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3.2: Existência do Integral - Matemática


3.2: Existência do Integral - Matemática

Encontrar o volume de integrais triplos

Onde . E. representa o objeto sólido. Acabaremos substituindo. dV. com . dx. . dy. e . dz.

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Podemos integrar em qualquer ordem, então vamos tentar integrar na ordem que for mais fácil, dependendo dos limites da integração, que encontraremos analisando o objeto. E.

Lembre-se de que, quando se trata de limites de integração, você quer limites que sejam em termos das variáveis ​​que ainda precisam ser integradas. Por exemplo, se escolhermos integrar primeiro em relação a. z. então . y. então . x. então nossa integral de volume se parecerá com

. V = int int int_Ef (x, y, z) dz dy dx.

Já que estaríamos nos integrando. z. primeiro, isso significa que não teremos integrado em relação a. y. ou . x. ainda, o que significa que queremos nossos limites de integração para. z. estar em termos de. x. e . y. ou constantes.

Da mesma forma, uma vez que ainda não teremos integrado com relação a. x. quando fazemos a integração para. y. queremos nossos limites de integração para. y. estar em termos de. x. ou constantes.

Desde a . x. é a última variável a ser integrada, para a qual queremos nossos limites de integração. x. para serem constantes.


3.2: Existência do Integral - Matemática

Tocar & # 8211 Sejam adição (+) e multiplicação (.) Duas operações binárias definidas em um conjunto não vazio R. Então diz-se que R forma um anel com adição (+) e multiplicação (.) Se as seguintes condições forem satisfeitas:

  1. (R, +) é um grupo abeliano (isto é, grupo comutativo)
  2. (R,.) É um semigrupo
  3. Para quaisquer três elementos a, b, c R a lei distributiva esquerda a. (B + c) = a.b + a.c e a propriedade distributiva direita (b + c) .a = b.a + c.a é válida.

Portanto, um conjunto não vazio R é um anel voltado para operações binárias + e. se as seguintes condições forem satisfeitas.

  1. Para todos a, b R, a + bR,
  2. Para todos os a, b, c R a + (b + c) = (a + b) + c,
  3. Existe um elemento em R, denotado por 0 tal que a + 0 = a para todo a R
  4. Para cada um R existe um y R de modo que a + y = 0. y geralmente é denotado por -a
  5. a + b = b + a para todo a, b R.
  6. a.b R para todo a.b R.
  7. a. (b.c) = (a.b) .c para todo a, b R
  8. Para quaisquer três elementos a, b, c Ra. (B + c) = a.b + a.c e (b + c) .a = b.a + c.a. E o anel é denotado por (R, +,.).

Alguns exemplos & # 8211

  1. (, +) é um grupo comutativo. (,.) é um semigrupo. A lei distributiva também é válida. Então, ((, +,.) é um anel.
  2. Módulo n do anel de inteiros: Para um[Tex] mathbb [/ Tex] vamos ser as classes de resíduos do módulo n. ou seja =<).
    (, +) é um grupo comutativo ere + é adição (mod n).
    (,.) é um semi-grupo aqui. denota multiplicação (mod n).
    Também as leis distributivas são válidas. Então ((, +,.) é um anel.
  3. O conjunto S = <0, 1, 2, 3, 4> é um anel em relação ao módulo 5 de adição de operação e módulo 5 de multiplicação de amp.

(S, + 5) é um Grupo Abeliano. A partir da 1ª tabela de composição acima, podemos concluir que (S, + 5) satisfaz & # 8211

  • Fechamento: a ∈ S, b ∈ S = & gt a +5 b ∈ S ∀ a, b ∈ S
  • Associatividade: (a +5b) + 5c = a +5(b +5c) ∀ a, b, c ∈ S.
  • Existência de identidade 0: (a +5b) +5c = a +5(b +5c) ∀ a, b, c ∈ S.
  • Existência do inverso: o inverso de 0, 1, 2, 3, 4 é 0, 4, 3, 2, 1 respectivamente & amp
  • Comutativo: (a +5b) = (b +5a) ∀ a, b ∈ S

2. (S, *5) é um Semi Grupo. A partir da 2ª tabela de composição acima, podemos concluir que (S, *5) satisfaz:

3. A multiplicação é distributiva sobre a adição:

(a) Distributiva esquerda: ∀ a, b, c ∈ S:

⇒ O módulo de multiplicação 5 é distributivo sobre o módulo de adição 5.

Da mesma forma, a lei distributiva correta também pode ser provada.

