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15.6: Integrais Triplos - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Reconhecer quando uma função de três variáveis ​​é integrável em uma caixa retangular.
  • Avalie uma integral tripla expressando-a como uma integral iterada.
  • Reconhecer quando uma função de três variáveis ​​é integrável em uma região fechada e limitada.
  • Simplifique um cálculo alterando a ordem de integração de uma integral tripla.
  • Calcule o valor médio de uma função de três variáveis.

Anteriormente, discutimos a integral dupla de uma função (f (x, y) ) de duas variáveis ​​sobre uma região retangular no plano. Nesta seção, definimos a integral tripla de uma função (f (x, y, z) ) de três variáveis ​​sobre uma caixa sólida retangular no espaço, ( mathbb {R} ^ 3 ). Posteriormente nesta seção, estendemos a definição para regiões mais gerais em ( mathbb {R} ^ 3 ).

Funções Integráveis ​​de Três Variáveis

Podemos definir uma caixa retangular (B ) em ( mathbb {R} ^ 3 ) como

[B = big {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , c leq y leq d, , e leq z leq f big }. ]

Seguimos um procedimento semelhante ao que fizemos anteriormente. Dividimos o intervalo ([a, b] ) em (l ) subintervalos ([x_ {i-1}, x_i] ) de igual comprimento ( Delta x ) com

[ Delta x = dfrac {x_i - x_ {i-1}} {l}, ]

divida o intervalo ([c, d] ) em (m ) subintervalos ([y_ {i-1}, y_i] ) de igual comprimento ( Delta y ) com

[ Delta y = dfrac {y_j - y_ {j-1}} {m}, ]

e divida o intervalo ([e, f] ) em (n ) subintervalos ([z_ {i-1}, z_i] ) de igual comprimento ( Delta z ) com

[ Delta z = dfrac {z_k - z_ {k-1}} {n} ]

Em seguida, a caixa retangular (B ) é subdividida em (lmn ) subcaixas:

[B_ {ijk} = [x_ {i-1}, x_i] vezes [y_ {i-1}, y_i] vezes [z_ {i-1}, z_i], ]

conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ).

Para cada (i, , j, ) e (k ), considere um ponto de amostra ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) em cada subcaixa (B_ {ijk} ). Vemos que seu volume é ( Delta V = Delta x Delta y Delta z ). Forme a soma tripla de Riemann

[ sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ * ) , Delta x Delta y Delta z. ]

Definimos a integral tripla em termos do limite de uma soma de Riemann tripla, como fizemos para a integral dupla em termos de uma soma de Riemann dupla.

Definição: O integral triplo

A integral tripla de uma função (f (x, y, z) ) sobre uma caixa retangular (B ) é definida como

[ lim_ {l, m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) , Delta x Delta y Delta z = iiint_B f (x, y, z) , dV ] se este limite existir.

Quando a integral tripla existe em (B ), a função (f (x, y, z) ) é considerada integrável em (B ). Além disso, a integral tripla existe se (f (x, y, z) ) é contínua em (B ). Portanto, usaremos funções contínuas para nossos exemplos. No entanto, a continuidade é suficiente, mas não necessária; em outras palavras, (f ) é limitado em (B ) e contínuo, exceto possivelmente no limite de (B ). O ponto de amostra ((x_ {ijk} ^ *, y_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) ) pode ser qualquer ponto na sub-caixa retangular (B_ {ijk} ) e todos os propriedades de um integral duplo se aplicam a um integral triplo. Assim como a integral dupla tem muitas aplicações práticas, a integral tripla também tem muitas aplicações, que discutiremos em seções posteriores.

Agora que desenvolvemos o conceito de integral tripla, precisamos saber como calculá-lo. Assim como no caso do integral duplo, podemos ter um integral triplo iterado e, conseqüentemente, uma versão de Teorema de Fubini para integrais triplos existe.

Teorema de Fubini para integrais triplos

Se (f (x, y, z) ) é contínuo em uma caixa retangular (B = [a, b] times [c, d] times [e, f] ), então

[ iint_B f (x, y, z) , dV = int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ b f (x, y, z) , dx , dy , dz. ]

Essa integral também é igual a qualquer uma das outras cinco ordenações possíveis para a integral tripla iterada.

Para (a, b, c, d, e ) e (f ) números reais, a integral tripla iterada pode ser expressa em seis ordenações diferentes:

[ begin {align} int_e ^ f int_c ^ d int_a ^ bf (x, y, z) , dx , dy , dz = int_e ^ f left ( int_c ^ d left ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx right) dy right) dz = int_c ^ d left ( int_e ^ f left ( int_a ^ bf (x, y, z) , dx right) dz right) dy = int_a ^ b left ( int_e ^ f left ( int_c ^ df (x, y, z) , dy right) dz right) dx = int_e ^ f left ( int_a ^ b left ( int_c ^ df (x, y, z) , dy right) dx right) dz = int_c ^ d left ( int_a ^ b left ( int_c ^ df (x, y, z) , dz right) dx right) dy = int_a ^ b left ( int_c ^ d left ( int_e ^ ff ( x, y, z) , dz right) dy right) dx end {alinhar} ]

Para uma caixa retangular, a ordem de integração não faz nenhuma diferença significativa no nível de dificuldade do cálculo. Calculamos integrais triplos usando o Teorema de Fubini em vez de usar a definição de soma de Riemann. Seguimos a ordem de integração da mesma maneira que fizemos para integrais duplos (ou seja, de dentro para fora).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Avaliando um Triplo Integral

Avalie a integral tripla [ int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} (x + yz ^ 2) , dx , dy , dz. enhum número ]

Solução

A ordem de integração é especificada no problema, portanto integre em relação a (x ) primeiro, depois ye, em seguida, (z ).

