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12: Polinômios - Matemática


Expressões conhecidas como polinômios são amplamente utilizadas em álgebra. As aplicações dessas expressões são essenciais para muitas carreiras, incluindo economistas, engenheiros e cientistas. Neste capítulo, descobriremos o que são polinômios e como manipulá-los por meio de operações matemáticas básicas.

  • 12.1: Adicionar e subtrair polinômios
    Nesta seção, trabalharemos com polinômios que possuem apenas uma variável em cada termo. O grau de um polinômio e o grau de seus termos são determinados pelos expoentes da variável. Trabalhar com polinômios é mais fácil quando você lista os termos em ordem decrescente de graus. Quando um polinômio é escrito dessa maneira, diz-se que está no formato padrão. Adicionar e subtrair polinômios pode ser considerado apenas adicionar e subtrair termos semelhantes.
  • 12.2: Use Propriedades de Multiplicação de Expoentes (Parte 1)
    Nesta seção, começaremos a trabalhar com expressões variáveis ​​contendo expoentes. Lembre-se de que um expoente indica multiplicação repetida da mesma quantidade. Você viu que, ao combinar termos semelhantes, adicionando e subtraindo, é necessário ter a mesma base com o mesmo expoente. Mas quando você multiplica e divide, os expoentes podem ser diferentes e, às vezes, as bases também podem ser diferentes. Derivaremos as propriedades dos expoentes procurando padrões em vários exemplos.
  • 12.3: Use Propriedades de Multiplicação de Expoentes (Parte 2)
    Todas as propriedades do expoente são verdadeiras para quaisquer números reais, mas agora vamos usar apenas expoentes de números inteiros. A propriedade do produto dos expoentes nos permite multiplicar expressões com bases semelhantes, adicionando seus expoentes juntos. A propriedade de potência dos expoentes afirma que, para elevar uma potência a uma potência, multiplique os expoentes. Finalmente, o produto a uma propriedade de potência de expoentes descreve como elevar um produto a uma potência é realizado elevando cada fator a essa potência.
  • 12.4: Multiplicar polinômios (Parte 1)
    Nesta seção, começaremos a multiplicar polinômios com graus um, dois e / ou três. Assim como existem diferentes maneiras de representar a multiplicação de números, existem vários métodos que podem ser usados ​​para multiplicar um polinômio por outro polinômio. A Propriedade Distributiva é o primeiro método que você já encontrou e usou para encontrar o produto de quaisquer dois polinômios.
  • 12.5: Multiplicar Polinômios (Parte 2)
    O método FOIL é geralmente o método mais rápido para multiplicar dois binômios, mas funciona apenas para binômios. Quando você multiplica um binômio por um binômio, obtém quatro termos. Às vezes, você pode combinar termos semelhantes para obter um trinômio, mas às vezes não há termos semelhantes para combinar. Outro método que funciona para todos os polinômios é o Método Vertical. É muito parecido com o método que você usa para multiplicar números inteiros.
  • 12.6: Divide Monomials (Parte 1)
    Nesta seção, veremos as propriedades do expoente para divisão. Um caso especial da propriedade quociente é quando os expoentes do numerador e do denominador são iguais. Isso nos leva à definição do expoente zero, que afirma que se a é um número diferente de zero, então a ^ 0 = 1. Qualquer número diferente de zero elevado à potência zero é 1. O quociente para uma propriedade de potência dos expoentes indica que para aumentar uma fração a uma potência, você aumenta o numerador e o denominador a essa potência.
  • 12.7: Divide Monomials (Parte 2)
    Agora vimos todas as propriedades dos expoentes. Vamos usá-los para dividir monômios. Posteriormente, você os usará para dividir polinômios. Quando dividimos monômios com mais de uma variável, escrevemos uma fração para cada variável. Depois que você se familiarizar com o processo e praticá-lo passo a passo várias vezes, poderá simplificar uma fração em uma etapa.
  • 12.8: Expoentes inteiros e notação científica (Parte 1)
    O expoente negativo nos diz para reescrever a expressão tomando o recíproco da base e mudando o sinal do expoente. Qualquer expressão que tenha expoentes negativos não é considerada na forma mais simples. Usaremos a definição de um expoente negativo e outras propriedades dos expoentes para escrever uma expressão apenas com expoentes positivos.
  • 12.9: Expoentes inteiros e notação científica (Parte 2)
    Quando um número é escrito como um produto de dois números, onde o primeiro fator é um número maior ou igual a um, mas menor que 10, e o segundo fator é uma potência de 10 escrita na forma exponencial, é dito que está em notação científica. É comum usar × como o sinal de multiplicação, embora evitemos usar esse sinal em outras partes da álgebra. A notação científica é uma forma útil de escrever números muito grandes ou muito pequenos. É freqüentemente usado nas ciências para tornar os cálculos mais fáceis.
  • 12.10: Introdução aos polinômios de fatoração
    Anteriormente, multiplicamos fatores juntos para obter um produto. Agora, estaremos revertendo esse processo; vamos começar com um produto e depois dividi-lo em seus fatores. A divisão de um produto em fatores é chamada de fatoração. Em The Language of Algebra, fatoramos os números para encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM) de dois ou mais números. Agora vamos fatorar expressões e encontrar o maior fator comum de duas ou mais expressões. O método que usamos é semelhante ao que usamos para encontrar o LCM.
  • 12.E: Polinômios (exercícios)
  • 12.S: Polinômios (Resumo)

Figura 10.1 - Os caminhos dos foguetes são calculados usando polinômios. (crédito: NASA, domínio público)


Capítulo 5: Polinômios

Uma expressão que envolve uma ou mais variáveis ​​com diferentes potências e coeficientes.

(uma_x ^ + ldots + a_2x ^ <2> + a_ <1> x + a_ <0>, text n in mathbb_0)

Um polinômio com um termo.

Por exemplo, (7a ^ <2> b text 15xyz ^ <2> ).

Um polinômio que possui dois termos.

Por exemplo, (2x + 5z text 26 - g ^ <2> k ).

Um polinômio que possui três termos.

Por exemplo, (a - b + c text 4x ^ 2 + 17xy - y ^ 3 ).

O grau, também chamado de ordem, de um polinômio univariado é o valor do maior expoente no polinômio.

Por exemplo, (7p - 12p ^ 2 + 3p ^ 5 + 8 ) tem um grau de ( text <5> ).