Assim, podemos concluir que (S, +, *) é um Anel.

Muitos outros exemplos também podem ser dados em anéis como (, +, .), (, +,.) e assim por diante.

Antes de discutir mais sobre anéis, definimos Divisor de zero em um anele o conceito de unidade.

Divisor de zero em um anel & # 8211
Em um anel R, um elemento diferente de zero é considerado divisor de zero se existe um elemento diferente de zero b em R tal que ab = 0 ou um elemento diferente de zero c em R tal que ca = 0 no primeiro caso a é considerado um divisor esquerdo de zero e, no último caso, a é considerado um divisor direito de zero. Obviamente, se R é um anel comutativo, então se a é um divisor esquerdo de zero, então a também é um divisor direito de zero.

Exemplo & # 8211 No ringue (, +, .) são divisores de zero, uma vez que
e assim por diante .
Por outro lado, os anéis (, +, .), (, +, .), (, +,.) não contém divisor de zero.

Unidades & # 8211
Em um anel não trivial R (anel que contém pelo menos alguns elementos) com unidade, um elemento a em R é considerado uma unidade se existe um elemento b em R tal que ab = ba = I, sendo I a unidade em R .b é dito ser o inverso multiplicativo de a.

Alguns resultados importantes relacionados ao anel:

  1. Se R é um anel não trivial (anel contendo pelo menos dois elementos) com unidade I, então I 0.
  2. Se eu for uma identidade multiplicativa em um anel R, então eu é único.
  3. Se a for uma unidade em um anel R, então seu inverso multiplicativo é único.
  4. Em um anel não trivial R, o elemento zero não tem inverso multiplicativo.

Tipos de anel:

  1. Anel Nulo : O conjunto singleton: <0> com 2 operações binárias & # 8216 + & # 8217 & amp & # 8216 * & # 8221 definido por:
    0 + 0 = 0 & amp 0 * 0 = 0 é chamado de anel zero / nulo.
  2. Toque com unidade : Se existe um elemento em R denotado por 1 tal que:
    1 * a = a * 1 = a ∀ a ∈ R, então o anel é chamado de Toque com Unidade.
  3. Anel Comutativo : Se a multiplicação no anel R também for comutativa, então o anel é chamado de anel comutativo.
  4. Anel de Inteiros : O conjunto I de inteiros com 2 operações binárias & # 8216 + & # 8217 & amp & # 8216 * & # 8217 é conhecido como anel de inteiros.
  5. Anel Booleano : Um anel em que todos os elementos são idempotentes, ou seja, a 2 = a ∀ a ∈ R
    Agora apresentamos um novo conceito de Domínio Integral.

Domínio Integral & # 8211 Um anel não trivial (anel contendo pelo menos dois elementos) com unidade é considerado um domínio integral se for comutativo e não contiver divisor de zero.

Exemplos & # 8211
Os anéis (, +, .), (, +, .), (, +,.) são domínios integrais.
O anel (2, +,.) é um anel comutativo, mas não contém unidade nem divisores de zero. Portanto, não é um domínio integral.

Campo & # 8211 Um anel não trivial R com unidade é um campo se for comutativo e cada elemento diferente de zero de R for uma unidade. Portanto, um conjunto não vazio F forma um campo .r.t duas operações binárias + e. E se

  1. Para todos a, b F, a + bF,
  2. Para todos os a, b, c F a + (b + c) = (a + b) + c,
  3. Existe um elemento em F, denotado por 0 tal que a + 0 = a para todo a F
  4. Para cada um R existe um y R de modo que a + y = 0. y geralmente é denotado por (-a)
  5. a + b = b + a para todo a, b F.
  6. a.b F para todos a.b F.
  7. a. (b.c) = (a.b) .c para todo a, b F
  8. Existe um elemento I em F, chamado de elemento de identidade tal que a.I = a para todo a em F
  9. Para cada elemento diferente de zero a em F existe um elemento, denotado por em F tal que = I.
  10. a.b = b.a para todo a, b em F.
  11. a. (b + c) = a.b + a.c para todo a, b, c em F

Exemplos & # 8211 Os anéis (, +, .), (, +. .) são exemplos familiares de campos.

