Artigos

3.5: Composição de Funções


Habilidades para desenvolver

  • Combine funções usando operações algébricas para criar uma nova função.
  • Crie uma nova função por composição de funções.
  • Avalie funções compostas.
  • Encontre o domínio de uma função composta.
  • Decomponha uma função composta em suas funções componentes.

Suponha que desejamos calcular quanto custa para aquecer uma casa em um determinado dia do ano. O custo para aquecer uma casa dependerá da temperatura média diária e, por sua vez, a temperatura média diária depende de um determinado dia do ano. Observe como acabamos de definir duas relações: o custo depende da temperatura e a temperatura depende do dia.

Usando variáveis ​​descritivas, podemos notar essas duas funções. A função (C (T) ) fornece o custo (C ) de aquecimento de uma casa para uma dada temperatura média diária em (T ) graus Celsius. A função (T (d) ) fornece a temperatura média diária no dia d do ano. Para qualquer dia, (Cost = C (T (d)) ) significa que o custo depende da temperatura, que por sua vez depende do dia do ano. Assim, podemos avaliar a função de custo na temperatura (T (d) ). Por exemplo, podemos avaliar (T (5) ) para determinar a temperatura média diária no 5º dia do ano. Então, poderíamos avaliar o função de custo a essa temperatura. Escreveríamos (C (T (5)) ).

Figura ( PageIndex {1} ): Explicação de (C (T (5)) ), que é o custo da temperatura e (T (5) ) é a temperatura no dia 5.

Combinando esses dois relacionamentos em uma função, executamos a composição da função, que é o foco desta seção.

Combinando funções usando operações algébricas

A composição de funções é apenas uma maneira de combinar funções existentes. Outra forma é realizar as operações algébricas usuais em funções, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Fazemos isso executando as operações com as saídas da função, definindo o resultado como a saída de nossa nova função.

Suponha que precisemos adicionar duas colunas de números que representam as rendas anuais separadas de um marido e mulher ao longo de um período de anos, com o resultado sendo sua renda familiar total. Queremos fazer isso a cada ano, adicionando apenas as receitas desse ano e, em seguida, coletando todos os dados em uma nova coluna. Se (w (y) ) é a renda da esposa e (h (y) ) é a renda do marido no ano (y ), e queremos que (T ) represente a renda total, então pode definir uma nova função.

[T (y) = h (y) + w (y) nonumber ]

Se isso for verdade para todos os anos, então podemos nos concentrar na relação entre as funções sem referência a um ano e escrever

[T = h + w nonumber ]

Assim como para esta soma de duas funções, podemos definir funções de diferença, produto e razão para qualquer par de funções que tenham os mesmos tipos de entradas (não necessariamente números) e também os mesmos tipos de saídas (que precisam ser números de modo que as operações usuais de álgebra podem ser aplicadas a eles, e que também devem ter as mesmas unidades ou nenhuma unidade quando adicionamos e subtraímos). Dessa forma, podemos pensar em adicionar, subtrair, multiplicar e dividir funções.

Para duas funções (f (x) ) e (g (x) ) com resultados de números reais, definimos novas funções (f + g ), (f − g ), (fg ) , e ( frac {f} {g} ) pelas relações.

[ begin {align *} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) [5pt] (f − g) (x) & = f (x) −g (x ) [5pt] (fg) (x) & = f (x) g (x) [5pt] left ( dfrac {f} {g} right) (x) & = dfrac {f (x)} {g (x)} end {alinhar *} ]

Exemplo ( PageIndex {1} ): Executando operações algébricas em funções

Encontre e simplifique as funções ((g − f) (x) ) e ( left ( dfrac {g} {f} right) (x) ), dadas (f (x) = x− 1 ) e (g (x) = x ^ 2−1 ). Eles têm a mesma função?

Solução

Comece escrevendo a forma geral e, em seguida, substitua as funções fornecidas.

[ begin {align *} (g − f) (x) & = g (x) −f (x) [5pt] & = (x ^ 2−1) - (x − 1) [ 5pt] & = x ^ 2 − x, mbox {ou} x (x − 1) end {align *} ]

[ begin {align *} left ( dfrac {g} {f} right) (x) & = dfrac {g (x)} {f (x)} [5pt] & = dfrac {x ^ 2−1} {x − 1} [5pt] & = dfrac {(x + 1) (x − 1)} {x − 1} [5pt] & = x-1 end {alinhar*}]

Não, as funções não são as mesmas.

Nota: Para ( left ( dfrac {g} {f} right) (x) ), a condição (x neq1 ) é necessária porque quando (x = 1 ), o denominador é igual para 0, o que torna a função indefinida. Assim, o domínio de ( frac {g} {f} ) é (D = {x ; | ; x neq 1 } ).

Observação: Como você acha que o gráfico de ( frac {g} {f} ) se pareceria? Entregue este gráfico ao seu instrutor junto com uma explicação de seu raciocínio para Crédito extra.

( PageIndex {1} )

Encontre e simplifique as funções ((fg) (x) ) e ((f − g) (x) ), dadas (f (x) = x − 1 não numérico ) e (g (x ) = x ^ 2−1 não numérico ). Eles têm a mesma função?

Responder

((fg) (x) = f (x) g (x) = (x − 1) (x ^ 2−1) = x ^ 3 − x ^ 2 − x + 1 )
((f − g) (x) = f (x) −g (x) = (x − 1) - (x ^ 2−1) = x − x ^ 2, ) ou (x (1- x) )

Não, as funções não são as mesmas.

Crie uma função por composição de funções

Novas funções também podem ser criadas compondo funções. Quando queríamos calcular o custo de aquecimento de um dia do ano, criamos uma nova função que pega um dia como entrada e produz um custo como saída. O processo de combinação de funções para que a saída de uma função se torne a entrada de outra é conhecido como composição de funções. A função resultante é conhecida como função composta. Representamos essa combinação pela seguinte notação:

[f { circ} g (x) = f (g (x)) nonumber ]

Lemos o lado esquerdo como “ (f ) composto com (g ) em (x ),” e o lado direito como “ (f ) de (g ) de (x ). ” Os dois lados da equação têm o mesmo significado matemático e são iguais. O símbolo de círculo aberto ( circ ) é chamado de operador de composição. Usamos esse operador principalmente quando desejamos enfatizar a relação entre as próprias funções, sem nos referir a nenhum valor de entrada específico. Composição é uma operação binária que recebe duas funções e forma uma nova função, da mesma forma que a adição ou multiplicação pega dois números e dá um novo número. No entanto, é importante não confundir composição de função com multiplicação porque, como veremos, na maioria dos casos (f (g (x)) { neq} f (x) g (x) ).

