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4.1: Funções Lineares - Matemática


Imagine colocar uma planta no solo um dia e descobrir que ela dobrou de altura alguns dias depois. Embora possa parecer incrível, isso pode acontecer com certos tipos de espécies de bambu. Esses membros da família das gramíneas são as plantas de crescimento mais rápido do mundo. Observou-se que uma espécie de bambu cresce cerca de 1,5 polegadas a cada hora.1 Em um período de 24 horas, esta planta de bambu cresce cerca de 36 polegadas, ou incríveis 3 pés! Uma taxa constante de mudança, como o ciclo de crescimento desta planta de bambu, é uma função linear.


Figura ( PageIndex {1} ): Uma floresta de bambu na China (crédito: “JFXie” / Flickr)

Lembre-se de Funções e notação de função que uma função é uma relação que atribui a cada elemento no domínio exatamente um elemento no intervalo. Funções lineares são um tipo específico de função que pode ser usado para modelar muitas aplicações do mundo real, como o crescimento da planta ao longo do tempo. Neste capítulo, exploraremos funções lineares, seus gráficos e como relacioná-los aos dados.

1 www.guinnessworldrecords.com/...growing-plant/


MPM1D & # 8211 4.1 & # 8211 Variação direta

Os alunos trabalharão em seus grupos de mesa para criar uma tabela de valores e representar graficamente a relação em uma grade. Eles então concluirão o seguinte relacionado ao problema:

Identifique as variáveis ​​independentes / dependentes.

Descreva a forma do gráfico.
Onde ele intercepta o eixo vertical?

Escreva uma equação para encontrar a distância, d, em metros, que Susan corre em t minutos.

Use a equação para determinar a distância que Susan pode correr em 25 minutos.

Considere a distância que Susan correu em 5 minutos.
O que acontece com essa distância quando o tempo é dobrado?
O que acontece com a distância quando o tempo é triplicado?

A classe iniciará uma discussão usando a Apple TV como um meio de exibir rapidamente os trabalhos de diferentes alunos de cada grupo de mesa.

Minds on Solutions

Açao

Unidade 4 - Modelagem com gráficos & # 8211 4.1 & # 8211 Variação Direta

O professor conduzirá uma discussão sobre variação direta e tentar desmistificar a definição:

Uma variação direta é um relacionamento entre duas variáveis ​​em que uma variável é um múltiplo constante da outra variável.

A discussão cobrirá o seguinte variação direta tópicos:

  • Como podemos relacionar a variação direta ao raciocínio proporcional,
  • como se parece uma variação direta em uma tabela e gráfico, e
  • como encontrar o constante de variação, m.

O que é o vídeo de variação direta

Um vídeo que encapsula a maioria dos tópicos abordados em nossa discussão em sala de aula sobre Variação Direta.

Perguntas de tarefa de variação direta

O professor orientará os alunos durante a aula usando um liberação gradual da abordagem de responsabilidade. O professor começará as duas primeiras tarefas com os alunos e depois deixará os grupos resolverem os problemas da maneira que se sentirem mais confortáveis.

As perguntas da tarefa de variação direta têm como objetivo a capacidade dos alunos de identificar uma variação direta em um problema de palavra, a partir de uma equação, tabela e gráfico.

As tarefas podem ser compartilhadas via Apple TV para mostrar vários métodos de resolver cada questão de tarefa.

Consolidar

Identificando Variação Direta e Determinando a Constante de Variação

Os alunos responderão às perguntas de consolidação que indicam se os alunos podem identificar uma variação direta na forma de uma equação, tabela e gráfico, bem como se eles podem determinar a constante de variação quando uma equação linear é uma variação direta.

Envie respostas de consolidação no formulário do Google Drive

Quando concluído, os alunos enviarão suas respostas de consolidação no Formulário do Google Drive abaixo:

Vídeos do YouTube

MPM1D & # 8211 4.1 & # 8211 Variação direta

Todos os vídeos da unidade 4 podem ser encontrados na página Vídeos de matemática e # 8211 Unidade 4 Modelagem com gráficos.

Os vídeos gravados antes, durante ou depois da aula serão listados abaixo:

Perguntas do dever de casa:

No vídeo a seguir, o Sr. Pearce e a classe discutem uma questão da lição de casa. Isso foi gravado no dia seguinte, no início da aula, com a ajuda dos alunos. A pergunta feita é:

O custo das laranjas varia diretamente com a massa total comprada. 2 kg de laranjas custam $ 4,50.

a) Descreva a relação em palavras.
b) Escreva uma equação relacionando o custo e a massa das laranjas. O que representa a constante de variação?
c) Qual é o custo de 30 kg de laranja?

Planilhas e # 038 Recursos

MPM1D & # 8211 4.1 & # 8211 Variação direta

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Cada guia do professor consiste em:

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Cada lição baseada em problemas do Make Math Moments começa com uma história, visual, vídeo ou outro método para despertar a curiosidade por meio do contexto.

Os alunos frequentemente notarão e se perguntarão antes de fazer uma estimativa para atraí-los e investir no problema.

Um ótimo exemplo disso é uma de nossas unidades mais recentes, chamada Piggy Bank.

Depois que a voz do aluno for ouvida e reconhecida, colocaremos os alunos em um Luta Produtiva por meio de um prompt relacionado ao contexto do Spark.

Essas instruções são fornecidas a cada lição com as seguintes condições:

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Os alunos são deixados a se envolver em uma luta produtiva enquanto o facilitador circula para observar e se envolver em uma conversa como um meio de avaliação formativa.

O facilitador é instruído através do Guia do Professor sobre quais estratégias e modelos específicos podem ser usados ​​para fazer conexões e consolidar o aprendizado da lição de matemática de 3 atos.

Freqüentemente, animações e vídeos de caminhada são fornecidos no Guia do Professor para ajudar no planejamento e entrega da consolidação.

Uma imagem, vídeo ou animação de revisão é fornecida como uma conclusão para a tarefa da lição baseada em problemas.

Embora isso possa parecer um final natural para o contexto que os alunos estão explorando, é apenas o começo, pois procuramos aproveitar esse contexto por meio de extensões e lições adicionais para nos aprofundarmos.

No final de cada lição, prompts de consolidação e / ou extensões são criados para que os alunos pratiquem e demonstrem seu conhecimento atual de forma intencional.

Os facilitadores são incentivados a coletar essas instruções de consolidação como um meio de se envolver no processo de avaliação e informar os próximos movimentos para a instrução.

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Em unidades de estudo de vários dias, Math Talks são elaborados para ajudar a construir sobre o pensamento do dia anterior e avançar para a próxima etapa na progressão de desenvolvimento do (s) conceito (s) que estamos explorando.

