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8.8: Medidas do produto. Integrais Iterados - Matemática


Sejam ((X, mathcal {M}, m) ) e ((Y, mathcal {N}, n) ) espaços de medida, com (X in mathcal {M} ) e (Y in mathcal {N}. ) Seja ( mathcal {C} ) a família de todos os "retângulos", ou seja, conjuntos

[A vezes B, ]

com (A in mathcal {M}, B in mathcal {N}, m A < infty, ) e (n B < infty ).

Defina uma pré-medida (s: mathcal {C} rightarrow E ^ {1} ) por

[s (A vezes B) = m A cdot n B, quad A vezes B in mathcal {C}. ]

Seja (p ^ {*} ) a medida externa induzida por (s ) em (X vezes Y ) e

[p: mathcal {P} ^ {*} rightarrow E ^ {*} ]

a medida (p ^ {*} ) induzida ("medida do produto," (p = m vezes n )) no campo ( sigma ) - ( mathcal {P} ^ {* } ) de todos os (p ^ {*} ) - conjuntos mensuráveis ​​em (X vezes Y ) (Capítulo 7, §§5-6).

Consideramos funções (f: X vezes Y rightarrow E ^ {*} ) (real estendido).

EU. Começamos com algumas definições.

Definições

(1) Dada uma função (f: X rightarrow Y rightarrow E ^ {*} ) (de duas variáveis ​​ (x, y )), deixe (f_ {x} ) ou (f ( x, cdot) ) denotam a função em (Y ) dada por

[f_ {x} (y) = f (x, y); ]

ele surge de (f ) fixando (x ).

Da mesma forma, (f ^ {y} ) ou (f ( cdot, y) ) é dado por (f ^ {y} (x) = f (x, y) ).

(2) Defina (g: X rightarrow E ^ {*} ) por

[g (x) = int_ {Y} f (x, cdot) dn, ]

E definir

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = int_ {X} g dm, ]

também escrito

[ int_ {X} dm (x) int_ {Y} f (x, y) dn (y). ]

Isso é chamado de integral iterada de (f ) em (Y ) e (X, ) nesta ordem.

De forma similar,

[h (y) = int_ {X} f ^ {y} dm ]

e

[ int_ {Y} int_ {X} f dm dn = int_ {Y} h dn. ]

Observe que pelas regras de §5, essas integrais são sempre definidas.

(3) Com (f, g, h ) como acima, dizemos que (f ) é um mapa de Fubini ou tem as propriedades de Fubini (após o matemático Fubini) sse

(a) (g ) é (m ) - mensurável em (X ) e (h ) é (n ) - mensurável em (Y );

(b) (f_ {x} ) é (n ) - mensurável em (Y ) para quase todos (x ) (ou seja, para (x em XQ ), (m Q = 0); f ^ {y} ) é (m ) - mensurável em (X ) para (y in YQ ^ { primo}, n Q ^ { primo} = 0; ) e

(c) as integrais iteradas acima satisfazem

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = int_ {Y} int_ {X} f dm dn = int_ {X vezes Y} f dp ]

(o ponto principal).

Para sequências monótonas

[f_ {k}: X vezes Y rightarrow E ^ {*} quad (k = 1,2, ldots), ]

agora obtemos o seguinte lema.

Lemma ( PageIndex {1} )

If (0 leq f_ {k} nearrow f ) (pointwise) on (X times Y ) e se cada (f_ {k} ) tem propriedade Fubini (a), (b), ou (c), então (f ) tem a mesma propriedade.

Prova

Para (k = 1,2, ldots, ) conjunto

[g_ {k} (x) = int_ {Y} f_ {k} (x, cdot) dn ]

e

[h_ {k} (y) = int_ {X} f_ {k} ( cdot, y) dm. ]

Por suposição,

[0 leq f_ {k} (x, cdot) nearrow f (x, cdot) ]

pontualmente em (Y. ) Assim, pelo Teorema 4 em §6,

[ int_ {Y} f_ {k} (x, cdot) nearrow int_ {Y} f (x, cdot) dn, ]

ou seja, (g_ {k} nearrow g ) (ponto a ponto) em (X, ) com (g ) como na Definição 2.

Novamente, pelo Teorema 4 do §6,

[ int_ {X} g_ {k} dm nearrow int_ {X} g dm; ]

ou pela Definição 2,

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = lim _ {k rightarrow infty} int_ {X} int_ {Y} f_ {k} dn dm. ]

Da mesma forma para

[ int_ {Y} int_ {X} f dm dn ]

e

[ int_ {X vezes Y} f dp. ]

Logo, (f ) satisfaz (c) se tudo (f_ {k} ) o fizer.

Em seguida, deixe (f_ {k} ) ter a propriedade (b); então (( forall k) f_ {k} (x, cdot) ) é (n ) - mensurável em (Y ) se (x in X-Q_ {k} ) ( (m Q_ {k} = 0 )). Deixar

[Q = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} Q_ {k}; ]

então (m Q = 0, ) e todos (f_ {k} (x, cdot) ) são (n ) - mensuráveis ​​em (Y, ) para (x em XQ. ) Portanto, é assim

[f (x, cdot) = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k} (x, cdot). ]

Da mesma forma para (f ( cdot, y). ) Assim, (f ) satisfaz (b).

A propriedade (a) segue de (g_ {k} rightarrow g ) e (h_ {k} rightarrow h. Quad square )

Usando os Problemas 9 e 10 de §6, o leitor também verificará facilmente o seguinte lema.

Lemma ( PageIndex {2} )

(i) Se (f_ {1} ) e (f_ {2} ) são não negativos, (p ) - mapas de Fubini mensuráveis, então é (af_ {1} + b f_ {2} ) para (a, b geq 0 ).

