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Capítulo de Introdução ao Campo Vetorial - Matemática


Os furacões são grandes tempestades que podem causar enormes danos à vida e à propriedade, especialmente quando atingem a terra. Prever onde e quando eles atacarão e quão fortes serão os ventos é de grande importância para a preparação para proteção ou evacuação. Os cientistas contam com estudos de campos vetoriais rotacionais para suas previsões.

Neste capítulo, aprendemos a modelar novos tipos de integrais sobre campos como campos magnéticos, campos gravitacionais ou campos de velocidade. Também aprendemos como calcular o trabalho feito em uma partícula carregada viajando por um campo magnético, o trabalho feito em uma partícula com massa viajando por um campo gravitacional e o volume por unidade de tempo de água fluindo por uma rede lançada em um rio.

Todas essas aplicações são baseadas no conceito de campo vetorial, que exploraremos neste capítulo. Os campos vetoriais têm muitas aplicações porque podem ser usados ​​para modelar campos reais, como campos eletromagnéticos ou gravitacionais. Uma compreensão profunda da física ou engenharia é impossível sem uma compreensão dos campos vetoriais. Além disso, os campos de vetores têm propriedades matemáticas que valem a pena estudar por si mesmas. Em particular, os campos vetoriais podem ser usados ​​para desenvolver várias versões dimensionais superiores do Teorema Fundamental do Cálculo.


GeoGebra (que leva o nome de "geometria" e "álgebra" juntos) é uma ferramenta muito poderosa e pode ser usada online gratuitamente. Siga o link acima para sua ferramenta de gráfico 3D, e apenas digite uma função, como f (t) = (3t, 2t + 1, sin (6t)) para representá-la.

O GeoGebra converte automaticamente para seu próprio código interno, que se parece com o seguinte, e permite que você especifique os limites inferior e superior da variável t.

Você pode digitar esse código diretamente, com ou sem f =, se preferir.

Você também pode usar o GeoGebra para representar gráficos paramétricos 2D.


Vetores e escalares

UMA grandeza vetorial, ou vetor, fornece informações não apenas sobre a magnitude, mas também a direção da quantidade. Ao indicar a direção de uma casa, não basta dizer que ela está a 16 km de distância, mas a direção dessas 16 km também deve ser fornecida para que as informações sejam úteis. Variáveis ​​que são vetores serão indicadas com uma variável em negrito, embora seja comum ver vetores denotados com pequenas setas acima da variável.

Assim como não dizemos que a outra casa está a -10 milhas de distância, a magnitude de um vetor é sempre um número positivo, ou melhor, o valor absoluto do "comprimento" do vetor (embora a quantidade possa não ser um comprimento, pode ser uma velocidade, aceleração, força, etc.) Um negativo na frente de um vetor não indica uma mudança na magnitude, mas sim na direção do vetor.

Nos exemplos acima, a distância é a quantidade escalar (10 milhas), mas deslocamento é a quantidade vetorial (10 milhas a nordeste). Da mesma forma, a velocidade é uma grandeza escalar, enquanto a velocidade é uma grandeza vetorial.

UMA vetor unitário é um vetor com magnitude de um. Um vetor que representa um vetor unitário geralmente também está em negrito, embora tenha um carat (^) acima para indicar a natureza da unidade da variável. O vetor unitário x, quando escrito com um quilate, é geralmente lido como "x-hat" porque o quilate parece uma espécie de chapéu na variável.

O vetor zero, ou vetor nulo, é um vetor com magnitude zero. Está escrito como 0 neste artigo.


Vetores

Você usa vetores em quase todas as atividades que realiza. Um vetor é uma quantidade que tem Tamanho e direção. A palavra chique para tamanho é & quotmagnitude & quot.

Exemplos de atividades cotidianas que envolvem vetores incluem:

  • Respirar (os músculos do diafragma exercem uma força que tem uma magnitude e direção)
  • Andando (você anda em um velocidade de cerca de 6 km / h na direção do banheiro)
  • Indo para a escola (o ônibus tem um comprimento de cerca de 20 me dirige-se para a sua escola)
  • Almoço (o deslocamento da sua sala de aula para a cantina fica a cerca de 40 m na direção norte)

Cada quantidade vetorial tem um magnitude e um direção.


Capítulo de Introdução ao Campo Vetorial - Matemática

Precisamos começar este capítulo com a definição de um campo vetorial, pois eles serão um componente principal deste capítulo e do próximo. Vamos começar com a definição formal de um campo vetorial.

Definição

Um campo vetorial em um espaço bidimensional (ou tridimensional) é uma função ( vec F ) que atribui a cada ponto ( left ( direita ou esquerda( right) )) um vetor bi (ou tridimensional) dado por ( vec F left ( right) ) (ou ( vec F left ( direito))).

Isso pode não fazer muito sentido, mas a maioria das pessoas sabe o que é um campo vetorial, ou pelo menos eles viram um esboço de um campo vetorial. Se você viu um esboço atual dando a direção e magnitude de um fluxo de um fluido ou a direção e magnitude dos ventos, então você viu um esboço de um campo vetorial.

A notação padrão para a função ( vec F ) é,

[começar vec F left ( direita) & = P esquerda ( direita) vec i + Q esquerda ( direita) vec j vec F left ( direita) & = P esquerda ( direita) vec i + Q esquerda ( direita) vec j + R esquerda ( right) vec k end]

dependendo se estamos ou não em duas ou três dimensões. As funções (P ), (Q ), (R ) (se estiver presente) são às vezes chamadas funções escalares.

Vamos dar uma olhada rápida em alguns exemplos.

Ok, para representar graficamente o campo vetorial, precisamos obter alguns “valores” da função. Isso significa conectar alguns pontos à função. Aqui estão algumas avaliações.

[começar vec F left (<2>,frac<1> <2>> right) & = - frac <1> <2> vec i + frac <1> <2 > vec j vec F left ( <2>, - frac <1> <2>> right) & = - left (<- frac <1> <2 >> direita) vec i + frac <1> <2> vec j = frac <1> <2> vec i + frac <1> <2> vec j vec F left (<2>,frac<1> <4>> right) & = - frac <1> <4> vec i + frac <3> <2> vec j fim]

Então, o que essas avaliações nos dizem? Bem, o primeiro nos diz que no ponto ( left (<2>,frac<1> <2>> right) ) traçaremos o vetor (- frac < 1> <2> vec i + frac <1> <2> vec j ). Da mesma forma, a terceira avaliação nos diz que no ponto ( left (<2>,frac<1> <4>> right) ) traçaremos o vetor (- frac <1> <4> vec i + frac <3> <2> vec j ).

Podemos continuar desta forma traçando vetores para vários pontos e obteremos o seguinte esboço do campo vetorial.

Se quisermos um número significativamente maior de pontos plotados, geralmente é melhor usar um sistema de gráficos auxiliado por computador, como Maple ou Mathematica. Aqui está um esboço com muitos outros vetores incluídos que foi gerado com o Mathematica.

No caso de campos vetoriais tridimensionais, quase sempre é melhor usar Maple, Mathematica ou alguma outra ferramenta semelhante. Apesar disso, vamos prosseguir e fazer algumas avaliações de qualquer maneira.