Cada conversa de matemática é construída como uma série de problemas relacionados que se constroem com intencionalidade para emergir grandes ideias, estratégias e modelos matemáticos específicos.


Ex 4.1 Class 9 Matemática Questão 1.
O custo de um notebook é o dobro do custo de uma caneta. Escreva uma equação linear em duas variáveis ​​para representar essa afirmação.
(Considere o custo de um bloco de notas como Rs. Xe o de uma caneta como Rs.y).
Solução:
Deixe o custo de um notebook = Rs. x
e o custo de uma caneta = Rs. y
De acordo com a condição, temos
[Custo de um caderno] = 2 x [Custo de uma caneta]
eu. e „(x) = 2 x (y) ou, x = 2y
ou, x & # 8211 2y = 0
Assim, a equação linear necessária é x & # 8211 2y = 0.

Ex 4.1 Class 9 Matemática Questão 2
Expresse as seguintes equações lineares na forma ax + by + c = 0 e indique os valores de a, b e c em cada caso:
(i) 2x + 3y = (9,3 overline <5> )
(ii) (x- frac <5> -10 quad = quad 0 )
(iii) & # 8211 2x + 3y = 6
(iv) x = 3y
(v) 2x = -5y
(vi) 3x + 2 = 0
(vii) y & # 8211 2 = 0
(viii) 5 = 2x
Solução:
(i) Temos 2x + 3y = (9,3 overline <5> )
ou (2) x + (3) y + ( (- 9,3 overline <5> )) = 0
Comparando-o com ax + by + c = 0, temos geta = 2,
b = 3 e c = & # 8211 (9.3 overline <5> ).

(ii) Temos (x- frac <5> -10 quad = quad 0 )
ou x + (- ( frac <1> <5> )) y + (10) = 0
Comparando-o com ax + por + c = 0, obtemos
a = 1, b = - ( frac <1> <5> ) e c = -10

(iii) Temos -2x + 3y = 6 ou (-2) x + (3) y + (-6) = 0
Comparando-o com ax & # 8211 4 & # 8211 por + c = 0, obtemos a = -2, b = 3 e c = -6.

(iv) Temos x = 3y ou (1) x + (-3) y + (0) = 0 Comparando com ax + by + c = 0, obtemos a = 1, b = -3 e c = 0 .
(v) Temos 2x = -5y ou (2) x + (5) y + (0) = 0 Comparando com ax + by + c = 0, obtemos a = 2, b = 5 e c = 0.
(vi) Temos 3x + 2 = 0 ou (3) x + (0) y + (2) = 0 Comparando com ax + by + c = 0, obtemos a = 3, b = 0 e c = 2 .
(vii) Temos y & # 8211 2 = 0 ou (0) x + (1) y + (-2) = 0 Comparando com ax + by + c = 0, obtemos a = 0, b = 1 e c = -2.
(viii) Temos 5 = 2x ⇒ 5 & # 8211 2x = 0
ou -2x + 0y + 5 = 0
ou (-2) x + (0) y + (5) = 0
Comparando-o com ax + by + c = 0, obtemos a = -2, b = 0 e c = 5.

Soluções NCERT para Matemática da Classe 9, Capítulo 4 Equações Lineares em Duas Variáveis ​​(दो चरों में रसमीक समीकर Hindi) (Hindi Médio) Ex 4.1



Soluções NCERT para Matemática da Classe 9 Capítulo 4 Equações lineares em duas variáveis ​​Ex 4.2

Questão 1
Qual das opções a seguir é verdadeira e por quê?
y = 3x + 5 tem
(i) uma solução única,
(ii) apenas duas soluções,
(iii) infinitas soluções
Solução:
A opção (iii) é verdadeira porque para cada valor de x, obtemos um valor correspondente de y e vice-versa na equação fornecida.
Conseqüentemente, dada equação linear tem infinitas soluções.

Questão 2
Escreva quatro soluções para cada uma das seguintes equações:
(i) 2x + y = 7
(ii) πx + y = 9
(iii) x = 4y
Solução:
(i) 2x + y = 7
Quando x = 0, 2 (0) + y = 7 ⇒ y = 7
∴ A solução é (0, 7)
Quando x = 1, 2 (1) + y = 7 ⇒ y = 7 & # 8211 2 ⇒ y = 5
∴ A solução é (1, 5)
Quando x = 2, 2 (2) + y = 7y = 7 & # 8211 4 ⇒ y = 3
∴ A solução é (2, 3)
Quando x = 3, 2 (3) + y = 7y = 7 & # 8211 6 ⇒ y = 1
∴ A solução é (3, 1).

(ii) πx + y = 9
Quando x = 0, π (0) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 0 ⇒ y = 9
∴ A solução é (0, 9)
Quando x = 1, π (1) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 π
∴ A solução é (1, (9 & # 8211 π))
Quando x = 2, π (2) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 2π
∴ A solução é (2, (9 & # 8211 2π))
Quando x = -1, π (-1) + y = 9 ⇒ y = 9 + π
∴ A solução é (-1, (9 + π))

(iii) x = 4y
Quando x = 0, 4y = 1 ⇒ y = 0
∴ A solução é (0, 0)
Quando x = 1, 4y = 1 ⇒ y = ( frac <1> <4> )
∴ A solução é (1, ( frac <1> <4> ))
Quando x = 4, 4y = 4 ⇒ y = 1
∴ A solução é (4, 1)
Quando x = 4, 4y = 4 ⇒ y = -1
∴ A solução é (-4, -1)

Questão 3
Verifique quais das seguintes são soluções da equação x & # 8211 2y = 4 e quais não são:
(i) (0,2)
(ii) (2,0)
(iii) (4, 0)
(iv) (√2, 4√2)
(v) (1, 1)
Solução:
(i) (0,2) significa x = 0 e y = 2
Soprando x = 0 ey = 2 em x & # 8211 2y = 4, obtemos
L.H.S. = 0 & # 8211 2 (2) = -4.
Mas R.H.S. = 4
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ x = 0, y = 2 não é uma solução.

(ii) (2, 0) significa x = 2 e y = 0
Colocando x = 2 ey = 0 em x & # 8211 2y = 4, obtemos
L.H: S. 2 & # 8211 2 (0) = 2 & # 8211 0 = 2.
Mas R.H.S. = 4
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ (2,0) não é uma solução.

(iii) (4, 0) significa x = 4 e y = 0
Colocando x = 4 ey = o em x & # 8211 2y = 4, obtemos
L.H.S. = 4 & # 8211 2 (0) = 4 & # 8211 0 = 4 = R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.
∴ (4, 0) é uma solução.

