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16: Campos de vetores, integrais de linha e teoremas de vetores - matemática


  • Conservative Vector Fields
    Nesta seção, continuamos o estudo de campos vetoriais conservadores. Examinamos o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que é uma generalização útil do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de campos vetoriais conservativos. Também descobrimos como testar se um determinado campo vetorial é conservador e determinar como construir uma função potencial para um campo vetorial conhecido por ser conservador.
  • Divergência e Curl
    Divergência e curvatura são duas operações importantes em um campo vetorial. Eles são importantes para o campo do cálculo por várias razões, incluindo o uso de curl e divergência para desenvolver algumas versões de dimensões superiores do Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, a curvatura e a divergência aparecem nas descrições matemáticas da mecânica dos fluidos, eletromagnetismo e teoria da elasticidade, que são conceitos importantes na física e na engenharia.
  • Teorema de Green
    O teorema de Green é uma extensão do Teorema Fundamental do Cálculo para duas dimensões. Ele tem duas formas: uma forma de circulação e uma forma de fluxo, ambas as quais requerem que a região D na integral dupla seja simplesmente conectada. No entanto, vamos estender o teorema de Green para regiões que não estão simplesmente conectadas. O teorema de Green relaciona uma integral de linha em torno de uma curva plana simplesmente fechada C e uma integral dupla sobre a região delimitada por C.
  • Capítulo de introdução ao campo vetorial
    Os campos vetoriais têm muitas aplicações porque podem ser usados ​​para modelar campos reais, como campos eletromagnéticos ou gravitacionais. Uma compreensão profunda da física ou engenharia é impossível sem uma compreensão dos campos vetoriais. Além disso, os campos de vetores têm propriedades matemáticas que valem a pena estudar por si mesmas. Em particular, os campos vetoriais podem ser usados ​​para desenvolver várias versões dimensionais superiores do Teorema Fundamental do Cálculo.
  • Integrais de linha
    Integrais de linha têm muitas aplicações em engenharia e física. Eles também nos permitem fazer várias generalizações úteis do Teorema Fundamental do Cálculo. E estão intimamente ligados às propriedades dos campos vetoriais, como veremos. As integrais de linha têm muitas aplicações em engenharia e física. E, eles estão intimamente ligados às propriedades dos campos vetoriais, como veremos.
    • Integrais de linha (exercícios)
  • Teorema de Stokes
    Nesta seção, estudamos o teorema de Stokes, uma generalização dimensional do teorema de Green. Este teorema, como o Teorema Fundamental para Integrais de Linha e o teorema de Green, é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo para dimensões superiores. O teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície vetorial sobre a superfície S no espaço a uma integral de linha em torno da fronteira de S.
  • Integrais de superfície
    Se quisermos integrar sobre uma superfície (um objeto bidimensional) em vez de um caminho (um objeto unidimensional) no espaço, precisamos de um novo tipo de integral. Podemos estender o conceito de uma integral de linha a uma integral de superfície para nos permitir realizar essa integração. Integrais de superfície são importantes pelas mesmas razões pelas quais as integrais de linha são importantes. Eles têm muitas aplicações para a física e a engenharia e nos permitem expandir o Teorema Fundamental do Cálculo para dimensões superiores.
  • O Teorema da Divergência
    Examinamos várias versões do Teorema Fundamental do Cálculo em dimensões superiores que relacionam a integral em torno de um limite orientado de um domínio a uma “derivada” dessa entidade no domínio orientado. Nesta seção, apresentamos o teorema da divergência, que é o teorema final desse tipo que estudaremos.
  • Cálculo vetorial (exercícios)
    Estes são exercícios de casa para acompanhar o Capítulo 16 do mapa de texto "Calculus" do OpenStax.
  • Campos Vetoriais
    Os campos vetoriais são uma ferramenta importante para descrever muitos conceitos físicos, como gravitação e eletromagnetismo, que afetam o comportamento de objetos em uma grande região de um plano ou do espaço. Eles também são úteis para lidar com o comportamento em grande escala, como tempestades atmosféricas ou correntes oceânicas profundas. Nesta seção, examinamos as definições básicas e os gráficos dos campos vetoriais para que possamos estudá-los com mais detalhes no restante deste capítulo.
    • Campos de vetor (exercícios)

Programa do MAT 2500

12.1 Sistemas de Coordenadas Tridimensionais
12.2 Vetores
12.3 O Produto Interno
12.4 Produtos Cruzados
10.1 Curvas Definidas por Equações Paramétricas - Revisão
12.5 Equações de Linhas e Planos
12.6 Superfícies quadráticas (opcional)

Capítulo 13: Funções de vetor

13.1 Funções Vetoriais e Curvas de Espaço
13.2 Derivadas e integrais de funções vetoriais
13.3 Comprimento do Arco e Curvatura
13.4 Movimento no Espaço: Velocidade e Aceleração

Capítulo 14: Derivados Parciais

14.1 Funções de várias variáveis
14.2 Limites e continuidade
14.3 Derivados Parciais
14,4 Planos Tangentes e Aproximações Lineares
14.5 A Regra da Corrente
14.6 Derivados direcionais e o gradiente
14.7 Valores Máximos e Mínimos
14.8 Multiplicadores de Lagrange (opcional)

Capítulo 15: Integrais Múltiplos

15.1 Integrais duplos sobre retângulos
15.2 Integrais duplos sobre regiões gerais
10.3 Coordenadas polares - Revisão
15.3 Integrais duplos em coordenadas polares
15.4 Aplicações de Integrais Duplos
15,5 Área de Superfície (Opcional)
15.6 Integrais Triplos
15.7 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas
15.8 Integrais triplos em coordenadas esféricas (opcional)

Capítulo 16: Cálculo Vetorial

16.1 Campos Vetoriais
16.2 Integrais de linha
16.3 Teorema Fundamental para Integrais de Linha
16.4 Teorema de Green
16.5 Ondulação e Divergência
16.6 Superfícies paramétricas e suas áreas (opcional)
16,7 Integrais de superfície (opcional)
16.8 Teorema de Stokes (opcional)
16.9 O Teorema da Divergência (Opcional)

Este material é coberto ao longo de um semestre de 14 semanas (56 horas de aula).

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Sistema de Álgebra Computacional (CAS)

Os instrutores usarão Maple ou um sistema de álgebra computacional comparável no curso.