[ begin {align *} int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} int_ {x = -1} ^ {x = 5} (x + yz ^ 2) , dx , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} left. left [ dfrac {x ^ 2} {2} + xyz ^ 2 right | _ {x = -1} ^ {x = 5} right] , dy , dz text {Integrar em relação a $ x $.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = 2} ^ {y = 4} left [12 + 6yz ^ 2 right] , dy , dz text {Avaliar.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} left [ left.12y + 6 dfrac {y ^ 2} {2} z ^ 2 right | _ {y = 2} ^ {y = 4} right] dz text {Integrar em relação a $ y $.} = int_ {z = 0} ^ {z = 1} [24 + 36z ^ 2] , dz text {Avaliar.} = left [24z + 36 dfrac {z ^ 3} {3} right] _ {z = 0} ^ {z = 1} text {Integrar em relação a $ z $.} = 36. text {Avaliar.} end {alinhar *} ]

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando um Triplo Integral

Avalie o integral triplo

[ iiint_B x ^ 2 yz , dV ]

onde (B = big {(x, y, z) , | , - 2 leq x leq 1, , 0 leq y leq 3, , 1 leq z leq 5 grande } ) como mostrado na Figura ( PageIndex {2} ).

Solução

A ordem não é especificada, mas podemos usar a integral iterada em qualquer ordem sem alterar o nível de dificuldade. Escolha, digamos, integrar (y ) primeiro, depois (x ) e, em seguida, (z ).

[ begin {align *} iiint limits_ {B} x ^ 2 yz , dV = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 int_0 ^ 3 [x ^ 2 yz] , dy , dx , dz = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 left [ left. x ^ 2 dfrac {y ^ 3} {3} z right | _0 ^ 3 right] dx , dz = int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 dfrac {y} {2} x ^ 2 z , dx , dz = int_1 ^ 5 left [ left. dfrac {9} {2} dfrac {x ^ 3} {3} z right | _ {- 2} ^ 1 right] dz = int_1 ^ 5 dfrac {27} {2} z , dz = left. dfrac {27} {2} dfrac {z ^ 2} {2} right | _1 ^ 5 = 162. end {align *} ]

Agora tente integrar em uma ordem diferente apenas para ver se obtemos a mesma resposta. Escolha integrar em relação a (x ) primeiro, depois (z ) e depois (y )

[ begin {align *} iiiint limits_ {B} x ^ 2yz , dV = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 int _ {- 2} ^ 1 [x ^ 2yz] , dx , dz , dy = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 left [ left. dfrac {x ^ 3} {3} yz right | _ {- 2} ^ 1 right] dz , dy = int_0 ^ 3 int_1 ^ 5 3yz ; dz , dy = int_0 ^ 3 left. left [3y dfrac {z ^ 2} {2} right | _1 ^ 5 right] , dy = int_0 ^ 3 36y ; dy = left. 36 dfrac {y ^ 2} {2} right | _0 ^ 3 = 18 (9-0) = 162. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Avalie o integral triplo

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV nonumber ]

onde (B = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq pi, , dfrac {3 pi} {2} leq y leq 2 pi , , 1 leq z leq 3 big } ).

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

[ iint_B z , sin , x , cos , y , dV = 8 nonumber ]

Integral triplo sobre uma região geral

A integral tripla de uma função contínua (f (x, y, z) ) sobre uma região tridimensional geral

[E = big {(x, y, z) , | , (x, y) in D, , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big } ]

em ( mathbb {R} ^ 3 ), onde (D ) é a projeção de (E ) no plano (xy ), é

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D left [ int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz right] dA. ]

Da mesma forma, podemos considerar uma região limitada geral (D ) no plano (xy ) e duas funções (y = u_1 (x, z) ) e (y = u_2 (x, z) ) de modo que (u_1 (x, z) leq u_2 (x, z) ) para todos (9x, z) ) em (D ). Então podemos descrever a região sólida (E ) em ( mathbb {R} ^ 3 ) como

[E = big {(x, y, z) , | , (x, z) in D, , u_1 (x, z) leq z leq u_2 (x, z) big } ] onde (D ) é a projeção de (E ) no plano (xy ) e a integral tripla é

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D left [ int_ {u_1 (x, z)} ^ {u_2 (x, z)} f ​​(x, y, z) , dy right] dA. ]

Finalmente, se (D ) é uma região limitada geral no plano (xy ) e temos duas funções (x = u_1 (y, z) ) e (x = u_2 (y, z) ) de modo que (u_1 (y, z) leq u_2 (y, z) ) para todos ((y, z) ) em (D ), então a região sólida (E ) em ( mathbb {R} ^ 3 ) pode ser descrito como

[E = big {(x, y, z) , | , (y, z) in D, , u_1 (y, z) leq z leq u_2 (y, z) big } ] onde (D ) é a projeção de (E ) no plano (xy ) e a integral tripla é

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = iint_D left [ int_ {u_1 (y, z)} ^ {u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx right] dA. ]

Observe que a região (D ) em qualquer um dos planos pode ser do Tipo I ou do Tipo II, conforme descrito anteriormente. Se (D ) no plano (xy ) - for do Tipo I (Figura ( PageIndex {4} )), então

[E = big {(x, y, z) , | , a leq x leq b, , g_1 (x) leq y leq g_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big }. ]

Então a integral tripla torna-se

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} int_ {u_1 (x, y)} ^ {u_2 (x , y)} f (x, y, z) , dz , dy , dx. ]

Se (D ) no plano (xy ) - for do Tipo II (Figura ( PageIndex {5} )), então

[E = big {(x, y, z) , | , c leq x leq d, h_1 (x) leq y leq h_2 (x), , u_1 (x, y) leq z leq u_2 (x, y) big }. ]

Então a integral tripla torna-se

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {x = h_1 (y)} ^ {x = h_2 (y)} int_ {z = u_1 (x, y)} ^ {z = u_2 (x, y)} f (x, y, z) , dz , dx , dy. ]

Exemplo ( PageIndex {3A} ): Avaliando um Triplo Integral em uma Região Limitada Geral

Avalie a integral tripla da função (f (x, y, z) = 5x - 3y ) sobre o tetraedro sólido delimitado pelos planos (x = 0, , y = 0, , z = 0 ) e (x + y + z = 1 ).

Solução

A figura ( PageIndex {6} ) mostra o tetraedro sólido (E ) e sua projeção (D ) no plano (xy ).