Também é importante compreender a ordem das operações na avaliação de uma função composta. Seguimos a convenção usual com parênteses, começando com os parênteses mais internos primeiro e, em seguida, trabalhando para o exterior. Na equação acima, a função (g ) pega a entrada (x ) primeiro e produz uma saída (g (x) ). Então, a função (f ) recebe (g (x) ) como uma entrada e produz uma saída (f (g (x)) ).

Figura ( PageIndex {2} ): Explicação da função composta.

Em geral, (f { circ} g ) e (g { circ} f ) são funções diferentes. Em outras palavras, em muitos casos (f (g (x)) { neq} g (f (x)) ) para todos (x ).

Por exemplo, se (f (x) = x ^ 2 ) e (g (x) = x + 2 ), então

[ begin {align *} f (g (x)) & = f (x + 2) [5pt] & = (x + 2) ^ 2 [5pt] & = x ^ 2 + 4x + 4 end {align *} ]

mas

[ begin {align *} g (f (x)) & = g (x ^ 2) [5pt] & = x ^ 2 + 2 end {align *} ]

Essas expressões não são iguais para todos os valores de (x ), portanto, as duas funções não são iguais. Embora as expressões sejam iguais para o único valor de entrada (x = - frac {1} {2} ), isso é irrelevante.

Crédito extra: Dadas as fórmulas para cada uma dessas funções compostas, mostre como encontrar todos os valores (x ) que tornam as funções iguais e entregue seu trabalho ao seu instrutor.

Composição de Funções

Quando a saída de uma função é usada como entrada de outra, chamamos toda a operação de composição de funções. Para qualquer entrada (x ) e funções (f ) e (g ), esta ação define um função composta, que escrevemos como (f { circ} g ) de modo que

[(f { circ} g) (x) = f (g (x)) nonumber ]

O domínio da função composta (f { circ} g ) é todo (x ) tal que (x ) está no domínio de (g ) e (g (x) ) é no domínio de (f ).

É importante perceber que o produto das funções (fg ) não é o mesmo que a composição da função (f circ g ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Determinando se a composição de funções é comutativa

Usando as funções fornecidas, encontre (f (g (x)) ) e (g (f (x)) ). Determine se a composição das funções é comutativo.

[f (x) = x ^ 2 ; ; ; ; g (x) = sqrt {x} nonumber ]

Solução

Vamos começar substituindo (g (x) ) em (f (x) ).

[ begin {align *} f (g (x)) & = ( sqrt {x}) ^ 2 [5pt] & = x, ; D = [0, infty) end {align *} ]

Agora podemos substituir (f (x) ) em (g (x) ).

[ begin {align *} g (f (x)) & = sqrt {(x ^ 2)} [5pt] & = vert x vert, ; D = (- infty, infty) end {align *} ]

Descobrimos que (g (f (x)) { neq} f (g (x)) ), então a operação de composição da função não é comutativa. Observe que não apenas as fórmulas são diferentes, mas os domínios também são diferentes.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Comparando a multiplicação de funções com a composição de funções

Seja (f (x) = 2x-3 ) e seja (g (x) = x ^ 2 + 1 ). Encontre duas novas funções combinando (f (x) ) e (g (x) ) das seguintes maneiras: (f circ g ) e (fg ). Eles são os mesmos?

Solução

[f circ g = f (g (x)) = 2 (x ^ 2 + 1) - 3 = 2x ^ 2-1 nonumber ]

[fg = (2x-3) (x ^ 2 + 1) = 2x ^ 3-3x ^ 2 + 2x-3 nonumber ]

As duas novas funções não são iguais.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Interpretando funções compostas

A função (c (s) ) dá o número de calorias queimadas ao fazer (s ) abdominais e (s (t) ) dá o número de abdominais que uma pessoa pode fazer em (t ) minutos. Interpretar (c (s (3)) ).

Solução

A expressão interna na composição é (s (3) ). Como a entrada para a função (s ) - é o tempo, (t = 3 ) representa 3 minutos e (s (3) ) é o número de abdominais completados em 3 minutos.

Usar (s (3) ) como entrada para a função (c (s) ) nos dá o número de calorias queimadas durante o número de abdominais que podem ser concluídos em 3 minutos, ou simplesmente o número de calorias queimadas em 3 minutos (fazendo abdominais).

Às vezes, duas funções podem ser compostas apenas em uma ordem específica. O intervalo da função interna (a primeira função a ser avaliada) precisa estar dentro do domínio da função externa. Menos formalmente, a composição deve fazer sentido em termos de entradas e saídas. Em um modelo matemático, isso pode ser muito importante. Veja Exemplo ( PageIndex {5} ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Investigando a ordem da composição da função

Suponha que (f (x) ) forneça milhas que podem ser dirigidas em (x ) horas e (g (y) ) forneça os galões de gás usados ​​para dirigir (y ) milhas. Qual dessas expressões é significativa: (f (g (y)) ) ou (g (f (x)) )?

Solução

A função (y = f (x) ) é uma função cuja saída é o número de milhas percorridas correspondente ao número de horas percorridas.

[ text {número de milhas} = f ( text {número de horas}) não número ]

A função (g (y) ) é uma função cuja saída é o número de galões usados ​​correspondendo ao número de milhas percorridas. Isso significa:

[ text {número de galões} = g ( text {número de milhas}) não número ]

A expressão (g (y) ) leva milhas como entrada e um número de galões como saída. A função (f (x) ) requer um número de horas como entrada. Tentar inserir uma quantidade de galões não faz sentido. A expressão (f (g (y)) ) não tem sentido.

