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7.1: Mais sobre intervalos em Eⁿ. Semirings of Sets - Matemática


EU. Como um prólogo, nos voltamos para os intervalos em (E ^ {n} ) (Capítulo 3, §7).

Teorema ( PageIndex {1} )

Se (A ) e (B ) são intervalos em (E ^ {n}, ) então

(i) (A cap B ) é um intervalo ( ( emptyset ) conta como um intervalo);

(ii) (A-B ) é a união de muitos intervalos disjuntos finitos (mas não precisa ser um intervalo em si).

Prova

A prova fácil para (E ^ {1} ) é deixada para o leitor.

Um intervalo em (E ^ {2} ) é o produto vetorial de intervalos de duas linhas.

Deixar

[A = X vezes Y texto {e} B = X ^ { primo} vezes Y ^ { primo}, ]

onde (X, Y, X ^ { primo}, ) e (Y ^ { primo} ) são intervalos em (E ^ {1}. ) Então (veja a Figura 29)

e

[AB = left [ left (XX ^ { prime} right) times Y right] cup left [ left (X cap X ^ { prime} right) times left ( AA ^ { prime} right) right]; ]

veja o Problema 8 no Capítulo 1, §§1-3.

Como o teorema se sustenta em (E ^ {1} ),

[X cap X ^ { prime} text {e} Y cap Y ^ { prime} ]

são intervalos em (E ^ {1}, ) enquanto

[X-Y ^ { prime} text {e} Y-Y ^ { prime} ]

são uniões finitas de intervalos de linhas disjuntas. (Na Figura 29, eles são apenas intervalos, mas em geral não são.)

Segue-se facilmente que (A cap B ) é um intervalo em (E ^ {2}, ) enquanto (A-B ) se divide em um número finito de tais intervalos. (Verifique!) Assim, o teorema é válido em (E ^ {2} ).

Finalmente, para (E ^ {n}, ) use indução. Um intervalo em (E ^ {n} ) é o produto cruzado de um intervalo em (E ^ {n-1} ) por um intervalo de linha. Portanto, se o teorema é válido em (E ^ {n-1}, ), o mesmo argumento mostra que ele também é válido em (E ^ {n}, ). (Verificar!)

Isso completa a prova indutiva. ( Quad square )

Na verdade, o Teorema 1 se aplica a muitas outras famílias de conjuntos (não necessariamente intervalos ou conjuntos em (E ^ {n}). ) Agora damos um nome a essas famílias.

Definição 1

Uma família ( mathcal {C} ) de conjuntos arbitrários é chamada de semiring iff

(i) ( emptyset in mathcal {C} ) ( ( emptyset ) é um membro), e

(ii) para quaisquer conjuntos (A ) e (B ) de ( mathcal {C}, ) temos (A cap B in mathcal {C}, ) enquanto (AB ) é a união de um número finito de conjuntos disjuntos de ( mathcal {C}. )

Resumidamente: ( mathcal {C} ) é um semirante se satisfaz o Teorema 1.

Observe que aqui ( mathcal {C} ) não é apenas um conjunto, mas uma família inteira de conjuntos. Lembre-se (Capítulo §§1-3) de que uma família de conjuntos (família de conjuntos) é um conjunto ( mathcal {M} ) cujos membros são outros conjuntos. Se (A ) é um membro de ( mathcal {M}, ) chamamos (A ) an ( mathcal {M} ) - set e escrever (A in mathcal {M } ) (não (A subseteq mathcal {M}) ).

Às vezes, usamos a notação de índice:

[ mathcal {M} = left {X_ {i} | i in I right }, ]

brevemente

[ mathcal {M} = esquerda {X_ {i} direita }, ]

onde os (X_ {i} ) são ( mathcal {M} ) - conjuntos diferenciados uns dos outros pelos subscritos (i ) variando ao longo de algum conjunto de índice (I. )

Um conjunto de família ( mathcal {M} = left {X_ {i} right } ) e sua união

[ bigcup_ {i} X_ {i} ]

são considerados disjuntos se

[X_ {i} cap X_ {j} = emptyset text {sempre} i neq j. ]

Notação:

[ bigcup X_ {i} text {(disjunto).} ]

No nosso caso, (A in mathcal {C} ) significa que (A ) é um ( mathcal {C} ) - conjunto (um membro do semiring ( mathcal {C}) ).