Podemos descrever o tetraedro da região sólida como

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y big }. enhum número]

Portanto, a integral tripla é

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz , dy , dx. enhum número]

Para simplificar o cálculo, primeiro avalie o integral ( displaystyle int_ {z = 0} ^ {z = 1-x-y} (5x - 3y) , dz ). Nós temos

[ int_ {z = 0} ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz = (5x - 3y) z bigg | _ {z = 0} ^ {z = 1-xy} = (5x - 3y) (1 - x - y). Nonumber ]

Agora avalie o integral

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3y) (1 - x - y) , dy, nonumber ]

obtendo

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (5x - 3y) (1 - x - y) , dy = dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1). Nonumber ]

Finalmente avalie

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {1} {2} (x - 1) ^ 2 (6x - 1) , dx = dfrac {1} {12}. nonumber ]

Juntando tudo, temos

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (5x - 3y) , dz , dy , dx = dfrac {1} {12}. nonumber ]

Assim como usamos o integral duplo [ iint_D 1 , dA ] para encontrar a área de uma região limitada geral (D ), podemos usar [ iiint_E 1 , dV ] para encontrar o volume de um região limitada geral sólida (E ). O próximo exemplo ilustra o método.

Exemplo ( PageIndex {3B} ): Encontrando um volume avaliando um triplo integral

Encontre o volume de uma pirâmide direita que tem a base quadrada no (xy ) - plano ([- 1,1] times [-1,1] ) e vértice no ponto ((0, 0 , 1) ) conforme mostrado na figura a seguir.

Solução

Nesta pirâmide, o valor de (z ) muda de 0 para 1 e em cada altura (z ) a seção transversal da pirâmide para qualquer valor de (z ) é o quadrado

[[- 1 + z, , 1 - z] vezes [-1 + z, , 1 - z]. Não numérico ]

Portanto, o volume da pirâmide é [ iiint_E 1 , dV nonumber ], onde

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 1, , -1 + z leq y leq 1 - z, , -1 + z leq x leq 1 - z big }. nonumber ]

Assim, temos

[ begin {align *} iiint_E 1 , dV = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = -1 + z} ^ {y = 1-z} int_ {x = -1 + z} ^ {x = 1-z} 1 , dx , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {y = -1 + z} ^ {y = 1-z} (2 - 2z) , dy , dz = int_ {z = 0} ^ {z = 1} (2 - 2z) ^ 2 , dz = dfrac {4 } {3}. end {align *} ]

Portanto, o volume da pirâmide é ( dfrac {4} {3} ) unidades cúbicas.

Exercício ( PageIndex {3} )

Considere a esfera sólida (E = big {(x, y, z) , | , x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 big } ). Escreva a integral tripla [ iiint_E f (x, y, z) , dV nonumber ] para uma função arbitrária (f ) como uma integral iterada. Em seguida, avalie esta integral tripla com (f (x, y, z) = 1 ). Observe que isso dá o volume de uma esfera usando uma integral tripla.

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior. Use simetria.

Responder

[ begin {align *} iiint_E 1 , dV = 8 int_ {x = -3} ^ {x = 3} int_ {y = - sqrt {9-z ^ 2}} ^ {y = sqrt {9-z ^ 2}} int_ {z = - sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} ^ {z = sqrt {9-x ^ 2-y ^ 2}} 1 , dz , dy , dx = 36 pi , text {unidades cúbicas}. end {align *} ]

Mudando a ordem de integração

Como já vimos nas integrais duplas sobre regiões limitadas gerais, a alteração da ordem da integração é feita com bastante frequência para simplificar o cálculo. Com uma integral tripla sobre uma caixa retangular, a ordem de integração não altera o nível de dificuldade do cálculo. No entanto, com uma integral tripla sobre uma região limitada geral, a escolha de uma ordem de integração apropriada pode simplificar um pouco o cálculo. Às vezes, fazer a mudança nas coordenadas polares também pode ser muito útil. Demonstramos dois exemplos aqui.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Mudando a ordem de integração

Considere a integral iterada

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y} f (x, y, z ) , dz , dy , dx. ]

A ordem de integração aqui é a primeira em relação a z, então y, e depois x. Expresse essa integral alterando a ordem de integração para ser a primeira em relação a (x ), depois (z ) e, em seguida, (y ). Verifique se o valor da integral é o mesmo se deixarmos (f (x, y, z) = xyz ).

Solução

A melhor maneira de fazer isso é esboçar a região (E ) e suas projeções em cada um dos três planos de coordenadas. Portanto, vamos

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2, , 0 leq z leq y grande }. nonumber ]

e

[ int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} f (x, y , z) , dz , dy , dx = iiint_E f (x, y, z) , dV. nonumber ]

Precisamos expressar essa integral tripla como

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy. nonumber ]

Conhecendo a região (E ) podemos desenhar as seguintes projeções (Figura ( PageIndex {8} )):

no (xy ) - plano é (D_1 = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x ^ 2 big } = {(x, y) , | , 0 leq y leq 1, , sqrt {y} leq x leq 1 big }, )

no (yz ) - plano é (D_2 = big {(y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 big }), e

no (xz ) - o plano é (D_3 = big {(x, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq z leq x ^ 2 big } ).

Agora podemos descrever a mesma região (E ) como ( big {(x, y, z) , | , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y ^ 2 , , sqrt {y} leq x leq 1 big } ), e conseqüentemente, a integral tripla torna-se

[ int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {z = v_1 (y)} ^ {z = v_2 (y)} int_ {x = u_1 (y, z)} ^ {x = u_2 (y, z)} f ​​(x, y, z) , dx , dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = x ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ {x = 1} f (x, y, z) , dx , dz , dy ]

Agora suponha que (f (x, y, z) = xyz ) em cada uma das integrais. Então nós temos

[ begin {align *} int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2 } xyz , dz , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} left. left [xy dfrac {z ^ 2} {2} right | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} right] , dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} left (x dfrac {y ^ 5} {2} right) dy , dx = int_ {x = 0} ^ { x = 1} left. left [x dfrac {y ^ 6} {12} right | _ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} right] dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} dfrac {x ^ {13}} {12} dx = left. dfrac {x ^ {14}} {168} right | _ {x = 0} ^ {x = 1} = dfrac {1} {168}, end {align *} ]

[ begin {align *} int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} int_ {x = sqrt {y}} ^ {x = 1} xyz , dx , dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} left. Left [ yz dfrac {x ^ 2} {2} right | _ { sqrt {y}} ^ {1} right] dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ { z = 0} ^ {z = y ^ 2} left ( dfrac {yz} {2} - dfrac {y ^ 2z} {2} right) dz , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left. left [ dfrac {yz ^ 2} {4} - dfrac {y ^ 2z ^ 2} {4} right | _ {z = 0} ^ {z = y ^ 2} right] dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left ( dfrac {y ^ 5} {4} - dfrac {y ^ 6} {4} right) dy = left. left ( dfrac {y ^ 6} {24} - dfrac {y ^ 7} {28} right) right | _ {y = 0} ^ {y = 1} = dfrac {1} {168 } end {align *} ]

As respostas correspondem.