A expressão (f (x) ) leva horas como entrada e um número de milhas percorridas como saída. A função (g (y) ) requer um número de milhas como entrada. Usar (f (x) ) (milhas conduzidas) como um valor de entrada para (g (y) ), onde os galões de gás dependem das milhas conduzidas, faz sentido. A expressão (g (f (x)) ) faz sentido e renderá o número de galões de gás usados, (g ), dirigindo um certo número de milhas, (f (x) ), em (x ) horas.

Existem situações em que (f (g (y)) ) e (g (f (x)) ) seriam expressões significativas ou úteis?

sim. Para muitas funções matemáticas puras, ambas as composições fazem sentido, embora geralmente produzam novas funções diferentes. Em problemas do mundo real, funções cujas entradas e saídas têm as mesmas unidades também podem fornecer composições que são significativas em qualquer ordem.

( PageIndex {2} )

A força gravitacional em um planeta a uma distância (r ) do sol é dada pela função (G (r) ). A aceleração de um planeta sujeito a qualquer força (F ) é dada pela função (a (F) ). Forme uma composição significativa dessas duas funções e explique o que isso significa.

Responder

Uma força gravitacional ainda é uma força, então (a (G (r)) ) faz sentido como a aceleração de um planeta a uma distância (r ) do Sol (devido à gravidade), mas (G ( a (F)) ) não faz sentido.

Avaliação de funções compostas

Depois de compor uma nova função a partir de duas funções existentes, precisamos ser capazes de avaliá-la para qualquer entrada em seu domínio. Faremos isso com entradas numéricas específicas para funções expressas como tabelas, gráficos e fórmulas e com variáveis ​​como entradas para funções expressas como fórmulas. Em cada caso, avaliamos a função interna usando a entrada inicial e, em seguida, usamos a saída da função interna como entrada para a função externa.

Avaliação de funções compostas usando tabelas

Ao trabalhar com funções fornecidas como tabelas, lemos os valores de entrada e saída das entradas da tabela e sempre trabalhamos de dentro para fora. Avaliamos a função interna primeiro e, em seguida, usamos a saída da função interna como entrada para a função externa.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Usando uma tabela para avaliar uma função composta

Usando Tabela ( PageIndex {1} ), avalie (f (g (3)) ) e (g (f (3)) ).

Tabela ( PageIndex {1} )
(x ) (f (x) ) (g (x) )
163
285
332
417

Solução

Para avaliar (f (g (3)) ), começamos de dentro com o valor de entrada 3. Em seguida, avaliamos a expressão interna (g (3) ) usando a tabela que define a função (g: g (3) = 2 ). Podemos então usar esse resultado como entrada para a função (f ), então (g (3) ) é substituído por 2 e obtemos (f (2) ). Então, usando a tabela que define a função (f ), encontramos que (f (2) = 8 ).

[g (3) = 2 não numérico ]

[f (g (3)) = f (2) = 8 não numérico ]

Para avaliar (g (f (3)) ), primeiro avaliamos a expressão interna (f (3) ) usando a primeira tabela: (f (3) = 3 ). Então, usando a tabela para (g ), podemos avaliar

[g (f (3)) = g (3) = 2 não numérico ]

Tabela ( PageIndex {2} ) mostra as funções compostas (f { circ} g ) e (g { circ} f ) como tabelas.

Tabela ( PageIndex {2} )
(x ) (g (x) ) (f (g (x)) ) (f (x) ) (g (f (x)) )
32832

( PageIndex {3} )

Usando Tabela ( PageIndex {1} ), avalie (f (g (1)) ) e (g (f (4)) ).

Responder

(f (g (1)) = f (3) = 3 ) e (g (f (4)) = g (1) = 3 )

Avaliação de funções compostas usando gráficos

Quando temos funções individuais como gráficos, o procedimento para avaliar funções compostas é semelhante ao processo que usamos para avaliar tabelas. Lemos os valores de entrada e saída, mas desta vez, dos eixos (x ) - e (y ) - dos gráficos.

Dada uma função composta e gráficos de suas funções individuais, avalie-a usando as informações fornecidas pelos gráficos

  1. Localize a entrada fornecida para a função interna no eixo (x ) de seu gráfico.
  2. Leia a saída da função interna do eixo (y ) de seu gráfico.
  3. Localize a saída da função interna no eixo (x ) do gráfico da função externa.
  4. Leia a saída da função externa do eixo (y ) de seu gráfico. Este é o resultado da função composta.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Usando um gráfico para avaliar uma função composta

Usando Figure ( PageIndex {3} ), avalie (f (g (1)) ).

Figura ( PageIndex {3} ): Dois gráficos de uma parábola positiva (y = g (x) ) e parábola negativa (y = f (x) ).

Solução

Para avaliar (f (g (1)) ), começamos com a avaliação interna. Veja a Figura ( PageIndex {4} ).

Figura ( PageIndex {4} ): Dois gráficos de uma parábola positiva (g (x) ) e uma parábola negativa (f (x) ). Os seguintes pontos são plotados: (g (1) = 3 ) e (f (3) = 6 ).

Avaliamos (g (1) ) usando o gráfico de (g (x) ), encontrando a entrada de 1 no eixo (x ) - e encontrando o valor de saída do ponto no gráfico naquele entrada. Aqui, (g (1) = 3 ). Usamos esse valor como entrada para a função (f ).

[f (g (1)) = f (3) não numérico ]

Podemos então avaliar a função composta olhando para o gráfico de (f (x) ), encontrando a entrada de 3 no eixo (x ) e lendo o valor de saída do gráfico nesta entrada. Aqui, (f (3) = 6 ), então (f (g (1)) = 6 ).

Análise

A Figura ( PageIndex {5} ) mostra como podemos marcar os gráficos com setas para traçar o caminho do valor de entrada ao valor de saída.

Figura ( PageIndex {5} ): Dois gráficos de uma parábola positiva (y = g (x) ) e parábola negativa (y = f (x) ).

Solução

( PageIndex {4} )

Usando Figura ( PageIndex {3} ), avalie (g (f (2)) ).