Manual de Soluções para Cálculo 9ª Edição Stewart

Testes de diagnóstico.
Uma prévia do cálculo.
1. FUNÇÕES E LIMITES.
Quatro maneiras de representar uma função. Modelos matemáticos: um catálogo de funções essenciais. Novas funções de funções antigas. Os problemas de tangente e velocidade. O limite de uma função. Cálculo de limites usando as leis de limite. A definição precisa de um limite. Continuidade. Análise. Princípios de solução de problemas.
2. DERIVADOS.
Derivados e taxas de variação. Projeto de redação: métodos iniciais para encontrar tangentes. A Derivada como Função. Fórmulas de diferenciação. Projeto aplicado: construindo uma montanha-russa melhor. Derivadas de funções trigonométricas. A regra da cadeia. Projeto aplicado: onde um piloto deve começar a descida? Diferenciação implícita. Projeto de descoberta: famílias de curvas implícitas. Taxas de variação nas ciências naturais e sociais. Taxas relacionadas. Aproximações lineares e diferenciais. Projeto de descoberta: aproximações polinomiais. Análise. Problems Plus.
3. APLICAÇÕES DE DIFERENCIAÇÃO.
Valores máximo e mínimo. Projeto Aplicado: O Cálculo do Arco-íris. O Teorema do Valor Médio. O que os derivados nos dizem sobre a forma de um gráfico. Limites nas assíntotas horizontais do infinito. Resumo do esboço da curva. Gráficos com cálculo e tecnologia. Problemas de otimização. Projeto aplicado: a forma de uma lata. Projeto Aplicado: Aviões e Aves: Minimizando Energia. Método de Newton. Antiderivativos. Análise. Problems Plus.
4. INTEGRAIS.
Os problemas de área e distância. O Integral Definido. Projeto de descoberta: Funções de área. O Teorema Fundamental do Cálculo. Integrais indefinidos e o teorema da mudança líquida. Projeto de redação: Newton, Leibniz e a invenção do cálculo. A regra da substituição. Análise. Problems Plus.
5. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO.
Áreas entre curvas. Projeto aplicado: o índice de Gini. Volumes. Volumes por reservatórios cilíndricos. Trabalhos. Valor médio de uma função. Projeto Aplicado: Cálculo e Beisebol. Análise. Problems Plus.
6. FUNÇÕES INVERSAS: FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
Funções inversas. Os instrutores podem cobrir as Seções 6.2–6.4 ou as Seções 6.2 * –6.4 *. Funções exponenciais e seus derivados. Funções logarítmicas. Derivadas de funções logarítmicas. A função logarítmica natural. A função exponencial natural. Funções logarítmicas e exponenciais gerais. Crescimento exponencial e decadência. Projeto aplicado: Controlando a perda de glóbulos vermelhos durante a cirurgia. Funções trigonométricas inversas. Projeto aplicado: Onde sentar no cinema. Funções hiperbólicas. Formulários indeterminados e regra do hospital. Projeto de redação: As origens da regra de l’Hospital. Análise. Problems Plus.
7. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO.
Integração por partes. Integrais trigonométricos. Substituição trigonométrica. Integração de funções racionais por frações parciais. Estratégia de Integração. Integração usando tabelas e tecnologia. Projeto de descoberta: Padrões em integrais. Integração aproximada. Integrais impróprios. Análise. Problems Plus.
8. OUTRAS APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO.
Comprimento do arco. Projeto de descoberta: Concurso de comprimento de arco. Área de uma superfície de revolução. Projeto de descoberta: girando inclinado. Aplicações à Física e Engenharia. Projeto Descoberta: Copos de Café Complementares. Aplicações à Economia e Biologia. Probabilidade. Análise. Problems Plus.
9. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.
Modelagem com Equações Diferenciais. Campos de direção e método de Euler. Equações separáveis. Projeto aplicado: quão rápido um tanque drena? Modelos de crescimento populacional. Equações lineares. Projeto aplicado: o que é mais rápido, está subindo ou descendo? Sistemas Predador-Presa. Análise. Problems Plus.
10. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES.
Curvas definidas por equações paramétricas. Projeto de descoberta: Correndo círculos ao redor dos círculos. Cálculo com curvas paramétricas. Projeto de descoberta: Curvas de Bézier. Coordenadas polares. Projeto Descoberta: Famílias de Curvas Polares. Cálculo em coordenadas polares. Seções cônicas. Seções cônicas em coordenadas polares. Análise. Problems Plus.
11. SEQUÊNCIAS, SÉRIES E SÉRIES DE POTÊNCIA.
Sequências. Projeto Descoberta: Sequências Logísticas. Series. O teste integral e estimativas de somas. Os testes de comparação. Séries alternadas e convergência absoluta. Os testes de proporção e raiz. Estratégia para séries de teste. Power Series. Representações de funções como séries de potência. Série Taylor e Maclaurin. Projeto de descoberta: um limite indescritível. Projeto de redação: Como Newton descobriu a série binomial. Aplicações de Polinômios de Taylor. Projeto Aplicado: Radiação das Estrelas. Análise. Problems Plus.
12. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO.
Sistemas de coordenadas tridimensionais. Vetores. Projeto de descoberta: a forma de uma corrente suspensa. O produto interno. O produto cruzado. Projeto de descoberta: a geometria de um tetraedro. Equações de linhas e planos. Projeto de descoberta: Colocando o 3D em perspectiva. Cilindros e Superfícies Quádricas. Análise. Problems Plus.
13. FUNÇÕES DE VETOR.
Funções vetoriais e curvas de espaço. Derivadas e integrais de funções vetoriais. Comprimento e curvatura do arco. Movimento no espaço: velocidade e aceleração. Projeto aplicado: Leis de Kepler. Análise. Problems Plus.
14. DERIVADOS PARCIAIS.
Funções de várias variáveis. Limites e continuidade. Derivados parciais. Projeto de descoberta: derivando a função de produção Cobb-Douglas. Planos tangentes e aproximações lineares. Projeto aplicado: The Speedo LZR Racer. A regra da cadeia. Derivados direcionais e o vetor gradiente. Valores máximo e mínimo. Projeto de descoberta: aproximações quadráticas e pontos críticos. Multiplicadores de Lagrange. Projeto aplicado: Rocket Science. Projeto Aplicado: Otimização da Hidro-Turbina. Análise. Problems Plus.
15. MÚLTIPLOS INTEGRAIS.
Integrais duplos sobre retângulos. Integrais duplos sobre regiões gerais. Integrais duplos em coordenadas polares. Aplicações de Integrais Duplos. Área de superfície. Integrais triplos. Projeto Discovery: Volumes of Hyperspheres. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas. Projeto de descoberta: a intersecção de três cilindros. Integrais triplos em coordenadas esféricas. Projeto aplicado: Roller Derby. Mudança de variáveis ​​em integrais múltiplos. Análise. Problems Plus.
16. CÁLCULO DO VETOR.
Campos de vetor. Integrais de linha. O Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Teorema de Green. Ondulação e Divergência. Superfícies paramétricas e suas áreas. Integrais de superfície. Teorema de Stokes. O Teorema da Divergência. Resumo. Análise. Problems Plus.
ANEXOS.
Números, desigualdades e valores absolutos. Geometria e linhas coordenadas. Gráficos de equações de segundo grau. Trigonometria. Notação Sigma. Provas de teoremas. Respostas a exercícios ímpares.
ÍNDICE.