A fórmula

[( forall A, B in mathcal {C}) quad A cap B in mathcal {C} ]

significa que a interseção de dois ( mathcal {C} ) - conjuntos em um ( mathcal {C} ) - conjunto a si mesma.

Doravante, falaremos freqüentemente de semirings ( mathcal {C} ) em geral. Em particular, isso se aplicará ao caso ( mathcal {C} = ) {intervalos}. Sempre tenha esse caso em mente!

Nota 1. Pelo Teorema 1, os intervalos em (E ^ {n} ) formam um semiramento. O mesmo ocorre com os intervalos semiaberto e semicerrado separadamente (mesma prova!), Mas não os abertos (ou fechados). (Por que?)

Cuidado. A união e a diferença de dois ( mathcal {C} ) - conjuntos não precisam ser um ( mathcal {C} ) - conjunto. Para remediar isso, agora aumentamos ( mathcal {C}. )

Definição 2

Dizemos que um conjunto (A ) (de ( mathcal {C} ) ou não) é ( mathcal {C} ) - simples e escrita

[A in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ]

iff (A ) é uma união finita de conjuntos disjuntos ( mathcal {C} ) (como (A-B ) no Teorema 1).

Assim, ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) é a família de todos os ( mathcal {C} ) - conjuntos simples.

Todo ( mathcal {C} ) - conjunto é também um ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) - conjunto, ou seja, um ( mathcal {C} ) - simples 1. (Por quê?) Resumidamente:

[ mathcal {C} subseteq mathcal {C} _ {s} ^ { prime}. ]

Se ( mathcal {C} ) é o conjunto de todos os intervalos, um ( mathcal {C} ) - conjunto simples pode ser semelhante à Figura 30.

Teorema ( PageIndex {2} )

Se ( mathcal {C} ) é um semiramento, e se (A ) e (B ) são ( mathcal {C} ) - simples, então também são

[A cap B, A-B, text {e} A cup B. ]

Em símbolos,

[ left ( forall A, B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} right) quad A cap B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime }, AB in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, text {e} A cup B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}. ]

Prova

Fornecemos um esboço da prova e sugerimos a prova como um exercício. Antes de tentar, o leitor deve revisar completamente as leis e os problemas do Capítulo 1, §§1-3.

(1) Para provar (A cap B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, ) vamos

[A = bigcup_ {i = 1} ^ {m} A_ {i} ( text {disjunto}) text {e} B = bigcup_ {k = 1} ^ {n} B_ {k} text {(disjunto),} ]

com (A_ {i}, B_ {k} in mathcal {C}. ) Verifique se

[A cap B = bigcup_ {k = 1} ^ {n} bigcup_ {i = 1} ^ {m} left (A_ {i} cap B_ {k} right) text {(disjunto ),} ]

e assim (A cap B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ).

(2) Em seguida prove que (AB in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) se (A in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) e (B in mathcal {C} ).

Na verdade, se

[A = bigcup_ {i = 1} ^ {m} A_ {i} text {(disjunto),} ]

então

[AB = bigcup_ {i = 1} ^ {m} A_ {i} -B = bigcup_ {i = 1} ^ {m} left (A_ {i} -B right) text {(disjunto ).} ]

Verifique e use a Definição 2.

(3) Prove que

[ left ( forall A, B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} right) quad AB in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}; ]

sugerimos o seguinte argumento.

