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8.6: Funções Racionais - Matemática


UMA função racional é uma fração com polinômios no numerador e denominador. Por exemplo,

[{x ^ 3 over x ^ 2 + x-6}, qquad qquad {1 over (x-3) ^ 2}, qquad qquad {x ^ 2 + 1 over x ^ 2- 1}, ]

são todas funções racionais de (x ). Existe uma técnica geral chamada "frações parciais '' que, em princípio, nos permite integrar qualquer função racional. As etapas algébricas da técnica são bastante complicadas se o polinômio no denominador tiver grau superior a 2 e a técnica exigir que nós fatoramos o denominador, algo que nem sempre é possível. No entanto, na prática, não costumamos encontrar funções racionais com polinômios de alto grau no denominador para o qual é necessário encontrar a função antiderivada. Portanto, explicaremos como encontrar a antiderivada de uma função racional apenas quando o denominador é um polinômio quadrático (ax ^ 2 + bx + c ).

Devemos mencionar um tipo especial de função racional que já sabemos como integrar: Se o denominador tem a forma ((ax + b) ^ n ), a substituição (u = ax + b ) sempre funcionará. O denominador torna-se (u ^ n ), e cada (x ) no numerador é substituído por ((u-b) / a ) e (dx = du / a ). Embora possa ser entediante completar a integração se o numerador tiver um alto grau, é apenas uma questão de álgebra.

Exemplo ( PageIndex {1}

Encontre ( int {x ^ 3 over (3-2x) ^ 5} , dx. )

Solução

Usando a substituição (u = 3-2x ), obtemos

[ eqalign { int {x ^ 3 over (3-2x) ^ 5} , dx & = {1 over -2} int { left ({u-3 over-2} right ) ^ 3 over u ^ 5} , du = {1 over 16} int {u ^ 3-9u ^ 2 + 27u-27 over u ^ 5} , du cr & = {1 over 16} int u ^ {- 2} -9u ^ {- 3} + 27u ^ {- 4} -27u ^ {- 5} , du cr & = {1 over 16} left ({u ^ {-1} over-1} - {9u ^ {- 2} over-2} + {27u ^ {- 3} over-3} - {27u ^ {- 4} over-4} right ) + C cr & = {1 over 16} left ({(3-2x) ^ {- 1} over-1} - {9 (3-2x) ^ {- 2} over-2} + {27 (3-2x) ^ {- 3} over-3} - {27 (3-2x) ^ {- 4} over-4} right) + C cr & = - {1 over 16 (3-2x)} + {9 over32 (3-2x) ^ 2} - {9 over16 (3-2x) ^ 3} + {27 over64 (3-2x) ^ 4} + C. cr} ]

Passamos agora ao caso em que o denominador é um polinômio quadrático. Sempre podemos fatorar o coeficiente de (x ^ 2 ) e colocá-lo fora da integral, então podemos assumir que o denominador tem a forma (x ^ 2 + bx + c ). Existem três casos possíveis, dependendo de como os fatores quadráticos: ou (x ^ 2 + bx + c = (xr) (xs) ), (x ^ 2 + bx + c = (xr) ^ 2 ) , ou não é um fator. Podemos usar a fórmula quadrática para decidir qual delas temos e para fatorar a quadrática, se possível.

Exemplo ( PageIndex {2}

Determine se (x ^ 2 + x + 1 ) fatores e fatore-os, se possível.

Solução

A fórmula quadrática nos diz que (x ^ 2 + x + 1 = 0 ) quando [x = {- 1 pm sqrt {1-4} over 2}. ] Visto que não há raiz quadrada de (- 3 ), este quadrático não é fatorado.

Exemplo ( PageIndex {3}

Determine se (x ^ 2-x-1 ) fatores e fatorá-los, se possível.

Solução

A fórmula quadrática nos diz que (x ^ 2-x-1 = 0 ) quando

[x = {1 pm sqrt {1 + 4} over 2} = {1 pm sqrt {5} over2}. ]

Portanto

[x ^ 2-x-1 = left (x- {1+ sqrt {5} over2} right) left (x- {1- sqrt {5} over2} right). ]

Se (x ^ 2 + bx + c = (x-r) ^ 2 ) então temos o caso especial que já vimos, que pode ser tratado com uma substituição. Os outros dois casos requerem abordagens diferentes.

Se (x ^ 2 + bx + c = (x-r) (x-s) ), temos uma integral da forma

[ int {p (x) over (x-r) (x-s)} , dx ]

onde (p (x) ) é um polinômio. O primeiro passo é certificar-se de que (p (x) ) tem grau menor que 2.

Exemplo ( PageIndex {4}

Reescreva ( int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx ) em termos de uma integral com um numerador que tenha grau menor que 2.