(ii) Se, além disso,

[ int_ {X vezes Y} f_ {1} d p < infty text {ou} int_ {X vezes Y} f_ {2} d p < infty, ]

então (f_ {1} -f_ {2} ) também é um mapa Fubini

Lemma ( PageIndex {3} )

Seja (f = sum_ {i = 1} ^ { infty} f_ {i} ) (ponto a ponto), com (f_ {i} geq 0 ) em (X vezes Y ).

(i) Se todos os (f_ {i} ) são mapas de Fubini mensuráveis ​​ (p ), o mesmo ocorre com (f ).

(ii) Se o (f_ {i} ) tiver propriedades Fubini (a) e (b), então

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = sum_ {i = 1} ^ { infty} int_ {X} int_ {Y} f_ {i} dn dm ]

e

[ int_ {Y} int_ {X} f dm dn = sum_ {i = 1} ^ { infty} int_ {Y} int_ {X} f_ {i} dm dn. ]

II. Pelo Teorema 4 do Capítulo 7, §3, a família ( mathcal {C} ) (ver acima) é uma semifiação, sendo o produto de dois anéis,

[ {A in mathcal {M} | mA < infty } text {e} {B in mathcal {N} | nB < infty }. ]

(Verifique!) Assim, usando o Teorema 2 no Capítulo 7, §6, mostramos agora que (p ) é uma extensão de (s: mathcal {C} rightarrow E ^ {1}. )

Teorema ( PageIndex {1} )

A pré-medida do produto s é ( sigma ) - aditiva na semifiação ( mathcal {C}. ) Portanto

(i) ( mathcal {C} subseteq mathcal {P} ^ {*} ) e (p = s < infty ) em ( mathcal {C}, ) e

(ii) a função característica (C_ {D} ) de qualquer conjunto (D in mathcal {C} ) é um mapa de Fubini.

Prova

Seja (D = A vezes B in mathcal {C}; ) então

[C_ {D} (x, y) = C_ {A} (x) cdot C_ {B} (y). ]

(Por quê?) Assim, para um (x, C_ {D} (x, cdot) ) fixo é apenas um múltiplo de ( mathcal {N} ) - mapa simples (C_ {B}, ) portanto, (n ) - mensurável em (Y. ) Além disso,

[g (x) = int_ {Y} C_ {D} (x, cdot) dn = C_ {A} (x) cdot int_ {Y} C_ {B} dn = C_ {A} (x ) cdot nB; ]

então (g = C_ {A} cdot n B ) é ( mathcal {M} ) - simples em (X, ) com

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {D} dn dm = int_ {X} g dm = nB int_ {X} C_ {A} dm = nB cdot m A = sD. ]

Da mesma forma para (C_ {D} ( cdot, y), ) e

[h (y) = int_ {X} C_ {D} ( cdot, y) dm. ]

Assim, (C_ {D} ) tem propriedades Fubini (a) e (b), e para todo (D in mathcal {C} )

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {D} dn dm = int_ {Y} int_ {X} C_ {D} dm dn = sD. ]

Para provar ( sigma ) - aditividade, vamos

[D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} text {(disjunto),} D_ {i} in mathcal {C}; ]

tão

[C_ {D} = sum_ {i = 1} ^ { infty} C_ {D_ {i}}. ]

(Por quê?) Como mostrado acima, cada (C_ {D_ {i}} ) tem propriedades Fubini (a) e (b); então por (1) e Lema 3,

[sD = int_ {X} int_ {Y} C_ {D} dn dm = sum_ {i = 1} ^ { infty} int_ {X} int_ {Y} C_ {D_ {i}} dn dm = sum_ {i = 1} ^ { infty} sD_ {i}, ]

como requerido.

A afirmação (i) agora segue pelo Teorema 2 no Capítulo 7, §6. Por isso

[sD = pD = int_ {X vezes Y} C_ {D} dp; ]

então, pela fórmula (1), (C_ {D} ) também tem a propriedade Fubini (c), e tudo está provado. ( quad square )

A seguir, seja ( mathcal {P} ) o ( sigma ) - anel gerado pelo semiramento ( mathcal {C} ) (então ( mathcal {C} subseteq mathcal {P } subseteq mathcal {P} ^ {*} )).

Lemma ( PageIndex {4} )

( mathcal {P} ) é a família menos definida ( mathcal {R} ) tal que

(i) ( mathcal {R} supseteq mathcal {C} );

(ii) ( mathcal {R} ) é fechado em uniões disjuntas contáveis; e

(iii) (H-D in mathcal {R} ) if (D in mathcal {R} ) e (D subseteq H, H in mathcal {C} ).

Este é simplesmente o Teorema 3 no Capítulo 7, §3, com notação alterada.

Lemma ( PageIndex {5} )

Se (D in mathcal {P} ) ( ( sigma ) - gerado por ( mathcal {C}), ) então (C_ {D} ) é um mapa Fubini.

Prova

Seja ( mathcal {R} ) a família de todos (D in mathcal {P} ) tal que (C_ {D} ) seja um mapa Fubini. Devemos mostrar que ( mathcal {R} ) satisfaz (i) - (iii) do Lema 4, e assim ( mathcal {P} subseteq mathcal {R}. )

(ii) Deixe

[D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} text {(disjunto),} quad D_ {i} in mathcal {R}. ]

Então

[C_ {D} = sum_ {i = 1} ^ { infty} C_ {D_ {i}}, ]

e cada (C_ {D_ {i}} ) é um mapa Fubini. Logo, também é (C_ {D} ) pelo Lema 3. Assim, (D in mathcal {R} ), provando (ii).

(iii) Devemos mostrar que (C_ {HD} ) é um mapa Fubini se (C_ {D} ) é e se (D subseteq H, H in mathcal {C}. ) Agora , (D subseteq H ) implica

[C_ {H-D} = C_ {H} -C_ {D}. ]

(Por quê?) Além disso, pelo Teorema 1, (H in mathcal {C} ) implica

[ int_ {X vezes Y} C_ {H} d p = p H = s H < infty, ]

e (C_ {H} ) é um mapa Fubini. O mesmo ocorre com (C_ {D} ) por suposição. Então também é

[C_ {H-D} = C_ {H} -C_ {D} ]

por Lemma 2 (ii). Assim, (H-D in mathcal {R}, ) provando (iii).

