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0.3: Teoria dos conjuntos básicos


0.3: Teoria dos conjuntos básicos

Teoria dos conjuntos básicos da MATEMÁTICA

parte 1: encontre um x em A que não seja B e prove que esse x em A não está em B
(1) x = p
(a) x = p está em A uma vez que p pode ser definido por A
(b) Portanto, x = peA
(2) Suponha que x está em B
(a) Então, x pode ser definido por B
(3) Resolva para n e substitua p por x
(a) Como o valor de n produzido quando x = p não está no conjunto de valores possíveis para B (parte 0), x = p não está em B
(4) Portanto, há um x em A que não está em B e, portanto, A não é um subconjunto de B

parte 1: ACB
(1) Seja xeA arbitrário
(a) Então x = f (a)
(2) Pode x = f (a) ser definido de forma que x = f (a) = f (b)? Seja f (ab)
(a) Use f (a) = f (b) que isole a em termos de b e substitua a em termos de b (ab) na definição de A, f (a) de modo que f (ab)
(b) Resolva e reorganize f (ab) de modo que f (ab) se pareça com f (b), isolando qualquer variável, se necessário
(c) Se uma variável foi isolada, nomeie a variável usando f (a) = f (b) e substitua ab por essa variável para mostrar claramente que f (ab) = f (b)
(d) Portanto, xeB e Ax invertido, xeA implica xeB

parte 2: BCA
(1) Seja xeB arbitrário
(a) Então x = f (b)
(2) Pode x = f (b) ser definido de forma que x = f (b) = f (a)? Seja f (ba)
(a) Use a definição f (b) = f (a) e substitua b em termos de a em f (b) de modo que f (ba)
(b) Resolva e reorganize f (ba) de modo que f (ba) se pareça com f (a), usando qualquer variável se necessário para deixar claro que f (ba) = f (a)
(c) Se uma variável for usada, certifique-se de defini-la usando nosso relacionamento f (b) = f (a)
(d) Portanto, xeA e Ax invertido, xeB implica xeA

U (k = i, k = n) Ak = AiUAi + 1UAi + 2. Onde U (k = i, k = n) é igual ao maior subconjunto

xeX: xeAk para algum inteiro não negativo k nos parâmetros

U (k = i, infinito) Ak = Ak onde U (k = i, infinito) onde U (k = i, infinito) é igual ao maior, subconjunto

U (k = i, k = n) Ak = AinAi + 1nAi + 2n. nAn onde U (k = i, k = n) Ak é igual ao subconjunto & quotmais incluído & quot, às vezes o conjunto zero

xeX: xeAk para todos os inteiros não negativos k nos parâmetros k = i, k = n

Dados três conjuntos A, B e C, o produto cartesiano é <(a, b, c): aeA e beB> para todos os a, b e c em A, B, C


1. Sobre as origens

Vamos primeiro discutir alguns conceitos básicos da teoria dos conjuntos. Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos. Os itens dessa coleção são chamados de elementos ou membros do conjunto. O símbolo & # 8220& # 8221 é usado para indicar a participação em um conjunto. Portanto, se é um conjunto, nós escrevemos dizer isso & # 8220 é um elemento de , & # 8221 ou & # 8220 é em , & # 8221 ou & # 8220 é um membro de . & # 8221 Também escrevemos para dizer aquilo não está em . Em matemática, um conjunto é geralmente uma coleção de objetos matemáticos, por exemplo, números, funções ou outros conjuntos.

Às vezes, um conjunto é identificado encerrando uma lista de seus elementos por chaves, por exemplo, um conjunto de números naturais pode ser identificado pela notação

.

Mais tipicamente, forma-se um conjunto colocando uma expressão particular entre chaves, onde a expressão identifica os elementos do conjunto. Para ilustrar este método de identificação de um conjunto, podemos formar um conjunto B de números naturais pares, usando o conjunto acima , do seguinte modo:

.

que pode ser lido como "o conjunto de de tal modo que é mesmo. " Claro,

é mesmo.

É difícil identificar a gênese do conceito de conjunto. No entanto, a ideia de um finito coleção de objetos existe desde o conceito de contagem. Na verdade, os matemáticos têm investigado conjuntos finitos e métodos para medir o tamanho dos conjuntos finitos desde o início da matemática. Por exemplo, os dois conjuntos acima

são conjuntos finitos. Como todo elemento em é um elemento em , o conjunto é dito ser um subconjunto de , denotado por . Uma vez que existem elementos em que não estão em , nós dizemos que é um subconjunto próprio de . Além disso, o número de elementos em é estritamente menor do que o número de elementos em . Assim, pode-se dizer: “o todo é maior em tamanho do que sua parte adequada .”

Infinito conjuntos levam a uma contradição aparente. Considere os conjuntos infinitos:

.

Nós vemos os conjuntos e como entidades existentes que contêm infinitos elementos. Desse modo, e são "infinitos completos". Observe que cada elemento em é em , e essa é um subconjunto adequado de . No entanto, se, como muitos matemáticos acreditaram, "o infinito não pode ser maior do que o infinito", então o todo não é maior em tamanho do que sua parte adequada . Esse resultado contra-intuitivo foi visto por muitos matemáticos proeminentes como sendo contraditório, pois parecia entrar em conflito com o comportamento bem compreendido dos conjuntos finitos. Esses matemáticos concluíram, portanto, que o conceito de “infinito completo” não deveria ser permitido na matemática.

Por essa razão, antes de Cantor, a maioria dos matemáticos considerava coleções infinitas como objetos matematicamente ilícitos. Cantor foi o primeiro matemático a ver os conjuntos infinitos como objetos matemáticos legítimos que podem coexistir com os conjuntos finitos. Claramente, o tamanho de um conjunto finito pode ser medido simplesmente contando o número de elementos no conjunto. Cantor foi o primeiro a investigar a seguinte questão:

O conceito de “tamanho” pode ser estendido a conjuntos infinitos?

Cantor abordou essa questão afirmativamente, usando o conceito de função para medir e comparar os tamanhos de conjuntos infinitos. Funções são amplamente utilizadas em ciências e matemática. Para conjuntos e , nós dizemos que é uma função de para , denotado por : , se e apenas se é uma relação (operação) que atribui a cada elemento dentro , um único elemento dentro . Existem três propriedades importantes que uma função pode possuir:

  • : é um injeção se e somente se para cada dentro no máximo umdentro de tal modo que .
  • : é um sobreposição se e somente se para cada um dentro pelo menos umdentro de tal modo que .
  • : é um bijeção se e somente se para cada um dentro exatamente umdentro de tal modo que .