[começar vec F left (<1, - 3,2> right) & = 2 , vec i + 6 , vec j - 2 , vec k vec F left (<0, 5,3> right) & = - 10 , vec j end]

Observe que (z ) afeta apenas o posicionamento do vetor neste caso e não afeta a direção ou a magnitude do vetor. Às vezes isso vai acontecer, então não fique animado quando acontecer.

Aqui estão alguns esboços gerados pelo Mathematica. O esboço à esquerda é de “frente” e o esboço à direita é de “cima”.

Agora que vimos alguns campos de vetor, vamos notar que já vimos uma função de campo de vetor. No segundo capítulo, vimos o vetor gradiente. Lembre-se de que dada uma função (f left ( right) ) o vetor gradiente é definido por,

Este é um campo vetorial e é frequentemente chamado de campo de vetor gradiente.

Nestes casos, a função (f left ( right) ) é freqüentemente chamado de função escalar para diferenciá-lo do campo vetorial.

Observe que fornecemos apenas a definição do vetor gradiente para uma função tridimensional, mas não se esqueça de que também há uma definição de duas dimensões. Tudo de que precisamos para eliminar o terceiro componente do vetor.

Aqui está o campo de vetor gradiente para esta função.

[ nabla f = left langle <2x sin left (<5y> right), 5 cos left (<5y> right)> right rangle ]

Não há muito a fazer aqui além de pegar o gradiente.

Vamos fazer outro exemplo que ilustrará a relação entre o campo vetorial gradiente de uma função e seus contornos.

Lembre-se de que os contornos de uma função nada mais são do que curvas definidas por,

para vários valores de (k ). Então, para nossa função, os contornos são definidos pela equação,

e, portanto, são círculos centralizados na origem com raio ( sqrt k ).

Aqui está o campo de vetor gradiente para esta função.

[ nabla f left ( direita) = 2x , vec i + 2y , vec j ]

Aqui está um esboço de vários contornos, bem como do campo vetorial gradiente.

Observe que os vetores do campo vetorial são todos ortogonais (ou perpendiculares) aos contornos. Esse sempre será o caso quando estivermos lidando com os contornos de uma função, bem como com seu campo vetorial gradiente.

Os (k ) 's que usamos para o gráfico acima foram 1,5, 3, 4,5, 6, 7,5, 9, 10,5, 12 e 13,5. Agora observe que conforme aumentamos (k ) em 1,5, as curvas de contorno ficam mais próximas e que, conforme as curvas de contorno ficam mais próximas, maiores os vetores se tornam. Em outras palavras, quanto mais próximas as curvas de contorno estão (como (k ) é aumentado em um valor fixo) mais rápido a função muda naquele ponto. Lembre-se também de que a direção da mudança mais rápida para uma função é dada pelo vetor gradiente naquele ponto. Portanto, deve fazer sentido que as duas ideias combinem como aqui.

O tópico final desta seção é sobre campos vetoriais conservadores. Um campo vetorial ( vec F ) é chamado de campo vetorial conservador se existe uma função (f ) tal que ( vec F = nabla f ). Se ( vec F ) é um campo vetorial conservador, a função (f ) é chamada de função potencial para ( vec F ).

Tudo o que esta definição está dizendo é que um campo vetorial é conservador se também for um campo vetorial gradiente para alguma função.

Por exemplo, o campo vetorial ( vec F = y , vec i + x , vec j ) é um campo vetorial conservador com uma função potencial de (f left ( right) = xy ) porque ( nabla f = left langle right rangle ).

Por outro lado, ( vec F = - y , vec i + x , vec j ) não é um campo vetorial conservador, pois não há função (f ) tal que ( vec F = nabla f ). Se você não tem certeza de que acredita nisso, seja paciente, poderemos provar isso em algumas seções. Nessa seção, também mostraremos como encontrar a função potencial para um campo vetorial conservador.


Math Insight

Muitos campos de força física (campos vetoriais) com os quais você está familiarizado são conservador campos de vetores. O termo vem do fato de que algum tipo de energia é conservada por esses campos de força. A consequência importante para nós, porém, é que conforme você move um objeto do ponto $ vc $ para o ponto $ vc$, o trabalho realizado por um campo de força conservador faz não dependem do caminho percorrido do ponto $ vc $ ao ponto $ vc$. Por esse motivo, muitas vezes nos referimos a tais campos vetoriais como independente do caminho campos de vetores. Independente de caminho e conservador são apenas dois termos que significam a mesma coisa.

Por exemplo, imagine que você tenha que carregar uma caixa pesada da porta da frente até o quarto no andar de cima. Por causa da gravidade (que pode ser vista como um campo de força), você precisa trabalhar para carregar a caixa.

Aqui, queremos dizer a definição científica de trabalho, que é força vezes distância. Embora possa parecer difícil mover a caixa de uma sala para outra no mesmo andar, o trabalho real feito contra a gravidade é zero.

Em seguida, imagine que você tem duas escadas em sua casa: uma escada frontal levemente inclinada e uma escada traseira íngreme. Como o campo gravitacional é um campo vetorial conservador, o trabalho que você deve fazer contra a gravidade é exatamente o mesmo se você pegar a escada da frente ou de trás. Desde que a caixa comece na mesma posição e termine na mesma posição, o trabalho total é o mesmo. (Na verdade, se você decidiu primeiro carregar a caixa para a casa do seu vizinho, depois carregá-la para cima e para baixo na árvore do seu quintal e, em seguida, na porta dos fundos antes de levá-la para cima, não faria diferença para esta definição científica de trabalho. O trabalho em rede que você executou contra a gravidade seria o mesmo.)

A integral de linha de um campo vetorial pode ser vista como o trabalho total executado pelo campo de força em um objeto em movimento ao longo do caminho. Para o exemplo de gravidade acima, discutimos o trabalho que você executou contra o campo gravitacional, que é exatamente o oposto do trabalho realizado de o campo gravitacional. Precisaríamos multiplicar a integral da linha por $ -1 $ para obter o trabalho que você executou contra o campo gravitacional, mas esse é um ponto técnico com o qual não precisamos nos preocupar muito.

O campo vetorial $ dlvf (x, y) = (x, y) $ é um campo vetorial conservador. (Você pode ler como testar a independência de caminho mais tarde. Por enquanto, acredite.) É ilustrado pelas setas pretas na figura abaixo. Queremos calcular a integral begin dlint end onde $ dlc $ é um caminho do ponto $ vc = (3, -3) $ (mostrado pelo quadrado ciano) até o ponto $ vc= (2,4) $ (mostrado pelo quadrado magenta). Como $ dlvf $ é independente do caminho, não precisamos saber mais nada sobre o caminho $ dlc $ para calcular a integral da linha. Posteriormente, você aprenderá a calcular que o valor da integral é 1, conforme mostrado pela linha magenta no controle deslizante abaixo da figura.

O miniaplicativo a seguir demonstra a independência de caminho de $ dlvf $, pois pode-se ver que as integrais ao longo de três caminhos diferentes fornecem o mesmo valor. O campo vetorial parece ser independente do caminho, conforme prometido. (Você teria que verificar todo o número infinito de caminhos possíveis de todos os pontos $ vc $ para todos os pontos $ vc$ para determinar que $ dlvf $ era realmente independente do caminho. Felizmente, você aprenderá alguns métodos mais simples.)