Manual de solução (arquivos para download) para cálculo, 8ª edição, James Stewart, ISBN-10: 1285740629, ISBN-13: 9781285740621

Índice
Prefácio.
Para o aluno.
Testes de diagnóstico.
Uma prévia do cálculo.
1. FUNÇÕES E LIMITES.
Quatro maneiras de representar uma função. Modelos matemáticos: um catálogo de funções essenciais. Novas funções de funções antigas. Os problemas de tangente e velocidade. O limite de uma função. Cálculo de limites usando as leis de limite. A definição precisa de um limite. Continuidade. Análise. Princípios de solução de problemas.
2. DERIVADOS.
Derivados e taxas de variação. Projeto de redação: métodos iniciais para encontrar tangentes. A Derivada como Função. Fórmulas de diferenciação. Projeto aplicado: construindo uma montanha-russa melhor. Derivadas de funções trigonométricas. A regra da cadeia. Projeto aplicado: onde um piloto deve começar a descida? Diferenciação implícita. Projeto de Laboratório: Famílias de Curvas Implícitas. Taxas de variação nas ciências naturais e sociais. Taxas relacionadas. Aproximações lineares e diferenciais. Projeto de Laboratório: Polinômios de Taylor. Análise. Problems Plus.
3. APLICAÇÃO DA DIFERENCIAÇÃO.
Valores máximo e mínimo. Projeto Aplicado: O Cálculo do Arco-íris. O Teorema do Valor Médio. Como os derivados afetam a forma de um gráfico. Limites nas assíntotas horizontais do infinito. Resumo do esboço da curva. Gráficos com cálculo e calculadoras. Problemas de otimização. Projeto aplicado: a forma de uma lata. Projeto Aplicado: Aviões e Aves: Minimizando Energia. Método de Newton. Antiderivativos. Análise. Problems Plus.
4. INTEGRAIS.
Áreas e distâncias. O Integral Definido. Projeto de descoberta: Funções de área. O Teorema Fundamental do Cálculo. Integrais indefinidos e o teorema da mudança líquida. Projeto de redação: Newton, Leibniz e a invenção do cálculo. A regra da substituição. Análise. Problems Plus.
5. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO.
Áreas entre curvas. Projeto aplicado: o índice de Gini. Volumes. Volumes por reservatórios cilíndricos. Trabalhos. Valor médio de uma função. Projeto Aplicado: Cálculo e Beisebol. Análise. Problems Plus.
6. FUNÇÕES INVERSAS: FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
Funções inversas. Os instrutores podem cobrir as seções 6.2-6.4 ou 6.2 * -6.4 * Funções exponenciais e seus derivados. Funções logarítmicas. Derivadas de funções logarítmicas. A função logarítmica natural A função exponencial natural. Funções logarítmicas e exponenciais gerais. Crescimento exponencial e decadência. Projeto aplicado: Controlando a perda de glóbulos vermelhos durante a cirurgia. Funções trigonométricas inversas. Projeto aplicado: Onde sentar no cinema. Funções hiperbólicas. Formulários indeterminados e regra do hospital. Projeto de redação: As origens da revisão das regras de l 'Hospital. Problems Plus.
7. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO.
Integração por partes. Integrais trigonométricos. Substituição trigonométrica. Integração de funções racionais por frações parciais. Estratégia de Integração. Integração usando tabelas e sistemas de álgebra computacional. Projeto de descoberta: Padrões em integrais. Integração aproximada. Integrais impróprios. Análise. Problems Plus.
8. OUTRAS APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO.
Comprimento do arco. Projeto de descoberta: Concurso de comprimento de arco. Área de uma superfície de revolução. Projeto de descoberta: girando inclinado. Aplicações à Física e Engenharia. Projeto Descoberta: Copos de Café Complementares. Aplicações à Economia e Biologia. Probabilidade. Análise. Problems Plus.
9. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.
Modelagem com Equações Diferenciais. Campos de direção e método de Euler. Equações separáveis. Projeto aplicado: quão rápido um tanque drena? Projeto aplicado: o que é mais rápido, está subindo ou descendo? Modelos de crescimento populacional. Equações lineares. Sistemas Predador-Presa. Análise. Problems Plus.
10. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES.
Curvas definidas por equações paramétricas. Projeto de Laboratório: Correndo Círculos ao redor de Círculos Cálculo com curvas paramétricas. Projeto de Laboratório: Curvas de Bézier. Coordenadas polares. Projeto de Laboratório: Famílias de Curvas Polares. Áreas e comprimentos em coordenadas polares. Seções cônicas. Seções cônicas em coordenadas polares. Análise. Problems Plus.
11. SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS.
Sequências. Projeto de Laboratório: Sequências Logísticas. Series. O teste integral e estimativas de somas. Os testes de comparação. Séries alternadas. Convergência absoluta e os testes de razão e raiz. Estratégia para séries de teste. Power Series. Representações de funções como séries de potência. Série Taylor e Maclaurin. Projeto de laboratório: um limite elusivo. Projeto de redação: Como Newton descobriu a série binomial. Aplicações de Polinômios de Taylor. Projeto Aplicado: Radiação das Estrelas. Análise. Problems Plus.
12. VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO.
Sistemas de coordenadas tridimensionais. Vetores. O produto interno. O produto cruzado. Projeto de descoberta: a geometria de um tetraedro. Equações de linhas e planos. Projeto de Laboratório: Colocando 3D em Cilindros de Perspectiva e Superfícies Quádricas. Análise. Problems Plus.
13. FUNÇÕES DE VETOR.
Funções vetoriais e curvas de espaço. Derivadas e integrais de funções vetoriais. Comprimento e curvatura do arco. Movimento no espaço: velocidade e aceleração. Projeto aplicado: Leis de Kepler. Análise. Problems Plus.
14. DERIVADOS PARCIAIS.
Funções de várias variáveis. Limites e continuidade. Derivados parciais. Planos tangentes e aproximação linear. Projeto aplicado: O traje de corrida Speedo LZR. A regra da cadeia. Derivados direcionais e o vetor gradiente. Valores máximo e mínimo. Projeto aplicado: projetando uma caçamba de lixo. Projeto de descoberta: aproximações quadráticas e pontos críticos. Multiplicadores de Lagrange. Projeto aplicado: Rocket Science. Projeto Aplicado: Otimização da Hidro-Turbina. Análise. Problems Plus.
15. MÚLTIPLOS INTEGRAIS.
Integrais duplos sobre retângulos. Integrais duplos sobre regiões gerais. Integrais duplos em coordenadas polares. Aplicações de Integrais Duplos. Área de superfície. Integrais triplos. Projeto Discovery: Volumes of Hyperspheres. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas. Projeto de descoberta: a intersecção de três cilindros. Integrais triplos em coordenadas esféricas. Projeto aplicado: Roller Derby. Mudança de variáveis ​​em integrais múltiplos. Análise. Problems Plus.
16. CÁLCULO DO VETOR.
Campos de vetor. Integrais de linha. O Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Teorema de Green. Ondulação e Divergência. Superfícies paramétricas e suas áreas. Integrais de superfície. Teorema de Stokes. Projeto de redação: Três homens e dois teoremas. O Teorema da Divergência. Resumo. Análise. Problems Plus.
17. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM.
Equações lineares de segunda ordem. Equações lineares não homogêneas. Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem. Soluções em série. Análise.
ANEXOS.
A Números, desigualdades e valores absolutos. B Coordenadas de geometria e linhas. Gráficos C de equações de segundo grau. D Trigonometria. Notação E Sigma. F Provas de Teoremas. G Números complexos. H Respostas a exercícios ímpares.
ÍNDICE.


