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5: Conjuntos e contagem - Matemática


objetivos de aprendizado

Neste capítulo, você aprenderá a:

  • Use a teoria dos conjuntos e diagramas de Venn para resolver problemas de contagem.
  • Use o Axioma da Multiplicação para resolver problemas de contagem.
  • Use permutações para resolver problemas de contagem.
  • Use combinações para resolver problemas de contagem.
  • Use o Teorema Binomial para expandir ((x + y) ^ n )

Marcas de contagem

Marcas de contagem, também chamado marcas de hash, são um sistema numeral unário. Eles são uma forma de numeração usada para contagem. Eles são mais úteis na contagem ou contagem de resultados contínuos, como o placar de um jogo ou esporte, já que nenhum resultado intermediário precisa ser apagado ou descartado.

No entanto, devido ao comprimento dos números grandes, as contagens não são comumente usadas para texto estático. Bastões entalhados, conhecidos como bastões de tally, também foram usados ​​historicamente para esse propósito.


5: Conjuntos e contagem - Matemática


Departamento de Matemática da Illinois State University

MAT 305: Tópicos combinatórios para professores do ensino fundamental e médio

Técnicas Básicas de Contagem

Aqui, selecionamos um item de uma coleção de itens. Como não há itens comuns entre os dois conjuntos que Blaise chamou de Verdes e Batatas, podemos agrupar os itens em um grande conjunto. Usamos adição, aqui 4 + 5, para determinar o número total de itens para escolher.

Isso ilustra um importante princípio de contagem.

Se uma escolha do Grupo I pode ser feita de n maneiras e uma escolha do Grupo II pode ser feita de várias maneiras, então o número de escolhas possíveis do Grupo I ou Grupo II é n + m.

Condição necessária: Nenhum elemento do Grupo I é igual aos elementos do Grupo II.

Isso pode ser generalizado para uma única seleção de mais de dois grupos, novamente com a condição de que todos os grupos, ou conjuntos, sejam disjuntos, ou seja, não tenham nada em comum.

Exemplos para ilustrar o princípio da adição:

Aqui estão três conjuntos de letras, chame-os de conjuntos I, II e III:

Quantas maneiras existem para escolher uma letra entre os conjuntos I, II ou III? Observe que os três conjuntos são disjuntos ou mutuamente exclusivos: não há elementos comuns entre os três conjuntos.

Aqui estão dois conjuntos de inteiros positivos:

Quantas maneiras existem para escolher um inteiro entre os conjuntos A ou B? Observe que os dois conjuntos não são separados. Que modificação podemos fazer no Princípio da Adição para acomodar este caso? Tente escrever essa modificação.

O Princípio da Multiplicação

Podemos enumerar as refeições possíveis, de preferência de forma organizada para garantir que consideramos todas as possibilidades. Aqui está um esboço de uma dessas enumerações, onde , , , e representam os itens a serem escolhidos nos menus de sopas, carnes, vegetais verdes e sobremesas, respectivamente.

Observe o processo de enumeração usado na tabela. Como você poderia descrever em palavras?

De que outra forma poderíamos completar a contagem sem identificar todas as opções possíveis? Um mapa ou árvore para ilustrar o processo de enumeração fornece uma ponte para esse método.

Temos duas maneiras de selecionar um item de sopa, duas maneiras de selecionar um item de carne, quatro vegetais verdes para escolher e quatro sobremesas para escolher. A combinação de uma sopa com cada carne, depois cada um desses pares com cada um dos quatro vegetais verdes possíveis e cada um desses triplos com cada uma das quatro sobremesas possíveis leva ao uso da multiplicação como uma forma rápida de contar todas as refeições possíveis que nós poderia reunir-se na casa de Blaise.

Isso sugere que usemos outro princípio de contagem para descrever essa técnica.

O Princípio da Multiplicação

Se uma tarefa envolve duas etapas e a primeira etapa pode ser concluída de n maneiras e a segunda etapa de m maneiras, então há n * m maneiras de completar a tarefa.

Condição necessária: as maneiras como cada etapa pode ser concluída são independentes umas das outras.

Isso pode ser generalizado para completar uma tarefa em mais de duas etapas, desde que a condição seja mantida.

Exemplo para ilustrar o princípio da multiplicação:

Lembre-se de nossos três conjuntos I, II e III: , , e . Determine o número de conjuntos de três letras que podem ser criados de forma que uma letra seja do conjunto I, uma letra do conjunto II e uma letra do conjunto III. Observe que nossa escolha em cada conjunto é independente de nossa escolha nos outros conjuntos. Se necessário, poderíamos enumerar os possíveis conjuntos de três letras ou três elementos.

Permutações
De quantas maneiras as letras dentro de um único conjunto, entre I, II e III, podem ser ordenadas? No conjunto I, temos estas possibilidades:

Usamos o Princípio da Multiplicação para descrever nossa seleção. Temos três letras para escolher no preenchimento da primeira posição, duas letras permanecem para preencher a segunda posição e apenas uma letra para a última posição: 3x2x1 = 6 ordens diferentes são possíveis. Da mesma forma, para o conjunto II, existem 120 maneiras diferentes de ordenar as cinco letras e existem 24 maneiras diferentes de ordenar as letras do conjunto III.

A discussão acima exemplifica o conceito de outra estratégia básica de contagem.

Um arranjo linear de elementos para o qual a ordem dos elementos deve ser levada em consideração.

Também destacamos a disponibilidade da notação fatorial para representar de forma compacta a multiplicação específica que acabamos de realizar: 3x2x1 = 3 !, 5x4x3x2x1 = 5! E assim por diante. Portanto, n (n-1) (n-2). (2) (1) = n !.

Uma representação compacta para a multiplicação de inteiros consecutivos. Usamos n! para reenviar o produto n (n-1) (n-2). (2) (1), onde n é algum número inteiro positivo.

Exemplo para ilustrar o uso de permutações:

Quase todas as manhãs ou noites, ouço notícias sobre o DCFS do Estado de Illinois, o Departamento de Crianças e Serviços à Família. Eu fico confuso, porque nosso departamento de matemática tem um comitê chamado Comitê de Status do Corpo Docente do Departamento, ou DFSC. Você pode ver por que estou confuso? Quantos arranjos ordenados de 4 letras, ou permutações, existem para o conjunto de letras ?

Pensando em quatro posições a preencher, __ __ __ __, temos 4 letras para escolher para a primeira posição, 3 para a próxima, 2 letras para a próxima posição e 1 escolha para a última posição. Usando o princípio de multiplicação, existem 4x3x2x1 = 24 arranjos ordenados de 4 letras diferentes para o conjunto de letras .

Podemos estender este aplicativo para considerar arranjos ordenados de apenas alguns dos elementos em um conjunto. Por exemplo, voltando ao cardápio de bebidas do Blaise's Bistro. Se Blaise postar apenas quatro chocies de refrigerante possíveis, quantos arranjos diferentes dos quatro refrigerantes existem?

Pensando em quatro vagas para preencher, __ __ __ __, temos 6 refrigerantes para escolher para a primeira posição, 5 para a próxima, 4 refrigerantes para a próxima e 3 refrigerantes para a última posição. Usando o princípio da multiplicação, existem 6x5x4x3 = 360 maneiras diferentes de selecionar e pedir quatro dos seis refrigerantes do menu.