Capítulo de Introdução ao Campo Vetorial - Matemática

Este capítulo se preocupa com a aplicação de cálculo no contexto de campos de vetor. Um campo vetorial bidimensional é uma função $ f $ que mapeia cada ponto $ (x, y) $ em $ R ^ 2 $ para um vetor bidimensional $ langle u, v rangle $ e, da mesma forma, um três o campo vetorial dimensional mapeia $ (x, y, z) $ para $ langle u, v, w rangle $. Como um vetor não tem posição, normalmente indicamos um campo vetorial na forma gráfica, colocando o vetor $ f (x, y) $ com sua cauda em $ (x, y) $. A Figura 16.1.1 mostra uma representação do campo vetorial $ f (x, y) = langle -x / sqrt, y / sqrt rangle $. Para que tal gráfico seja legível, os vetores devem ser razoavelmente curtos, o que é feito usando uma escala diferente para os vetores e para os eixos. Esses gráficos são, portanto, úteis para compreender os tamanhos dos vetores em relação uns aos outros, mas não seu tamanho absoluto.

Os campos vetoriais têm muitas aplicações importantes, pois podem ser usados ​​para representar muitas quantidades físicas: o vetor em um ponto pode representar a força de alguma força (gravidade, eletricidade, magnetismo) ou uma velocidade (velocidade do vento ou a velocidade de algum outro fluido )

Já vimos um tipo particularmente importante de campo vetorial - o gradiente. Dada uma função $ f (x, y) $, lembre-se que o gradiente é $ langle f_x (x, y), f_y (x, y) rangle $, um vetor que depende de (é uma função de) $ x $ e $ y $. Normalmente imaginamos o vetor gradiente com sua cauda em $ (x, y) $, apontando na direção do aumento máximo. Os campos vetoriais que são gradientes têm algumas propriedades particularmente interessantes, como veremos. Um exemplo importante é $ < bf F> = left langle <-x over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >>, <- y over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >>, <- z over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >> right rangle, $ que aponta do ponto $ (x, y, z) $ em direção à origem e tem comprimento $ < sqrt over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >> = <1 over ( sqrt) ^ 2>, $ que é o recíproco do quadrado da distância de $ (x, y, z) $ à origem & mdashem outras palavras, $ < bf F> $ é uma "lei do quadrado inverso". O vetor $ bf F $ é um gradiente: $ eqalignno << bf F> & = nabla <1 over sqrt>, & (16.1.1)> $ o que acaba sendo extremamente útil.


Conteúdo

Campos de vetor em subconjuntos de espaço euclidiano Editar

Dado um subconjunto S dentro R n , uma campo vetorial é representado por uma função com valor vetorial V: SR n em coordenadas cartesianas padrão (x1, …, xn) Se cada componente de V é contínuo, então V é um campo vetorial contínuo e, de maneira mais geral, V é um C k campo de vetor se cada componente de V é k vezes continuamente diferenciável.

Um campo de vetor pode ser visualizado atribuindo um vetor a pontos individuais dentro de um nespaço -dimensional. [1]

Dado dois C k -campos vetoriais V , C definido em S e um valor real C k -função f definida em S , as duas operações de multiplicação escalar e adição de vetor

definir o módulo de C k -campos de vetor sobre o anel de C k -funções onde a multiplicação das funções é definida pontualmente (portanto, é comutativa com a identidade multiplicativa sendo feu ia(p) := 1 ).

Lei de transformação de coordenadas Editar

Na física, um vetor é adicionalmente distinguido por como suas coordenadas mudam quando se mede o mesmo vetor em relação a um sistema de coordenadas de fundo diferente. As propriedades de transformação dos vetores distinguem um vetor como uma entidade geometricamente distinta de uma lista simples de escalares ou de um covetor.

Assim, suponha que (x1. xn) é uma escolha de coordenadas cartesianas, em termos das quais os componentes do vetor V estão

e suponha que (y1. yn) estão n funções do xeu definir um sistema de coordenadas diferente. Então, os componentes do vetor V nas novas coordenadas são necessários para cumprir a lei de transformação

Essa lei de transformação é chamada de contravariante. Uma lei de transformação semelhante caracteriza os campos vetoriais na física: especificamente, um campo vetorial é uma especificação de n funções em cada sistema de coordenadas sujeito à lei de transformação (1) relacionando os diferentes sistemas de coordenadas.

Os campos vetoriais são, portanto, contrastados com os campos escalares, que associam um número ou escalar para todos os pontos no espaço e também são contrastados com listas simples de campos escalares, que não se transformam sob mudanças de coordenadas.

Campos de vetor em manifolds Editar

Se a variedade M < displaystyle M> for suave ou analítica - isto é, a mudança de coordenadas é suave (analítica) - então pode-se entender a noção de campos vetoriais suaves (analíticos). A coleção de todos os campos vetoriais suaves em uma variedade suave M < displaystyle M> é freqüentemente denotada por Γ (TM) < displaystyle Gamma (TM)> ou C ∞ (M, TM) < displaystyle C ^ < infty > (M, TM)> (especialmente quando se pensa em campos vetoriais como seções) a coleção de todos os campos vetoriais suaves também é denotada por X (M) < displaystyle textstyle < mathfrak > (M)> (um fraktur "X").

  • Um campo vetorial para o movimento do ar na Terra irá associar para cada ponto na superfície da Terra um vetor com a velocidade e direção do vento para aquele ponto. Isso pode ser desenhado usando setas para representar o vento e o comprimento (magnitude) da seta será uma indicação da velocidade do vento. Um "alto" no mapa de pressão barométrica usual atuaria então como uma fonte (setas apontando para fora), e um "baixo" seria um sumidouro (setas apontando para), uma vez que o ar tende a se mover de áreas de alta pressão para áreas de baixa pressão . campo de um fluido em movimento. Nesse caso, um vetor de velocidade é associado a cada ponto no fluido. são 3 tipos de linhas que podem ser feitas a partir de campos vetoriais (dependentes do tempo). Eles são:
    . As linhas de campo podem ser reveladas usando pequenas limalhas de ferro. nos permitem usar um determinado conjunto de condições iniciais e de contorno para deduzir, para cada ponto no espaço euclidiano, uma magnitude e direção para a força experimentada por uma partícula de teste carregada naquele ponto, o campo vetorial resultante é o campo eletromagnético.
  • Um campo gravitacional gerado por qualquer objeto massivo também é um campo vetorial. Por exemplo, os vetores do campo gravitacional para um corpo esfericamente simétrico apontariam todos para o centro da esfera com a magnitude dos vetores reduzindo à medida que a distância radial do corpo aumenta.

Campo de gradiente em espaços euclidianos Editar

Os campos vetoriais podem ser construídos a partir de campos escalares usando o operador gradiente (denotado por del: ∇). [4]

Um campo vetorial V definido em um conjunto aberto S é chamado de campo gradiente ou um campo conservador se existe uma função de valor real (um campo escalar) f sobre S de tal modo que

O fluxo associado é chamado de fluxo gradiente , e é usado no método de descida gradiente.

A integral do caminho ao longo de qualquer curva fechada γ (γ(0) = γ(1)) em um campo conservador é zero:

Campo central nos espaços euclidianos Editar

UMA C ∞ -campo de vetor sobre R n <0> é chamado de campo central E se

onde O (n, R) é o grupo ortogonal. Dizemos que os campos centrais são invariantes sob transformações ortogonais em torno de 0.