É importante notar que a definição de um polinômio afirma que todos os expoentes das variáveis ​​devem ser elementos do conjunto de números naturais. Se uma expressão contém termos com expoentes que não são números naturais, então não é um polinômio.

Os exemplos a seguir não são polinômios:


Exemplo trabalhado 4: Divisão longa

Use o método de divisão longa para determinar o quociente (Q (x) ) e o resto (R (x) ) se (a (x) = 2x ^ <3> - x ^ <2> - 6x + 16 ) é dividido por (b (x) = x - 1 ). Escreva sua resposta na forma (a (x) = b (x) cdot Q (x) + R (x) ).

Escreva as expressões conhecidas e desconhecidas

Use o método de divisão longa para determinar (Q (x) ) e (R (x) )

Certifique-se de que (a (x) ) e (b (x) ) sejam escritos em ordem decrescente dos expoentes. Se um termo de certo grau estiver faltando em (a (x) ), escreva o termo com um coeficiente de ( text <0> ).

começar & amp 2x ^ <2> + x - 5 x-1 & amp | overline <2x ^ <3> - x ^ <2> - 6x + 16> - & amp left ( underline <2x ^ <3> - 2x ^ <2>> right) & amp text < > 0 + x ^ <2> - 6x & amp text <> - left ( underline - x> direita) & amp text <> quad quad 0 -5x + 16 & amp text <> quad quad - left ( underline <-5x + 5> right) & amp text <> quad quad qquad 0 + 11 end

Escreva a resposta final

A divisão sintética é um método mais simples e eficiente para dividir polinômios. Permite-nos determinar o quociente e o resto considerando os coeficientes dos termos em cada um dos polinômios sem a necessidade de reescrever a variável e o expoente para cada termo. Se um termo de certo grau estiver faltando em (a (x) ), escreva o termo com um coeficiente de ( text <0> ). Por exemplo, (a (x) = 5x ^ <3> + 6x - 1 ) deve ser escrito como (a (x) = 5x ^ <3> + 0x ^ <2> + 6x - 1 ).

Observe que para a divisão sintética:

  • os coeficientes do dividendo ( (a (x) )) são escritos abaixo da linha horizontal.
  • os coeficientes do quociente ( (Q (x) )) são escritos acima da linha horizontal.
  • adicionamos coeficientes em vez de subtrair, como é o caso da divisão longa
  • usamos o sinal oposto do divisor ( (b (x) )) o divisor é ((x - 1) ) e usamos ( text <+1> ).
  • o coeficiente do termo (x ) no divisor é ( text <1> ), então (q_ <2> = a_ <3> ).

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Regressão Polinomial

Este artigo é uma explicação da matemática usada para nossa classe de regressão polinomial.

Simplificando, a regressão polinomial é uma tentativa de criar uma função polinomial que se aproxima de um conjunto de pontos de dados. Isso é mais fácil de demonstrar com um exemplo visual.

Neste gráfico, temos 20 pontos de dados, mostrados como quadrados azuis. Eles foram traçados em um gráfico X / Y. A linha laranja é nossa aproximação. Tal cenário não é incomum quando os dados são lidos de um dispositivo com imprecisões. Com pontos de dados suficientes, as imprecisões podem ser marginalizadas. Isso é útil em experimentos físicos ao modelar algum fenômeno. Freqüentemente, há uma equação e os coeficientes devem ser determinados por medição. Se a equação for uma função polinomial, a regressão polinomial pode ser usada.

A regressão polinomial é um dos vários métodos de ajuste de curva. Com a regressão polinomial, os dados são aproximados usando uma função polinomial. Um polinômio é uma função que assume a forma f( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2 ⋯ cn x n Onde n é o grau do polinômio e c é um conjunto de coeficientes.

A maioria das pessoas fez regressão polinomial, mas não a chamou por esse nome. Um polinômio de grau 0 é apenas uma constante porque f( x ) = c0 x 0 = c0. Da mesma forma, a execução de regressão polinomial com um grau de 0 em um conjunto de dados retorna um único valor constante. É o mesmo que a média média desses dados. Isso faz sentido porque a média é uma aproximação de todos os pontos de dados.

Aqui temos um gráfico de 11 pontos de dados e a média é destacada em 0 com uma linha azul grossa. A linha média segue principalmente o caminho dos pontos de dados. Assim, a média média é uma forma de ajuste de curva e provavelmente a mais básica.

A regressão linear é a regressão polinomial de grau 1 e geralmente assume a forma y = m x + b Onde m é a inclinação, e b é a interceptação y. Poderia ser facilmente escrito f( x ) = c0 + c1 x com c1 sendo a inclinação e c0 a interceptação y.

Aqui podemos ver a linha de regressão linear percorrendo os pontos de dados aproximando os dados. Média média e regressão linear são as formas mais comuns de regressão polinomial, mas não a única.

A regressão quadrática é um polinômio de segundo grau e não é tão comum. Agora a regressão se torna não linear e os dados não se restringem a linhas retas.

Aqui podemos ver os dados com uma linha de tendência de regressão quadrática. Portanto, a ideia é simples: encontre a linha que melhor se ajusta aos dados. Mais especificamente, encontre os coeficientes para um polinômio que melhor se ajusta aos dados. Para entender como isso funciona, precisamos explorar a matemática usada para computação.

A matemática por trás da regressão polinomial

Esta seção tentará explicar a matemática por trás da regressão polinomial. Requer um conhecimento sólido de álgebra, álgebra linear básica (usando matrizes para resolver sistemas de equações) e algum cálculo (derivadas parciais e somas). A álgebra é elaborada, mas o cálculo de matrizes e derivadas não. Alguém com acesso a um sistema de álgebra computacional (como WolframAlpha) deve, portanto, ser capaz de seguir a matemática sabendo apenas álgebra e tratar as funções matemáticas de nível superior como uma caixa preta.

A regressão polinomial é um sistema sobredeterminado de equações que usa mínimos quadrados como método de aproximação de uma resposta. Para entender isso, vamos primeiro examinar um sistema de equações que não é sobredeterminado. Podemos começar construindo uma função de linha que intercepta dois pontos: (0,1, 0,1) e (0,6, 0,8). Primeiro, vamos resolver o problema algebricamente. Lembre-se da equação para uma linha:

Existem duas incógnitas nesta equação: m e b. Com duas incógnitas, precisamos de duas soluções. Isso nós temos dos dois pontos de dados fornecidos. Então, vamos criar duas equações a partir desses dados:

Agora, para resolver o sistema, podemos começar com a equação superior e resolver uma das incógnitas. Vamos escolher b:

Com b conhecido, vamos substituir a solução na equação inferior:

Agora temos uma única equação com uma incógnita, que podemos resolver:

Agora isso m é conhecido, podemos escolher qualquer uma das nossas equações originais e resolver para b. Vamos escolher a equação superior e resolver para b.