Exercício ( PageIndex {4} )

Escreva cinco integrais iterados diferentes iguais ao integral dado

[ int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {y = 0} ^ {y = 4-z} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x , y, z) , dx , dy , dz. nonumber ]

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior, usando a região (E ) como ( big {(x, y, z) , | , 0 leq z leq 4, , 0 leq y leq 4 - z, , 0 leq x leq sqrt {y} big } ), e descreva e esboce as projeções em cada um dos três planos, cinco vezes diferentes.

Responder

[(i) , int_ {z = 0} ^ {z = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {4-z}} int_ {y = x ^ 2} ^ { y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dx , dz, , (ii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {z = 0 } ^ {z = 4-y} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} f (x, y, z) , dx , dz , dy, , (iii) , int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {y}} int_ {z = 0} ^ {Z = 4-y} f (x, y, z) , dz , dx , dy, , nonumber ]

[(iv) , int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = 0} ^ {z = 4-y} f (x, y, z) , dz , dy , dx, , (v) int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {z = 0} ^ {z = 4-x ^ 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4-z} f (x, y, z) , dy , dz , dx nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {5} ): Alteração da ordem de integração e sistemas de coordenadas

Avalie o integral triplo

[ iiint_ {E} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV, nonumber ]

onde (E ) é a região limitada pelo parabolóide (y = x ^ 2 + z ^ 2 ) (Figura ( PageIndex {9} )) e o plano (y = 4 ).

Solução

A projeção da região sólida (E ) no plano (xy ) - é a região limitada acima por (y = 4 ) e abaixo pela parábola (y = x ^ 2 ) como mostrado.

Assim, temos

[E = big {(x, y, z) , | , -2 leq x leq 2, , x ^ 2 leq y leq 4, , - sqrt {y - x ^ 2} leq z sqrt {y - x ^ 2} big }. Nonumber ]

A integral tripla torna-se

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {z = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx. nonumber ]

Esta expressão é difícil de calcular, então considere a projeção de (E ) no plano (xz ). Este é um disco circular (x ^ 2 + z ^ 2 leq 4 ). Então nós obtemos

[ iiint_E sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dV = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 4} int_ {z = - sqrt {yx ^ 2}} ^ {z = sqrt {yx ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx. Nonumber ]

Aqui, a ordem de integração muda de primeiro em relação a (z ) depois (y ) e depois (x ) para ser primeiro em relação a (y ), em seguida, para (z ) e depois para (x ). Logo ficará claro como essa mudança pode ser benéfica para a computação. Nós temos

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {y = x ^ 2 + z ^ 2} ^ {y = 4} sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dy , dz , dx = int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2 } , dz , dx. nonumber ]

Agora use a substituição polar (x = r , cos , theta, , z = r , sin , theta ) e (dz , dx = r , dr , d theta ) no plano (xz ). Isso é essencialmente a mesma coisa que quando usamos coordenadas polares no plano (xy ), exceto que estamos substituindo (y ) por (z ). Consequentemente, os limites da integração mudam e temos, ao usar (r ^ 2 = x ^ 2 + z ^ 2 ),

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2}} (4 - x ^ 2 - z ^ 2) sqrt {x ^ 2 + z ^ 2} , dz , dx = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 2} (4 - r ^ 2) rr , dr , d theta = int_0 ^ {2 pi} left. left [ dfrac {4r ^ 3} {3} - dfrac {r ^ 5} {5} right | _0 ^ 2 right] , d theta = int_0 ^ {2 pi} dfrac { 64} {15} , d theta = dfrac {128 pi} {15} não numérico ]

Valor médio de uma função de três variáveis

Lembre-se de que encontramos o valor médio de uma função de duas variáveis ​​avaliando a integral dupla sobre uma região no plano e dividindo pela área da região. Da mesma forma, podemos encontrar o valor médio de uma função em três variáveis ​​avaliando a integral tripla sobre uma região sólida e, em seguida, dividindo pelo volume do sólido.

Valor médio de uma função de três variáveis

Se (f (x, y, z) ) é integrável sobre uma região delimitada sólida (E ) com volume positivo (V , (E), ) então o valor médio da função é

[f_ {ave} = dfrac {1} {V , (E)} iiint_E f (x, y, z) , dV. ]

Observe que o volume é

[V , (E) = iiint_E 1 , dV. ]

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando uma temperatura média

A temperatura em um ponto ((x, y, z) ) de um sólido (E ) limitado pelos planos de coordenadas e o plano (x + y + z = 1 ) é (T (x, y, z) = (xy + 8z + 20) , text {°} text {C} ). Encontre a temperatura média sobre o sólido.

Solução

Use o teorema fornecido acima e a integral tripla para encontrar o numerador e o denominador. Então faça a divisão. Observe que o plano (x + y + z = 1 ) tem interceptações ((1,0,0), , (0,1,0), ) e ((0,0,1) ) A região (E ) parece

[E = big {(x, y, z) , | , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y big }. nonumber ]

Portanto, a integral tripla da temperatura é

[ iiint_E f (x, y, z) , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} (xy + 8z + 20) , dz , dy , dx = dfrac {147} {40}. enhum número ]

A avaliação do volume é

[V , (E) = iiint_E 1 , dV = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} int_ {z = 0 } ^ {z = 1-xy} 1 , dz , dy , dx = dfrac {1} {6}. enhum número ]

Portanto, o valor médio é

[T_ {ave} = dfrac {147/40} {1/6} = dfrac {6 (147)} {40} = dfrac {441} {20} , text {°} text { C} nonumber ].