Observe aquilo : é uma injeção se e somente se elementos distintos em são atribuídos a elementos distintos em isto é, para todos e dentro , E se , então . Observe também que : é uma bijeção se e somente se : é uma injeção e uma injeção.

Cantor observou que dois conjuntos e têm o mesmo tamanho se e somente se houver uma correspondência um-para-um entre e , ou seja, há uma maneira de combinar uniformemente os elementos em com os elementos em . Em outras palavras, Cantor observou que os conjuntos e têm o mesmo tamanho se e somente se houver uma bijeção : . Neste caso, Cantor disse que e tenha o mesma cardinalidade. Para uma ilustração, deixe seja o conjunto de números naturais e deixe ser o conjunto de números naturais pares. Agora deixe : ser definido por . Pode-se verificar que : é uma bijeção e, assim, obtemos a seguinte correspondência um a um entre o conjunto de números naturais e o conjunto de números naturais pares:

Portanto, cada número natural corresponde ao número par , e cada número natural par é, portanto, combinado com . A bijeção : especifica uma correspondência um a um entre os elementos em e os elementos em . Cantor concluiu que os conjuntos N e E têm a mesma cardinalidade.

Cantor também definiu o que significa para um conjunto ser menor, em tamanho, do que um conjunto . Especificamente, ele disse que tem cardinalidade menor (tamanho menor) do que se e somente se houver uma injeção : mas não há bijeção : . Cantor então provou que não há correspondência um a um entre o conjunto de números reais e o conjunto de números naturais. A prova de Cantor mostrou que o conjunto de números reais tem cardinalidade maior do que o conjunto de números naturais (Cantor 1874). Esse resultado surpreendente é a base sobre a qual a teoria dos conjuntos se tornou um ramo da matemática.

Os números naturais são os números inteiros normalmente usados ​​para contagem. Os números reais são aqueles números que aparecem na linha numérica. Por exemplo, o número natural , o inteiro , a fração , e todos os outros números racionais são números reais. Os números irracionais, como e , também são números reais. De novo, vamos seja o conjunto de números naturais, e deixe ser o conjunto de números reais. Se um conjunto é finito ou tem a mesma cardinalidade do conjunto de números naturais, então Cantor disse que é contável. Já que o conjunto de números reais é maior, em tamanho, do que o conjunto de números naturais , Cantor referiu-se ao conjunto como sendo incontável.

Depois de provar que o conjunto de números reais é incontável, Cantor conseguiu provar que existe uma sequência crescente de conjuntos infinitos cada vez maiores. Em outras palavras, Cantor mostrou que existem & # 8220infinitamente muitos infinitos diferentes & # 8221 um resultado com claro significado filosófico e matemático.

Após a introdução de conjuntos incontáveis, em 1878, Cantor anunciou sua Hipótese Contínua (CH), que afirma que todo conjunto infinito de números reais tem o mesmo tamanho que o conjunto de números naturais ou o mesmo tamanho que todo o conjunto de números reais . Não há tamanho intermediário. Cantor lutou, sem sucesso, durante a maior parte de sua carreira para resolver a hipótese do Continuum. O problema persistiu e se tornou um dos problemas não resolvidos mais importantes do século XX. Após a morte de Cantor, a maioria dos teóricos do conjunto passou a acreditar que a Hipótese do Continuum é insolúvel.

Os resultados profundos de Cantor na teoria dos conjuntos infinitos foram contra-intuitivos para muitos de seus contemporâneos. Além disso, a teoria dos conjuntos de Cantor violou o dogma prevalecente de que a noção de um "infinito completo" não deveria ser permitida na matemática. Assim, o clamor da oposição persistiu. Matemáticos influentes continuaram a argumentar que o trabalho de Cantor era subversivo à verdadeira natureza da matemática. Esses matemáticos acreditavam que os conjuntos infinitos eram criações ficcionais perigosas da imaginação de Cantor e que as ficções de Cantor precisavam ser erradicadas da matemática (Dauben 1979, página 1) (Dunham 1990, pp. 278-280). No entanto, a teoria dos conjuntos de Cantor logo se tornou uma ferramenta crucial usada na descoberta e estabelecimento de novos resultados matemáticos, por exemplo, na teoria da medida e na teoria das funções (Kanamori 2012). Os matemáticos lentamente começaram a ver a utilidade da teoria dos conjuntos para a matemática tradicional. Consequentemente, as atitudes começaram a mudar e as ideias de Cantor começaram a ganhar aceitação na comunidade matemática (Dauben 1979, pp. 247-248). A importância da pesquisa matemática de Cantor foi finalmente reconhecida. David Hilbert, um matemático proeminente do século XX, descreveu o trabalho de Cantor como sendo

o melhor produto do gênio matemático e uma das conquistas supremas da atividade humana puramente intelectual. (Hilbert 1923)

Em última análise, a teoria dos conjuntos abstratos de Cantor mudaria dramaticamente o curso da matemática.


Índice

As principais noções da teoria dos conjuntos (cardinais, ordinais, indução transfinita) são fundamentais para todos os matemáticos, não apenas para aqueles que se especializam em lógica matemática ou topologia da teoria dos conjuntos. A teoria dos conjuntos básicos geralmente recebe uma breve visão geral nos cursos de análise, álgebra ou topologia, embora seja suficientemente importante, interessante e simples para merecer seu próprio tratamento dedicado.

Este livro fornece exatamente isso na forma de uma exposição agradável para um público diversificado. É adequado para uma ampla gama de leitores, de estudantes de graduação a matemáticos profissionais que desejam finalmente descobrir o que é indução transfinita e por que ela é sempre substituída pelo Lema de Zorn.

O texto apresenta todos os assuntos principais da teoria dos conjuntos & ldquonaive & rdquo (não axiomática): funções, cardinalidades, conjuntos ordenados e bem-ordenados, indução transfinita e suas aplicações, ordinais e operações em ordinais. Estão incluídas discussões e provas do Teorema de Cantor & ndashBernstein, método diagonal de Cantor, Lema de Zorn, Teorema de Zermelo e bases de Hamel. Com mais de 150 problemas, o livro é uma introdução completa e acessível ao assunto.

Alunos de graduação avançados, alunos de pós-graduação e matemáticos pesquisadores.