Então com m e b conhecido, nossa equação original pode ser transformada na função de linha:

Este é um sistema de equações, e este é um belo exemplo clássico de como resolvê-lo algebricamente. Em vez de usar a abordagem algébrica, também podemos resolver esse sistema usando matrizes e álgebra linear. O motivo pelo qual estamos usando matemática de matrizes é para simplificar polinômios de ordem superior, e chegaremos a esses últimos. Vamos primeiro reorganizar o sistema de equações e adicionar o multiplicador redundante de 1 na frente do b coeficiente.

Agora podemos colocar o sistema em forma de matriz:

E usando álgebra linear, podemos resolver.

Aqui, eu uso a inversão da matriz para resolver os termos constantes. Você pode configurar a equação usando uma matriz aumentada e usar a eliminação Gaussiana como esta:

Ou resolva o sistema usando a regra de Cramer.

Apesar de os resultados serem os mesmos, usar a representação de matriz tornará as coisas mais fáceis quando se trata de aplicar a matemática a polinômios de ordem superior.

Agora no sistema sobredeterminado. Digamos que agora temos 3 pontos de dados em vez de dois, e esses pontos são: (0,1,0,1), (0,35,0,45) e (0,6,0,8).

Acabamos com 3 equações e duas incógnitas. São muitos dados. Se esses pontos estiverem na mesma linha, podemos simplesmente ignorar uma das equações. No entanto, se não forem, precisamos de uma maneira de calcular os coeficientes que leve todos os nossos pontos de dados em consideração. É aqui que entram os mínimos quadrados.

Para realizar uma abordagem de mínimos quadrados, precisamos definir uma função residual. Esta é uma função que especifica a quantidade de erro entre nossos dados verdadeiros e os produzidos por nossa função de estimativa. Como um exemplo muito simples, digamos que temos o ponto de dados (10,8) e nossa função de linha é y = 2 x - 12. Preencha para x = 10 e obtemos y = 2 (10) - 12 = 6. O residual é a diferença entre o valor observado (8) e o valor estimado (6), ou 8 & ndash 6 = 2. Para qualquer ponto (xeu, yeu) na linha, o residual seria:

Onde eu é o índice no conjunto de pontos de dados conhecidos. Podemos generalizar isso para quaisquer pontos de dados conhecidos:

Na verdade, podemos generalizá-lo para qualquer função:

Agora considere que temos um conjunto de pontos de dados. O que o residual nos diz? Bem, para cada ponto de dados, o resíduo denota a quantidade de erro entre nossa estimativa e os dados verdadeiros. E quanto ao erro geral? Para conseguir isso, podemos simplesmente somar o erro de todos os pontos de dados. No entanto, o erro pode ser positivo ou negativo. Assim, podemos acabar com muitos erros uniformemente distribuídos entre valores negativos e positivos. Por exemplo, se nosso erro fosse (6, -8, 2), nossa soma total de erros seria 0. Portanto, isso não dá uma boa indicação de erro. Poderíamos somar o valor absoluto de todos os erros. O valor absoluto é equivalente a:

Então, nossa soma de erro absoluto (6, -8, 2) totalizaria 16, e isso é mais parecido com o que queremos. Como queremos apenas uma indicação de erro, podemos eliminar a raiz quadrada, pois a função quadrada é suficiente para produzir o valor sempre positivo que procuramos.Há uma outra razão para usar apenas o quadrado que ficará claro posteriormente.

Portanto, agora que temos uma função que mede o resíduo, o que fazemos com ela? Bem, se estamos tentando produzir uma função que modela um conjunto de dados, queremos que o resíduo seja o menor possível & mdash queremos minimizá-lo. Isso produziria uma função que se desvia o menos possível dos dados observados.

Para minimizar, precisamos ser capazes de modificar os coeficientes da função, pois os coeficientes são as variáveis ​​que temos que manipular para encontrar o melhor ajuste. Em nossa função de linha y = m x + b, os coeficientes são m e b. Há um benefício adicional em quadrar os resíduos & mdash o quadrado dos resíduos forma uma parábola. Para ver por que isso é útil, considere um polinômio de 1º grau com três pontos conhecidos (10, 8, 11). Vamos fazer a função:

Vais aperceber-te x não é usado, mas é legítimo. Use isso para construir a função residual:

E expanda isso para nossos dados:

Se multiplicarmos tudo e coletarmos termos semelhantes, acabamos com:

Agora represente graficamente esta função, mas use c0 como a variável:

O gráfico é uma parábola. Uma parábola sempre tem um e apenas um ponto mais baixo & vértice de mdashit. O ponto mais baixo é o ponto com a menor quantidade de erro. Portanto, se encontrarmos coeficientes que produzem o vértice, temos os coeficientes que produzem o menor erro.

Encontrar o vértice de uma parábola para uma função que possui um único coeficiente é fácil. Pegue a derivada da função e descubra onde essa função é igual a zero. Isso funciona porque sempre que a derivada de uma função for igual a zero, esse ponto será um máximo ou mínimo local. Uma parábola tem apenas um ponto: o mínimo.

Usando nosso exemplo, comece pegando a derivada:

E defina isso igual a zero:

Portanto, o coeficiente que melhor se ajusta a esses dados é c0 = 9 2/3. Nossa função é então:

Acabamos de resolver um polinômio de 0 grau usando mínimos quadrados, e nosso coeficiente é a média de nosso conjunto de dados:

Conforme declarado, a média média é a regressão polinomial com um polinômio de 0 grau. A razão pela qual este exemplo foi elaborado foi porque é fácil de visualizar. Uma função que tem mais de um coeficiente produz uma equação multidimensional. Por exemplo, a função de linha tem dois coeficientes, m e b. A função quadrada residual produzirá um parabolóide.

Este é o gráfico de um parabolóide simples. Ainda há um mínimo geral & mdash no fundo da forma da tigela & mdash mas há duas variáveis ​​envolvidas em encontrar o mínimo. Isso é verdadeiro para funções com três ou mais coeficientes, mas não podemos representá-los graficamente para fazer uma demonstração.

