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13.1E: Funções de Variáveis ​​Múltiplas (Exercícios)


13.1: Funções de múltiplas variáveis

Para os exercícios a seguir, avalie cada função nos valores indicados.

1) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2. ) Encontre (W (2, −1), W (−3,6) ).

Responder:
(W (2, −1) = 17, quad W (−3,6) = 72 )

2) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 ). Encontre (W (2 + h, 3 + h). )

3) O volume de um cilindro circular direito é calculado por uma função de duas variáveis, (V (x, y) = πx ^ 2y, ) onde (x ) é o raio do cilindro circular direito e ( y ) representa a altura do cilindro. Avalie (V (2,5) ) e explique o que isso significa.

Responder:
(V (2,5) = 20π , text {unidades} ^ 3 ) Este é o volume quando o raio é (2 ) e a altura é (5 ).

4) Um tanque de oxigênio é construído de um cilindro direito de altura (y ) e raio (x ) com dois hemisférios de raio (x ) montados na parte superior e inferior do cilindro. Expresse o volume do cilindro como uma função de duas variáveis, (x ) e (y ), encontre (V (10,2) ) e explique o que isso significa.

Para os exercícios 5 - 10, encontre o domínio e o intervalo da função dada. Indique o domínio na notação set-builder e o intervalo na notação de intervalo.

5) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x in rm I ! R, y in rm I ! R } ) Ou seja, todos os pontos no plano (xy )
Intervalo: ([0, infty) )

6) (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2−4} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x ^ 2 + y ^ 2 ge 4 } )
Intervalo: ([0, infty) )

7) (f (x, y) = 4 ln (y ^ 2 − x) )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x Intervalo: ((- infty, infty) )

8) (g (x, y) = sqrt {16−4x ^ 2 − y ^ 2} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} le 1 } )
Intervalo: ([0, 4] )

9) (z = arccos (y − x) )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x - 1 le y le x + 1 } ) Ou seja, todos os pontos entre os gráficos de (y = x -1 ) e (y = x +1 ).
Intervalo: ([0, pi] )

10) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x neq 0 } )
Intervalo: ((- infty, infty) )

Encontre a gama de funções.

11) (g (x, y) = sqrt {16−4x ^ 2 − y ^ 2} )

Responder:
( {z | 0≤z≤4 } )

12) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

13) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

Responder:
O conjunto ( rm I ! R )

Nos exercícios 14 - 29, encontre as curvas de nível de cada função nos valores indicados de (c ) para visualizar a função dada. Esboce um gráfico de contorno para os exercícios em que são solicitados mais de 3 valores de (c ).

14) (z (x, y) = y ^ 2 − x ^ 2, quad c = 1 )

15) (z (x, y) = y ^ 2 − x ^ 2, quad c = 4 )

Responder:
(y ^ 2 − x ^ 2 = 4, ) uma hipérbole

16) (g (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2; quad c = 0, 1, 2, 3, 4, 9 )

17) (g (x, y) = 4 − x − y; quad c = 0,1, 2, 3, 4 )

Responder:
As curvas de nível são linhas com (y = -x + (4 - c) ).
Para cada valor de (c ) são:
(c = 0: , y = -x + 4 ),
(c = 1: , y = -x + 3 ),
(c = 2: , y = -x + 2 ),
(c = 3: , y = -x + 1 ),
(c = 4: , y = -x ).
O gráfico de contorno consiste em uma série de linhas paralelas.

18) (f (x, y) = xy; c = 1; quad c = −1 )

19) (h (x, y) = 2x − y; quad c = -2,0,2 )

Responder:
(2x − y = 0,2x − y = −2,2x − y = 2; ) três linhas

20) (f (x, y) = x ^ 2 − y; quad c = 1,2 )

21) (g (x, y) = dfrac {x} {x + y}; c = −1,0,1,2 )

Responder:
As curvas de nível são linhas com a forma (y = x left ( frac {1-c} {c} right) ). Em (c = 0 ), resolvemos diretamente da equação ( dfrac {x} {x + y} = 0 ) para obter (x = 0 ).
Para cada valor de (c ) são:
(c = -1: , y = -2x ),
(c = 0: , x = 0, text {com} y ne 0 ),
(c = 1: , y = 0, text {com} x ne 0 ),
(c = 2: , y = - frac {1} {2} x ).