Em geral, usamos a notação P (n, r) para representar o número de maneiras de organizar r objetos a partir de um conjunto de n objetos. No primeiro problema acima, determinamos que P (4,4) = 24, e no segundo calculamos P (6,4) = 360. O valor geral de P (n, r) é n (n-1) (n-2). (& # 91n- (r-1) & # 93 ou P (n, r) = n (n-1) (n-2). (N-r + 1). Observe que n pode ser qualquer número inteiro não negativo. Existem restrições ao valor de r?

Há uma etapa da aritmética que podemos aplicar ao padrão geral de P (n, r) para ajudar a otimizar os cálculos de permutação. Na segunda linha abaixo, multiplicamos por, que é apenas o valor 1 porque o numerador e o denominador são iguais. Na quarta linha abaixo, vemos como a expressão pode ser simplificada usando a notação fatorial.

Assim, temos P (6,2) = 6! / 4! E P (40,8) = 40! / 32 !.

E P (4,4)? O resultado acima sugere P (4,4) = 4! / 0 !. Já sabemos que P (4,4) = 4x3x2x1 = 4 !, Então temos 4! = 4! / 0 !. Para que isso seja verdade, deve ser 0! = 1. Por mais estranho que possa parecer, precisamos de 0! = 1 para manter a consistência nos cálculos que desejamos realizar.

Combinações
Qual é a diferença entre fazer essas duas perguntas?

(i) De quantas maneiras uma mão de pôquer de 5 cartas pode ser distribuída?

(ii) Quantas mãos diferentes de pôquer de 5 cartas existem?

A primeira pergunta considera a ordem ou disposição das cartas à medida que são distribuídas. Na segunda pergunta, o resultado final quando tratado 2H, 4D, JC, 3S, 10D nessa ordem é o mesmo que ser tratado 4D, 3S, JC, 10D, 2H nessa ordem. Em cada caso, existe a mesma mão de pôquer de 5 cartas. As perguntas ajudam a ilustrar a diferença entre uma permutação e uma combinação.

Uma coleção de elementos cuja ordem não importa.

Encontramos P (52,5) como a solução para o primeiro problema. Ou seja, organizamos 5 objetos selecionados entre 52 cartas. Para a segunda pergunta, há muitos arranjos que resultam na mesma mão de 5 cartas. Precisamos nos responsabilizar por isso. Vamos considerar um problema mais simples.

Quantos arranjos ordenados existem para as letras do conjunto ?

Usando permutações, temos P (5,5) = 5! = 120 maneiras de organizar as cinco letras.

Quantos arranjos ordenados existem de 3 itens do conjunto de 5 elementos?

Temos P (5,3) = 543 = 5! / 2! = 60 arranjos. Por exemplo, para as três letras temos os seguintes arranjos: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Isso representa 6 dos 60 arranjos, mas cada um envolve a mesma seleção de três letras. Da mesma forma para as três letras : Temos ACE, AEC, CAE, CEA, EAC, ECA.

Parece que para cada subconjunto de 3 letras de existem 6 arranjos das mesmas três letras. Esta é uma observação útil para explorar a seguinte questão:

Uma maneira é listar os subconjuntos exclusivos de 3 elementos de : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE. Existem 10 desses subconjuntos de 3 elementos.

Outra maneira de considerar a contagem é usar o fato de que:

Em geral, temos uma maneira de determinar o número de combinações de n itens selecionados r de cada vez, onde a ordem de seleção ou a disposição dos r itens não é considerada:

A relação entre permutações e combinações

Se r elementos devem ser coletados ou organizados a partir de um conjunto de n elementos, então o número de combinações de n elementos tomados r por vez, C (n, r), relacionado ao número de permutações de n elementos tomados r em um tempo, P (n, r), de acordo com a equação

Permutações circulares

Se considerarmos o caso de forma linear,

temos P (5,5) = 5! arranjos. Agora estenda isso para um círculo:

Observe que em cada um desses casos, as mesmas pessoas estão sentadas lado a lado. Embora tenha havido uma mudança - uma rotação - sobre a mesa, as cinco crianças ainda estão nas mesmas posições entre si. Quantas maneiras existem para girar o relacionamento linear exclusivo ABCDE? Existem cinco maneiras, todas representadas no desenho.

Portanto, temos 5! arranjos lineares únicos das crianças, mas podemos agrupá-los de forma que cada grupo tenha 5 arranjos que mostrem as crianças na mesma posição em relação umas às outras. Portanto, temos 5! / 5 = 4! permutações circulares dos cinco filhos.

E se organizarmos em um círculo um subconjunto de elementos r de um conjunto de n elementos? Suponha que arranjemos 3 dos 5 filhos. No caso linear, existem P (5,3) = 60 arranjos, mas podemos agrupá-los de forma que cada grupo tenha 3 arranjos que mostrem as crianças na mesma posição em relação umas às outras. Portanto, temos P (5,3) / 3 = 5! / (2! * 3) permutações circulares dos cinco filhos em subconjuntos de 3 filhos.

Uma permutação circular é um arranjo circular de elementos para o qual a ordem dos elementos deve ser levada em consideração.


Conteúdo

Conceitos combinatórios básicos e resultados enumerativos surgiram em todo o mundo antigo. No século 6 aC, o antigo médico indiano Sushruta afirma no Sushruta Samhita que 63 combinações podem ser feitas de 6 sabores diferentes, tomados um de cada vez, dois de cada vez, etc., computando assim todas as 2 6 - 1 possibilidades. O historiador grego Plutarco discute uma discussão entre Crisipo (século III aC) e Hiparco (século II aC) sobre um problema enumerativo bastante delicado, que mais tarde se mostrou estar relacionado aos números de Schröder-Hiparco. [7] [8] [9] Anteriormente, no Ostomaquião, Arquimedes (século 3 aC) pode ter considerado o número de configurações de um quebra-cabeça de ladrilhos, [10] enquanto interesses combinatórios possivelmente estavam presentes em obras perdidas de Apolônio. [11] [12]

Na Idade Média, a combinatória continuou a ser estudada, em grande parte fora da civilização europeia. O matemático indiano Mahāvīra (c. 850) forneceu fórmulas para o número de permutações e combinações, [13] [14] e essas fórmulas podem ter sido familiares aos matemáticos indianos já no século 6 EC. [15] O filósofo e astrônomo Rabino Abraham ibn Ezra (c. 1140) estabeleceu a simetria dos coeficientes binomiais, enquanto uma fórmula fechada foi obtida posteriormente pelo talmudista e matemático Levi ben Gerson (mais conhecido como Gersonides), em 1321. [16] ] O triângulo aritmético - um diagrama gráfico que mostra as relações entre os coeficientes binomiais - foi apresentado por matemáticos em tratados que datam do século 10 e acabaria por se tornar conhecido como triângulo de Pascal. Mais tarde, na Inglaterra medieval, a campanologia forneceu exemplos do que hoje é conhecido como ciclos hamiltonianos em certos gráficos de Cayley sobre permutações. [17] [18]

Durante o Renascimento, junto com o resto da matemática e das ciências, a combinatória teve um renascimento. Obras de Pascal, Newton, Jacob Bernoulli e Euler tornaram-se fundamentais no campo emergente. Nos tempos modernos, as obras de J.J. Sylvester (final do século 19) e Percy MacMahon (início do século 20) ajudaram a lançar as bases para a combinatória enumerativa e algébrica. A teoria dos grafos também teve uma explosão de interesse ao mesmo tempo, especialmente em relação ao problema das quatro cores.