Adorável pequeno livro & hellip faz um trabalho verdadeiramente maravilhoso cobrindo o que cada um no jogo deveria saber, seja ele um analista, geômetra, algebraist ou teórico dos números & mdashor qualquer outra coisa, para esse assunto. Está tudo aí, da teoria dos cardeais de Cantor à indução transfinita, de Zermelo a Zorn & hellip é um livro fantástico e faz tudo certo: sua seleção de tópicos não é apenas lógica, é elegante e a cobertura é excelente & hellip Os problemas são muito bom: interessante e não trivial & hellip e eles complementam o corpo principal do texto muito bem & hellip o livro é uma maravilha pedagógica & hellip seria perfeito para auto-estudo & hellip também seria uma experiência maravilhosa & hellip usar o livro pela primeira vez curso sobre teoria dos conjuntos & diabos um trabalho muito bom & diabos Recentemente usei a prova do livro da existência de uma base de Hamel para qualquer espaço vetorial em meu curso de Álgebra Linear Avançada. É um argumento extremamente astuto e rápido & hellip E a discussão dada no livro é típica de todo o livro: direto ao ponto, elegante e completo & hellip eu recomendo altamente este livro & hellip ele cobre o conjunto básico de ferramentas teóricas de todo matemático deve levar consigo o tempo todo, e faz isso com estilo. E depois há todos os aplicativos bonitos, problemas desafiadores e elegantes e até muitas surpresas.

Bem escrito com excelentes exercícios elementares e avançados & hellip Serviria muito bem como um texto ou como uma leitura independente.


Teoria básica dos conjuntos

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4. Comparando Fundação e Anti-Fundação

O objetivo desta seção é comparar FA e AFA de forma técnica, usando ideias da teoria das categorias. Ou seja, a linguagem da teoria das categorias e, especialmente, sua característica embutida de dualidade são usados ​​para dizer algo perspicaz sobre a relação entre FA e AFA. Além disso, as declarações duais sobre os axiomas sugerem uma dualidade muito mais sistemática e completa sobre uma série de outros conceitos. Este ponto mais profundo não é um resultado estritamente matemático, mas sim mais um programa de pesquisa e, portanto, a subseção final aqui irá detalhar um pouco do que se sabe sobre ele.

Como dissemos, nosso trabalho aqui começa a usar a teoria das categorias. Percebemos que nem todos os leitores estarão familiarizados com esse assunto. Portanto, tentaremos tornar esta seção o mais acessível possível. Em particular, apresentamos apenas as noções da teoria das categorias de que realmente precisamos em nosso trabalho desta seção. Também ilustramos todas as definições de algumas categorias que serão de interesse. E à medida que avançamos nas seções futuras, desenvolvemos apenas o pano de fundo de que precisamos. [11]

Nosso uso da teoria das categorias é principalmente para a terminologia e a intuição. Sabemos que há questões filosóficas relacionadas ao uso da teoria das categorias como base para a matemática. Esta entrada não trata de nenhuma dessas questões de maneira direta.

Objetos iniciais e finais.

Precisamos de uma definição da teoria das categorias. Corrija uma categoria C. Um objeto x é inicial se para cada objeto y existe exatamente um morfismo f& thinsp: & thinspx & rarr y Duplamente, um objeto x é final se para cada objeto y existe exatamente um morfismo f& thinsp: & thinspy & rarr x.

Em Set, o conjunto vazio é um objeto inicial para cada conjunto y, a função vazia é a única função de & empty para y. Além disso, o conjunto vazio é o único objeto inicial.

Quanto aos objetos finais, cada singleton <x> é um objeto final. Para cada conjunto y, a função constante com valor x é a única função de y para x. E os singletons são os únicos objetos finais na categoria.

4.1 A categoria dos conjuntos, a categoria das classes

Remetemos o leitor para a entrada na teoria das categorias para as definições de categoria e functor.

Precisamos mencionar os objetos e morfismos nas categorias de conjuntos e de classes, e também esclarecer os functores de interesse neles.

Definir . Os objetos são os conjuntos, e os morfismos são triplos e langx, y, f& tocou, onde f& thinsp: & thinspx & rarr y. Ou seja, cada triplo & lang x, y, f& rang é um morfismo de x para y. O morfismo da identidade eu iauma para um conjunto uma é & languma, uma, f& tocou, onde f é a função de identidade em uma e a operação de composição dos morfismos é dada por:

Functores no conjunto . Os operadores polinomiais em conjuntos estendem-se a endofunctors em Conjunto. A maneira como essas operações são definidas em morfismos é direta e pode ser encontrada em qualquer livro sobre teoria das categorias. Aqui está um breve resumo: Para qualquer conjunto s, o functor constante com valor s é um functor em Set. Leva todas as funções para eu ias. Para quaisquer dois functores F e G, nós temos um functor Fe vezes G definido por (Fe vezes G)(uma) = Fuma e vezes Guma aqui usamos o produto cartesiano nos sets. Se f& thinsp: & thinspuma & rarr b, então

Nós também temos um functor F+G definido por (F + G)(uma) = Fa+ Ga usando o coproduto em conjuntos, ou seja, a união disjunta. Aqui, a ação sobre morfismos é por casos

Um caso especial é Fx = x + 1. Ou seja, Fx é a união disjunta de x com um singleton. E se f& thinsp: & thinspx & rarr y, então Ff& thinsp: & thinspFx & rarr Fy funciona da mesma maneira, assumindo o novo ponto em x para o novo ponto em y, e de outra forma comportando-se como f.

Os operadores polinomiais de potência também se estendem a endofunctors em Set: on morphisms f& thinsp: & thinspx & rarr y, a função e weierpf: & weierpx & rarr & weierpy leva cada subconjunto uma & sube x à sua imagem

Os morfismos são então triplos consistindo em duas fórmulas com parâmetros definindo o domínio e codomínio, e uma terceira com dois parâmetros livres definindo a ação do morfismo.

Functores na aula . Os functores de interesse são novamente os polinômios de potência. Eles são definidos em Class da mesma forma que são definidos em Set. Para nossos propósitos, a principal diferença entre as duas categorias é que em Set não podemos resolver & weierp (x) = x, enquanto podemos fazer isso em sala de aula.

4.2 Álgebras para um functor

Aqui está um exemplo básico que ilustra por que eles são chamados álgebras. Deixe & rsquos assumir a categoria Conjunto de conjuntos, e o functor

Para o objeto N de números naturais, HN são, portanto, duas cópias de Ne vezesN. Usamos cores para indicar as diferentes cópias, com vermelho para a primeira cópia e azul para a segunda. Para que possamos ver HN como

Um exemplo de álgebra para este functor é (N, &alfa), onde & alpha ( uma, b ) = a + b e & alpha ( uma, b ) = uma e vezes b. Em outras palavras, & alpha opera nos pares vermelhos adicionando e nos pares azuis multiplicando.

