ext<,>) (a_<11>=0 ext<,>) etc. In general, (a_ <3n+2>= 0 ext<.>)

    The constants (a_0) and (a_1) are arbitrary and we obtain

    For (a_k) where (k) is a multiple of (3 ext<,>) that is (k=3n) we notice that

    For (a_k) where (k = 3n+1 ext<,>) we notice

    In other words, if we write down the series for (y ext<,>) it has two parts

    and write the general solution to the equation as (y(x)= a_0 y_1(x) + a_1 y_2(x) ext<.>) If we plug in (x=0) into the power series for (y_1) and (y_2 ext<,>) we find (y_1(0) = 1) and (y_2(0) = 0 ext<.>) Similarly, (y_1'(0) = 0) and (y_2'(0) = 1 ext<.>) Therefore (y = a_0 y_1 + a_1 y_2) is a solution that satisfies the initial conditions (y(0) = a_0) and (y'(0) = a_1 ext<.>)

    Figure 7.3 . The two solutions (y_1) and (y_2) to Airy's equation.

    The functions (y_1) and (y_2) cannot be written in terms of the elementary functions that you know. See Figure 7.3 for the plot of the solutions (y_1) and (y_2 ext<.>) These functions have many interesting properties. For example, they are oscillatory for negative (x) (like solutions to (y''+y=0)) and for positive (x) they grow without bound (like solutions to (y''-y=0)).

    Sometimes a solution may turn out to be a polynomial.

    Example 7.2.3 .

    Let us find a solution to the so-called Hermite's equation of order (n) 2 :

    Let us find a solution around the point (x_0 = 0 ext<.>) We try

    We differentiate (as above) to obtain

    Now we plug into the equation

    This recurrence relation actually includes (a_2 = -na_0) (which comes about from (2a_2+2na_0 = 0)). Again (a_0) and (a_1) are arbitrary.

    Let us separate the even and odd coefficients. We find that

    Let us write down the two series, one with the even powers and one with the odd.

    We remark that if (n) is a positive even integer, then (y_1(x)) is a polynomial as all the coefficients in the series beyond a certain degree are zero. If (n) is a positive odd integer, then (y_2(x)) is a polynomial. For example, if (n=4 ext<,>) then

    Subsection 7.2.1 Exercises

    In the following exercises, when asked to solve an equation using power series methods, you should find the first few terms of the series, and if possible find a general formula for the (k^< ext>) coefficient.

    Exercise 7.2.1 .

    Use power series methods to solve (y''+y = 0) at the point (x_0 = 1 ext<.>)

    Exercise 7.2.2 .

    Use power series methods to solve (y''+4xy = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    Exercise 7.2.3 .

    Use power series methods to solve (y''-xy = 0) at the point (x_0 = 1 ext<.>)

    Exercise 7.2.4 .

    Use power series methods to solve (y''+x^2y = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    Exercise 7.2.5 .

    The methods work for other orders than second order. Try the methods of this section to solve the first order system (y'-xy = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    Exercise 7.2.6 . Chebyshev's equation of order (p).

    Solve ((1-x^2)y''-xy' + p^2y = 0) using power series methods at (x_0=0 ext<.>)

    For what (p) is there a polynomial solution?

    Exercise 7.2.7 .

    Find a polynomial solution to ((x^2+1) y''-2xy'+2y = 0) using power series methods.

    Exercise 7.2.8 .

    Use power series methods to solve ((1-x)y''+y = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    Use the solution to part a) to find a solution for (xy''+y=0) around the point (x_0=1 ext<.>)

    Exercise 7.2.101 .

    Use power series methods to solve (y'' + 2 x^3 y = 0) at the point (x_0 = 0 ext<.>)

    (a_2 = 0 ext<,>) (a_3 = 0 ext<,>) (a_4 = 0 ext<,>) recurrence relation (for (k geq 5)): (a_k = frac<- 2 a_> ext<,>) so:
    (y(x) = a_0 + a_1 x -frac <10>x^5 - frac <15>x^6 + frac <450>x^ <10>+ frac <825>x^ <11>- frac <47250>x^ <15>- frac <99000>x^ <16>+ cdots)

    Exercise 7.2.102 .

    (challenging) Power series methods also work for nonhomogeneous equations.

    Use power series methods to solve (y'' - x y = frac<1><1-x>) at the point (x_0 = 0 ext<.>) Hint: Recall the geometric series.

    Now solve for the initial condition (y(0)=0 ext<,>) (y'(0) = 0 ext<.>)

    a) (a_2 = frac<1><2> ext<,>) and for (k geq 1) we have (a_k = frac <>+ 1> ext<,>) so
    (y(x) = a_0 + a_1 x + frac<1> <2>x^2 + frac <6>x^3 + frac <12>x^4 + frac<3> <40>x^5 + frac <30>x^6 + frac <42>x^7 + frac<5> <112>x^8 + frac <72>x^9 + frac <90>x^ <10>+ cdots)
    b) (y(x) = frac<1> <2>x^2 + frac<1> <6>x^3 + frac<1> <12>x^4 + frac<3> <40>x^5 + frac<1> <15>x^6 + frac<1> <21>x^7 + frac<5> <112>x^8 + frac<1> <24>x^9 + frac<1> <30>x^ <10>+ cdots)

    Exercise 7.2.103 .

    Attempt to solve (x^2 y'' - y = 0) at (x_0 = 0) using the power series method of this section ((x_0) is a singular point). Can you find at least one solution? Can you find more than one solution?

    Applying the method of this section directly we obtain (a_k = 0) for all (k) and so (y(x) = 0) is the only solution we find.


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    Solutions to Linear Algebra, Stephen H. Friedberg, Fourth Edition (Chapter 2)

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