Para encontrar o mínimo desses problemas, a derivada ainda pode ser usada, mas precisamos usar derivadas parciais & mdashone com relação a cada coeficiente. Isso resulta em uma equação para cada coeficiente, e isso faz sentido. Para resolver um sistema de equações, precisamos de uma equação para cada termo desconhecido. E usando esse método é exatamente o que obtemos.

Para a função de linha, precisamos da derivada parcial em relação a m e com respeito a b. Vamos executar esta configuração para o residual de alguma função sobredeterminada. Primeiro, a função de linha:

Agora, a soma quadrada residual quando há n pontos conhecidos:

Vamos trabalhar nisso usando os três pontos conhecidos mencionados anteriormente: (0,1,0,1), (0,35,0,45) e (0,6,0,8)

Para minimizar, precisamos tirar a derivada parcial da função r com respeito aos dois coeficientes, m e b.

Agora defina essas derivadas parciais iguais a zero:

Agora temos duas equações com duas incógnitas. Com um pouco de reorganização, podemos colocar isso na forma de matriz. Primeiro, o 6 vai embora, dividindo-o no outro lado:

Em seguida, moveremos a constante para o lado direito:

Agora coloque as equações em uma matriz:

Neste exemplo, todos os pontos têm a mesma inclinação e interceptação. Abaixo está um gráfico dos 3 pontos de dados e a linha de regressão usando a inclinação calculada e a interceptação m e b respectivamente.

Poderíamos simplesmente abandonar uma das equações e chegar ao mesmo resultado. No entanto, este método funcionará se cada um dos pontos variar ligeiramente da inclinação e da interceptação, e irá calcular os valores para m e b de forma que eles tenham a menor quantidade de resíduo.

Embora as etapas acima funcionem para nosso único conjunto de pontos, vamos tentar criar uma versão mais generalizada da equação de regressão para a função de linha. Começaremos novamente com a soma do quadrado residual:

Faça a derivada parcial da função r com respeito aos dois coeficientes, m e b.

Defina essas derivadas parciais iguais a zero:

Parece um pouco confuso, mas na verdade temos duas equações com duas incógnitas. Podemos converter isso em uma matriz para que possa ser resolvido. Alguns rearranjos são necessários para que isso aconteça. Primeiro, alguma expansão:

Mova as constantes para fora das somas:

Podemos reduzir a soma da constante 1:

Mova todas as partes que lidam com y para o lado direito da equação:

A partir daqui, é fácil colocar as equações na forma de matriz:

O 2 pode ser fatorado e cancelado em ambos os lados.

O que nos resta é precisamente a definição de matriz de regressão linear. Para testar isso, vamos usar os três pontos de dados acima: (0,1,0,1), (0,35,0,45) e (0,6,0,8). Primeiro, precisamos que os dados sejam calculados:

Agora preencha esses dados na matriz:

Portanto, os dois métodos concordam um com o outro. Podemos repetir esse processo para um polinômio de qualquer número de graus. Vamos tentar usar um polinômio de 2º grau para obter os resultados da regressão quadrática.

Primeiro, a função quadrática:

Agora, a soma dos quadrados para n pontos de dados conhecidos:

Existem três derivadas parciais, pois existem três coeficientes.

Defina as derivadas parciais iguais a zero.

Elimine os 2, divida as somas e mova y Para a direita:

Reduza e retire constantes:

E traduza para a forma de matriz:

Obtemos os resultados da regressão quadrática em forma de matriz. Há um padrão se formando que podemos ver mais claramente generalizando a derivada parcial:

Onde m é o grau do polinômio, e n é o número de pontos de dados conhecidos. Isso, se você seguir a matemática, leva a uma matriz generalizada:

Esta é a representação da matriz de regressão polinomial para qualquer grau de polinômio. E é isso. Um sistema sobredeterminado é resolvido criando uma função residual, somando o quadrado do resíduo que forma uma parábola / parabolóide, e encontrando os coeficientes encontrando o mínimo da parábola / parabolóide.

Implementação

Existem dois problemas que afetam a implementação total da regressão polinomial. O primeiro é resolver o sistema de equações. Em software, usando uma matriz aumentada e, em seguida, a eliminação gaussiana funciona bem, mas as operações de linha que são tão triviais no papel tornam-se um pouco mais complicadas no software.

O segundo problema afeta apenas polinômios de graus superiores. As somas ficarão muito grandes. Por exemplo, um polinômio de 2º grau (quadrático) precisa de uma soma de x 4. Um polinômio de 3º grau precisa de x 6 e um polinômio de 8º grau até x 16. Essas somas ficam grandes (ou muito pequenas) rapidamente e podem ter resultados além do que pode ser armazenado em números de ponto flutuante convencionais. Para lidar com isso, a implementação deve usar aritmética de precisão arbitrária.


Polinômios de fatoração

Quando os números são multiplicados juntos, cada um dos números multiplicados para obter o produto é chamado de fator. Às vezes, é desejável escrever um polinômio como o produto de alguns de seus fatores. Esta operação é chamada factoring. Aqui, estamos interessados ​​em fatorar polinômios com coeficientes integrais.

Diz-se que um polinômio é fatorado completamente se for expresso como o produto de polinômios com coeficientes inteiros, e nenhum dos fatores ainda pode ser escrito como o produto de dois polinômios com coeficientes inteiros.

A seguir está uma discussão sobre a fatoração de alguns polinômios especiais.

Fatores comuns a todos os termos

O maior fator comum (GCF) de um conjunto de inteiros é definido como o maior inteiro que divide cada número desse conjunto de inteiros.

O GCF pode ser obtido da seguinte forma:

1. Fatore os inteiros em seus fatores primos.

2. Escreva os fatores na forma de expoente.

3. Leve as bases comuns a seu expoente mais baixo.

Encontre o GCF de 30, 45, 60.

As bases comuns são 3 e 5.

O menor expoente de 3 é 1 e de 5 é 1.

O maior fator comum de um conjunto de monômios pode ser encontrado tomando o produto do GCF dos coeficientes dos monômios e as bases literais comuns. cada um com seu expoente mais baixo.

Encontre o GCF de 9x ^ (3) y ^ (2), 12x ^ 4y, -15x ^ 5.

As bases comuns são 3 e x.

O menor expoente de 3 é 1 e de x é 3.

Encontre o GCF de 6a ^ 4 (x - y) ^ 2, 9a ^ 3 (x - y) ^ 3, 12a ^ 2 (x - y) ^ 4.