Deixar

[B = bigcup_ {k = 1} ^ {n} B_ {k}, quad B_ {k} in mathcal {C}. ]

Então

[A-B = A- bigcup_ {k = 1} ^ {n} B_ {k} = bigcap_ {k = 1} ^ {n} left (A-B_ {k} right) ]

por leis de dualidade. Mas (A-B_ {k} ) é ( mathcal {C} ) - simples pelo passo (2). Portanto, é assim

[A-B = bigcap_ {k = 1} ^ {m} left (A-B_ {k} right) ]

pelo passo (1) mais indução.

(4) Para provar (A cup B in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, ) verifique se

[A xícara B = A xícara (B-A), ]

onde (B-A in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, ) por (3).

Nota 2. Por indução, o Teorema 2 se estende a qualquer número finito de conjuntos ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ). É uma espécie de "lei de fechamento".

Assim, dizemos resumidamente que ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) é fechado sob uniões finitas, interseções e diferenças de conjuntos. Qualquer família de conjuntos (não vazios) com essas propriedades é chamada de anel de conjuntos (consulte também §3).

Portanto, o Teorema 2 afirma que se ( mathcal {C} ) é um semiramento, então ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) é um anel.

Cuidado. Uma união infinita de ( mathcal {C} ) - conjuntos simples não precisam ser ( mathcal {C} ) - simples. No entanto, podemos considerar tais sindicatos, como faremos a seguir.

No Corolário 1 abaixo, ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) pode ser substituído por qualquer anel definido ( mathcal {M} ).

Corolário ( PageIndex {1} )

Se ( left {A_ {n} right } ) é uma sequência finita ou infinita de conjuntos de um semiramento ( mathcal {C} ) (ou de um anel ( mathcal {M} ) como ( mathcal {C} _ {s} ^ { prime} )), então há uma sequência disjunta de ( mathcal {C} ) - conjuntos simples (ou ( mathcal {M } ) - conjuntos) (B_ {n} subseteq A_ {n} ) de modo que

[ bigcup_ {n} A_ {n} = bigcup_ {n} B_ {n}. ]

Prova

Seja (B_ {1} = A_ {1} ) e para (n = 1,2, ldots ),

[B_ {n + 1} = A_ {n + 1} - bigcup_ {k = 1} ^ {n} A_ {k}, quad A_ {k} in mathcal {C}. ]

Pelo Teorema 2, os (B_ {n} ) são ( mathcal {C} ) - simples (como são (A_ {n + 1} ) e ( bigcup_ {k = 1} ^ { n} A_ {k}). ) Mostre que eles são disjuntos (suponha o oposto e encontre uma contradição) e verifique que ( bigcup A_ {n} = bigcup B_ {n}: ) If (x em bigcup A_ {n}, ) pegue o mínimo (n ) para o qual (x in A_ {n}. ) Então (n> 1 ) e

[x em A_ {n} - bigcup_ {k = 1} ^ {n-1} A_ {k} = B_ {n}, ]

ou (n = 1 ) e (x em A_ {1} = B_ {1}. quad quadrado )

Nota 3. No Corolário 1, (B_ {n} in mathcal {C} _ {s} ^ { prime}, ) ou seja, (B_ {n} = bigcup_ {i = 1} ^ {m_ {n }} C_ {ni} ) para alguns conjuntos disjuntos (C_ {ni} in mathcal {C}. ) Assim

[ bigcup_ {n} A_ {n} = bigcup_ {n} bigcup_ {i = 1} ^ {m_ {n}} C_ {n i} ]

também é uma união disjunta contável de ( mathcal {C} ) - conjuntos.

II. Lembre-se de que o volume dos intervalos é aditivo (Problema 9 no Capítulo 3, §7). Ou seja, se (A in mathcal {C} ) for dividido em muitos subintervalos disjuntos, então (v A ) (o volume de (A) ) é igual à soma dos volumes das partes .