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre o valor médio da função (f (x, y, z) = xyz ) sobre o cubo com lados de 4 unidades de comprimento no primeiro octante com um vértice na origem e arestas paralelas aos eixos coordenados.

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

(f_ {ave} = 8 )


Integral múltiplo


Uma integral definida de uma função de várias variáveis. Existem vários conceitos diferentes de uma integral múltipla (integral de Riemann, integral de Lebesgue, integral de Lebesgue – Stieltjes, etc.).

A integral múltipla de Riemann é baseada no conceito de uma medida Jordan $ mu $. Seja $ E $ um conjunto mensurável de Jordan no espaço euclidiano $ n $ dimensional $ mathbf R ^ $, deixe $ mu _ $ seja a medida de Jordan $ n $ - dimensional e seja $ tau = > _ ^ $ ser uma partição de $ E $, ou seja, um sistema de conjuntos Jordan mensuráveis ​​$ E _ $ tal que $ cup _ ^ E _ = E $ e $ mu _ (E _ capa _ ) = 0 $, $ i neq j $, $ i, j = 1 pontos n $. A quantidade

$ delta _ tau = max _ d (E _ ), $

onde $ d (E _ ) $ é o diâmetro de $ E _ $, é chamada de malha da partição $ tau $. Se $ f (x) $, $ x = (x _ <1> dots x _ ) $, é uma função definida em $ E $, então qualquer soma do tipo

$ sigma _ tau = sigma _ tau (f xi ^ <(> 1) dots xi ^ <(> k)) = sum _ ^ f ( xi ^ <(> i)) mu _ (E _ ), $

é chamada de soma integral de Riemann da função $ f $. Se $ f $ tem a propriedade de que $ lim limits _ < delta _ tau rightarrow 0> sigma _ tau $ existe, independentemente da sequência específica de partições, então esse limite é chamado de $ n $ - tupla integral de Riemann de $ f $ sobre $ E $, e é denotada por

A própria função $ f $ é então considerada Riemann integrável ou, mais resumidamente, R-integrável.

Quando $ n = 1 $, o conjunto $ E $ sobre o qual a integração ocorre geralmente é um intervalo e $ tau $ é uma partição que consiste exclusivamente em intervalos (ver integral de Riemann). Portanto, tanto o conjunto sobre o qual a integração é realizada quanto os elementos da partição são conjuntos mensuráveis ​​de Jordan de uma forma muito especial - intervalos. É por isso que nem todas as propriedades de funções que são R-integráveis ​​em um intervalo são válidas para funções que são R-integráveis ​​em conjuntos arbitrários mensuráveis ​​de Jordan. Por exemplo, uma vez que qualquer função definida em um conjunto de medida Jordan zero é R-integrável nesse conjunto, segue-se que as funções R-integráveis ​​não precisam ser limitadas. Isso é impossível para funções R integráveis ​​em intervalos. Se alguém deseja R-integrabilidade de uma função em algum conjunto para implicar que a função é limitada, certas condições adicionais devem ser impostas ao conjunto, por exemplo, pode-se exigir que o conjunto tenha partições arbitrariamente finas, todos os elementos dos quais têm medida Jordan positiva . A classe definida por esta condição inclui todos os conjuntos abertos mensuráveis ​​da Jordan e seus fechamentos, em particular todos os domínios abertos mensuráveis ​​da Jordan e seus fechamentos. Esses são precisamente os conjuntos para os quais múltiplas integrais de Riemann são usadas com mais frequência. Quando $ n = 2 $ ($ n = 3 $), uma integral múltipla é chamada de integral dupla (tripla) (cf. também integral dupla).

Uma vez que uma integral de Riemann múltipla pode ser avaliada apenas sobre conjuntos mensuráveis ​​de Jordan (se $ n = 2 $ tal conjunto também é chamado de quadrável se $ n = 3 $ também é chamado de cubável), integrais de Riemann duplas (triplas) são consideradas apenas em conjuntos (geralmente domínios ou fechamentos de domínios) com limites da área de Jordão (volume) zero.

A integral de Riemann de uma função limitada de $ n $ variáveis ​​($ n geq 1 $) possui as propriedades usuais de uma integral (linearidade, aditividade em relação ao conjunto de integração, preservação de desigualdades não estritas sob integração, integrabilidade de o produto de funções integráveis, etc.).

Uma integral de Riemann múltipla pode ser reduzida a uma integral repetida. Seja $ x = (x ^ prime, x ^ < prime prime>) in mathbf R ^ $,

$ x ^ prime = (x _ <1> dots x _ ) in mathbf R ^ , $

$ x ^ < prime prime> = (x _ dots x _ ) in mathbf R ^ , E subset mathbf R ^ , $

onde $ E $ é um conjunto mensurável de Jordan em $ mathbf R ^ $, $ E (x _ <0> ^ prime) = E cap ^ prime > $ é a interseção de $ E $ com $ (n - m ) $ - hiperplano dimensional $ x ^ prime = x _ <0> ^ prime $, $ E _ > $ é a projeção de $ E $ no hiperplano $ mathbf R ^ = < : = 0> > $, com $ E (x ^ prime) $ e $ E _ > $ mensurável no sentido da medida de Jordan $ (n - m) $ - dimensional e $ m $ - dimensional, respectivamente. Se $ f $ é uma função R-integrável em $ E $ e se para todos $ x ^ prime em E _ > $ the $ (n - m) $ - integrais múltiplas das restrições de $ f $ ao conjunto $ E (x ^ prime) $ existem, então a integral repetida

onde a integral externa é uma integral de Riemann $ m $ - tupla, existe, e

Para $ n = 3 $, isso implica nas seguintes fórmulas:

1) Se $ E subset mathbf R _ ^ <3> $, se $ E _ $ é a projeção de $ E $ no plano $ xy $, e se $ phi (x, y) $ e $ psi (x, y) $, $ x, y em E _ $, são funções com gráficos limitados pelo conjunto $ E $ na direção $ z $, ou seja,

$ = int limits _ > dx dy int limits _ < phi (x, y)> ^ < psi (x, y)> f (x, y, z) dz. $

2) Seja a projeção de $ E $ no eixo $ x $ um intervalo $ [a, b] $, e seja $ E (x) $ a interseção de $ E $ com o plano através do ponto $ x $ paralelo ao plano $ yz $ - então

No caso de $ G $ ser um domínio mensurável de Jordan no espaço $ mathbf R _ ^ $ e $ phi $ também são continuamente diferenciáveis ​​no fechamento $ overline $ de $ G $ em $ mathbf R ^ $, tem-se a seguinte fórmula para substituição de variáveis ​​na integral de uma função $ f $ que é integrável em $ Gamma = phi (G) $:

$ tag <1> int limits _ < phi (G)> f (x) dx = int limits _ f ( phi (t)) | J (t) | dt, $

onde $ J (t) $ é o Jacobiano do mapeamento $ phi $.