(iv) (√2, 4√2) significa x = √2 ey = 4√2
Colocando x = √2 ey = 4√2 em x & # 8211 2y = 4, obtemos
L.H.S. = √2 & # 8211 2 (4√2) = √2 & # 8211 8√2 = -7√2
Mas R.H.S. = 4
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ (√2, 4√2) não é uma solução.

(v) (1, 1) significa x = 1 ey = 1
Colocando x = 1 ey = 1 em x & # 8211 2y = 4, obtemos
LH.S. = 1 & # 8211 2 (1) = 1 & # 8211 2 = -1. Mas R.H.S = 4
∴ LH.S. ≠ R.H.S.
∴ (1, 1) não é uma solução.

Questão 4
Encontre o valor de k, se x = 2, y = 1 é uma solução da equação 2x + 3y = k.
Solução:
Temos 2x + 3y = k
colocando x = 2 ey = 1 em 2x + 3y = k, obtemos
2 (2) + 3 (1) ⇒ k = 4 + 3 & # 8211 k ⇒ 7 = k
Portanto, o valor necessário de k é 7.

Soluções NCERT para Matemática da Classe 9 Capítulo 4 Equações Lineares em Duas Variáveis ​​Ex 4.3

Questão 1
Desenhe o gráfico de cada uma das seguintes equações lineares em duas variáveis:
(i) x + y = 4
(ii) x & # 8211 y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
Solução:
(i) x + y = 4 ⇒ y = 4 & # 8211 x
Se tivermos x = 0, então y = 4 & # 8211 0 = 4
x = 1, então y = 4 & # 8211 1 = 3
x = 2, então y = 4 & # 8211 2 = 2
∴ Obtemos a seguinte tabela:

Trace os pares ordenados (0, 4), (1,3) e (2,2) no papel milimetrado. Juntando esses pontos, obtemos uma linha reta AB como mostrado.

Assim, a linha AB é o gráfico necessário de x + y = 4

(ii) x & # 8211 y = 2 ⇒ y = x & # 8211 2
Se tivermos x = 0, então y = 0 & # 8211 2 = -2
x = 1, então y = 1 & # 8211 2 = -1
x = 2, então y = 2 & # 8211 2 = 0
∴ Obtemos a seguinte tabela:

Trace os pares ordenados (0, -2), (1, -1) e (2, 0) no papel milimetrado. Juntando esses pontos, obtemos uma linha reta PQ conforme mostrado.

Assim, o ime é o gráfico necessário de x & # 8211 y = 2

(iii) y = 3x
Se tivermos x = 0,
então y = 3 (0) ⇒ y = 0
x = 1, então y = 3 (1) = 3
x = -1, então y = 3 (-1) = -3
∴ Obtemos a seguinte tabela:

Trace os pares ordenados (0, 0), (1, 3) e (-1, -3) no papel milimetrado. Juntando esses pontos, obtemos uma linha reta LM, conforme mostrado.

Assim, a linha LM é o gráfico necessário de y = 3x.

(iv) 3 = 2x + y ⇒ y = 3 & # 8211 2x
Se tivermos x = 0, então y = 3 & # 8211 2 (0) = 3
x = 1, então y = 3 & # 8211 2 (1) = 3 & # 8211 2 = 1
x = 2, então y = 3 & # 8211 2 (2) = 3 & # 8211 4 = -1
∴ Obtemos a seguinte tabela:

Trace os pares ordenados (0, 3), (1, 1) e (2, & # 8211 1) no papel milimetrado. Juntando esses pontos, obtemos um CD em linha reta conforme mostrado.

Assim, a linha CD é o gráfico necessário de 3 = 2x + y.

Questão 2
Forneça as equações de duas retas passando por (2, 14). Quantas linhas mais existem e por quê?
Solução:
(2, 14) significa x = 2 e y = 14
As equações que têm (2,14) como solução são (i) x + y = 16, (ii) 7x & # 8211 y = 0
Há um número infinito de linhas que passam pelo ponto (2, 14), porque um número infinito de linhas pode ser traçado por um ponto.

Questão 3
Se o ponto (3, 4) estiver no gráfico da equação 3y = ax + 7, encontre o valor de a.
Solução:
A equação da linha dada é 3y = ax + 7
∵ (3, 4) encontra-se na linha dada.
∴ Deve satisfazer a equação 3y = ax + 7
Temos, (3, 4) ⇒ x = 3 ey = 4.
Colocando esses valores em determinada equação, obtemos
3 x 4 = a x 3 + 7
⇒ 12 = 3a + 7
⇒ 3a = 12 & # 8211 7 = 5 ⇒ a = ( frac <5> <3> )
Assim, o valor exigido de a é ( frac <5> <3> )

Questão 4
A tarifa de táxi em uma cidade é a seguinte: Para o primeiro quilômetro, a tarifa é de Rs. 8 e para a distância subsequente é Rs. 5 por km. Tomando a distância percorrida como x km e a tarifa total como Rs.y, escreva uma equação linear para esta informação e desenhe seu gráfico.
Solução:
Aqui, distância total percorrida = x km e tarifa total de táxi = Rs. y
Tarifa de 1km = Rs. 8
Distância restante = (x & # 8211 1) km
∴ Tarifa para (x & # 8211 1) km = Rs.5 x (x & # 8211 1)
Preço total do táxi = Rs. 8 + Rs. 5 (x & # 8211 1)
De acordo com a pergunta,
y = 8 + 5 (x & # 8211 1) = y = 8 + 5x & # 8211 5
⇒ y = 5x + 3,
que é a equação linear necessária que representa as informações fornecidas.
Gráfico: temos y = 5x + 3
Wben x = 0, então y = 5 (0) + 3 ⇒ y = 3
x = -1, então y = 5 (-1) + 3 ⇒ y = -2
x = -2, então y = 5 (-2) + 3 ⇒ y = -7
∴ Obtemos a seguinte tabela:

Agora, plotando os pares ordenados (0, 3), (-1, -2) e (-2, -7) em um papel gráfico e juntando-os, obtemos uma linha reta PQ como mostrado.

Assim, a linha PQ é o gráfico necessário da equação linear y = 5x + 3.