22) (g (x, y) = x ^ 3 − y; quad c = −1,0,2 )

23) (g (x, y) = e ^ {xy}; quad c = frac {1} {2}, 3 )

Responder:
As curvas de nível têm a forma, (y = frac { ln c} {x} ).
Para cada valor de (c ) são:
(c = frac {1} {2}: , y = frac { ln frac {1} {2}} {x} ) que pode ser reescrito como, (y = - frac { ln 2} {x} )
(c = 3: , y = frac { ln 3} {x} ).

24) (f (x, y) = x ^ 2; quad c = 4,9 )

25) (f (x, y) = xy − x; quad c = −2,0,2 )

Responder:
As curvas de nível têm a forma: (y = frac {c} {x} + 1 ).
Aqui (y = frac {-2} {x} + 1, quad y = 1, quad y = frac {2} {x} + 1 ) ou (xy − x = −2, , xy − x = 0, , xy − x = 2 )

26) (h (x, y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2); quad c = −1,0,1 )

27) (g (x, y) = ln ( frac {y} {x ^ 2}); quad c = −2,0,2 )

Responder:
As curvas de nível têm a forma, (y = e ^ c x ^ 2 ).
Para cada valor de (c ) são:
(c = -2: , y = e ^ {- 2} x ^ 2 ),
(c = 0: , y = x ^ 2 ),
(c = 2: , y = e ^ {2} x ^ 2 ).

28) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad c = 3 )

29) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2}, quad c = ) qualquer constante

Responder:
As curvas de nível são parábolas da forma (y = cx ^ 2−2, text {com} x ne 0 ).

Nos exercícios 30-32, encontre os traços verticais das funções nos valores indicados de (x ) e (y ) e plote os traços.

30) (z = 4 − x − y, quad x = 2 )

31) (f (x, y) = 3x + y ^ 3, quad x = 1 )

Responder:

(z = 3 + y ^ 3, ) uma curva no (zy ) - plano com regras paralelas ao eixo (x )

32) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad x = 1 )

Nos exercícios 33 - 38, encontre o domínio e a amplitude de cada função.

33) (z = sqrt {100−4x ^ 2−25y ^ 2} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {4} ≤1 } )
Intervalo: ([0, 10] )

34) (z = ln (x − y ^ 2) )

35) (f (x, y, z) = dfrac {1} { sqrt {36−4x ^ 2−9y ^ 2 − z ^ 2}} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y, z) | frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {36} <1 } )
Intervalo: ([ frac {1} {6}, infty) )

36) (f (x, y, z) = sqrt {49 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

37) (f (x, y, z) = sqrt [3] {16 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

Responder:
Domínio: Todos os pontos em (xyz ) - espaço
Intervalo: ( big (- infty, sqrt [3] {16} big] )

38) (f (x, y) = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Nos exercícios 39-40, trace um gráfico da função.

39) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:

40) (z = x ^ 2 + y ^ 2 )

41) Use a tecnologia para representar graficamente (z = x ^ 2y. )

Responder:

Nos exercícios 42-46, esboce a função encontrando suas curvas de nível. Verifique o gráfico usando tecnologia, como CalcPlot3D.

42) (f (x, y) = sqrt {4 − x ^ 2 − y ^ 2} )

43) (f (x, y) = 2− sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:

44) (z = 1 + e ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

45) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:

46) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

47) Descreva as linhas de contorno para vários valores de (c ) para (z = x ^ 2 + y ^ 2−2x − 2y. )

Responder:
As linhas de contorno são círculos concêntricos centrados no ponto, ((1, 1) ).
Você pode ver isso completando o quadrado após definir esta função igual a (c ).
Ou seja, escrevemos (x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2−2y + 1 = c + 2 ) que pode ser reescrito como, ((x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = c + 2 ).
Isso nos dá círculos centralizados no ponto, ((1, 1) ), cada um com um raio de ( sqrt {c + 2} ).

Nos exercícios 48 - 52, encontre a superfície nivelada para o valor dado de (c ) para cada função de três variáveis ​​e descreva-a.

48) (w (x, y, z) = x − 2y + z, quad c = 4 )

49) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad c = 9 )

Responder:
(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ), uma esfera de raio (3 )

50) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, quad c = −4 )

51) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, quad c = 4 )

Responder:
(x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 4, ) um hiperbolóide de uma folha

52) (w (x, y, z) = 9x ^ 2−4y ^ 2 + 36z ^ 2, quad c = 0 )

Nos exercícios 53 - 55, encontre uma equação da curva de nível de (f ) que contém o ponto (P ).