O ponto 0 é chamado de Centro do campo.

Visto que as transformações ortogonais são na verdade rotações e reflexos, as condições de invariância significam que os vetores de um campo central são sempre direcionados para, ou para longe de 0, esta é uma definição alternativa (e mais simples). Um campo central é sempre um campo gradiente, pois defini-lo em um semieixo e integrá-lo fornece um antigradiente.

Edição integral de linha

Uma técnica comum em física é integrar um campo vetorial ao longo de uma curva, também chamada de determinação de sua integral de linha. Intuitivamente, isso soma todos os componentes do vetor alinhados com as tangentes à curva, expressos como seus produtos escalares. Por exemplo, dada uma partícula em um campo de força (por exemplo, gravitação), onde cada vetor em algum ponto do espaço representa a força agindo ali na partícula, a integral de linha ao longo de um determinado caminho é o trabalho feito na partícula, quando ela viaja ao longo deste caminho. Intuitivamente, é a soma dos produtos escalares do vetor força e do pequeno vetor tangente em cada ponto ao longo da curva.

A integral de linha é construída analogamente à integral de Riemann e existe se a curva é retificável (tem comprimento finito) e o campo vetorial é contínuo.

Dado um campo vetorial V e uma curva γ, parametrizados por t em [uma, b] (onde aeb são números reais), a integral de linha é definida como

Edição de divergência

A divergência de um campo vetorial no espaço euclidiano é uma função (ou campo escalar). Em três dimensões, a divergência é definida por

com a óbvia generalização para dimensões arbitrárias. A divergência em um ponto representa o grau em que um pequeno volume ao redor do ponto é uma fonte ou um sumidouro para o fluxo vetorial, um resultado que é tornado preciso pelo teorema da divergência.

A divergência também pode ser definida em uma variedade Riemanniana, ou seja, uma variedade com uma métrica Riemanniana que mede o comprimento dos vetores.

Curl em três dimensões Editar

O curl é uma operação que pega um campo vetorial e produz outro campo vetorial. O cacho é definido apenas em três dimensões, mas algumas propriedades do cacho podem ser capturadas em dimensões mais altas com a derivada externa. Em três dimensões, é definido por

A onda mede a densidade do momento angular do fluxo do vetor em um ponto, ou seja, a quantidade em que o fluxo circula em torno de um eixo fixo. Esta descrição intuitiva é tornada precisa pelo teorema de Stokes.

Índice de um campo vetorial Editar

O índice de um campo vetorial é um número inteiro que ajuda a descrever o comportamento de um campo vetorial em torno de um zero isolado (ou seja, uma singularidade isolada do campo). No plano, o índice assume o valor -1 em uma singularidade de sela, mas +1 em uma singularidade de origem ou afundamento.

Deixe que a dimensão da variedade na qual o campo vetorial é definido seja n. Pegue uma pequena esfera S em torno do zero para que nenhum outro zeros fique no interior de S. Um mapa desta esfera para uma esfera unitária de dimensões n - 1 pode ser construído dividindo cada vetor nesta esfera por seu comprimento para formar um vetor de comprimento unitário, que é um ponto na esfera unitária S n-1. Isso define um mapa contínuo de S a S n-1. O índice do campo vetorial no ponto é o grau deste mapa. Pode-se mostrar que este inteiro não depende da escolha de S e, portanto, depende apenas do próprio campo vetorial.

O índice do campo vetorial como um todo é definido quando tem apenas um número finito de zeros. Nesse caso, todos os zeros são isolados e o índice do campo vetorial é definido como a soma dos índices em todos os zeros.

O índice não é definido em nenhum ponto não singular (ou seja, um ponto onde o vetor é diferente de zero). é igual a +1 em torno de uma fonte e, mais geralmente, igual a (-1) k em torno de uma sela que tem k dimensões de contração e n-k dimensões de expansão. Para uma esfera comum (bidimensional) no espaço tridimensional, pode ser mostrado que o índice de qualquer campo vetorial na esfera deve ser 2. Isso mostra que cada campo vetorial deve ter um zero. Isso implica o teorema da bola cabeluda, que afirma que se um vetor em R 3 é atribuído a cada ponto da esfera unitária S 2 de forma contínua, então é impossível "pentear os fios de cabelo", ou seja, escolher os vetores de forma contínua, de forma que todos sejam diferentes de zero e tangentes a S 2.

Para um campo vetorial em uma variedade compacta com um número finito de zeros, o teorema de Poincaré-Hopf afirma que o índice do campo vetorial é igual à característica de Euler da variedade.

Michael Faraday, em seu conceito de linhas de força, enfatizou que o campo em si deve ser um objeto de estudo, o que se tornou em toda a física na forma de teoria de campo.

Além do campo magnético, outros fenômenos modelados por Faraday incluem o campo elétrico e o campo de luz.

Considere o fluxo de um fluido através de uma região do espaço. A qualquer momento, qualquer ponto do fluido tem uma velocidade particular associada a ele, portanto, há um campo vetorial associado a qualquer fluxo. O inverso também é verdadeiro: é possível associar um fluxo a um campo vetorial tendo esse campo vetorial como sua velocidade.

Dado um campo vetorial V definido em S, define-se as curvas γ (t) sobre S tal que para cada t em um intervalo eu

Pelo teorema de Picard-Lindelöf, se V é Lipschitz contínuo, há um único C 1-curva γx para cada ponto x dentro S de modo que, para algum ε & gt 0,

As curvas γx são chamados curvas integrais ou trajetórias (ou menos comumente, linhas de fluxo) do campo vetorial V e partição S em classes de equivalência. Nem sempre é possível estender o intervalo (−ε, + ε) para toda a reta de número real. O fluxo pode, por exemplo, atingir a borda de S em um tempo finito. Em duas ou três dimensões, pode-se visualizar o campo vetorial dando origem a um fluxo em S. Se soltarmos uma partícula neste fluxo em um ponto p ele se moverá ao longo da curva γp no fluxo dependendo do ponto inicial p. Se p é um ponto estacionário de V (ou seja, o campo vetorial é igual ao vetor zero no ponto p), então a partícula permanecerá em p.

Dada uma função suave entre variedades, f : MN, a derivada é um mapa induzido em feixes tangentes, f* : TMTN. Dados campos vetoriais V : MTM e C : NTN, nós dizemos que C é f-relacionado a V se a equação Cf = fV detém.

Se Veu é f-relacionado a Ceu, eu = 1, 2, então o colchete de Lie [V1, V2] é f-relacionado a [C1, C2].

Substituindo vetores por p-vetores (po poder exterior dos vetores) produz p- os campos vetoriais que ocupam o espaço duplo e os poderes exteriores geram um diferencial k-formas, e combinando-os resulta em campos tensores gerais.

Algebricamente, os campos vetoriais podem ser caracterizados como derivações da álgebra de funções suaves na variedade, o que leva à definição de um campo vetorial em uma álgebra comutativa como uma derivação na álgebra, que é desenvolvida na teoria do cálculo diferencial sobre álgebras comutativas.


Math Insight

A integral de linha de um campo vetorial $ dlvf $ pode ser interpretada como o trabalho realizado pelo campo de força $ dlvf $ em uma partícula se movendo ao longo do caminho. A integral de superfície de um campo vetorial $ dlvf $ tem, na verdade, uma explicação mais simples. Se o campo vetorial $ dlvf $ representa o fluxo de um fluido, então a integral de superfície de $ dlvf $ representará a quantidade de fluido fluindo através da superfície (por unidade de tempo).