Pelo Lema 4, então, ( mathcal {P} subseteq mathcal {R}. ) Portanto, (( forall D in mathcal {P}) C_ {D} ) é um mapa Fubini. ( quad square )

Podemos agora estabelecer um dos principais teoremas, devido a Fubini.

Teorema ( PageIndex {2} ) (Fubini I)

Suponha que (f: X vezes Y rightarrow E ^ {*} ) seja ( mathcal {P} ) - mensurável em (X vezes Y ) ( ( mathcal {P} ) como acima) rom. Então (f ) é um mapa Fubini se algum

(i) (f geq 0 ) em (X vezes Y, ) ou

(ii) um de

[ int_ {X vezes Y} | f | dp, int_ {X} int_ {Y} | f | dn dm, o r int_ {Y} int_ {X} | f | dm dn ]

é finito.

Em ambos os casos,

[ int_ {X} int_ {Y} f dn dm = int_ {Y} int_ {X} f dm dn = int_ {X vezes Y} f dp. ]

Prova

Primeiro deixe

[f = sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} C_ {D_ {i}} quad left (a_ {i} geq 0, D_ {i} in mathcal {P }direito),]

ou seja, (f ) é ( mathcal {P} ) - elementar, portanto, certamente (p ) - mensurável. (Por quê?) Pelos Lemas 5 e 2, cada (a_ {i} C_ {D_ {i}} ) é um mapa de Fubini. Logo, também é (f ) (Lema 3). A fórmula (2) é simplesmente propriedade de Fubini (c).

Agora pegue qualquer ( mathcal {P} ) - mensurável (f geq 0. ) Pelo Lema 2 em §2,

[f = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k} text {on} X vezes Y ]

para alguma sequência ( left {f_ {k} right } uparrow ) de ( mathcal {P} ) - mapas elementares, (f_ {k} geq 0. ) Como mostrado acima , cada (f_ {k} ) é um mapa Fubini. Portanto, (f ) também é pelo Lema 1. Isso resolve o caso (i).

Em seguida, assuma (ii). Como (f ) é ( mathcal {P} ) - mensurável, então são (f ^ {+}, f _ {-}, ) e (| f | ) (Teorema 2 em §2 ) Por não serem negativos, são mapas de Fubini por caso (i).

Assim é (f = f ^ {+} - f ^ {-} ) pelo Lema 2 (ii), uma vez que (f ^ {+} leq | f | ) implica

[ int_ {X vezes Y} f ^ {+} d p < infty ]

pela nossa premissa (ii). (Os três integrais são iguais, pois (| f | ) é um mapa de Fubini.)

Assim, tudo está provado. ( Quad square )

III. Agora queremos substituir ( mathcal {P} ) por ( mathcal {P} ^ {*} ) no Lema 5 e Teorema 2. Isso funciona apenas sob certas ( sigma ) - condições de finitude, como mostrado abaixo.

Lemma ( PageIndex {6} )

Seja (D in mathcal {P} ^ {*} ) ( sigma ) - finito, ou seja,

[D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} text {(disjunto)} ]

para algum (D_ {i} in mathcal {P} ^ {*}, ) com (pD_ {i} < infty ) ((i = 1,2, ldots). )

Então há (a K in mathcal {P} ) tal que (p (K-D) = 0 ) e (D subseteq K ).

Prova

Como ( mathcal {P} ) é um ( sigma ) - anel contendo ( mathcal {C}, ) ele também contém ( mathcal {C} _ { sigma}. ) Assim pelo Teorema 3 do Capítulo 7, §5, (p ^ {*} ) é ( mathcal {P} ) - regular.

Para o resto, proceda como nos Teoremas 1 e 2 no Capítulo 7, §7. ( Quad square )

Lemma ( PageIndex {7} )

Se (D in mathcal {P} ^ {*} ) for ( sigma ) - finito (Lema 6), então (C_ {D} ) é um mapa Fubini.

Prova

Por Lemma 6,

[( existe K in mathcal {P}) quad p (K-D) = 0, D subseteq K. ]

Seja (Q = KD, ) então (p Q = 0, ) e (C_ {Q} = C_ {K} -C_ {D}; ) ou seja, (C_ {D} = C_ {K} -C_ {Q} ) e

[ int_ {X vezes Y} C_ {Q} d p = p Q = 0. ]

As (K in mathcal {P}, C_ {K} ) é um mapa Fubini. Assim, pelo Lema 2 (ii), tudo se reduz a provar o mesmo para (C_ {Q}. )

Agora, como (p Q = 0, Q ) é certamente ( sigma ) - finito; então pelo Lema 6,

[( existe Z em mathcal {P}) quad Q subseteq Z, p Z = p Q = 0. ]

Novamente (C_ {Z} ) é um mapa Fubini; tão

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {Z} d n d m = int_ {X vezes Y} C_ {Z} d p = p Z = 0. ]

Como (Q subseteq Z, ) temos (C_ {Q} leq C_ {Z}, ) e assim

[ begin {alinhado} int_ {X} int_ {Y} C_ {Q} dn dm & = int_ {X} left [ int_ {Y} C_ {Q} (x, cdot) dn direita] dm & leq int_ {X} esquerda [ int_ {Y} C_ {Z} (x, cdot) dn direita] dm = int_ {X vezes Y} C_ {Z} dp = 0. end {alinhado} ]

De forma similar,

[ int_ {Y} int_ {X} C_ {Q} dm dn = int_ {Y} left [ int_ {X} C_ {Q} ( cdot, y) dm right] dn = 0. ]

Assim definindo

[g (x) = int_ {Y} C_ {Q} (x, cdot) dn text {e} h (y) = int_ {X} C_ {Q} ( cdot, y) dm, ]

temos

[ int_ {X} g dm = 0 = int_ {Y} h dn. ]

Portanto, pelo Teorema 1 (h) em §5, (g = 0 ) a.e. em (X, ) e (h = 0 ) a.e. em (Y. ) Assim, (g ) e (h ) são "quase" mensuráveis ​​(Definição 2 do §3); ou seja, (C_ {Q} ) tem a propriedade Fubini (a).