O significado geométrico da integral múltipla de Riemann de uma função de $ n $ variáveis ​​está conectado com o conceito de $ (n + 1) $ - medida Jordan dimensional $ mu _ $: Se $ f $ é integrável em um conjunto $ E subset mathbf R _ ^ $, $ f (x) geq 0 $ em $ E $ e se

$ tag <2> int limits _ f (x) dx = mu _ ( UMA). $

Uma integral de Lebesgue múltipla é a integral de Lebesgue de uma função de várias variáveis, a definição é baseada no conceito da medida de Lebesgue no espaço euclidiano $ n $ - dimensional. Uma integral de Lebesgue múltipla pode ser reduzida a uma integral repetida (ver teorema de Fubini). Para mapeamentos um a um continuamente diferenciáveis ​​de domínios, a fórmula (1) para substituição de variáveis ​​é válida, bem como a fórmula (2), que transmite o significado geométrico da integral múltipla de Lebesgue, com $ mu _ $ agora sendo interpretado como a medida de Lebesgue $ (n + 1) $ dimensional.

O conceito de uma integral múltipla é transportada para funções integráveis ​​em um subconjunto $ A $ do produto $ X vezes Y $ de dois conjuntos $ X $ e $ Y $, em cada um dos quais um $ sigma $ - não completo finito -medida negativa, $ mu _ $ e $ mu _ $, respectivamente, foi dado nesta integração de situação sobre $ A $ envolve a medida $ mu $ que é o produto de $ mu _ $ e $ mu _ $.

Para funções de várias variáveis, também se tem o conceito de integral múltipla imprópria (consulte Integral imprópria). O conceito de integral múltipla também é aplicado a integrais indefinidas de funções de várias variáveis: Uma integral múltipla indefinida é uma função de conjunto

$ F (E) = int limits _ f (x) dx, $

onde $ E $ é um conjunto mensurável. Por exemplo, se $ f $ é Lebesgue integrável em algum conjunto, então é a derivada simétrica de sua integral indefinida $ F (E) $ quase em todo o conjunto. Nesse sentido (em analogia ao caso das funções de uma variável), a avaliação de uma integral indefinida é a operação inversa à diferenciação de funções de conjunto.


Symbolab Blog

No post anterior, cobrimos a substituição, mas a substituição nem sempre é direta, por exemplo, integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Precisamos primeiro transformar a função em uma forma mais adequada para substituição. Podemos fazer isso usando alguma manipulação e identidades trigonométricas básicas (mostraremos todos os truques).

Aqui, cobriremos os integrais da forma sin ^ n (x) cos ^ m (x).

  • Se n for ímpar, tire sin (x), use a identidade sin ^ 2 (x) = 1- cos ^ 2 (x) e substitua u = cos (x)
  • Se m for ímpar, tire cos (x), use a identidade cos ^ 2 (x) = 1- sin ^ 2 (x) e substitua u = sin (x)
  • Se n e m forem ímpares, use n ou m
  • Se n e m forem mesmo usar uma das identidades de meio ângulo:
    • sin ^ 2 (x) = frac <1- cos (2x)>
    • cos ^ 2 (x) = frac <1+ cos (2x)>
    • sin (x) cos (x) = frac

    Vamos ver como funciona, começando com um exemplo em que m é ímpar (clique aqui):

    A partir daqui, basta aplicar a regra da soma e substituir de volta.


    Aqui está outro exemplo em que n é ímpar (clique aqui):


    Mais um exemplo em que n e m são pares (clique aqui):

    Na próxima postagem, continuaremos com as integrais envolvendo os poderes de tan e sec.


    Por que você pode precisar calcular o Integral

    Os cientistas tentam expressar todos os fenômenos físicos na forma de uma fórmula matemática. Assim que tivermos uma fórmula, você já poderá contar qualquer coisa com ela. E a integral é uma das principais ferramentas para trabalhar com funções.

    Por exemplo, se temos uma fórmula de círculo, podemos usar a integral para calcular sua área. Se tivermos a fórmula de uma bola, podemos calcular seu volume. Por meio da integração, eles encontram energia, trabalho, pressão, massa, carga elétrica e muitas outras quantidades.

    Nossa calculadora de integrais online com uma solução detalhada irá ajudá-lo a calcular integrais e antiderivadas de funções online - gratuitamente! Usar uma calculadora é fácil.


    Integral de probabilidade

    que é a chamada integral de probabilidade gaussiana. For a random variable $ X $ having the normal distribution with mathematical expectation 0 and variance $ sigma ^ <2>$, the probability that $ | X | leq t $ is equal to $ mathop < m erf>( t / sqrt 2 ) $. For real $ x $, the probability integral takes real values in particular,

    The graph of the probability integral and its derivatives are illustrated in the figure. Regarded as a function of the complex variable $ z $, the probability integral $ mathop < m erf>( z) $ is an entire function of $ z $.