Precisaremos do seguinte lema.

lema 1

Seja (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {m} in mathcal {C} ) (intervalos em (E ^ {n}). ) Se o (X_ {i } ) são mutuamente disjuntos, então

(i) ( bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} subseteq Y in mathcal {C} ) implica ( sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i } leq v Y; ) e

(ii) ( bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} subseteq bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} left ( text {with} Y_ {k} em mathcal {C} right) ) implica ( sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} leq sum_ {k = 1} ^ {p} v Y_ {k} ) .

Prova

(i) Pelo Teorema 2, o conjunto

[Y- bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} ]

é ( mathcal {C} ) - simples; tão

[Y- bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} = bigcup_ {j = 1} ^ {q} C_ {j} ]

para alguns intervalos disjuntos (C_ {j}. ) Portanto

[Y = bigcup X_ {i} cup bigcup C_ {j} text {(todos separados).} ]

Assim, por aditividade,

[v Y = sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} + sum_ {j = 1} ^ {q} v C_ {j} geq sum_ {i = 1} ^ {m } v X_ {i}, ]

conforme reivindicado.

(ii) Pela teoria dos conjuntos (Problema 9 no Capítulo 1, §§1-3),

[X_ {i} subseteq bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} ]

implica

[X_ {i} = X_ {i} cap bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} = bigcup_ {k = 1} ^ {p} left (X_ {i} cap Y_ {k} right). ]

Se acontecer que os (Y_ {k} ) são mutuamente disjuntos também, então certamente o são os intervalos menores (X_ {i} cap Y_ {k}; ) então por aditividade,

[v X_ {i} = sum_ {k = 1} ^ {p} v esquerda (X_ {i} cap Y_ {k} direita). ]

Por isso

[ sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} = sum_ {i = 1} ^ {m} sum_ {k = 1} ^ {p} v left (X_ {i} cap Y_ {k} right) = sum_ {k = 1} ^ {p} left [ sum_ {i = 1} ^ {m} v left (X_ {i} cap Y_ {k} right )direito].]

Mas por (i),

[ sum_ {i = 1} ^ {m} v left (X_ {i} cap Y_ {k} right) leq v Y_ {k} text {(por quê?);} ]

tão

[ sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} leq sum_ {k = 1} ^ {p} v Y_ {k}, ]

como requerido.

Se, no entanto, o (Y_ {k} ) não são disjuntos, o Corolário 1 produz

[ bigcup Y_ {k} = bigcup B_ {k} text {(disjunto)}, ]

com

[Y_ {k} supseteq B_ {k} = bigcup_ {j = 1} ^ {m_ {k}} C_ {kj} ( text {disjunto}), quad C_ {kj} in mathcal { C}. ]

Por (i),

[ sum_ {j = 1} ^ {m_ {k}} v C_ {k j} leq v Y_ {k}. ]

Como

[ bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} subseteq bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} = bigcup_ {k = 1} ^ {p} B_ {k} = bigcup_ {k = 1} ^ {p} bigcup_ {j = 1} ^ {m_ {k}} C_ {kj} text {(disjunto),} ]

tudo se reduz ao caso disjunto anterior. ( quad square )

Corolário ( PageIndex {2} )

Seja (A in mathcal {C} _ {s} ^ { prime} ) ( ( mathcal {C} = ) intervalos em (E ^ {n} )). Se

[A = bigcup_ {i = 1} ^ {m} X_ {i} ( text {disjunto}) = bigcup_ {k = 1} ^ {p} Y_ {k} text {(disjunto)} ]

com (X_ {i}, Y_ {k} in mathcal {C}, ) então

[ sum_ {i = 1} ^ {m} v X_ {i} = sum_ {k = 1} ^ {p} v Y_ {k}. ]

(Use a parte (ii) do lema duas vezes.)

Assim, podemos (e fazemos) definir sem ambigüidade (v A ) como qualquer uma dessas somas.