Questão 5
Das escolhas fornecidas abaixo, escolha a equação cujos gráficos são fornecidos na Fig. (1) e na Fig. (2).
Para a Fig. (1)
(i) y = x
(ii) x + y = 0
(iii) y = 2x
(iv) 2 + 3y = 7x

Para a Fig. (2)
(i) y = x + 2
(ii) y = x & # 8211 2
(iii) y = -x + 2
(iv) x + 2y = 6

Solução:
Para a Fig. (1), a equação linear correta é x + y = 0
[As (-1, 1) = -1 + 1 = 0 e (1, -1) = 1 + (-1) = 0]
Para a Fig. (2), a equação linear correta é y = -x + 2
[As (-1,3) 3 = -1 (-1) + 2 = 3 = 3 e (0,2)
⇒ 2 = -(0) + 2 ⇒ 2 = 2]

Questão 6
Se o trabalho realizado por um corpo na aplicação de uma força constante é diretamente proporcional à distância percorrida pelo corpo, expresse isso na forma de uma equação em duas variáveis ​​e desenhe o gráfico da mesma tomando a força constante como 5 unidades . Leia também no gráfico o trabalho realizado quando a distância percorrida pelo corpo é
(i) 2 unidades
(ii) 0 unidade
Solução:
A força constante é de 5 unidades.
Seja a distância percorrida = x unidades e o trabalho realizado = y unidades.
Trabalho realizado = Força x Distância
⇒ y = 5 x x ⇒ y = 5x
Para desenhar o gráfico, temos y = 5x
Quando x = 0, então y = 5 (0) = 0
x = 1, então y = 5 (1) = 5
x = -1, então y = 5 (-1) = -5
∴ Obtemos a seguinte tabela:

Colocando os pares ordenados (0, 0), (1, 5) e (-1, -5) no papel milimetrado e juntando os pontos, obtemos uma linha reta AB como mostrado.

A partir do gráfico, obtemos
(i) Distância percorrida = 2 unidades, ou seja, x = 2
∴ Se x = 2, então y = 5 (2) = 10
⇒ Trabalho realizado = 10 unidades.

(ii) Distância percorrida = 0 unidade, ou seja, x = 0
∴ Se x = 0 ⇒ y = 5 (0) & # 8211 0
⇒ Trabalho realizado = 0 unidade.

Questão 7
Yamini e Fatima, dois alunos da Classe IX de uma escola, juntos contribuíram com Rs. 100 para o Fundo de Ajuda do Primeiro Ministro para ajudar as vítimas do terremoto. Escreva uma equação linear que satisfaça esses dados. (Você pode receber suas contribuições como Rs.x e Rs.y.) Desenhe o gráfico do mesmo.
Solução:
Deixe a contribuição de Yamini = Rs. x
e a contribuição de Fatima Rs. y
∴ Temos x + y = 100 ⇒ y = 100 & # 8211 x
Agora, quando x = 0, y = 100 & # 8211 0 = 100
x = 50, y = 100 & # 8211 50 = 50
x = 100, y = 100 & # 8211 100 = 0
∴ Obtemos a seguinte tabela:

Plotando os pares ordenados (0,100), (50,50) e (100, 0) em um papel gráfico usando a escala adequada e juntando esses pontos, obtemos uma linha reta PQ como mostrado.

Assim, a linha PQ é o gráfico necessário da equação linear x + y = 100.

Questão 8
Em países como EUA e Canadá, a temperatura é medida em Fahrenheit, enquanto em países como a Índia, é medida em Celsius. Aqui está um
equação linear que converte Fahrenheit em Celsius:
F = ( ( frac <9> <5> )) C + 32
(i) Desenhe o gráfico da equação linear acima usando Celsius para o eixo xe Fahrenheit para o eixo y.
(ii) Se a temperatura for 30 ° C, qual é a temperatura em Fahrenheit?
(iii) Se a temperatura for de 95 ° F, qual é a temperatura em Celsius?
(iv) Se a temperatura é 0 ° C, qual é a temperatura em Fahrenheit e se a temperatura é 0 ° F, qual é a temperatura em Celsius?
(v) Existe uma temperatura que é numericamente a mesma em Fahrenheit e Celsius? Se sim, encontre.
Solução:
(i) Nós temos
F = ( ( frac <9> <5> )) C + 32
Quando C = 0, F = ( ( frac <9> <5> )) x 0 + 32 = 32
Quando C = 15, F = ( ( frac <9> <5> )) (- 15) + 32 = -27 + 32 = 5
Quando C = -10, F = ( frac <9> <5> ) (-10) +32 = -18 + 32 = 14
Temos a seguinte tabela:

Traçando os pares ordenados (0, 32), (-15, 5) e (-10,14) em um papel gráfico. Juntando esses pontos, obtemos uma linha reta AB.

(ii) No gráfico, temos 86 ° F que corresponde a 30 ° C.
(iii) A partir do gráfico, temos 95 ° F corresponde a 35 ° C.
(iv) Temos, C = 0
De (1), obtemos
F = ( ( frac <9> <5> )) 0 + 32 = 32
Além disso, F = 0
De (1), obtemos
0 = ( ( frac <9> <5> )) C + 32 ⇒ ( frac <-32 times 5> <9> ) = C ⇒ C = -17,8
(V) Quando F = C (numericamente)
De (1), obtemos
F = ( frac <9> <5> ) F + 32 ⇒ F & # 8211 ( frac <9> <5> ) F = 32
⇒ ( frac <-4> <5> ) F = 32 ⇒ F = -40
∴ A temperatura é & # 8211 40 ° em F e C.

Soluções NCERT para Matemática da Classe 9, Capítulo 4 Equações Lineares em Duas Variáveis ​​Ex 4.4

Questão 1
Dê as representações geométricas de y = 3 como uma equação
(i) em uma variável
(ii) em duas variáveis
Solução:
(i) y = 3
∵ y = 3 é uma equação em uma variável, ou seja, apenas y.
∴ y = 3 é uma solução única na reta numérica, conforme mostrado abaixo:

(ii) y = 3
Podemos escrever y = 3 em duas variáveis ​​como 0.x + y = 3
Agora, quando x = 1, y = 3
x = 2, y = 3
x = -1, y = 3
∴ Obtemos a seguinte tabela:

Traçando os pares ordenados (1, 3), (2, 3) e (-1, 3) em um papel gráfico e juntando-os, obtemos uma linha AB como solução de 0. x + y = 3,
ou seja, y = 3.

Questão 2
Dê as representações geométricas de 2x + 9 = 0 como uma equação
(i) em uma variável
(ii) em duas variáveis
Solução:
(i) 2x + 9 = 0
Temos, 2x + 9 = 0 ⇒ 2x = & # 8211 9 ⇒ x = ( frac <-9> <2> )
que é uma equação linear em uma variável, ou seja, x apenas.
Theref minério, x = (- frac <9> <2> ) é uma solução única na linha numérica, conforme mostrado abaixo:

(ii) 2x + 9 = 0
Podemos escrever 2x + 9 = 0 em duas variáveis ​​como 2x + 0, y + 9 = 0
ou (x = frac <-9-0.y> <2> )
∴ Quando y = 1, x = (x = frac <-9-0 (1)> <2> ) = (- frac <9> <2> )

Assim, obtemos a seguinte tabela:

Agora, traçando os pares ordenados (( frac <-9> <2>, 3) ), (( frac <-9> <2>, 3) ) e (( frac <-9 > <2>, 3) ) em um papel quadriculado e juntando-os, obtemos uma linha PQ como solução de 2x + 9 = 0.