    The asymptotic representation for large $ z $, $ mathop < m Re>z > 0 $, is given by:

    In a neighbourhood of $ z = 0 $ the probability integral can be represented by the series

    The probability integral is related to the Fresnel integrals $ C ( z) $ and $ S ( z) $ by the formulas

    $ 1+ frac <2> mathop < m erf>left ( 1- frac z ight ) = C ( z) + i S ( z) , $

    $ 1- frac <2>mathop < m erf>left ( 1+ frac z ight ) = C ( z) - i S ( z) . $

    The derivative of the probability integral is given by:

    The following notations are sometimes used:

    $ Theta ( x) = H ( x) = Phi ( x) = mathop < m erf>( x) , $

    $ mathop < m Erfi>( x) = - i frac <2>mathop < m erf>( i x ) = intlimits _ < 0 >^ < x >e ^ > d t , $

    $ mathop < m Erfc>( x) = frac <2>- mathop < m Erf>x = intlimits _ < x >^ infty e ^ <- t ^ <2>> d t , $

    $ alpha ( x) = frac<2> intlimits _ <- infty >^ < x >e ^ <- t ^ <2>> d t - 1 = frac <2>pi mathop < m Erf>left ( frac ight ) . $

    Referências

    [1] H. Bateman (ed.) A. Erdélyi (ed.) et al. (ed.) , Higher transcendental functions , 2. Bessel functions, parabolic cylinder functions, orthogonal polynomials , McGraw-Hill (1953)
    [2] E. Jahnke, F. Emde, "Tables of functions with formulae and curves" , Dover, reprint (1945) (Translated from German)
    [3] A. Krazer, W. Franz, "Transzendente Funktionen" , Akademie Verlag (1960)
    [4] N.N. Lebedev, "Special functions and their applications" , Prentice-Hall (1965) (Translated from Russian)

    Comentários

    The series representation of the probability integral around $ z= 0 $ takes the form of a confluent hypergeometric function:


    Triple Integrals



    A series of free Calculus Video Lessons.
    How to evaluate and use a triple integral?

    Evaluating a Triple Integral

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    Input Arguments

    Fun — Integrand function handle

    Integrand, specified as a function handle, defines the function to be integrated over the region xmin ≤ x ≤ xmax , ymin ( x ) ≤ y ≤ ymax ( x ), and zmin ( x,y ) ≤ z ≤ zmax ( x,y ). The function fun must accept three arrays of the same size and return an array of corresponding values. It must perform element-wise operations.

    Data Types: function_handle

    Xmin — Lower limit of x número real

    Lower limit of x, specified as a real scalar value that is either finite or infinite.

    Data Types: double | solteiro

    Xmax — Upper limit of x número real

    Upper limit of x, specified as a real scalar value that is either finite or infinite.

    Data Types: double | solteiro

    Ymin — Lower limit of y real number | function handle

    Lower limit of y, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify ymin to be a function handle (a function of x) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | solteiro

    Ymax — Upper limit of y real number | function handle

    Upper limit of y, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify ymax to be a function handle (a function of x) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | solteiro

    Zmin — Lower limit of z real number | function handle

    Lower limit of z, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify zmin to be a function handle (a function of x,y) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | solteiro

    Zmax — Upper limit of z real number | function handle

    Upper limit of z, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify zmax to be a function handle (a function of x,y) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | solteiro

    Name-Value Pair Arguments

    Specify optional comma-separated pairs of Name,Value arguments. Name is the argument name and Value is the corresponding value. Name must appear inside quotes. You can specify several name and value pair arguments in any order as Name1,Value1. NameN,ValueN .

    Exemplo: 'AbsTol',1e-12 sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

    'AbsTol' — Absolute error tolerance nonnegative real number

    Absolute error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'AbsTol' and a nonnegative real number. integral3 uses the absolute error tolerance to limit an estimate of the absolute error, |qQ|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral3 might provide more decimal places of precision if you decrease the absolute error tolerance. The default value is 1e-10 .

    AbsTol and RelTol work together. integral3 might satisfy the absolute error tolerance or the relative error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

    Exemplo: 'AbsTol',1e-12 sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

    Data Types: double | solteiro

    'RelTol' — Relative error tolerance nonnegative real number

    Relative error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'RelTol' and a nonnegative real number. integral3 uses the relative error tolerance to limit an estimate of the relative error, |qQ|/|Q|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral3 might provide more significant digits of precision if you decrease the relative error tolerance. The default value is 1e-6 .

    RelTol and AbsTol work together. integral3 might satisfy the relative error tolerance or the absolute error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

    Exemplo: 'RelTol',1e-9 sets the relative error tolerance to approximately 9 significant digits.

    Data Types: double | solteiro

    'Method' — Integration method 'auto' (default) | 'tiled' | 'iterated'

    Integration method, specified as the comma-separated pair consisting of 'Method' and one of the methods described below.

    Integration MethodDescrição
    'auto' For most cases, integral3 uses the 'tiled' method. It uses the 'iterated' method when any of the integration limits are infinite. This is the default method.
    'tiled' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'tiled' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) .
    'iterated' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'iterated' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) . The integration limits can be infinite.

    Exemplo: 'Method','tiled' specifies the tiled integration method.

    Data Types: char | fragmento

    The integral3 function attempts to satisfy:

    The 'iterated' method can be more effective when your function has discontinuities within the integration region. However, the best performance and accuracy occurs when you split the integral at the points of discontinuity and sum the results of multiple integrations.

    When integrating over nonrectangular regions, the best performance and accuracy occurs when any or all of the limits: ymin , ymax , zmin , zmax are function handles. Avoid setting integrand function values to zero to integrate over a nonrectangular region. If you must do this, specify 'iterated' method.

    Use the 'iterated' method when any or all of the limits: ymin(x) , ymax(x) , zmin(x,y) , zmax(x,y) are unbounded functions.

    When paramaterizing anonymous functions, be aware that parameter values persist for the life of the function handle. For example, the function fun = @(x,y,z) x + y + z + a uses the value of a at the time fun was created. If you later decide to change the value of a , you must redefine the anonymous function with the new value.

    If you are specifying single-precision limits of integration, or if fun returns single-precision results, you may need to specify larger absolute and relative error tolerances.

    To solve 4-D and higher order integrals, you can nest calls to integral , integral2 , and integral3 . Another option is to use the integralN function on the MATLAB ® File Exchange, which solves integrals of orders 4 - 6.


    Prerequisite: Math 4A or Math 4AI with a minimum grade of C.
    First and second order differential equations, separation of variables, linear differential equations, systems of first order equations, nonlinear differential equations and stability.