Cálculo

Cálculo, terceira edição enfatiza as técnicas e teoremas de cálculo, incluindo muitos exemplos aplicados e exercícios em problemas de broca e de tipo aplicado. Este livro discute o deslocamento dos gráficos de funções, derivada como uma taxa de mudança, derivada de uma função de potência e teoria de máximos e mínimos. A área entre duas curvas, equações diferenciais de crescimento exponencial e decadência, funções hiperbólicas inversas e integração de funções racionais também são elaboradas. Este texto também cobre a pressão do fluido, elipse e translação de eixos, gráficos em coordenadas polares, prova da regra l & # x27Hôpital & # x27s e aproximação usando polinômios de Taylor. Outros tópicos incluem o sistema de coordenadas retangulares no espaço, derivadas parciais de ordem superior, integrais de linha no espaço e movimento vibratório. Esta publicação é valiosa para estudantes de cálculo.

Cálculo, terceira edição enfatiza as técnicas e teoremas de cálculo, incluindo muitos exemplos aplicados e exercícios em problemas de broca e de tipo aplicado. Este livro discute o deslocamento dos gráficos de funções, derivada como uma taxa de mudança, derivada de uma função de potência e teoria de máximos e mínimos. A área entre duas curvas, equações diferenciais de crescimento exponencial e decadência, funções hiperbólicas inversas e integração de funções racionais também são elaboradas. Este texto também cobre a pressão do fluido, elipse e translação de eixos, gráficos em coordenadas polares, prova da regra l & # x27Hôpital & # x27s e aproximação usando polinômios de Taylor. Outros tópicos incluem o sistema de coordenadas retangulares no espaço, derivadas parciais de ordem superior, integrais de linha no espaço e movimento vibratório. Esta publicação é valiosa para estudantes de cálculo.


Cálculo: primeiros transcendentais

A figura mostra uma curva $ C $ e um mapa de contorno de uma função $ f $ cujo gradiente é contínuo. Encontre $ int_C nabla f cdot d textbf $.

Problema 2

É fornecida uma tabela de valores de uma função $ f $ com gradiente contínuo. Encontre $ int_C nabla f cdot d textbf $, onde $ C $ tem equações paramétricas
$ x = t ^ 2 + 1 $ y = t ^ 3 + t $ $ 0 leqslant t leqslant 1 $

Problema 3

Determine se $ textbf $ é um campo vetorial conservador. Se for, encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $.

$ textbf(x, y) = (xy + y ^ 2) , textbf + (x ^ 2 + 2xy) , textbf $

Problema 4

Determine se $ textbf $ é um campo vetorial conservador. Se for, encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $.

$ textbf(x, y) = (y ^ 2 - 2x) , textbf + 2xy , textbf $

Problema 5

Determine se $ textbf $ é um campo vetorial conservador. Se for, encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $.

$ textbf(x, y) = y ^ 2 e ^, textbf + (1 + xy) e ^ , textbf $

Problema 6

Determine se $ textbf $ é um campo vetorial conservador. Se for, encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $.

$ textbf(x, y) = ye ^ x , textbf + (e ^ x + e ^ y) , textbf $

Problema 7

Determine se $ textbf $ é um campo vetorial conservador. Se for, encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $.

$ textbf(x, y) = (ye ^ x + sin y) , textbf + (e ^ x + x cos y) , textbf $

Problema 8

Determine se $ textbf $ é um campo vetorial conservador. Se for, encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $.

$ textbf(x, y) = (2xy + y ^ <-2>) , textbf + (x ^ 2 - 2xy ^ <-3>) , textbf $, $ y & gt 0 $

Problema 9

Determine se $ textbf $ é um campo vetorial conservador. Se for, encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $.

$ textbf(x, y) = (y ^ 2 cos x + cos y) , textbf + (2y sin x - x sin y) , textbf $

Problema 10

Determine se $ textbf $ é um campo vetorial conservador. Se for, encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $.

$ textbf(x, y) = ( ln y + y / x) , textbf + ( ln x + x / y) , textbf $

Problema 11

A figura mostra o campo vetorial $ textbf(x, y) = langle 2xy, x ^ 2 rangle $ e três curvas que começam em $ (1, 2) $ e terminam em $ (3, 2) $.

(a) Explique porque $ int_C textbf cdot d textbf $ tem o mesmo valor para todas as três curvas.
(b) Qual é esse valor comum?

Problema 12

(a) Encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $ e (b) use a parte (a) para avaliar $ int_C textbf cdot d textbf $ ao longo da curva dada $ C $.

$ textbf(x, y) = (3 + 2xy ^ 2) , textbf + 2x ^ 2y , textbf $,
$ C $ é o arco da hipérbole $ y = 1 / x $ de $ (1, 1) $ a $ (4, frac <1> <4>) $

Problema 13

(a) Encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $ e (b) use a parte (a) para avaliar $ int_C textbf cdot d textbf $ ao longo da curva dada $ C $.

$ textbf(x, y) = x ^ 2y ^ 3 , textbf + x ^ 3y ^ 2 , textbf $,
$ C $: $ textbf(t) = langle t ^ 3 - 2t, t ^ 3 + 2t rangle $, $ 0 leqslant t leqslant 1 $

Problema 14

(a) Encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $ e (b) use a parte (a) para avaliar $ int_C textbf cdot d textbf $ ao longo da curva dada $ C $.

$ textbf(x, y) = (1 + xy) e ^ , textbf + x ^ 2e ^ , textbf $,
$ C $: $ textbf(t) = cos t , textbf + 2 sin t , textbf $, $ 0 leqslant t leqslant pi / 2 $

Problema 15

(a) Encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $ e (b) use a parte (a) para avaliar $ int_C textbf cdot d textbf $ ao longo da curva dada $ C $.