  1. Um campo é um domínio integral.
  2. Um domínio integral finito é um campo.
  3. Um anel comutativo finito não trivial contendo nenhum divisor de zero é um domínio integral

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Estimativa, existência e inexistência de soluções positivas das equações de Hardy-Hénon

[- Delta u = (1- | x |) ^ < alpha> u ^

, x em B_1 (0), ]

Onde $ B_1 (0) subset mathbb ^$ $ (N geq 3) $ é uma bola de radial $ 1 $ centrado em $ , $ p & gt0 $ e $ alpha in mathbb $. Estamos preocupados com a estimativa, existência e inexistência de soluções positivas da equação, em particular, a equação com condição de contorno de Dirichlet. Para o caso & lt p & lt ()/() $, estabelecemos a estimativa de soluções positivas. Quando $ alpha leq -2 $ e $ p & gt1 $, damos algumas conclusões a respeito da inexistência. Quando $ alpha & gt-2 $ e $ 1 & lt p & lt ()/() $, obtemos a existência de solução positiva para o problema de Dirichlet correspondente. Quando & lt p leq 1 $ e $ alpha leq -2 $, mostramos a inexistência de soluções positivas. Quando & lt p & lt1 $, $ alpha & gt-2 $, damos alguns resultados no que diz respeito à existência e singularidade de soluções positivas.

3.2: Existência do Integral - Matemática

Pergunta de Meghan, uma estudante:

Tenho uma pergunta sobre a substituição trigonométrica do meu curso de cálculo.

integral de dx / (4x ^ 2 - 25) ^ 3/2

Pelo que aprendi, parece um caso sqrt (u ^ 2 - a ^ 2), então devemos substituir u = asec (theta).

No entanto, não tenho certeza de como resolver isso com o ^ 3/2.

Escreva 4x 2 - 25 como 4 (x 2 - 25/4) e, em seguida, [4x 2 - 25] 3/2 = 4 3/2 [x 2 - 25/4] 3/2 = 8 [x 2 - 25 / 4] 3/2 = 8 [x 2 - (5/2) 2] 3/2. Agora posso ver que a substituição é x = 5/2 seg (& theta). Com esta substituição, o denominador torna-se

[4x 2 - 25] 3/2 = 8 [(5/2) 2 seg 2 (& teta) - (5/2) 2] 3/2
= 8 & vezes [(5/2) 2] 3/2 [seg 2 (& teta) - 1] 3/2 = 8 & vezes (5/2) 3 [tan 2 (& teta)] 3/2
= 8 & vezes 125/8 tan 3 (& theta) = 125 tan 3 (& theta)

A substituição também produz dx = 5/2 seg (& theta) tan (& theta) d & theta.

Faça a substituição, converta as funções secante e tangente em senos e cossenos e veja se consegue avaliar a integral resultante.


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3.2 CONDIÇÃO PARA A EXISTÊNCIA DE QUATRO INTEGRAL

A condição suficiente para a existência da transformada de Fourier de uma função f (t) é que a área sob a função f (t) ser finito. Portanto, para a existência da transformada de Fourier, a seguinte relação deve ser satisfeita:

Os critérios de integrabilidade absoluta acima devem ser satisfeitos para dar a garantia da existência das transformadas de Fourier. A substituição direta de f(t) na integral de Fourier pode dar um resultado absurdo para as funções para as quais a condição acima não é satisfeita.

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Uma tradução matemática

Eu agora prossigo para uma representação do fragmento acima das regras do Cashinahua para combinar termos de parentesco. Essas regras expressam a maneira como as palavras de relacionamento Cashinahua são combinadas para produzir palavras de relacionamento. 21

EU. Existe um neutro termo, que, quando combinado com qualquer outro termo, produz o outro termo. Aqui, por conveniência, vou usar um alto-falante masculino e usar epa (a forma descritiva):

Ao colocar tudo isso junto, obtemos a seguinte representação formal:

E esta é uma propriedade algébrica familiar, com a qual estamos familiarizados na forma

II. Cada termo tem um inverso. Sempre assumindo um falante do sexo masculino, e usando a forma descritiva epa como exemplo, sem perda de generalidade:

A regra II diz que existe um inverso para cada termo de parentesco. Isso é paralelo ao fato de que, para qualquer número racional uma, há um inverso multiplicativo uma -1 tal que uma × uma −1 = 1. Lembre-se também que na álgebra booleana, 1 + 1 = 0, onde 0 é o elemento neutro, de modo que aqui 1 desempenha o papel de seu próprio inverso aditivo. Deve-se notar que f f −1 = e, ou na versão aditiva, 1 + 1 = 0, é a versão algébrica da afirmação de Sian de que "meu pai é meu filho", pois é equivalente a dizer que "o pai de meu pai é meu irmão" em uma das muitas possíveis traduções incorretas .