53) (f (x, y) = 1−4x ^ 2 − y ^ 2, quad P (0,1) )

Responder:
(4x ^ 2 + y ^ 2 = 1, )

54) (g (x, y) = y ^ 2 arctan x, quad P (1,2) )

55) (g (x, y) = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2), quad P (1,0) )

Responder:
(1 = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2) )

56) A força (E ) de um campo elétrico no ponto ((x, y, z) ) resultante de um fio carregado infinitamente longo ao longo do eixo (y ) é dada por (E ( x, y, z) = k / sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), onde (k ) é uma constante positiva. Para simplificar, deixe (k = 1 ) e encontre as equações das superfícies de nível para (E = 10 ) e (E = 100. )

57) Uma placa fina de ferro está localizada no plano (xy ) - A temperatura (T ) em graus Celsius em um ponto (P (x, y) ) é inversamente proporcional ao quadrado de seu distância da origem. Expresse (T ) como uma função de (x ) e (y ).

Responder:
(T (x, y) = frac {k} {x ^ 2 + y ^ 2} )

58) Consulte o problema anterior. Usando a função de temperatura encontrada lá, determine a constante de proporcionalidade se a temperatura no ponto (P (1,2) ) é (50 ° C. ) Use esta constante para determinar a temperatura no ponto (Q (3, 4). )

59) Consulte o problema anterior. Encontre as curvas de nível para (T = 40 ° C ) e (T = 100 ° C, ) e descreva o que as curvas de nível representam.

Responder:
(x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {40}, quad x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {100} ). As curvas de nível representam círculos de raios ( sqrt {10k} / 20 ) e ( sqrt {k} / 10 )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

  • Paul Seeburger (Monroe Community College) editou o LaTeX e adicionou gráficos de contorno às respostas para os problemas 17, 21 e 29.

  1. Desenhando diagramas (ou criando argumentos algébricos precisos), determine qual dos seguintes conjuntos é convexo.
    1. <(x, y): y = ex >.
    2. <(x, y): yex >.
    3. <(x, y): xy ≥ 1, x & gt 0, y & gt 0>.
    1. Não convexo, porque e λx+(1−λ)você ≠ λex + (1 − λ)evocê , conforme ilustrado na figura a seguir.

    Especificamente, e 0 = 1 e e 1 = e, mas e 1/2 e # 8776 1,649 e (1/2) 1 + (1/2)e ≈ 1.859.

    A função e x é diferenciável, e sua segunda derivada é e x & gt 0, de modo que seja (estritamente) convexo. Portanto, por um resultado no texto, o conjunto de pontos acima de seu gráfico, <(x, y): ye x > é convexo.

    Para mostrar o resultado algebricamente, vamos xy & # 8805 1 e vocêv & # 8805 1. Precisamos mostrar que & # 8805 1. Temos

    x + (1 − λ)você)(λy + (1 − λ)v) = λ 2 xy + λ(1 − λ)(vocêy + xv) + (1 − λ) 2 vocêv.
    λ 2 xy + λ(1 − λ)(vocêy + xv) + (1 − λ) 2 vocêv λ 2 + 2λ(1 − λ) + (1 − λ) 2
    = (λ + (1 − λ)) 2
    = 1.
    h((1−λ)x + λx') = umaf((1−λ)x + λx') + bg((1−λ)x + λx')
    uma(1−λ)f(x) + umaλf(x') + b(1−λ)g(x) + bλg(x')
    = (1−λ)h(x) + λh(x'),
    1. f(x, y) = x + y.
    2. f(x, y) = x 2 [Observação: f é uma função de duas variáveis.]
    3. f(x, y) = x + yexex+y .
    4. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 3z 2 − xy + 2xz + yz.
    1. f((1−λ)x + λx',(1−λ)y + λy') = (1−λ)x + λx' + (1−λ)y + λy' = (1−λ)f(x,y) + λf(x',y'), então a função é côncava e convexa, mas não estritamente côncava ou estritamente convexa. Ou você pode calcular o Hessian, a partir do qual você pode concluir que a função é côncava e convexa, e então argumentar como acima que a função não é estritamente côncava ou estritamente convexa. [Observação: o fato de alguns dos menores serem zero não significa que a função não seja estritamente côncava ou estritamente convexa, embora na verdade não seja.] Ou você pode apelar para o fato de que a função é linear para concluir que ela é côncavo e convexo.
    2. O Hessian mostra que a função é convexa (todos os principais menores são não negativos). O Hessian não satisfaz a condição suficiente para convexidade estrita, mas isso não implica que a função não seja estritamente convexa. No entanto, uma vez que, por exemplo, f(1, 1) = f(1, 2) = f(1, 3), a função não é de fato estritamente convexa. (Mais geralmente, para todos x, y, e y' temos f((1−λ)(x,y) + λ(x,y')) = f(x,(1−λ)y + λy') = x 2 = (1−λ)f(x,y) + λf(x,y').)
    3. O Hessian é
    h((1−λ)x + λy) = umaf((1−λ)x + λy) − bg((1−λ)x + λy)
    uma(1 − λ)f(x) + umaλf(y) − b(1 − λ)g(x) − bλg(y).