Afiliações

A.A. Instituto Kharkevich para Problemas de Transmissão de Informação e Escola Superior de Economia da National Research University, Moscou, Rússia

G. L. Litvinov e A. N. Sobolevski

Centro de Educação Matemática Contínua de Moscou, Moscou, Rússia

A. Ya. Rodionov e S. N. Sergeev

Universidade de Birmingham, Escola de Matemática, Edgbaston, B15 2TT, Reino Unido

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Autor correspondente


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1. Introdução

Na teoria dos grafos, o famoso problema do caminho mais curto (SPP, para abreviar) é o problema de encontrar um caminho entre dois vértices em um grafo ponderado de forma que a soma dos pesos de suas arestas constituintes seja minimizada [1]. Um exemplo é encontrar a maneira mais rápida de ir de um local para outro em um mapa rodoviário. Nesse caso, os vértices representam locais e as bordas representam segmentos de estrada e são ponderados pelo tempo necessário para percorrer esse segmento.

Se assumirmos que a função ponderada é não negativa, a base algébrica relacionada do SPP é a semirreção ([0, +& # x0221e], min & # x02061, +). Nesse caso, usamos a operação & # x0201c + & # x0201d para calcular o comprimento dos caminhos e usamos a operação & # x0201cmin & # x0201d para encontrar pelo menos um. Para o problema do caminho mais amplo (WPP, para abreviar) ou chamado de problema de maior capacidade (GCP, para abreviar), o fundamento algébrico relacionado é o semiramento ([0, +& # x0221e], máx. & # x02061, mín & # x02061). Consequentemente, usamos a operação & # x0201cmin & # x0201d para calcular as capacidades e usamos a operação & # x0201cmax & # x0201d para encontrar a maior. Para o problema de caminho mais confiável (MRPP, para abreviar), a base algébrica relacionada é a semifiação ([0,1], max & # x02061, & # x000d7). Assim, usamos a operação & # x0201c & # x000d7 & # x0201d para calcular a confiabilidade dos caminhos e usamos a operação & # x0201cmax & # x0201d para encontrar o maior. Existem muitos outros problemas clássicos usando várias semirings na teoria dos grafos [2].

Para ambos ([0, +& # x0221e], min & # x02061, +) para SPP e ([0, +& # x0221e], max & # x02061, min & # x02061) para WPP, bem como os algoritmos correspondentes, o valor & # x0201c +& # x0221e& # x0201d é usado para atuar como o peso das arestas artificiais entre pares de vértices sem aresta. Por essas razões, SPP, WPP e MRPP (e outros problemas potenciais) podem ser colocados em um cenário mais generalizado: o problema do caminho algébrico [2]. O primeiro objetivo deste artigo é unificar SPP, WPP, WPP e outros problemas de caminho em gráficos ponderados em um semiramento idempotente (também conhecido como um dióide) [3]. Daremos uma abordagem unificada para encontrar o caminho mais curto, o caminho mais largo e o caminho mais confiável, bem como sua extensão.

Em 1935, Whitney introduziu matróides como uma generalização de ambos os gráficos e independência linear em espaços vetoriais [4]. É bem sabido que os matróides desempenham um papel importante na matemática aplicada, especialmente na teoria ótima, que são precisamente as estruturas para o problema de conjuntos independentes máximos (MISP, para abreviar) com o qual funciona o algoritmo guloso, muito simples e eficiente [5]. O segundo objetivo deste artigo é estudar matróides ponderados em um dióide linear e o MISP relacionado.