Voltando à terminologia de & ldquoalgebra & rdquo, o ponto é que a função & alpha faz o trabalho das duas tabelas. A função & ldquois & rdquo as tabelas.

Aqui está outro exemplo de álgebra. Desta vez, estamos preocupados em Set com Fx = x +1, conforme definido acima. A álgebra que temos em mente é (N, s) Aqui s& thinsp: & thinspN+1 & rarr N pega o número natural n para seu sucessor n+1, e o novo ponto em N+1 elevado ao número 0.

Até agora, fornecemos apenas exemplos de álgebras para diferentes functores. A vantagem da formulação categórica é que as noções usuais de um morfismo de álgebras acabou por ser um caso especial de uma definição mais geral.

Deixar (c, f) e (d, g) ser álgebras para o mesmo functor F na categoria C. UMA morfismo de álgebras de (c, f) para (d, g) é um morfismo &alfa& thinsp: & thinspc & rarr d para que o diagrama abaixo comute:

(Isso significa que as duas composições, & alpha & sdot f e g& sdotFe alfa são a mesma função.)

Agora está claro que temos uma categoria de álgebras para um determinado functor. E então temos imediatamente o conceito de inicial e final álgebras. Não há garantia de que eles existam, mas em muitos casos interessantes, sim. O motivo pelo qual estamos interessados ​​em álgebras iniciais é sua conexão com recursão.

Para ver isso em detalhes, voltamos ao functor Fx = x + 1 em Set. Vimos a álgebra (N, s) acima de. Afirmamos que esta é uma álgebra inicial. O que isso significa é que para qualquer álgebra (UMA, uma), há um morfismo álgebra único h& thinsp: & thinsp (N, s) & rarr (N, s) Ou seja, o diagrama abaixo comuta:

Thue function uma a partir de UMA+1 para UMA pode ser decomposto em um mapa eu& thinsp: & thinspUMA & rarr UMA junto com um elemento b &é em uma. E dizer que o diagrama acima comuta é o mesmo que dizer que h(0) = b, e para todos n &é em N, h(s(n)) = uma(h(n)).

Recuando, a suposta inicialidade de (N, s) é o mesmo que a seguinte afirmação:

Esta é a forma padrão do Princípio de Recursão em N. O resultado é que este princípio é equivalente à afirmação de que (N, s) é uma álgebra inicial do functor Fx = x +1.

Uma maneira de interpretar essa equivalência é que podemos considerar a existência de uma álgebra inicial para Fx = x+ 1 como um axioma da teoria dos conjuntos, no lugar do Axioma do Infinito usual. Esse axioma diz que há uma álgebra para o functor singleton Sx = <x> em conjuntos que contêm & vazio como um elemento e cuja estrutura é a inclusão. Este princípio é mais fácil de declarar do que a reformulação algébrica. É um pouco trabalhoso usar a formulação padrão mais simples para derivar o Princípio da Recursão, e este é um dos tópicos básicos em qualquer curso sobre teoria de conjuntos axiomáticos.

Dois fatos gerais: Primeiro, o mapa de estrutura de uma álgebra inicial em Set é sempre uma bijeção. Isso segue de um resultado muito geral na teoria das categorias devido a J. Lambek. E a partir disso, vemos que & weierp não tem álgebras iniciais em Set, pelo teorema de Cantor & rsquos.

Álgebras iniciais para functores polinomiais em Conjunto .

Deixar F& thinsp: & thinsp Set & rarr Set para ser um potente polinômio functor. Nós sabemos isso F é monótono (preserva a relação do subconjunto nos conjuntos) e não é difícil verificar uma propriedade um pouco mais forte: F preserva mapas de inclusão entre as classes: inclusão é um mapa euuma, b& thinsp: & thinspuma & rarr b em classes que & ldquodoesn & rsquot fazem qualquer coisa & rdquo: uma deve ser um subconjunto de b, e para todos x &é em uma, eu(x) = x. Nós dizemos isso F é padrão se preserva inclusões no sentido de que Feuuma, b = euFa, Fb. Mais uma vez, todo endofunctor polinomial de potência em Set é padrão.

As operações polinomiais em conjuntos (sem energia) também são contínuo: preservam uniões contáveis ​​de conjuntos.

Deixar F& thinsp: & thinsp Definir & rarr Definir como um endofunctor polinomial. Nós esboçamos a prova de que o ponto mínimo fixo F* carrega a estrutura de uma álgebra inicial, junto com a identidade nela.

Um forma a sequência crescente

Escrevemos 0 para & vazio. Cada um dos mapas mostrados é uma inclusão, por padrão. Deixar F* seja a união da sequência crescente F n 0 de conjuntos. Então F(F*) = F* por continuidade. Então (F*, eu ia) é uma álgebra para F. Para verificar a inicialização, deixe (UMA, uma) ser uma álgebra para F, tão uma& thinsp: & thinspFa & rarr uma. Definir mapas gn& thinsp: & thinspF n (0) & rarr UMA por recursão, com g0& thinsp: & thinsp0 & rarr UMA a função vazia (isto é o que significa a inicialidade de & empty), e gn+1 = uma & sdot Fgn. Verifique se temos uma sequência crescente de funções

então pegue a união para obter & phi & thinsp: & thinsp F* & rarr UMA. Verifica-se que este & phi é um morfismo de F-álgebras, e de fato é o único.

4.3 Coalgebras para um functor

Agora nos voltamos para os coalgebras. De novo, vamos F ser um endofunctor em uma categoria C. UMA coalgebra para F é um par (c, f), Onde c é um objeto de C, e f& thinsp: & thinspc & rarr Fc. Comparando isso com a definição de uma álgebra, podemos ver que uma coalgebra é o mesmo tipo de estrutura, exceto que a direção da seta é invertida.

Por exemplo, cada gráfico é uma coalgebra de & weierp em F& thinsp: & thinsp Set & rarr Set. Ou seja, cada gráfico (G, & rarr) pode ser embalado novamente como (G, e), com e& thinsp: & thinspG & rarr & weierp G dado por e(x) = <y &é em G : x& rarr y>. Em palavras, trocamos a relação de borda de um gráfico com a função que atribui a cada ponto seu conjunto de filhos. Esta reembalagem tem um inverso e, portanto, as noções de & ldquograph como definidas com relação & rdquo e & ldquograph como coalgebra de & weierp & rdquo são, neste sentido, variantes notacionais. [12]

Deixar (c, f) e (e, g) ser coalgebras para o mesmo functor. UMA morfismo de coalgebras de (c, f) para (d, g) é um morfismo &alfa& thinsp: & thinspc & rarr d na categoria C para que o diagrama abaixo comute:

A coalgebra (d, g) é um final (ou terminal) coalgebra se para cada coalgebra (c, f), existe um único morfismo de coalgebras &alfa& thinsp: & thinsp (c, f) & rarr (d, g).