As bases comuns são 3, a e (x - y).

O menor expoente de 3 é 1, de a é 2 e de (x - y) é 2.

Observação Como (1 - x) = - (x - 1), o GCF de a (x - 1), b (1 - x) é (x - 1) ou (1-x).

Quando os termos de um polinômio têm um fator comum, a lei distributiva,

ab_1 + ab_2 + ab_3 +. + ab_n = a (b_1 + b_2 + b_3 +. b_n)

é usado para fatorar o polinômio. Um fator é o maior fator comum de todos os termos do polinômio. O outro fator é o quociente inteiro, obtido dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum que é,

ab_1 + ab_2 + ab_3 +. + ab_n = a ((ab_1) / a + (ab_2) / a + (ab_3) / a. + (ab_n) / a)

Fatore a expressão 3a ^ 2 - a.

O maior fator comum é a.

Fatore o polinômio 6x ^ (3) y ^ (2) + 12x ^ (2) y ^ (2) - 24xy ^ (2).

O maior fator comum é 6xy ^ 2.

6x ^ (3) y ^ (2) + 12x ^ (2) y ^ (2) - 24xy ^ (2) = 6xy ^ 2 ((6x ^ (3) y ^ (2)) / (6xy ^ 2) + (12x ^ (2) y ^ (2)) / (6xy ^ 2) - (24xy ^ 2) / (6xy ^ 2)

Fatore o polinômio 4x ^ 2 (2x - 1) - 8x (2x - 1) ^ 2.

O maior fator comum é 4x (2x - 1).

4x ^ 2 (2x - 1) - 8x (2x - 1) ^ 2 = 4x (2x - 1) [(4x ^ 2 (2x-1)) / (4x (2x-1)) - (8x (2x- 1) ^ 2) / (4x (2x-1))

É assim que nossa calculadora de fatoração resolve o problema acima. Você pode ver problemas semelhantes resolvidos clicando no botão 'Resolver semelhantes'.

Fatorando um binômio

Os métodos de fatoração de polinômios serão apresentados de acordo com o número de termos do polinômio a ser fatorado.

Um monômio já está na forma fatorada, portanto, o primeiro tipo de polinômio a ser considerado para fatoração é um binômio. Aqui, discutiremos a fatoração de um tipo de binômios.

Quadrados e raízes quadradas

Os quadrados dos números 3, 5 ^ 2, a, x ^ 2 e b ^ 3

são, respectivamente, 3 ^ 2, 5 ^ 4, a ^ 2, x ^ 4 e b ^ 6

Os 3, 5 ^ 2, a, x ^ 2 e b ^ 3 são chamados de raízes quadradas de 3 ^ 2, 5 ^ 4, a ^ 2, x ^ 4 e b ^ 6, respectivamente.

A raiz quadrada de um número a é denotada por . O & radic é chamado de sinal radical, o 2 é chamado de índice, e o a é chamado de Radicand. Quando não há índice escrito, o índice 2 está implícito.

Embora o quadrado de (+ 3) e (- 3) seja 9, quando falamos sobre a raiz quadrada de 9, queremos dizer o número positivo 3 e não o número negativo (-3).

Diz-se que um número é um quadrado perfeito se sua raiz quadrada for um número racional.

A raiz quadrada de um número específico pode ser encontrada fatorando o número em seus fatores primos, escrevendo-o na forma de expoente e, em seguida, levando cada base à metade de seu expoente original (quando elevamos um número ao quadrado, multiplicamos seu expoente por 2).

1. root (64) = root (2 ^ 6) = 2 ^ 3 = 8

2. root (144) = root (2 ^ (4) * 3 ^ (2) = 2 ^ 2 * 3 ^ 1 = 12

Quando a é um número literal e n N, definimos root (a ^ (2n)) como (root (a)) ^ (2n) = a ^ n. Se o expoente não for divisível por 2, o número não é um quadrado perfeito.

1. root (a ^ 4) = a ^ 2

2. root (x ^ (2) y ^ (6)) = xy ^ 3

3. root (4x ^ (2) y ^ (4)) = 2xy ^ 2

Os números 2, 3, 5, 7, 8, 10, etc., não são números quadrados perfeitos. Isso significa que não há números racionais cujos quadrados são 2, 3, 5 etc.

As raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos são chamadas números irracionais.

Diferença de dois quadrados

O produto dos dois fatores (a + b) (a - b) é a ^ 2 - b ^ 2, a diferença de dois termos quadrados perfeitos. Os fatores da diferença de dois quadrados são a soma e a diferença das respectivas raízes quadradas dos dois quadrados.

A raiz quadrada de 9a ^ 2 é 3a e de 4 é 2.
Portanto, 9a ^ 2 - 4 = (3a + 2) (3a - 2)

Observação Lembre-se de fatorar o polinômio completamente.

Fatore completamente x ^ 4 - 81y ^ 4.

Observação Antes de verificar se o binômio é uma diferença de dois quadrados, verifique se há um fator comum. Essa é sempre a primeira operação a ser realizada.

Observação (a + b) (a - b) = (a - b) (a + b)

Fatorando um Trinomial

Os trinômios de fatoração são divididos em dois casos:

1. Quando o trinômio é da forma x ^ 2 + bx + c, b, c & isin eu, b! = 0, c! = 0.

2. Quando o trinômio tem a forma ax ^ 2 + bx + c, a! = 1, a, b, c & isin eu, b! = 0, c! = 0.

Trinômios da Forma , b, c & isin eu, e b & ne 0, c & ne 0

Considere os seguintes produtos:

Observamos as seguintes relações entre os produtos e seus fatores:

1. O primeiro termo em cada fator é a raiz quadrada do termo quadrado no trinômio.

2. O produto dos segundos termos dos fatores é o terceiro termo do trinômio.

3. A soma dos segundos termos, números com sinais, é o coeficiente do termo do meio no trinômio.

Note & emsp & emspPara encontrar os segundos termos nos fatores, procure dois números com sinais cujo produto seja o terceiro termo no trinômio e cuja soma seja o coeficiente do meio termo no trinômio.

Note & emsp & emspQuando o sinal do terceiro termo no trinômio é positivo, os dois números com sinais têm sinais semelhantes e são iguais ao sinal do termo do meio no trinômio.

Note & emsp & emsp Quando o sinal do terceiro termo no trinômio é menos, os dois números com sinais têm sinais diferentes, e o maior numericamente tem o sinal do termo do meio no trinômio.