Uma abordagem algébrica para análise de rede temporal com base em quantidades temporais

Em uma rede temporal, a presença e a atividade de nós e links podem mudar ao longo do tempo. Para descrever redes temporais, introduzimos a noção de quantidades temporais. Definimos a adição e multiplicação de quantidades temporais de uma forma que pode ser usada para a definição de adição e multiplicação de redes temporais. As estruturas algébricas correspondentes são semirings. A abordagem usual para a análise (de dados) de redes temporais é transformar a rede em uma sequência de fatias de tempo - redes estáticas correspondentes a intervalos de tempo selecionados e analisar cada uma delas usando métodos padrão para produzir uma sequência de resultados. A abordagem proposta neste artigo nos permite calcular esses resultados diretamente. Desenvolvemos algoritmos rápidos para as operações propostas. Eles estão disponíveis como uma biblioteca Python de código aberto TQ (Quantidades temporais) e um programa Ianus. A abordagem proposta nos permite tratar como quantidades temporais também outras características da rede, como graus, componentes de conectividade, medidas de centralidade, esqueleto Pathfinder, etc. Para ilustrar as ferramentas desenvolvidas, apresentamos alguns resultados da análise da rede de violência de Franzosi e as notícias de terror da Reuters de Corman rede.

Esta é uma prévia do conteúdo da assinatura, acesso através de sua instituição.


Tipos de Conjuntos

Os conjuntos podem ser classificados em vários tipos, alguns dos quais são finitos, infinitos, subconjuntos, universais, próprios, conjuntos singleton, etc.

Conjunto Finito

Um conjunto que contém um número definido de elementos é chamado de conjunto finito.

Conjunto Infinito

Um conjunto que contém um número infinito de elementos é chamado de conjunto infinito.

Subconjunto

Um conjunto X é um subconjunto do conjunto Y (escrito como X e sube Y) se cada elemento de X for um elemento do conjunto Y.

Exemplo 1 & menos Let, X = <1,2,3,4,5,6> e Y = <1,2>. Aqui, o conjunto Y é um subconjunto do conjunto X, já que todos os elementos do conjunto Y estão no conjunto X. Portanto, podemos escrever Y & subeX.

Exemplo 2 & menos Let, X = <1,2,3> e Y = <1,2,3>. Aqui, o conjunto Y é um subconjunto (não um subconjunto adequado) do conjunto X, pois todos os elementos do conjunto Y estão no conjunto X. Portanto, podemos escrever Y & subeX.

Subconjunto próprio

O termo “subconjunto adequado” pode ser definido como “subconjunto de, mas não igual a”. Um Conjunto X é um subconjunto adequado do conjunto Y (escrito como X e sub Y) se cada elemento de X for um elemento do conjunto Y e | X | & lt | Y |.

Exemplo & menos Let, X = <1,2,3,4,5,6> e Y = <1,2>. Aqui, defina Y & sub X, uma vez que todos os elementos em Y estão contidos em X também e X tem pelo menos um elemento que é mais do que o conjunto Y.

Conjunto universal

É uma coleção de todos os elementos em um determinado contexto ou aplicativo. Todos os conjuntos nesse contexto ou aplicativo são essencialmente subconjuntos desse conjunto universal. Conjuntos universais são representados como U.

Exemplo & minus Podemos definir U como o conjunto de todos os animais da terra. Nesse caso, um conjunto de todos os mamíferos é um subconjunto de U, um conjunto de todos os peixes é um subconjunto de U, um conjunto de todos os insetos é um subconjunto de U e assim por diante.

Conjunto vazio ou conjunto nulo

Um conjunto vazio não contém elementos. É denotado por & Phi. Como o número de elementos em um conjunto vazio é finito, o conjunto vazio é um conjunto finito. A cardinalidade do conjunto vazio ou conjunto nulo é zero.

Conjunto de singleton ou conjunto de unidade

Um conjunto Singleton ou conjunto de unidades contém apenas um elemento. Um conjunto de singleton é denotado por .

Equal Set

Se dois conjuntos contêm os mesmos elementos, eles são considerados iguais.

Exemplo & minus Se A = <1,2,6> e B = <6,1,2>, eles são iguais, pois cada elemento do conjunto A é um elemento do conjunto B e cada elemento do conjunto B é um elemento do conjunto A.

Conjunto Equivalente

Se as cardinalidades de dois conjuntos são iguais, eles são chamados de conjuntos equivalentes.

