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1.15: Fatorando a diferença de dois quadrados - matemática


Neste capítulo, aprenderemos como fatorar um binômio que é uma diferença de dois quadrados perfeitos. Aprendemos na multiplicação de polinômios que um produto de dois conjugados produz uma diferença de dois quadrados perfeitos:

[(a + b) (a-b) = a ^ {2} -a b + a b-b ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} nonumber ]

Isso indica que a forma do fator de (a ^ {2} -b ^ {2} ) é ((a + b) (a-b), ) um produto de dois conjugados. Vamos colocar isso como uma fórmula:

Fatorando a diferença de dois quadrados

[a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b) não numérico ]

Exemplo 13.1

Fatore a diferença de dois quadrados.

  1. (49-y ^ {2} = (7) ^ {2} -y ^ {2} = (7 + y) (7-y) )
  2. (16 w ^ {2} -x ^ {2} y ^ {2} = (4 w) ^ {2} - (x y) ^ {2} = (4 w + x y) (4 w-x y) )
  3. (9 a ^ {6} -b ^ {4} = left (3 a ^ {3} right) ^ {2} - left (b ^ {2} right) ^ {2} = left (3 a ^ {3} + b ^ {2} right) left (3 a ^ {3} -b ^ {2} right) )

Às vezes, o binômio não é uma diferença de dois quadrados perfeitos, mas depois de fatorarmos o GCF, o binômio resultante é uma diferença de dois quadrados perfeitos. Então, ainda podemos usar essa fórmula para continuar a fatorar o binômio resultante.

Exemplo 13.2

Fatore o binômio completamente.

  1. (18 x ^ {3} -8 xy ^ {2} = 2 x left (9 x ^ {2} -4 y ^ {2} right) = 2 x left [(3 x) ^ {2 } - (2 y) ^ {2} right] = 2 x (3 x + 2 y) (3 x-2 y) )
  2. (3 a ^ {5} -27 ab ^ {2} = 3 a left (a ^ {4} -9 b ^ {2} right) = 3 a left [ left (a ^ {2} right) ^ {2} - (3 b) ^ {2} right] = 3 a left (a ^ {2} +3 b right) left (a ^ {2} -3 b right) )

Problema de saída

Fatore completamente: (16 x ^ {2} -36 )


Fatoração de diferenças de quadrados | Como você encontra os fatores da diferença de dois quadrados?

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Diferença de fatoração de dois quadrados

Para fatorar a diferença de 2 quadrados, apenas aplicamos a fórmula dada na Seção 1 - Produtos Especiais ao contrário. Isso é:

Exemplo 3: diferença de fatoração de 2 quadrados

Primeiro reconhecemos que é uma diferença de 2 quadrados, então usamos a fórmula fornecida acima.

Exercícios

(1) 18p 3 e menos 3p 2

Notamos que 3p 2 divide-se igualmente nos 2 termos da pergunta. Portanto, a fatoração é dada por:

18p 3 e menos 3p 2 = 3p 2 (6p e menos 1)

(2) 5uma + 10machado & menos 5sim + 20az

5uma + 10machado & menos 5sim + 20az = 5uma(1 + 2x &menos y + 4z)

(3) 36uma 2 b 2 e menos 169c 2

Esta é uma diferença de 2 quadrados.

36uma 2 b 2 e menos 169c 2

= (6ab) 2 e menos (13c) 2

= (6ab + 13c)(6ab e menos 13c)

(4) (uma &menos b) 2 e menos 1

Mais uma vez, reconhecemos isso como uma diferença de 2 quadrados.

(uma &menos b) 2 e menos 1 = (uma &menos b) 2 e menos 1 2

Colocar X = uma &menos b e Y = 1

= X 2 e menos Y 2

= (X + Y)(X &menos Y)

= (uma &menos b + 1)(uma &menos b e menos 1)

= (y 2) 2 e menos (9) 2

= (y 2 + 9)(y 2 e menos 9)

= (y 2 + 9)(y + 3)(y e menos 3)

Reconhecemos que isso envolve 2 diferenças de dois quadrados. Nós o agrupamos da seguinte forma:

Nós reconhecemos que s 2 e menos 2st + t 2 é um quadrado e é igual a (s &menos t) 2. Portanto, podemos fatorar nossa expressão da seguinte maneira:


1.15: Fatorando a diferença de dois quadrados - matemática

Fatorar e expandir são habilidades extremamente importantes com as quais você deve se sentir confortável para usar. Depois de se acostumar com os vários métodos, responder a essas perguntas virá como uma segunda natureza.