4.1 Resolver Sistemas de Equações Lineares com Duas Variáveis

Em Resolvendo Equações Lineares, aprendemos como resolver equações lineares com uma variável. Agora trabalharemos com duas ou mais equações lineares agrupadas, o que é conhecido como sistema de equações lineares.

Sistema de Equações Lineares

Quando duas ou mais equações lineares são agrupadas, elas formam um sistema de equações lineares.

Nesta seção, enfocaremos nosso trabalho em sistemas de duas equações lineares em duas incógnitas. Resolveremos sistemas maiores de equações posteriormente neste capítulo.

Um exemplo de um sistema de duas equações lineares é mostrado abaixo. Usamos uma chave para mostrar que as duas equações estão agrupadas para formar um sistema de equações.

Para resolver um sistema de duas equações lineares, queremos encontrar os valores das variáveis ​​que são soluções para Ambas equações. Em outras palavras, estamos procurando os pares ordenados (x, y) (x, y) que tornam ambas as equações verdadeiras. Essas são chamadas de soluções de um sistema de equações.

Soluções de um sistema de equações

O soluções de um sistema de equações são os valores das variáveis ​​que fazem tudo as equações são verdadeiras. Uma solução de um sistema de duas equações lineares é representada por um par ordenado (x, y). (x, y).

Para determinar se um par ordenado é uma solução para um sistema de duas equações, substituímos os valores das variáveis ​​em cada equação. Se o par ordenado torna ambas as equações verdadeiras, é uma solução para o sistema.

Exemplo 4.1

Determine se o par ordenado é uma solução para o sistema

Solução

Determine se o par ordenado é uma solução para o sistema <3 x + y = 0 x + 2 y = −5. <3 x + y = 0 x + 2 y = −5.

Determine se o par ordenado é uma solução para o sistema

Resolva um sistema de equações lineares por meio de gráficos

Nesta seção, usaremos três métodos para resolver um sistema de equações lineares. O primeiro método que usaremos é a representação gráfica.

O gráfico de uma equação linear é uma linha. Cada ponto da linha é uma solução para a equação. Para um sistema de duas equações, vamos representar graficamente duas linhas. Então podemos ver todos os pontos que são soluções para cada equação. E, ao descobrir o que as linhas têm em comum, encontraremos a solução para o sistema.

A maioria das equações lineares em uma variável tem uma solução, mas vimos que algumas equações, chamadas de contradições, não têm solução e para outras equações, chamadas de identidades, todos os números são soluções.

Da mesma forma, quando resolvemos um sistema de duas equações lineares representadas por um gráfico de duas retas no mesmo plano, existem três casos possíveis, como mostrado.

Cada vez que demonstrarmos um novo método, o usaremos no mesmo sistema de equações lineares. No final da seção, você decidirá qual método foi a maneira mais conveniente de resolver este sistema.

Exemplo 4.2

Como resolver um sistema de equações por meio de gráficos

Resolva o sistema fazendo um gráfico de <2 x + y = 7 x - 2 y = 6. <2 x + y = 7 x - 2 y = 6.

Solução

Resolva o sistema fazendo um gráfico:

Resolva o sistema fazendo um gráfico: <- x + y = 1 3 x + 2 y = 12. <- x + y = 1 3 x + 2 y = 12.

As etapas a serem usadas para resolver um sistema de equações lineares por meio de gráficos são mostradas aqui.

Como

Resolva um sistema de equações lineares por meio de gráficos.

  1. Etapa 1. Represente graficamente a primeira equação.
  2. Etapa 2. Represente graficamente a segunda equação no mesmo sistema de coordenadas retangulares.
  3. Etapa 3. Determine se as linhas se cruzam, são paralelas ou são a mesma linha.
  4. Etapa 4. Identifique a solução para o sistema.
    • Se as linhas se cruzam, identifique o ponto de intersecção. Esta é a solução para o sistema.
    • Se as linhas são paralelas, o sistema não tem solução.
    • Se as linhas forem iguais, o sistema possui um número infinito de soluções.
  5. Etapa 5. Verifique a solução em ambas as equações.

No próximo exemplo, vamos primeiro reescrever as equações na forma de inclinação-interceptação, pois isso tornará mais fácil para nós fazermos gráficos rapidamente das linhas.

Exemplo 4.3

Resolva o sistema fazendo um gráfico: <3 x + y = - 1 2 x + y = 0. <3 x + y = - 1 2 x + y = 0.

Solução

Resolva a primeira equação para y.
Encontre a inclinação e y-interceptar.
Resolva a segunda equação para y.
Encontre a inclinação e y-interceptar.
Represente graficamente as linhas.
Determine o ponto de intersecção. As linhas se cruzam em (-1, 2). (-1, 2).
Verifique a solução em ambas as equações.

A solução é (-1, 2). (-1, 2).

Resolva o sistema fazendo um gráfico: <- x + y = 1 2 x + y = 10. <- x + y = 1 2 x + y = 10.

Resolva o sistema fazendo um gráfico: <2 x + y = 6 x + y = 1. <2 x + y = 6 x + y = 1.

Em todos os sistemas de equações lineares até agora, as linhas se cruzaram e a solução foi um ponto. Nos próximos dois exemplos, veremos um sistema de equações que não tem solução e um sistema de equações que tem um número infinito de soluções.

Exemplo 4.4

Resolva o sistema fazendo um gráfico:

Solução

Para representar graficamente a primeira equação, usaremos seu
declive e y-interceptar.
Para representar graficamente a segunda equação, usaremos
as interceptações.
Represente graficamente as linhas.
Determine os pontos de intersecção. As linhas são paralelas.
Uma vez que nenhum ponto está em ambas as linhas, não há
par ordenado que faz ambas as equações
verdadeiro. Não há solução para este sistema.

Resolva o sistema fazendo um gráfico:

Resolva o sistema fazendo um gráfico:

Às vezes, as equações em um sistema representam a mesma linha. Uma vez que cada ponto na linha torna ambas as equações verdadeiras, há infinitos pares ordenados que tornam as duas equações verdadeiras. Existem infinitas soluções para o sistema.

Exemplo 4.5

Resolva o sistema fazendo um gráfico:

Solução

Encontre a inclinação e y-intercepto da primeira equação.
Encontre as interceptações da segunda equação.
Represente graficamente as linhas.
As linhas são iguais!
Uma vez que cada ponto na linha torna ambos
equações verdadeiras, existem infinitamente muitos
pares ordenados que tornam ambas as equações verdadeiras.
Existem infinitas soluções para este sistema.