O primeiro termo de cada fator é root (x ^ 2) = x

Como o sinal do último termo (+15) é positivo, os dois números com sinais nos fatores têm sinais semelhantes.

Como o sinal do termo do meio (+ 8x) é positivo, os dois números com sinal são positivos.

Procuramos dois números naturais cujo produto é 15 e cuja soma é 8. Os dois números são 3 e 5.

O primeiro termo de cada fator é root (x ^ 2) = x

Como o sinal do último termo (+24) é positivo, os dois números com sinais nos fatores têm sinais semelhantes.

Como o sinal do termo do meio (-10x) é menos, os dois números com sinal são negativos.

Procuramos dois números naturais cujo produto é 24 e cuja soma é 10. Os dois números são 4 e 6.

Como o sinal do último termo (-36) é menos, os dois números nos fatores têm sinais diferentes.

Como o sinal do termo do meio (-5x) é menos, o número numericamente maior tem o sinal negativo.

x ^ 2-5x-36 = (x + número menor) (x - número maior)

Procuramos dois números naturais cujo produto é 36 e cuja diferença é 5. Os dois números são 4 e 9.

Você pode verificar abaixo como nossa calculadora de fatoração fatoriza o trinômio acima. Você pode ver problemas semelhantes resolvidos clicando no botão 'Resolver semelhantes'.

Como o sinal do último termo (-28) é menos, os dois números nos fatores têm sinais diferentes.

Como o sinal do termo do meio (+ 3x) é positivo, o número numericamente maior possui o sinal positivo.

x ^ 2 + 3x-28 = (x + número maior) (x - número menor)

Procuramos dois números naturais cujo produto é 28 e cuja diferença é 3. Os dois números são 4 e 7.

(x - y) ^ 2 - 3 (x - y) - 10 tem a forma a ^ 2 - 3a - 10, cujos fatores são (a - 5) (a + 2).

Portanto (x - y) ^ 2 - 3 (x - y) - 10 = [(x - y) - 5] [(x - y) + 2

Observação Quando o terceiro termo do trinômio é um grande número e seus fatores não são óbvios, escreva o número como o produto de seus fatores primos e faça produtos

de fatores usando combinações dos primos.

Observação (x + a) (x + b) = (x + b) (x + a)

Trinômios da Forma , a & ne 1, a, b, c & isin eu, b & ne 0, c & ne 0

O primeiro fator à esquerda contém o fator comum 2:

Além disso, o produto expandido contém o fator comum 2:

Em geral, se um fator de um produto contém um fator comum, o produto expandido também conterá esse fator comum.

Por outro lado, se nenhum fator em um produto, (x + 5) (3x - 2), contém um fator comum, então o produto expandido, 3x ^ 2 + 13x - 10, não terá um fator comum. Por outro lado, se os termos de um produto não têm um fator comum, então nenhum de seus fatores terá.

Para aprender como fatorar um trinômio da forma ax ^ 2 + bx + c, vamos primeiro ver como multiplicamos dois fatores para obter um produto dessa forma.

Multiplicamos (2x + 3) (4x - 5) da seguinte forma:

Vamos repassar a mesma multiplicação novamente, como mostrado na Figura 6.1.

As setas cruzadas vamos nos referir como tesoura.

No lado esquerdo da tesoura, são fatores de 8x ^ 2, o primeiro termo do trinômio.

No lado direito da tesoura, são fatores de -15, o terceiro termo do trinômio.

A soma dos produtos na direção das setas,

é o termo médio do trinômio.

O exemplo a seguir ilustra como usar a tesoura para fatorar um trinômio

Encontre todos os pares possíveis de fatores cujo produto é o primeiro termo do trinômio em que cada fator deve conter a raiz quadrada do número literal. Escreva esses fatores no lado esquerdo da tesoura.

Encontre todos os pares possíveis de fatores cujo produto seja o terceiro termo do trinômio, desconsiderando os sinais, e escreva-os no lado direito da tesoura.

Escreva todos os arranjos possíveis usando os fatores do primeiro termo e os fatores do terceiro termo.

As oito tesouras mostradas fornecem todos os arranjos possíveis dos fatores do primeiro termo do trinômio e dos fatores do terceiro termo do trinômio.

Os termos na parte superior da tesoura formam o primeiro fator do produto, e os termos na parte inferior da tesoura formam o segundo fator do produto.

Uma vez que não há fator comum no trinômio. não deve haver um fator comum entre os termos na parte superior da tesoura ou um fator comum entre os termos na parte inferior da tesoura. Se houver um fator comum entre os termos na parte superior ou os termos na parte inferior em um acordo. esse arranjo não pode ser o correto. As disposições (1), (3), (4), (5), (6) e (7) têm fatores comuns e nós os eliminamos.

Os candidatos estão agora limitados a dois arranjos.

O termo médio do trinômio. que é a soma dos produtos na direção das setas. irá indicar qual arranjo é o correto.

Uma vez que o primeiro arranjo fornece x e 36x para o termo do meio, que não pode dar uma soma de -5x, o primeiro arranjo não é o correto. O segundo arranjo fornece 9x e 4x para o termo do meio e, tomando 9x com um sinal de menos e 4x com um sinal de mais, obtemos -9x + 4x = -5x.

Portanto, o arranjo correto é

Os fatores do primeiro termo do trinômio são sempre considerados positivos. Assim, para chegar a -9x, o 3 do lado direito da tesoura deve ser considerado negativo enquanto o 2 deve ser considerado positivo para chegar a + 4x. O arranjo completo é

Portanto, 6x ^ 2 - 5x - 6 = (2x - 3) (3x + 2)

Observação Quando o trinômio tem um fator comum, fatorize-o antes de tentar fatorá-lo com a tesoura.

Observação Não há razão para escrever qualquer acordo com um fator comum entre os termos superiores ou um fator comum entre os termos inferiores.

Observação Quando o coeficiente do primeiro termo ou do terceiro termo do trinômio for um grande número, escreva o número como o produto de seus fatores primos e forme os produtos dos fatores usando combinações dos primos.

Veja como nossa calculadora de fatoração resolve o trinômio acima. Você pode ver problemas semelhantes resolvidos clicando no botão 'Resolver semelhantes'.