III. Fecho: Qualquer combinação de dois termos de parentesco é equivalente a um termo de parentesco no vocabulário de parentesco Cashinahua. Podemos pensar nessa propriedade como a afirmação de que existe uma tabuada para os termos de parentesco kaxinawá - considerando o conjunto de oito termos de parentesco que são suficientes para expressar todos os relacionamentos de parentesco kaxinawá (ignorando as distinções relativas de idade).

Finalmente, acrescentamos que as seguintes restrições caracterizam totalmente o estrutura deste conjunto de oito relacionamentos.

4. Estrutura: Uma restrição diz que dois termos são suficientes para gerar todos os oito termos quando combinados de todas as maneiras possíveis. Uma escolha possível para esses dois termos são f e s, que pode ser lido como "pai do mesmo sexo" e "irmão do sexo oposto". Esses termos compartilham as seguintes propriedades: ff = e e ss = e ("O pai de um pai é um irmão", do ponto de vista de um falante do sexo masculino, e "a mãe de uma mãe é uma irmã" do ponto de vista de uma falante do sexo feminino).

V. Os termos de relação f e s não comuta, ou seja, fs ≠ sf. Esta característica expressa o fato de que (para um falante do sexo masculino) "a irmã do pai não é a mãe da irmã" (o "irmão do sexo oposto do genitor do mesmo sexo masculino" é não um "genitor do mesmo sexo de irmão do sexo oposto" de um homem). Em outras palavras, a irmã de um pai não é esposa de um pai.

Estender esta análise exigiria um ensaio separado, então vou parar por aqui, provavelmente já tendo abusado da paciência do leitor com o que Bronisław Malinowski chamou depreciativamente de "simulação de álgebra de parentesco". O ponto é que existe aqui um isomorfismo legítimo entre o cálculo das relações de parentesco Cashinahua e uma estrutura matemática particular, chamada de “grupo diédrico de ordem oito”, que é caracterizada particularmente pelas Regras III, IV e V acima. Essa estrutura ocorre em muitos contextos. 22

Deixe-me retornar à analogia traçada acima entre o cálculo relacional de parentesco de Cashinahua e uma estrutura matemática. Meu ponto é que há mais do que uma analogia: pois as regras de parentesco Cashinahua são uma forma de calcular com palavras, assim como os símbolos abstratos da álgebra são uma forma de calcular com outra classe de palavras, e para dizer que esses cálculos têm uma estrutura comum - ou, em outras palavras, que existe um isomorfismo conectando um sistema ao outro, onde por "isomorfismo" se entende um dicionário que traduz os símbolos de um sistema em símbolos do outro sistema, de modo a preservar a estrutura. 23

A existência de tal isomorfismo tem a seguinte consequência pragmática. Suponha que se deseje calcular um produto de S e T em um sistema matemático com a estrutura descrita (embora descrita acima de uma forma solta, a estrutura pode ser especificada com precisão). Uma maneira de realizar o cálculo é a seguinte: primeiro traduza o S e T em palavras de parentesco kaxinahua e peça a um falante de kinship para calcular a palavra de parentesco resultante, por fim, traduza de volta a palavra de parentesco resultante para um símbolo formal, digamos U. Ou um poderia obter o “produto” de parentesco de uma série de palavras de parentesco Kaxinauá traduzindo-as primeiro em símbolos do sistema matemático, realizando o cálculo de acordo com as regras matemáticas e traduzindo o resultado de volta para Kaxinauá. Essa ideia intrigante foi sugerida a mim pela antropóloga tamil Ruth Manimekalai Vaz (2014). 24


M. M. Leonenko, Yu. S. Mishura, Ya. M. Parkhomenko e M. I. Yadrenko, Probability-Theoretic and Statistical Methods in Econometrics and Financial Mathematics [in Ukrainian], Informtekhnika, Kyiv (1995).

B. V. Norkin, "Método de aproximações sucessivas para calcular a probabilidade de ruína do processo de risco clássico", em: Teoria das Soluções Ótimas, No. 1, V. M. Glushkov Cybernetics Institute, Kyiv (2003), pp. 21-29.

B. V. Norkin, “Método de aproximações sucessivas para resolver equações integrais da teoria dos processos de risco,” Cybernetics and Systems Analysis, No. 4, 10-18 (2004).

B. V. Norkin, "Calculando a probabilidade de ruína de um processo de risco não Poisson pelo método de aproximações sucessivas," Problems of Control and Informatics, No. 2, 133-144 (2005).