Se você escrever a segunda equação na forma de inclinação-interceptação, você pode reconhecer que as equações têm a mesma inclinação e a mesma y-interceptar.

Resolva o sistema fazendo um gráfico:

Resolva o sistema fazendo um gráfico:

Quando representamos graficamente a segunda linha no último exemplo, nós a desenhamos bem sobre a primeira linha. Dizemos que as duas linhas são coincidentes. As linhas coincidentes têm a mesma inclinação e o mesmo y-interceptar.

Linhas Coincidentes

Linhas coincidentes tem a mesma inclinação e o mesmo y-interceptar.

Cada um dos sistemas de equações do Exemplo 4.2 e do Exemplo 4.3 tinha duas linhas que se cruzavam. Cada sistema tinha uma solução.

No Exemplo 4.5, as equações deram linhas coincidentes e, portanto, o sistema tinha infinitas soluções.

Os sistemas nesses três exemplos tinham pelo menos uma solução. Um sistema de equações que tem pelo menos uma solução é chamado de consistente sistema.

Um sistema com linhas paralelas, como o Exemplo 4.4, não tem solução. Chamamos um sistema de equações como este inconsistente. Não tem solução.

Sistemas consistentes e inconsistentes

Um sistema de equações consistente é um sistema de equações com pelo menos uma solução.

Um sistema de equações inconsistente é um sistema de equações sem solução.

Também categorizamos as equações em um sistema de equações chamando as equações independente ou dependente. Se duas equações são independentes, cada uma tem seu próprio conjunto de soluções. As linhas de intersecção e paralelas são independentes.

Se duas equações são dependentes, todas as soluções de uma equação também são soluções da outra equação. Quando representamos graficamente duas equações dependentes, obtemos linhas coincidentes.

Vamos resumir observando os gráficos dos três tipos de sistemas. Veja abaixo e a Tabela 4.1.

Linhas Cruzamento Paralelo Coincidente
Número de soluções 1 ponto Sem solução Infinitamente muitos
Consistente / inconsistente Consistente Inconsistente Consistente
Dependente independente Independente Independente Dependente

Exemplo 4.6

Sem representar graficamente, determine o número de soluções e, em seguida, classifique o sistema de equações.

Solução

Ⓐ Compararemos as inclinações e interceptações das duas linhas.

Um sistema de equações cujos gráficos são linhas paralelas não tem solução e é inconsistente e independente.

Ⓑ Vamos comparar a inclinação e os interceptos das duas linhas.

Um sistema de equações cujos gráficos se cruzam tem 1 solução e é consistente e independente.

Sem fazer gráficos, determine o número de soluções e, em seguida, classifique o sistema de equações.

Sem representar graficamente, determine o número de soluções e, em seguida, classifique o sistema de equações.

Resolver sistemas de equações lineares por meio de gráficos é uma boa maneira de visualizar os tipos de soluções que podem resultar. No entanto, existem muitos casos em que resolver um sistema por meio de gráficos é inconveniente ou impreciso. Se os gráficos se estendem além da pequena grade com x e y ambos entre −10 −10 e 10, representar graficamente as linhas pode ser complicado. E se as soluções para o sistema não forem inteiras, pode ser difícil ler seus valores precisamente em um gráfico.

Resolva um sistema de equações por substituição

Vamos agora resolver sistemas de equações lineares pelo método de substituição.

Usaremos o mesmo sistema que usamos primeiro para gráficos.

Vamos primeiro resolver uma das equações para qualquer x ou y. Podemos escolher qualquer uma das equações e resolver qualquer uma das variáveis, mas tentaremos fazer uma escolha que manterá o trabalho fácil.

Em seguida, substituímos essa expressão na outra equação. O resultado é uma equação com apenas uma variável - e sabemos como resolvê-las!

Depois de encontrar o valor de uma variável, substituiremos esse valor em uma das equações originais e resolveremos para a outra variável. Finalmente, verificamos nossa solução e nos certificamos de que ambas as equações são verdadeiras.

Exemplo 4.7

Como resolver um sistema de equações por substituição

Resolva o sistema por substituição: <2 x + y = 7 x - 2 y = 6. <2 x + y = 7 x - 2 y = 6.

Solução

Resolva o sistema por substituição: <- 2 x + y = −11 x + 3 y = 9. <- 2 x + y = −11 x + 3 y = 9.

Resolva o sistema por substituição: <2 x + y = −1 4 x + 3 y = 3. <2 x + y = −1 4 x + 3 y = 3.

Como

Resolva um sistema de equações por substituição.

  1. Etapa 1. Resolva uma das equações para qualquer uma das variáveis.
  2. Step 2. Substitute the expression from Step 1 into the other equation.
  3. Step 3. Solve the resulting equation.
  4. Step 4. Substitute the solution in Step 3 into either of the original equations to find the other variable.
  5. Step 5. Write the solution as an ordered pair.
  6. Step 6. Check that the ordered pair is a solution to both original equations.

Be very careful with the signs in the next example.

Example 4.8

Solve the system by substitution: < 4 x + 2 y = 4 6 x − y = 8 . < 4 x + 2 y = 4 6 x − y = 8 .

Solução

We need to solve one equation for one variable. We will solve the first equation for y.

Solve the system by substitution: < x − 4 y = −4 − 3 x + 4 y = 0 . < x − 4 y = −4 − 3 x + 4 y = 0 .

Solve the system by substitution: < 4 x − y = 0 2 x − 3 y = 5 . < 4 x − y = 0 2 x − 3 y = 5 .

Solve a System of Equations by Elimination

We have solved systems of linear equations by graphing and by substitution. Graphing works well when the variable coefficients are small and the solution has integer values. Substitution works well when we can easily solve one equation for one of the variables and not have too many fractions in the resulting expression.

The third method of solving systems of linear equations is called the Elimination Method. When we solved a system by substitution, we started with two equations and two variables and reduced it to one equation with one variable. This is what we’ll do with the elimination method, too, but we’ll have a different way to get there.

The Elimination Method is based on the Addition Property of Equality. The Addition Property of Equality says that when you add the same quantity to both sides of an equation, you still have equality. We will extend the Addition Property of Equality to say that when you add equal quantities to both sides of an equation, the results are equal.

For any expressions a, b, c, e d.

To solve a system of equations by elimination, we start with both equations in standard form. Then we decide which variable will be easiest to eliminate. How do we decide? We want to have the coefficients of one variable be opposites, so that we can add the equations together and eliminate that variable.

Notice how that works when we add these two equations together:

O y’s add to zero and we have one equation with one variable.