$ textbf(x, y, z) = yz , textbf + xz , textbf + (xy + 2z) textbf $,
$ C $ é o segmento de linha de $ (1, 0, -2) $ a $ (4, 6, 3) $

Problema 16

(a) Encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $ e (b) use a parte (a) para avaliar $ int_C textbf cdot d textbf $ ao longo da curva dada $ C $.

$ textbf(x, y, z) = (y ^ 2z + 2xz ^ 2) , textbf + 2xyz , textbf + (xy ^ 2 + 2x ^ 2z) , textbf $,
$ C $: $ x = sqrt $, $ y = t + 1 $, $ z = t ^ 2 $, $ 0 leqslant t leqslant 1 $

Problema 17

(a) Encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $ e (b) use a parte (a) para avaliar $ int_C textbf cdot d textbf $ ao longo da curva dada $ C $.

$ textbf(x, y, z) = yze ^ , textbf + e ^ , textbf + xye ^ , textbf $,
$ C $: $ textbf(t) = (t ^ 2 + 1) , textbf + (t ^ 2 - 1) , textbf + (t ^ 2 - 2t) , textbf $,
$ 0 leqslant t leqslant 2 $

Problema 18

(a) Encontre uma função $ f $ tal que $ textbf = nabla f $ e (b) use a parte (a) para avaliar $ int_C textbf cdot d textbf $ ao longo da curva dada $ C $.

$ textbf(x, y, z) = sin y , textbf + (x cos y + cos z) , textbf - y sin z , textbf $,
$ C $: $ textbf(t) = sin t , textbf + t , textbf + 2t , textbf $, $ 0 leqslant t leqslant pi / 2 $

Problema 19

Mostre que a integral de linha é independente do caminho e avalie a integral.

$ int_C 2xe ^ <-y> , dx + (2y - x ^ 2e ^ <-y>) , dy $, $ C $ é qualquer caminho de $ (1, 0) $ a $ (2, 1 ) $.

Problema 20

Mostre que a integral de linha é independente do caminho e avalie a integral.

$ int_C sin y , dx + (x cos y - sin y) , dy $, $ C $ é qualquer caminho de $ (2, 0) $ a $ (1, pi) $.

Problema 21

Suponha que você seja solicitado a determinar a curva que requer menos trabalho para um campo de força $ textbf $ para mover uma partícula de um ponto a outro ponto. Você decide verificar primeiro se $ textbf $ é conservador e, de fato, é verdade. Como você responderia ao pedido?

Problema 22

Suponha que um experimento determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força $ textbf $ para mover uma partícula do ponto $ (1, 2) $ para o ponto $ (5, -3) $ ao longo de uma curva $ C_1 $ é $ 1,2 J $ e o trabalho feito por $ textbf $ ao mover a partícula ao longo de outra curva $ C_2 $ entre os mesmos dois pontos é $ 1,4 J $. O que você pode dizer sobre $ textbf $? Por quê?

Problema 23

Encontre o trabalho realizado pelo campo de força $ textbf $ ao mover um objeto de $ P $ para $ Q $.

$ textbf(x, y) = x ^ 3 , textbf + y ^ 3 , textbf $ $ P (1, 0) $, $ Q (2, 2) $

Problema 24

Encontre o trabalho realizado pelo campo de força $ textbf $ ao mover um objeto de $ P $ para $ Q $.

$ textbf(x, y) = (2x + y) , textbf + x , textbf $ $ P (1, 1) $, $ Q (4, 3) $

Problema 25

O campo vetorial mostrado na figura é conservador? Explique.

Problema 26

O campo vetorial mostrado na figura é conservador? Explique.

Problema 27

Se $ textbf(x, y) = sin y , textbf + (1 + x cos y) , textbf $, use um gráfico para adivinhar se $ textbf $ é conservador. Em seguida, determine se o seu palpite está correto.

Problema 28

Deixe $ textbf = nabla f $, onde $ f (x, y) = sin (x - 2y) $. Encontre as curvas $ C_1 $ e $ C_2 $ que não são fechadas e satisfaça a equação.
(a) $ displaystyle int_ textbf cdot d textbf = 0 $ (b) $ displaystyle int_ textbf cdot d textbf = 1 $

Problema 29

Mostre que se o campo vetorial $ textbf = P , textbf + Q , textbf + R , textbf $ é conservador e $ P, Q, R $ têm derivadas parciais contínuas de primeira ordem, então
$ dfrac < partial P> < partial y> = dfrac < partial Q> < partial x> $ $ dfrac < partial P> < partial z> = dfrac < partial R> < parcial x> $ $ dfrac < partial Q> < partial z> = dfrac < partial R> < partial y> $

Problema 30

Use o Exercício 29 para mostrar que a integral de linha $ int_C y, dx + x , dy + xyz , dz $ não é independente do caminho.

Problema 31

Determine se o conjunto fornecido é ou não (a) aberto, (b) conectado e (c) simplesmente conectado.

Problema 32

Determine se o conjunto fornecido é ou não (a) aberto, (b) conectado e (c) simplesmente conectado.

Problema 33

Determine se o conjunto fornecido é ou não (a) aberto, (b) conectado e (c) simplesmente conectado.

Problema 34

Determine se o conjunto fornecido é ou não (a) aberto, (b) conectado e (c) simplesmente conectado.

Problema 35

(a) Mostre que $ parcial P / parcial y = parcial Q / parcial x $.
(b) Mostre que $ displaystyle int_C textbf cdot d textbf $ não é independente do caminho. [$ textit $ Compute $ displaystyle int_ textbf cdot d textbf $ e $ displaystyle int_ textbf cdot d textbf $, onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são as metades superior e inferior do círculo $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ de $ (1, 0) $ a $ (-1, 0) $.] isso contradiz o Teorema 6?

Problema 36

(a) Suponha que $ textbf $ é um campo de força do quadrado inverso, ou seja, $ textbf = dfrac> <| textbf| ^ 3> $ para alguma constante $ c $, onde $ textbf = x , textbf + y , textbf + z , textbf $. Encontre o trabalho realizado por $ textbf $ em mover um objeto de um ponto $ P_1 $ ao longo de um caminho para um ponto $ P_2 $ em termos das distâncias $ d_1 $ e $ d_2 $ desses pontos à origem.

(b) Um exemplo de campo quadrado inverso é o campo gravitacional $ textbf = - (mMG) textbf/ | textbf | ^ 3 $ discutido no Exemplo 16.1.4. Use a parte (a) para encontrar o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do afélio (a uma distância máxima de $ 1,52 vezes 10 ^ 8 $ km do sol) para o periélio (a uma distância mínima de $ 1,47 vezes 10 ^ 8 $ km). (Use os valores $ m = 5,97 vezes 10 ^ <24> $ kg, $ M = 1,99 vezes 10 ^ <30> $ kg e $ G = 6,67 vezes 10 ^ <-11> N cdot m ^ 2 / kg ^ 2 $.)