B. V. Norkin, “O método de aproximações sucessivas aplicadas para encontrar a probabilidade de não falência para uma companhia de seguros com prêmios aleatórios,” Cybernetics and Systems Analysis, No. 1, 112-127 (2006).

B. V. Norkin, “O método de aproximações sucessivas para calcular a probabilidade de falência de um processo de risco em um ambiente de Markov,” Cybernetics and Systems Analysis, No. 6, 149-161 (2004).


Teoria Min-Max e a conjectura de Willmore

Em 1965, T. J. Willmore conjecturou que a integral do quadrado da curvatura média de um toro imerso em $ mathbb^ 3 $ é pelo menos $ 2 pi ^ 2 $. Provamos essa conjectura usando a teoria min-max de superfícies mínimas.

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Gottfried Wilhelm von Leibniz

A mãe de Leibniz era Catharina Schmuck, filha de um advogado e terceira esposa de Friedrich Leibniz. No entanto, Friedrich Leibniz morreu quando Leibniz tinha apenas seis anos e foi criado por sua mãe. Certamente Leibniz aprendeu seus valores morais e religiosos com ela, que desempenhariam um papel importante em sua vida e filosofia.

Aos sete anos, Leibniz ingressou na Escola Nicolai em Leipzig. Embora tenha aprendido latim na escola, Leibniz aprendeu sozinho um latim muito mais avançado e um pouco de grego aos 12 anos. Ele parece ter sido motivado por querer ler os livros de seu pai. À medida que avançava na escola, ele aprendeu a lógica e a teoria de categorização do conhecimento de Aristóteles. Leibniz claramente não estava satisfeito com o sistema de Aristóteles e começou a desenvolver suas próprias idéias sobre como melhorá-lo. Mais tarde, Leibniz lembrou que nessa época ele estava tentando encontrar ordenações em verdades lógicas que, embora ele não soubesse disso na época, eram as idéias por trás de provas matemáticas rigorosas. Além de seu trabalho escolar, Leibniz estudou os livros de seu pai. Em particular, ele leu livros de metafísica e livros de teologia de escritores católicos e protestantes.

Em 1661, aos quatorze anos, Leibniz ingressou na Universidade de Leipzig. Pode soar hoje como se esta fosse uma idade verdadeiramente excepcionalmente precoce para qualquer um entrar na universidade, mas é justo dizer que pelos padrões da época ele era muito jovem, mas haveria outros com a mesma idade. Ele estudou filosofia, que era bem ensinada na Universidade de Leipzig, e matemática, que era muito mal ensinada. Entre os outros tópicos incluídos neste curso de graduação geral de dois anos estavam retórica, latim, grego e hebraico. Ele se formou como bacharel em 1663 com uma tese De Principio Individui Ⓣ que: -

Nisso está o início de sua noção de "mônada". Leibniz foi então a Jena para passar o verão de 1663.

Em Jena, o professor de matemática era Erhard Weigel, mas Weigel também era filósofo e através dele Leibniz começou a entender a importância do método de prova matemática para disciplinas como lógica e filosofia. Weigel acreditava que o número era o conceito fundamental do universo e suas idéias teriam uma influência considerável sobre Leibniz. Em outubro de 1663, Leibniz estava de volta a Leipzig, iniciando seus estudos para o doutorado em direito. Ele foi premiado com seu mestrado em filosofia por uma dissertação que combinava aspectos da filosofia e das relações do estudo do direito nessas matérias com ideias matemáticas que ele havia aprendido com Weigel. Poucos dias depois de Leibniz apresentar sua dissertação, sua mãe morreu.

Depois de receber o diploma de bacharel em direito, Leibniz trabalhou em sua habilitação em filosofia. Seu trabalho seria publicado em 1666 como Dissertatio de arte combinatoria Ⓣ. Neste trabalho, Leibniz objetivou reduzir todo raciocínio e descoberta a uma combinação de elementos básicos como números, letras, sons e cores.

Apesar de sua crescente reputação e reconhecida bolsa de estudos, Leibniz foi recusado o doutorado em Direito em Leipzig. Não está claro por que isso aconteceu. É provável que, como um dos candidatos mais jovens e com apenas doze vagas disponíveis, ele esperasse mais um ano. No entanto, também há uma história de que a esposa do reitor persuadiu o reitor a argumentar contra Leibniz, por algum motivo inexplicável. Leibniz não estava preparado para aceitar qualquer demora e foi imediatamente para a Universidade de Altdorf, onde recebeu o doutorado em direito em fevereiro de 1667 para sua dissertação. De Casibus Perplexis Ⓣ .