Responder

(g (f (2)) = g (5) = 3 )

Avaliação de funções compostas usando fórmulas

Ao avaliar uma função composta na qual criamos ou recebemos fórmulas, a regra de trabalhar de dentro para fora permanece a mesma. O valor de entrada para a função externa será a saída da função interna, que pode ser um valor numérico, um nome de variável ou uma expressão mais complicada.

Embora possamos compor as funções para cada valor de entrada individual, às vezes é útil encontrar uma única fórmula que irá calcular o resultado de uma composição (f (g (x)) ). Para fazer isso, vamos estender nossa ideia de avaliação de funções.

Lembre-se de que, quando avaliamos uma função como (f (t) = t ^ 2 − t ), substituímos o valor entre parênteses na fórmula sempre que vemos a variável de entrada.

Dada uma fórmula para uma função composta, avalie a função

  1. Avalie a função interna usando o valor de entrada ou variável fornecida.
  2. Use a saída resultante como entrada para a função externa.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Avaliando uma composição de funções expressas como fórmulas com uma entrada numérica

Dado (f (t) = t ^ 2 − t ) e (h (x) = 3x + 2 ), avalie (f (h (1)) ).

Solução

Como a expressão interna é (h (1) ), começamos avaliando (h (x) ) em 1.

[ begin {align *} h (1) = 3 (1) +2 [5pt] h (1) = 5 end {align *} ]

Então (f (h (1)) = f (5) ), então avaliamos (f (t) ) em uma entrada de 5.

[ begin {align *} f (h (1)) = f (5) [5pt] f (h (1)) = 5 ^ 2−5 ​​[5pt] f (h (1)) = 20 end {align *} ]

Análise

Não faz diferença como as variáveis ​​de entrada (t ) e (x ) foram chamadas neste problema porque avaliamos para valores numéricos específicos.

( PageIndex {5} )

Dado (f (t) = t ^ 2 − t ) e (h (x) = 3x + 2 ), avalie

uma. (h (f (2)) )
b. (h (f (−2)) )

Responder

uma. (h (f (2)) = h (2) = 8 )
b. (h (f (-2)) = h (6) = 20 )

Encontrando o domínio de uma função composta

Como discutimos anteriormente, o domínio de uma função composta tal como (f { circ} g ) é dependente do domínio de (g ) e do domínio de (f ). É importante saber quando podemos aplicar uma função composta e quando não podemos; isto é, conhecer o domínio de uma função como (f { circ} g ). Vamos supor que conhecemos os domínios das funções (f ) e (g ) separadamente. Se escrevermos a função composta para uma entrada (x ) como (f (g (x)) ), podemos ver imediatamente que (x ) deve ser um membro do domínio de g para que a expressão deve ser significativa, caso contrário, não poderemos concluir a avaliação da função interna. No entanto, também vemos que (g (x) ) deve ser um membro do domínio de (f ), caso contrário, a avaliação da função externa em (f (g (x)) ) não pode ser concluída, e a expressão ainda está indefinida. Assim, o domínio de (f { circ} g ) consiste apenas nas entradas no domínio de (g ) que produzem saídas de (g ) pertencentes ao domínio de (f ). Observe que o domínio de (f ) composto por (g ) é o conjunto de todos (x ) tal que (x ) está no domínio de (g ) e (g (x ) ) está no domínio de (f ).

Definição: Domínio de uma função composta

O domínio de uma função composta (f (g (x)) ) é o conjunto dessas entradas (x ) no domínio de (g ) para as quais (g (x) ) está no domínio de (f )

Dada uma composição de função (f (g (x)) ), determine seu domínio

  1. Encontre o domínio de (g ).
  2. Encontre o domínio de (f ).
  3. Encontre essas entradas (x ) no domínio de (g ) para as quais (g (x) ) está no domínio de (f ). Ou seja, exclua os valores de entrada (x ) do domínio de (g ) se (g (x) ) não estiver no domínio de (f ). O conjunto resultante é o domínio de (f circ g ).

Exemplo ( PageIndex {9A} ): Encontrando o domínio de uma função composta que envolve quocientes

Encontre o domínio de

[(f∘g) (x) text {onde} f (x) = dfrac {5} {x − 1} text {e} g (x) = dfrac {4} {3x − 2} enhum número]

Solução

O domínio de (g (x) ) consiste em todos os números reais, exceto (x = frac {2} {3} ), uma vez que esse valor de entrada nos faria dividir por 0. Da mesma forma, o domínio de (f ) consiste em todos os números reais, exceto 1. Portanto, precisamos excluir do domínio de (g (x) ) qualquer valor de (x ) para o qual (g (x) = 1 ).

[ begin {align *} dfrac {4} {3x-2} & = 1 [5pt] 4 & = 3x-2 [5pt] 6 & = 3x [5pt] x & = 2 end {alinhar*}]

O domínio de (f { circ} g ) é o conjunto de todos os números reais, exceto ( frac {2} {3} ) e (2 ). Isso significa que

[x { neq} dfrac {2} {3} text {e} x neq2 nonumber ]

Podemos escrever isso em notação de intervalo como

[D = (- infty, dfrac {2} {3}) cup ( dfrac {2} {3}, 2) cup (2, infty) nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {9B} ): Encontrando o domínio de uma função composta envolvendo radicais

Encontre o domínio de

[(f { circ} g) (x) text {onde} f (x) = sqrt {x + 2} text {e} g (x) = sqrt {3 − x} nonumber ]

Como não podemos obter a raiz quadrada de um número negativo, o domínio de (g ) é ( left (- infty, 3 right] ). A função composta é

[(f { circ} g) (x) = sqrt { sqrt {3 − x} +2}. enhum número]

Novamente, como não podemos obter a raiz quadrada de um número negativo, excluímos quaisquer números negativos no radicand; assim, queremos apenas (x ) - valores tais que ( sqrt {3 − x} + 2≥0, ) ou ( sqrt {3-x} geq -2. ) Já que o quadrado símbolo de raiz ( sqrt {} ) é definido como a raiz quadrada não negativa de um número, ( sqrt {3 − x} ) é sempre maior que -2; portanto, ficamos com a restrição no domínio de (g ), que dá a (f circ g ) um domínio de ((- ∞, 3] ).