(c) Outro exemplo de um campo quadrado inverso é o campo de força elétrica $ textbf = varejpsilon qQ textbf/ | textbf | ^ 3 $ discutido no Exemplo 16.1.5. Suponha que um elétron com carga de $ -1,6 vezes 10 ^ <-19> C $ esteja localizado na origem. Uma carga unitária positiva é posicionada a uma distância $ 10 ^ <-12> $ m do elétron e se move para uma posição a metade dessa distância do elétron. Use a parte (a) para encontrar o trabalho realizado pelo campo de força elétrica. (Use o valor $ varepsilon = 8.985 times 10 ^ 9 $.)


16: Campos de vetores, integrais de linha e teoremas de vetores - matemática

MATH 317 Seção 202
Cálculo IV: Cálculo Vetorial
2014W Termo 2

    A tarefa 10 sobre webwork é para terça-feira, 7 de abril, às 9h.

Texto: Cálculo multivariável 7ª Edição por James Stewart.

Site principal do MATH 317 mantido pelo Prof. Jim Bryan.

  1. Funções com valor vetorial de uma variável (Capítulo 13):
    Parameterized curves, velocity, acceleration, arc length.
    Includes curvature, normal and binormal vectors, tangential and normal components of acceleration.
  2. Vector valued functions of several variables (Chapter 16):
    vector fields, line integrals, conservative fields, fundamental theorem of line integrals,
    Green's theorem, gradient, curl, divergence,
    parameterized surfaces, suface area, surface integrals,
    Stoke's theorem, divergence theorem.

Instructor: Mark Mac Lean
Email: maclean (domain: math.ubc.ca)
Office: MATH 113
Phone: 604-827-3038
Hours: By appointment. I am also happy to answer questions by email.

Your final mark in this course will be determined by the following breakdown:

    Final grade computation. It is given by which ever is greater,
    Homework/etc.*20% + Midterms*30% + FinalExam*50%
    OR
    FinalExam - 10.

The second option is your safety net : even if you perform very badly on the midterms, you can still get a good grade in the class by doing well on the final.

There will be regular assignments, both written and on WebWork. Mathematics is a subject one learns by DOING problems, so please take these quizzes and assignments seriously.

  1. Due Wednesday, January 14th at the start of class: 13.1 #30, 40, 42, 48, 13.2 # 28, 34, 54
  2. Due Monday, January 26th at the start of class: 13.3 #16, 18, 22, 48, 50, 66
  3. Due Friday, January 30th at the start of class: 13.4 #16, 40, 42, 44, 46
  4. Due Wednesday, February 25th at the start of class: 16.1 #26, 29 -- 32, 16.2 #4, 8, 18, 20, 16.3 #4, 8, 12, 25, 26, 35.


Calculus - Analytic Geometry III


Spring 2015

Hi, here is some information about my course Calculus III (CRN: 22678, MAC 2313-007, 4 credits). We meet Mondays, Wednesdays, Thursdays and Fridays, 1:00 - 1:50 p.m. in BU 208.

The origins of calculus go back at least 2500 years to the ancient Greeks, who found areas using the "method of exhaustion". Limits arise not only when finding areas of a region, but also when computing the slope of a tangent line to a curve, the velocity of a car, or the sum of an infinite series. In each case, one quantity is computed as the limit of other, easily calculated quantities. Sir Isaac Newton invented his version of calculus in order to explain the motion of the planets around the sun. Today calculus is used in calculating the orbits of satellites and spacecraft, in predicting population sizes, in estimating how fast coffee prices rise, in forecasting weather, in measuring the cardiac output of the heart, in calculating life insurance premiums, and in a great variety of other areas.


APEX Calculus

We have studied functions of two and three variables, where the input of such functions is a point (either a point in the plane or in space) and the output is a number.

We could also create functions where the input is a point (again, either in the plane or in space), but the output is a vetor. For instance, we could create the following function: (vec F(x,y) = langle x+y, x-y angle ext<,>) where (vec F(2,3) = langle 5,-1 angle ext<.>) We are to think of (vec F) assigning the vector (langle 5,-1 angle) to the point ((2,3) ext<>) in some sense, the vector (langle 5,-1 angle) lies at the point ((2,3) ext<.>)

Such functions are extremely useful in any context where magnitude and direction are important. For instance, we could create a function (vec F) that represents the electromagnetic force exerted at a point by a electromagnetic field, or the velocity of air as it moves across an airfoil.

Because these functions are so important, we need to formally define them.

Definition 16.2.2 . Vector Field.

UMA vector field in the plane is a function (vec F(x,y)) whose domain is a subset of (mathbb^2) and whose output is a two-dimensional vector:

UMA vector field in space is a function (vec F(x,y,z)) whose domain is a subset of (mathbb^3) and whose output is a three-dimensional vector:

This definition may seem odd at first, as a special type of function is called a “field.” However, as the function determines a “field of vectors”, we can say the field is defined by the function, and thus the field é a function.

Visualizing vector fields helps cement this connection. When graphing a vector field in the plane, the general idea is to draw the vector (vec F(x,y)) at the point ((x,y) ext<.>) For instance, using (vec F(x,y) = langle x+y,x-y angle) as before, at ((1,1)) we would draw (langle 2,0 angle ext<.>)

In Figure 16.2.3.(a), one can see that the vector (langle 2,0 angle) is drawn starting from the point ((1,1) ext<.>) A total of 8 vectors are drawn, with the (x)- and (y)-values of (-1,0,1 ext<.>) In many ways, the resulting graph is a mess it is hard to tell what this field “looks like.”

In Figure 16.2.3.(b), the same field is redrawn with each vector (vec F(x,y)) drawn centered on the point ((x,y) ext<.>) This makes for a better looking image, though the long vectors can cause confusion: when one vector intersects another, the image looks cluttered.

A common way to address this problem is limit the length of each arrow, and represent long vectors with thick arrows, as done in Figure 16.2.4.(a). Usually we do not use a graph of a vector field to determine exactly the magnitude of a particular vector. Rather, we are more concerned with the relative magnitudes of vectors: which are bigger than others? Thus limiting the length of the vectors is not problematic.

Drawing arrows with variable thickness is best done with technology search the documentation of your favorite graphing program for terms like “vector fields” or “slope fields” to learn how. Technology obviously allows us to plot many vectors in a vector field nicely in Figure 16.2.4.(b), we see the same vector field drawn with many vectors, and finally get a clear picture of how this vector field behaves. (If this vector field represented the velocity of air moving across a flat surface, we could see that the air tends to move either to the upper-right or lower-left, and moves very slowly near the origin.)