Da mesma forma, estabelece-se (b), e (3) produz a propriedade Fubini (c), uma vez que

[ int_ {X} int_ {Y} C_ {Q} dn dm = int_ {Y} int_ {X} C_ {Q} dm dn = int_ {X vezes Y} C_ {Q} dp = 0, ]

conforme necessário. ( quad square )

Teorema ( PageIndex {3} ) (Fubini II)

Suponha que (f: X vezes Y rightarrow E ^ {*} ) seja ( mathcal {P} ^ {*} ) - mensurável em (X vezes Y ) e satisfaça a condição (i) ou (ii) do Teorema 2.

Então (f ) é um mapa Fubini, desde que (f ) tenha ( sigma ) - suporte finito, ou seja, (f ) desaparece fora de algum ( sigma ) - conjunto finito (H subseteq X times Y ).

Prova

Primeiro deixe

[f = sum_ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} C_ {D_ {i}} quad left (a_ {i}> 0, D_ {i} in mathcal {P} ^ {*} right), ]

com (f = 0 ) em (- H ) (como acima).

Como (f = a_ {i} neq 0 ) em (A_ {i}, ) devemos ter (D_ {i} subseteq H; ) então todos (D_ {i} ) são ( sigma ) - finito. (Por quê?) Assim, pelo Lema 7, cada (C_ {D_ {i}} ) é um mapa de Fubini, e também é (f. ) (Por quê?)

Se (f ) é ( mathcal {P} ^ {*} ) - mensurável e não negativo, e (f = 0 ) em (- H, ) podemos proceder como no Teorema 2, fazendo todos (f_ {k} ) desaparecem em (- H. ) Então os (f_ {k} ) e (f ) são mapas de Fubini pelo que foi mostrado acima.

Finalmente, no caso (ii), (f = 0 ) em (- H ) implica

[f ^ {+} = f ^ {-} = | f | = 0 text {on} -H. ]

Assim, (f ^ {+}, f ^ {-}, ) e (f ) são mapas de Fubini pela parte (i) e o argumento do Teorema 2. ( Quad square )

Nota 1. O ( sigma ) - suporte finito é automático se (f ) for (p ) - integrável (Corolário 1 em §5), ou se (p ) ou ambos (m ) e (n ) são ( sigma ) - finitos (consulte o Problema 3). A condição também é redundante se (f ) for ( mathcal {P} ) - mensurável (Teorema 2; veja também o Problema 4).

Nota 2. Por indução, nossas definições e Teoremas 2 e 3 se estendem a qualquer número finito (q ) de espaços de medida

[ left (X_ {i}, mathcal {M} _ {i}, m_ {i} right), quad i = 1, ldots, q. ]

Um escreve

[p = m_ {1} vezes m_ {2} ]

if (q = 2 ) e conjuntos

[m_ {1} times m_ {2} times cdots times m_ {q + 1} = left (m_ {1} times cdots times m_ {q} right) times m_ {q +1}. ]

Os teoremas 2 e 3 com suposições semelhantes afirmam que a ordem das integrações é imaterial.

Nota 3. A medida de Lebesgue em (E ^ {q} ) pode ser tratada como o produto de (q ) medidas unidimensionais. Da mesma forma para medidas de produto (L S ) (mas este método é menos geral do que o descrito nos Problemas 9 e 10 do Capítulo 7, §9).

4. Os teoremas 2 (ii) e 3 (ii) também são válidos para funções

[f: X vezes Y rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ]

se as Definições 2 e 3 forem modificadas da seguinte forma (de modo que façam sentido para tais mapas): Na Definição 2, defina

[g (x) = int_ {Y} f_ {x} dn ]

if (f_ {x} ) é (n ) - integrável em (Y, ) e (g (x) = 0 ) caso contrário. Da mesma forma para (h (y). ) Na Definição 3, substitua "mensurável" por "integrável".

Para a prova dos teoremas, aplique os Teoremas 2 (i) e 3 (i) a (| f |. ) Isso resulta

[ int_ {Y} int_ {X} | f | dm dn = int_ {X} int_ {Y} | f | dn dm = int_ {X vezes Y} | f | dp. ]

Portanto, se uma dessas integrais é finita, (f ) é (p ) - integrável em (X vezes Y, ) e assim são seus componentes (q ). O resultado segue então em notar que (f ) é um mapa Fubini (no sentido modificado) se seus componentes são. (Verifique!) Consulte também o Problema 12 abaixo.

V. Em conclusão, observe que as integrais da forma

[ int_ {D} f dp quad left (D in mathcal {P} ^ {*} right) ]

Reduzir para

[ int_ {X vezes Y} f cdot C_ {D} dp. ]

Portanto, é suficiente considerar integrais sobre (X vezes Y ).


Medida do produto

Em matemática, dados dois espaços mensuráveis ​​e medidas sobre eles, pode-se obter um espaço mensurável do produto e um medida do produto naquele espaço. Conceitualmente, isso é semelhante a definir o produto cartesiano dos conjuntos e a topologia do produto de dois espaços topológicos, exceto que pode haver muitas escolhas naturais para a medida do produto.

(Na multiplicação de medidas, algumas das quais são infinitas, definimos o produto como zero se qualquer fator for zero.)

A existência desta medida é garantida pelo teorema de Hahn-Kolmogorov. A exclusividade da medida do produto é garantida apenas no caso de ambos (X 1, Σ 1, μ 1) < displaystyle (X_ <1>, Sigma _ <1>, mu _ <1>)> e (X 2, Σ 2, μ 2) < displaystyle (X_ <2>, Sigma _ <2>, mu _ <2>)> são σ-finitos.