A quantidade de fluido que flui através da superfície por unidade de tempo também é chamada de fluxo de fluido através da superfície. Por esta razão, muitas vezes chamamos a integral de superfície de um campo vetorial de fluxo integral.

Se a água estiver fluindo perpendicularmente à superfície, muita água fluirá pela superfície e o fluxo será grande. Por outro lado, se a água estiver fluindo paralelamente à superfície, a água não fluirá através da superfície e o fluxo será zero. Para calcular a quantidade total de água fluindo pela superfície, queremos somar o componente do vetor $ dlvf $ que é perpendicular à superfície.

Vamos $ vc$ ser um vetor normal unitário à superfície. A escolha do vetor normal orienta a superfície e determina o sinal do fluxo do fluido. O fluxo de fluido através da superfície é determinado pelo componente de $ dlvf $ que está na direção de $ vc$, ou seja, por $ dlvf cdot vc$. Observe que $ dlvf cdot vc$ será zero se $ dlvf $ e $ vc$ são perpendiculares, positivos se $ dlvf $ e $ vc$ estão apontando na mesma direção, e negativos se $ dlvf $ e $ vc$ estão apontando em direções opostas.

Vamos ilustrar isso com a função begin dlsp ( spfv, spsv) = ( spfv cos spsv, spfv sin spsv, spsv). fim que parametriza um helicoide para $ ( spfv, spsv) in dlr = [0,1] times [0, 2 pi] $. Conforme mostrado na figura a seguir, escolhemos o vetor normal do ponto ascendente. (Poderíamos ter usado o ponto descendente normal em vez disso. Se o fizéssemos, nosso cálculo de fluxo de fluido teríamos o sinal oposto.)

Carregando miniaplicativo

Carregando miniaplicativo

Um helicoide parametrizado com vetor normal. A função $ dlsp ( spfv, spsv) = ( spfv cos spsv, spfv sin spsv, spsv) $ parametriza um helicoide quando $ ( spfv, spsv) in dlr $, onde $ dlr $ é o retângulo $ [0,1] times [0, 2 pi] $ mostrado no primeiro painel. O vetor ciano no ponto azul $ dlsp ( spfv, spsv) $ é o vetor normal da unidade que aponta para cima naquele ponto. Você pode arrastar o ponto azul em $ dlr $ ou no helicoide para especificar $ spfv $ e $ spsv $.

Dado algum fluxo de fluido $ dlvf $, se integrarmos $ dlvf cdot vc$, vamos determinar o fluxo total de fluido através da helicoide, contando o fluxo na direção de $ vc$ como positivo e o fluxo na direção oposta como negativo.

Representamos o campo vetorial de fluxo de fluido $ dlvf $ por setas magenta no miniaplicativo a seguir.

Carregando miniaplicativo

Carregando miniaplicativo

Escoamento de fluido através de helicoide orientado. A função $ dlsp ( spfv, spsv) = ( spfv cos spsv, spfv sin spsv, spsv) $ parametriza um helicoide quando $ ( spfv, spsv) in dlr $, onde $ dlr $ é o retângulo $ [0,1] times [0, 2 pi] $ mostrado no primeiro painel. O vetor ciano no ponto azul $ dlsp ( spfv, spsv) $ é o vetor normal da unidade que aponta para cima naquele ponto. O campo vetorial magenta representa o fluxo de fluido que passa pela superfície. Neste exemplo, o campo vetorial é a constante $ dlvf = (0,1,1) $. Você pode arrastar o ponto azul em $ dlr $ ou no helicoide para especificar $ spfv $ e $ spsv $.

Parece que o fluido está fluindo geralmente na mesma direção de $ vc$ (na maior parte $ dlvf $ e $ vc$ estão mais perto de apontar na mesma direção do que apontar na direção oposta). No entanto, observe, por exemplo, que quando $ spfv = 0 $ e $ spsv = 2 pi $ (ou quando $ spfv = 0 $ e $ spsv = 0 $), o fluido está fluindo na direção oposta de $ vc$ (pelo menos o fluxo está mais próximo da direção oposta do que da mesma direção). Nesses pontos, o fluido está cruzando a superfície na direção oposta do que na maioria dos pontos da superfície.

A figura abaixo demonstra isso mais claramente. Here, you can see the fluid vector $dlvf$ (in magenta) at the same point as the normal vector (in cyan). The value of the flux $dlvf cdot vc$ across the surface at the blue point is shown in the lower right corner. Note that $dlvf cdot vc$ is usually positive, but is negative at a few points, such as those mentioned above. When $dlvf cdot vc=0$, what is the relationship between the fluid vector $dlvf$ and the surface?

Carregando miniaplicativo

Carregando miniaplicativo

Fluid flow through a point of oriented helicoid. The function $dlsp(spfv,spsv) = (spfvcos spsv, spfvsin spsv, spsv)$ parametrizes a helicoid when $(spfv,spsv) in dlr$, where $dlr$ is the rectangle $[0,1] imes [0, 2pi]$ shown in the first panel. The cyan vector at the blue point $dlsp(spfv,spsv)$ is the upward pointing unit normal vector at that point. The magenta vector at that point represents fluid flow that passes through the surface. In this case, the fluid flow is the constant $dlvf=(0,1,1)$ at every point. Even though the fluid flow is constant, the flux through the surface changes, as it is the component of the flow normal to the surface. At the location of the blue point, the flux through the surface, $dlvf cdot vc$, is shown in the lower right corner. You can drag the blue point in $dlr$ or on the helicoid to specify both $spfv$ and $spsv$.

The total flux of fluid flow through the surface $dls$, denoted by $dsint$, is the integral of the vector field $dlvf$ over $dls$. The integral of the vector field $dlvf$ is defined as the integral of the scalar function $dlvf cdot vc$ over $dls$ egin ext &= dsint = ssint>. end The formula for a surface integral of a scalar function over a surface $dls$ parametrized by $dlsp$ is egin ssint = iint_dlr f(dlsp(spfv,spsv))left| pdiff(spfv,spsv) imes pdiff(spfv,spsv) ight| dspfv,dspsv. end

Plugging in $f = dlvf cdot vc$, the total flux of the fluid is egin dsint= iint_dlr (dlvf cdot vc) left| pdiff imes pdiff ight| dspfv,dspsv. end

Lastly, the formula for a unit normal vector of the surface is egin vc = frac imes pdiff> imes pdiff ight|>. end If we plug in this expression for $vc$, the $left| pdiff imes pdiff ight|$ factors cancel, and we obtain the final expression for the surface integral: egin dsint= iint_dlr dlvf(dlsp(spfv,spsv)) cdot left( pdiff(spfv,spsv) imes pdiff(spfv,spsv) ight) dspfv,dspsv. label end

Note how the equation for a surface integral is similar to the equation for the line integral of a vector field egin dlint = int_a^b dlvf(dllp(t)) cdot dllp'(t) dt. end For line integrals, we integrate the component of the vector field in the tangent direction given by $dllp'(t)$. For surface integrals, we integrate the component of the vector field in the normal direction given by $pdiff(spfv,spsv) imes pdiff(spfv,spsv)$.