Análise

Este exemplo mostra que o conhecimento da gama de funções (especificamente a função interna) também pode ser útil para encontrar o domínio de uma função composta. Também mostra que o domínio de (f { circ} g ) pode conter valores que não estão no domínio de (f ), embora devam estar no domínio de (g ).

( PageIndex {6} )

Encontre o domínio de

[(f { circ} g) (x), text {onde} f (x) = dfrac {1} {x − 2} text {e} g (x) = sqrt {x + 4 } enhum número]

Responder

([−4,2)∪(2,∞))

Decompondo uma função composta em suas funções de componente

Em alguns casos, é necessário decompor uma função complicada. Em outras palavras, queremos escrever uma função complicada como uma composição de duas funções mais simples. Pode haver mais de uma maneira de decompor uma função composta, então escolhemos a decomposição que parece melhor.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Decompondo uma função

Escreva (f (x) = sqrt {5 − x ^ 2} ) como a composição de duas funções.

Solução

Estamos procurando duas funções, (g ) e (h ), então (f (x) = g (h (x)) ). Para fazer isso, procuramos uma função dentro de uma função na fórmula para (f (x) ). Como uma possibilidade, podemos notar que a expressão (5 − x ^ 2 ) é o interior da raiz quadrada. Podemos então decompor a função como

[h (x) = 5 − x ^ 2 text {e} g (x) = sqrt {x} nonumber ]

Podemos verificar nossa resposta recompondo as funções.

[g (h (x)) = g (5 − x ^ 2) = sqrt {5 − x ^ 2} nonumber ]

( PageIndex {7} )

Escreva (f (x) = dfrac {4} {3− sqrt {4 + x ^ 2}} ) como a composição de duas funções.

Responder

Possível resposta:

(g (x) = sqrt {4 + x ^ 2}, ; h (x) = dfrac {4} {3 − x} )
(f = h { circ} g = h (g (x)) )

Acesse esses recursos online para obter instruções e práticas adicionais com funções compostas.

  • Funções compostas (http://openstaxcollege.org/l/compfunction)
  • Aplicativo de notação de função composta (http://openstaxcollege.org/l/compfuncnot)
  • Funções compostas usando gráficos (http://openstaxcollege.org/l/compfuncgraph)
  • Decompor funções (http://openstaxcollege.org/l/decompfunction)
  • Valores de função compostos (http://openstaxcollege.org/l/compfuncvalue)

Equação Chave

  • Função composta ((f { circ} g) (x) = f (g (x)) )

Conceitos chave

  • Podemos realizar operações algébricas em funções. Veja Exemplo ( PageIndex {1} ).
  • Quando as funções são combinadas, a saída da primeira função (interna) torna-se a entrada da segunda função (externa).
  • A função produzida pela combinação de duas funções é uma função composta.
  • A ordem de composição da função deve ser considerada ao interpretar o significado das funções compostas. Veja os exemplos ( PageIndex {4} ) e ( PageIndex {5} ).
  • Uma função composta pode ser avaliada avaliando a função interna usando o valor de entrada fornecido e, em seguida, avaliando a função externa tomando como sua entrada a saída da função interna.
  • Uma função composta pode ser avaliada a partir de uma tabela. Veja Exemplo ( PageIndex {6} ).
  • Uma função composta pode ser avaliada a partir de um gráfico. Veja Exemplo ( PageIndex {7} ).
  • Uma função composta pode ser avaliada a partir de uma fórmula. Veja Exemplo ( PageIndex {8} ).
  • O domínio de uma função composta consiste naquelas entradas no domínio da função interna que correspondem às saídas da função interna que estão no domínio da função externa. Veja os exemplos ( PageIndex {9A} ) e ( PageIndex {9B} ).
  • Assim como as funções podem ser combinadas para formar uma função composta, as funções compostas podem ser decompostas em funções mais simples. Veja Exemplo ( PageIndex {10} ).
  • Freqüentemente, as funções podem ser decompostas de mais de uma maneira.

Glossário

função composta

a nova função formada pela composição da função, quando a saída de uma função é usada como entrada de outra


Composição de Função

Responder:

Se #g: A- & gtB # e #f: B- & gtC #, então o domínio de # f @ g # é

usando a notação descrita abaixo.

Explicação:

Se # g # é uma função que mapeia alguns elementos de um conjunto # A # para elementos de um conjunto # B #, então o domínio de # g # é o subconjunto de # A # para o qual #g (a) # é definido.

#AA a em A AA b_1, b_2 em B #

# ((a, b_1) em g ^^ (a, b_2) em g) = & gt b_1 = b_2 #

Use a notação # 2 ^ A # para representar o conjunto de subconjuntos de # A # e # 2 ^ B # o conjunto de subconjuntos de # B #.

Então podemos definir a função de pré-imagem:

Então, o domínio de # g # é simplesmente #bar (g) ^ (- 1) (B) #

Se # f # for uma função que mapeia alguns elementos do conjunto # B # para elementos de um conjunto # C #, então:

Usando essa notação, o domínio de # f @ g # é simplesmente

Compor uma função é inserir uma função na outra para formar uma função diferente. Aqui estão alguns exemplos.

Exemplo 1: Se #f (x) = 2x + 5 # e #g (x) = 4x - 1 #, determine #f (g (x)) #

Isso significaria inserir #g (x) # para # x # dentro de #f (x) #.

#f (g (x)) = 2 (4x- 1) + 5 = 8x- 2 + 5 = 8x + 3 #

Exemplo 2: se #f (x) = 3x ^ 2 + 12 + 12x # e #g (x) = sqrt (3x) #, determine #g (f (x)) # e indique o domínio

O domínio de #f (x) # é #x em RR #. O domínio de #g (x) # é #x & gt 0 #. Portanto, o domínio de #g (f (x)) # é #x & gt 0 #.