O Borel mede no espaço euclidiano R n pode ser obtido como o produto de n cópias das medidas do Borel na linha real R.

Mesmo que os dois fatores do espaço do produto sejam espaços de medida completos, o espaço do produto pode não ser. Consequentemente, o procedimento de conclusão é necessário para estender a medida do Borel para a medida de Lebesgue, ou para estender o produto de duas medidas de Lebesgue para dar a medida de Lebesgue sobre o espaço do produto.

A construção oposta à formação do produto de duas medidas é a desintegração, que em certo sentido "divide" uma determinada medida em uma família de medidas que podem ser integradas para dar a medida original.

  • Dados dois espaços de medida, há sempre uma medida única de produto máximo μmax em seu produto, com a propriedade de que se μmax(UMA) é finito para algum conjunto mensurável UMA, então μmax(UMA) = μ (UMA) para qualquer medida de produto μ. Em particular, seu valor em qualquer conjunto mensurável é pelo menos o de qualquer outra medida de produto. Esta é a medida produzida pelo teorema de extensão Carathéodory.
  • Às vezes, há também uma medida de produto mínima exclusiva μmin, dado por μmin(S) = supUMAS, μmax(UMA) finito µmax(UMA), Onde UMA e S são considerados mensuráveis.
  • Aqui está um exemplo em que um produto tem mais de uma medida de produto. Pegue o produto X×Y, Onde X é o intervalo de unidade com medida de Lebesgue, e Y é o intervalo da unidade com medida de contagem e todos os conjuntos mensuráveis. Então, para a medida de produto mínimo, a medida de um conjunto é a soma das medidas de suas seções horizontais, enquanto para a medida de produto máximo um conjunto tem medida infinita, a menos que esteja contido na união de um número contável de conjuntos da forma UMA×B, onde quer UMA Lebesgue mede 0 ou B é um único ponto. (Nesse caso, a medida pode ser finita ou infinita.) Em particular, a diagonal tem medida 0 para a medida do produto mínimo e medida infinito para a medida do produto máximo.
  • Loève, Michel (1977). "8.2. Medidas do produto e integrais iterados". Teoria da probabilidade vol. eu (4ª ed.). Springer. pp. 135–137. ISBN0-387-90210-4.
  • Halmos, Paul (1974). "35. Medidas do produto". Teoria da medida . Springer. pp. 143–145. ISBN0-387-90088-8.

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Conteúdo

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Colocar várias pedras em um padrão retangular com r < displaystyle r> linhas e s < displaystyle s> colunas dá

Produto de dois inteiros Editar

Os inteiros permitem números positivos e negativos. Seu produto é determinado pelo produto de seus valores positivos, combinados com o sinal derivado da seguinte regra:

(Esta regra é uma consequência necessária de demandar distributividade da multiplicação sobre a adição, e não é uma regra adicional.)

  • Menos vezes menos dá mais
  • Menos vezes mais dá menos
  • Mais vezes menos dá menos
  • Mais vezes mais, mais dá mais

Produto de duas frações Editar

Duas frações podem ser multiplicadas multiplicando seus numeradores e denominadores:

Produto de dois números reais Editar

Para uma definição rigorosa do produto de dois números reais, consulte Construção dos números reais.

Teorema [1] - Suponha uma & gt 0 e b & gt 0. Se 1 & lt p & lt ∞ e q := p / p - 1 então

Defina uma função de valor real f nos números reais positivos por

para cada t & gt 0 e, em seguida, calcule seu mínimo.

Produto de dois números complexos Editar

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Significado geométrico da multiplicação complexa Editar

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O significado geométrico é que as magnitudes são multiplicadas e os argumentos são adicionados.

Produto de dois quatérnios Editar

O operador de produto para o produto de uma sequência é denotado pela letra grega maiúscula pi ∏ (em analogia ao uso do Sigma ∑ maiúsculo como símbolo de soma). [2] [3] Por exemplo, a expressão ∏ i = 1 6 i 2 < displaystyle textstyle prod _^ <6> i ^ <2>> é outra maneira de escrever 1 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ 16 ⋅ 25 ⋅ 36 < displaystyle 1 cdot 4 cdot 9 cdot 16 cdot 25 cdot 36>. [4]

O produto de uma sequência que consiste em apenas um número é apenas aquele próprio número - o produto de nenhum fator é conhecido como o produto vazio e é igual a 1.

Classes de resíduos de inteiros Editar

Edição de convolução

Duas funções do real para ele mesmo podem ser multiplicadas de outra maneira, chamada de convolução.

é bem definida e é chamada de convolução.

Sob a transformada de Fourier, a convolução torna-se multiplicação de função ponto a ponto.

Anéis polinomiais Editar

O produto de dois polinômios é dado pelo seguinte:

Existem muitos tipos diferentes de produtos em álgebra linear. Alguns deles têm nomes confusamente semelhantes (produto externo, produto externo) com significados muito diferentes, enquanto outros têm nomes muito diferentes (produto externo, produto tensorial, produto Kronecker) e ainda transmitem essencialmente a mesma ideia. Uma breve visão geral deles é fornecida nas seções a seguir.

Multiplicação escalar Editar

Pela própria definição de um espaço vetorial, pode-se formar o produto de qualquer escalar com qualquer vetor, dando um mapa R × V → V < displaystyle mathbb times V rightarrow V>.

Edição de produto escalar

A partir do produto escalar, pode-se definir uma norma deixando ‖ v ‖: = v ⋅ v < displaystyle | v |: = < sqrt >> .

O produto escalar também permite definir um ângulo entre dois vetores:

Produto cruzado em espaço tridimensional Editar

O produto vetorial de dois vetores em 3 dimensões é um vetor perpendicular aos dois fatores, com comprimento igual à área do paralelogramo medido pelos dois fatores.