Colchetes expansíveis

Os colchetes são uma forma de tornar as equações mais fáceis de escrever e entender. Quando você tem colchetes em uma equação, as operações internas são concluídas primeiro. Por exemplo:

(1 + 2) x 3 = 9

1 + (2 x 3) = 7

Para obter mais informações sobre a ordem de operações, consulte nossa seção sobre BODMAS

Para expandir um colchete, você multiplica tudo fora do colchete pelo que & # 8217s dentro, por exemplo:

a (b + c) = ab + ac

Multiplique tudo dentro dos colchetes pelo lado de fora.

Para dois colchetes multiplicados juntos, isso é um pouco mais complicado, mas o mesmo princípio se aplica.

Expanda (a + b) (c + d)

Tudo no segundo conjunto de colchetes precisa ser multiplicado por tudo no primeiro conjunto.

Então (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

Multiplicando tudo no primeiro conjunto de colchetes pelo segundo conjunto de colchetes:

Fatoração

Fatorar é essencialmente o oposto de expandir os colchetes. Por exemplo, pode envolver colocar uma equação como no formulário.

Em algumas questões básicas de fatoração, tudo o que você precisa fazer é remover um fator comum, por exemplo:

porque cada termo contém pelo menos um

Quadráticos de fatoração

A princípio, fatorar equações quadráticas pode parecer um pouco desafiador, mas, uma vez que você tenha praticado algumas, logo parecerá simples. Eu prometo!

Vamos passar pelo processo sistemático de fatorar uma equação quadrática.

Exemplo & # 8211 Fatorar

Como há apenas 1 na frente de, sabemos que a resposta estará no formulário.

Agora, olhando para a nossa equação original, precisamos de dois números que se multiplicam para nos dar -15, e somar para dar 2.

Agora listamos os fatores de -15, que são, (-1,15), (1,-15), (-3,5), (-5,3).

Olhando para estes, os dois únicos que se somam para dar 2 estão (-3,5).

A grande vantagem de fatorar quadráticas é que podemos expandir rapidamente os colchetes para ver se obtemos a resposta correta.

É importante praticar isso o máximo que puder porque fatorar quadráticas é uma habilidade extremamente importante e útil em matemática.

A diferença de dois quadrados

A diferença de dois quadrados é um tipo especial de equações quadráticas, e identificá-las e saber como fatorá-las pode economizar muito tempo e esforço em um exame.

Se alguma vez lhe pedirem para fatorar uma equação que é um quadrado menos outro, você pode fatorar assim:

Se você expandir o lado direito, verá que obtém:

Exemplo & # 8211 Fatorar

Observe que, seguindo as etapas acima, obtemos:

Como acontece com qualquer pergunta de fatoração, se você quiser verificar se está certo, tudo o que você precisa fazer é expandir os colchetes e certificar-se de que sua resposta seja a mesma dada na pergunta.


Exemplo Dois

Aqui está outro um pouco mais complicado porque temos um coeficiente do termo x ao quadrado. 9 é o quadrado de 3 e, portanto, 9 x ao quadrado é 3x vezes 3x. Portanto, a é igual a 3x e, é claro, b é igual a 4 porque 4 ao quadrado é 16 e assim obtemos (3x- 4) (3x + 4).

A propósito, observe que não importa se colocamos o binômio com adição ou subtração primeiro. Estamos multiplicando esses dois e, claro, a multiplicação é comutativa e podemos mudar a ordem dos fatores. E, portanto, realmente não faz diferença alguma. É matematicamente idêntico se colocarmos o que tem mais primeiro ou o que tem menos primeiro.

Então, você vai notar neste vídeo que eu vou e volta alternando entre os dois porque ambos são equivalentes. 25x ao quadrado menos 64y ao quadrado, o primeiro é 5x a quantidade ao quadrado, o segundo é 8y ao quadrado. Portanto, a é igual a 5x, b é igual a 8y, e isso é (5x + 8y) (5x- 8y).


MathHelp.com

Para esta fatoração quadrática, preciso de fatores de & ndash4 que somam zero, então usarei & ndash2 e +2:

(Reveja os Quadráticos de Factoring, se as etapas neste exemplo não fizerem sentido para você.)

