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16.3: Álgebra de Funções para Dados Mulitplex - Matemática


Suponhamos que estivéssemos olhando para uma única matriz sobre quem era amigo de quem. Uma forma óbvia de caracterizar o que vemos é classificar cada par como "amigos" ou "não amigos". Mas agora, vamos estender nossa análise um passo adiante (ou olhar para caminhos de comprimento 2). Agora, cada par de atores poderia ser caracterizado como amigo, não amigo, amigo de amigo, amigo de não amigo, não amigo de amigo ou não amigo de não amigo. Se quiséssemos considerar caminhos de comprimento três ... bem, essa é a ideia.

A noção de uma "álgebra de papéis" é entender as relações entre os atores como realizações dos "compostos" logicamente possíveis de relações de comprimentos de caminho selecionados. Na maioria das vezes, em análises de rede, nos concentramos no caminho de comprimento um (dois atores estão conectados ou não). Mas, às vezes, é útil caracterizar um gráfico como contendo tipos mais complexos de relações (amigo de amigo, não-amigo de amigo, etc.). Listas desses tipos de relações podem ser obtidas tomando produtos booleanos de matrizes (ou seja, 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 0, 1 * 0 = 0 e 1 * 1 = 1). Quando aplicado a uma única matriz, elevamos uma matriz a uma potência (multiplicamos por ela mesma) e obtemos o produto booleano; o resultado gera uma matriz que nos diz se existe uma relação entre cada par de nós que tem um comprimento de caminho igual à potência. Ou seja, para descobrir se cada par de atores está conectado pela relação "amigo de um amigo" tomamos o produto booleano da matriz de amizade ao quadrado.

Este método (elegante, mas um tanto misterioso) de encontrar "relações compostas" pode ser aplicado a dados multiplex como uma forma de identificar os tipos de relações que existem em um gráfico multiplex. O Transformar> Semigrupo O algoritmo pode ser usado para identificar esses tipos qualitativos mais complexos de relações entre os nós.

É mais fácil para a maioria das pessoas entender isso com um exemplo do que no abstrato. Portanto, vamos fazer um exame um tanto extenso dos dados de Knoke para informações e laços de dinheiro.

Se considerarmos apenas as relações diretas, existem duas: as organizações podem ser vinculadas por informações; as organizações podem ser amarradas por dinheiro. E se considerarmos as relações em duas etapas (o que é chamado de "comprimento de palavra" na álgebra de papéis)? Além das duas relações originais, existem agora mais quatro:

  • Quando multiplicamos a matriz de informações por sua transposição e tomamos produtos booleanos, estamos identificando ligações como "envia informações a um nó que envia informações para ..."
  • Quando multiplicamos a matriz de dinheiro por sua transposição e pegamos os produtos booleanos, estamos identificando a ligação: "envia dinheiro para um nó que envia dinheiro para ..."
  • Quando multiplicamos a matriz de informações pela matriz de dinheiro, estamos identificando a relação: "envia informações para um nó que envia dinheiro para ..."
  • Quando multiplicamos a matriz de dinheiro pela matriz de informação, estamos identificando a relação: "envia dinheiro para um nó que envia informações para ..."

Essas quatro novas relações (de duas etapas) entre os nós são "palavras" de comprimento dois ou "compostos".

É possível, claro, continuar a combinar em extensões ainda maiores. Na maioria das análises sociológicas com apenas dois tipos de laços, comprimentos mais longos raramente são substantivamente significativos. Com mais tipos de laços, no entanto, o número de tipos de relacionamentos compostos pode se tornar muito grande rapidamente.

A ferramenta Transformar> Semigrupo calcula todos os tipos compostos logicamente possíveis de relações até um comprimento de palavra (ou seja, distância de rede) que o usuário especifica. Ele produz um arquivo de log que contém um "mapa" dos tipos de relações, como vemos na Figura 16.9. Ele também produz, em um arquivo separado, matrizes de adjacência para cada um dos tipos de relacionamento (Figuras 16.10 e 16.11).

Figura 16.9: Semigrupos de comprimento de palavra 2 para informações Knoke e redes de dinheiro

A saída nos diz que havia duas relações (informação e dinheiro). Esses foram os "geradores" usados ​​para criar os tipos. Seis relações compostas possíveis foram geradas para o comprimento da palavra 2 (identificado no lado esquerdo). As relações 1 e 2 são informações e dinheiro individualmente - as matrizes originais. A relação 3 é um composto de informações consigo mesma; a relação quatro é o composto de informação com dinheiro, etc. Os números (3, 4, 5, 6) são simplesmente guias para qual matriz no arquivo de saída se refere a qual relação.

A partir desses novos "tipos" de relações (que são compostos dentro e entre os dois tipos de laços), podemos gerar novas matrizes de adjacência que mostram quais pares de atores são unidos por cada tipo particular de relação. Elas são apresentadas como uma série de matrizes de adjacência, conforme mostrado na Figura 16.10 e continuado na Figura 16.11.

Figura 16.10: Tabelas de relações para a Figura 16.9 (parte 1)

A matriz 1 é simplesmente a matriz de informação original; a matriz 2 é a matriz monetária original. A matriz 3 é o composto de informação com informação - quais atores estão ligados por um relacionamento "Ego envia informações para alguém que envia informações para o Alter"?

Figura 16.11: Tabelas de relações para a Figura 16.9 (parte 2)

Matrix 4 é o composto de dinheiro consigo mesmo, ou "Ego manda dinheiro para quem manda dinheiro para Alter".

As matrizes 5 e 6 são, de certa forma, as mais interessantes. Embora a troca de informações por informação e dinheiro por dinheiro sejam maneiras óbvias de integração de uma rede, também é possível que os atores sejam integrados por relações que envolvem tanto "maçãs" quanto "laranjas". Ou seja, posso enviar dinheiro e receber informações; Posso enviar informações e receber dinheiro.