O produto vetorial também pode ser expresso como o determinante formal [a]:

Composição de mapeamentos lineares Editar

Um mapeamento linear pode ser definido como uma função f entre dois espaços vetoriais V e C com campo subjacente F, satisfazendo [5]

Se considerarmos apenas espaços vetoriais de dimensão finita, então

no qual bV e bC denotam as bases de V e C, e veu denota o componente de v sobre bV eu , e a convenção de soma de Einstein é aplicada.

Agora consideramos a composição de dois mapeamentos lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Deixe o mapeamento linear f mapa V para C, e deixe o mapeamento linear g mapa C para você. Então, pode-se obter

em que o eu-fila, jelemento -column de F, denotado por Feu j, é f j eu, e Geu j= g j eu.

A composição de mais de dois mapeamentos lineares pode ser representada de forma semelhante por uma cadeia de multiplicação de matrizes.

Produto de duas matrizes Editar

seu produto é dado por

Composição de funções lineares como produto de matriz Editar

é a matriz que representa g ∘ f: U → W < displaystyle g circ f: U rightarrow W>.

Em outras palavras: o produto da matriz é a descrição em coordenadas da composição das funções lineares.

Produto tensorial de espaços vetoriais Editar

Dados dois espaços vetoriais de dimensão finita V e C, o produto tensorial deles pode ser definido como um (2,0) -tensor que satisfaz:

Onde V * e W * denotam os espaços duais de V e C. [6]

Para espaços vetoriais de dimensão infinita, também temos:

O produto tensor, o produto externo e o produto Kronecker transmitem a mesma ideia geral. As diferenças entre eles são que o produto de Kronecker é apenas um produto tensorial de matrizes, com respeito a uma base previamente fixada, enquanto o produto tensorial geralmente é dado em sua definição intrínseca. O produto externo é simplesmente o produto Kronecker, limitado a vetores (em vez de matrizes).

A classe de todos os objetos com um produto tensorial Editar

Em geral, sempre que alguém tem dois objetos matemáticos que podem ser combinados de uma maneira que se comporta como um produto tensorial da álgebra linear, isso pode ser mais geralmente entendido como o produto interno de uma categoria monoidal. Ou seja, a categoria monoidal captura precisamente o significado de um produto tensorial - ela captura exatamente a noção de por que os produtos tensores se comportam da maneira que o fazem. Mais precisamente, uma categoria monoidal é a classe de todas as coisas (de um determinado tipo) que possuem um produto tensorial.

Outros produtos em álgebra linear Editar

Outros tipos de produtos em álgebra linear incluem:

Na teoria dos conjuntos, um produto cartesiano é uma operação matemática que retorna um conjunto (ou conjunto de produtos) de vários conjuntos. Ou seja, para conjuntos UMA e B, o produto cartesiano UMA × B é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) —em que a ∈ UMA eb ∈ B . [7]

A classe de todas as coisas (de um determinado tipo) que têm produtos cartesianos é chamada de categoria cartesiana. Muitas delas são categorias fechadas cartesianas. Os conjuntos são um exemplo de tais objetos.

O produto vazio dos números e da maioria das estruturas algébricas tem o valor 1 (o elemento de identidade da multiplicação), assim como a soma vazia tem o valor 0 (o elemento de identidade da adição). No entanto, o conceito de produto vazio é mais geral e requer tratamento especial em lógica, teoria dos conjuntos, programação de computadores e teoria das categorias.

Produtos sobre outros tipos de estruturas algébricas incluem:

  • o produto cartesiano de conjuntos
  • o produto direto de grupos, e também o produto semidireto, produto de malha e produto de grinalda
  • o produto gratuito de grupos
  • o produto de anéis
  • o produto de ideais
  • o produto de espaços topológicos [3]
  • o produto Wick de variáveis ​​aleatórias
  • o produto cap, cup, Massey e slant em topologia algébrica
  • o produto esmagado e a soma da cunha (às vezes chamado de produto da cunha) em homotopia

Alguns dos produtos acima são exemplos da noção geral de um produto interno em uma categoria monoidal; o resto é descritível pela noção geral de um produto na teoria da categoria.

Todos os exemplos anteriores são casos especiais ou exemplos da noção geral de um produto. Para o tratamento geral do conceito de um produto, consulte produto (teoria das categorias), que descreve como combinar dois objetos de algum tipo para criar um objeto, possivelmente de um tipo diferente. Mas também, na teoria das categorias, tem-se:


8.8: Medidas do produto. Integrais Iterados - Matemática

Para os problemas de 1 a 9, avalie o limite, se houver.

  1. ( mathop < lim> limits_ left (<8 - 3x + 12> right) ) Solução
  2. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac << 6 + 4t >> <<+ 1 >> ) Solução
  3. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac <<- 25>><<+ 2x - 15 >> ) Solução
  4. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac << 2- 17z + 8 >> << 8 - z >> ) Solução
  5. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac <<- 4a - 21 >> << 3- 17a - 28 >> ​​) Solução
  6. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac <<<< left (<6 + h> right)> ^ 2> - 36 >>) Solução
  7. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac << sqrt z - 2 >> <> ) Solução
  8. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac << sqrt <2x + 22> - 4 >> <> ) Solução
  9. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac<< 3 - sqrt >> ) Solução
  10. Dada a função [f left (x right) = left << begin<7 - 4x> &fim> certo. ]


4 respostas 4

Você não precisa de $ sigma $ -finitude da medida no teorema de Fubini, embora seja uma hipótese que pode ser assumida sem perda de generalidade, em que o suporte de uma função integrável é, obviamente, $ sigma $ - finito.

Por outro lado, o teorema de Tonelli lida com funções mensuráveis ​​não negativas, cujo suporte pode muito bem ser não - $ sigma $ - finito (como no exemplo citado) e $ sigma $ - finitude é realmente necessária.