Aqui está outro exemplo à medida que voltamos à teoria dos conjuntos. Elas são baseadas nas discussões no início desta entrada, a respeito de fluxos de números (Seção 1.1). Estamos lidando com o functor Fa = Ne vezesuma. Então, um sistema de equações de fluxo é uma célula-carvão para F. Para ver como isso funciona em um caso concreto, voltamos à equação (2), reiterada a seguir:

Nós consideramos este sistema como uma coalgebra (X, e), Onde X = <x, y, z>, e(x) = & lang0, y & rang, e da mesma forma para e(y) e z(x) Portanto, agora temos um exemplo concreto de um carvão vegetal para este F. Outra coalgebra para F usa o conjunto N & infinito de streams como seu portador definido. A própria coalgebra é

Esta coalgebra é definitiva. Não verificaremos isso aqui, mas, em vez disso, aplicaremos este ponto. Por fim, há um único e & dagger & thinsp: & thinspX & rarr N & infin de modo que o diagrama abaixo comuta:

Agora seguimos os elementos de X em torno do diagrama de ambas as maneiras. Para x, isso nos diz que

Isso é, e & dagger (x) é um fluxo cujo primeiro componente é 0 e cujo segundo componente é e & dagger (y) Observações semelhantes valem para e & dagger (y) e e & dagger (z), claro. O resultado é que os três fluxos e & dagger (x), e & dagger (y) e e & dagger (z) são exatamente aqueles que buscamos.

Quase o mesmo se aplica ao exemplo de árvore da Seção 1.2.

4.4 Os axiomas novamente

Neste ponto, nós reformulamos FA e AFA para fazer uma comparação. Lembre-se disso V é a classe de todos os conjuntos, e que V = & weierpV. Isso significa que (trivialmente) a identidade nos mapas do universo V em & weierpV, e vice versa. Apesar disso, queremos introduzir uma notação para esses dois mapas que os torna diferentes. Devemos escrever

Desse modo eu toma uma multiplicidade (um conjunto de conjuntos) e a considera uma unidade (um conjunto). Também temos um mapa na outra direção

Esta j pega um conjunto e o considera como um conjunto de conjuntos.

O Axioma da Fundação na Forma Algébrica. Exceto por não ser um conjunto, (V, eu) é uma álgebra inicial para & weierp: para todos os conjuntos uma e tudo f& thinsp: & thinsp & weierp uma & rarr uma, há um único s& thinsp: & thinspV & rarr f de tal modo que m = f & sdot & weierp m:

O Axioma Anti-Fundação na Forma Carvão. Exceto por não ser um conjunto, (V, j) é um carvão final para & weierp: para cada conjunto b e todo e: b& rarr & weierpb, existe um único s& thinsp: & thinspb & rarr V de tal modo que s = & weierp s & sdot e:

O mapa s é chamado de solução para o sistema e.

Formulários de aula. Mencionamos apenas as formas dos axiomas pertencentes aos conjuntos. Eles são um pouco mais legais quando declarados como axiomas na classe:

FA é equivalente à afirmação de que (V, eu) é uma álgebra inicial para & weierp on Class.

AFA é equivalente à afirmação de que (V, j) é um coalgebra final para & weierp on Class.

4.5 Comparação conceitual

Um gráfico logo abaixo indica um tipo de comparação conceitual de ideias iterativas e coiterativas. As entradas no topo são dualidades no sentido categórico. Movendo-se para baixo, as linhas no gráfico são mais como direções de pesquisa do que resultados reais. Portanto, explicar os detalhes no gráfico é mais como um projeto de pesquisa em andamento do que uma questão resolvida.

Para muitos functores em Set, especialmente functores polinomiais e o functor de conjunto de potência finita, a álgebra inicial é o ponto menos fixo junto com a identidade. Para os functores polinomiais, esse ponto mínimo fixo é ele mesmo uma álgebra de termos.

álgebra para um functor coalgebra para um functor
álgebra inicial final coalgebra
menos ponto fixo maior ponto fixo
relação de congruência relação de equivalência de bisimulação
lógica equacional lógica modal
recursão: mapa de uma álgebra inicial corecursion: mapear em uma coalgebra final
Axioma da Fundação Axioma anti-fundação
concepção iterativa concepção coiterativa
definido com operações definido com transições e observações
útil na sintaxe útil em semântica
debaixo para cima Careca

A conexão entre os maiores pontos fixos e coalgebras finais é o conteúdo do seguinte resultado.

O resultado original usou hipóteses muito mais fracas sobre F, usando noções que não definimos, portanto, nossa declaração é um pouco mais fraca do que no livro de Aczel & rsquos. Vários artigos têm enfraquecido o fortalecimento desse Teorema do Coalgebra Final.

Bisimulação. Demos a definição de bissimulação anteriormente, na Seção 3.1. Discutimos isso em conexão com gráficos, mas o leitor também pode saber de uma noção com o mesmo nome vinda da lógica modal. Na verdade, a teoria da coalgebra estuda uma noção mais geral, a de bisimulação em uma coalgebra para um dado functor, definida primeiro em Aczel e Mendler (1989). Essa noção mais geral especializa-se em vários conceitos que foram propostos em seus próprios campos. Além disso, é (quase) o conceito dual de uma congruência em uma álgebra que explica nossa linha no gráfico de comparação conceitual.

Lógica equacional e lógica modal. Uma grande quantidade de trabalho mostrou maneiras nas quais a lógica equacional e a lógica modal são & ldquoduais & rdquo, mas explicar isso em detalhes exigiria um pouco mais de teoria das categorias do que precisamos no restante desta entrada.

Há um campo crescente de generalizações coalgebraicas da lógica modal. Para um levantamento desta área, ver Kurz (2006).