    A função h também não é necessariamente côncavo: se, por exemplo, f(x) = x e g(z) = z (que são côncavos), então h(x) = x, que é côncavo.


    Métodos matemáticos para teoria econômica

    Definições

    Uma função que não é nem

    o segmento de linha mostrado está

    pontos e abaixo em outros

    Aqui está uma definição precisa.

    • côncavo se cada segmento de linha que une dois pontos em seu gráfico nunca estiver acima do gráfico
    • convexo se cada segmento de linha que une dois pontos em seu gráfico nunca estiver abaixo do gráfico.

    Denote a altura do segmento de linha de (uma, f(uma)) para (b, f(b)) no ponto x de huma,b(x) Então, de acordo com a definição, a função f é côncavo se e somente se para cada par de números uma e b com x1umax2 e x1bx2 temos

    huma,b((1 − λ)uma + λb) = (1 − λ)huma,b(uma) + λhuma,b(b)

    Observe que uma função pode ser Ambas côncavo e convexo. Deixar f ser tal função. Então, para todos os valores de uma e b temos

    Os economistas costumam presumir que a função de produção de uma empresa é crescente e côncava. Exemplos de tal função para uma empresa que usa um único insumo são mostrados nas próximas duas figuras. O fato de essa função de produção estar aumentando significa que mais insumos geram mais produtos. O fato de ser côncavo significa que o aumento na produção gerado por cada aumento de uma unidade na entrada não aumenta à medida que mais entrada é usada. No jargão econômico, há “retornos crescentes de proporção & rdquo para o insumo, ou, dado que a empresa usa um único insumo, & ldquon para retornos crescentes de escala & rdquo. No exemplo da primeira das duas figuras a seguir, o aumento no produto gerado por cada aumento de uma unidade no insumo não só não aumenta à medida que mais do insumo é usado, mas na verdade diminui, de modo que no jargão econômico há estão & ldquodiminuindo os retornos & rdquo, não apenas & ldquononcrescendo os retornos & rdquo, para a entrada.

    Função de produção côncava

    Função de produção côncava

    As noções de concavidade e convexidade são importantes na teoria de otimização porque, como veremos, uma condição simples é suficiente (assim como necessária) para um maximizador de uma função côncava diferenciável e para um minimizador de uma função convexa diferenciável. (Precisamente, todo ponto em que a derivada de uma função diferenciável côncava é zero é um maximizador da função, e todo ponto em que a derivada de uma função diferenciável convexa é zero é um minimizador da função.)

    O próximo resultado mostra que uma transformação côncava não decrescente de uma função côncava é côncava.

    Pela definição de f temos

    Desigualdade de Jensen: outra caracterização das funções côncavas e convexas

    A função f de uma única variável definida no intervalo I é convexa se e somente se para todas n ≥ 2

    Funções diferenciáveis

    O fato de o gráfico da função estar abaixo desta tangente é equivalente a

    O próximo resultado afirma esta observação, e a semelhante para funções convexas, precisamente. É usado para mostrar o resultado importante que para uma função diferenciável côncava f cada apontar x para qual f'(x) = 0 é um maximizador global, e para uma função diferenciável convexa cada tal ponto é um minimizador global.

    Eu agora mostro que se a primeira desigualdade no resultado for mantida, então f é côncavo. Deixar x* & # 8712 I e x & # 8712 I, e definir x' = (1 − λ)x* + λx. Então x'& # 8712 I e pela desigualdade, que vale para todos os valores de x e x* em I, temos ambos

    Argumentos simétricos se aplicam a uma função convexa.