Folland's Análise real: técnicas modernas e suas aplicações afirma o Teorema de Fubini-Tonelli como

Suponha que $ (X, mathcal, mu) $ e $ (Y, mathcal, nu) $ são espaços de medida $ sigma $ -finitos.

uma. (Tonelli) Se $ f in L ^ + (X vezes Y) $, então as funções $ g (x) = int f_x d nu $ e $ h (y) = int f ^ yd mu $ estão em $ L ^ + (X) $ e $ L ^ + (Y) $, respectivamente, e $ int fd ( mu times nu) = int left [ int f (x, y) d nu (y) right] d mu (x) = int left [ int f (x, y) d mu (x) right] d nu (y). $ b. (Fubini) Se $ f in L ^ 1 ( mu times nu) $, então $ f_x in L ^ 1 ( nu) $ para a.e. $ x em X, f ^ y em L ^ 1 ( mu) $ para a.e. $ y em Y $, as funções definidas por ae $ g (x) = int f_x d nu $ e $ h (x) = int f ^ yd nu $ estão em $ L ^ 1 ( mu) $ e $ L ^ 1 ( nu) $, respectivamente, e a equação acima é válida.

Portanto, a integridade não é necessária. Por outro lado, $ sigma $ -finitude é necessária. Este exercício segue o teorema de Fubini-Tonelli em Folland. Aqui $ mathcal_ <[0,1]> $ denota o Borel $ sigma $ -álgebra usual em $ [0,1] $.

46. Seja $ X = Y = [0,1] $, $ mathcal = mathcal = mathcal_ <[0,1]> $, $ mu = $ medida de Lebesgue e $ nu = $ medida de contagem. Se $ D = <(x, x): x in [0,1] > $ é a diagonal em $ X vezes Y $, então $ iint chi_D d mu d nu $, $ iint chi_D d nu d mu $ e $ int chi_D d ( mu times nu) $ são todos desiguais.

(Página 68)

Este é um complemento às respostas acima. Com o qual eu concordo.

Acho que a definição da medida do produto não é única. Isso é melhor visto no fato de que o (definição usual de) produto da medida de Lebesgue completa em $ < bf R> $ não nos dá a medida de Lebesgue completa no espaço de produto $ < bf R> ^ 2 $.

O que queremos é uma medida $ mu otimes nu $ tal que $ mu otimes nu (A vezes B) = mu (A) nu (B) $ para $ A $ e $ B $ mensuráveis e de medida finita.

Portanto, é natural considerar aqui a álgebra sigma $ Sigma_0 $ gerada pelos produtos $ A vezes B $ com $ mu (A) $ e $ nu (B) $ finito. Normalmente consideramos a álgebra sigma $ sigma $ gerada pelos produtos $ A vezes B $ dos conjuntos mensuráveis. No caso de medidas $ sigma $ -finite, as duas álgebras sigma coincidem.

Se você considerar apenas a medida em $ Sigma_0 $ (isso não é o que normalmente é feito), você obtém uma medida de produto que é única em $ Sigma_0 $ e ambos os teoremas de Fubini-Tonelli e Fubini são verdadeiros, sem assumir nada sobre o medidas.

O exemplo usual, dado acima por Adam Saltz, não é um contra-exemplo porque a diagonal não é mensurável (ou seja, não está em $ Sigma_0 $).

Com esta definição do produto obtemos a mesma função integrável que com o normal. Isso é o que torna verdadeiro o teorema de Fubini-Tonelli
porque o suporte de uma função integrável é sigma finito.

Portanto, proponho definir a medida do produto sempre em $ Sigma_0 $. Obtemos a definição usual no caso $ sigma $ -finito. Em outro caso, obtemos sempre os teoremas de Fubini-Tonelli e Tonelli sem restrições. Eu experimentei isso muitas vezes em minhas aulas de Teoria da Medida (agora morto pela reforma Bolonia).


Respostas e Respostas

Obrigado RUber por sua resposta rápida. Permita-me, porém, fazer uma pergunta:

Estou na direção certa em (2)? Em outras palavras, você está me dando as dicas acima dentro da estrutura de ## mu ( <(x, y) in [0, 1] ^ 2 mid f (x, y) neq 0 >) = 0 ##?

Obrigado novamente por seu tempo e esforço.

Para adicionar um pouco à ideia de RUber, ilustrando, suponha que você tenha um pequeno quadrado s * (com os lados paralelos ao eixo x e ao eixo y respectivamente) com medida & gt0, onde ## f neq 0 ##, e assim que # #f == 1 ## na metade esquerda e ## f == -1 ## na metade direita. Lembre-se de que para funções simples f com valores ## c_i ##:, ## int f = int ( Sigma c_i chi_ ) = Sigma c_i m (x: f (x) = c_i) ##. Agora lembre-se de que a integral deve ser zero em _todas_ as partições.

* Apenas para ilustrar, obviamente, este conjunto não precisa ser um quadrado, nem mesmo precisa conter um quadrado de medida & gt0 ..

Para adicionar um pouco à ideia de RUber, ilustrando, suponha que você tenha um pequeno quadrado s * (com lados paralelos ao eixo x e ao eixo y respectivamente) com medida & gt0, onde ## f neq 0 ##, e assim que # #f == 1 ## na metade esquerda e ## f == -1 ## na metade direita. Lembre-se de que para funções simples f com valores ## c_i ##:, ## int f = int ( Sigma c_i chi_ ) = Sigma c_i m (x: f (x) = c_i) ##. Agora lembre-se de que a integral deve ser zero em _todas_ as partições.

* Apenas para ilustrar, obviamente, este conjunto não precisa ser um quadrado, nem mesmo precisa conter um quadrado de medida & gt0 ..

Here are what I managed to come up after feedbacks from you two, but I am still lost after the first two steps:

(1) By way of contradiction, assume that ##f = 0## a.e. is not true, meaning that ##mu (< (x, y) in [0, 1]^2 mid f(x, y) eq 0>) eq 0.##
(2) Let ##A = < (x, y) in [0, 1]^2 mid f(x, y) eq 0>##, that is ##f(A) eq 0##
(3) .
(4) .

Any further hints would be very much appreciated. Thank you for your time.