A coalgebra final de um functor pode ser considerada como um espaço de observações completas. (Como com todos os nossos pontos nesta seção, esta declaração é principalmente para functores em Set, e a noção de & ldquocomplete observação & rdquo é, obviamente, meramente sugestiva.) Por exemplo, vamos AtProp seja um conjunto cujos elementos são chamados proposições atômicas, e considere o functor F(uma) = & weierpbarbatana(uma) & times & weierp (AtProp ) A coalgebra para isso é um conjunto uma junto com um mapa de uma em seus subconjuntos finitos e outro mapa na coleção de conjuntos de proposições atômicas. Juntar os dois mapas dá uma finitamente ramificado Modelo de Kripke: cada ponto possui um número finito de filhos e algum conjunto de proposições atômicas. Agora, a lógica modal nos dá uma maneira de & ldquoobserving & rdquo propriedades de pontos em coalgebras (modelos de Kripke). E o registro de tudo o que se pode observar de um ponto é a teoria modal desse ponto. Além disso, pode-se pegar a coleção de todas as teorias de todos os pontos em todos os modelos de Kripke com ramificações finas e fazer dessa coleção (é um conjunto) o portador de uma coalgebra final para o functor. Na verdade, essa seria uma maneira de construir uma coalgebra final.

Corecursion. Voltando agora ao gráfico, apresentamos um exemplo de definição correcursiva. A equação para zip fornecida acima mostra como a função zip em fluxos deve funcionar. Deve satisfazer

Aqui está como zip é exclusivamente definido por meio de uma definição correcursiva. Escreva N & infin & vezes N & infin como S nesta discussão. Queremos um mapa de S para N & infin. Estamos lidando com S como o coalgebra final do functor Fa = N e vezes uma. E nós & rsquoll escrevemos a estrutura no coalgebra final como & lang & thinsp head, tail & ampthinsp & rang, assim como fizemos na Seção 1.1. A ideia é virar S no conjunto portador de uma carvão vegetal para, digamos (S, f) Então zip será o morfismo único de coalgebra de (S, f) para (S, & lang & thinsp head, tail & thinsp & rang). Resta definir f. Deixar

As mentioned, by finality there is a unique zip &thinsp:&thinspS &rarr N &infin so that the diagram below commutes:

To make sure that this works, we follow an arbitrary pair of streams, say &langs,t&rang around the square, starting in the upper-left. Going down, we have the stream zip (s, t) From this, the structure takes this to &lang head ( zip (s, t)), tail ( zip (s, t))&rang &isin FN &infin . But we could also take our &langs, t&rang across the top via f to get &lang head (s), &langt, tail (s)&rang&rang. Now F zip applies to this pair, and this is where the action of F as a functor enters. We get &lang head (s), zip ( tail (t), s)&rang. So overall, we have

just as desired. It says: to zip two streams, start with the head of the first, and then repeat this very process on the second followed by the tail of the first.

The main point of this demonstration is that the principle of finality is sufficient to define and study corecursive definitions. There are many further developments in this area.

Sets, again. We have already discussed at length the lines in the table concerning the Foundation and Anti-Foundation Axioms, and their attendant conceptual backgrounds. The point of this section is to situate that entire discussion inside of a larger one.

Examples of final coalgebras and corecursive definitions. Our conceptual comparison makes the point that algebras embody sets with operations. This point is almost too easy: the reason behind the terminology of &ldquoalgebras&rdquo in category theory is that sets with operations may be modeled as algebras in the categorical sense. For coalgebras, it is harder to make the case that they directly correspond to sets with either &ldquotransitions&rdquo or &ldquoobservations&rdquo. However, we present a few examples that motivate this point.

Functor Fa coalgebra final coalgebra logic
S × uma stream system infinite streams over S uma : &phi for uma &isin S
(S × uma) + 1 stream system, allowing ends finite and infinite streams over S add an &ldquoend of stream marker&rdquo
&weierpuma graph = Kripke frame = system of set equations pointed graphs modulo bisimulation a fragment of infinitary modal, no atoms
&weierpfinuma × &weierp(AtProp) finitely branching Kripke model over the set AtProp of atomic propositions a certain subset of the canonical model a fragment of modal logic over AtProp

The table above lists a few functors on Set or Class along with final coalgebras or other data from the conceptual comparison chart.

First, for any set S, the functor Fa = S× uma. A coalgebra for this F is a stream system of equations as we saw it in Section 1.1, except that there we made things concrete and took S to be the set of natural numbers. The final coalgebra is the set S &infin = S × S &infin of streams over S. The logical language for this functor would be a sentential (propositional) language whose sentences are either true or of the form s : &phi where s&isinS. The semantics would be the obvious one for example

One should note that carrier of the final coalgebra may be taken to be certain theories in this language. These may be described extrinsically as the theories of all points in all coalgebra. It is more informative, however, to set down a logical system and then consider the maximal consistent sets in the system. With the right definition, the maximal consistent sets do turn out to be the carrier of a final coalgebra for the functor.

Second, we consider Fa = (S × uma) + 1. Here 1 = <0>and + is the disjoint union operation. However, it is more common for people to represent the one and only element of 1 using a symbol like *. The coalgebras are like stream systems of equations, except now an equation might ask for a stream to &ldquostop&rdquo by having * on the right-hand side. So an example of a coalgebra would be x &asymp &langs,y&rang , y &asymp *. Then the solution would take x &dagger to be the one-term sequence s. The logic for this functor would be the same logic (HML) as before, except that now we add an atomic sentence to detect the ends of finite sequences.

Turning to the last two lines, we already know that AFA is equivalent to the assertion that (V, id) is a final coalgebra of &weierp also, even without AFA, we have a final coalgebra whose carrier set is the pointed graphs modulo bisimulation. The logic in this case is infinitary modal logic, actually, it is a fragment of this logic. It turns out that two points in a given coalgebra have the same infinitary modal theory iff they are bisimilar.

The line concerning &weierpfin(uma) × &weierp(AtProp) is the closest to the Kripke semantics of modal logic. One might hope that the final coalgebra would turn out to be the canonical model of the modal logic K, but this is not quite right. One needs to cut down to those maximal consistent sets which are realized by some point in some finitely branching model.

As the reader may notice, we are being extremely vague about matters concerning the logics: is there a principled explanation of where they come from? What, if anything, is the relation between the final coalgebras and canonical models as we find them in modal logic? The explanations here are too long and too involved for this entry. Once again, one place to start reading about these matters is Kurz (2006).

The lines in at the bottom of the conceptual comparison chart are the most programmatic of all.

Doing without AFA: final coalgebras in ZF. We mentioned in note [2] that it is possible to alter the pairing operation in such a way that one may prove many of the results that our treatment obtains only by using ZFA. This points is mentioned in Forster (1994) and developed in detail in Paulson (1999) (and in other papers by Paulson). One replaces the Kuratowski pair &langx,y&rang with a variant, (<0>× uma)&cup (<1>× b) (This is the usual disjoint union operation, also called the coproduct on sets.) Then one defines variants of other notions: the cartesian product, functions, etc. And in terms of these one can indeed study streams and infinite trees, and many other sets of interest in this entry. Even more, one can prove final coalgebra theorems, stating sufficient conditions for the existence of a final coalgebra whose structure is the identity. (This is an important point for this line of work: in ZF we can show the existence of final coalgebras for the same functors as in ZFA, but in the latter theory we can get final coalgebras whose structure maps are the identity.)