A álgebra de papéis provou ser de particular valor no estudo das relações de parentesco, onde os laços entre gerações (pais / filhos) são registrados em uma matriz e as relações dentro das gerações são registradas em outra. Os vários compostos (por exemplo, "filho de filho", "filho de irmão") capturam com bastante facilidade os termos significativos nas relações de parentesco.


Conscientização de padrão e estrutura no início do desenvolvimento matemático

Pesquisas educacionais recentes têm voltado cada vez mais atenção para o desenvolvimento estrutural do pensamento matemático de jovens estudantes. Álgebra inicial, raciocínio multiplicativo e estruturação espacial são três áreas centrais para esta pesquisa. Há evidências crescentes de que o conhecimento da estrutura matemática é crucial para a competência matemática entre crianças pequenas. O objetivo deste artigo é propor um novo construto, Awareness of Mathematical Pattern and Structure (AMPS), que generaliza os conceitos matemáticos, pode ser medido de forma confiável e está correlacionado com a compreensão matemática geral. Fornecemos evidências de apoio extraídas de um estudo com 103 alunos da 1ª série.

Esta é uma prévia do conteúdo da assinatura, acesso através de sua instituição.


Exemplos

Modulação OFDM sobre duas antenas

OFDM-modula uma entrada totalmente compactada em duas antenas de transmissão.

Inicialize os parâmetros de entrada, gere dados aleatórios e execute a modulação OFDM.

Aplicar OFDM Atribuindo Subportadoras Nulas

Aplicar modulação OFDM atribuindo subportadoras nulas.

Inicialize os parâmetros de entrada e gere dados aleatórios.

Dados de modulação QAM. Execute a modulação OFDM.

Executar modulação OFDM com prefixo cíclico variável por símbolo

Execute a modulação OFDM para inserir o sinal de dados do domínio da frequência, variando o comprimento do prefixo cíclico aplicado a cada símbolo.

Inicialize os parâmetros de entrada e gere dados aleatórios.

Dados de modulação QAM. Execute a modulação OFDM.

Aplicar OFDM ao sinal QPSK multiplexado espacialmente em duas antenas

Aplique a modulação OFDM a um sinal QPSK que é multiplexado espacialmente em duas antenas de transmissão.

Inicialize os parâmetros de entrada e gere dados aleatórios para cada antena.

O QPSK modula os dados individualmente para cada antena. Execute a modulação OFDM.

Modulação OFDM com embalagem nula e piloto

OFDM-modula a entrada de dados, especificando empacotamento nulo e piloto.

Inicialize os parâmetros de entrada, definindo locais para subportadoras nulas e piloto. Gere dados aleatórios e execute modulação OFDM.


1. Motivação & # 8211 Por que aprender Álgebra Linear?

Eu gostaria de apresentar 4 cenários para mostrar por que aprender Álgebra Linear é importante, se você está aprendendo Ciência de Dados e Aprendizado de Máquina.

Cenário 1:

O que você vê quando olha a imagem acima? Você provavelmente disse flor, folhas - não muito difícil. Mas, se eu pedir que você escreva essa lógica para que um computador possa fazer o mesmo por você & # 8211, será uma tarefa muito difícil (para dizer o mínimo).

Você foi capaz de identificar a flor porque o cérebro humano passou por milhões de anos de evolução. Não entendemos o que se passa no fundo para saber se a cor da imagem é vermelha ou preta. De alguma forma, treinamos nossos cérebros para executar essa tarefa automaticamente.

Mas fazer com que um computador execute a mesma tarefa não é uma tarefa fácil, e é uma área ativa de pesquisa em Aprendizado de Máquina e Ciência da Computação em geral. Mas antes de trabalharmos na identificação de atributos em uma imagem, vamos refletir sobre uma questão específica - como uma máquina armazena essa imagem?

Você provavelmente sabe que os computadores de hoje são projetados para processar apenas 0 e 1. Então, como uma imagem como a acima, com vários atributos, como cor, pode ser armazenada em um computador? Isso é conseguido armazenando as intensidades de pixel em uma construção chamada Matriz. Então, esta matriz pode ser processada para identificar cores etc.

Portanto, qualquer operação que você deseja realizar nesta imagem provavelmente usaria Álgebra Linear e matrizes no backend.

Cenário 2:

Se você estiver familiarizado com o domínio Data Science, deve ter ouvido falar sobre o mundo & # 8220XGBOOST & # 8221 & # 8211, um algoritmo empregado com mais frequência pelos vencedores de Competições de Data Science. Ele armazena os dados numéricos na forma de Matriz para dar previsões. Ele permite que o XGBOOST processe dados mais rapidamente e forneça resultados mais precisos. Além disso, não apenas o XGBOOST, mas vários outros algoritmos usam matrizes para armazenar e processar dados.

Cenário 3:

Aprendizado profundo - a nova palavra da moda na cidade emprega matrizes para armazenar entradas como imagem, fala ou texto para fornecer uma solução de última geração para esses problemas. Pesos aprendidos por uma rede neural também são armazenados em matrizes. Abaixo está uma representação gráfica dos pesos armazenados em uma Matriz.

Cenário 4:

Outra área ativa de pesquisa em Aprendizado de Máquina é lidar com texto e as técnicas mais comuns empregadas são Saco de Palavras, Matriz de Documentos de Termos etc. Todas essas técnicas de maneira muito semelhante armazenam contagens (ou algo semelhante) de palavras em documentos e armazenam isso contagem de frequência em uma forma de matriz para realizar tarefas como análise semântica, tradução de linguagem, geração de linguagem, etc.