Exemplo & menos Se A = <1,2,6> e B = <16,17,22>, eles são equivalentes, pois a cardinalidade de A é igual à cardinalidade de B. ou seja, | A | = | B | = 3

Conjunto Sobreposto

Dois conjuntos que possuem pelo menos um elemento comum são chamados de conjuntos sobrepostos. Em caso de conjuntos sobrepostos e menos

$ n left (A cup B right) = n left (A right) + n left (B right) - n left (A cap B right) $

$ n left (A cup B right) = n left (A-B right) + n left (B-A right) + n left (A cap B right) $

$ n left (A right) = n left (A-B right) + n left (A cap B right) $

$ n esquerda (B direita) = n esquerda (B-A direita) + n esquerda (A cap B direita) $

Exemplo & menos Let, A = <1,2,6> e B = <6,12,42>. Há um elemento comum '6', portanto, esses conjuntos são conjuntos sobrepostos.

Conjunto Disjoint

Dois conjuntos A e B são chamados de conjuntos disjuntos se não tiverem nem mesmo um elemento em comum. Portanto, conjuntos disjuntos têm as seguintes propriedades e menos

$ n left (A cap B right) = phi $

$ n left (A cup B right) = n left (A right) + n left (B right) $

Exemplo & menos Let, A = <1,2,6> e B = <7,9,14>, não há um único elemento comum, portanto, esses conjuntos são conjuntos sobrepostos.


Problemas de restrição suave com valor de intervalo

Restrições e preferências quantitativas, ou custos, são muito úteis para modelar muitos problemas da vida real. No entanto, em muitos ambientes, é difícil especificar valores de preferência precisos e é muito mais razoável permitir intervalos de preferência. Definimos várias noções de soluções ótimas para tais problemas, fornecendo algoritmos para encontrar soluções ótimas e também para testar se uma solução é ótima. Na maioria das vezes, esses algoritmos requerem apenas a solução de problemas de restrição flexível, o que sugere que pode ser possível lidar com essa forma de incerteza em restrições flexíveis sem aumentar significativamente o esforço computacional necessário para raciocinar com tais problemas. Isso é apoiado também por resultados experimentais. Também identificamos classes de problemas em que os mesmos resultados são mantidos se os usuários tiverem permissão para usar vários intervalos disjuntos em vez de um único.

Diário

Annals of Mathematics and Artificial Intelligence & ndash Springer Journals


7.1: Mais sobre intervalos em Eⁿ. Semirings of Sets - Matemática

Todos os artigos publicados pela MDPI são disponibilizados imediatamente em todo o mundo sob uma licença de acesso aberto. Nenhuma permissão especial é necessária para reutilizar todo ou parte do artigo publicado pela MDPI, incluindo figuras e tabelas. Para artigos publicados sob uma licença Creative Common CC BY de acesso aberto, qualquer parte do artigo pode ser reutilizada sem permissão, desde que o artigo original seja claramente citado.

Os artigos de destaque representam a pesquisa mais avançada com potencial significativo de alto impacto no campo. Artigos de destaque são submetidos a convite individual ou recomendação dos editores científicos e passam por revisão por pares antes da publicação.

O Artigo pode ser um artigo de pesquisa original, um estudo de pesquisa substancial que frequentemente envolve várias técnicas ou abordagens, ou um artigo de revisão abrangente com atualizações concisas e precisas sobre os últimos avanços no campo que revisa sistematicamente os avanços mais interessantes na área científica literatura. Este tipo de papel fornece uma perspectiva sobre as futuras direções de pesquisa ou possíveis aplicações.

Os artigos do Editor’s Choice são baseados nas recomendações dos editores científicos de periódicos MDPI de todo o mundo. Os editores selecionam um pequeno número de artigos publicados recentemente na revista que eles acreditam ser particularmente interessantes para os autores ou importantes neste campo. O objetivo é fornecer um instantâneo de alguns dos trabalhos mais interessantes publicados nas várias áreas de pesquisa da revista.


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