One might think that this move undermines much of the interest in AFA. For Paulson, the reduction is important since he wants to use an automatic theorem prover to work with assertions in set theory. It makes sense to work out detailed reductions so as to avoid changing the set theory.

Otthers may not find this conclusive, for two reasons. First, the method doesn&rsquot apply to equations like x = <x>, or to collections like x = &weierpfin(x) The latter kind of equation is especially useful in applications. But even more, what will be of interest will be the whole assembly of what we might call coalgebraic concepts: coinduction, corecursion, and top-down treatments of various phenomena. Someone who is using these concepts and is also worried about modeling in set theory would probably find it convenient to work with AFA, even if many of the end applications could be done in standard set theory.

To put things differently, and to ask a question that surely belongs in this entry, why should one work with AFA instead of FA? Much depends on the purposes one brings to set theoretic modeling in the first place. For most purposes, including most of mathematics, it makes little or no difference. To model some circular phenomena, it turns out to be convenient to work with final coalgebras of various functors. It is especially nice with the structure maps on those final coalgebras may be taken to be the identity function. For example, this would allow us to say that a stream of numbers really and truly is an ordered pair of a number and a stream. In this case, having AFA would be nice, but the results above show that in many of the interesting cases, it is not actually needed. On the other hand, if one is content to work with isomorphisms, then having the structure map be the identity is a kind of &ldquooptional extra&rdquo. Further, the question of which axiom to adopt might appear to be besides the point.

Interested readers may consult the following supplementary document for a discussion of how the more general ideas from coalgebra and closely related fields help with discussions of the kinds of mathematical circularity which we looked at previously.


Solutions: Sets and Set Theory

There are four suits in a standard deck of playing cards: hearts, diamonds, clubs and spades.

C is the set of whole numbers less than 10 and greater than or equal to 0. Set D is the even whole numbers less than 10, and set E is the odd whole numbers less than 10.

Set G is the set of all oceans on earth. Set E is a set of some rivers, and set F is a list of continents.

Set Z is the set of all types of matter. Set X is a set of some metals and set Y is a set of some gases.

Set UMA lists the element r twice. So the objects in this set are not unique.

Basic Notation

Liquid is an element of set R .

The number 7 is an element of set G .

The colors red, white and blue are all colors of the US flag, and are all elements of set B .

A bobcat was not listed in set X .

All of these territories are outside of the United States.

Types of Sets

Set G has a finite number of elements.

Set H is the set of integers, which has an infinite number of elements.

Each set listed in Exercise 3 is a finite set.

The integers is the only set in Exercise 4 that is infinite.

There are no cars with 20 doors, so this set is empty (null).

Set Equality

Since P e Y contain exactly the same number of elements, and the elements in both are the same, we say that P = Y.

Set Q contains the element 7, which is not an element of set H . Thus HQ

M = <0, 2, 4, 6, 8, 10>and N = <0, 2, 4, 6, 8>. Therefore MN.

Since X e Y contain exactly the same number of elements, and the elements in both are the same, we say that X = Y.

Since UMA e B are both empty sets, we say that UMA = B.

Venn Diagrams

UMA = <2, 4, 6, 8>and the range given for A is non-inclusive.

Choice 1 uses the wrong notation, choice 2 is correct, choice 3 is wrong, and choice 4 is wrong.

This Venn diagram represents the intersection of P e Q, which is 6.

The elements 2, 3, 5, 7, and 11 are all elements of X .

The union of X e Y is shown in this Venn diagram, by the shaded region.

Subsets

Jogos X, Y, e Z are each subsets of set G.

Every element of the set of vowels is contained in the set of the alphabet .

Since 9 is not an element of A, we know that C is not a subset of UMA .

There are 5 elements in set T, so the number of subsets of T is 25, which equals 32.

Set R = <0, 1, 2, 3, 4>and set S = <4, 3, 0, 2, 1>, thus R is equivalent to S.

Universal Set

Each of the elements in set G and set H are integers. None of these elements are fractions nor irrationals.

By definition, sets X e Y are each subsets of the universal set. So the world must be the universal set.

By definition, sets M e N are each subsets of the universal set. The intersection of M e N is null. So all of the above is the correct answer.

Triangles does not overlap with quadrilaterals, but triangles is a subset of the universal set (polygons).

Factors of 36 overlaps with set P , and is a subset of the set of whole numbers less than 40 (the universal set).

Set-Builder Notation

The set of all q such that q is an integer greater than or equal to - 4 and less than 3.

The set of all x such that x is a real number greater than or equal to 4.

Each set listed is equal to "the set of all n such that n is an integer less than 2".

Set builder notation is usually used with infinite sets. Choices 1 and 2 are each finite sets that do not have numbers as their elements. By process of elimination, choice 3 makes sense.

The elements given are real numbers. None of the choices (1-3) are sets with real-number elements.

Complement of a Set

The complement of a set is the set of elements which belong to but which do not belong to UMA .

X'= n | n and n X >

The complement of set P is the set of elements which belong to but which do not belong to P .

The complement of set N is the set of elements which belong to (the alphabet) but which do not belong to N .

Draw a Venn diagram to help you find the answer.

The complement of set UMA is the set of elements which belong to but which do not belong to UMA .

UMA'= x | x and x UMA >

Intersection

Oranges and pears are common to both sets.

The number 2 is the only even prime.

These sets have no elements in common.

The number 3 is an element of P , and is not in the intersection of P e Q .

Union

The numbers 0 and 1 are neither prime nor composite.

The union of a set and its complement is the Universal Set.

Practice Exercises

Choice 1 uses set-builder notation, choice 2 describes the set, and choice 3 uses roster notation.

The element - 2 is not an element of set D .

All of the sets listed are finite except choice 4.

X = Y since X e Y contain exactly the same number of elements, and the elements in both are the same.

The element n is not a member of set P . So set S cannot be a subset of set P .

Both triangles ate trapezoids are subsets of polygons.

Choice 2 is the set of q such that q is an element of the integers, and q is greater than or equal to - 5.

UMA' = x | x and x UMA >

The shaded region shows a union of sets X e Y .

The shaded region shows an intersection of sets X e Y .

Challenge Exercises

The letters m, a and t are listed more than once, so the objects are not unique.