Então, agora você entenderia a importância da Álgebra Linear no aprendizado de máquina. Vimos imagens, textos ou quaisquer dados, em geral, empregando matrizes para armazenar e processar dados. Esta deve ser a motivação suficiente para percorrer o material abaixo e você começar na Álgebra Linear. Este é um guia relativamente longo, mas constrói Álgebra Linear do zero.


Durante a transcrição, a sequência de bases de DNA é transcrita em uma sequência de mRNA complementar. Uma tabela de códons como a mostrada abaixo lista os aminoácidos codificados por tríades particulares de bases de mRNA. Um segmento de DNA sofreu uma mutação na qual um nucleotídeo foi alterado. A sequência original era ACG e a nova sequência é ACA. Use a tabela de códons para determinar se essa mutação causará ou não uma mudança no fenótipo do organismo.

A. sim, o fenótipo do organismo mudaria porque um novo aminoácido seria codificado.

B. sim, o fenótipo do organismo mudaria porque qualquer mudança na sequência de DNA causaria uma mudança no fenótipo.

C. Mesmo que a sequência de DNA tenha mudado, a sequência ainda codifica para o mesmo aminoácido, então nenhuma mudança no fenótipo ocorrerá.

D. É impossível determinar se uma mudança no fenótipo ocorrerá usando apenas a sequência de DNA.


3010 tangentes

A analogia comum usada para descrever a aritmética modular é bastante simples. Basta olhar para um relógio analógico. Por exemplo, se são 11h e você quer saber que horas serão em quatro horas, instintivamente sabemos que a resposta é 15h. Isso é aritmética modular, ou seja, 11 + 4 = 3 mod 12. Este é um conceito importante no mundo impulsionado pela tecnologia em que vivemos. Sempre que um produto é comprado na Internet, a criptografia entra em ação. O restante deste artigo (trocadilhos definitivamente pretendidos) irá descrever como a aritmética modular antiga desempenha um papel muito importante na sociedade de hoje.

História da aritmética modular

A primeira publicação conhecida de aritmética modular foi no século 3 a.C.E, no livro Elementos, escrito por Euclides. Em seu livro, ele não apenas formalizou os fundamentos da aritmética, mas também os provou. No que é conhecido como Lema de Euclides, ele afirma que se um número primo divide o produto de dois números diferentes (x e y), então o número primo também deve dividir um dos números (ou x ou y), mas também pode seja ambos. Entre os séculos 3 e 5, um artigo publicado por Sun Tzu descreve um processo aritmético modular conhecido como teorema do resto chinês. Este teorema é essencialmente a base para esquemas de criptografia RSA modernos que estão presentes em todos os sites de bancos / e-commerce. Ele usa um conjunto congruente de chaves para produzir o mesmo valor numérico. Imagine se houvesse uma fechadura em uma porta que duas chaves com cortes diferentes pudessem destravar e abrir, é essencialmente assim que o teorema do resto chinês funciona.

Aritmética modular moderna

Pintura a óleo do matemático e filósofo Carl Friedrich Gauss de G. Biermann (1824-1908). Domínio público.

A aritmética modular que usamos hoje foi descoberta por Carl Friedrich Gauss em 1801.

Gauss é famoso por inúmeras descobertas em uma ampla variedade de campos da ciência e da matemática. A proposição de Gauss, de seu livro Disquisitiones Arithmeticae, define aritmética modular dizendo que qualquer inteiro N pertence a um único classe de resíduo quando dividido por um número M. O classe de resíduo é representado pelo resto, que pode ser de 0 a M-1. O restante é obtido dividindo N por M. Diante desse fato, Gauss nota que dois números que diferem por um múltiplo de M estão no mesmo classe de resíduos. Ele então discute o papel dos números negativos na aritmética modular. A seguir está um trecho de seu livro:

& # 8220The módulo m geralmente é positivo, mas não há grande dificuldade em permitir o negativo módulos (as classes módulo me -m são iguais). Para um módulo zero, haveria infinitas classes de resíduos, cada uma contendo apenas um elemento. [Isso não precisa ser desautorizado.] & # 8221

O papel da aritmética modular hoje

A criptografia RSA tem o nome daqueles que a inventaram, Ron Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman (RSA é obtida a partir de seus sobrenomes). RSA é o processo pelo qual as informações podem ser passadas entre duas partes sem que outro indivíduo seja capaz de interceptar a mensagem. Burt Kaliski tem sido um dos maiores contribuintes para a criptografia RSA desde a década de 1980. Eu gostaria de começar com uma passagem do artigo de Burt Kaliski intitulado "The Mathematics of the RSA Public-Key Cryptosystem":

& # 8220Os dados confidenciais trocados entre um usuário e um site da Web precisam ser criptografados para evitar que sejam divulgados ou modificados por terceiros não autorizados. A criptografia deve ser feita de forma que a descriptografia só seja possível com o conhecimento de uma chave de descriptografia secreta. A chave de descriptografia só deve ser conhecida por partes autorizadas. & # 8221

Esta é uma descrição de alto nível de como funciona a criptografia RSA. Também é chamada de criptografia de chave pública, porque qualquer pessoa pode obter uma cópia da chave de criptografia que está disponível publicamente, mas a chave de descriptografia não pode ser obtida. Isso torna a criptografia RSA uma maneira segura de passar dados entre um indivíduo e um site.

Visão simplificada da criptografia RSA. Domínio público.