You can read some examples of calculating surface integrals of vector fields.


Introductory Mathematics For Engineers Lectures In Higher Mathematics

In this post, we will see the book Introductory Mathematics for Engineers: Lectures in Higher Mathematics by A. D. Myškis.

The present book is based on lectures given by the author over a number of years to students of various engineering and physics. The book includes some optional can be skipped for the first reading. The corresponding Items m the table of contents are marked by an asterisk.

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The book is composed in such a way that it is possible to use it both for studying in a college under the guidance of a teacher and for self-education. The subject matter of the book is divided into small sections so that the reader could study the material in suitable order and to any extent depending on the profession and the needs of the reader. It is also intended that the book can be used by students taking a correspondence course and by the readers who have some prerequisites in higher mathematics and want to perfect their knowledge by reading some chapters of the book.

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The book can be of use to readers of various professions dealing with applications of mathematics in their work. Modern applied mathematics of many important special divisions which are not included m this book. The author intends to write another book devoted to some supplementary topics such as the theory of functions of a complex argument, variational calculus, mathematical physics, some special questions of the theory of ordinary differential equations and so on.

The book has interesting ways to treat affine mappings (pages 344-345) and non-linear mappings (pages 358-359).

The book was translated from the Russian by V. M. Volosov and was first published by Mir in 1972.

Note: quite a few pages are missing from the scan:

56-57 70-71 210-211 240-241 312-313 315 320-321 337-338 338-339-340 418-419 464-465 759-760 764-765

Credits to the original scanner. The original scan was not clean or bookmarked. We cleaned, OCRed and bookmarked the original scan.