    Funções duas vezes diferenciáveis

      se e apenas se f"(x) & # 8804 0 para todos x no interior de eu se e somente se f"(x) & # 8805 0 para todos x no interior de I.
    • qualquer f"(x) & gt 0 se uma & lt x & lt c e f"(x) & lt 0 se c & lt x & lt b
    • ou f"(x) & lt 0 se uma & lt x & lt c e f"(x) & gt 0 se c & lt x & lt b.

    Função de produção côncava

    Observe que alguns autores, incluindo Syds & aeligter e Hammond (1995) (p. 308), dão uma definição ligeiramente diferente, em que as condições f"(x) & gt 0 e f"(x) & lt 0 são substituídos por f"(x) & # 8805 0 e f"(x) & # 8804 0. De acordo com esta definição alternativa, f"não tem que mudar o sinal em c. Por exemplo, para uma função linear, cada ponto satisfaz a definição alternativa.

    Convexidade estrita e concavidade

    Uma função que é côncava

    Uma função côncava que tem não partes lineares são consideradas estritamente côncavo.


    13.1E: Funções de Variáveis ​​Múltiplas (Exercícios)

    Estes exercícios baseiam-se nos exercícios de variáveis, por isso pode começar por eles (as suas soluções ou as nossas) ou começar do zero.

    A cartomante

    Por que pagar uma cartomante quando você pode simplesmente programar sua fortuna sozinho?

    • Escreva uma função chamada tellFortune que:
      • aceita 4 argumentos: número de filhos, nome do parceiro, localização geográfica, cargo.
      • exibe sua fortuna na tela da seguinte maneira: "Você será um X em Y e casado com Z com N filhos."

      A Calculadora da Idade do Cachorro

      Você sabe quantos anos seu cachorro tem em anos humanos, mas e quanto aos anos de cachorro? Calcule!

      • Escreva uma função chamada calcularDogAge que:
        • tem um argumento: a idade do seu cachorro.
        • calcula a idade do seu cão com base na taxa de conversão de 1 ano humano a 7 anos para cães.
        • exibe o resultado na tela assim: "Seu cachorrinho tem NN anos em anos de cachorro!"

        Calculadora de suprimentos vitalícios

        Você já se perguntou quanto custa um "suprimento vitalício" do seu lanche favorito? Não se pergunte mais!

        • Escreva uma função chamada calcularSuprimir que:
          • aceita 2 argumentos: idade, quantidade por dia.
          • calcula a quantidade consumida para o resto da vida (com base em uma idade máxima constante).
          • exibe o resultado na tela assim: "Você precisará de NN para durar até a idade madura de X"

          O Geometrizador

          Crie 2 funções que calculam propriedades de um círculo, usando as definições aqui.


          3.4 Problemas comuns

          Exercício 3.5.1

          O que acontece se você aplicar facetas em uma variável contínua?

          A variável contínua é convertida em uma variável categórica e o gráfico contém uma faceta para cada valor distinto.

          Exercício 3.5.2

          O que fazem as células vazias no gráfico com facet_grid (drv

          cil) significa? Como eles se relacionam com esse enredo?

          As células vazias (facetas) neste gráfico são combinações de drv e cil que não possuem observações. Esses são os mesmos locais no gráfico de dispersão de drv e cyl que não têm pontos.

          Exercício 3.5.3

          Quais gráficos o código a seguir faz? O que . Faz?

          O símbolo . ignora essa dimensão ao lapidar. Por exemplo, drv

          . faceta por valores de drv no eixo y.

          cil será facetada por valores de cil no eixo x.

          Exercício 3.5.4

          Pegue o primeiro gráfico facetado nesta seção:

          Quais são as vantagens de usar lapidação em vez da estética de cores? Quais são as desvantagens? Como o saldo mudaria se você tivesse um conjunto de dados maior?

          No gráfico a seguir, a variável de classe é mapeada para cores.

          As vantagens da classe de codificação com facetas em vez de cor incluem a capacidade de codificar categorias mais distintas. Para mim, é difícil distinguir entre as cores de "tamanho médio" e "minivan".

          Dada a percepção visual humana, o número máximo de cores a usar ao codificar dados categóricos (qualitativos) não ordenados é nove e, na prática, muitas vezes muito menos do que isso. Exibir observações de diferentes categorias em diferentes escalas torna difícil comparar diretamente os valores das observações entre as categorias. No entanto, pode tornar mais fácil comparar a forma da relação entre as variáveis ​​xey nas categorias.