Leibniz recusou a promessa de uma cadeira em Altdorf porque tinha coisas muito diferentes em vista. Ele serviu como secretário da sociedade alquímica de Nuremberg por um tempo (ver [187]), então ele conheceu o Barão Johann Christian von Boineburg. Em novembro de 1667, Leibniz estava morando em Frankfurt, empregado de Boineburg. Durante os anos seguintes, Leibniz empreendeu uma variedade de projetos diferentes, científicos, literários e políticos. Ele também continuou sua carreira de advogado fixando residência nos tribunais de Mainz antes de 1670. Uma de suas tarefas ali, assumida para o eleitor de Mainz, era melhorar o código de direito civil romano para Mainz, mas [3]: -

Leibniz desejava visitar Paris para fazer mais contatos científicos. Ele havia começado a construção de uma máquina de calcular que esperava ser de seu interesse. Ele formou um plano político para tentar persuadir os franceses a atacar o Egito e isso provou ser o meio de sua visita a Paris. Em 1672, Leibniz foi a Paris em nome de Boineburg para tentar usar seu plano para desviar Luís XIV de atacar áreas alemãs. Seu primeiro objetivo em Paris foi fazer contato com o governo francês, mas, enquanto esperava por essa oportunidade, Leibniz fez contato com matemáticos e filósofos de lá, em particular Arnauld e Malebranche, discutindo com Arnauld uma variedade de tópicos, mas particularmente a reunificação da igreja.

Em Paris, Leibniz estudou matemática e física com Christiaan Huygens começando no outono de 1672. Seguindo o conselho de Huygens, Leibniz leu o trabalho de Saint-Vincent sobre séries de soma e fez algumas descobertas nesta área. Também no outono de 1672, o filho de Boineburg foi enviado a Paris para estudar com Leibniz, o que significava que seu sustento financeiro estava garantido. Acompanhando o filho de Boineburg estava o sobrinho de Boineburg em uma missão diplomática para tentar persuadir Luís XIV a organizar um congresso de paz. Boineburg morreu em 15 de dezembro, mas Leibniz continuou a ser sustentado pela família Boineburg.

Em janeiro de 1673, o sobrinho de Leibniz e Boineburg foram para a Inglaterra para tentar a mesma missão de paz, a francesa tendo falhado. Leibniz visitou a Royal Society e demonstrou sua máquina de calcular incompleta. Ele também conversou com Hooke, Boyle e Pell. Ao explicar seus resultados na série para Pell, ele foi informado de que eles poderiam ser encontrados em um livro de Mouton. No dia seguinte, ele consultou o livro de Mouton e descobriu que Pell estava certo. Na reunião da Royal Society em 15 de fevereiro, à qual Leibniz não compareceu, Hooke fez alguns comentários desfavoráveis ​​sobre a máquina de calcular de Leibniz. Leibniz voltou a Paris ao saber que o eleitor de Mainz havia morrido. Leibniz percebeu que seu conhecimento de matemática era menor do que gostaria, então redobrou seus esforços no assunto.

A Royal Society of London elegeu Leibniz como bolsista em 19 de abril de 1673. Leibniz conheceu Ozanam e resolveu um de seus problemas. Ele também se encontrou novamente com Huygens, que lhe deu uma lista de leituras incluindo obras de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes e Sluze. Ele começou a estudar a geometria dos infinitesimais e escreveu para Oldenburg na Royal Society em 1674. Oldenburg respondeu que Newton e Gregory haviam encontrado métodos gerais. Leibniz, no entanto, não gozava dos melhores favores da Royal Society, já que não havia cumprido sua promessa de terminar sua máquina de calcular mecânica. Tampouco Oldenburg sabia que Leibniz passara de um matemático bastante comum que visitou Londres a um gênio matemático criativo. Em agosto de 1675, Tschirnhaus chegou a Paris e formou uma estreita amizade com Leibniz, que se provou matematicamente lucrativa para ambos.

Foi durante esse período em Paris que Leibniz desenvolveu as características básicas de sua versão do cálculo. Em 1673, ele ainda estava lutando para desenvolver uma boa notação para seu cálculo e seus primeiros cálculos foram desajeitados. Em 21 de novembro de 1675, ele escreveu um manuscrito usando a notação ∫ f (x) d x int f (x) dx ∫ f (x) d x pela primeira vez. No mesmo manuscrito, é fornecida a regra de diferenciação do produto. No outono de 1676, Leibniz descobriu o familiar d (x n) = n x n - 1 d x d (x ^) = nx ^dx d (x n) = n x n - 1 d x para n n n integral e fracionário.