Realizar esse cálculo (criptografar e descriptografar texto) é bastante simples. Com um conhecimento básico de aritmética modular, isso pode ser realizado. Primeiro, uma chave pública e privada deve ser produzida seguindo as etapas abaixo:

  1. Gere grandes números primos, p e q (devem ter centenas de dígitos)
  2. Calcule o módulo n, n = p × q
  3. Calcule o totiente, totiente = (p-1) × (q-1)
  4. Escolha um “e” & gt 1 que seja co-primo para o totiente
  5. Escolha um “d” tal que d × e = 1 mod totient

Uma vez que essas etapas foram concluídas, uma chave pública (n, e) e uma chave privada (n, d) foram geradas. A chave pública pode ser distribuída para qualquer pessoa, mas a chave privada deve ser mantida em segurança. É fácil ver que sem a aritmética modular, esse algoritmo seria fácil de discernir. Pode-se gerar pares de números aleatórios até que seja encontrado um par que, quando multiplicado, será igual ao módulo n encontrado na etapa dois acima. A partir daí, seria fácil encontrar todos os números primos para o totiente na etapa três. A aritmética modular então entra em jogo, porque permite que pares infinitos de números satisfaçam a restrição listada na etapa cinco, mas não permite que o usuário descriptografe a mensagem. Em outras palavras, 11 + 4 = 3 mod 12, mas também 11 + 16 = 3 mod 12. Isso torna impossível determinar qual era o número original (poderia ser 4 ou 16, ou qualquer outro múltiplo de 12 )

Uma vez que as chaves tenham sido geradas, é fácil criptografar e descriptografar o texto. Para criptografar uma mensagem “m”, dada a chave pública (n, e) gerada acima:

“C” é então a mensagem criptografada que é passada para a outra parte.

Para descriptografar a mensagem “C” criada acima, basta o inverso da operação de criptografia:

Vamos fazer um exemplo para ilustrar as instruções listadas acima (nota: estaremos usando pequenos fatores primos porque a matemática é mais simples).

  1. Selecione um p e q que são primos
    1. P = 11
    2. Q = 3
    1. O menor valor que é coprime de 20 é 3 porque 3 é o menor número que não pode dividir 20 igualmente, então “e” = 3
    1. Usando o Algoritmo Euclidiano, obtemos d = 7

    Agora, digamos que queremos criptografar a mensagem “4”. Para fazer isso, precisamos saber a chave pública, que em nosso caso é (n = 33, e = 3). Tudo o que precisamos fazer é calcular:

    Podemos passar 31 (c = 31) para o site, que então o descriptografará usando a chave privada (33, 7):

    Nossa mensagem foi “passada” com sucesso de um lugar para outro.

    Sem o trabalho de matemáticos anteriores, esse processo não seria possível. A aritmética modular desempenha um papel crucial em nossas vidas diárias e nem mesmo percebemos. Acho que é um conceito matemático incrível e fornece uma visão profunda do mundo da teoria dos números. Ainda hoje existem computadores constantemente tentando descobrir como fatorar grandes números primos, sem sucesso. Não sei se a criptografia RSA resistirá ao teste do tempo, mas por enquanto é a melhor que temos.


    SIAM Journal on Applied Dynamical Systems

    Foi reconhecido que muitos sistemas dinâmicos complexos no mundo real requerem uma descrição em termos de redes multiplex, onde um conjunto de nós comuns, mutuamente conectados, pertencem a camadas de rede distintas e desempenham um papel diferente em cada camada. Apesar do progresso recente em direção à inferência baseada em dados de redes de camada única, a reconstrução de sistemas complexos com uma estrutura multiplex permanece amplamente em aberto. Neste artigo, articulamos uma estrutura de estimativa de máxima verossimilhança baseada em campo médio para resolver esse problema. De maneira concreta, reconstruímos uma classe de sistemas de rede duplex prototípicos hospedando duas categorias de dinâmica de espalhamento e mostramos que as estruturas de ambas as camadas podem ser reconstruídas simultaneamente a partir de dados de séries temporais. Além de validar o framework usando redes duplex empíricas e sintéticas, realizamos uma análise detalhada para elucidar os impactos dos parâmetros de rede e dinâmica na precisão da reconstrução e na robustez.


    Mark H. Ashcraft define ansiedade matemática como "um sentimento de tensão, apreensão ou medo que interfere no desempenho matemático" (2002, p. 1). [1] O estudo acadêmico da ansiedade matemática começou na década de 1950, quando Mary Fides Gough introduziu o termo matemafobia para descrever os sentimentos de fobia de muitos em relação à matemática. [2] A primeira escala matemática de medição de ansiedade foi desenvolvida por Richardson e Suinn em 1972. [ citação necessária Desde este desenvolvimento, vários pesquisadores examinaram a ansiedade matemática em estudos empíricos. [1] Hembree [3] (1990) conduziu uma meta-análise de 151 estudos sobre ansiedade matemática. Ele determinou que a ansiedade matemática está relacionada ao baixo desempenho em matemática em testes de desempenho em matemática e que a ansiedade matemática está relacionada a atitudes negativas em relação à matemática. Hembree também sugere que a ansiedade matemática está diretamente ligada à evitação matemática.

    Ashcraft [1] (2002) sugere que estudantes de matemática altamente ansiosos evitarão situações em que tenham que realizar cálculos matemáticos. Infelizmente, evitar a matemática resulta em menos competência, exposição e prática matemática, deixando os alunos mais ansiosos e matematicamente despreparados para realizações. Na faculdade e na universidade, os alunos ansiosos de matemática fazem menos cursos de matemática e tendem a se sentir negativos em relação à matemática. Na verdade, Ashcraft descobriu que a correlação entre ansiedade matemática e variáveis ​​como confiança e motivação são fortemente negativas.