Exemplo 3: se #h (x) = log_2 (3x ^ 2 + 5) # e #m (x) = sqrt (x + 1) #, encontre o valor de #h (m (0)) #?

Encontre a composição e avalie no ponto determinado.

Pratica exercícios

Para os seguintes exercícios: #f (x) = 2x + 7, g (x) = 2 ^ (x - 7) eh (x) = 2x ^ 3 - 4 #

Espero que isso ajude e boa sorte!


3.5: Composição de Funções

Escolhi o problema 2 da tarefa 1 para este artigo:

& quot2. Crie funções lineares f (x) e g (x). Explore, com pares diferentes de f (x) e g (x) os gráficos para

Usei os softwares Algebra Xpresser e Graphing Calculator durante minha investigação.

Soma de duas funções lineares

Primeiro, escolhi duas funções lineares para f (x) e g (x). Usei y = 2x + 3 para f (x) e

Os gráficos de f (x) [vermelho] e g (x) [verde] são mostrados:

A soma de f (x) e g (x): f (x) + g (x) = (2x + 3) + (x + 1) = 3x + 4.

Isso ainda está na forma de equação para uma linha. Portanto, eu esperaria que o gráfico fosse linear.

O gráfico da soma de f (x) e g (x) [vermelho] é mostrado:

Esta é uma função linear como esperado. A soma de duas funções lineares é verdadeira para este exemplo. Isso é verdade para todas as funções lineares? Seja f (x) y = -2 e g (x) y = 5.

O gráfico de f (x) [vermelho] e g (x) [verde] é mostrado:

A soma de f (x) e g (x) é f (x) + g (x) = - 2 + 5 = 3.

O gráfico de f (x) + g (x) é mostrado:

E se ambas as funções forem linhas verticais? Seja f (y) x = 1 e g (y) seja x = 3. Então, a soma de f (y) e g (y) seria: f (y) + g (y) = 1 + 3 = 4.

Os gráficos f (y) [vermelho], g (y) [verde] ef (y) + g (y) [azul] são mostrados:

Até agora, a soma de duas funções lineares é uma função linear. É sempre verdade que se f (x) e g (x) são funções lineares, então f (x) + g (x) é uma função linear?

Suponha que f (x) = mx + be g (x) = nx + c para números reais x, m, b, n e c.

Então f (x) + g (x) = mx + b + nx + c = (m + n) x + (b + c). Mas isso ainda está na forma de uma função linear.

Portanto, a soma de duas funções lineares é uma função linear. Produto de duas funções lineares

Agora, olhe para o produto do original f (x) e g (x) onde y = 2x + 3 é f (x) ey = x + 1 é g (x).

f (x) g (x) = (2x + 3) (x + 1). Expanda os termos para obter a equação quadrática:

. Agora suspeitamos que o gráfico será uma parábola. Vamos resolver as interceptações x. 0 = (2x + 3) (x + 1), então os interceptos x estarão em x = -1 e x = -1,5. A interceptação de y será (em x = 0): y = 3.

O gráfico de f (x) g (x) é mostrado:

Esta parábola se abre para cima.

Agora, olhe para o produto de f (x) e g (x) quando f (x) = - 2 e g (x) = 5. O produto f (x) g (x) = - 10. O gráfico resultante é uma linha horizontal em y = -10. Este gráfico não é mostrado.

Agora, olhe para o produto de f (y) e g (y) quando f (y) = 1 e g (y) = 3. O produto f (y) g (y) = 3. O gráfico resultante é uma linha vertical em x = 3. Este gráfico não é mostrado.

Agora, olhe para o produto f (x) g (x) quando f (x) = - 2x + 3 e g (x) = x + 1. Então, o produto f (x) g (x) = (- 2x + 3) (x + 1). Expanda os termos para obter a equação quadrática:

Novamente, o gráfico deve ser uma parábola. Resolva as interceptações x. 0 = (- 2x + 3) (x + 1). Portanto, os interceptos x estão em x = 1,5 ex = -1. A interceptação de y será (em x = 0): y = 3. O gráfico é mostrado:

Observe que esta parábola se abre para baixo. A razão para a abertura para baixo é devido ao coeficiente do termo x-quadrado, o termo x ou a constante 3? Não é a constante 3, porque a parábola anterior a esta acima se abre e tem a mesma constante de 3 na equação. Quase todo mundo vai se lembrar do ensino médio que é o coeficiente do termo x-quadrado sendo negativo que faz com que a parábola se abra para baixo. Para provar isso graficamente, vamos representar graficamente as seguintes equações:

A única diferença é o coeficiente do termo x-quadrado. Portanto, quando o coeficiente do termo x-quadrado é negativo, a parábola se abre para baixo. Observe também que ambas as parábolas têm uma interceptação y de 1. Isso está relacionado à constante & quot1 & quot em cada equação. Quando a equação da parábola está na forma:

a constante & quotc & quot é a interceptação y. Observe os seguintes gráficos:

A única diferença nessas equações é o termo constante. A interceptação y é determinada pela constante & quotc & quot.

Agora olhe para os seguintes produtos de equações lineares:

O produto de duas funções lineares em todos os casos acima resulta em uma parábola. Agora observe o seguinte produto de duas funções lineares: y = 0x + 3 [vermelho] ey = x + 3 [verde].

Isso resulta em uma linha. A razão é porque o termo x-quadrado tem zero para o coeficiente. Agora olhe para as duas parábolas a seguir:

Observe que à medida que o coeficiente do termo x-quadrado torna-se pequeno, a parábola começa a se desdobrar para se tornar uma linha. À medida que o coeficiente do termo x-quadrado se torna grande, a parábola entra em colapso para se tornar um raio. Essas duas parábolas particulares são os seguintes produtos de funções lineares:

Portanto, em todos os casos, o produto de duas funções lineares resultou em uma parábola. Há uma ocasião em que a parábola se degenera (coeficiente x-quadrado = 0, a parábola se desdobra para se tornar uma reta). Quando o coeficiente x-quadrado fica infinitamente grande (positivo ou negativo), a parábola parece entrar em colapso para se tornar um raio, entretanto, pode-se argumentar que ainda é uma parábola com dois lados que estão infinitamente próximos.