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Notas de polinômios do Ch 2 | 10ª aula de matemática

Polinômios: Uma expressão da forma p (x) = a0 + a1x + a2x 2 +. + anx n onde an & # 8800 0 é chamado de polinômio na variável x de grau n. onde um0, uma2 . uman são números reais e cada potência de x é um inteiro não negativo. Exemplo: 3x 2 + 5x + 3 é um polinômio de grau dois que é um inteiro não negativo.
& # 8730x + 5 não é um polinômio porque grau de x não é um número inteiro não negativo.

& # 8226 Polinômios de graus 1, 2 e 3 são chamados de polinômios lineares, quadráticos e cúbicos, respectivamente.
(i) ax + b é polinômio de grau 1 denominado polinômio linear.
(ii) ax 2 + bx + c é um polinômio de grau 2 denominado polinômio quadrático.
(iii) ax 3 + bx 2 + cx + d é um polinômio de grau 3 polinômio cúbico.

Polinômio zero: Um polinômio de grau zero é chamado de polinômio zero. Ou,
Um polinômio que contém apenas um termo constante é chamado de polinômio zero.
Exemplo: 5, ax 0 + 3

Zero de um polinômio: Um número real k é considerado zero de um polinômio p (x) se p (k) = 0.
Exemplo: -3/2 é chamado de zero de um polinômio p (x) = 2x + 3 porque p (-3/2) = 2x + 3.
(i) Um polinômio linear tem no máximo um zero.
(ii) Um polinômio quadrático tem no máximo dois zeros.
(iii) Um polinômio cúbico tem no máximo três zeros.
(iv) Um polinômio de grau n tem no máximo n zeros.

Para polinômio quadrático: Se α, β são zeros do polinômio p (x) = ax 2 + bx + c, então:
(i) Soma de zeros = α + β = -b / a = (-coeficiente de x) / (coeficiente de x 2)
(ii) Produto de zeros = α.β = c / a = (termo constante) / (coeficiente de x 2)
(iii) Um polinômio quadrático cujos zeros são α e β, é dado por:
p (x) = k [x 2 - (α + β) x + αβ] onde k é qualquer número real.

Para polinômio cúbico: Se α, β e γ forem zeros do polinômio p (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d então:
(i) α + β + γ = -b / a = (-coeficiente de x 2) / (coeficiente de x 3)
(ii) αβ + βγ + γα = c / a = (termo constante de x) / (coeficiente de x 3)
(iii) α.β.γ = -d / a = (-termo constante) / (coeficiente de x 3)
(iv) Um polinômio cúbico cujos zeros são α, β e γ, é dado por:
p (x) = k [x 3 - (α + β + γ) x 2 + (αβ + βγ + γα) x - αβγ] onde k é qualquer número real.

Algoritmo de Divisão: Se p (x) e g (x) forem quaisquer dois polinômios onde g (x) & # 8800 0, então podemos encontrar polinômios q (x) e r (x) tais que:
p (x) = g (x) & # 215 q (x) + r (x), onde r (x) = 0 ou grau r (x) & lt grau g (x).


12: Polinômios - Matemática

Nesta seção, começaremos a observar os polinômios. Os polinômios aparecerão em praticamente todas as seções de cada capítulo no restante deste material e, portanto, é importante que você os compreenda.

Vamos começar com polinômios em uma variável. Polinômios em uma variável são expressões algébricas que consistem em termos na forma (a) onde (n ) é um não negativo (ou seja, positivo ou zero) inteiro e (a ) é um número real e é chamado de coeficiente do termo. O grau de um polinômio em uma variável é o maior expoente do polinômio.

Observe que muitas vezes deixamos de lado a parte “em uma variável” e apenas dizemos polinômio.

Aqui estão alguns exemplos de polinômios e seus graus.

Portanto, um polinômio não precisa conter todas as potências de (x ) como vemos no primeiro exemplo. Além disso, os polinômios podem consistir em um único termo, como vemos no terceiro e no quinto exemplo.

Provavelmente devemos discutir o exemplo final um pouco mais. Este é realmente um polinômio, mesmo que não se pareça com ele. Lembre-se de que um polinômio é qualquer expressão algébrica que consiste em termos na forma (a). Outra maneira de escrever o último exemplo é

Escrito desta forma, fica claro que o expoente em (x ) é um zero (isso também explica o grau ...) e, portanto, podemos ver que realmente é um polinômio em uma variável.

Aqui estão alguns exemplos de coisas que não são polinômios.

O primeiro não é um polinômio porque tem um expoente negativo e todos os expoentes em um polinômio devem ser positivos.

Para ver por que o segundo não é um polinômio, vamos reescrevê-lo um pouco.

Ao converter a raiz para a forma expoente, vemos que há uma raiz racional na expressão algébrica. Todos os expoentes na expressão algébrica devem ser inteiros não negativos para que a expressão algébrica seja um polinômio. Como regra geral, se uma expressão algébrica contém um radical, então não é um polinômio.

Vamos também reescrever o terceiro para ver por que não é um polinômio.

Então, essa expressão algébrica realmente tem um expoente negativo e sabemos que isso não é permitido. Outra regra prática é se houver alguma variável no denominador de uma fração, então a expressão algébrica não é um polinômio.

Observe que isso não significa que radicais e frações não sejam permitidos em polinômios. Eles simplesmente não podem envolver as variáveis. Por exemplo, o seguinte é um polinômio

Existem muitos radicais e frações nesta expressão algébrica, mas os denominadores das frações são apenas números e os radicandos de cada radical são apenas números. Cada (x ) na expressão algébrica aparece no numerador e o expoente é um inteiro positivo (ou zero). Portanto, este é um polinômio.

A seguir, vamos dar uma olhada rápida em polinômios em duas variáveis. Polinômios em duas variáveis ​​são expressões algébricas que consistem em termos na forma (a). O grau de cada termo em um polinômio em duas variáveis ​​é a soma dos expoentes em cada termo e o grau do polinômio é a maior dessas somas.

Aqui estão alguns exemplos de polinômios em duas variáveis ​​e seus graus.

Nestes tipos de polinômios, nem todo termo precisa ter (x ) 'se (y )' s neles, na verdade, como vemos no último exemplo, eles não precisam ter quaisquer termos que contenham ambos (x ) 'se (y )' s. Além disso, o grau do polinômio pode vir de termos envolvendo apenas uma variável. Observe também que vários termos podem ter o mesmo grau.

Também podemos falar sobre polinômios em três variáveis, ou quatro variáveis ​​ou quantas variáveis ​​precisarmos. A grande maioria dos polinômios que veremos neste curso são polinômios em uma variável e, portanto, a maioria dos exemplos no restante desta seção serão polinômios em uma variável.