    De acordo com Schar, [4] como a ansiedade matemática pode causar evasão matemática, surge um dilema empírico. Por exemplo, quando um aluno altamente ansioso por matemática tem um desempenho decepcionante em uma questão matemática, pode ser devido à ansiedade matemática ou à falta de competência em matemática por causa da evasão matemática. Ashcraft determinou que, ao administrar um teste que se torna cada vez mais desafiador matematicamente, ele notou que mesmo indivíduos altamente ansiosos por matemática se saem bem na primeira parte do teste, medindo o desempenho. No entanto, na última e mais difícil parte do teste, havia uma relação negativa mais forte entre precisão e ansiedade matemática.

    De acordo com a pesquisa realizada na Universidade de Chicago por Sian Beilock e seu grupo, a ansiedade matemática não é simplesmente ser ruim em matemática. Depois de usar varreduras cerebrais, os estudiosos confirmaram que a antecipação ou a ideia de resolver matemática realmente causa ansiedade matemática. As varreduras cerebrais mostraram que a área do cérebro que é acionada quando alguém tem ansiedade matemática se sobrepõe à mesma área do cérebro onde os danos físicos são registrados. [5] E Trezise e Reeve [6] [7] mostram que a ansiedade dos alunos com a matemática pode flutuar durante a aula de matemática.

    O impacto da ansiedade matemática no desempenho em matemática foi estudado em grande parte da literatura recente. Um indivíduo com ansiedade matemática não necessariamente carece de habilidade em matemática; em vez disso, eles não podem desempenhar todo o seu potencial devido aos sintomas interferentes de sua ansiedade. [8] A ansiedade pela matemática se manifesta de várias maneiras, incluindo sintomas físicos, psicológicos e comportamentais, que podem atrapalhar o desempenho matemático do aluno. [9] Acredita-se que a forte correlação negativa entre alta ansiedade matemática e baixo desempenho se deva ao impacto da ansiedade matemática na memória de trabalho. A memória de trabalho tem capacidade limitada e, na resolução de problemas matemáticos, grande parte dessa capacidade é dedicada à resolução de problemas. No entanto, em indivíduos com ansiedade matemática, grande parte desse espaço é ocupado por pensamentos ansiosos, comprometendo assim a capacidade de desempenho do indivíduo. [10] Além disso, uma dependência frequente nas escolas de testes de alto risco e cronometrados, onde os alunos tendem a sentir mais ansiedade, pode levar a um desempenho inferior para indivíduos ansiosos por matemática. [11] Os resultados do Programa de Avaliação Internacional de Alunos (PISA) demonstram que os alunos com alta ansiedade matemática demonstram pontuações em matemática 34 pontos menores do que os alunos que não têm ansiedade matemática, o equivalente a um ano completo de escola. [12] Essas descobertas demonstram a ligação clara entre ansiedade matemática e níveis reduzidos de desempenho, sugerindo que aliviar a ansiedade matemática pode levar a uma melhora acentuada no desempenho do aluno.

    Uma escala de avaliação para ansiedade matemática foi escrita em 1972 por Richardson e Suinn. [13] Richardson e Suinn definiram ansiedade matemática como "sentimentos de apreensão e tensão em relação à manipulação de números e conclusão de problemas matemáticos em vários contextos". [14] Richardson e Suinn introduziram a MARS (Mathematics Anxiety Rating Scale) em 1972. Pontuações elevadas no teste MARS se traduzem em alta ansiedade matemática. Os autores apresentaram os dados normativos, incluindo uma pontuação média de 215,38 com um desvio padrão de 65,29, coletados de 397 alunos que responderam a um anúncio de tratamento de terapia comportamental para ansiedade matemática. [15] Para a confiabilidade teste-reteste, o coeficiente momento-produto de Pearson foi usado e uma pontuação de 0,85 foi calculada, o que foi favorável e comparável às pontuações encontradas em outros testes de ansiedade. Richardson e Suinn validaram o construto deste teste compartilhando resultados anteriores de três outros estudos que foram muito semelhantes aos resultados alcançados neste estudo. Eles também administraram o Teste de Aptidão Diferencial, um teste de matemática de 10 minutos que inclui problemas simples a complexos.

    O cálculo do coeficiente de correlação produto-momento de Pearson entre o teste MARS e as pontuações do Teste de Aptidão Diferencial foi de −0,64 (p & lt .01), indicando que pontuações mais altas de MARS estão relacionadas a pontuações mais baixas em testes de matemática e "uma vez que a alta ansiedade interfere no desempenho, e o desempenho produz ansiedade, este resultado fornece evidências de que o MARS mede a ansiedade matemática ”. [16] Este teste foi planejado para ser usado no diagnóstico de ansiedade matemática, testando a eficácia de diferentes abordagens de tratamento de ansiedade matemática e, possivelmente, projetando uma hierarquia de ansiedade para ser usada em tratamentos de dessensibilização. [15] O teste MARS é de interesse para aqueles que fazem aconselhamento psicológico [17] e o teste é muito usado em pesquisas matemáticas sobre ansiedade. Ele está disponível em várias versões de comprimento variável [18] e é considerado psicometricamente correto. [19] Outros testes são frequentemente aplicados para medir diferentes dimensionalidades da ansiedade matemática, como Elizabeth Fennema e as escalas de atitudes matemáticas Fennema-Sherman de Julia Sherman (FSMAS). O FSMAS avalia nove domínios específicos usando escalas do tipo Likert: atitude em relação ao sucesso, matemática como domínio masculino, atitude da mãe, atitude do pai, atitude do professor, confiança em aprender matemática, ansiedade matemática, motivação afetiva e utilidade matemática. Apesar da introdução de instrumentos mais novos, o uso do teste MARS parece ser o padrão educacional para medir a ansiedade matemática devido à sua especificidade e uso prolífico. [21]