Quociente (ou razão) de duas funções lineares

Agora, vamos examinar as proporções das seguintes funções lineares:

O resultado é uma hipérbole. Então, vamos olhar a proporção de f (x) / h (x):

Novamente, a proporção de duas funções lineares é uma hipérbole. Agora, vamos olhar a razão de k (x) / p (x):

Once again a hyperbola results from the ratio of two linear functions. Notice that the vertical asymptote for each of these ratios occurs for the value of x that makes the denominator = 0. Notice that the horizontal asymptote occurs at the value of y corresponding to the ratio of the coefficients of the x-term.

O.K. Let's look at the ratio of k(x)/m(x):

Now the result is a linear function. Specifically, the ratio is the linear function y=5x-1. What about the ratio of m(x)/k(x):

A hyperbola again. The vertical asymptote occurs at x=1/5, i.e. when the denominator = 0. The horizontal asymptote occurs at y=0, i.e. the ratio of the coefficients of the x-terms.

Let's look at the ratios of n(x)/p(x) and f(x)/f(x):

These both results in linear functions. This is because the ratios were -1 and 1 respectively.

Hyperbola again. Vertical and horizontal asymptotes hold the same pattern as before.

Let's look at the ratio of f(x)/k(x):

Hyperbola with vertical and horizontal asymptotes following the same pattern. However, notice this is only the second time that the hyperbola opens toward the 2nd and 4th quadrants. All of the others have opened toward the 1st and 3rd quadrants. Por quê? Is there a pattern?

Let's look at the ratio of k(x)/f(x)

This time the hyperbola opens toward the 1st and 3rd quadrants instead of the 2nd and 4th as was the case in the ratio for f(x)/k(x). Does this happen everytime that we look at the reciprocal of a ratio?

Let's look at a few to find out:

First, j(x)/h(x) (red) and h(x)/j(x) (blue):

Next, p(x)/k(x) (red) and k(x)/p(x) (blue):

It happened this time also.

Next, let's look at k(x)/m(x) (red) and m(x)/k(x) (blue):

Remember that k(x)/m(x) was a linear function (or some might say degenerate hyperbola).

Let's look at (2x+5)/(x-2) (red) and (x-2)/2x+5) (blue):

Same patterns hold true here also.

Let's look at (2x+1)/(x-2) (red) and (x-2)/(2x+1) (blue):

Let's look at (2x-1)/(x+2) (red) and (x+2)/(2x-1) (blue):

O.K. Now the direction that the hyperbola open swithes. It appears that both hyperbola have been reflected about the y-axis.

Let's look at -(2x-1)/(x+2) (red) and -(x+2)/(2x-1) (blue):

This appears to have changed the orientation of the two parabolas. In fact both hyperbola have been reflected about the x-axis as was expected.

I still have not recognized a pattern to determine the initial orientation of the parabola for a ratio of linear functions, but have noticed that the reciprocal ratio will switch the orientation of the parabola. However, the asymptotes are easy to determine for a ratio of linear functions.

There is more to explore at a later time. Composition of linear functions

Now let's look at the compostion of the following linear functions:

First, the compositon of f(g(x)):

f(g(x)) = (x+3)-3 = x. This is still is linear function.

Let's look at some more compositions:

k(m(x)) = 10(0x+2)-2 = 0x+20-2=18. This is a linear function.

g(k(x))=(10x-2)+3=10x-2+3=10x+1, a linear function.

It appears that a composition of linear functions will always be a linear function.

Let's look at the general equation for a line in a composition with itself.

Let q(x)=mx+b. So q(q(x))=m(mx+b)+b=m^2x+mb+b=nx+c, where n=m^2 and c=mb+b.

So q(q(x))=nx+c which is a linear function.

A composition of linear functions will be a linear function.

The sum of two linear functions is a linear function.

The product of two linear functions is a parabolic function with a special case when atleast one of the linear functions is a horizontal line. This special case results in a linear function or some would say a degenerate parabola.

The quotient (or ratio) of two linear functions is an hyperbolic function with a special case when the linear function in the denominator is a horizontal line. This special case results in a linear function or some would say a degenerate hyperbola.


Point-free style is a style of programming where function definitions do not make reference to the function’s arguments. Let’s look at function definitions in JavaScript:

How can you define functions in JavaScript without referencing the required parameters? Well, we can’t use the function keyword, and we can't use an arrow function ( => ) because those require any formal parameters to be declared (which would reference its arguments). So what we'll need to do instead is call a function that returns a function.

Create a function that increments whatever number you pass to it by one using point-free style. Remember, we already have a function called add that takes a number and returns a partially applied function with its first parameter fixed to whatever you pass in. We can use that to create a new function called inc() :

This gets interesting as a mechanism for generalization and specialization. The returned function is just a specialized version of the more general add() function. We can use add() to create as many specialized versions as we want:

And of course, these all have their own closure scopes (closures are created at function creation time — when add() is invoked), so the original inc() keeps working:

When we create inc() with the function call add(1) , the a parameter inside add() gets fixed to 1 inside the returned function that gets assigned to inc .

Then when we call inc(3) , the b parameter inside add() is replaced with the argument value, 3 , and the application completes, returning the sum of 1 and 3 .

All curried functions are a form of higher-order function which allows you to create specialized versions of the original function for the specific use case at hand.


Fog x and gof x Calculator | gof fog Function Calculator

Fog and Gof are the function composites or the composite functions. f o g means F-compose-g of x written as (f o g)(x) or f(g(x)), and G o f means G-compose of g written as (g o f)(x) or g(f(x)). Consider two functions f(x) and g(x). Fog or F composite of g(x) means plugging g(x) into f(x). An online gof fog calculator to find the (fog)(x) and (gof)(x) for the given functions. In this online fog x and gof x calculator enter the f(x) and g(x) and submit to know the fog gof function.


Chain Rule

In general, by substituting the function g(x) for você in the function f(você) we get the composite function h(x) = f(g(x)) .