This time we don’t see a variable that can be immediately eliminated if we add the equations.

Then rewrite the system of equations.

Now we see that the coefficients of the x terms are opposites, so x will be eliminated when we add these two equations.

Once we get an equation with just one variable, we solve it. Then we substitute that value into one of the original equations to solve for the remaining variable. And, as always, we check our answer to make sure it is a solution to both of the original equations.

Now we’ll see how to use elimination to solve the same system of equations we solved by graphing and by substitution.

Example 4.9

How to Solve a System of Equations by Elimination

Solve the system by elimination: < 2 x + y = 7 x − 2 y = 6 . < 2 x + y = 7 x − 2 y = 6 .


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Linear Equations

&emsp&emspEquations of the form ax+b=0 are called linear equations in the variable x . In this section we will be concerned with the problem of solving linear equations, and equations that reduce to linear equations.

&emsp&emspWe define two equations as equivalent if they have the same solution set. The following two operations on an equation always result in a new equation which is equivalent to the original one. These operations, sometimes called elementary transformations, are:

&emsp&emspT.1 The same expression representing a real number may be added to both sides of an equation.

&emsp&emspT.2 The same expression representing a nonzero real number may be multiplied into both sides of an equation.

&emsp&emspUsing these operations we may transform an equation whose solution set is not obvious through a series of equivalent equations to an equation that has an obvious solution set.

Example 1.&emsp&emspSolve the equation

&emsp&emspAdd -x to both sides to obtain

&emsp&emspAdd 3 to both sides to obtain

&emsp&emspSince 2x-3=4+x is equivalent to x-3=4 , which, in turn, is equivalent to x=7 , whose solution set is obviously <7>, we know that the solution set of (a) is <7>.

Let&rsquos see how our Linear equation solver solves this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

Example 2.&emsp&emspSolve the equation

&emsp&emspAdd -(1/2)x to both sides to obtain

&emsp&emspAdd 1 to both sides to obtain

&emsp&emspMultiply both sides by 1/2 to obtain

&emsp&emspThus, the solution set of (b) is <5/6>.

&emsp&emspEvery linear equation can be solved in the same way as in the above examples. In fact, let us consider the general linear equation

&emsp&emspAdd -b to both sides to obtain

&emsp&emspMultiply both sides by 1/a to obtain

&emsp&emspif a a!=0 . The general linear equation, therefore, has as its solution set , if a!=0 . Thus each linear equation has at most one solution.

&emsp&emspThe next two examples are of equations that reduce to linear equations.

Example 3.&emsp&emspSolve the equation

&emsp&emspWe expand both sides to obtain

&emsp&emspAdd -20y^2 to both sides to obtain

&emsp&emspWe now solve as in the previous examples.

Let&rsquos see how our step by step math solver solves this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

Example 4.&emsp&emspSolve the equation

&emsp&emspThe replacement set of (c) is all real numbers except 1. Assuming that x!=1 , we multiply both sides of (c) by x-1 to obtain

&emsp&emspSolving the equation 2x =2+x- 1 , we obtain 1 as the only solution Since 1 is not in the replacement of (d), (d) has no solution. Furthermore, (c) is equivalent to (d), therefore (c) has no solution.

6.3&emsp&emspSolving Literal Equations

&emsp&emspAn equation containing more than one variable, or containing symbols representing constants such as a,b , and c , can be solved for one of the symbols in terms of the remaining symbols by applications of the operations T.1 and T.2 in the preceding section. The student will encounter such problems in other courses.

Example 1.&emsp&emspSolve cx-3a=b for x .

&emsp&emspMultiply both sides by 1/c .

&emsp&emspThis last equation expresses x in terms of the other symbols.

Example 2.&emsp&emspSolve 3ay-2b=2cy for y .

&emsp&emspMultiply both sides by 1/((3a-2c))

Example 3.&emsp&emspSolve a/x+b/(2x)=c for x .

&emsp&emspMultiply both sides by 2x .

&emsp&emspWe conclude this section by including two more examples similar to those that the student may encounter in other areas.

Let&rsquos see how our math solver solves this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

Example 4.&emsp&emspSolve A=P(1+rt) for r .

&emsp&emspApply the distributive law.

&emsp&emspMultiply both sides by 1/(Pt) .

Example 5.&emsp&emspSolve 1/R=1/r_1+1/r_2 for r_1 .

&emsp&emspAdd the two terms on the right&mdashhand side.

6.4&emsp&emspSolving Statement Problems

&emsp&emspOne of the fundamental applications of algebra is solving problems that have been stated in words. A statement problem is a word description of a situation that involves both known and unknown quantities. In this section each problem will be solvable by means of one equation involving one unknown.

&emsp&emspOur problem is to choose the unknown and to determine the equation that it must satisfy. Although there is no single approach to all of the problems, the following suggestions are sometimes helpful:

&emsp&emsp1. Read the problem carefully until the situation is thoroughly understood.

&emsp&emsp2. Determine what quantities are asked for, then choose the one that seems to be the best to use as the unknown.

&emsp&emsp3. Establish the relationship between the unknown and the other quantities in the problem.

&emsp&emsp4. Find the information that tells which two quantities are equal.

&emsp&emsp5. Use the information in (4) to write the equation.

&emsp&emsp6. Solve the equation and check the solution to see that it satisfies the original problem.

&emsp&emspAt this stage, the emphasis will be on translating statement problems into equations. Although some of the problems can be solved almost by inspection, the practice that we obtain in setting up equations will prove helpful in working more difficult problems.

Example 1.&emsp&emspIf 2 times a certain integer is added to the next consecutive integer the result is 34 . Find the integers.
Passo 1. Reread!
Passo 2. Let x be the first integer.
Etapa 3. Then x+ 1 is the next consecutive integer.
Passo 4. 2 times a certain integer plus the next consecutive integer is 34 .
Step 5. 2x+(x+1)=34

Step 6. Solve.&emsp&emsp

Example 2.&emsp&emspBob and Joe together earned $ 60 . Both were paid at the same rate, but Bob worked three times as long as Joe. How much did each receive?

Passo 1. Reread!

Passo 2. Let x be the number of dollars that Joe received.

Etapa 3. Then 3x is the number of dollars that Bob received

Passo 4. Bob and Joe together earned $ 60 .
Step 5. 3x+x=60

Step 6. Solve.&emsp&emsp

Example 3.&emsp&emspThe sum of the digits of a two digit number is 12 . If the digits are reversed the number is decreased by 36 . What is the number?

Passo 1. Reread!

Passo 2. Let x be the tens digit.

Etapa 3. Then 12 - x is the units digit.