Na segunda metade do século 20, a combinatória teve um rápido crescimento, o que levou ao estabelecimento de dezenas de novas revistas e conferências no assunto. [19] Em parte, o crescimento foi estimulado por novas conexões e aplicações a outros campos, que vão da álgebra à probabilidade, da análise funcional à teoria dos números, etc. Essas conexões derrubam os limites entre a combinatória e as partes da matemática e da ciência da computação teórica, mas ao mesmo tempo levou a uma fragmentação parcial do campo.

Edição combinatória enumerativa

A combinatória enumerativa é a área mais clássica da combinatória e concentra-se na contagem do número de certos objetos combinatórios. Embora contar o número de elementos em um conjunto seja um problema matemático bastante amplo, muitos dos problemas que surgem nas aplicações têm uma descrição combinatória relativamente simples. Os números de Fibonacci são o exemplo básico de um problema de combinatória enumerativa. A maneira doze vezes fornece uma estrutura unificada para contar permutações, combinações e partições.

Edição analítica combinatória

A combinatória analítica diz respeito à enumeração de estruturas combinatórias usando ferramentas de análise complexa e teoria da probabilidade. Em contraste com a combinatória enumerativa, que usa fórmulas combinatórias explícitas e funções geradoras para descrever os resultados, a combinatória analítica visa obter fórmulas assintóticas.

Teoria da partição Editar

A teoria da partição estuda vários problemas de enumeração e assintóticos relacionados a partições inteiras e está intimamente relacionada a séries q, funções especiais e polinômios ortogonais. Originalmente uma parte da teoria e análise dos números, agora é considerada uma parte da combinatória ou um campo independente. Ele incorpora a abordagem bijetiva e várias ferramentas em análise e teoria analítica dos números e tem conexões com a mecânica estatística.

Teoria dos grafos Editar

Os gráficos são objetos fundamentais em combinatória. As considerações da teoria dos gráficos variam de enumeração (por exemplo, o número de gráficos em n vértices com k bordas) para estruturas existentes (por exemplo, ciclos hamiltonianos) para representações algébricas (por exemplo, dado um gráfico G e dois números x e y, o polinômio de Tutte TG(x,y) tem uma interpretação combinatória?). Embora existam conexões muito fortes entre a teoria dos grafos e a combinatória, às vezes são considerados assuntos separados. [20] Enquanto os métodos combinatórios se aplicam a muitos problemas da teoria dos grafos, as duas disciplinas são geralmente usadas para buscar soluções para diferentes tipos de problemas.

Teoria do projeto Editar

A teoria do projeto é um estudo de projetos combinatórios, que são coleções de subconjuntos com certas propriedades de interseção. Projetos de blocos são projetos combinatórios de um tipo especial. Essa área é uma das partes mais antigas da combinatória, como no problema das colegiais de Kirkman proposto em 1850. A solução do problema é um caso especial de um sistema de Steiner, cujos sistemas desempenham um papel importante na classificação de grupos simples finitos. A área tem outras conexões com a teoria da codificação e combinatória geométrica.

Edição de geometria finita

A geometria finita é o estudo de sistemas geométricos com apenas um número finito de pontos. Estruturas análogas às encontradas em geometrias contínuas (plano euclidiano, espaço projetivo real, etc.) mas definidas combinatorialmente são os principais itens estudados. Esta área fornece uma rica fonte de exemplos para a teoria do design. Não deve ser confundido com geometria discreta (geometria combinatória).

Teoria da ordem Editar

A teoria da ordem é o estudo de conjuntos parcialmente ordenados, finitos e infinitos. Vários exemplos de ordens parciais aparecem em álgebra, geometria, teoria dos números e em toda a combinatória e teoria dos grafos. Classes notáveis ​​e exemplos de ordens parciais incluem reticulados e álgebras booleanas.

Teoria da Matroid Editar

A teoria da matroid abstrai parte da geometria. Ele estuda as propriedades de conjuntos (geralmente, conjuntos finitos) de vetores em um espaço vetorial que não dependem dos coeficientes particulares em uma relação de dependência linear. Não apenas a estrutura, mas também as propriedades enumerativas pertencem à teoria matróide. A teoria da matroid foi introduzida por Hassler Whitney e estudada como parte da teoria da ordem. Agora é um campo de estudo independente com várias conexões com outras partes da combinatória.

Edição combinatória extrema

A combinatória extremal estuda questões extremas em sistemas de conjuntos. Os tipos de questões abordadas neste caso são sobre o maior gráfico possível que satisfaça certas propriedades. Por exemplo, o maior gráfico livre de triângulos em 2n vértices é um grafo bipartido completo Kn, n. Muitas vezes é muito difícil até mesmo encontrar a resposta extrema f(n) exatamente e só se pode dar uma estimativa assintótica.

A teoria de Ramsey é outra parte da combinatória extrema. Afirma que qualquer configuração suficientemente grande conterá algum tipo de ordem. É uma generalização avançada do princípio do escaninho.

Editar combinatória probabilística

Na combinatória probabilística, as questões são do seguinte tipo: qual é a probabilidade de uma determinada propriedade para um objeto discreto aleatório, como um gráfico aleatório? Por exemplo, qual é o número médio de triângulos em um gráfico aleatório? Métodos probabilísticos também são usados ​​para determinar a existência de objetos combinatórios com certas propriedades prescritas (para os quais exemplos explícitos podem ser difíceis de encontrar), simplesmente observando que a probabilidade de selecionar aleatoriamente um objeto com essas propriedades é maior que 0. Esta abordagem ( frequentemente referido como a método probabilístico) provou ser altamente eficaz em aplicações de combinatória extrema e teoria de grafos. Uma área intimamente relacionada é o estudo de cadeias de Markov finitas, especialmente em objetos combinatórios. Aqui, novamente, ferramentas probabilísticas são usadas para estimar o tempo de mistura.

Freqüentemente associada a Paul Erdős, que fez o trabalho pioneiro no assunto, a combinatória probabilística era tradicionalmente vista como um conjunto de ferramentas para estudar problemas em outras partes da combinatória. No entanto, com o crescimento de aplicativos para analisar algoritmos em ciência da computação, bem como probabilidade clássica, teoria dos números aditivos e teoria dos números probabilísticos, a área cresceu recentemente para se tornar um campo independente da combinatória.

Edição combinatória algébrica

A combinatória algébrica é uma área da matemática que emprega métodos de álgebra abstrata, notadamente a teoria dos grupos e a teoria da representação, em vários contextos combinatórios e, inversamente, aplica técnicas combinatórias a problemas de álgebra. A combinatória algébrica está continuamente expandindo seu escopo, tanto em tópicos quanto em técnicas, e pode ser vista como a área da matemática onde a interação de métodos combinatórios e algébricos é particularmente forte e significativa.