    Embora existam semelhanças abrangentes em relação à aquisição de habilidades matemáticas, os pesquisadores mostraram que as habilidades matemáticas das crianças diferem entre os países. No Canadá, os alunos têm pontuação substancialmente mais baixa em resolução de problemas de matemática e operações do que os alunos na Coréia, Índia e Cingapura. Pesquisadores [ quem? ] realizaram comparações completas entre os países e determinaram que, em países como Taiwan e Japão, os pais colocam mais ênfase no esforço do que na habilidade intelectual inata para o sucesso escolar. Ao colocar uma ênfase maior no esforço do que na habilidade intelectual inata da pessoa, eles estão ajudando seus filhos a desenvolver uma mentalidade construtiva. [22] Pessoas que desenvolvem uma mentalidade construtiva acreditam que todos têm a capacidade de aumentar sua capacidade intelectual, aprender com seus erros e se tornar alunos mais resilientes. Além disso, os pais nesses países tendem a estabelecer expectativas e padrões mais elevados para seus filhos. Por sua vez, os alunos gastam mais tempo com os deveres de casa e os valorizam mais do que as crianças americanas. [23]

    Outra diferença nas habilidades matemáticas frequentemente explorada em pesquisas diz respeito às disparidades de gênero. Existem pesquisas que examinam as diferenças de gênero no desempenho em testes padronizados em vários países. Beller e Gafni mostraram que crianças com aproximadamente nove anos de idade não apresentam diferenças de gênero consistentes em relação às habilidades matemáticas. No entanto, em 17 dos 20 países examinados neste estudo, os meninos de 13 anos tenderam a pontuar mais alto do que as meninas. Além disso, a matemática é frequentemente rotulada como uma habilidade masculina, como resultado, as meninas costumam ter pouca confiança em suas habilidades matemáticas. [24] Esses estereótipos de gênero podem reforçar a baixa confiança nas meninas e podem causar ansiedade matemática, já que a pesquisa mostrou que o desempenho em testes padronizados de matemática é afetado pela confiança de uma pessoa. [25] Como resultado, os educadores têm tentado abolir esse estereótipo, promovendo a confiança na matemática em todos os alunos, a fim de evitar a ansiedade matemática. [26]

    Os princípios da matemática são geralmente compreendidos em crianças em idade pré-escolar podem compreender a maioria dos princípios subjacentes à contagem. No jardim de infância, é comum as crianças usarem a contagem de uma maneira mais sofisticada, adicionando e subtraindo números. Embora os alunos do jardim de infância tendam a usar os dedos para contar, esse hábito é logo abandonado e substituído por uma estratégia mais refinada e eficiente, as crianças começam a realizar adição e subtração mentalmente por volta dos seis anos de idade. Quando as crianças atingem aproximadamente oito anos de idade, elas podem recuperar as respostas das equações matemáticas da memória. Com a instrução adequada, as crianças com funcionamento normal adquirem essas habilidades matemáticas básicas e são capazes de resolver problemas matemáticos mais complexos com um treinamento mais sofisticado. [26] (Kail & amp Zolner, 2005).

    Estilos de ensino de alto risco são frequentemente explorados para obter uma melhor compreensão da ansiedade matemática. Goulding, Rowland e Barber [27] (2002) sugerem que há ligações entre a falta de conhecimento do assunto do professor e a capacidade de planejar o material de ensino de forma eficaz. Essas descobertas sugerem que professores que não têm formação suficiente em matemática podem ter dificuldades para desenvolver planos de aula abrangentes para seus alunos. Da mesma forma, a pesquisa de Laturner [28] (2002) mostra que professores com certificação em matemática são mais propensos a ser apaixonados e comprometidos com o ensino de matemática do que aqueles sem certificação. No entanto, aqueles sem certificação variam em seu compromisso com a profissão, dependendo da preparação do curso.

    Além disso, um estudo conduzido por Kawakami, Steele, Cifa, Phills e Dovidio [29] (2008) examinou as atitudes em relação à matemática e ao comportamento durante os exames de matemática. O estudo examinou o efeito do treinamento extensivo em ensinar mulheres a abordar matemática. Os resultados mostraram que as mulheres que foram treinadas para abordar em vez de evitar a matemática mostraram uma atitude implícita positiva em relação à matemática. Essas descobertas foram consistentes apenas com mulheres com baixa identificação inicial com matemática. Este estudo foi replicado com mulheres que foram encorajadas a abordar a matemática ou que receberam treinamento neutro. Os resultados foram consistentes e demonstraram que as mulheres ensinadas a abordar a matemática tinham uma atitude positiva implícita e completaram mais problemas de matemática do que as mulheres ensinadas a abordar a matemática de maneira neutra.

    Johns, Schmader, and Martens [30] (2005) conducted a study in which they examined the effect of teaching stereotype threat as a means of improving women's math performance. The researchers concluded that women tended to perform worse than men when problems were described as math equations. However, women did not differ from men when the test sequence was described as problem solving or in a condition in which they learned about stereotype threats. This research has practical implications. The results suggested that teaching students about stereotype threat could offer a practical means of reducing its detrimental effects and lead to an improvement in a girl's performance and mathematical ability, leading the researchers to conclude that educating female teachers about stereotype threat can reduce its negative effects in the classroom.

    According to Margaret Murray, female mathematicians in the United States have almost always been a minority. Although the exact difference fluctuates with the times, as she has explored in her book Women Becoming Mathematicians: Creating a Professional Identity in Post-World War II America, "Since 1980, women have earned over 17 percent of the mathematics doctorates. [In The United States]". [31] The trends in gender are by no means clear, but perhaps parity is still a way to go. Since 1995, studies have shown that the gender gap favored males in most mathematical standardized testing as boys outperformed girls in 15 out of 28 countries. However, as of 2015 the gender gap has almost been reversed, showing an increase in female presence. This is being caused by women's steadily increasing their performance on math and science testing and enrollment, but also from males' losing ground at the same time. This role reversal can largely be associated with the gender normative stereotypes that are found in the Science, technology, engineering, and mathematics (STEM) field, deeming "who math is for" and "who STEM careers are for". These stereotypes can fuel mathematical anxiety that is already present among young female populations. [32] Thus parity will take more work to overcome mathematical anxiety and this is one reason why women in mathematics are role models for younger women.