We can similarly plot vector fields in space, as shown in Figure 16.2.5, though it is not often done. The plots get very busy very quickly, as there are lots of arrows drawn in a small amount of space. In Figure 16.2.5 the field (vec F = langle -y,x,z angle) is graphed. If one could view the graph from above, one could see the arrows point in a circle about the (z)-axis. One should also note how the arrows far from the origin are larger than those close to the origin.

It is good practice to try to visualize certain vector fields in one's head. For instance, consider a point mass at the origin and the vector field that represents the gravitational force exerted by the mass at any point in the room. The field would consist of arrows pointing toward the origin, increasing in size as they near the origin (as the gravitational pull is strongest near the point mass).

Subsection 16.2.1 Vector Field Notation and Del Operator

Definition 16.2.2 defines a vector field (vec F) using the notation

That is, the components of (vec F) are each functions of (x) and (y) (and also (z) in space). As done in other contexts, we will drop the “of (x ext<,>) (y) and (z)” portions of the notation and refer to vector fields in the plane and in space as

respectively, as this shorthand is quite convenient.

Another item of notation will become useful: the “del operator.” Recall in Section 14.3 how we used the symbol ( abla) (pronounced “del”) to represent the gradient of a function of two variables. That is, if (z = f(x,y) ext<,>) then “del (f)” (= abla f = langle f_x, f_y angle ext<.>)

We now define ( abla) to be the “del operator.” It is a vector whose components are partial derivative operations.

With this definition of ( abla ext<,>) we can better understand the gradient ( abla f ext<.>) As (f) returns a scalar, the properties of scalar and vector multiplication gives

Now apply the del operator ( abla) to vector fields. Let (vec F = langle x+sin y,y^2+z,x^2 angle ext<.>) We can use vector operations and find the dot product of ( abla) and (vec F ext<:>)

We can also compute their cross products:

We do not yet know why we would want to compute the above. However, as we next learn about properties of vector fields, we will see how these dot and cross products with the del operator are quite useful.

Subsection 16.2.2 Divergence and Curl

Two properties of vector fields will prove themselves to be very important: divergence and curl. Each is a special “derivative” of a vector field that is, each measures an instantaneous rate of change of a vector field.

If the vector field represents the velocity of a fluid or gas, then the divergence of the field is a measure of the “compressibility” of the fluid. If the divergence is negative at a point, it means that the fluid is compressing: more fluid is going into the point than is going out. If the divergence is positive, it means the fluid is expanding: more fluid is going out at that point than going in. A divergence of zero means the same amount of fluid is going in as is going out. If the divergence is zero at all points, we say the field is incompressible.

It turns out that the proper measure of divergence is simply ( abla cdot vec F ext<,>) as stated in the following definition.

Definition 16.2.9 . Divergence of a Vector Field.

The of a vector field (vec F) is

In the plane, with (vec F = langle M,N angle ext<,>) (divv vec F = M_x+N_y ext<.>)

In space, with (vec F = langle M,N,P angle ext<,>) (divv vec F = M_x+N_y+P_z ext<.>)

Curl is a measure of the spinning action of the field. Let (vec F) represent the flow of water over a flat surface. If a small round cork were held in place at a point in the water, would the water cause the cork to spin? No spin corresponds to zero curl counterclockwise spin corresponds to positive curl and clockwise spin corresponds to negative curl.

In space, things are a bit more complicated. Again let (vec F) represent the flow of water, and imagine suspending a tennis ball in one location in this flow. The water may cause the ball to spin along an axis. If so, the curl of the vector field is a vetor (not a scalar, as before), parallel to the axis of rotation, following a right hand rule: when the thumb of one's right hand points in the direction of the curl, the ball will spin in the direction of the curling fingers of the hand.

In space, it turns out the proper measure of curl is ( abla imes vec F ext<,>) as stated in the following definition. To find the curl of a planar vector field (vec F = langle M,N angle ext<,>) embed it into space as (vec F = langle M, N, 0 angle) and apply the cross product definition. Since (M) and (N) are functions of just (x) and (y) (and not (z)), all partial derivatives with respect to (z) become 0 and the result is simply (langle 0,0,N_x-M_y angle ext<.>) The third component is the measure of curl of a planar vector field.

Definition 16.2.11 . Curl of a Vector Field.

Let (vec F = langle M,N angle) be a vector field in the plane. O curl of (vec F) is (curl vec F = N_x - M_y ext<.>)

Let (vec F = langle M,N,P angle) be a vector field in space. O curl of (vec F) is (curl vec F = abla imes vec F = langle P_y-N_z,M_z-P_x,N_x - M_y angle ext<.>)

We adopt the convention of referring to curl as ( abla imes vec F ext<,>) regardless of whether (vec F) is a vector field in two or three dimensions.

We now practice computing these quantities.

Example 16.2.13 . Computing divergence and curl of planar vector fields.

For each of the planar vector fields given below, view its graph and try to visually determine if its divergence and curl are 0. Then compute the divergence and curl.

(vec F = langle cos y, sin x angle) (see Figure 16.2.15.(b))

The arrow sizes are constant along any horizontal line, so if one were to draw a small box anywhere on the graph, it would seem that the same amount of fluid would enter the box as exit. Therefore it seems the divergence is zero it is, as

At any point on the (x)-axis, arrows above it move to the right and arrows below it move to the left, indicating that a cork placed on the axis would spin clockwise. A cork placed anywhere above the (x)-axis would have water above it moving to the right faster than the water below it, also creating a clockwise spin. A clockwise spin also appears to be created at points below the (x)-axis. Thus it seems the curl should be negative (and not zero). Indeed, it is:

It appears that all vectors that lie on a circle of radius (r ext<,>) centered at the origin, have the same length (and indeed this is true). That implies that the divergence should be zero: draw any box on the graph, and any fluid coming in will lie along a circle that takes the same amount of fluid out. Indeed, the divergence is zero, as

Clearly this field moves objects in a circle, but would it induce a cork to spin? It appears that yes, it would: place a cork anywhere in the flow, and the point of the cork closest to the origin would feel less flow than the point on the cork farthest from the origin, which would induce a counterclockwise flow. Indeed, the curl is positive:

Since the curl is constant, we conclude the induced spin is the same no matter where one is in this field.

At the origin, there are many arrows pointing out but no arrows pointing in. We conclude that at the origin, the divergence must be positive (and not zero). If one were to draw a box anywhere in the field, the edges farther from the origin would have larger arrows passing through them than the edges close to the origin, indicating that more is going from a point than going in. This indicates a positive (and not zero) divergence. This is correct:

One may find this curl to be harder to determine visually than previous examples. One might note that any arrow that induces a clockwise spin on a cork will have an equally sized arrow inducing a counterclockwise spin on the other side, indicating no spin and no curl. This is correct, as

One might find this divergence hard to determine visually as large arrows appear in close proximity to small arrows, each pointing in different directions. Instead of trying to rationalize a guess, we compute the divergence:

Perhaps surprisingly, the divergence is 0. Will all the loops of different directions in the field, one is apt to reason the curl is variable. Indeed, it is:

Depending on the values of (x) and (y ext<,>) the curl may be positive, negative, or zero.