          As desvantagens de codificar a variável de classe com facetas em vez da estética de cor incluem a dificuldade de comparar os valores das observações entre as categorias, pois as observações para cada categoria estão em gráficos diferentes. Usar as mesmas escalas xey para todas as facetas torna mais fácil comparar os valores das observações entre as categorias, mas ainda é mais difícil do que se tivessem sido exibidos no mesmo gráfico. Como a codificação da classe dentro da cor também coloca todos os pontos no mesmo gráfico, ela visualiza o relacionamento incondicional entre as variáveis ​​xey com as facetas, o relacionamento incondicional não é mais visualizado, pois os pontos estão espalhados por vários gráficos.

          A vantagem de codificar uma variável com facetação sobre a codificação com aumento de cor no número de pontos e no número de categorias. Com um grande número de pontos, geralmente há sobreposição. É difícil lidar com pontos sobrepostos com cores de cores diferentes. Jittering ainda funcionará com cores. Mas o jittering só funcionará bem se houver poucos pontos e as classes não se sobreporem muito, caso contrário, as cores das áreas não serão mais distintas e será difícil distinguir visualmente os padrões de diferentes categorias. A transparência (alfa) não funciona bem com cores, pois a mistura de cores transparentes sobrepostas não representará mais as cores das categorias. Os métodos de categorização já usam cores para codificar a densidade dos pontos na caixa, portanto, a cor não pode ser usada para codificar categorias.

          Conforme o número de categorias aumenta, a diferença entre as cores diminui, a ponto de as cores das categorias não serem mais distintas visualmente.

          Exercício 3.5.5

          Leia? Facet_wrap. O que o nrow faz? O que ncol faz? Que outras opções controlam o layout dos painéis individuais? Por que facet_grid () não tem variáveis ​​nrow e ncol?

          Os argumentos nrow (ncol) determinam o número de linhas (colunas) a serem usadas no layout das facetas. É necessário uma vez que facet_wrap () apenas facetas em uma variável.

          Os argumentos nrow e ncol são desnecessários para facet_grid () uma vez que o número de valores únicos das variáveis ​​especificadas na função determina o número de linhas e colunas.

          Exercício 3.5.6

          Ao usar facet_grid (), você normalmente deve colocar a variável com mais níveis únicos nas colunas. Por quê?

          Haverá mais espaço para colunas se o enredo for disposto horizontalmente (paisagem).


          O .format () foi introduzido no python 3. É o novo estilo de formatação de strings. Não há dependência do operador '%' ao usar esta função.

          O formato acima não é flexível se você quiser reordenar os valores, digamos que você queira imprimir a cor antes da fruta ou usar um valor várias vezes na string sem alterar a sequência de valores da tupla. Por exemplo,

          Ou se você quiser imprimir em vermelho várias vezes, como:

          Para resolver esses problemas, você pode passar números que indicam a posição do argumento sem alterar a sequência de valores de tupla como abaixo:

          Outra opção é passar índices nomeados. Por exemplo,

          Observação: as funções format () não funcionarão no Python 2.x. Mas, você pode importar “print_function” da biblioteca “__future__”.


          Funções de uma variável complexa

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          Luz direcional

          Queremos definir uma função no sombreador de fragmento que calcula a contribuição de uma luz direcional no fragmento correspondente: uma função que recebe alguns parâmetros e retorna a cor de iluminação direcional calculada.

          Primeiro, precisamos definir as variáveis ​​necessárias de que precisamos no mínimo para uma fonte de luz direcional. Podemos armazenar as variáveis ​​em uma estrutura chamada DirLight e defini-la como uniforme. As variáveis ​​da estrutura devem ser familiares do capítulo anterior:

          Podemos então passar o uniforme dirLight para uma função com o seguinte protótipo:

          Assim como C e C ++, quando queremos chamar uma função (neste caso, dentro da função principal), a função deve ser definida em algum lugar antes do número da linha do chamador. Neste caso, preferimos definir as funções abaixo da função principal, de forma que esse requisito não seja válido. Portanto, declaramos os protótipos da função em algum lugar acima da função principal, assim como faríamos em C.