    Causes Edit

    Students often develop mathematical anxiety in schools, often as a result of learning from teachers who are themselves anxious about their mathematical abilities in certain areas. Typical examples of areas where mathematics teachers are often incompetent or semi-competent include fractions, (long) division, algebra, geometry "with proofs", calculus, and topology. In many countries, would-be math teachers are required only to obtain passing grades of 51% in mathematics exams, so that a math student who has failed to understand 49% of the math syllabus throughout his or her education can, and often does, become a math teacher. His or her fears and lack of understanding then pass naturally to his or her students.

    According to John Taylor Gatto, as expounded in several lengthy books, [33] [ page needed ] modern Western schools were deliberately [ dubious – discuss ] designed during the late 19th century to create an environment which is ideal for fostering fear and anxiety, and for preventing or delaying learning. Many who are sympathetic to Gatto's thesis regard his position as unnecessarily extreme. [34] Diane Ravitch, former assistant secretary of education during the George H.W. Bush administration, agrees with Gatto up to a point, conceding that there is an element of social engineering (i.e. manufacture of compliant citizenry) in the construction of the American education system, [34] which prioritizes conformance over learning.

    The role of attachment has been suggested as having an impact in the development of the anxiety. [35] Children with an insecure attachment style were more likely to demonstrate the anxiety.

    Math is usually taught as a right and wrong subject and as if getting the right answer were paramount. In contrast to most subjects, mathematics problems almost always have a right answer. Additionally, the subject is often taught as if there were a right way to solve the problem and any other approaches would be wrong, even if students got the right answer. When learning, understanding the concepts should be paramount, but with a right/wrong approach to teaching math, students are encouraged not to try, not to experiment, not to find algorithms that work for them, and not to take risks. "Teachers benefit children most when they encourage them to share their thinking process and justify their answers out loud or in writing as they perform math operations. . With less of an emphasis on right or wrong and more of an emphasis on process, teachers can help alleviate students' anxiety about math". [36]

    While teaching of many subjects has changed from rote memorization to the current Constructivist approach, math is frequently taught with a rote learning behaviorist approach. Isso é,

    • A problem set is introduced
    • A solution technique is introduced
    • Practice problems are repeated until mastery is achieved

    Constructivist theory says the learning and knowledge is the student's creation, yet rote learning and a right/wrong approach to teaching math ensures that it is external to the student.

    Solutions Edit

    There have been many studies that show parent involvement in developing a child's educational processes is essential. A student's success in school is increased if their parents are involved in their education both at home and school (Henderson & Map, 2002). [37] As a result, one of the easiest ways to reduce math anxiety is for the parent to be more involved in their child's education. In addition, research has shown that a parent's perception on mathematics influences their child's perception and achievement in mathematics (Yee & Eccles, 1988). [38] This means that if a parent makes it apparent that they do not enjoy mathematics or that they are not good at mathematics, this can influence the way in which their child views mathematics.

    Furthermore, studies by Herbert P. Ginsburg, Columbia University, show the influence of parents' and teachers' attitudes on "'the child's expectations in that area of learning.'. It is less the actual teaching and more the attitude and expectations of the teacher or parents that count". This is further supported by a survey of Montgomery County, Maryland students who "pointed to their parents as the primary force behind the interest in mathematics". [39]

    Claudia Zaslavsky [39] contends that math has two components. The first component, commonly focused on in many schools, is to calculate the answer. This component also has two subcomponents, namely the answer and the process or method used to determine the answer. Focusing more on the process or method enables students to make mistakes, but not 'fail at math'. The second component is to understand the mathematical concepts that underlay the problem being studied. ". and in this respect studying mathematics is much more like studying, say, music or painting than it is like studying history or biology."

    Amongst others supporting this viewpoint is the work of Dr. Eugene Geist, Associate Professor at Ohio University – Athens, Ohio and an early childhood education specialist. [40] Dr. Geist's recommendations include focusing on the concepts rather than the right answer and letting students work on their own and discuss their solutions before the answer is given. Emphasis is given that young people hate to be wrong and hate situations where they can be embarrassed by being wrong.

    National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (1989, 1995b) suggestions for teachers seeking to prevent math anxiety include:

    • Accommodating for different learning styles
    • Creating a variety of testing environments
    • Designing positive experiences in math classes
    • Refraining from tying self-esteem to success with math
    • Emphasizing that everyone makes mistakes in mathematics
    • Making math relevant
    • Letting students have some input into their own evaluations
    • Allowing for different social approaches to learning mathematics
    • Emphasizing the importance of original, quality thinking rather than rote manipulation of formulas

    Hackworth (1992) [41] suggests that the following activities can help in reducing and mitigating mathematical anxiety:

    • Discuss and write about math feelings
    • Become acquainted with good math instruction, as well as study techniques
    • Recognize what type of information needs to be learned
    • Be an active learner, and create problem-solving techniques
    • Evaluate your own learning
    • Develop calming/positive ways to deal with fear of math, including visualization, positive messages, relaxation techniques, frustration breaks
    • Use gradual, repeated success to build math confidence in students

    Math (and Statistics) Therapy is a combination of coaching and counseling, provided for adults by people with credentials in both counseling and math education. In Math Therapy the reasons for anxiety are addressed, as well as the mathematical skills which are lacking. New coping skills are introduced and practiced, so that fear, distaste or other negative emotions do not block math (or statistics) learning.