Exemplos

Deixar f(você) = sin você . If we substitute x 2 for você , we get the composite function h(x) = f(x 2 ) = sin (x 2 )

Deixar f(você) = você 10 If we substitute x 2 + 1 for você we get the composite function h(x) = f(x 2 + 1) = (x 2 + 1) 10

Deixar f(você) = você 5 If we substitute sin (x 2 + 1) for você we get the composite function h(x) = f(sin (x 2 + 1)) = (sin (x 2 + 1)) 5 which is often written sin 5 (x 2 + 1)

We call g a inner function, e f a outer function of the composition. g may be any function, and often is itself another composite function.

The reversed process of composition is called decomposition. Composition is like dressing your feet, socks on first then boots on, and decomposition like undressing, you take boots off first then socks off.

Some composite functions can be decomposed in several ways. We will only consider those functions whose outermost function is a basic function of the form

u n , sin você, cos você, tan você, ln você and e você

At times the expression does not appear to be of these, but often it can be written in these forms.
For example, is x &minus2 ,is e &minus2x , is x ½ , sin 2 x is (sin x) 2 , cos 3 (x 2 + 1) is (cos (x 2 + 1)) 3

Look now at a decomposition. We need only decompose until we reach a simple function, which we can differentiate easily.

The order of decomposition is very important. Notice the difference in decomposition in the next two examples.

Exemplos

h(x) = (x 2 + 1) 10 has outer function y = f(você) = você 10 and inner function você = g(x) = x 2 + 1 .

h(x) = log (cos x) has outer function y = f(você) = log você and inner function você = g(x) = cos x.


Combining Functions with Mathematical Operators

To combine functions using mathematical operators, we simply write the functions with the operator and simplify. Given two functions e we can define four new functions:

Combining Functions Using Mathematical Operations

Given the functions e , find each of the following functions and state its domain.

Solução

  1. . The domain of this function is the interval .
  2. . The domain of this function is the interval .
  3. . The domain of this function is the interval .
  4. . The domain of this function is .

Para e , find and state its domain.

Solução

. The domain is .

The new function is a quotient of two functions. For what values of is the denominator zero?


Tuples

Julia has a built-in data structure called a tuple that is closely related to function arguments and return values. A tuple is a fixed-length container that can hold any values, but cannot be modified (it is immutable) Tuples are constructed with commas and parentheses, and can be accessed via indexing:

Notice that a length-1 tuple must be written with a comma, (1,) , since (1) would just be a parenthesized value. () represents the empty (length-0) tuple.


Abstrato

Solid-state NMR ( 1 H/ 13 C CPMAS) was utilized to identify structural differences in amylose tris(3,5-dimethylphenylcarbamate) chiral stationary phase (Chiralpak AD), as a function of mobile-phase composition. Dry Chiralpak AD stationary phase displayed an amorphous CPMAS NMR spectrum. However, CPMAS spectra of Chiralpak AD flushed with organic mobile phases clearly displayed evidence of solvent complexes. Chiralpak AD flushed with nonpolar hexane exhibited solvent complexes with minimal structural perturbation. For Chiralpak AD flushed with hexane containing alcohol modifiers, however, solvent incorporation caused significant difference in conformation distribution as evidenced by increased resolution of 13 C peaks in the CPMAS spectrum of the stationary phase. 2-Propanol modifier displayed more efficient displacement of incorporated hexane while forming relatively more distinct/ordered solvent complexes with Chiralpak AD in comparison to ethanol modifier. Reversed elution order and unusual retention behavior on Chiralpak AD as a function of mobile-phase modifier was reported earlier. These chromatographic behaviors are believed to be due to different alterations of the steric environment of the chiral cavities in the CSP by the different mobile-phase modifiers. In addition, on the basis of the chemical shift of C-1 carbon on the amylose backbone, it is possible that Chiralpak AD's structure is a helix with a number of fold less than six.

Corresponding author: (fax) (732)-594-3887 (e-mail) [email protected]


How to Write a 3.5 Essay

There are many steps to writing a 3.5 essay. Without the proper planning and research, your essay may not validate your points or sound convincing. If your essay doesn’t cover three specific points related to your topic, it doesn’t follow the format of a 3.5 essay, so remember to be thorough.

1. Research and outline the topic

Once you know what the topic is for your essay, start your research! Some assignments might assign a specific essay topic and others might allow you to choose as long as it relates to the content you learned in class if you read A Separate Peace in your English class, your teacher might ask you to write an essay about Finny and Gene’s (the main characters’) friendship and / or rivalry. If your essay requires using an outside source for support, researching via the internet or school library is a must.

Outlining your essay is a good way to organize your thoughts and flesh out your essay topic. For some students, making an outline is simply making an organized list of facts to write about - for others, outlining an essay involves more work. Whatever process helps you focus on the format and organization of your essay topic is fair enough. Listing your topic and supporting ideas in paragraph order constitutes a basic outline.

As part of the introduction, you will need to form a thesis statement that includes all three of your essay’s points. The thesis statement is generally the last sentence of your introduction and is very straightforward the thesis statement doesn’t need to be fancy or clever, it needs to be simple and understandable. This sets the layout for the rest of your essay. This is why researching your topic beforehand is so important!

Follow your teacher&aposs guidelines to formatting your essay in Microsoft Word.

2. Write your introduction

When writing an introduction to a 3.5 essay, you don’t want to be complex your introduction and thesis statement give the reader a sense of what your argument is about. Your opening sentence should be a general statement - bonus points if it pulls in the reader. For example, if you are writing about women and wit in Shakespeare’s play Twelfth Night, you might start with:

“In William Shakespeare’s Twelfth Night, the topics of women and wit are of great play and interest.”

After your opening sentence, add a couple more sentences expanding on your topic. Don’t make your introduction too long - try to remain as straight-to-the-point as possible. And remember to end your introduction with your thesis statement! If you are writing your Twelfth Night essay, your thesis statement can be the following:

“It is ironic that Viola is able to match the wit of Feste and have wordplay with him, while Maria completely towers over the aptitude of Sir Toby and Sir Andrew in tricking Malvolio.”


Assista o vídeo: Maxima odc. 9 - pochodna funkcji (Dezembro 2021).