Combinatorics on words Edit

Combinatorics on words lida com linguagens formais. Ele surgiu de forma independente em vários ramos da matemática, incluindo a teoria dos números, teoria dos grupos e probabilidade. Ele tem aplicações para combinatória enumerativa, análise fractal, ciência da computação teórica, teoria de autômatos e linguística. Embora muitas aplicações sejam novas, a clássica hierarquia de classes de gramáticas formais de Chomsky – Schützenberger é talvez o resultado mais conhecido na área.

Edição combinatória geométrica

A combinatória geométrica está relacionada à geometria convexa e discreta, em particular à combinatória poliédrica. Ele pergunta, por exemplo, quantas faces de cada dimensão um politopo convexo pode ter. As propriedades métricas de politopos também desempenham um papel importante, por ex. o teorema de Cauchy sobre a rigidez de politopos convexos. Polopos especiais também são considerados, como permutohedra, associahedra e politopos de Birkhoff. Geometria combinatória é um nome antiquado para geometria discreta.

Editar combinatória topológica

Análogos combinatórios de conceitos e métodos em topologia são usados ​​para estudar a coloração de grafos, divisão justa, partições, conjuntos parcialmente ordenados, árvores de decisão, problemas de colar e teoria de Morse discreta. Não deve ser confundido com topologia combinatória, que é um nome antigo para topologia algébrica.

Edição combinatória aritmética

A combinatória aritmética surgiu da interação entre a teoria dos números, a combinatória, a teoria ergódica e a análise harmônica. Trata-se de estimativas combinatórias associadas a operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão). A teoria dos números aditivos (às vezes também chamada de combinatória aditiva) refere-se ao caso especial em que apenas as operações de adição e subtração estão envolvidas. Uma técnica importante na aritmética combinatória é a teoria ergódica dos sistemas dinâmicos.

Edição combinatória infinita

A combinatória infinita, ou teoria dos conjuntos combinatórios, é uma extensão das idéias da combinatória a conjuntos infinitos. É uma parte da teoria dos conjuntos, uma área da lógica matemática, mas usa ferramentas e ideias da teoria dos conjuntos e combinatória extrema.

Gian-Carlo Rota usou o nome combinatória contínua [21] para descrever a probabilidade geométrica, uma vez que existem muitas analogias entre contando e medir.

Edição de otimização combinatória

Otimização combinatória é o estudo da otimização em objetos discretos e combinatórios. Começou como parte da teoria combinatória e dos grafos, mas agora é vista como um ramo da matemática aplicada e da ciência da computação, relacionada à pesquisa operacional, teoria de algoritmos e teoria da complexidade computacional.

Teoria da codificação Editar

A teoria da codificação começou como parte da teoria do design com as primeiras construções combinatórias de códigos de correção de erros. A ideia principal do assunto é projetar métodos eficientes e confiáveis ​​de transmissão de dados. Agora é um grande campo de estudo, parte da teoria da informação.

Edição de geometria discreta e computacional

A geometria discreta (também chamada de geometria combinatória) também começou como parte da combinatória, com resultados iniciais em politopos convexos e números de beijo. Com o surgimento de aplicações de geometria discreta para geometria computacional, esses dois campos se fundiram parcialmente e se tornaram um campo de estudo separado. Restam muitas conexões com combinatórias geométricas e topológicas, que podem ser vistas como conseqüências da geometria discreta inicial.

Sistemas combinatórios e dinâmicos Editar

Aspectos combinatórios de sistemas dinâmicos é outro campo emergente. Aqui, os sistemas dinâmicos podem ser definidos em objetos combinatórios. Veja, por exemplo, sistema gráfico dinâmico.

Edição combinatória e física

Existem interações crescentes entre a combinatória e a física, particularmente a física estatística. Os exemplos incluem uma solução exata do modelo de Ising e uma conexão entre o modelo de Potts por um lado e os polinômios cromáticos e de Tutte por outro.


5: Conjuntos e contagem - Matemática

Mas adicionar repetidamente 1 é uma forma muito primitiva de adição que também não é muito útil. Ao digitar a citação, também perdi a conta várias vezes. É muito mais fácil contar objetos agrupando-os em pequenos grupos e, posteriormente, somando as quantidades associadas a cada grupo. Se todos os grupos tiverem a mesma quantidade de objetos, discerniremos a relevância de outra operação aritmética - multiplicação - para contar. Por exemplo, a notação matemática para "2 e 2 e 2" é "3 vezes 2" ou, simbolicamente, 3 e middot2. 3 & middot2 é, portanto, o mesmo que "1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1", que é denotado como 6: 3 & middot2 = 6. Às vezes, não podemos dividir objetos uniformemente em grupos menores. Por exemplo, dividindo 7 em grupos de 3 objetos, obtemos 2 grupos e 1 objeto restante. Neste caso, adição e multiplicação combinam-se na notação matemática: 2 & middot3 + 1 = 7. É assim que a contagem leva à ideia de divisão e mesmo de divisão com resto. 3 & middot2 = 6 significa não apenas que três grupos de 2 elementos, cada um totalizando 6 elementos juntos, mas também que um grupo de 6 elementos pode ser dividido em 3 grupos de 2 elementos cada. A segunda parte é uma mera paráfrase da primeira parte da declaração anterior. Quando tentamos dividir 7 em dois grupos, obtemos dois grupos de três objetos e 1 elemento adicional. 7 não é dividido igualmente por 2.

A seguir está um miniaplicativo que ajuda a explorar esses conceitos. Veja que é realmente possível contar e agrupar objetos de muitas maneiras diferentes que sempre levam ao mesmo resultado. Observe as notações matemáticas usadas para descrever vários agrupamentos de objetos. Conte os objetos clicando neles.

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O próximo miniaplicativo é um pouco mais abstrato. Contar é uma arte útil, mas já sabemos que a adição e a multiplicação podem acelerá-la, muitas vezes consideravelmente. Neste miniaplicativo, você pode clicar em cada um dos três números. Clicar um pouco à direita de sua linha central aumentará o número em um. Clicar um pouco à esquerda do número diminui o número em 1. O símbolo matemático ">" representa mais que, "

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Finalmente, aqui está um miniaplicativo que é uma variação de um problema com dois grupos. Diga, você tem maçãs e pêssegos. Ao todo, são 12 frutas. Existem mais duas maçãs do que pêssegos. Quantas de cada fruta existem? Observe que o problema nem sempre tem solução. Tente pensar em quando isso acontecerá.

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O Prof. W. McWorter teve a gentileza de compartilhar suas experiências ensinando contagem para jovens alunos.

No livro dele Rastreando a formiga automática (Springer, 1998), David Gale conta a seguinte história:

Era uma vez uma menina chamada Clara que mal tinha três anos e acabava de aprender a contar. Ela poderia dizer quantas cadeiras havia na sala de estar e o número de degraus da varanda da frente. Um dia, seu pai decidiu testá-la. "Olha", disse ele, "trouxe esses quatro pirulitos", mas entregou-lhe apenas três. Clara pegou os pirulitos e contou obedientemente: "Um, dois, quatro." Então ela olhou para cima um pouco confusa e perguntou: "Onde está o terceiro?"


Contar e combinar

Conte dois conjuntos de objetos e desenhe mais para torná-los iguais.

Um taco não é muito útil se você não tiver uma bola. Existem muitas oportunidades para combinar conjuntos de objetos pela casa, mas também é útil sentar-se e experimentar o papel. Aqui está um ótimo conjunto de quatro páginas que pede às crianças para contar dois conjuntos de tacos e bolas e, em seguida, desenhar mais para torná-los iguais.

Suas meias desaparecem na lavagem? Existem muitas oportunidades para combinar conjuntos de objetos pela casa, mas também é útil sentar-se e experimentar o papel. Aqui está um ótimo conjunto de quatro páginas que pede às crianças que contem dois conjuntos de sapatos e meias e, em seguida, desenhem mais para torná-los iguais.

Contando e combinando pequenas quantidades de potes de mel e colheres.

Contando e combinando um pequeno número de aranhas e teias.

Você tem o número certo de colheres para todos aqueles deliciosos sorvetes? Existem muitas oportunidades para combinar conjuntos de objetos pela casa, mas também é útil sentar-se e experimentar o papel. Aqui está um adorável conjunto de quatro páginas que pede às crianças que contem dois conjuntos e desenhem mais para torná-los iguais.


Conteúdo

As seções a seguir realizam certas construções nas duas teorias ZFC e NFU e comparam as implementações resultantes de certas estruturas matemáticas (como os números naturais).

As teorias matemáticas provam teoremas (e nada mais). Portanto, dizer que uma teoria permite a construção de um certo objeto significa que é um teorema dessa teoria que esse objeto existe. Esta é uma afirmação sobre a definição da forma "o x tal que ϕ < displaystyle phi> existe", onde ϕ < displaystyle phi> é uma fórmula da nossa linguagem: a teoria prova a existência de "o x tal que ϕ < displaystyle phi> "apenas no caso de ser um teorema de que" existe um e somente um x tal que ϕ < displaystyle phi> ". (Veja a teoria das descrições de Bertrand Russell.) Vagamente, a teoria "define" ou "constrói" esse objeto neste caso. Se o enunciado não é um teorema, a teoria não pode mostrar que o objeto existe se o enunciado é comprovadamente falso na teoria, prova que o objeto não pode existir livremente, o objeto não pode ser construído.

Expressões definíveis na notação set-builder fazem sentido em ZFC e NFU: pode ser que ambas as teorias provem que uma determinada definição foi bem-sucedida ou que nenhuma delas (a expressão < displaystyle > falha em se referir a qualquer coisa em algum teoria dos conjuntos com lógica clássica em teorias de classe como NBG (esta notação se refere a uma classe, mas é definida de forma diferente), ou que uma faz e a outra não. Além disso, um objeto definido da mesma maneira em ZFC e NFU pode ter propriedades diferentes nas duas teorias (ou pode haver uma diferença no que pode ser provado onde não há diferença comprovável entre suas propriedades).

Além disso, a teoria dos conjuntos importa conceitos de outros ramos da matemática (na intenção, tudo ramos da matemática). Em alguns casos, existem maneiras diferentes de importar os conceitos para ZFC e NFU. Por exemplo, a definição usual do primeiro ordinal infinito ω < displaystyle omega> em ZFC não é adequada para NFU porque o objeto (definido em linguagem teórica puramente definida como o conjunto de todos os ordinais de von Neumann finitos) não pode ser mostrado para existir em NFU. The usual definition of ω in NFU is (in purely set theoretical language) the set of all infinite well-orderings all of whose proper initial segments are finite, an object which can be shown not to exist in ZFC. In the case of such imported objects, there may be different definitions, one for use in ZFC and related theories, and one for use in NFU and related theories. For such "implementations" of imported mathematical concepts to make sense, it is necessary to be able to show that the two parallel interpretations have the expected properties: for example, the implementations of the natural numbers in ZFC and NFU are different, but both are implementations of the same mathematical structure, because both include definitions for all the primitives of Peano arithmetic and satisfy (the translations of) the Peano axioms. It is then possible to compare what happens in the two theories as when only set theoretical language is in use, as long as the definitions appropriate to ZFC are understood to be used in the ZFC context and the definitions appropriate to NFU are understood to be used in the NFU context.

Whatever is proven to exist in a theory clearly provably exists in any extension of that theory moreover, analysis of the proof that an object exists in a given theory may show that it exists in weaker versions of that theory (one may consider Zermelo set theory instead of ZFC for much of what is done in this article, for example).

These constructions appear first because they are the simplest constructions in set theory, not because they are the first constructions that come to mind in mathematics (though the notion of finite set is certainly fundamental). Even though NFU also allows the construction of set ur-elements yet to become members of a set, the empty set is the unique set with no members:

The union of two sets is defined in the usual way:

In NFU, all the set definitions given work by stratified comprehension in ZFC, the existence of the unordered pair is given by the Axiom of Pairing, the existence of the empty set follows by Separation from the existence of any set, and the binary union of two sets exists by the axioms of Pairing and Union ( x ∪ y = ⋃ < x , y >> ).

First, consider the ordered pair. The reason that this comes first is technical: ordered pairs are needed to implement relations and functions, which are needed to implement other concepts which may seem to be prior. The first definition of the ordered pair was the definition ( x , y ) = d e f < < < x >, ∅ > , < < y >> > ><=>><<,emptyset >,<>>> proposed by Norbert Wiener in 1914 in the context of the type theory of Principia Mathematica. Wiener observed that this allowed the elimination of types of n-ary relations for n > 1 from the system of that work. It is more usual now to use the definition ( x , y ) = d e f . < < x >, < x , y >> ><=>><,>> , due to Kuratowski. Either of these definitions works in either ZFC or NFU. In NFU, these two definitions have a technical disadvantage: the Kuratowski ordered pair is two types higher than its projections, while the Wiener ordered pair is three types higher. It is common to postulate the existence of a type-level ordered pair (a pair ( x , y ) which is the same type as its projections) in NFU. It is convenient to use the Kuratowski pair in both systems until the use of type-level pairs can be formally justified. The internal details of these definitions have nothing to do with their actual mathematical function. For any notion ( x , y ) of ordered pair, the thing that matters is that it satisfies the defining condition

( x , y ) = ( z , w ) ≡ x = z ∧ y = w

…and that it be reasonably easy to collect ordered pairs into sets.

In ZFC, some relations (such as the general equality relation or subset relation on sets) are 'too large' to be sets (but may be harmlessly reified as proper classes). In NFU, some relations (such as the membership relation) are not sets because their definitions are not stratified: in < ( x , y ) ∣ x ∈ y >> x and y would need to have the same type (because they appear as projections of the same pair), but also successive types (because x is considered as an element of y ).

Related definitions Edit

O field of R is the union of the domain and range of R .

Notice that with our formal definition of a binary relation, the range and codomain of a relation are not distinguished. This could be done by representing a relation R with codomain B as ( R , B ) , but our development will not require this.

Properties and kinds of relations Edit

  • Reflexive if x R x for every x in the field of R .
  • Symmetric if ∀ x , y ( x R y → y R x ) .
  • Transitive if ∀ x , y , z ( x R y ∧ y R z → x R z ) .
  • Antisymmetric if ∀ x , y ( x R y ∧ y R x → x = y ) .
  • Well-founded if for every set S which meets the field of R , ∃ x ∈ S whose preimage under R does not meet S .
  • Extensional if for every x , y in the field of R , x = y if and only if x and y have the same preimage under R .

Relations having certain combinations of the above properties have standard names. A binary relation R is:

Operations on functions Edit

Special kinds of function Edit

A function is an injetivo (também chamado one-to-one) if it has an inverse function.

It can be shown that | A | ≤ | B | is a linear order on abstract cardinals, but not on sets. Reflexivity is obvious and transitivity is proven just as for equinumerousness. The Schröder–Bernstein theorem, provable in ZFC and NFU in an entirely standard way, establishes that

    | A | ≤ | B | ∧ | B | ≤ | A | → | A | = | B |

(this establishes antisymmetry on cardinals), and

follows in a standard way in either theory from the axiom of choice.

Natural numbers can be considered either as finite ordinals or finite cardinals. Here consider them as finite cardinal numbers. This is the first place where a major difference between the implementations in ZFC and NFU becomes evident.

which is the intersection of all sets which contain the empty set and are closed under the "successor" operation y ↦ y ∪ < y >> .

The usual operations of arithmetic can be defined recursively and in a style very similar to that in which the set of natural numbers itself is defined. For example, + (the addition operation on natural numbers) can be defined as the smallest set which contains ( ( x , ∅ ) , x ) for each natural number x and contains ( ( x , y ∪ < y >) , z ∪ < z >) ),zcup )> whenever it contains ( ( x , y ) , z ) .

The standard definition of the natural numbers, which is actually the oldest set-theoretic definition of natural numbers, is as equivalence classes of finite sets under equinumerousness. Essentially the same definition is appropriate to NFU (this is not the usual definition, but the results are the same): define Fin, the set of finite sets, as

The operations of arithmetic can be defined in a style similar to the style given above (using the definition of successor just given). They can also be defined in a natural set theoretical way: if A and B are disjoint finite sets, define |A|+|B| as | A ∪ B | . More formally, define m+n para m e n dentro N como

(But note that this style of definition is feasible for the ZFC numerals as well, but more circuitous: the form of the NFU definition facilitates set manipulations while the form of the ZFC definition facilitates recursive definitions, but either theory supports either style of definition).

The two implementations are quite different. In ZFC, choose a representative of each finite cardinality (the equivalence classes themselves are too large to be sets) in NFU the equivalence classes themselves are sets, and are thus an obvious choice for objects to stand in for the cardinalities. However, the arithmetic of the two theories is identical: the same abstraction is implemented by these two superficially different approaches.

A general technique for implementing abstractions in set theory is the use of equivalence classes. If an equivalence relation R tells us that elements of its field UMA are alike in some particular respect, then for any set x, regard the set [ x ] R = < y ∈ A ∣ x R y >=> as representing an abstraction from the set x respecting just those features (identify elements of UMA up to R).

Similarity is shown to be an equivalence relation in much the same way that equinumerousness was shown to be an equivalence relation above.

In New Foundations (NFU), the order type of a well-ordering C is the set of all well-orderings which are similar to C. The set of ordinal numbers is the set of all order types of well-orderings.

This does not work in ZFC, because the equivalence classes are too large. It would be formally possible to use Scott's trick to define the ordinals in essentially the same way, but a device of von Neumann is more commonly used.

In ZFC, the order type of a well-ordering C is then defined as the unique von Neumann ordinal which is equinumerous with the field of C and membership on which is isomorphic to the strict well-ordering associated with C. (the equinumerousness condition distinguishes between well-orderings with fields of size 0 and 1, whose associated strict well-orderings are indistinguishable).

In ZFC there cannot be a set of all ordinals. In fact, the von Neumann ordinals are an inconsistent totality in any set theory: it can be shown with modest set theoretical assumptions that every element of a von Neumann ordinal is a von Neumann ordinal and the von Neumann ordinals are strictly well-ordered by membership. It follows that the class of von Neumann ordinals would be a von Neumann ordinal if it were a set: but it would then be an element of itself, which contradicts the fact that membership is a strict well-ordering of the von Neumann ordinals.

The existence of order types for all well-orderings is not a theorem of Zermelo set theory: it requires the Axiom of replacement. Even Scott's trick cannot be used in Zermelo set theory without an additional assumption (such as the assumption that every set belongs to a rank which is a set, which does not essentially strengthen Zermelo set theory but is not a theorem of that theory).

Ordinals fixed by T are called Cantorian ordinals, and ordinals which dominate only cantorian ordinals (which are easily shown to be cantorian themselves) are said to be strongly cantorian. There can be no set of cantorian ordinals or set of strongly cantorian ordinals.

Digression: von Neumann ordinals in NFU Edit

The only von Neumann ordinals which can be shown to exist in NFU without additional assumptions are the concrete finite ones. However, the application of a permutation method can convert any model of NFU to a model in which every strongly cantorian ordinal is the order type of a von Neumann ordinal. This suggests that the concept "strongly cantorian ordinal of NFU" might be a better analogue to "ordinal of ZFC" than is the apparent analogue "ordinal of NFU".

Cardinal numbers are defined in NFU in a way which generalizes the definition of natural number: for any set UMA, | A | = d e f < B ∣ B ∼ A > ><=>>left> .

The natural order on cardinal numbers is seen to be a well-ordering: that it is reflexive, antisymmetric (on abstract cardinals, which are now available) and transitive has been shown above. That it is a linear order follows from the Axiom of Choice: well-order two sets and an initial segment of one well-ordering will be isomorphic to the other, so one set will have cardinality smaller than that of the other. That it is a well-ordering follows from the Axiom of Choice in a similar way.

With each infinite cardinal, many order types are associated for the usual reasons (in either set theory).

The exponential operation is total and behaves exactly as expected on cantorian cardinals, since T fixes such cardinals and it is easy to show that a function space between cantorian sets is cantorian (as are power sets, cartesian products, and other usual type constructors). This offers further encouragement to the view that the "standard" cardinalities in NFU are the cantorian (indeed, the strongly cantorian) cardinalities, just as the "standard" ordinals seem to be the strongly cantorian ordinals.

So there are two different implementations of the natural numbers in NFU (though they are the same in ZFC): finite ordinals and finite cardinals. Each of these supports a T operation in NFU (basically the same operation). It is easy to prove that T ( n ) is a natural number if n is a natural number in NFU + Infinity + Choice (and so | N | and the first infinite ordinal ω are cantorian) but it is not possible to prove in this theory that T ( n ) = n . However, common sense indicates that this should be true, and so it can be adopted as an axiom:

One natural consequence of this axiom (and indeed its original formulation) is

All that can be proved in NFU without Counting is | < 1 , … , n >| = T 2 ( n ) |=T^<2>(n)> .

A consequence of Counting is that N is a strongly cantorian set (again, this is an equivalent assertion).

Properties of strongly cantorian sets Edit

Any subset of a strongly cantorian set is strongly cantorian. The power set of a strongly cantorian set is strongly cantorian. The cartesian product of two strongly cantorian sets is strongly cantorian.

Introducing the Axiom of Counting means that types need not be assigned to variables restricted to N or to P(N), R (the set of reals) or indeed any set ever considered in classical mathematics outside of set theory.

There are no analogous phenomena in ZFC. See the main New Foundations article for stronger axioms that can be adjoined to NFU to enforce "standard" behavior of familiar mathematical objects.

Represent magnitudes (positive reals) as nonempty proper initial segments of the positive rationals with no largest element. The operations of addition and multiplication on magnitudes are implemented by elementwise addition of the positive rational elements of the magnitudes. Order is implemented as set inclusion.

This is the briefest sketch of the constructions. Note that the constructions are exactly the same in ZFC and in NFU, except for the difference in the constructions of the natural numbers: since all variables are restricted to strongly cantorian sets, there is no need to worry about stratification restrictions. Without the Axiom of Counting, it might be necessary to introduce some applications of T in a full discussion of these constructions.

In this class of constructions it appears that ZFC has an advantage over NFU: though the constructions are clearly feasible in NFU, they are more complicated than in ZFC for reasons having to do with stratification.

The definitions are the same in ZFC but without any worries about stratification (the grouping given here is opposite to that more usually used, but this is easily corrected for).

It is possible to extend these definitions to handle index sets which are not sets of singletons, but this introduces an additional type level and is not needed for most purposes.

Permutation methods can be used to show relative consistency with NFU of the assertion that for every strongly cantorian set A there is a set eu of the same size whose elements are self-singletons: i = < i >> for each eu dentro eu.

This construction cannot be carried out in NFU because the power set operation is not a set function in NFU ( P ( A ) is one type higher than A for purposes of stratification).

In particular, there will be an isomorphism type [v] whose preimage under E is the collection of tudo T[x]'s (including T[v]). Desde a T[v] E v and E is well-founded, T [ v ] ≠ v . This resembles the resolution of the Burali–Forti paradox discussed above and in the New Foundations article, and is in fact the local resolution of Mirimanoff's paradox of the set of all well-founded sets.

There are ranks of isomorphism classes of set pictures just as there are ranks of sets in the usual set theory. For any collection of set pictures UMA, define S(UMA) as the set of all isomorphism classes of set pictures whose preimage under E is a subset of A call A a "complete" set if every subset of UMA is a preimage under E. The collection of "ranks" is the smallest collection containing the empty set and closed under the S operation (which is a kind of power set construction) and under unions of its subcollections. It is straightforward to prove (much as in the usual set theory) that the ranks are well-ordered by inclusion, and so the ranks have an index in this well-order: refer to the rank with index α as R α > . It is provable that | R α | = ℶ α |=eth _> for complete ranks R α > . The union of the complete ranks (which will be the first incomplete rank) with the relation E looks like an initial segment of the universe of Zermelo-style set theory (not necessarily like the full universe of ZFC because it may not be large enough). It is provable that if R α > is the first incomplete rank, then R T ( α ) > is a complete rank and thus T ( α ) < α . So there is a "rank of the cumulative hierarchy" with an "external automorphism" T moving the rank downward, exactly the condition on a nonstandard model of a rank in the cumulative hierarchy under which a model of NFU is constructed in the New Foundations article. There are technical details to verify, but there is an interpretation not only of a fragment of ZFC but of NFU itself in this structure, with [ x ] ∈ N F U [ y ] [y]> defined as T ( [ x ] ) E [ y ] ∧ [ y ] ∈ R T ( α ) + 1 > : this "relation" E N F U > is not a set relation but has the same type displacement between its arguments as the usual membership relation ∈ .

So there is a natural construction inside NFU of the cumulative hierarchy of sets which internalizes the natural construction of a model of NFU in Zermelo-style set theory.

Under the Axiom of Cantorian Sets described in the New Foundations article, the strongly cantorian part of the set of isomorphism classes of set pictures with the E relation as membership becomes a (proper class) model of ZFC (in which there are n-Mahlo cardinals for each n this extension of NFU is strictly stronger than ZFC). This is a proper class model because the strongly cantorian isomorphism classes do not make up a set.

Permutation methods can be used to create from any model of NFU a model in which every strongly cantorian isomorphism type of set pictures is actually realized as the restriction of the true membership relation to the transitive closure of a set.


5: Sets and Counting - Mathematics

Counting and Comparing Difficulties

Subitizing is the ability to recognize a number of briefly presented items without actually counting.

A common response to students who are having counting problems is to simply have them do daily counting practice however, students with counting and comparing difficulties also benefit from practice that utilizes patterns and relationships. These strategies improve their ability to conceptualize and compare numbers without counting. Data in a study of dyslexic students who had difficulty with basic arithmetic skills (Fischer B., Kongeter A., Hartnegg K., 2008) showed that dyslexic children could also improve subitizing and visual counting through daily practice. It is important to distinguish the whole-to part process involved with this training. Not all daily counting practice is created equal. These dyslexic students did not achieve their gains in arithmetic merely through the process of counting. They were taught counting strategies for many years to add and subtract numbers with little benefit to their overall concept of number. Students made their gains because they were supplied with a whole- or gestalt then they combined subordinate parts to reconstruct the image. Over time they improved their ability to match quantity with successively larger patterns.

(See the example strategy below.)

Example Strategy: Using Icons of Quantity To Teach Whole-to-Part Relationships

Woodin: The ability to identify a subordinate quantity in relation to a whole enables these quantities to be seen in a relational context that fosters comparison without employing the inefficient and often inaccurate process of counting. The following exercise explains a whole-to-part procedure that is driven by a concrete visual model. Using a whole-to-part model, place five pieces of cereal on a table in a canonical “: • :” pattern. Model a subtraction event by removing pieces. Label the process by making a subtraction sentence, then let the student replace the pieces, and label this action with a related addition fact:

Teacher: “How many are you starting with?”

-The teacher removes the center piece of cereal to leave a square arrangement.

(: • : – • = : :).

Teacher: “Tell me what happened.”

Student: “We had five, you took away one and four are left.”

Teacher: “Say the same thing with a number sentence.”

-The teacher hands the piece of cereal to the student.

Teacher: “Put this back and make a number sentence.” (: : + • = : • :).

Example Strategy: Using Patterns To Support Number Comparisons

Woodin has seen impressive results from instruction that incorporates visual patterning. Consistent graphic organizers that relate quantities to both five and ten provide the structure necessary to develop cardinality with numbers one through ten, and then extend this knowledge to the base-ten system. Consider the following patterns that relate to the gestalts of five and ten.

Each of these icons of quantity is subordinate to the gestalt of the Ten Icon (Woodin, 1995). Using the Ten Icon as a reference, the other icons represent a quantity of items that are visible, as well as an identifiable void that is the missing addend to make 10. Additional shading allows comparison to 5. For example, the Six Icon is made with a blue component of 5 and one red block: (6 = 5 + 1). In reference to the Ten Icon, the 6 is missing a square arrangement of 4 red blocks: (10 = 6 + 4). All of the missing addends to 10 may be driven by flashing an Icon card, asking the name of the card and the missing shape or number needed to make ten. See an example of this technique by viewing the video below.

Strategy Demonstration: Prompt the Missing Addends to 10

Quantities that are presented in concrete form, or represented by a diagram, are not subject to reversals. With the circles/dots at the left, there’s no change of misreading the quantity they represent. Consider an Arabic “4,” which can be incorrectly written in its mirrored form, versus a square pattern with an identical mirror image. These patterns can be used to diagram addition or subtraction problems. An “X” is used as an efficient way of producing a group of five in the following to make icons of 6 and 7. When addition problems are diagramed with Icon patterns, the sum emerges from the two addends. The following video clip illustrates the Icon addition process:

Patterning Should Be Extended to the Multiplication Process

Generate the 2x facts by stamping finger patterns on a template like the one pictured above. The teacher should write the number of fingers to be stamped in the top circle. The student then holds out that number of fingers, dips them in paint, and stamps this quantity onto the template “two times.” The student should first stamp his fingers at the top of the template, then duplicate the same pattern again below it. From this student-centered location the student produces a concrete diagram of multiplication from his primary frame of reference. The process of stamping the quantity “two times” provides the student with a concrete definition of the “times: X” multiplication operation and sign.

Example Strategies: Finger Stamping the 2x Facts

Strategy I: Stamp 3 two times

Use the student’s right hand to produce patterns of two times: one, two, three, or four fingers. Have the student dip his right-hand fingers in red paint, then “stamp” the pattern twice on the red portion of the template. The example shown above depicts stamping 2 x 3 = 6. Dip three fingers on the right hand in red paint and stamp them twice.

The six red dots can be smeared into an Arabic “6” when done.

To stamp numbers 5 and larger “two times,” the left-hand fingers will be needed. Dip the left-hand fingers in blue paint, then extend additional right (red) fingers necessary to match the number. The stamped quantities of fingerprints display a chunked depiction of the product that aligns with base ten place value. A blue pattern of ten will be produced on the left in the ten’s place. Additional red prints will be produced on the right.

Strategy II: Stamp 8 Two Times

Extend all left-hand fingers and dip them in blue finger paint. Extend three right-hand fingers and dip them in red paint. Stamp both hands (two times) on the paper. By stamping all eight fingers two times, the student will create the product: 1 group of ten blue fingerprints on the left–in the ten’s place, and six red prints on the right–in the ones place: “2 x 8 = 16.” The following movie demonstrates the process of creating the 2x products with the finger-stamping technique.

Using a Clock Face To Chunk and Organize Information

Download the Graphic Organizer for this Exercise. Click here.
Chris Woodin has graciously allowed us to offer PDFs of some of the graphic organizers he uses in his classroom. To see more organizers and information, click here.

The 12 clock positions of the analog clock may be used to learn and compare the 5x facts. This is accomplished through a series of gross motor kinesthetic activities that initially place the student at the center of a large clock dial, facing the 12 position. From this student-centered location the student internalizes the relative number locations from his primary reference frame. Minute values are then associated with these positions. Clock positions are merged with minute values to create 5x multiplication facts in a relational context. As the student points to the 3 position of the clock, both the number 3 and minute value of 15 may be simultaneously held in memory. The internalized structure of the clock also provides a student with the ability to simultaneously access several facts so they may be compared. This ability is particularly useful when dividing. For instance, if a student were able to visualize 37 between the benchmark minute values of 35 and 40, he would be able to determine that 37 cents would be made with 7, not 8, nickels.

In the following video, students will use the familiar structure of the clock to learn about the 5x fact family within a relational context. Students learn to interact with the analog clock dial from within their primary reference frame, and then externalize this structure to a paper-and-pencil task. Ultimately, they are empowered to create and compare 5x facts.

Tell us if you have your own strategies for your students. Click here.

One educator in Connecticut suggested this for learning the 9 facts: When multiplying the numbers 2 – 9 by 9, the two digits in the resulting answer will add up to nine. So, for instance, 5 x 9 = 45 (4 plus 5 adds up to 9). It’s a good way to check your answers.

About Chris Woodin:

Christopher Woodin is a specialist in the field of mathematics and learning disabilities. A graduate of Middlebury College and Harvard Graduate School of Education, he has taught extensively at Landmark School in Massachusetts. At Landmark School’s Elementary/Middle School Campus, he holds the Ammerman Chair of Mathematics. Christopher served on the Massachusetts Department of Education’s Mathematics 2011 Curriculum Framework Panel, and teaches graduate-level professional development courses during the summer through Landmark’s Outreach Program. Chris was the 1997 Massachusetts Learning Disabilities Association (LDA) Samuel Kirk Educator of the Year. He has presented at numerous international LDA and International Dyslexia Association (IDA) conferences, and has led math workshops to audiences across the country.

Christopher has published The Landmark Method of Teaching Arithmetic ©1995 and several journal articles. His latest project, Multiplication and Division Facts for the Whole-to-Part, Visual Learner: An Activity-Based Guide to Developing Fluency with Math Facts, is currently in press and due to be released in 2012. This comprehensive text features the methodologies and many of the activities that are described on The Yale Center for Dyslexia & Creativity’s website. To learn more about Mr. Woodin and his work, please visit his page on the Landmark School website and his own website.


Fingers instead of dots!

These finger games address the same math concepts as the dot card games. Children can have fun practicing their math skills in a new format. All that’s needed are fingers!

Finger Games

Focus on subitizing and on composition and decomposition of numbers.

Game 1: Fingers, Fingers

  1. Say, “Hold your hands behind your back.”
  2. Together, chant, “Fingers, fingers, 1, 2, 3. How many fingers do you see?”
  3. Using two hands, hold up three fingers. (Start with the typical ways of showing 1–5 on your fingers.)
  4. Children can say three or show three with their fingers.
  5. Keep playing with different numbers of fingers, focusing on 1–5 and slowly moving up to 10.
  6. Vary how you show each number on your fingers.

Game 2: Show Me . . .

  1. Hold up any number of fingers.
  2. Ask children to show you the same number on their fingers but in a different way.

Game 3: One More, One Less

  1. Hold up any number of fingers on your hands.
  2. Ask children to show you one more than you’re showing or one less.

Game 4: How Old Are You?

  1. Ask a 4-year-old, “How old are you? Are you this age?” Hold up four fingers on one hand.
  2. Then ask, “How old are you? Are you this age?” Hold up two fingers on one hand and two fingers on your other hand. (Children usually answer, “No!”)
  3. Try this with other ages, too!

Things to notice as children play

The critical learning in this game is that numbers can be composed (or made) in different ways. You can make 5 with five fingers on one hand and zero on the other, or with four and one, or with three and two. These different combinations all make five. This helps children recognize that smaller numbers are part of larger numbers (e.g., 3 and 1 are two parts of 4).

ENGAGE FAMILIES IN MATH!

Make copies of the finger game instructions to send home with families. Print and send home math mini-books—find them at NAEYC.org/math-at-home.


Finding More

Counting and drawing more to match the number of objects.

Count and write down how many burgers there are. Count and write down how many cartons of chips there are. Draw more burgers to match the number of cartons of chips.

Count and write down how many bats there are. Count and write down how many balls there are. Draw more balls to match the number of bats.

Count and write down how many drinks there are. Count and write down how many boys there are. Draw more drinks to match the number of boys.


Assista o vídeo: Combinatoriek - routes in een rooster - WiskundeAcademie (Dezembro 2021).