          Você pode ver que a função requer uma estrutura DirLight e dois outros vetores necessários para seu cálculo. Se você concluiu com êxito o capítulo anterior, o conteúdo desta função não deve ser nenhuma surpresa:

          Basicamente, copiamos o código do capítulo anterior e usamos os vetores dados como argumentos de função para calcular o vetor de contribuição da luz direcional. As contribuições ambientais, difusas e especulares resultantes são então retornadas como um vetor de cor única.


          Descrição:

          Escreva um programa PHP para calcular a área do retângulo usando a função PHP.

          Doença

          Ver Solução / Programa.

          A área do retângulo com comprimento 2 e # 038 largura 4 é 8.

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          Introdução à Regressão Múltipla Multivariada

          Regressão múltipla multivariada é o método de modelagem de respostas múltiplas, ou variáveis ​​dependentes, com um único conjunto de variáveis ​​preditoras. Por exemplo, podemos querer modelar as pontuações de matemática e leitura do SAT como uma função de gênero, raça, renda dos pais e assim por diante. Isso nos permite avaliar a relação de, digamos, gênero com cada pontuação. Você pode estar pensando: & # 8220 por que não apenas executar regressões separadas para cada variável dependente? & # 8221 Isso é realmente uma boa ideia! E, de fato, isso é basicamente o que a regressão múltipla multivariada faz. Ele faz a regressão de cada variável dependente separadamente nos preditores. No entanto, como temos várias respostas, temos que modificar nossos testes de hipótese para parâmetros de regressão e nossos intervalos de confiança para previsões.

          Para começar, vamos ler alguns dados do livro Análise estatística multivariada aplicada (6ª ed.) por Richard Johnson e Dean Wichern. Esses dados vêm do exercício 7.25 e envolvem 17 overdoses da droga amitriptilina (Rudorfer, 1982). Existem duas respostas que queremos modelar: TOT e AMI. TOT é o nível plasmático total de TCAD e AMI é a quantidade de amitriptilina presente no nível plasmático de TCAD. Os preditores são os seguintes:

          GEN, gênero (masculino = 0, feminino = 1)
          AMT, quantidade de medicamento ingerido no momento da overdose
          PR, medição de onda PR
          DIAP, pressão arterial diastólica
          QRS, medição de onda QRS

          Usaremos o ambiente de computação estatística R para demonstrar a regressão múltipla multivariada. O código a seguir lê os dados em R e nomeia as colunas.

          Antes de prosseguir, você pode explorar os dados usando as funções de resumo e pares.

          A execução de regressão múltipla multivariada em R requer agrupar as respostas múltiplas na função cbind (). cbind () pega dois vetores, ou colunas, e & # 8220binds & # 8221 juntos em duas colunas de dados. Inserimos isso no lado esquerdo do operador de fórmula:

          . Por outro lado, adicionamos nossos preditores. Os sinais + não significam adição per se, mas sim inclusão. Juntos, a fórmula & # 8220cbind (TOT, AMI)

          GEN + AMT + PR + DIAP + QRS & # 8221 se traduz em & # 8220 modelo TOT e AMI como uma função de GEN, AMT, PR, DIAP e QRS. & # 8221 Para ajustar este modelo, usamos a função burro de carga lm () e salvamos para um objeto que denominamos & # 8220mlm1 & # 8221. Finalmente, vemos os resultados com summary ().

          Observe que o resumo mostra os resultados de duas regressões: uma para TOT e outra para AMI. Esses são exatamente os mesmos resultados que obteríamos se modelados separadamente. Você pode verificar isso por si mesmo executando o código a seguir e comparando os resumos com o que obtivemos acima. Eles são idênticos.

          O mesmo diagnóstico que verificamos para modelos com um preditor deve ser verificado para estes também. Para uma revisão de alguns diagnósticos básicos, mas essenciais, consulte nosso post Understanding Diagnostic Plots for Linear Regression Analysis.

          Podemos usar as funções de extração do R & # 8217s com nosso objeto mlm1, exceto que obteremos o dobro da saída. Por exemplo, em vez de um conjunto de resíduos, obtemos dois:

          Em vez de um conjunto de valores ajustados, obtemos dois:

          Em vez de um conjunto de coeficientes, obtemos dois:

          Em vez de um erro padrão residual, obtemos dois:

          Novamente, todos são idênticos ao que obtemos executando modelos separados para cada resposta. A similaridade termina, entretanto, com a matriz de variância-covariância dos coeficientes do modelo. Não reproduzimos a saída aqui por causa do tamanho, mas encorajamos você a ver por si mesmo:

          A principal conclusão é que os coeficientes de ambos os modelos variam. Essa covariância precisa ser levada em consideração ao determinar se um preditor está contribuindo conjuntamente para os dois modelos. Por exemplo, os efeitos de PR e DIAP parecem limítrofes. Eles parecem significativos para TOT, mas nem tanto para AMI. Mas não é suficiente examinar os resultados das duas regressões separadas! Precisamos testar formalmente sua inclusão. E esse teste envolve as covariâncias entre os coeficientes em ambos os modelos.