9 is not an element of C .

Choice 2 is a finite set the rest are infinite.

Choice 3 is equal to the set of n such that n is an element of the integers, and n is greater than or equal to - 3 and less than 7.

There are 5 elements in M, so the number of subsets is 25 which equal 32.

P = <2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19>and Q = <2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18>. The element 2 is in the intersection of both sets.

Choice 2 correctly describes the set given in set-builder notation.

Complement of a set is defined as: UMA ' = x | x and x UMA >


Post-processing cosmological samples¶

Let’s suppose that we want to importance-reweight a Planck sample, in particular the one we just generated with the input above, with some late time LSS data from BAO. To do that, we add the new BAO likelihoods. We would also like to increase the theory code’s precision with some extra arguments: we will need to re- add it, and set the new precision parameter under extra_args (the old extra_args will be inherited, unless specifically redefined). For his example let’s say we do not need to recompute the CMB likelihoods, so power spectra do not need to be recomputed, but we do want to add a new derived parameter.

Assuming we saved the sample at chains/planck , we need to define the following input file, which we can run with $ cobaya-run :


Set Operations

Much like (+) is an operation on two numbers, the following set operations are binary operators where the operands are sets instead of numbers.

To indicate set inclusion, that one set is contained in another set, the symbol ( subset ) is used. For instance, ( < 1, 2 >) is a subset of ( <1, 2, 3>). This is written as ( < 1, 2 >subset <1, 2, 3>). If the subset has the potential to be equal to the superset, then the symbol ( subseteq ) is used. Though, some authors use the symbol ( subset ) even when equality is possible. When equality is not possible, the term proper subset is used.

More generally, we might visualize a set hierarchy such as ( A subset B subset mathcal ) as follows. Imagine that there are elements in the sets, even if they're not drawn.

The next two operations either combine the contents of two sets, or reference only the elements contained in both sets. These two operations are union ( cup ) and intersection ( cap ), repsectively. Pictures are my preferred strategy for understanding ( cup ) and ( cap ).

Let (A, B subset mathcal ). The union of ( A ) and ( B ), written ( A cup B ), is equal to the set that consists of all elements in either set (counted only once). In set builder notation, ( A cup B = x in B > ). The following display visualizes in blue the set ( color<#00BFFF> ). to addition.

Let (A, B subset mathcal ). The intersection of ( A ) and ( B ), written ( A cap B ), is equal to the set that consists of only the elements in both sets. In set builder notation, (A cap B = x in B > ). The following display visualizes in pink the set ( color<#00B78D> ).

Set difference is the analogue to subtraction. Let (A subset B ). The set difference ( color<#FF6DAE> ) consists of all the elements of ( B ) after removing those elements that are also in ( A ). Think of this as ( B ) remove ( A ).

In another analogy to binary operations on numbers, the symbol ( imes ) when applied to sets is called the Cartesian product. Let ( A, B subset mathcal ). The set ( A imes B = <(a, b) | a in A ext< and >b in B > ), that is the set of ordered pairs that consist of one element from each of the two sets in the product.

Our last set operation is named cardinality. Cardinality measures the number of elements in a set. For the set of suits in a standard deck of cards ( S = < ) &spades, &hearts , &clubs, &diams ( >), the cardinality of ( S ) is ( |S| = 4 ).

A deck of cards is a set of 52 elements. This set can be thought of as the Cartesian product of the two sets ( S = < ) &spades, &hearts , &clubs, &diams ( >) and ( N = < A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K >). Since ( |S| = 4 ) and ( |N| = 13 ), the cardinality of a standard deck of cards ( |D| = |S imes N| = 52 ). This is the thinking behind the analogy between the Cartesian product and multiplication.


An Algorithm a Day

“If its possible to express the world in a set, a mathematician would do that!! :) The power of sets are vast that its used in statistics and computing a lot. To understand algorithms clearly, you need to understand set theory!!”

I am assuming that, the reader already know a little bit about Sets. Sets is a collection of unique objects. There is natural(without negative) number set, real number(floating point) set, integer(with negative) set. You can also have sets with different symbols. But the major operations that can be done between two sets, A & B, are:

  • Intersection: common items between A & B , $AcapB$
  • Union: all unique items between A & B (common items appear only once) $AcupB$
  • Difference: if its, A-B, then items in B if present in A are removed and you get remaining elements.
  • Disjoint: both A & B don’t have any items in common

I assume you understand the above general and basic concepts to move on into More details

Extra concepts which you might require in some problem solving & algorithms are,

  • singleton set: a set with only 1 element in it.
  • partition of a set: a set if gets partitioned into subsets of size>0.. its called a partition. [Check here: http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_a_set]
  • complement of a set: If you take a set A, complement of set A is the elements which are not present in A. $ar$
  • universal set: $Acupar$ is a universal set which includes all the elements in the bigger set
  • n-set: If you have “n” elements in a set, its called n-set,
  • k-subset: If you have “k” element subset from a “n” element set, its called a k-subset of the bigger set.
  • Cartesian product set: Its the product of two sets.. straight to straight!! A x B = x =
  • binary relation set: subset of Cartesian product between sets. For example, if A & B are subsets in a Natural number set and a relation is defined between the elements in the sets, like, a<b, for a in A, b in B, then, it means, the two sets A & B has elements sorted in ascending order when combined!!
  • equivalence relation between sets: is a type of binary relation set!! but the sets will contain elements which are disjoint and exhibit equivalence among each other. i.e, two sets are equivalence sets only if they are part of a same set under a binary relation
  • equivalence class: the condition of equivalence between two sets should hold in all the elements of the class set. i.e, if you need a set of even numbers from a natural number set given an even number, define a relation such that, equivalence is hold, like a+b is even..
  • functions: extension of Cartesian product. Instead of just Cartesian product, we place a function with a binary relation among elements in the set
  • The main application will be on Graphs!! :) We will study about it soon. We have all the set concepts in a graph!!
  • As it can put in Graph, Tree is just a subset of Graph. Tree concepts are all derived from the set theory!!
  • Binary trees we studied are disjoint sets composed of: root node, left sub tree, right sub tree. Disjoint means, all these 3 sets should have completely different nodes!! It’s not necessary to have any nodes as well. This makes, Binary tree a special case of Trees.
  • Partition of a set can be directly related to substring, subsets in an array etc.

Example: The set < 1, 2, 3 >has these five partitions:

This is clearly how python lists work!! :). Python and Perl both have splice, union, intersection of arrays/lists.


Assista o vídeo: Rodzaje nieskończoności i teoria mnogości (Novembro 2021).