Example 16.2.16 . Computing divergence and curl of vector fields in space.

Compute the divergence and curl of each of the following vector fields.

(displaystyle vec F = langle x^2+y+z, -x-z, x+y angle)

(displaystyle vec F = langle e^, sin(x+z),x^2+y angle)

We compute the divergence and curl of each field following the definitions.

For this particular field, no matter the location in space, a spin is induced with axis parallel to (langle 2,0,-2 angle ext<.>)

Example 16.2.18 . Creating a field representing gravitational force.

The force of gravity between two objects is inversely proportional to the square of the distance between the objects. Locate a point mass at the origin. Create a vector field (vec F) that represents the gravitational pull of the point mass at any point ((x,y,z) ext<.>) Find the divergence and curl of this field.

The point mass pulls toward the origin, so at ((x,y,z) ext<,>) the force will pull in the direction of (langle -x, -y, -z angle ext<.>) To get the proper magnitude, it will be useful to find the unit vector in this direction. Dividing by its magnitude, we have

The magnitude of the force is inversely proportional to the square of the distance between the two points. Letting (k) be the constant of proportionality, we have the magnitude as (dsfrac ext<.>) Multiplying this magnitude by the unit vector above, we have the desired vector field:

We leave it to the reader to confirm that (divv vec F = 0) and (curl vec F = vec 0 ext<.>)

The analogous planar vector field is given in Figure 16.2.19. Note how all arrows point to the origin, and the magnitude gets very small when “far” from the origin.

A function (f(x,y)) naturally induces a vector field, (vec F = abla f = langle f_x,f_y angle ext<.>) Given what we learned of the gradient in Section 14.3, we know that the vectors of (vec F) point in the direction of greatest increase of (f ext<.>) Because of this, (f) is said to be the potential function of (vec F ext<.>) Vector fields that are the gradient of potential functions will play an important role in the next section.

Example 16.2.20 . A vector field that is the gradient of a potential function.

Let (f(x,y) = 3-x^2-2y^2) and let (vec F = abla f ext<.>) Graph (vec F ext<,>) and find the divergence and curl of (vec F ext<.>)

Given (f ext<,>) we find (vec F = abla f = langle -2x,-4y angle ext<.>) A graph of (vec F) is given in Figure 16.2.21.(a). In Figure 16.2.21.(b), the vector field is given along with a graph of the surface itself one can see how each vector is pointing in the direction of “steepest uphill”, which, in this case, is not simply just “toward the origin.”

We leave it to the reader to confirm that (divv vec F = -6) and (curl vec F = 0 ext<.>)

There are some important concepts visited in this section that will be revisited in subsequent sections and again at the very end of this chapter. One is: given a vector field (vec F ext<,>) both (divvvec F) and (curlvec F) are measures of rates of change of (vec F ext<.>) The divergence measures how much the field spreads (diverges) at a point, and the curl measures how much the field twists (curls) at a point. Another important concept is this: given (z=f(x,y) ext<,>) the gradient ( abla f) is also a measure of a rate of change of (f ext<.>) We will see how the integrals of these rates of change produce meaningful results.

This section introduces the concept of a vector field. The next section “applies calculus” to vector fields. A common application is this: let (vec F) be a vector field representing a force (hence it is called a “force field,” though this name has a decidedly comic-book feel) and let a particle move along a curve (C) under the influence of this force. What work is performed by the field on this particle? The solution lies in correctly applying the concepts of line integrals in the context of vector fields.

Exercises 16.2.3 Exercises

Termos e Conceitos

Give two quantities that can be represented by a vector field in the plane or in space.

In your own words, describe what it means for a vector field to have a negative divergence at a point.

In your own words, describe what it means for a vector field to have a negative curl at a point.

The divergence of a vector field (vec F) at a particular point is 0. Does this mean that (vec F) is incompressible? Why/why not?

Problems

In the following exercises, sketch the given vector field over the rectangle with opposite corners ((-2,-2)) and ((2,2) ext<,>) sketching one vector for every point with integer coordinates (i.e., at ((0,0) ext<,>) ((1,2) ext<,>) etc.).

In the following exercises, find the divergence and curl of the given vector field.

(vec F = langle cos (xy), sin (xy) angle)

(dsvec F = la x^2+z^2,x^2+y^2,y^2+z^2 a)

(vec F = abla f ext<,>) where (f(x,y) = frac12x^2+frac13y^3 ext<.>)

(vec F = abla f ext<,>) where (f(x,y) = x^2y ext<.>)

(vec F = abla f ext<,>) where (f(x,y,z) = x^2y+sin z ext<.>)

(vec F = abla f ext<,>) where (ds f(x,y,z) = frac1 ext<.>)


Course Details

Instructor: Michael Woodbury (x4-4988, 247 Mathematics, [email protected])

Horário comercial: T 12:30pm-1:30pm, W 1:00pm-2:00pm, Mathematics 427, or by appointment.

Teaching Assistant: Dili Wang, [email protected], Office Hours: Thursday 10am-11am, 5pm-6pm in the Math help room (406 Mathematics)

Text: James Stewart Calculus: Early Transcendentals, sixth edition, Brooks/Cole, 2008.

Course description: We will cover chapters 15 (Multiple Integrals) and 16 (Vector Calculus). The main topics are:

  1. multiple integrals (using rectangular coordinates)
  2. integrals using polar, cylindrical, and spherical coordinates
  3. vector fields
  4. line integrals
  5. gradients, curl, and divergence.
  6. Green's Theorem, Stoke's Theorem, Divergence Theorem

We will also cover topics from basic complex analysis. The required material will be presented in class. Additional reference materials will also be provided.

Here are course notes written by Prof. Herve Jacquet. This (together with the lectures) is the main reference for the section on complex numbers.
Complex Numbers
Complex Functions and the Cauchy Riemann Equations
Contour Integrals and Cauchy's Theorem

Here are some notes prepared by someone who taught this class a few years ago. Note that the treatment is somewhat different from the notes above. I only provide it as a resource for those who want to see things from another perspective. It has some nice exercises too for those who want extra practice. However, you are not required to know this material except to the extent that it is represented by the notes above or by my lectures.
Complex Variables: Lecture 1
Complex Variables: Lecture 2

If you feel like you would benefit from additional reading material, here is an online book on complex analysis:
Complex Analysis by George Cain
It is pretty readable and has a number of good exercises for practice.

Prerequisites: All material covered in Calculus I-III (Stewart chapters 1-14, except those involving differential equations) will be assumed. Knowing the theory of integration in one variable (very) well will help you generalize to our multivariable setting.


Assista o vídeo: INTEGRAL DE LINHA (Dezembro 2021).