Uniqueness for the signature of a path of bounded variation and the reduced path group

We introduce the notions of tree-like path and tree-like equivalence between paths and prove that the latter is an equivalence relation for paths of finite length. We show that the equivalence classes form a group with some similarity to a free group, and that in each class there is a unique path that is tree reduced. The set of these paths is the Reduced Path Group. It is a continuous analogue of the group of reduced words. The signature of the path is a power series whose coefficients are certain tensor valued definite iterated integrals of the path. We identify the paths with trivial signature as the tree-like paths, and prove that two paths are in tree-like equivalence if and only if they have the same signature. In this way, we extend Chen’s theorems on the uniqueness of the sequence of iterated integrals associated with a piecewise regular path to finite length paths and identify the appropriate extended meaning for parametrisation in the general setting. It is suggestive to think of this result as a noncommutative analogue of the result that integrable functions on the circle are determined, up to Lebesgue null sets, by their Fourier coefficients. As a second theme we give quantitative versions of Chen’s theorem in the case of lattice paths and paths with continuous derivative, and as a corollary derive results on the triviality of exponential products in the tensor algebra.

[KTCHENone] K. Chen, "Integration of paths—a faithful representation of paths by non-commutative formal power series," Trans. Amer. Math. Soc., vol. 89, pp. 395-407, 1958.

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Rosenblatt, Murray, Markov Processes: Structure and Asymptotic Behavior (Springer Verlag) (1971)


13 Jokes That Every Math Geek Will Find Hilarious

As a result, math jokes have an elemental role in the history of the internet.

From the earliest Usenet threads to the techiest subreddits, geeky math jokes — some implicit swipes at less-pure disciplines, other puns or plays on words of different concepts — have been a major part of the modern history of math.

What's more, these japes also have the effect of making those who didn't get the joke to look into what makes it funny, teaching people some of the more obscure concepts.

Here are just a few of the best ones. Where necessary, we'll do the unthinkable and the tacky and explain the joke.

JOKE #1

Three statisticians go out hunting together. After a while they spot a solitary rabbit. The first statistician takes aim and overshoots. The second aims and undershoots. The third shouts out "We got him!"

JOKE #2

Two random variables were talking in a bar. They thought they were being discrete but I heard their chatter continuously .

Explanation: When you roll a die, you either get a 1, 2, 3, 4, 5, or 6. Since there are a finite number of possibilities, the statistic involved is called a discrete random variable. When you select any real number from between 0 and 1, there are an infinite number of possible draws. The statistic involved is called a continuous random variable.

JOKE #3

There was a statistician that drowned crossing a river. It was 3 feet deep on average.

Write the expression for the volume of a thick crust pizza with height "a" and radius "z".

Explanation: The formula for volume is π · (radius) 2 ·( height). In this case, pi · z ·z ·a.

JOKE #5

A: "What is the integral of 1/cabin?"

A: "Nope, houseboat--you forgot the C."

Explanation: We're treating "cabin" is a variable.

The integral of 1/x is loge(x).

However, since it's integration, you've got to add a constant.

So ∫(1/cabin) = loge(cabin) + c, or "a log cabin plus the sea."

JOKE #6

A: The answer is trivial and is left as an exercise for the reader.

Explanation:

This is a common refrain found in mathematics texts.

It is widely considered a cruel professor's malicious cop-out by particularly lazy students of mathematics.

JOKE #7

Q: How many mathematicians does it take to change a light bulb?

A: One: she gives it to three physicists, thus reducing it to a problem that has already been solved.

Explanation: Mathematicians try to reduce an unsolved problem to a form which has already been solved before. Once that's done it's considered complete, as the previously derived formula is taken as written.

There are many light bulb jokes about physicists. Finding several are left as an exercises to the reader.

JOKE #8

A physicist, a biologist, and a mathematician are sitting on a bench across from a house. They watch as two people go into the house, and then a little later, three people walk out.

The physicist says, "The initial measurement was incorrect."

The biologist says, "They must have reproduced."

And the mathematician says, "If exactly one person enters that house, it will be empty."

JOKE #9

The B in Benoît B. Mandelbrot stand for Benoît B. Mandelbrot.

Explanation: The Mandelbrot set is a fractal. As you zoom in on portions of the fractal, you ee a self replicating image. So the infinite paradox in the joke is a shoutout to the problem. Here's an example of what we're talking about with a gif of zooming in on a point of infinite complexity in the Mandelbrot set:

JOKE #10

Explanation: This is a reference to a converging infinite series.

The limit of this:

from n=0 to ∞ Σ (1/2 n ) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + . = 2

JOKE #11

An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third orders a third of a beer. The bartender bellows, "Get the hell out of here, are you trying to ruin me?"

Explanation: This is another hilarious reference to an infinite series — the harmonic series — which is not convergent but instead diverges to infinity.

from n=1 to ∞ Σ (1/n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + . =

JOKE #12

When a statistician passes the airport security check, they discover a bomb in his bag. He explains. "Statistics shows that the probability of a bomb being on an airplane is 1/1000. However, the chance that there are two bombs at one plane is 1/1000000. So, I am much safer. "

Explanation: While this statistician is correct that the joint probability there are two bombs on a plane is 1/1,000,000, his bringing one on doesn't change the prior probability that there is still a 1/1,000 chance of his flight being the one with a random bomb.

JOKE #13

What do you get when you cross a mosquito with a mountain climber?

Nada. You can't cross a vector and a scalar.

Explanation: A vector is a mathematical entity with both magnitude and direction in any number of dimensions. You can take the cross product of two vectors to form a new vector, similar to multiplication of real numbers.

A scalar is just a real number, a directionless magnitude in vector space. You cannot take a cross product of a scalar and a vector.

Hence, you can't cross a mosquito (disease vector) and a mountain climber (a scalar).


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Assista o vídeo: INTEGRAL POR PARTES - Cálculo 1 #43 Agora ficou fácil! (Novembro 2021).