Em seguida, precisamos tirar algumas terminologias do caminho. UMA monômio é um polinômio que consiste em exatamente um termo. UMA binômio é um polinômio que consiste em exatamente dois termos. Finalmente, um trinômio é um polinômio que consiste em exatamente três termos. Usaremos esses termos intermitentemente, então você provavelmente deve estar pelo menos um pouco familiarizado com eles.

Agora precisamos falar sobre adição, subtração e multiplicação de polinômios. Você notará que deixamos de fora a divisão de polinômios. Isso será discutido em uma seção posterior, onde usaremos a divisão de polinômios com bastante frequência.

Antes de realmente iniciar esta discussão, precisamos nos lembrar da lei distributiva. Isso será usado repetidamente no restante desta seção. Aqui está a lei distributiva.

Começaremos adicionando e subtraindo polinômios. Provavelmente, é melhor fazer isso com alguns exemplos.

A primeira coisa que devemos fazer é realmente anotar a operação que estamos sendo solicitados a fazer.

[ left (<6- 10 + x - 45> direita) + esquerda (<13- 9x + 4> direita) ]

Nesse caso, os parênteses não são necessários, pois estamos adicionando os dois polinômios. Eles estão lá simplesmente para deixar claro a operação que estamos realizando. Para adicionar dois polinômios, tudo o que fazemos é combinar termos semelhantes. Isso significa que, para cada termo com o mesmo expoente, adicionaremos ou subtrairemos o coeficiente desse termo.

Novamente, vamos escrever a operação que estamos fazendo aqui. Também precisaremos ser muito cuidadosos com a ordem em que escrevemos as coisas. Aqui está a operação

Desta vez, os parênteses em torno do segundo termo são absolutamente necessários. Estamos subtraindo todo o polinômio e o parêntese deve estar lá para garantir que estamos de fato subtraindo todo o polinômio.

Ao fazer a subtração, a primeira coisa que faremos é distribuir o sinal de menos através dos parênteses. Isso significa que mudaremos o sinal em cada termo no segundo polinômio. Observe que tudo o que estamos realmente fazendo aqui é multiplicar um “-1” pelo segundo polinômio usando a lei distributiva. Depois de distribuir o menos entre parênteses, combinamos novamente os termos semelhantes.

Aqui está o trabalho para este problema.

Observe que às vezes um termo desaparecerá completamente após pentear termos semelhantes como o (x ) fez aqui. Isso vai acontecer de vez em quando, então não fique animado quando acontecer.

Agora vamos passar para a multiplicação de polinômios. Novamente, é melhor fazer isso em um exemplo.

  1. (4 left (<- 6x + 2> direita) )
  2. ( left (<3x + 5> right) left ( direito))
  3. ( left (<4- x> direita) esquerda (<6 - 3x> direita) )
  4. ( left (<3x + 7y> right) left ( direito))
  5. ( left (<2x + 3> right) left (<- x + 1> direita) )

Este nada mais é do que uma rápida aplicação da lei distributiva.

[ left (<3x + 5> right) left ( right) ] Este usará o método FOIL para multiplicar esses dois binômios.

Lembre-se de que o método FOIL só funcionará ao multiplicar dois binômios. Se qualquer um dos polinômios não for um binômio, o método FOIL não funcionará.

Observe também que tudo o que estamos realmente fazendo aqui é multiplicar todos os termos do segundo polinômio por todos os termos do primeiro polinômio. O acrônimo FOIL é simplesmente uma maneira conveniente de lembrar isso.

Novamente, vamos apenas FALHAR este.

[ left (<4- x> direita) esquerda (<6 - 3x> direita) = 24 - 12 - 6x + 3 = - 12 + 27 - 6x ]

Ainda podemos FOIL binômios que envolvem mais de uma variável, então não fique animado com esses tipos de problemas quando eles surgirem.

[ left (<3x + 7y> right) left ( direita) = 3 - 6xy + 7xy - 14 = 3 + xy - 14]

Neste caso, o método FOIL não funcionará, uma vez que o segundo polinômio não é um binômio. Lembre-se, entretanto, de que o acrônimo FOIL era apenas uma maneira de lembrar que multiplicamos todos os termos do segundo polinômio por todos os termos do primeiro polinômio.

Isso é tudo que precisamos fazer aqui.

[ left (<2x + 3> right) left (<- x + 1> direita) = 2 - 2 + 2x + 3 - 3x + 3 = 2 + - x + 3 ]

Vamos trabalhar outro conjunto de exemplos que ilustrarão algumas fórmulas interessantes para alguns produtos especiais. Daremos as fórmulas após o exemplo.

Podemos usar FOIL neste, então vamos fazer isso.

[ left (<3x + 5> right) left (<3x - 5> right) = 9 - 15x + 15x - 25 = 9 - 25]

Nesse caso, os termos do meio são eliminados.

Agora lembre-se de que (<4 ^ 2> = left (4 right) left (4 right) = 16 ). O quadrado com polinômios funciona da mesma maneira. Então, neste caso, temos,

[< left (<2x + 6> right) ^ 2> = left (<2x + 6> right) left (<2x + 6> right) = 4 + 12x + 12x + 36 = 4 + 24x + 36 ]

Este é quase idêntico à parte anterior.

[< left (<1 - 7x> right) ^ 2> = left (<1 - 7x> right) left (<1 - 7x> right) = 1 - 7x - 7x + 49 = 1 - 14x + 49]

Esta parte está aqui para nos lembrar que precisamos ter cuidado com os coeficientes. Quando temos um coeficiente, DEVEMOS fazer a exponenciação primeiro e depois multiplicar o coeficiente.

[4 < left ( direita) ^ 2> = 4 esquerda ( direita esquerda( direita) = 4 esquerda (<+ 6x + 9> direita) = 4 + 24x + 36 ]

Você só pode multiplicar um coeficiente por meio de um conjunto de parênteses se houver um expoente de “1” no parêntese. Se houver qualquer outro expoente, você NÃO PODE multiplicar o coeficiente entre parênteses.

Apenas para ilustrar o ponto.

Isso claramente não é o mesmo que a resposta correta, então tome cuidado!

Todas as partes deste exemplo usam um dos seguintes produtos especiais.

Tenha cuidado para não cometer os seguintes erros!

Esses são erros muito comuns que os alunos frequentemente cometem quando começam a aprender como multiplicar polinômios.


12: Polinômios - Matemática

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