Observe que tínhamos x 2 & ndash 2 2, e terminou com ( x & ndash 2) (x + 2). Diferenças de quadrados (sendo algo ao quadrado menos outra coisa ao quadrado) sempre funcionam desta maneira:

Para uma 2 & ndash b 2, começo fazendo os parênteses:

Então eu coloco a primeira coisa quadrada na frente:

. e coloquei o segundo quadrado atrás:

. e então alterno os signos no meio:

Como a fatoração sempre funciona exatamente da mesma maneira, podemos transformá-la em uma fórmula:

Para uma diferença de quadrados uma 2 & ndash b 2, a fatoração é:

Memorize esta fórmula! Será útil mais tarde, especialmente quando você chegar às expressões racionais (frações polinomiais). E provavelmente espera-se que você conheça essa fórmula para o próximo teste.

Aliás, não, a ordem dos fatores não importa. Uma vez que a multiplicação é comutativa (isto é, uma vez que você pode mover os fatores sem alterar o valor do produto), a diferença de quadrados também pode ser declarada como:

Não se prenda à ordem dos fatores. De qualquer maneira está bom.

Aqui estão alguns exemplos de alguns problemas típicos de lição de casa:

Fator x 2 & ndash 16

Esta quadrática pode ser reafirmada como x 2 & ndash 4 2, que é uma diferença de quadrados. Aplicando a fórmula, obtenho:

Fator 4x 2 & ndash 25

Este quadrático é (2x) 2 & ndash 5 2 então, aplicando a fórmula, obtenho:


Quadratics de factoring - parte 1

Agora aprendemos como fatorar quadráticas usando o diferença da fórmula de dois quadrados.

Em particular nós podemos fator quadrático parecido com: [ax ^ 2-k ^ 2 = 0 ] Perceber: comparando isso com o genérico quadrático (ax ^ 2 + bx + c ) podemos ver que não existe o termo (x ), ou seja, (b = 0 ).

Lembre o diferença da fórmula de dois quadrados era: [a ^ 2-b ^ 2 = begina + b end.começara-b end ] Esta fórmula pode ser usada para mostrar, por exemplo, que: [x ^ 2-25 = beginx-5 end.começarx + 5 fim] ou que: [4x ^ 2 - 9 = começo2x-3 end.começar2x + 3 fim] Nós aprendemos o método no tutorial abaixo de.

Tutorial 1: Quadráticas de fatoração - diferença de dois quadrados

No tutorial a seguir, aprendemos como usar a diferença de dois quadrados para fatorar quadráticas.


Polinômios de fatoração: a diferença de dois quadrados

Existe uma situação especial chamada diferença de dois quadrados que possui um padrão especial para fatoração.

Primeiro, observe que há três requisitos que devem ser atendidos para que possamos usar esse padrão.

1) Deve ser um binômio (ter dois termos)

2) Ambos os termos devem ser quadrados perfeitos (o que significa que você poderia tirar a raiz quadrada e eles sairiam uniformemente).

3) Deve haver uma subtração / sinal negativo (não adição) entre eles

Se esses três requisitos forem atendidos, podemos fatorar facilmente o binômio usando o padrão. Simplesmente.

2) Coloque um em um e um no outro

3) Tire a raiz quadrada do primeiro termo e coloque-a na frente de cada parêntese

4) Tire a raiz quadrada do último termo e coloque-a atrás de cada parêntese


2) Primeiro verifique os fatores comuns - não há nenhum, então podemos

3) Primeiro, verificamos os fatores comuns. Existe um fator comum de 3, então devemos fatorá-lo primeiro.
Agora vamos olhar. Isso atende aos critérios para o padrão, portanto, podemos fatorá-lo usando o padrão. Basta abaixar o 3 antes do parêntese.
Responder:
Podemos verificar isso multiplicando tudo. Vamos distribuir os 3 primeiro:

Prática: Fatore o seguinte. Verifique os fatores comuns primeiro, depois a diferença de dois quadrados.