Solução

Para fazer isso, usamos longa divisão de polinômios descobrir que

[{x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} = {x ^ 3 over x ^ 2 + x-6} = x-1 + {7x-6 over x ^ 2 + x -6} = x-1 + {7x-6 over (x-2) (x + 3)}, ]

tão

[ int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx = int x-1 , dx + int {7x-6 over (x-2) (x + 3)} , dx. ]

A primeira integral é fácil, então apenas a segunda requer algum trabalho.

Agora considere a seguinte álgebra simples de frações: [{A over xr} + {B over xs} = {A (xs) + B (xr) over (xr) (xs)} = {(A + B ) x-As-Br over (xr) (xs)}. [Ou seja, adicionar duas frações com numerador e denominadores constantes ((xr) ) e ((xs) ) produz uma fração com denominador ((xr) (xs) ) e um polinômio de grau menor que 2 para o numerador. Queremos reverter esse processo: começando com uma única fração, queremos escrevê-la como a soma de duas frações mais simples. Um exemplo deve deixar claro como proceder.

Exemplo ( PageIndex {5}

Avalie [ int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx. ]

Solução

Começamos escrevendo ({7x-6 over (x-2) (x + 3)} ) como a soma de duas frações. Queremos terminar com

[{7x-6 over (x-2) (x + 3)} = {A over x-2} + {B over x + 3}. ]

Se seguirmos em frente e adicionarmos as frações do lado direito, obteremos

[{7x-6 over (x-2) (x + 3)} = {(A + B) x + 3A-2B over (x-2) (x + 3)}. ]

Portanto, tudo o que precisamos fazer é encontrar (A ) e (B ) para que (7x-6 = (A + B) x + 3A-2B ), ou seja, precisamos de (7 = A + B ) e (- 6 = 3A-2B ). Este é um problema que você já viu: resolva um sistema de duas equações em duas incógnitas.

Existem muitas maneiras de proceder; aqui está um: If (7 = A + B ) then (B = 7-A ) and so (- 6 = 3A-2B = 3A-2 (7-A) = 3A-14 + 2A = 5A -14 ). Isso é fácil de resolver para (A ): (A = 8/5 ) e, em seguida, (B = 7-A = 7-8 / 5 = 27/5 ). Desse modo

[ int {7x-6 over (x-2) (x + 3)} , dx = int {8 over5} {1 over x-2} + {27 over5} {1 over x + 3} , dx = {8 over5} ln | x-2 | + {27 over5} ln | x + 3 | + C. ]

A resposta para o problema original é agora

[ eqalign { int {x ^ 3 over (x-2) (x + 3)} , dx & = int x-1 , dx + int {7x-6 over (x-2 ) (x + 3)} , dx cr & = {x ^ 2 over 2} -x + {8 over5} ln | x-2 | + {27 over5} ln | x + 3 | + C. cr} ]

Agora suponha que (x ^ 2 + bx + c ) não seja fatorado. Novamente, podemos usar a divisão longa para garantir que o numerador tenha um grau menor que 2, então completamos o quadrado.

Exemplo ( PageIndex {6}

Avalie

[ int {x + 1 over x ^ 2 + 4x + 8} , dx. ]

Solução

O denominador quadrático não é fatorado. Poderíamos completar o quadrado e usar uma substituição trigonométrica, mas é mais simples reorganizar o integrando:

[ int {x + 1 over x ^ 2 + 4x + 8} , dx = int {x + 2 over x ^ 2 + 4x + 8} , dx - int {1 over x ^ 2 + 4x + 8} , dx. ]

A primeira integral é um problema de substituição fácil, usando (u = x ^ 2 + 4x + 8 ):

[ int {x + 2 over x ^ 2 + 4x + 8} , dx = {1 over2} int {du over u} = {1 over2} ln | x ^ 2 + 4x + 8 |. ]

Para a segunda integral, completamos o quadrado:

[x ^ 2 + 4x + 8 = (x + 2) ^ 2 + 4 = 4 left ( left ({x + 2 over2} right) ^ 2 + 1 right), ]

fazendo o integral

[{1 over4} int {1 over left ({x + 2 over2} right) ^ 2 + 1} , dx. ]

Usando (u = {x + 2 over2} ), obtemos

[{1 over4} int {1 over left ({x + 2 over2} right) ^ 2 + 1} , dx = {1 over4} int {2 over u ^ 2 + 1} , dx = {1 over2} arctan left ({x + 2 over2} right). ]

A resposta final é agora

[ int {x + 1 over x ^ 2 + 4x + 8} , dx = {1 over2} ln | x ^ 2 + 4x + 8 | - {1 over2} arctan left ({ x + 2 over2} right) + C. ]


Assista o vídeo: Matemática 11 - Função racional e função irracional - Aula 4: Operações com expressões racionais (Dezembro 2021).