Newton escreveu uma carta a Leibniz, por meio de Oldenburg, que demorou a chegar até ele. A carta listava muitos dos resultados de Newton, mas não descrevia seus métodos. Leibniz respondeu imediatamente, mas Newton, sem perceber que sua carta havia demorado muito para chegar a Leibniz, pensou que ele tinha seis semanas para trabalhar em sua resposta. Certamente, uma das consequências da carta de Newton foi que Leibniz percebeu que deveria publicar rapidamente um relato mais completo de seus próprios métodos.

Newton escreveu uma segunda carta a Leibniz em 24 de outubro de 1676, que não chegou a Leibniz até junho de 1677, época em que Leibniz já estava em Hanover. Esta segunda carta, embora em tom educado, foi claramente escrita por Newton acreditando que Leibniz havia roubado seus métodos. Em sua resposta, Leibniz deu alguns detalhes dos princípios de seu cálculo diferencial, incluindo a regra para diferenciar uma função de uma função.

Newton deveria reivindicar, com justificativa, que

pela abordagem de Leibniz, mas o formalismo provaria ser vital no último desenvolvimento do cálculo. Leibniz nunca pensou na derivada como um limite. Isso não aparece até o trabalho de d'Alembert.

Leibniz gostaria de ter permanecido em Paris na Academia de Ciências, mas se considerou que já havia muitos estrangeiros lá e por isso nenhum convite veio. Relutantemente, Leibniz aceitou uma posição do duque de Hanover, Johann Friedrich, de bibliotecário e conselheiro da corte em Hanover. Ele deixou Paris em outubro de 1676 fazendo uma viagem para Hanover via Londres e Holanda. O resto da vida de Leibniz, de dezembro de 1676 até sua morte, foi passado em Hanover, exceto pelas muitas viagens que fez.

Em 1680, o duque Johann Friedrich morreu e seu irmão Ernst August tornou-se o novo duque. O projeto Harz sempre foi difícil e falhou em 1684. No entanto, Leibniz alcançou resultados científicos importantes, tornando-se uma das primeiras pessoas a estudar geologia por meio das observações que compilou para o projeto Harz. Durante este trabalho, ele formou a hipótese de que a Terra estava inicialmente derretida.

Outra das grandes conquistas de Leibniz na matemática foi o desenvolvimento do sistema binário da aritmética. Ele aperfeiçoou seu sistema em 1679, mas não publicou nada até 1701, quando enviou o jornal Essay d'une nouvelle science des nombres à Academia de Paris para marcar sua eleição para a Academia. Outro importante trabalho matemático de Leibniz foi seu trabalho sobre determinantes que surgiram de seus métodos de desenvolvimento para resolver sistemas de equações lineares. Although he never published this work in his lifetime, he developed many different approaches to the topic with many different notations being tried out to find the one which was most useful. An unpublished paper dated 22 January 1684 contains very satisfactory notation and results.

Leibniz continued to perfect his metaphysical system in the 1680 s attempting to reduce reasoning to an algebra of thought. Leibniz published Meditationes de Cognitione, Veritate et Ideis Ⓣ which clarified his theory of knowledge. In February 1686 , Leibniz wrote his Discours de métaphysique Ⓣ .

Another major project which Leibniz undertook, this time for Duke Ernst August, was writing the history of the Guelf family, of which the House of Brunswick was a part. He made a lengthy trip to search archives for material on which to base this history, visiting Bavaria, Austria and Italy between November 1687 and June 1690 . As always Leibniz took the opportunity to meet with scholars of many different subjects on these journeys. In Florence, for example, he discussed mathematics with Viviani who had been Galileo's last pupil. Although Leibniz published nine large volumes of archival material on the history of the Guelf family, he never wrote the work that was commissioned.

In 1684 Leibniz published details of his differential calculus in Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus. Ⓣ in Acta Eruditorum, a journal established in Leipzig two years earlier. The paper contained the familiar d notation, the rules for computing the derivatives of powers, products and quotients. However it contained no proofs and Jacob Bernoulli called it an enigma rather than an explanation.

In 1686 Leibniz published, in Acta Eruditorum, a paper dealing with the integral calculus with the first appearance in print of the ∫ notation.