Solução:
A expressão dada é m 4 - (n + r) 4
Reescreva a expressão dada na forma de a 2 - b 2.
(m 2) 2 - ((n + r) 2) 2
Agora, aplique a fórmula de a 2 - b 2 = (a + b) (a - b), onde a = m 2 e b = (n + r) 2
[m 2 + (n + r) 2] [m 2 & # 8211 (n + r) 2]
[m 2 + n 2 + r 2 + 2nr] [(m) 2 & # 8211 (n + r) 2]
A partir da equação acima, [(m) 2 & # 8211 (n + r) 2] está na forma de a 2 - b 2.
[(m) 2 & # 8211 (n + r) 2]
Agora, aplique a fórmula de a 2 - b 2 = (a + b) (a - b), onde a = me b = (n + r)
[m + (n + r)] [m & # 8211 (n + r)]
Agora, [m 2 + n 2 + r 2 + 2nr] [(m) 2 & # 8211 (n + r) 2]
[m 2 + n 2 + r 2 + 2nr] [m + (n + r)] [m & # 8211 (n + r)]
[m 2 + n 2 + r 2 + 2nr] [m + n + r] [m & # 8211 n & # 8211 r]

A resposta final é [m 2 + n 2 + r 2 + 2nr] [m + n + r] [m & # 8211 n & # 8211 r]

Solução:
A expressão dada é 4a 2 & # 8211 b 2 + 6b & # 8211 9.
Reescreva a expressão fornecida.
4a 2 e # 8211 (b 2 e # 8211 6b + 9)
b 2 & # 8211 6b + 9 está na forma de a 2 & # 8211 b 2 + 2ab onde a = b, b = 3
Sabemos que a 2 & # 8211 b 2 + 2ab = (a & # 8211 b) 2
Portanto, b 2 & # 8211 6b + 9 = (b & # 8211 3) 2
Portanto, 4a 2 & # 8211 (b & # 8211 3) 2
A equação acima 4a 2 & # 8211 (b & # 8211 3) 2 está na forma de a 2 - b 2.
[(2a) 2 & # 8211 (b & # 8211 3) 2]
Agora, aplique a fórmula de a 2 - b 2 = (a + b) (a - b), onde a = 2a e b = (b & # 8211 3)
(2a + b & # 8211 3) <2a & # 8211 (b & # 8211 3)>,
(2a + b & # 8211 3) (2a & # 8211 b & # 8211 3)

A resposta final é (2a + b & # 8211 3) (2a & # 8211 b & # 8211 3)

3. 25x 2 e # 8211 (4m 2 e # 8211 12mn + 9n 2)

Solução:
A expressão dada é 25x 2 & # 8211 (4m 2 & # 8211 12mn + 9n 2)
(4m 2 & # 8211 12mn + 9n 2) está na forma de a 2 & # 8211 b 2 + 2ab onde a = 2m, b = 3n
Sabemos que a 2 & # 8211 b 2 + 2ab = (a & # 8211 b) 2
Portanto, (4m 2 & # 8211 12mn + 9n 2) = (2m & # 8211 3n) 2
Portanto, 25x 2 & # 8211 (2m & # 8211 3n) 2
A equação acima 25x 2 & # 8211 (2m & # 8211 3n) 2 está na forma de a 2 - b 2.
[(5x) 2 & # 8211 (2m & # 8211 3n) 2]
Agora, aplique a fórmula de a 2 - b 2 = (a + b) (a - b), onde a = 5x e b = (2m & # 8211 3n)
[5x + (2m & # 8211 3n)] [5x & # 8211 (2m & # 8211 3n)]
(5x + 2m & # 8211 3n) (5x & # 8211 2m + 3n)


Visualizando a diferença de dois quadrados

Objetos geométricos são representações poderosas que podem ser usadas para visualizar propriedades algébricas de objetos matemáticos. Provas sem palavras são exemplos de tais representações visuais. Neste post, relacionamos a diferença de dois quadrados às áreas de quadrados e retângulos.

A diferença de dois quadrados indica que, para todos os números e,. A representação visual abaixo, entretanto, cobre apenas a condição que (Por quê?).

Para prosseguir com a prova visual, criamos um quadrado com comprimento lateral conforme mostrado em (1). Em seguida, cortamos um quadrado com o comprimento do lado de seu canto como mostrado em (2). Como a área do quadrado maior é e a área do quadrado menor é, a área da figura restante é.

A seguir, desenhamos um segmento de linha horizontal cortando a figura restante em dois retângulos, conforme mostrado em (3). Mudamos a cor do retângulo menor para uma representação mais clara e o movemos para o lado direito como mostrado em (4).

O retângulo resultante em (4) tem comprimento e largura. Sua área é.

A área da figura em (2) é igual à área do retângulo em (4). Então, .

Podemos verificar isso usando a propriedade distributiva de multiplicação sobre adição. Isso é,


Assista o vídeo: FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS. POLINÔMIOS.. DIFERENÇA DE QUADRADOS. Aula 4 Prof. Gis (Dezembro 2021).