Front Cover
Folha de rosto
Preface 5
Conteúdo
Introduction 19
1. The Subject of Mathematics 19
2. The Importance of Mathematics and Mathematical Education 20
3. Abstractness 20
4. Characteristic Features of Higher Mathematics 22
5. Mathematics in the Soviet Union 23
CHAPTER I. VARIABLES AND FUNCTIONS 25
§ 1. Quantities 25
1. Concept of a Quantity 25
2. Dimensions of Quantities 25
3. Constants and Variables 26
4. Number Scale. Slide Rule 27
5. Characteristics of Variables 29
§ 2. Approximate Values of Quantities 32
6. The Notion of an Approximate Value 32
7. Errors 32
8. Writing Approximate Numbers 33
9. Addition and Subtraction of Approximate Numbers 34
10. Multiplication and Division of Approximate Numbers Remarks 36
§ 3. Functions and Graphs 39
11. Functional Relation 39
12. Notation 40
13. Methods of Representing Functions 42
14. Graphs of Functions 45
15. The Domain of Definition of a Function 47
16. Characteristics of Behaviour of Functions 48
17. Algebraic Classification of Functions 51
18. Elementary Functions 53
19. Transforming Graphs 54
20. Implicit Functions 56
21. Inverse Functions 58
§ 4. Review of Basic Functions 60
22. Linear Function 60
23. Quadratic Function 62
24. Power Function 63
25. Linear-Fractional Function 66
26. Logarithmic Function 68
27. Exponential Function 69
28. Hyperbolic Functions 70
29. Trigonometric Functions 72
30. Empirical Formulas 75
CHAPTER II. PLANE ANALYTIC GEOMETRY 78
§ 1. Plane Coordinates 78
1. Cartesian Coordinates 78
2. Some Simple Problems Concerning Cartesian Coordinates 79
3. Polar Coordinates 81
§ 2. Curves in Plane 82
4. Equation of a Curve in Cartesian Coordinates 82
5. Equation of a Curve in Polar Coordinates 84
6. Parametric Representation of Curves and Functions 87
7. Algebraic Curves 90
8. Singular Cases 92
§ 3. First-Order and Second-Order Algebraic Curves 94
9. Curves of the First Order 94
10. Ellipse 96
11. Hyperbola 99
12. Relationship Between Ellipse, Hyperbola and Parabola 102
13. General Equation of a Curve of the Second Order 105
CHAPTER III. LIMIT. CONTINUITY 109
§ 1. Infinitesimal and Infinitely Large Variables 109
1. Infinitesimal Variables 109
2. Properties of Infinitesimals 111
3. Infinitely Large Variables 112
§ 2. Limits 113
4. Definition 113
5. Properties of Limits 115
6. Sum of a Numerical Series 117
§ 3. Comparison of Variables 121
7. Comparison of Infinitesimals 121
8. Properties of Equivalent Infinitesimals 122
9. Important Examples 122
10. Orders of Smallness 124
11. Comparison of Infinitely Large Variables 125
§ 4. Continuous and Discontinuous Functions 125
12. Definition of a Continuous Function 125
13. Points of Discontinuity 126
14. Properties of Continuous Functions 129
15. Some Applications 131
CHAPTER IV. DERIVATIVES, DIFFERENTIALS, INVESTIGATION OF THE BEHAVIOUR OF FUNCTIONS 134
§ 1. Derivative 134
1. Some Problems Leading to the Concept of a Derivative 134
2. Definition of Derivative 136
3. Geometrical Meaning of Derivative 137
4. Basic Properties of Derivatives 139
5. Derivatives of Basic Elementary Functions 142
6. Determining Tangent in Polar Coordinates 146
§ 2. Differential 148
7. Physical Examples 148
8. Definition of Differential and Its Connection with Increment 149
9. Properties of Differential 152
10. Application of Differentials to Approximate Calculations 153
§ 3. Derivatives and Differentials of Higher Orders 155
11. Derivatives of Higher Orders 155
12. Higher-Order Differentials 156
§ 4. L'Hospital's Rule 158
13. Indeterminate Forms of the Type $dfrac<0><0>$ 158
14. Indeterminate Forms of tl1e Type $dfrac$ 160
§ 5. Taylor's Formula and Series 161
15. Taylor's Formula 161
16. Taylor's Series 163
§ 6. Intervals of Monotonicity. Exrtremum 165
17. Sign of Derivative 165
18. Points of Extremum 166
19. The Greatest and the Least Values of a Function 168
§ 7. Constructing Graphs of Functions 173
20. Intervals of Convexity of a Graph and Points of Inflection 173
21. Asymptotes of a Graph 174
22. General Scheme for Investigating a Function and Constructing Its Graph 175
CHAPTER V. APPROXIMATING ROOTS OF EQUATIONS. INTERPOLATION 179
§ 1. Approximating Roots of Equations 179
1. Introduction 179
2. Cut-and-Try Method. Method of Chords. Method of Tangents 181
3. Iterative Method 185
4. Formula of Finite Increments 187
5*. Small Parameter Method 189
§ 2. Interpolation 191
6. Lagrange's Interpolation Formula 191
7. Finite Differences and Their Connection with Derivatives 192
8. Newton's Interpolation Formulas 196
9. Numerical Differentiation 198
CHAPTER VI. DETERMINANTS AND SYSTEMS OF LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS 200
§ 1. Determinants 200
1. Definition 200
2. Properties 201
3. Expanding a Determinant in Minors of Its Row or Column 203
§ 2. Systems of Linear Algebraic Equations 206
4. Basic Case 206
5. Numerical Solution 208
6. Singular Case 209
CHAPTER VII. VECTORS 212
§ 1. Linear Operations on Vectors 212
1. Scalar and Vector Quantities 212
2. Addition of Vectors 213
3. Zero Vector and Subtraction of Vectors 215
4. Multiplying a Vector by a Scalar 215
5. Linear Combination of Vectors 216
§ 2. Scalar Product of Vectors 219
6. Projection of Vector on Axis 219
7. Scalar Product 220
8. Properties of Scalar Product 221
§ 3. Cartesian Coordinates in Space 222
9. Cartesian Coordinates in Space 222
10. Some Simple Problems Concerning Cartesian Coordinates 223
§ 4. Vector Product of Vectors 227
11. Orientation of Surface and Vector of an Area 227
12. Vector Product 228
13. Properties of Vector Products 230
14*. Pseudovectors 233
§ 5. Products of Three Vectors 235
15. Triple Scalar Product 235
16. Triple Vector Product 236
§ 6. Linear Spaces 237
17. Concept of Linear Space 237
18. Examples 239
19. Dimension of Linear Space 241
20. Concept of Euclidean Space 244
21. Orthogonality 245
§ 7. Vector Functions of Scalar Argument. Curvature 248
22. Vector Variables 248
23. Vector Functions of Scalar Argument 248
24. Some Notions Related to the Second Derivative 251
25. Osculating Circle 252
26. Evolute and Evolvent 255
CHAPTER VIII. COMPLEX NUMBERS AND FUNCTIONS 259
§ 1. Complex Numbers 259
1. Complex Plane 259
2. Algebraic Operations on Complex Numbers 261
3. Conjugate Complex Numbers 263
4. Euler's Formula 264
5. Logarithms of Complex Numbers 266
§ 2. Complex Functions of a Real Argument 267
6. Definition and Properties 267
7*. Applications to Describing Oscillations 269
§ 3. The Concept of a Function of a Complex Variable 271
8. Factorization of a Polynomial 271
9*. Numerical Methods of Solving Algebraic Equations 273
10. Decomposition of a Rational Fraction into Partial Rational Fractions 277
11*. Some General Remarks on Functions of a Complex Variable 280
CHAPTER IX. FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES 283
§ 1. Functions of Two Variables 283
1. Methods of Representing 283
2. Domain of Definition 286
3. Linear Function 287
4. Continuity and Discontinuity 288
5. Implicit Functions 291
§ 2. Functions of Arbitrary Number of Variables 291
6. Methods of Representing 291
7. Functions of Three Arguments 292
8. General Case 292
9. Concept of Field 293
§ 3. Partial Derivatives and Differentials of the First Order 294
10. Basic Definitions 294
11. Total Differential 296
12. Derivative of Composite Function 298
13. Derivative of Implicit Function 300
§ 4. Partial Derivatives and Differentials of Higher Orders 303
14. Definitions 303
15. Equality of Mixed Derivatives 304
16. Total Differentials of Higher Order 305
CHAPTER X. SOLID ANALYTIC GEOMETRY 307
§ 1. Space Coordinates 307
1. Coordinate Systems in Space 307
2*. Degrees of Freedom 309
4. Cylinders, Cones and Surfaces of Revolution 314
5. Curves In Space 316
6. Parametric Representation of Surfaces in Space. Parametric Representation of Functions of Several Variables 317
§ 3. Algebraic Surfaces of the First and of the Second Orders 319
7. Algebraic Surfaces of the First Order 319
8. Ellipsoids 322
9. Hyperboloids 324
10. Paraboloids 326
11. General Review of the Algebraic surfaces of the second order 327
CHAPTER XI. MATRICES AND THEIR APPLICATIONS 329
§ 1. Matrices 329
1. Definitions 329
2. Operations on Matrices 331
3. Inverse Matrix 333
4. Eigenvectors and Eigenvalues of a Matrix 335
5. The Rank of a Matrix 337
7. Transformation of the Matrix of a Linear Mapping When the Basis Is Changed 347
8. The Matrix of a Mapping Relative to the Basis Consisting of Its Eigenvectors 350
9. Transforming Cartesian Basis 352
10. Symmetric Matrices 353
§ 3. Quadratic Forms 355
11. Quadratic Forms 355
12. Simplification of Equations of Second-Order Curves and Surfaces 357
§ 4. Non-Linear Mappings 358
13*. General Notions 358
14*. Non Linear Mapping in the Small 360
15*. Functional Relation Between Functions 362
CHAPTER XII. APPLICATIONS OF PARTIAL DERIVATIVES 365
§ 1. Scalar Field 365
1. Directional Derivative. Gradient 365
2. Level Surfaces 368
3. Implicit Functions of Two Independent Variables 370
4. Plane Fields 371
5. Envelope of One-Parameter Family of Curves 372
§ 2. Extremum of a Function of Several Variables 374
6. Taylor's Formula for a Function of Several Variables 374
7. Extremum 375
8. The Method of Least Squares 380