Newton's Principia appeared the following year. Newton's 'method of fluxions' was written in 1671 but Newton failed to get it published and it did not appear in print until John Colson produced an English translation in 1736 . This time delay in the publication of Newton's work resulted in a dispute with Leibniz.

Another important piece of mathematical work undertaken by Leibniz was his work on dynamics. He criticised Descartes' ideas of mechanics and examined what are effectively kinetic energy, potential energy and momentum. This work was begun in 1676 but he returned to it at various times, in particular while he was in Rome in 1689 . It is clear that while he was in Rome, in addition to working in the Vatican library, Leibniz worked with members of the Accademia. He was elected a member of the Accademia at this time. Also while in Rome he read Newton's Principia. His two part treatise Dynamica studied abstract dynamics and concrete dynamics and is written in a somewhat similar style to Newton's Principia. Ross writes in [ 30 ] :-

Leibniz put much energy into promoting scientific societies. He was involved in moves to set up academies in Berlin, Dresden, Vienna, and St Petersburg. He began a campaign for an academy in Berlin in 1695 , he visited Berlin in 1698 as part of his efforts and on another visit in 1700 he finally persuaded Friedrich to found the Brandenburg Society of Sciences on 11 July. Leibniz was appointed its first president, this being an appointment for life. However, the Academy was not particularly successful and only one volume of the proceedings were ever published. It did lead to the creation of the Berlin Academy some years later.

Other attempts by Leibniz to found academies were less successful. He was appointed as Director of a proposed Vienna Academy in 1712 but Leibniz died before the Academy was created. Similarly he did much of the work to prompt the setting up of the St Petersburg Academy, but again it did not come into existence until after his death.

It is no exaggeration to say that Leibniz corresponded with most of the scholars in Europe. He had over 600 correspondents. Among the mathematicians with whom he corresponded was Grandi. The correspondence started in 1703 , and later concerned the results obtained by putting x = 1 x = 1 x = 1 into 1 / ( 1 + x ) = 1 − x + x 2 − x 3 + . . . 1/(1+x) = 1 - x + x^ <2>- x^ <3>+ . 1 / ( 1 + x ) = 1 − x + x 2 − x 3 + . . . . Leibniz also corresponded with Varignon on this paradox. Leibniz discussed logarithms of negative numbers with Johann Bernoulli, see [ 155 ] .

In 1710 Leibniz published Théodicée Ⓣ a philosophical work intended to tackle the problem of evil in a world created by a good God. Leibniz claims that the universe had to be imperfect, otherwise it would not be distinct from God. He then claims that the universe is the best possible without being perfect. Leibniz is aware that this argument looks unlikely - surely a universe in which nobody is killed by floods is better than the present one, but still not perfect. His argument here is that the elimination of natural disasters, for example, would involve such changes to the laws of science that the world would be worse. In 1714 Leibniz wrote Monadologia Ⓣ which synthesised the philosophy of his earlier work, the Théodicée Ⓣ .

Much of the mathematical activity of Leibniz's last years involved the priority dispute over the invention of the calculus. In 1711 he read the paper by Keill in the Transactions of the Royal Society of London which accused Leibniz of plagiarism. Leibniz demanded a retraction saying that he had never heard of the calculus of fluxions until he had read the works of Wallis. Keill replied to Leibniz saying that the two letters from Newton, sent through Oldenburg, had given:-

Leibniz wrote again to the Royal Society asking them to correct the wrong done to him by Keill's claims. In response to this letter the Royal Society set up a committee to pronounce on the priority dispute. It was totally biased, not asking Leibniz to give his version of the events. The report of the committee, finding in favour of Newton, was written by Newton himself and published as Commercium epistolicum near the beginning of 1713 but not seen by Leibniz until the autumn of 1714 . He learnt of its contents in 1713 in a letter from Johann Bernoulli, reporting on the copy of the work brought from Paris by his nephew Nicolaus ( I ) Bernoulli. Leibniz published an anonymous pamphlet Charta volans setting out his side in which a mistake by Newton in his understanding of second and higher derivatives, spotted by Johann Bernoulli, is used as evidence of Leibniz's case.

The argument continued with Keill who published a reply to Charta volans. Leibniz refused to carry on the argument with Keill, saying that he could not reply to an idiot. However, when Newton wrote to him directly, Leibniz did reply and gave a detailed description of his discovery of the differential calculus. From 1715 up until his death Leibniz corresponded with Samuel Clarke, a supporter of Newton, on time, space, freewill, gravitational attraction across a void and other topics, see [ 4 ] , [ 62 ] , [ 108 ] and [ 201 ] .


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