Passo 4. If the digits are reversed then the number is decreased by 36

Step 5. 10(12-x)+x = 10x+ (12-x) -36

Step 6. Resolver.

&emsp&emspTherefore the number is 84 .

Example 4.&emsp&emspHow many pounds of candy valued at 48 ¢ per pound should be added to 50 pounds of candy valued at 80 ¢ per pound in order for the store owner to be able to sell the candy at 60 ¢ per pound?
Passo 1. Reread!
Passo 2. Let x be the number of pounds of 48 ¢ per pound candy.
Etapa 3. Then 50+x would be the pounds of candy he would have at 60 ¢ per pound.
Passo 4. The amount of candy at 48 ¢ per pound times 48 ¢, plus the amount of candy at 80 ¢ per pound times 80 ¢, must be equal to the amount of candy at 60 ¢ per pound times 60 ¢.
Step 5. ( 48 ¢/lb)( x lbs) + ( 80 ¢/lb) ( 50 lbs) = ( 60 ¢/lb) [( 50+x )lbs]

Step 6. Resolver.

&emsp&emspProblems involving velocities (or speeds) will use the formula

&emsp&emspwhere d is the distance traveled, r is the rate, and t is the time. When the formula is used, d and r must be expressed in the same unit of distance, while r and t must be expressed in the same unit of time.

Example 5.&emsp&emspA group of students drove to a lake in the north woods to fish. They traveled 380 miles in 7 hours, of which 4 hours were on a paved highway and the remaining time was on a dirt road. If the average speed on the dirt road was 25 miles per hour less than the average speed on the highway, then find for each part of the trip the average speed and the distance traveled.

Passo 1. Reread!

Passo 2. Let x be the speed on the dirt road.

Etapa 3. Then x+25 is the speed on the highway.

Passo 4. The distance traveled on the highway plus the distance traveled on the dirt road is equal to 380 miles.

Step 5. Since d=rt , we have

Step 6. Resolver.

&emsp&emspWork problems which involve the rate of performance can often be solved by first finding the fractional part of the task done by each person or machine in one unit of time, and then finding an equation that relates these various fractional parts.

Example 6.&emsp&emspA boy can cut a lawn in 4 hours while the father can cut it in 3 hours. How long would it take them to cut the same lawn working together?

Passo 1. Reread!

Passo 2. Let x be the number of hours that it would take them to cut the lawn Working together.

etapa 3. Choose one hour as our unit of time. Now the boy can cut 1/4 of the lawn in one hour, the father can cut 1/3 of the lawn in one hour, and togeflner they can cut 1/x of the lawn in one hour.

Passo 4. The amount cut by the boy in one hour plus the amount cut by the father in one hour is equal to the amount they can cut together in one hour.


4.1: Linear Functions - Mathematics

A linear equation in one variable can be expressed in the form of ax+b = 0, where x is the variable and a and b are the constants involved. These constants (a and b) should be non-zero real numbers. These types of equations have only one possible solution for the value of the variable.

Steps for Solving Linear Equations in One Variable

The following steps are performed to solve linear equations in one variable:

Passo 1: In case the integers a and b are fractional numbers, LCM has to be taken to clear them.

Passo 2: The constants are taken to the right side of the equation.

Etapa 3: All the terms involving the variable are isolated to the left hand side of the equation, to evaluate the value of the variable.

Passo 4: The solution is verified.

Examples of Linear Equation in One Variable:

The following are some of the examples of linear equations in one variable:

If we analyze these examples, we have only one variable, and the highest power of this variable in any term is 1.
This algebraic equation can be evaluated by taking all the terms involving the variables on the left-hand side (L.H.S) and constants on the right side (R.H.S), to solve for the corresponding variable value.

Sample Problems on Linear Equations

Example 1: Solve for y, 8y – 4 = 0

Solving for value of y,

Adding 4 to both sides of the equation ,

⇒ 8y -4 + 4 = 4

⇒ 8y = 4

Dividing both sides of equation by 8

⇒ y = 4/8

Simplifying the equation ,


Example 2: Solve the equation in x, 3x +10 = 55

Taking constants to RHS,

3x = 45

⇒ x = 15

Example 3: Solve the equation in x, 4/5x -5 = 15

Taking constants to RHS,

4/5x = 20

⇒x = 100/4

⇒x = 25

Sample Word Problems

Problem 1: There are two numbers, one equal to 5/4 and other equal to 1/2 times some number x. The sum of these two numbers is 1. Find x.

Since, the sum of both the numbers is 1, we have

5/4 + 1/2 x = 1

Transposing all the constants to R.H.S of the equation (transposing is an operation of shifting the operands to the other side by reversing the sign of the operand upon taking to other side)


Multiplying both sides of the equation with 2 we get ,

⇒ x = -1/2

Problem 2: The height of the rectangle if 4m less than the base of the rectangle. The perimeter of the rectangle is 32 m. Find the length and height of the rectangle.

Perimeter P of the rectangle = 32 m

Let base of the rectangle be x metres.

Therefore, the height of rectangle is x-4 m.

Perimeter of the rectangle is equal to sum of all sides.

Since, opposite sides of the rectangle are equal we have,

2 (x) + 2(x-4) = 32

⇒ 2x + 2x – 8 = 32

⇒ 4x – 8 = 32

Adding 8 on both sides of the equation,

⇒ 4x = 40

⇒ x = 10

Therefore, base of rectangle = 10 m.

And height = 6 m.


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The slope-intercept form of a linear equation

Earlier in this chapter we have expressed linear equations using the standard form Ax + By = C. Now we're going to show another way of expressing linear equations by using the slope-intercept form y = mx + b.

In the slope-intercept form you use the slope of the line and the y-intercept to express the linear function.

Where m is the slope and b is the y-intercept.

rewrite in slope-intercept form

Identify the slope and the y-intercept

Plot the point corresponding to the y-intercept, (0,1)

The m-value, the slope, tells us that for each step to the right on the x-axis we move 2 steps upwards on the y-axis (since m = 2)

And once you have your second point you can just draw a line through the two points and extend it in both directions.

You can check to see that the line you've drawn is the correct one by substituting the coordinates of the second point into the original equation. If the equation holds true than the second point is correct.

Our second point is a solution to the equation i.e. the line we drew is correct.

A line that passes through the origin has a y-intersect of zero, b = 0, and represents a direct variation.

In a direct variation the nonzero number m is called the constant of variation.

You can name a function, f by using the function notion

f(x) is another name for y and is read as "the value of f at x" or "f of x". You can use other letters than f to name functions.

A group of functions that have similar characteristics are called a family of functions. All functions that can be written on the form f(x) = mx + b belong to the family of linear functions.

The most basic function in a family of functions is called the parent function. The parent function of all linear functions is


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