          Determinar se deve ou não incluir preditores em uma regressão múltipla multivariada requer o uso de estatísticas de teste multivariadas. Muitas vezes, são ensinados no contexto de MANOVA, ou análise multivariada de variância. Novamente, o termo & # 8220 multivariada & # 8221 aqui se refere a várias respostas ou variáveis ​​dependentes. Isso significa que usamos testes de hipótese modificados para determinar se um preditor contribui para um modelo.

          A maneira mais fácil de fazer isso é usar as funções Anova () ou Manova () no pacote do carro (Fox e Weisberg, 2011), assim:

          Os resultados são intitulados & # 8220Testes de MANOVA Tipo II & # 8221. A função Anova () detecta automaticamente que mlm1 é um objeto de regressão múltipla multivariado. & # 8220Tipo II & # 8221 refere-se ao tipo de soma dos quadrados. Isso basicamente diz que os preditores são testados assumindo que todos os outros preditores já estão no modelo. Geralmente é isso que queremos. Observe que PR e DIAP parecem ser conjuntamente insignificantes para os dois modelos, apesar do que fomos levados a acreditar ao examinar cada modelo separadamente.

          Com base nesses resultados, podemos querer ver se um modelo com apenas GEN e AMT se ajusta, bem como um modelo com todos os cinco preditores. Uma maneira de fazer isso é ajustar um modelo menor e, em seguida, comparar o modelo menor com o modelo maior usando a função anova (), (observe que o pequeno & # 8220a & # 8221 é diferente da função Anova () no carro pacote). Por exemplo, abaixo, criamos um novo modelo usando a função update () que inclui apenas GEN e AMT. A expressão & # 8220.

          . & # 8211 PR & # 8211 DIAP & # 8211 QRS & # 8221 diz & # 8220manter as mesmas respostas e preditores, exceto PR, DIAP e QRS. & # 8221

          O grande valor p fornece boa evidência de que o modelo com dois preditores se ajusta tão bem quanto o modelo com cinco preditores. Observe que a estatística de teste é & # 8220Pillai & # 8221, que é uma das quatro estatísticas de teste multivariadas comuns.

          O pacote carro fornece outra maneira de conduzir o mesmo teste usando a função linearHypothesis (). A beleza dessa função é que ela nos permite executar o teste sem ajustar um modelo separado. Ele também retorna todas as quatro estatísticas de teste multivariadas. O primeiro argumento para a função é nosso modelo. O segundo argumento é nossa hipótese nula. A função linearHypothesis () permite-nos convenientemente inserir essa hipótese como frases de caracteres. O nulo inserido abaixo é que os coeficientes para PR, DIAP e QRS são todos 0.

          O resultado Pillai é o mesmo que obtivemos usando a função anova () acima. Os resultados de Wilks, Hotelling-Lawley e Roy são versões diferentes do mesmo teste. O consenso é que os coeficientes para PR, DIAP e QRS não parecem ser estatisticamente diferentes de 0. Há alguma discrepância nos resultados do teste. O teste de Roy em particular é significativo, mas isso provavelmente se deve ao pequeno tamanho da amostra (n = 17).

          Também estão incluídos na saída duas soma de quadrados e matrizes de produtos, uma para a hipótese e outra para o erro. Essas matrizes são usadas para calcular as quatro estatísticas de teste. Essas matrizes são armazenadas no objeto lh.out como SSPH (hipótese) e SSPE (erro). Podemos usá-los para calcular manualmente as estatísticas de teste. Por exemplo, deixe SSPH = H e SSPE = E. A fórmula para a estatística do teste de Wilks é

          Em R, podemos calcular isso da seguinte maneira:

          Da mesma forma, a fórmula para Pillai é

          tr significa rastreamento. Essa é a soma dos elementos diagonais de uma matriz. Em R, podemos calcular da seguinte forma: