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3.1: Gráficos de funções quadráticas - Matemática


Fontes: A_Estantes / Pré-cálculo / Livro: _Precalculus_ (OpenStax) / 03: _Polynomial_and_Rational_Functions / 303: _Quadratic_Functions (por Jay Abramson) M_Estantes / Álgebra / Livro: _Intermediate_Algebra_ (OpenStax) /09:_Quadratic_Equations_and_Functions/9.07:_Graph_Quadratic_Functions_Using_Properties (por Lynn Marecek)
M_Bookshelves / Algebra / Book: _Intermediate_Algebra_ (OpenStax) /09:_Quadratic_Equations_and_Functions/9.08:_Graph_Quadratic_Functions_Using_Transformations

Gráficos de funções quadráticas

UMA Função quadrática é qualquer função definida por um polinômio cujo maior expoente é dois. Isso significa que pode ser escrito na forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), com as restrições de que (a ) NÃO pode ser zero, e (a ), (b ), e (c ) são números reais.

O gráfico de qualquer função quadrática é uma curva em forma de U chamada de parábola. Existem certas características-chave importantes de reconhecer que podem ser vistas em um gráfico e que podem ser calculadas a partir de uma equação.

1. O orientação de uma parábola é que ela abre ou abre para baixo

2. O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto no gráfico

3. O eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice, dividindo a parábola em duas partes iguais. Se (h ) é a coordenada (x ) do vértice, então a equação para o eixo de simetria é (x = h ).

4. O máximo ou mínimo o valor de uma parábola é a coordenada (y ) do vértice.

5. O (y ) - interceptar é o ponto em que a parábola cruza o eixo (y ).

O (x ) - intercepta são os pontos nos quais a parábola cruza o eixo (x ).

6. O domínio de uma parábola são todos números reais, ((- infty, infty) ).

O alcance de uma parábola começa ou termina com o valor da coordenada (y ) do vértice.

Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico que ilustra as características de uma parábola.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Identificar características de uma parábola a partir de um gráfico

Determine as características da parábola ilustrada abaixo.

Solução.

Orientação: abre

Vértice: ((3,1) )

Eixo de simetria: (x = 3 )

Valor mínimo: (y = 1 )

(y ) - interceptar: ((0,7) )
(x ) - interceptar: nenhum

Domínio: ((- infty, infty) )
Intervalo: ([1, infty) )

Formas de uma função quadrática

Existem duas formas importantes de uma função quadrática

Definições: Formas de funções quadráticas

Uma função quadrática é uma função parabólica de grau dois. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

  • O Forma geral de uma função quadrática é (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) com parâmetros de número real (a ), (b ), e (c ) e (a { neq } 0 ).
  • O forma padrão de uma função quadrática é (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ) com parâmetros de número real (a ), (h ), e (k ) e (a { neq} 0 ). O formulário padrão também é conhecido como forma de vértice.

O gráfico de (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ) é um gráfico de (y = x ^ 2 ) que passou por algumas transformações. A ordem em que essas transformações são realizadas é revisada nas etapas a seguir.

  1. Se (h> 0 ), o gráfico se desloca para as unidades (h ) à direita e se (h <0 ), o gráfico se desloca para as unidades (h ) à esquerda.
  2. Se (a <0 ), o gráfico foi refletido no eixo (x ).
  3. A magnitude de (a ) indica a extensão do gráfico. Se (| a |> 1 ) há um alongamento vertical porque o ponto associado a um valor (x ) específico se afasta do eixo (x ) e o gráfico parece ficar mais estreito. Mas se (| a | <1 ) houver uma compressão vertical porque o ponto associado a um determinado valor (x ) se desloca para mais perto do eixo (x ), e o gráfico parece se tornar mais largo.
  4. Se (k> 0 ), o gráfico muda para unidades (k ) para cima, enquanto se (k <0 ), o gráfico muda para unidades (k ) para baixo.

Concluindo, fica claro que o vértice está localizado no ponto ((h, k) ). Portanto, se a equação estiver na forma padrão, é muito fácil determinar a localização do vértice.

A localização do vértice se a equação estiver na forma geral pode ser determinada usando o fato de que essas duas formas de uma equação quadrática descrevem a mesma função. Portanto, uma fórmula para (h ) pode ser encontrada expandindo a forma padrão e configurando-a igual à forma geral.

[ begin {align *} a (x − h) ^ 2 + k & = ax ^ 2 + bx + c [4pt] ax ^ 2−2ahx + (ah ^ 2 + k) & = ax ^ 2 + bx + c end {align *} ]

Para que os termos lineares sejam iguais, os coeficientes devem ser iguais.

[- 2ah = b text {, então} h = - dfrac {b} {2a}. enhum número]

Esta é a coordenada (x ) do vértice. Para descobrir qual é a coordenada (y ) - correspondente do vértice, avalie a função quando (x = h ). Em outras palavras, (f (h) = k ).

As características do gráfico de uma função quadrática dependem dos valores dos parâmetros (a ), (b ), (c ) ou (a ), (h ), (k ) usados ​​em sua equação. Um resumo de como as características da parábola para uma função quadrática podem ser obtidas está resumido abaixo.

HowTo: Encontrar características de uma parábola dada uma equação quadrática

  • Orientação
    • (a> 0 ), a parábola abre pra cima ( stackrel {+ : : : +} { bigcup} )
    • (a <0 ), a parábola abre baixa ( stackrel {- : : : -} { bigcap} )
  • O vértice está localizado em ((h, k) ).
    • Se a função estiver na forma geral, calcule (h ) e (k ): (h = dfrac {-b} {2a}, qquad k = f (h) = f ( dfrac {- b} {2a}). )
  • O eixo de simetria, (x = h ) é o ( underline { textrm {equação}} ) da linha vertical que passa pelo vértice.
  • O valor máximo ou mínimo depende da coordenada (y ), (k ), do vértice e da orientação da parábola
    • Se a parábola abrir, ( (a> 0 )), o vértice é o ponto mais baixo do gráfico, então o gráfico tem um mínimo valor (k ).
    • Se a parábola abrir para baixo, ( (a <0 )), o vértice é o ponto mais alto do gráfico, então o gráfico tem um máximo valor (k )
  • O domínio é sempre ( mathbb {R} ) ou ((- infty, infty) ).
    O alcance depende da coordenada (y ), (k ), do vértice e da orientação da parábola
    • Se a parábola abrir, ( (a> 0 )), o vértice é o ponto mais baixo no gráfico, então o alcance da função é ([k, infty) ).
    • Se a parábola abrir para baixo, ( (a <0 )), o vértice é o ponto mais alto do gráfico, então o alcance da função é ((- infty, k] ).
  • Intercepta são os pontos onde a parábola cruza os eixos.
    • As interceptações (x ) - são os pontos ((s, 0) ), onde (s ) é uma solução real para (f (x) = 0 )
    • A interceptação (y ) - é o ponto ((0, f (0)) ).

Orientação

Quando o termo quadrático é positivo, a parábola se abre para cima, e quando o termo quadrático é negativo, a parábola se abre para baixo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontre a orientação de uma parábola

Determine se cada parábola abre para cima ou para baixo:

uma. (f (x) = - 3 x ^ {2} +2 x-4 )

uma. Solução:

Encontre o valor de (a ).

( quad ) Como (a ) é negativo, a parábola se abrirá para baixo.

b. (f (x) = 6 (x + 1) ^ {2} -11 )

b. Solução:

Encontre o valor de (a ).

(f (x) = a (x - h) ^ 2 + k )
(f (x) = 6 (x + 1) ^ 2-11 )

(a = 6 )

( quad ) Visto que (a ) é positivo, a parábola se abrirá para cima.

Experimente ( PageIndex {2} )

Determine se o gráfico de cada função é uma parábola que se abre para cima ou para baixo:

  1. (f (x) = 2 x ^ {2} +5 x-2 )
  2. (f (x) = - 3 (x-4) ^ {2} +7 )
Responder
  1. up ( qquad ) b. baixa
  1. (f (x) = - 2 x ^ {2} -2 x-3 )
  2. (f (x) = 5 (x + 1) ^ {2} +4 )
Responder
  1. para baixo ( qquad ) d. pra cima

Vértice e eixo de simetria

Quando dado um quadrático na forma padrão (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ), o vértice e o eixo de simetria são facilmente encontrados uma vez que os parâmetros (h ) e (k ) tem sido identificado. (Observe o sinal em (h ) !!) O vértice é ((h, k) ) e o eixo de simetria é a linha vertical (x = h ).

Quando dado um quadrático na forma geral: (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), mais computação é necessária. Depois de identificar os parâmetros (a ) e (b ), calcule (h = - dfrac {b} {2a} ), e então avalie a função para aquele valor de (x ) para encontrar o correspondente (y ) coordenada para esse ponto no gráfico: (k = f (h) ). O eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice, então sua equação é (x = h ).

Exemplo ( PageIndex {3a} ): Encontre o vértice da forma geral da equação quadrática

Para o gráfico de (f (x) = 3x ^ {2} -6 x + 2 ) encontre:

  1. o eixo de simetria
  2. o vértice

Solução:

( begin {array} {llc}
text {a.} & text {Identifique os parâmetros da equação} & a = 3, b = -6, c = 2
& text {O eixo de simetria é a linha vertical} x = - frac {b} {2 a} &
& text {Substitua os valores} a text {e} b text {na fórmula} & x = - frac {-6} {2 cdot 3}
& text {Simplifique.} & x = 1
&& text {O eixo de simetria é a linha} x = 1
end {array} )

( begin {array} {llc}
text {b.} & text {O vértice é um ponto na linha de simetria, então} & text {A coordenada} x text {do vértice é} x = 1
& text {A coordenada} y text {será} f (1) & f (1) = 3 ({ color {red} {1}}) ^ 2-6 ({ color {red} {1 }}) + 2
& text {Simplifique} & f (1) = 3-6 + 2
& text {O resultado é a} y text {coordenada do vértice.} & f (1) = - 1
&& text {O vértice é} (1, -1)
end {array} )

Exemplo ( PageIndex {3b} ): Encontre o vértice da forma padrão da equação quadrática

Para o gráfico de (f (x) = 6 (x-3) ^ {2} +4 ) encontre:

  1. o eixo de simetria
  2. o vértice

Solução:

( begin {array} {lll}
text {a.} & text {Identifique os parâmetros da equação} & a = 6, h = 3, k = 4
& text {O eixo de simetria é a linha vertical} x = h &
& text {Substituir.} & text {O eixo de simetria é a linha} x = 3
\
text {b.} & text {Use os parâmetros da equação} & a = 6, h = 3, k = 4
& text {O vértice é o ponto} (h, k) & text {O vértice é o ponto} (3,4)
end {array} )

Experimente ( PageIndex {3} )

Para as seguintes funções quadráticas, encontre a. o eixo de simetria e b. o vértice

(f (x) = 2x ^ {2} -8 x + 1 )

Responder
  1. (x = 2 ) ( qquad ) b. ((2, -7) )

(f (x) = 2 (x-1) ^ {2} -5 )

Responder
  1. (x = 1 ) ( qquad ) b. ((1, -5) )

Valor mínimo ou máximo de uma função quadrática

Sabendo que o vértice de uma parábola é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola nos dá uma maneira fácil de determinar o valor mínimo ou máximo de uma função quadrática.

O (y ) - coordenada do vértice do gráfico de uma função quadrática é

  • o mínimo valor da equação quadrática se a parábola abrir para cima.
  • o máximo valor da equação quadrática se a parábola abrir para baixo.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Encontre o valor mínimo ou máximo da função quadrática (f (x) = x ^ {2} +2 x-8 ).

Solução:

( begin {array} {llc}
text {Identifique os parâmetros da equação} & a = 1, b = 2, c = -8
text {Como} a text {é positivo, a parábola abre para cima. } & text {A equação quadrática tem um mínimo.}
text {Indique a fórmula do eixo de simetria} & x = - frac {b} {2 a}
text {Substituir.} & x = - frac {2} {2 cdot 1}
text {Simplifique.} & x = -1 qquad qquad text {O eixo de simetria é a linha} x = -1
& qquad qquad qquad quad text {A} x text {coordenada do vértice é} x = -1
text {A coordenada} y text {será} f (-1) & f (-1) = ({ color {red} {- 1}}) ^ 2-2 ({ color {red} { -1}}) - 8
text {Simplifique} & f (-1) = 1-2-8
text {O resultado é a} y text {coordenada do vértice.} & f (-1) = - 9 qquad text {O vértice é} (-1, -9)
end {array} )

Como a parábola tem um mínimo, a coordenada (y ) do vértice é o valor mínimo (y ) da equação quadrática. O valor mínimo do quadrático é (- 9 ) e ocorre quando (x = -1 ).

Experimente ( PageIndex {4} )

Encontre o valor máximo ou mínimo da função quadrática

  1. (f (x) = x ^ {2} -8 x + 12 ).
  2. (f (x) = - 4 (x-2) ^ {2} +5 ).
Respostas

uma. O valor mínimo da função quadrática é (- 4 ) e ocorre quando (x = 4 ).

b. O valor máximo da função quadrática é (5 ) e ocorre quando (x = 2 ).

Domínio e alcance

Qualquer número pode ser o valor de entrada ( (x )) para uma função quadrática. Portanto, o domínio de qualquer função quadrática são todos os números reais. Como as parábolas têm um ponto máximo ou mínimo, o alcance é restrito. Uma vez que o vértice de uma parábola será um máximo ou um mínimo, o intervalo consistirá em todos os (y ) - valores maiores ou iguais à (y ) - coordenada no ponto de viragem ou menor ou igual para a coordenada (y ) - no ponto de viragem, dependendo se a parábola abre para cima ou para baixo.

Dada uma função quadrática, encontre o domínio e o intervalo.

  1. O domínio de qualquer função quadrática é sempre ( mathbb {R} ) ou ((- infty, infty) ).
  2. Determine o valor máximo ou mínimo da parábola, (k )
    1. Se a função está na forma (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ), então o valor de (k ) é prontamente visível como um dos parâmetros.
    2. Se a função estiver na forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), o vértice deve ser determinado e o valor para (k ) é a coordenada (y ) do vértice.
  3. Determine se (a ) é positivo ou negativo.
    1. Se (a ) for positivo, a parábola tem um valor mínimo de (k ) e o alcance da função é ([k, infty) ).
    2. Se (a ) for negativo, a parábola tem um valor máximo de (k ) e o alcance da função é ((- infty, k] ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontre o domínio e intervalo de uma função quadrática

Encontre o domínio e o intervalo de (f (x) = - 5x ^ 2 + 9x − 1 ).

Solução

Como acontece com qualquer função quadrática, o domínio são todos os números reais.

Como (a ) é negativo, a parábola abre para baixo e tem um valor máximo.
O valor máximo deve ser determinado. Comece encontrando o valor (x ) do vértice.

(h = - dfrac {b} {2a} = - dfrac {9} {2 (-5)} = dfrac {9} {10} )

O valor máximo é dado por (f (h) ).

(f ( frac {9} {10}) = - 5 ( frac {9} {10}) ^ 2 + 9 ( frac {9} {10}) - 1 = frac {61} {20 } )

O intervalo é (f (x) { leq} frac {61} {20} ), ou ( left (- infty, frac {61} {20} right] ).

Experimente ( PageIndex {5} )

Encontre o domínio e o intervalo de (f (x) = 2 Big (x− frac {4} {7} Big) ^ 2 + frac {8} {11} ).

Responder

O domínio são todos números reais. O intervalo é (f (x) { geq} frac {8} {11} ), ou ( left [ frac {8} {11}, infty right) ).

Intercepta

A interceptação (y ) - é o ponto onde o gráfico cruza o eixo (y ). Todos os pontos no eixo (y ) têm uma coordenada (x ) igual a zero, então a interceptação (y ) de uma quadrática é encontrada avaliando a função (f (0) ).

As interceptações (x ) - são os pontos onde o gráfico cruza o eixo (x ). Todos os pontos no eixo (x ) têm uma coordenada (y ) de zero, portanto, a interceptação (x ) de uma quadrática pode ser encontrada resolvendo a equação (f (x) = 0 ) Observe na Figura ( PageIndex {6} ) que o número de (x ) - interceptações pode variar dependendo da localização do gráfico.

Dada uma função quadrática (f (x) ), encontre as interceptações (y ) - e (x ) -.

  1. Avalie (f (0) ) para encontrar a interceptação (y ).
  2. Resolva a equação quadrática (f (x) = 0 ) para encontrar as interceptações (x ).

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando as interceptações (y ) - e (x ) - de uma forma geral quadrática

Encontre as interceptações (y ) - e (x ) - da quadrática (f (x) = 3x ^ 2 + 5x − 2 ).

Solução

Encontre a interceptação (y ) - avaliando (f (0) ).

(f (0) = 3 (0) ^ 2 + 5 (0) −2 = −2 )

Portanto, a interceptação (y ) - está em ((0, −2) ).

Para as interceptações (x ) -, encontre todas as soluções de (f (x) = 0 ).

(0 = 3x ^ 2 + 5x − 2 )

Nesse caso, o quadrático pode ser fatorado facilmente, fornecendo o método mais simples de solução. Normalmente, os quadráticos na forma geral, como este exemplo, são geralmente resolvidos usando a fatoração, ou, na sua falta, usando a fórmula quadrática ou complete o quadrado.

(0 = (3x − 1) (x + 2) )

[ begin {align *} 0 & = 3x − 1 & 0 & = x + 2 x & = frac {1} {3} & text {ou} ; ; ; ; ; ; ; ; x & = - 2 end {align *} ]

Portanto, as interceptações (x ) - estão em (( frac {1} {3}, 0) ) e ((- 2,0) ).

Exemplo ( PageIndex {7} ):

Encontre as interceptações (y ) - e (x ) - da quadrática (f (x) = x ^ 2 + x + 2 ).

Solução

Encontre a interceptação (y ) - avaliando (f (0) ).

(f (0) = (0) ^ 2 + (0) +2 = 2 )

Portanto, a interceptação (y ) - está em ((0, −2) ).

Para as interceptações (x ) -, encontre todas as soluções de (f (x) = 0 ) ou (x ^ 2 + x + 2 = 0 ). Obviamente, isso não leva em consideração, portanto, use a fórmula quadrática.

A fórmula quadrática: (x = frac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ) e para esta equação, (a = 1 ), (b = 1 ) e (c = 2 ). Substituir esses valores na fórmula produz

[ begin {align *} x & = dfrac {−1 { pm} sqrt {1 ^ 2−4⋅1⋅ (2)}} {2⋅1} & = dfrac {−1 { pm} sqrt {1−8}} {2} & = dfrac {−1 { pm} sqrt {−7}} {2} qquad = dfrac {−1 { pm} i sqrt {7}} {2} nonumber end {align *} ]

Como as soluções são imaginárias, não há interceptações (x ).

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontre as interceptações (y ) - e (x ) - de um formulário quadrático padrão

Encontre as interceptações (y ) - e (x ) - da quadrática (f (x) = - 2 (x + 3) ^ 2 + 5 ).

Solução

Encontre a interceptação (y ) - avaliando (f (0) ). Observe que a quantidade entre parênteses ( ((0 + 3) = (3) )) é avaliada PRIMEIRO !!!

( begin {align *}
f (0) & = - 2 (0 + 3) ^ 2 + 5
&=-2(3)^2+5\
&=-2(9)+5\
&=-18+5 = -13\
end {align *} )

Portanto, a interceptação (y ) - está em ((0, −13) ).

Para as interceptações (x ) -, encontre todas as soluções de (f (x) = 0 ). A resolução de uma equação quadrática fornecida na forma padrão, como neste exemplo, é realizada de forma mais eficiente usando a propriedade de raiz quadrada

( begin {array} {c}
0 = -2 (x + 3) ^ 2 + 5
2 (x + 3) ^ 2 = 5
(x + 3) ^ 2 = dfrac {5} {2}
x + 3 = pm sqrt { dfrac {5} {2}}
x = -3 pm sqrt { tfrac {5} {2}}
end {array} )

Assim, as interceptações (x ) - estão em ((-3+ sqrt {2,5}, 0) ) e ((-3- sqrt {2,5}, 0) ).

Experimente ( PageIndex {8} )

Encontre as interceptações (y ) - e (x ) - para a função (g (x) = 13 + x ^ 2−6x ).

Responder

(y ) - intercepta em ((0, 13) ), Não (x ) - intercepta

Represente graficamente uma função quadrática

As seções anteriores detalhavam as peças necessárias para representar graficamente uma função quadrática. Um resumo dessas etapas e exemplos aparecem abaixo.

Represente graficamente uma função quadrática na forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c )

  1. Determine se a parábola abre para cima ((a> 0) ) ou para baixo ((a <0) ).
  2. Encontre a equação do eixo de simetria, (x = h ) onde (h = - tfrac {b} {2a} ).
  3. Encontre o vértice, ((h, k) ), onde (k = f (h) ).
  4. Encontre a interceptação (y ) -, (f (0) ). Encontre o ponto simétrico à interceptação (y ) no eixo de simetria.
  5. Encontre as interceptações (x ). (Defina (f (x) = 0 ) e resolva para x usando fatoração, QF ou CTS). Encontre pontos adicionais, se necessário.
  6. Represente graficamente a parábola.

Exemplo ( PageIndex {9} ) Como representar graficamente uma função quadrática de forma geral usando propriedades

Gráfico (f (x) = x ^ {2} -6x + 8 ) usando suas propriedades.

Solução:

Passo 1: Determine se a parábola abre para cima ou para baixo.

Veja (a ) na equação (f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

Como (a ) é positivo, a parábola se abre.

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )
( color {red} {a = 1, ; b = -6, ; c = 8} )

A parábola se abre para cima.

Passo 2: Encontre o eixo de simetria.

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

O eixo de simetria é a linha (x = - frac {b} {2 a} ).

Eixo de simetria

(x = - frac {b} {2 a} )

(x = - frac {(- 6)} {2 cdot 1} )

(x = 3 )

O eixo de simetria é a linha (x = 3 ).

etapa 3: Encontre o vértice.

O vértice está no eixo de simetria. Substitua (x = 3 ) na função.

Vértice

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )
(f (3) = ( color {red} {3} color {black} {)} ^ {2} -6 ( color {red} {3} color {black} {)} + 8 )
(f (3) = - 1 )

O vértice é ((3, -1) ).

Passo 4: Encontre a interceptação (y ). Encontre o ponto simétrico à interceptação (y ) no eixo de simetria.

Encontre (f (0) ).

Use o eixo de simetria para encontrar um ponto simétrico à interceptação (y ). A interceptação (y ) - é (3 ) unidades à esquerda do eixo de simetria, (x = 3 ). Um ponto (3 ) unidades à direita do eixo de simetria tem (x = 6 ).

(y ) - interceptar

(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )
(f (0) = ( color {red} {0} color {black} {)} ^ {2} -6 ( color {red} {0} color {black} {)} + 8 )
(f (0) = 8 )

A interceptação (y ) - é ((0,8) ).

Ponto simétrico a (y ) - interceptar:

O ponto é ((6,8) ).

Etapa 5: Encontre as interceptações (x ). Encontre pontos adicionais, se necessário.

Resolva (f (x) = 0 ).

Resolva esta equação quadrática por fatoração.

(x ) - intercepta

(f (x) = x ^ {2} -6 x + 8 )
( color {red} {0} color {black} {=} x ^ {2} -6x + 8 )
( color {red} {0} color {black} {=} (x-2) (x-4) )
(x = 2 ) ou (x = 4 )

As interceptações (x ) - são ((2,0) ) e ((4,0) ).

Etapa 6: Represente graficamente a parábola.

Representamos graficamente o vértice, as interceptações e o ponto simétrico à interceptação (y ). Conectamos esses (5 ) pontos para esboçar a parábola.

Experimente ( PageIndex {9} )

Represente graficamente as seguintes funções quadráticas usando suas propriedades.

uma. (f (x) = x ^ {2} + 2x-8 )

uma. Responder
abre, vértice: ((- 1, -9) ), eixo: (x = -1 ),
intercepta: ((0, -8), (-4,0), (2, 0) ), sim. pt: ((- 2, -8) )

b. (f (x) = x ^ {2} -8x + 12 )

b. Responder
abre, vértice: ((4, -4) ), eixo: (x = 4 ),
intercepta: ((0, 12), (2, 0), (6, 0) ), sim.pt: ((8,12) )

Represente graficamente uma função quadrática na forma (f (x) = a (x-h) ^ 2 + k )

  1. Determine se a parábola abre para cima ((a> 0) ) ou para baixo ((a <0) ).
  2. Encontre a equação do eixo de simetria, (x = h ).
  3. Encontre o vértice, ((h, k) ).
  4. Encontre a interceptação (y ) -, ((f (0) ). Encontre o ponto simétrico à interceptação (y ) - através do eixo de simetria.
  5. Encontre as interceptações (x ). (Use a propriedade da raiz quadrada para resolver (a (x-h) ^ 2 + h = 0 ). Encontre pontos adicionais, se necessário.
  6. Represente graficamente a parábola.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Como representar graficamente uma forma quadrática de vértice usando propriedades

Represente graficamente a função (f (x) = 2 (x + 1) ^ {2} +3 ) usando suas propriedades

Solução:

Passo 1: Determine se a parábola abre para cima ou para baixo.

Identifique as constantes (a, h, k ).
Como (a = 2 ), a parábola se abre para cima.

(a = 2, ; h = -1, ; k = 3 )
A parábola se abre para cima.

Passo 2: Encontre o eixo de simetria.

O eixo de simetria é (x = h ).

O eixo de simetria é a linha (x = -1 ).

etapa 3: Encontre o vértice.

O vértice é ((h, k) ).

O vértice é ((- 1,3) ).

Passo 4: Encontre a interceptação (y ). Encontre o ponto simétrico à interceptação (y ) no eixo de simetria.

Encontre a interceptação (y ) - encontrando (f (0) ).
A interceptação (y ) - é (1 ) unidades à direita do eixo de simetria, (x = -1 ). Um ponto (1 ) unidades à esquerda do eixo de simetria tem (x = -2 ).

(f (0) = 2 (0 + 1) ^ 2 + 3 = 2 (1) + 3 = 5 )
A interceptação (y ) - é ((0,5) ).

Ponto simétrico a (y ) - a interceptação é ((-2,5) )

Etapa 5: Encontre as interceptações (x ). Encontre pontos adicionais, se necessário.

Resolva (f (x) = 0 ).
Use a propriedade de raiz quadrada.

Esta equação tem soluções imaginárias, então não há (x ) - intercepta

( begin {array} {c}
2 (x + 1) ^ {2} + 3 = 0
2 (x + 1) ^ {2} = - 3
(x + 1) ^ {2} = - 3/2
x + 1 = pm sqrt (-3/2)
x = -1 pm i sqrt (1,5)
end {array} )

Sem (x ) interceptações

Etapa 6: Represente graficamente a parábola.

Represente graficamente o vértice, as interceptações e o ponto simétrico à interceptação (y ). Conecte esses pontos para esboçar a parábola.

Mais dois pontos:
(f (1) = 2 (1 + 1) ^ 2 + 3 = 2 (2 ^ 2) + 3 = 11 )
Portanto, ((1, 11) ) está no gráfico.

Por simetria, o ponto ((-3, 11) ) também está no gráfico

Experimente ( PageIndex {10} )

Represente graficamente as seguintes funções usando propriedades

uma. (f (x) = 3 (x-1) ^ {2} +2 )

uma. Responder
abre, vértice: ((1,2) ), eixo: (x = 1 ),
intercepta: ((0, 5) ), sim. pt: ((2,5) )

b. (f (x) = - 2 (x-2) ^ {2} +1 )

b. Responder
abre para baixo, vértice: ((2,1) ), eixo: (x = 2 ),
intercepta: ((0, -7), ( aproximadamente 1,3,0), ( aproximadamente 2,7, 0) ), sim. pt: ((4, -7) )

Reescrever quadráticos no formato padrão

Como os exemplos acima ilustram, geralmente é mais fácil representar graficamente uma equação quadrática na forma padrão do que na forma geral. Isso é particularmente verdadeiro ao tentar encontrar (x ) - interceptações para equações que não são fatoradas facilmente. Existem duas abordagens diferentes para transformar uma equação na forma geral em uma equação na forma padrão (ou vértice). Um método usa as fórmulas para (h ) e (k ). O outro método usa Complete the Square. Ambos serão ilustrados a seguir.

Método de fórmula

Reescreva (y = ax ^ 2 + bx + c ) na forma de vértice - método de fórmula.

  1. Identifique as constantes (a ) e (b ).
  2. Substitua (a ) e (b ) na fórmula: (h = - frac {b} {2a} ).
  3. Substitua (x = h ) na forma geral da função quadrática para encontrar (k ).
  4. Reescreva a quadrática na forma padrão usando (h ) e (k ). A forma padrão da função é (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ).

Exemplo ( PageIndex {11} ): Método de fórmula para reescrever na forma padrão

Reescreva a função quadrática (f (x) = 2x ^ 2 + 4x − 4 ) na forma padrão.

Solução

Etapa 1. Os valores dos parâmetros na forma geral são (a = 2 ), (b = 4 ) e (c = -4 ).
O parâmetro (a ) é o mesmo em ambas as formas da função, portanto (a = 2 ).

Etapa 2. Resolva (h ).

[ begin {align *} h & = - dfrac {b} {2a} & = - dfrac {4} {2 (2)} = −1 end {align *} ]

Etapa 3. Use o valor encontrado para (h ) para encontrar (k ).

[ begin {align *} k & = f (h) = f (−1) & = 2 (−1) ^ 2 + 4 (−1) −4 = −6 end {align *} ]

Etapa 4. A forma padrão da função é:

[ begin {align *} f (x) & = a (x − h) ^ 2 + k f (x) & = 2 (x + 1) ^ 2−6 end {align *} ]

Experimente ( PageIndex {11} )

Encontre a forma padrão para a função (g (x) = 13 + x ^ 2−6x ).

Responder

(g (x) = (x-3) ^ 2 +4 )

Complete o método do quadrado

Outra maneira de transformar (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ) na forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) é completando o quadrado. Esta forma é conhecida como forma de vértice ou forma padrão. Essa abordagem também será usada quando os círculos são estudados.

Devemos ter o cuidado de somar e subtrair o número do MESMO lado da função para completar o quadrado. Não podemos somar o número a ambos os lados, como fizemos quando completamos o quadrado com as equações quadráticas.

Quando completamos o quadrado em uma função com um coeficiente de (x ^ {2} ) que não é um, temos que fatorar esse coeficiente a partir dos termos (x ). Não o fatoramos a partir do termo constante. Geralmente é útil mover o termo constante um pouco para a direita para facilitar o foco apenas nos termos (x ).

Depois de obter a constante que queremos completar o quadrado, devemos nos lembrar de multiplicá-la pelo coeficiente que fazia parte do termo (x ^ 2 ) antes de subtraí-lo.

Reescreva (y = ax ^ 2 + bx + c ) na forma de vértice - complete o método do quadrado.

  1. Separe os termos (x ) da constante.
  2. Se o coeficiente de (x ^ {2} ) não for 1, fatore-o a partir dos termos (x ^ 2 ) e (x ).
  3. Encontre a constante CTS necessária para completar o quadrado nos termos (x ^ 2 ) e (x ).
  4. Adicione a constante CTS aos termos (x ^ 2 ) e (x ) e subtraia a constante CTS (multiplicada pelo coeficiente de (x ^ {2} ) se não 1)
  5. Escreva o trinômio como um quadrado binomial e combine constantes fora do quadrado binomial para chegar à forma padrão da função.

Exemplo ( PageIndex {12} ): método CTS de reescrita na forma de vértice

Reescreva (f (x) = - 3x ^ {2} −6x − 1 ) na forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) completando o quadrado.

Solução:

Etapa 1. Separe os termos (x ) da constante.

(f (x) = - 3x ^ {2} −6x − 1 )
(f (x) = - 3x ^ {2} −6x qquad qquad − 1 )

Etapa 2. Fatore o coeficiente de (x ^ {2}, -3 ).

(f (x) = - 3 (x ^ {2} + 2x) qquad qquad − 1 )

Etapa 3. Prepare-se para completar o quadrado.

(f (x) = - 3 (x ^ {2} + 2x qquad qquad) −1 )

Pegue a metade de (2 ) e eleve ao quadrado para completar o quadrado (( frac {1} {2} cdot 2) ^ {2} = 1 )

(f (x) = - 3 (x ^ 2 + 2x + grande Box) −1 + 3 grande Box )

Etapa 4. A constante (1 ) completa o quadrado entre parênteses, mas os parênteses são multiplicados por (- 3 ). Então, estamos realmente adicionando (- 3 ). Devemos então adicionar (3 ) para não alterar o valor da função.

Etapa 5. Reescreva o trinômio como um quadrado e combine as constantes.

(f (x) = -3 (x + 1) ^ 2 + 2 )

A função está agora na forma (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k ).

Experimente ( PageIndex {12} )

Reescreva as seguintes funções na forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) completando o quadrado.

uma. (f (x) = - 4x ^ {2} −8x + 1 )

uma. Responder

(f (x) = - 4 (x + 1) ^ {2} +5 )

b. (f (x) = 2x ^ {2} −8x + 3 )

b. Responder

(f (x) = 2 (x-2) ^ {2} -5 )

Obtenha a equação de uma função quadrática a partir de um gráfico

Até agora, começamos com uma função e então encontramos seu gráfico.

Agora vamos reverter o processo. Começando com o gráfico, encontraremos a função.

HOWTO: Escreva uma função quadrática de uma forma geral

Dado um gráfico de uma função quadrática, escreva a equação da função de forma geral.

  1. Identifique o deslocamento horizontal da parábola; este valor é (h ). Identifique o deslocamento vertical da parábola; este valor é (k ).
  2. Substitua os valores do deslocamento horizontal e vertical por (h ) e (k ). na função (f (x) = a (x – h) ^ 2 + k ).
  3. Substitua os valores de qualquer ponto, diferente do vértice, no gráfico da parábola por (x ) e (f (x) ).
  4. Resolva para o fator de alongamento, (| a | ).
  5. Se a parábola abrir, (a> 0 ). Se a parábola abrir para baixo, (a <0 ), pois isso significa que o gráfico foi refletido sobre o eixo (x ).
  6. Expanda e simplifique para escrever de forma geral.

Exemplo ( PageIndex {13} ): Escrevendo a equação de uma função quadrática a partir do gráfico

Escreva uma equação para a função quadrática (g ) na Figura ( PageIndex {13} ) como uma transformação de (f (x) = x ^ 2 ) e, em seguida, expanda a fórmula e simplifique os termos para escreva a equação de forma geral.

Solução

Como é quadrático, começamos com a forma (g (x) = a (x − h) ^ {2} + k ). (Observe o sinal de menos na frente de (h )!) O vértice, ((h, k) ), é ((- 2, −3) ) então (h = −2 ) e (k = -3 ). Substituindo esses valores, obtemos (g (x) = a (x + 2) ^ 2–3 ).

Substituindo as coordenadas de um ponto na curva, como ((0, −1) ), podemos resolver o fator de alongamento.

[ begin {align *} −1 & = a (0 + 2) ^ 2−3 2 & = 4a a & = dfrac {1} {2} end {align *} ]

Na forma padrão, o modelo algébrico para este gráfico é (g (x) = dfrac {1} {2} (x + 2) ^ 2–3 ).

Para escrever isso na forma polinomial geral, podemos expandir a fórmula e simplificar os termos.

[ begin {align *} g (x) & = dfrac {1} {2} (x + 2) ^ 2−3 & = dfrac {1} {2} (x + 2) (x +2) −3 & = dfrac {1} {2} (x ^ 2 + 4x + 4) −3 & = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x + 2−3 & = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x − 1 end {align *} ]

Observe que os deslocamentos horizontal e vertical do gráfico básico da função quadrática determinam a localização do vértice da parábola; o vértice não é afetado por alongamentos e compressões.

Exemplo ( PageIndex {14} )

Determine a função quadrática cujo gráfico é mostrado.

Solução:

Como é quadrático, começamos com a forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ).

O vértice, ((h, k) ), é ((- 2, −1) ) então (h = −2 ) e (k = −1 ).

(f (x) = a (x - (- 2)) ^ {2} -1 qquad longrightarrow qquad f (x) = a (x + 2) ^ {2} -1 )

Para encontrar (a ), usamos a interceptação (y ) -, (0,7) ).

Portanto, (f (0) = 7 ).

(7 = a (0 + 2) ^ {2} -1 )

Resolva para (a ).

( begin {array} {l} {7 = 4 a-1} {8 = 4 a} {2 = a} end {array} )

Escreva a função.

(f (x) = 2 (x + 2) ^ {2} -1 )

Experimente ( PageIndex {14} )

Escreva a função quadrática na forma (f (x) = a (x − h) ^ {2} + k ) cujo gráfico é mostrado.

uma.

uma. Responder

(f (x) = (x-3) ^ {2} -4 )

b.

b. Responder

(f (x) = (x + 3) ^ {2} -1 )

Experimente ( PageIndex {15} )

Uma grade de coordenadas foi sobreposta ao caminho quadrático de uma bola de basquete na Figura ( PageIndex {15} ). Encontre uma equação para o caminho da bola. O atirador faz a cesta?

Figura ( PageIndex {15} ): Pare a imagem com movimento de um menino jogando uma bola de basquete em um aro para mostrar a curva parabólica que ela faz.
(crédito: modificação da obra por Dan Meyer)

Responder

O caminho passa pela origem e tem vértice em ((- 4, 7) ), então (h (x) = - frac {7} {16} (x + 4) ^ 2 + 7 ). Para fazer a tacada, (h (−7,5) ) precisaria ser cerca de 4, mas (h (-7,5) { aprox} 1,64 ); ele não consegue.

Equações-chave

  • forma geral de uma função quadrática: (f (x) = ax ^ 2 + bx + c )
  • a fórmula quadrática: (x = dfrac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )
  • forma padrão de uma função quadrática: (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k )

Conceitos chave

  • Uma função polinomial de grau dois é chamada de função quadrática.
  • O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma curva em forma de U que pode abrir para cima ou para baixo.
  • O eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice. Os zeros, ou (x ) - interceptos, são os pontos nos quais a parábola cruza o eixo (x ). A interceptação (y ) - é o ponto em que a parábola cruza o eixo (y ).
  • As funções quadráticas são freqüentemente escritas de forma geral. A forma padrão ou de vértice é útil para identificar facilmente o vértice de uma parábola. Qualquer uma das formas pode ser escrita a partir de um gráfico.
  • O vértice pode ser encontrado em uma equação que representa uma função quadrática. .
  • O domínio de uma função quadrática são todos os números reais. O intervalo varia com a função.
  • O valor mínimo ou máximo de uma função quadrática é dado pelo valor (y ) do vértice.
  • Algumas equações quadráticas devem ser resolvidas usando a fórmula quadrática.

Glossário

eixo de simetria
a vertical line drawn through the vertex of a parabola around which the parabola is symmetric; it is defined by (x=−frac{b}{2a}).

general form of a quadratic function
the function that describes a parabola, written in the form (f(x)=ax^2+bx+c), where (a,b,) and (c) are real numbers and a≠0.

standard form of a quadratic function
the function that describes a parabola, written in the form (f(x)=a(x−h)^2+k), where ((h, k)) is the vertex.

vertex
the point at which a parabola changes direction, corresponding to the minimum or maximum value of the quadratic function

vertex form of a quadratic function
another name for the standard form of a quadratic function

zeros
in a given function, the values of (x) at which (y=0), also called roots


3.1: Graphs of Quadratic Functions - Mathematics

So far, we have seen how to graph linear functions, i.e. functions whose graphs are straight lines. In this section, we will discuss a type of function that is in a sense the next step up. Straight lines are created by functions whose highest power of x is 1, and here we will discuss functions whose highest power of x is 2. These functions have graphs that are called parabolas.

In order to get the general form of the quadratic from either of the others, you need only multiply out and simplify, thus this form is also called the expanded form . To get the factored form, you must first have the function in general form, and then factor the expression. And to get the standard form you will want to use the technique of Completing the Square this too requires the general form as a starting point.

  • Direction : whether the parabola opens up or down.
  • The vertex of the parabola
  • The x -intercept(s) (there may be 0, 1, or 2 x -intercepts)
  • The y -intercept (there is always one)

These are the four fundamental items of information that we need to know about a parabola in order to sketch it.

There are two basics shapes for the graph of a quadratic function. In most cases you will be able to deduce the direction of the parabola, i.e. whether it opens up or opens down , by applying the following rule for a quadratic in general form:

A particularly important point in the graph of a quadratic is called the vertex . This point is either the maximum or the minimum point of the parabola. If the parabola opens down, the vertex is the maximum, if the parabola opens up, then the vertex is the minimum point. The coordinates of the vertex are most readily seen using the standard form of the quadratic.

For example, in the quadratic function we saw above, the standard form is so the vertex is at the point

Justification for the connection between the formula in standard form and the vertex comes from the graphing techniques we studied earlier. For the quadratic , the vertex is the origin, Subtracting h from x means we have a right horizontal shift by h units if h is positive, or a left horizontal shift by | h | units if h is negative. Adding k to the rest of the expression means we have a vertical shift up by k units if k is positive, or a vertical shift down by | k | units if k is negative. Thus, the new vertex is at ( h, k ) .

If you are given a quadratic function in general form, then to find the vertex you can either rewrite the expression in standard form or else use the following formula.

This formula is derived by rewriting in standard form.

In the example above, this gives a vertex with and y = = = . Thus, the vertex is again shown to be at

The most convenient form of the quadratic to use to find the x- intercepts is the factored form we then set each of the factors equal to 0. In our example above, since the factored form of the function is
the x- intercepts are x = 1 and Notice that the x value of the vertex is half way between these, as we would expect.

Not every quadratic function has 2 x- intercepts. There may be one or even no x- intercepts, as we see below.

y = x 2 + 6 x + 9
When is there only one x -intercept? This happens when the factored form of the quadratic is a perfect square. Try, for example to factor y = x 2 + 1
When are there no x -intercepts? This will happen when the quadratic is not factorizable via real numbers. That is, we would have to use complex numbers in order to factor it. Try, for example, to factor y = x 2 + 1 and see what happens!

Another option for finding the x -intercepts is the quadratic formula . We use it when the function is given in general form, in this case the x -coordinate of the x -intercepts are given by

Every quadratic has a (single) y -intercept. The reason for this is that the y -intercept is the function value at x = 0, and we can always substitute x = 0 into the quadratic. Thus, the y -intercept of the quadratic function For the other forms of the function, just substitute x = 0 to find the corresponding value of y .

    Look at this example of a geometric problem that leads to a quadratic function.


3.1: Graphs of Quadratic Functions - Mathematics

Graphing Quadratic Functions: The
Leading Coefficient / The Vertex
(page 2 of 4)

Sections: Introduction, The meaning of the leading coefficient / The vertex, Examples

The general form of a quadratic is " y = ax 2 + bx + c ". For graphing, the leading coefficient " uma " indicates how "fat" or how "skinny" the parabola will be.

For | uma | > 1 (such as uma = 3 or uma = &ndash4 ), the parabola will be "skinny", because it grows more quickly (three times as fast or four times as fast, respectively, in the case of our sample values
de uma ).

For | uma | < 1 (such as uma = 1 /3 ou uma = &ndash1 /4 ), the parabola will be "fat", because it grows more slowly (one-third as fast or one-fourth as fast, respectively, in the examples). Also, if uma is negative, then the parabola is upside-down.

You can see these trends when you look at how the curve y = ax 2 moves as " uma " changes:

As you can see, as the leading coefficient goes from very negative to slightly negative to zero (not really a quadratic) to slightly positive to very positive, the parabola goes from skinny upside-down to fat upside-down to a straight line (called a "degenerate" parabola) to a fat right-side-up to a skinny right-side-up. Copyright © Elizabeth Stapel 2002-2011 All Rights Reserved

There is a simple, if slightly "dumb", way to remember the difference between right-side-up parabolas and upside-down parabolas:

This can be useful information: If, for instance, you have an equation where uma is negative, but you're somehow coming up with plot points that make it look like the quadratic is right-side-up, then you will know that you need to go back and check your work, because something is wrong .

Parabolas always have a lowest point (or a highest point, if the parabola is upside-down). This point, where the parabola changes direction, is called the "vertex".

If the quadratic is written in the form y = uma(x &ndash h) 2 + k, then the vertex is the point (h, k) . This makes sense, if you think about it. The squared part is always positive (for a right-side-up parabola), unless it's zero. So you'll always have that fixed value k , and then you'll always be adding something to it to make y bigger, unless of course the squared part is zero. So the smallest y can possibly be is y = k , and this smallest value will happen when the squared part, x &ndash h , equals zero. And the squared part is zero when x &ndash h = 0 , or when x = h . The same reasoning works, with k being the largest value and the squared part always subtracting from it, for upside-down parabolas.

(Note: The " uma " in the vertex form " y = uma(x &ndash h) 2 + k " of the quadratic is the same as the " uma " in the common form of the quadratic equation, " y = ax 2 + bx + c ".)

Since the vertex is a useful point, and since you can "read off" the coordinates for the vertex from the vertex form of the quadratic, you can see where the vertex form of the quadratic can be helpful, especially if the vertex isn't one of your T-chart values. However, quadratics are not usually written in vertex form. You can complete the square to convert ax 2 + bx + c to vertex form, but, for finding the vertex, it's simpler to just use a formula . (The vertex formula is derived from the completing-the-square process, just as is the Quadratic Formula. In each case, memorization is probably simpler than completing the square.)

For a given quadratic y = ax 2 + bx + c , the vertex (h, k) is found by computing h = &ndashb /2uma , and then evaluating y at h to find k . If you've already learned the Quadratic Formula , you may find it easy to memorize the formula for k , since it is related to both the formula for h and the discriminant in the Quadratic Formula: k = (4ac &ndash b 2 ) / 4uma .

To find the vertex, I look at the coefficients uma , b , e c . The formula for the vertex gives me:

Then I can find k by evaluating y at h = &ndash1 /6 :

So now I know that the vertex is at ( &ndash1 /6 , &ndash25 /12 ) . Using the formula was helpful, because this point is not one that I was likely to get on my T-chart.

I need additional points for my graph:

Now I can do my graph, and I will label the vertex:

When you write down the vertex in your homework, write down the exact coordinates: " ( &ndash1 /6 , &ndash25 /12 ) ". But for graphing purposes, the decimal approximation of " (&ndash0.2, &ndash2.1) " may be more helpful, since it's easier to locate on the axes.

The only other consideration regarding the vertex is the "axis of symmetry". If you look at a parabola, you'll notice that you could draw a vertical line right up through the middle which would split the parabola into two mirrored halves. This vertical line, right through the vertex, is called the axis of symmetry. If you're asked for the axis, write down the line " x = h" , where h is just the x -coordinate of the vertex. So in the example above, then the axis would be the vertical line x = h = &ndash1 /6.

Helpful note: If your quadratic's x -intercepts happen to be nice neat numbers (so they're relatively easy to work with), a shortcut for finding the axis of symmetry is to note that this vertical line is always exactly between the two x -intercepts. So you can just average the two intercepts to get the location of the axis of symmetry and the x- coordinate of the vertex. However, if you have messy x -intercepts (as in the example above) or if the quadratic doesn't actually cross the x -axis (as you'll see on the next page), then you'll need to use the formula to find the vertex.


3.1: Graphs of Quadratic Functions - Mathematics

Graphing

There are a few pieces of information that you have to put together in order to create a graph of a quadratic function. Before anything, though, we need to learn the standard form of a quadratic and this is it:

For example, what are a,b, and c in the following expression?

Excelente! That’s the first step. Next little piece of info that you will need is that every time you graph a quadratic, it is going to look like a “u” shape, which is called a parabola. If your first number (your “a”) is positive then it will look like a smiley face parabola (opens up) and if “a” is negative, then your parabola will be a frowny face (opens down).

(x^2=) (-x^2=)

We are almost ready to graph. Two more pieces to go. The first one is something called the axis of symmetry. Symmetry means there is a line that exists that you can fold over to make the graph overlap itself. If you look at the two graphs above, can you see where that line might be? It’s right down the center at the y-axis on both graphs.

This line is going to help us graph. Here’s how you find it:

Axis of Symmetry (AOS) ► (x=frac<-b><2a>)

These are your same a and b as before. Let’s use our above example:

Our AOS is x = -1. We can show this on the graph by drawing a dotted line at x = -1. Your AOS (in this chapter) will always be a vertical line.

Almost done! We need one more thing. It’s called the vertex, which is the highest or lowest point depending on whether the parabola opens up or opens down.

To find the vertex, take the value (the “x”) that you found for the AOS and plug it into the equation to find the “y”.

So, your vertex is at the point (-1,-5). If you want to sketch the graph, you now have enough information. If we want it to be very accurate, we need a few more points. Pick some before and after the AOS and plug into your equation.

(x) (2x^2 + 4x - 3) (y)
-3 (2(-3)^2 + 4(-3) - 3) 3
-2 (2(-2)^2 + 4(-2) - 3) -3
-1 (2(-1)^2 + 4(-1) - 3) -5
0 (2(0)^2 + 4(0) - 3) -3
1 (2(1)^2 + 4(1) - 3) 3

Bellow you can download some free math worksheets and practice.


The effects of (a), (p) and (q) on a parabolic graph

On the same system of axes, plot the following graphs:

Use your sketches of the functions above to complete the following table:

On the same system of axes, plot the following graphs:

  1. (y_1 = x^2 + 2)
  2. (y_2 = (x - 2)^2 - 1)
  3. (y_3 = (x - 1)^2 + 1)
  4. (y_4 = (x + 1)^2 + 1)
  5. (y_5 = (x + 2)^2 - 1)

Use your sketches of the functions above to complete the following table:

Consider the three functions given below and answer the questions that follow:

What is the value of (a) for (y_2)?

Does (y_1) have a minimum or maximum turning point?

What are the coordinates of the turning point of (y_2)?

Compare the graphs of (y_1) and (y_2). Discuss the similarities and differences.

What is the value of (a) for (y_3)?

Will the graph of (y_3) be narrower or wider than the graph of (y_1)?

Determine the coordinates of the turning point of (y_3).

Compare the graphs of (y_1) and (y_3). Describe any differences.

The effect of the parameters on (y = a(x + p)^2 + q)

The effect of (p) is a horizontal shift because all points are moved the same distance in the same direction (the entire graph slides to the left or to the right).

For (p>0), the graph is shifted to the left by (p) units.

For (p<0), the graph is shifted to the right by (p) units.

The value of (p) also affects whether the turning point is to the left of the (y)-axis (left(p>0 ight)) or to the right of the (y)-axis (left(p<0 ight)). The axis of symmetry is the line (x = -p).

The effect of (q) is a vertical shift. The value of (q) affects whether the turning point of the graph is above the (x)-axis (left(q>0 ight)) or below the (x)-axis (left(q<0 ight)).

The value of (a) affects the shape of the graph. If (a<0), the graph is a “frown” and has a maximum turning point. If (a>0) then the graph is a “smile” and has a minimum turning point. When (a = 0), the graph is a horizontal line (y = q).


Graphical Solutions of Quadratic Equations

We can solve a quadratic equation by factoring, completing the square, using the quadratic formula or using the graphical method.

Compared to the other methods, the graphical method only gives an estimate to the solution(s).

If the graph of the quadratic function crosses the x-axis at two points then we have two solutions. If the graph touches the x-axis at one point then we have one solution. If the graph does not intersect with the x-axis then the equation has no real solution.

The following diagrams show the three types of solutions that a quadratic equation can have: two solutions, one solution and no real solution. Scroll down the page for more examples and solutions.

We also have a quadratic equations calculator that can solve quadratic equations algebraically and graphically.

How to solve quadratic equations graphically using x-intercepts

The following video explains how the quadratic graph can show the number of solutions for the quadratic equation and the values of the solutions.

Examples of how to use the graph of a quadratic function to solve a quadratic equation: Two solutions, one solution and no solution.

  1. Use the graph of y = x 2 + x - 6 to solve x 2 + x - 6 = 0
  2. Use the graph of y = -x 2 + 4 to solve -x 2 + 4 = 0
  3. Use the graph of y = x 2 -2x + 1 to solve x 2 -2x + 1
  4. Use the graph of y = x 2 + 1 to solve x 2 + 1

Quadratic Equation With Two Solutions

We will now graph a quadratic equation that has two solutions. The solutions are given by the two points where the graph intersects the x-axis.

Example:
Solve the equation x 2 + x – 3 = 0 by drawing its graph for –3 ≤ x ≤ 2.

Solution:
Rewrite the quadratic equation x 2 + x – 3 = 0 as the quadratic function y = x 2 + x – 3

Draw the graph for y = x 2 + x – 3 for –3 ≤ x ≤ 2.

x &ndash3 &ndash2 &ndash1 0 1 2
y 3 &ndash1 &ndash3 &ndash3 &ndash1 3

The solution for the equation x 2 + x – 3 can be obtained by looking at the points where the graph y = x 2 + x – 3 cuts the x-axis (i.e. y = 0).

The graph y = x 2 + x – 3, cuts the x-axis at x 1.3 and x –2.3

So, the solution for the equation x + x –3 is x 1.3 or x –2.3.

Recall that in the quadratic formula, the discriminant b 2 – 4ac is positive when there are two distinct real solutions (or roots).

How to solve quadratic equation by graphing?

It uses the vertex formula to get the vertex which also gives an idea of what values to choose to plot the points. This is an example where the coefficient of x 2 is positive.

Example:
Solve the following quadratic equation by graphing
x 2 - 4x + 3 = 0

Find the roots of a quadratic equation by graphing

This video shows an example of solving quadratic equation by graphing. It uses the vertex formula to get the vertex which also gives an idea of what values to choose to plot the points. This is an example where the coefficient of x 2 is negative.

Example:
Solve the following quadratic equation by graphing
-2x 2 + 4x + 4 = 0

Quadratic Equation With One Solution Example: By plotting the graph, solve the equation 6x – 9 – x 2 = 0. x 0 1 2 3 4 5 6 y &ndash9 &ndash4 &ndash1 0 &ndash1 &ndash4 &ndash9 Notice that the graph does not cross the x-axis, but touches the x-axis at x = 3. This means that the equation 6x – 9 – x 2 = 0 has one solution (or equal roots) of x = 3. Recall that in the quadratic formula, in such a case where the roots are equal, the discriminant b 2 – 4ac = 0. Quadratic Equation With No Real Solution

Example:
Solve the equation x 2 + 4x + 8 = 0 using the graphical method.

x &ndash4 &ndash3 &ndash2 &ndash1 0 1
y 8 5 4 5 8 13

Notice that the graph does not cross or touch the x-axis. This means that the equation x 2 + 4x + 8 = 0 does not have any real solution (or roots).

Recall that in the quadratic formula, the discriminant b 2 – 4ac, is negative when there are no real solution (or roots).

Solving Quadratic Equations by Graphing Part 1

This video demonstrates how to solve quadratic equations by graphing.

  1. Solve one side of the equation for zero.
  2. Change the zero to y or f(x).
  3. Graph the function.
  4. Read the solutions where the function crosses or touches the x-axis.

Roots, x-intercepts, and zeros are given as synonyms for solutions. Finding roots from a table of values is also demonstrated.

Solving Quadratic Equations by Graphing Part 2

This video shows how to solve quadratic equations using the TI84 and TI83 series of graphing calculators.

Five problems are worked out. The different steps are shown including converting quadratic equations into calculator ready graphable quadratic functions.

The video shows how to examine in graph and table view what the solutions are. The case of having no solutions is shown as well as that of having only one solution.

Quadratic Equation Calculator

This Quadratic Equation calculator will solve the given quadratic equation algebraically and graphically. Use it to check your answers.

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Quadratic equations

When a product of two or more terms equals zero, then at least one of the terms must be zero.

We shall now solve each term = 0 separately

In other words, we are going to solve as many equations as there are terms in the product

Any solution of term = 0 solves product = 0 as well.

Solving a Single Variable Equation :

Add 1 to both sides of the equation :
x = 1

Parabola, Finding the Vertex :

2.3 Find the Vertex of y = x 2 +x+1

Parabolas have a highest or a lowest point called the Vertex . Our parabola opens up and accordingly has a lowest point (AKA absolute minimum) . We know this even before plotting "y" because the coefficient of the first term, 1 , is positive (greater than zero).

Each parabola has a vertical line of symmetry that passes through its vertex. Because of this symmetry, the line of symmetry would, for example, pass through the midpoint of the two x -intercepts (roots or solutions) of the parabola. That is, if the parabola has indeed two real solutions.

Parabolas can model many real life situations, such as the height above ground, of an object thrown upward, after some period of time. The vertex of the parabola can provide us with information, such as the maximum height that object, thrown upwards, can reach. For this reason we want to be able to find the coordinates of the vertex.

For any parabola, Ax 2 +Bx+C, the x -coordinate of the vertex is given by -B/(2A) . In our case the x coordinate is -0.5000

Plugging into the parabola formula -0.5000 for x we can calculate the y -coordinate :
y = 1.0 * -0.50 * -0.50 + 1.0 * -0.50 + 1.0
or y = 0.750

Parabola, Graphing Vertex and X-Intercepts :

Root plot for : y = x 2 +x+1
Axis of Symmetry (dashed) = <-0.50>
Vertex at = <-0.50, 0.75>
Function has no real roots

Solve Quadratic Equation by Completing The Square

2.4 Solving x 2 +x+1 = 0 by Completing The Square .

Subtract 1 from both side of the equation :
x 2 +x = -1

Now the clever bit: Take the coefficient of x , which is 1 , divide by two, giving 1/2 , and finally square it giving 1/4

Add 1/4 to both sides of the equation :
On the right hand side we have :
-1 + 1/4 or, (-1/1)+(1/4)
The common denominator of the two fractions is 4 Adding (-4/4)+(1/4) gives -3/4
So adding to both sides we finally get :
x 2 +x+(1/4) = -3/4

Adding 1/4 has completed the left hand side into a perfect square :
x 2 +x+(1/4) =
(x+(1/2)) • (x+(1/2)) =
(x+(1/2)) 2
Things which are equal to the same thing are also equal to one another. Since
x 2 +x+(1/4) = -3/4 and
x 2 +x+(1/4) = (x+(1/2)) 2
then, according to the law of transitivity,
(x+(1/2)) 2 = -3/4

We'll refer to this Equation as Eq. #2.4.1

The Square Root Principle says that When two things are equal, their square roots are equal.

Note that the square root of
(x+(1/2)) 2 is
(x+(1/2)) 2/2 =
(x+(1/2)) 1 =
x+(1/2)

Now, applying the Square Root Principle to Eq. #2.4.1 we get:
x+(1/2) = √ -3/4

Subtract 1/2 from both sides to obtain:
x = -1/2 + √ -3/4
In Math, i is called the imaginary unit. It satisfies i 2 =-1. Both i and -i are the square roots of -1

Since a square root has two values, one positive and the other negative
x 2 + x + 1 = 0
has two solutions:
x = -1/2 + √ 3/4 • i
ou
x = -1/2 - √ 3/4 • i

Note that √ 3/4 can be written as
√ 3 / √ 4 which is √ 3 / 2

Solve Quadratic Equation using the Quadratic Formula

2.5 Solving x 2 +x+1 = 0 by the Quadratic Formula .

According to the Quadratic Formula, x , the solution for Ax 2 +Bx+C = 0 , where A, B and C are numbers, often called coefficients, is given by :

- B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

In our case, A = 1
B = 1
C = 1

Accordingly, B 2 - 4AC =
1 - 4 =
-3

Applying the quadratic formula :

In the set of real numbers, negative numbers do not have square roots. A new set of numbers, called complex, was invented so that negative numbers would have a square root. These numbers are written (a+b*i)

Both i and -i are the square roots of minus 1

Accordingly, √ -3 =
√ 3 • (-1) =
√ 3 • √ -1 =
± √ 3 • i

√ 3 , rounded to 4 decimal digits, is 1.7321
So now we are looking at:
x = ( -1 ± 1.732 i ) / 2


Use graphing to solve quadratic equations

You know by now how to solve a quadratic equation using factoring. Another way of solving a quadratic equation is to solve it graphically. The roots of a quadratic equation are the x-intercepts of the graph.

Graph the equation. This could either be done by making a table of values as we have done in previous sections or by computer or a graphing calculator.


The parabola cross the x-axis at x = -2 and x = 5. These are the roots of the quadratic equation.

We can compare this solution to the one we would get if we were to solve the quadratic equation by factoring as we've done earlier.

$left ( x+2 ight )left ( x-5 ight )=0$

  • A quadratic equation has two roots if its graph has two x-intercepts
  • A quadratic equation has one root it its graph has one x-intercept
  • A quadratic equation has no real solutions if its graph has no x-intercepts.

Here you can get a visual of your quadratic function


3.1 - Quadratic Functions

The old standard form for a parabola was written like any other polynomial, f(x) = ax 2 + bx + c, a &ne 0.

We're going to complete the square and place it into a form where the translations are easily interpreted. This time, instead of dividing through by a, let's factor an a out of the x-terms instead.

Go ahead and take half of the x-coefficient and put it on the next line.

One thing to be careful of here. When you add the b 2 /(4a 2 ), you are really multiplying it by the a that you factored out, so it is really just a b 2 /(4a). This time, instead of adding it to both sides of the equation, add it and subtract it on the same side of the equation.

f(x) = a [ x 2 + (b/a) x + b 2 /(4a 2 ) ] + c - b 2 /(4a)

f(x) = a [ x + (b/2a) ] 2 + (4ac - b 2 )/(4a)

With a couple of substitutions, this can be written in the new standard form.

where h = -b/(2a) and k = (4ac - b 2 ) / (4a)

Do not worry about what k is, but you might want to memorize the value for h.

The x-coordinate of the vertex is -b/(2a). The y-coordinate is what you get when you plug -b/(2a) back into the original function for x.

There are three translations involved here.

  • The y-coordinates have been multiplied by uma. This is the same uma that was in the original problem. If a>0, then the parabola opens up and the vertex is at the bottom. If a<0, then the parabola opens down and the vertex is at the top.
  • There has been a horizontal shift. Instead of the x-coordinate of the vertex being at x=0, it is now at x=h, where h=-b/(2a). Since the axis of symmetry passes through the vertex, that means that the axis of symmetry is now x=-b/(2a).
  • There has been a vertical shift. The y-coordinate of the vertex is now at y=k. It is not worth your time to memorize the formula for the vertical shift. It isn't that hard, it is -a times the discriminant of the quadratic, but it is easier to find the x-coordinate, and plug that back into the equation to find the y-coordinate.

Unless the coefficients are really nasty (ie, decimals), you may find it quicker to complete the square to find the vertex than to let x=-b/(2a) and then find the y-coordinate.

But do note that the vertex is now at (h,k) instead of (0,0).


Ways to Find the Roots of a Quadratic Function

Factorization

The most common way people learn how to determine the the roots of a quadratic function is by factorizing. For a lot of quadratic functions this is the easiest way, but it also might be very difficult to see what to do. We have a quadratic function ax^2 + bx + c, but since we are going to set it equal to zero, we can divide all terms by a if a is not equal to zero. Then we have an equation of the form:

Now we try to find factors s and t such that:

If we succeed we know that x^2 + px + q = 0 is true if and only if (x-s)(x-t) = 0 is true. (x-s)(x-t) = 0 means that either (x-s) = 0 or (x-t)=0. This means that x = s and x = t are both solutions, and hence they are the roots.

If (x-s)(x-t) = x^2 + px + q, then it holds that s*t = q and - s - t = p.

Numerical Example

Then we have to find s and t such that s*t = 15 and - s - t = 8. So if we choose s = -3 and t = -5 we get:

Hence, x = -3 or x = -5. Let&aposs check these values: (-3)^2 +8*-3 +15 = 9 - 24 + 15 = 0 and (-5)^2 + 8*-5 +15 = 25 - 40 + 15 = 0. So indeed these are the roots.

It might however be very difficult to find such a factorization. Por exemplo:

Then the roots are 3 - sqrt 2 and 3 + sqrt 2. These are not so easy to find.

The ABC Formula

Another way to find the roots of a quadratic function. This is an easy method that anyone can use. It is just a formula you can fill in that gives you roots. The formula is as follows for a quadratic function ax^2 + bx + c:

(-b + sqrt(b^2 -4ac))/2a and (-b - sqrt(b^2 -4ac))/2a

This formulas give both roots. When only one root exists both formulas will give the same answer. If no roots exist, then b^2 -4ac will be smaller than zero. Therefore the square root does not exist and there is no answer to the formula. The number b^2 -4ac is called the discriminant.


Assista o vídeo: : Grenseverdier for rasjonale funksjoner (Dezembro 2021).