9*. Curvature of Surfaces 381
10. Conditional Extremum 384
11. Extremum with Unilateral Constraints 388
12*. Numerical Solution of Systems of Equations 390
CHAPTER XIII. INDEFINITE INTEGRAL 393
§ 1. Elementary Methods of Integration 393
1. Basic Definitions 393
2. The Simplest Integrals 394
3. The Simplest Properties of an Indefinite Integral 397
4. Integration by Parts 399
5. Integration by Change of Variable (by Substitution) 402
§ 2. Standard Methods of Integration 404
6. Integration of Rational Functions 405
7. Integration of Irrational Functions Involving Linear and Linear-Fractional Expressions 407
8. Integration of Irrational Expressions Containing Quadratic Trinomials 408
9. Integrals of Binomial Differentials 411
lO. Integration of Functions Rationally Involving Trigonometric Functions 412
11. General Remarks 415
CHAPTER XIV. DEFINITE INTEGRAL 417
§ 1. Definition and Basic Properties 417
1. Examples Lending to the Concept of Definite Integral 417
3. Relationship Between Definite Integral and Indefinite Integral 426
4. Basic Properties of Definite Integral 433
5. Integrating Inequalities 436
§ 2. Applications of Definite Integral 436
6. Two Schemes of Application 436
7. Differential Equations with Variables Separable 437
8. Computing Areas of Plane Geometric Figures 443
9. The Arc Length of a Curve 445
10. Computing Volumes of Solids 447
11. Computing Area of Surface of Revolution 448
§ 3. Numerical Integration 448
12. General Remarks 448
13. Formulas of Numerical Integration 450
§ 4. Improper Integrals 454
14. Integrals with Infinite Limits of Integration 455
15. Basic Properties of Integrals with Infinite Limits 464
16. Other Types of Improper Integral 468
17*. Gamma Function 468
18*. Beta Function 471
19*. Principal Value of Divergent Integral 473
§ 5. Integrals Dependent on Parameters 474
20*. Proper Integrals 474
21*· Improper Integrals 476
§ 6. Line Integrals of Integration 478
22. Line Integrals of the First Type 482
23. Line Integrals of the Second Type 484
24. Conditions for a Line Integral of the Second Type to Be Independent of the Path of Integration 488
§ 7. The Concept of Generalized Function 488
25*. Delta Function 488
26*. Application to Constructing Influence Function 492
27*. Other Generalized Functions 495
CHAPTER XV. DIFFERENTIAL EQUATIONS 497
§ 1. General Notions 497
1. Examples 497
2. Basic Definitions 498
§ 2. First-Order Differential Equations 500
3. Geometric Meaning 500
4. Integrable Types of Equations 503
5*. Equation for Exponential Function 506
6. Integrating Exact Differential Equations 509
7. Singular Points and Singular Solutions 512
8. Equations Not Solved for the Derivative 516
9. Method of Integration by Means of Differentiation 517
§ 3. Higher-Order Equations and Systems of Differential Equations 519
10. Higher-Order Differential Equations 519
11*. Connection Between Higher-Order Equations and Systems of First-Order Equations 521
12*. Geometric Interpretation of System of First-Order Equations 522
13*. First Integrals 526
§ 4. Linear Equations of General Form 528
14. Homogeneous Linear Equations 528
15. Non-Homogeneous Equations 530
16*. Boundary-Value Problems 535
§ 5. Linear Equations with Constant Coefficients 541
17. Homogeneous Equations 541
18. Non-Homogeneous Equations with Right-Hand Sides of Special Form 545
19. Euler's Equations 548
20*. Operators and the Operator Method of Solving Differential Equations 549
§ 6. Systems of Linear Equations 553
21. Systems of Linear Equations 553
22*. Applications to Testing Lyapunov Stability of Equilibrium State 558
§ 7. Approximate and Numerical Methods of Solving Differential Equations 562
23. Iterative Method 562
24*. Application of Taylor's Series 564
25. Application of Power Series with Undetermined coefficients 565
26*. Bessel's Functions 566
27*. Small Parameter Method 569
28*. General Remarks on Dependence of Solutions on Parameters 572
29*. Methods of Minimizing Discrepancy 575
30*. Simplification Method 576
31. Euler's Method 578
32. Runge-Kutta Method 580
33. Adams Method 582
34. Milne's Method 583
CHAPTER XVI. Multiple Integrals 585
§ 1. Definition and Basic Properties of Multiple Integrals 585
1. Some Examples Leading to the Notion of a Multiple Integral 585
2. Definition of a Multiple Integral 586
3. Basic Properties of Multiple Integrals 587
4. Methods of Applying Multiple Integrals 589
5. Geometric Meaning of an Integral Over a Plane Region 591
§ 2. Two Types of Physical Quantities 592
6*. Basic Example. Mass and Its Density 592
7*. Quantities Distributed in Space 594
§ 3. Computing Multiple Integrals in Cartesian Coordinates 596
8. Integral Over Rectangle 596
9. Integral Over an Arbitrary Plane Region 599
10. Integral Over an Arbitrary Surface 602
11. Integral Over a Three-Dimensional Region 604
§ 4. Change of Variables in Multiple Integrals 605
12. Passing to Polar Coordinates in Plane 605
13. Passing to Cylindrical and Spherical Coordinates 606
14*. Curvilinear Coordinates in Plane 608
15*. Curvilinear Coordinates in Space 611
16*. Coordinates on a Surface 612
§ 5. Other Types of Multiple Integrals 615
17*. Improper Integrals 615
18*. Integrals Dependent on a Parameter 617
19*. Integrals with Respect to Measure. Generalized Functions 620
20*. Multiple Integrals of Higher Order 622
§ 6. Vector Field 626
21*. Vector Lines 626
22*. The Flux. of a Vector Through a Surface 627
23*. Divergence 629
24*. Expressing Divergence in Cartesian Coordinates 632
25. Line Integral and Circulation 634
26*. Rotation 634
27. Green's Formula. Stokes' Formula 638
28*. Expressing Differential Operations on Vector Fields in a Curvilinear Orthogonal Coordinate System 641
29*. General Formula for Transforming Integrals 642
CHAPTER XVII. SERIES 645
§ 1. Number Series 645
1. Positive Series 645
2. Series with Terms of Arbitrary Signs 650
3. Operations on Series 652
4*. Speed of Convergence of a Series 654
5. Series with Complex, Vector and Matrix Terms 658
6. Multiple Series 659
§ 2. Functional Series 661
7. Deviation of Functions 661
8. Convergence of a Functional Series 662
9. Properties of Functional Series 664
§ 3. Power Series 666
10. Interval of Convergence 666
11. Properties of Power Series 667
12. Algebraic Operations on Power Series 671
13. Power Series as a Taylor Series 675
14. Power Series with Complex Terms 676
15*. Bernoullian Numbers 677
16*. Applying Series to Solving Difference Equations 678
17*. Multiple Power Series 680
18*. Functions of Matrices 681
19*. Asymptotic Expansions 685
§ 4. Trigonometric Series 686
20. Orthogonality 686
21. Series in Orthogonal Functions 689
22. Fourier Series 690
23. Expanding a Periodic Function 695
24*. Example. Bessel's Functions as Fourier Coefficients 697
25. Speed of Convergence of a Fourier Series 698
26. Fourier Series in Complex Form 702
27*. Parseval Relation 704
28*. Hilbert Space 706
29*. Orthogonality with Weight Function 708
30*. Multiple Fourier Series 710
31*. Application to the Equation of Oscillations of a String 711
§ 5. Fourier Transformation 713
32*. Fourier Transform 713
33*. Properties of Fourier Transforms 717
34*. Application to Oscillations of Infinite String 719
CHAPTER XVIII. ELEMENTS OF THE THEORY OF PROBABILITY 721
§ 1. Random Events and Their Probabilities 721
1. Random Events 721
2. Probability 722
3. Basic Properties of Probabilities 725
4. Theorem of Multiplication of Probabilities 727
5. Theorem of Total Probability 729
6*. Formulas for the Probability of HyPotheses 730
7. Disregarding Low-Probability Events 731
§ 2. Random Variables 732
8. Definitions 732
9. Examples of Discrete Random Variables 734
10. Examples of Continuous Random Variables 736
11. Joint Distribution of Several Random Variables 737
12. Functions of Random Variables 739
§ 3. Numerical Characteristics of Random Variables 741
13. The Mean Value 741
14. Properties of the Mean Value 742
15. Variance 744
16*. Correlation 746
17. Characteristic Functions 748
§ 4. Applications of the Normal Law 750
18. The Normal Law as the Limiting One 750
19. Confidence Interval 752
20. Data Processing 754
CHAPTER XIX. COMPUTERS 757
§ 1. Two Classes of Computers 757
1. Analogue Computers 758
2. Digital Computers 762
§ 2. Programming 764
3. Number Systems 764
4. Representing Numbers in a Computer 766
5. Instructions 769
6. Examples of Programming 772
Appendix. Equations of Mathematical Physics 780
1*. Derivation of Some Equations 780
2*. Some Other Equations 783
3*. Initial and Boundary Conditions 784
§ 2. Method of Separation of Variables 786
4*. Basic Example 786
5*. Some Other Problems 791
Bibliography 796
Name Index 798
Subject Index 8OO
List of Symbols 81


Unit Vectors

UMA unit vector has length 1 unit and can take any direction.

A one-dimensional unit vector is usually written eu.

Example 5 - Unit Vector

In the following diagram, we see the unit vector (in red, labeled eu) and two other vectors that have been obtained from eu using scalar multiplication (2eu and 7eu).

We have seen how to draw and write vectors. We now learn how to add vectors.


Assista o vídeo: Rotacja i dywergencja Wyznacz rotację i dywergencję pola wektorowego (Novembro 2021).