    There are several anxiety reducing techniques that teachers can teach their children and practice periodically throughout the year. Teachers will need to learn these techniques and encourage the students to practice them at home and to use them prior to testing or when feeling anxious during math class.

    Several studies have shown that relaxation techniques can be used to help alleviate anxiety related to mathematics. In her workbook Conquering Math Anxiety, Cynthia Arem offers specific strategies to reduce math avoidance and anxiety. One strategy she advocates for is relaxation exercises and indicates that by practicing relaxation techniques on a regular basis for 10–20 minutes students can significantly reduce their anxiety. [42]

    Dr. Edmundo Jacobson's Progressive Muscle Relaxation taken from the book Mental Toughness Training for Sports, Loehr (1986) can be used in a modified form to reduce anxiety as posted on the website HypnoGenesis. [43]

    Visualization has also been used effectively to help reduce math anxiety. Arem has a chapter that deals with reducing test anxiety and advocates the use of visualization. In her chapter titled Conquer Test Anxiety (Chapter 9) she has specific exercises devoted to visualization techniques to help the student feel calm and confident during testing. [44]

    Studies have shown students learn best when they are active rather than passive learners. [45]

    The theory of multiple intelligences suggests that there is a need for addressing different learning styles. Math lessons can be tailored for visual/spatial, logical/mathematics, musical, auditory, body/kinesthetic, interpersonal and intrapersonal and verbal/linguistic learning styles. This theory of learning styles has never been demonstrated to be true in controlled trials. Studies show no evidence to support tailoring lessons to an individual students learning style to be beneficial. [46]

    New concepts can be taught through play acting, cooperative groups, visual aids, hands on activities or information technology. [47] To help with learning statistics, there are many applets found on the Internet that help students learn about many things from probability distributions to linear regression. These applets are commonly used in introductory statistics classes, as many students benefit from using them. [ original research? ] [ who? ]

    Active learners ask critical questions, such as: Why do we do it this way, and not that way? Some teachers may find these questions annoying or difficult to answer, and indeed may have been trained to respond to such questions with hostility and contempt, designed to instill fear. Better teachers respond eagerly to these questions, and use them to help the students deepen their understanding by examining alternative methods so the students can choose for themselves which method they prefer. This process can result in meaningful class discussions. Talking is the way in which students increase their understanding and command of math. [48] Teachers can emphasize the importance of original thinking rather than rote manipulation of formulas. This can be done through class conversations. Teachers can give students insight as to why they learn certain content by asking students questions such as "what purpose is served by solving this problem?" and "why are we being asked to learn this?" [49]

    Reflective journals help students develop metacognitive skills by having them think about their understanding. According to Pugalee, [50] writing helps students organize their thinking which helps them better understand mathematics. Moreover, writing in mathematics classes helps students problem solve and improve mathematical reasoning. When students know how to use mathematical reasoning, they are less anxious about solving problems.

    However, there is still a large part of school math teaching which consists of "mass-produced" memorization, repetition, and mechanically performed operations. Times tables are one example, wherein rote learning is essential to mathematics performance. When a student fails to learn the times tables at a young age, they can experience math anxiety later, when all the students' classmates can remember the tables but they cannot.

    Children learn best when math is taught in a way that is relevant to their everyday lives. Children enjoy experimenting. To learn mathematics in any depth, students should be engaged in exploring, conjecturing, and thinking, as well as in rote learning of rules and procedures. [51]


    Prediction intervals for the response variables

    Let us now use the predict method to obtain prediction intervals for the reponse variables. As we did not obtain an approximate distribution for the response variable, we obtain the prediction intervals by simulation, which is computationally intensive.

    To obtain prediction intervals, one must set the interval argument to “prediction” since the default type of prediction is already “response”. It is also possible to change the significance level by entering the level argument, which defaults to 0.95 , to change the number of mean and prediction parameters generated by setting the nsim_pred argument to the desired value, the default is 100, and to change the number of response variables y generated for each pair of mean and precision parameters by setting the nsim_pred_y to the desired value, the default is 100.

    For example, we will consider nsim_pred = 50 and nsim_pred_y = 50 to avoid long computations in our example:

    Notice that the intervals are now much wider.

    We will now use the above matrix to create a plot of the fitted values against the math variable along with their prediction intervals using R’s base graphics:


    Conclusão

    There is a lot more to talk about here, but I was able to put together a simple beamforming example for my team. You can see from this example that one can "point" the response curve of the antenna in specific direction with just a bit of matrix math. Note that the antenna beam patterns have a main "lobe" and side "lobes." In a later post, I will discuss how to reduce the amplitude of the sidelobes.

    10 Responses to Beamforming Math

    Thanks for your clear explanation.
    I have questions please: I am a bit confused between two things. In this explanation you showed that the received signal by the first antenna and the second is only different by the time of arrival. While, when MIMO is used, it is assumed that each antenna has independent channel. For example for 1*2, the two channels are independent from each other and so that SIMO offers gain. The second question is, in 1*2 example, the received signal by each antenna is processed alone, then the decoded signals (after channel decoding) are combined. While, in beamforming they are delayed to be summed up before performing any process.

    Thanks in advance.
    Regards
    Abdullah

    Hi, I wasn't able to find a follow up on sidelobe amplitude reduction? I would greatly appreciate a link.

    There is so much to write about and so little time . I can provide you a good sonar presentation that discusses applying "shading" to the antenna elements to reduce sidelobes. The sonar, radar, and wireless math is identical. Just google beamforming, shading, sidelobes.


    Assista o vídeo: Multiplexador - MUX - funcionamento e exemplo (Dezembro 2021).