    Math 6A is the first quarter of a two quarter sequence in vector calculus. The text is Vector Calculus by M. Lovric. The course covers the following sections of the book.

    1. Calculus of Functions of Several Variables

    2. Vector-Valued Functions of One Variable

    3. Scalar and Vector Fields

    4. Integration along paths

    5. Double and triple integrals

    6. Integration over surfaces, properties, and applications of integrals

    7. Classical integration theorems of vector calculus


    Input Arguments

    Fun — Integrand function handle

    Integrand, specified as a function handle, defines the function to be integrated over the region xmin ≤ x ≤ xmax , ymin ( x ) ≤ y ≤ ymax ( x ), and zmin ( x,y ) ≤ z ≤ zmax ( x,y ). The function fun must accept three arrays of the same size and return an array of corresponding values. It must perform element-wise operations.

    Data Types: function_handle

    Xmin — Lower limit of x número real

    Lower limit of x, specified as a real scalar value that is either finite or infinite.

    Data Types: double | solteiro

    Xmax — Upper limit of x número real

    Upper limit of x, specified as a real scalar value that is either finite or infinite.

    Data Types: double | solteiro

    Ymin — Lower limit of y real number | function handle

    Lower limit of y, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify ymin to be a function handle (a function of x) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | solteiro

    Ymax — Upper limit of y real number | function handle

    Upper limit of y, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify ymax to be a function handle (a function of x) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | solteiro

    Zmin — Lower limit of z real number | function handle

    Lower limit of z, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify zmin to be a function handle (a function of x,y) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | solteiro

    Zmax — Upper limit of z real number | function handle

    Upper limit of z, specified as a real scalar value that is either finite or infinite. You also can specify zmax to be a function handle (a function of x,y) when integrating over a nonrectangular region.

    Data Types: double | function_handle | solteiro

    Name-Value Pair Arguments

    Specify optional comma-separated pairs of Name,Value arguments. Name is the argument name and Value is the corresponding value. Name must appear inside quotes. You can specify several name and value pair arguments in any order as Name1,Value1. NameN,ValueN .

    Exemplo: 'AbsTol',1e-12 sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

    'AbsTol' — Absolute error tolerance nonnegative real number

    Absolute error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'AbsTol' and a nonnegative real number. integral3 uses the absolute error tolerance to limit an estimate of the absolute error, |qQ|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral3 might provide more decimal places of precision if you decrease the absolute error tolerance. The default value is 1e-10 .

    AbsTol and RelTol work together. integral3 might satisfy the absolute error tolerance or the relative error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

    Exemplo: 'AbsTol',1e-12 sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

    Data Types: double | solteiro

    'RelTol' — Relative error tolerance nonnegative real number

    Relative error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'RelTol' and a nonnegative real number. integral3 uses the relative error tolerance to limit an estimate of the relative error, |qQ|/|Q|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral3 might provide more significant digits of precision if you decrease the relative error tolerance. The default value is 1e-6 .

    RelTol and AbsTol work together. integral3 might satisfy the relative error tolerance or the absolute error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

    Exemplo: 'RelTol',1e-9 sets the relative error tolerance to approximately 9 significant digits.

    Data Types: double | solteiro

    'Method' — Integration method 'auto' (default) | 'tiled' | 'iterated'

    Integration method, specified as the comma-separated pair consisting of 'Method' and one of the methods described below.

    Integration MethodDescrição
    'auto' For most cases, integral3 uses the 'tiled' method. It uses the 'iterated' method when any of the integration limits are infinite. This is the default method.
    'tiled' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'tiled' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) .
    'iterated' integral3 calls integral to integrate over xmin ≤ x ≤ xmax . It calls integral2 with the 'iterated' method to evaluate the double integral over ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) and zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) . The integration limits can be infinite.

    Exemplo: 'Method','tiled' specifies the tiled integration method.

    Data Types: char | fragmento

    The integral3 function attempts to satisfy:

    The 'iterated' method can be more effective when your function has discontinuities within the integration region. However, the best performance and accuracy occurs when you split the integral at the points of discontinuity and sum the results of multiple integrations.

    When integrating over nonrectangular regions, the best performance and accuracy occurs when any or all of the limits: ymin , ymax , zmin , zmax are function handles. Avoid setting integrand function values to zero to integrate over a nonrectangular region. If you must do this, specify 'iterated' method.

    Use the 'iterated' method when any or all of the limits: ymin(x) , ymax(x) , zmin(x,y) , zmax(x,y) are unbounded functions.

    When paramaterizing anonymous functions, be aware that parameter values persist for the life of the function handle. For example, the function fun = @(x,y,z) x + y + z + a uses the value of a at the time fun was created. If you later decide to change the value of a , you must redefine the anonymous function with the new value.

    If you are specifying single-precision limits of integration, or if fun returns single-precision results, you may need to specify larger absolute and relative error tolerances.

    To solve 4-D and higher order integrals, you can nest calls to integral , integral2 , and integral3 . Another option is to use the integralN function on the MATLAB ® File Exchange, which solves integrals of orders 4 - 6.


    Does a triple integral map to a fourth dimension?

    Ok, so I like having a conceptual foundation to mathematical concepts, but I can't come up with one for triple integrals. For single integrals, your domain is a line and each infinitesimal segment of the line maps to a second dimension, effectively creating an area. for double integrals, your domain (input) is an infinitesimal area, and this area maps up to a third dimension effectively creating a volume. However, with triple integrals your domain is a infinitesimal slice of volume. What does this volume "map up" to? I think that it needs to map to a fourth dimension, and this could be like volume mapping to a density function in order to determine the mass of the object. My friend however thinks that triple integrals represent a volume.

    The problem I have with this is that the input to a triple integral is a volume, so doesn't this have to map to another dimension?

    ** just to specify, I understand that if you do the triple integral of (1)dxdydz that would give you a volume, just like taking the double integral of (1)dxdy gives you an area (your actually getting a volume of 'height' one which means the volume has the same magnitude as the area, although the units wouldn't be the same


    Assista o vídeo: Integral tripla em coordenadas cilíndricas INTEGRAIS MÚLTIPLAS 15 DE 20 (Dezembro 2021).