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Os Inteiros de Gauss e as Origens da Teoria dos Números Algébricos II


A Matemática é a rainha das Ciências, e a Teoria dos Números é a rainha da Matemática.
C. F. Gauss

A teoria dos números algébricos foi criada na segunda metade do século XIX nos trabalhos dos matemáticos Ernest Kummer (1810-1893), Richard Dedekind (1831-1916) e Leopold Kronecker (1823-1891). Essa teoria teve suas origens quando o matemático alemão Carl F. Gauss (1777-1855) estendeu a idéia de número inteiro definindo o anel dos inteiros algébricos gaussianos, Zi, e posteriormente na tentativa de se demonstrar o Último Teorema de Fermat. A teoria dos números algébricos é uma das mais belas e profundas teorias em toda a Matemática.

A primeira motivação dessa investigação diz respeito à generalização do teorema da representação única dos números inteiros como um produto de números primos, a menos da ordem dos fatores, para inteiros algébricos. Gauss introduziu o anel dos inteiros algébricos, Zi, durante sua investigação sobre resíduos biquadráticos, e mostrou que nesse anel a fatorização em elementos primos existe, e é única a menos da ordem dos fatores.

A fatorização de um número depende muito do anel ao qual ele pertence e, portanto, para obtermos a generalização da unicidade da fatoração de inteiros, é necessário trabalhar em subanéis apropriados do corpo dos números complexos.

A segunda motivação, para o estudo da aritmética de números algébricos, origina-se da Teoria das Equações Diofantinas. Por exemplo, uma forma quadrática definida sobre um anel A é um polinômio homogêneo tal que os coeficientes são elementos de A, isto é, polinômios da forma f(x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 onde A, B, C pertencem ao anel A. Se tomarmos a forma quadrática sobre o anel dos números inteiros

f(x, y) = x2 - D y2

onde D é um número inteiro e ÖD não é um número inteiro, essa pode ser escrita na forma

f(x, y) = x2 - D y2 = (x - ÖD y) . (x + ÖD y).

Portanto, a questão sobre a possibilidade da representação de inteiros r por r = a2 - Db2 = f(a, b) onde a e b são números inteiros, é reformulada como uma questão de fatorização de números algébricos do anel ZÖD, isto é, números da forma a + bÖD.

Essas motivações deixam evidente a importância dos anéis Z ÖD e Z i.

No inicio do ano de 1840, Kummer considerou o anel de números da forma

<>

ap-<>

1V<>

p-<>

1<>

+ ap-2 V<>

p-<>

2<>

+… + a1V<>

+ a0

<>

onde ap-1, ap-2,… , a1 e a0 são números inteiros, p é um número primo ímpar e V uma raiz primitiva p-ésima da unidade, isto é, um número complexo V tal que Vp = 1 e V ¹ 1. Como esse anel, em geral, não possui a propriedade da fatorização única em números primos, Kummer consertou essa situação introduzindo a noção de “números ideais”, que deu origem à noção de “ideal”, devida a Dedekind, e mostrou que valia a fatorização única em números primos ideais. Com esse conceito, ele demonstrou o Último Teorema de Fermat, em muitos casos novos à época, usando a identidade

xp - yp = (x - y) (x - Vy)… (x - Vp - 1y ) .

Essa teoria tomou uma forma distinta da que Kummer nos legou. Contudo, os profundos resultados de Kummer sobre corpos ciclotômicos, ou seja, corpos da forma Q(w) onde w é uma raiz primitiva n-ésima da unidade, serviram como paradigma para os pesquisadores posteriores.

Demorou aproximadamente 30 anos até que Kronecker e Dedekind encontrassem a correta generalização dos números ideais. Observou-se que era necessário definir-se a noção de número inteiro algébrico.

Um inteiro algébrico é um tipo particular de número complexo, ou seja, um número complexo que é solução de uma equação polinomial

<>

anxn<>

+ an-1 xn-1+… + a1x + a0 = 0,

onde todos os coeficientes an, an-1,… , a1, a0 são números inteiros. Por exemplo, a unidade imaginária, i, é um inteiro algébrico, pois satisfaz a equação x2 + 1 = 0. A raiz quadrada de 7, Ö7, é um inteiro algébrico, pois satisfaz a equação x2 - 7 = 0. Observe que os números i, Ö7 são exemplos de inteiros algébricos e não são números inteiros.

Os anéis de inteiros algébricos representam o conceito central da Teoria dos Números Algébricos. Para sermos exatos: um corpo de números algébricos, K, e seu correspondente anel de inteiros algébricos, DK. Um corpo de números algébricos, K, é um subcorpo do corpo dos números complexos que, quando visto como um espaço vetorial sobre os racionais, Q, possui dimensão finita. Os inteiros algébricos contidos em K formam um anel DK, que é a estrutura adequada para a generalização da fatorização única em números primos.

Em linhas gerais: se w é um número algébrico arbitrário e tomamos o corpo K = Q (w) então se considera o subanel distinguido DK de K denominado de anel dos inteiros algébricos de K. Os elementos de DK são números complexos contidos em K = Q (w) que são soluções de equações polinomiais

<>

anxn<>

+ an-1 xn-1+… + a1x + a0 = 0,

onde todos os coeficientes an, an-1,… , a1, a0 são números inteiros.

Observe que a relação entre DK e K é análoga à relação entre Z e Q. Contudo, a fatorização em primos costuma falhar para elementos do anel de inteiros, mas não falha para ideais.

Chamamos a atenção do leitor para o fato de que ao tomarmos o corpo K = Q (w), onde w é um número algébrico arbitrário, então nem sempre o anel de inteiros algébricos é da forma DK = Z w. Por outro lado, é verdade que Z w está contido em DK,pois DK é um anel contendo w. Por exemplo, Q (Ö5) é um corpo de números algébricos. De fato, o número complexo Ö5 é raiz do polinômio p(x) = x2 - 5, portanto um número algébrico, e Q (Ö5) é um espaço vetorial de dimensão finita igual a 2 sobre Q, uma base sendo o conjunto {1, Ö5}. Contudo, Z Ö5 não é o seu anel de inteiros. De fato, o número complexo (1 + Ö5) / 2 é raiz do polinômio p(x) = x2 - x - 1, portanto um inteiro algébrico, pertencente a Q (Ö5). Logo, o número complexo (1 + Ö5) / 2 pertence ao anel de inteiros algébricos DK, mas não pertence a Z (Ö5), pois o número 1/2 não é um número inteiro.

O matemático Dedekind reformulou o conceito de número ideal proposto por Kummer, propondo o conceito chave fundamental de “ideal” que permanece até hoje. A definição de Dedekind é distinta da definição de Kummer, mas demonstra-se que elas são equivalentes. Nessa teoria, os blocos essenciais de construção são os ideais primos. Demonstra-se que nos anéis de inteiros algébricos todo ideal não nulo possui fatorização única em potências de ideais primos.

A teoria dos ideais de anéis de inteiros algébricos foi criada para fornecer novos métodos de resolução de problemas clássicos da Teoria dos Números. O desenvolvimento de métodos em Teoria dos Números Algébricos continua sendo uma área importante de investigação em Teoria dos Números.

A abstração das propriedades mais essenciais dos anéis de inteiros algébricos deu origem a axiomas que definiram uma nova classe de anéis chamada de Domínios de Dedekind, como foi demonstrado pela genial matemática alemã Emmy Noether (1882-1935). A classe dos domínios de Dedekind é muito mais extensa que a classe original dos anéis de inteiros algébricos. O invariante básico de um anel de Dedekind é o seu grupo de classes de ideais, class group em inglês, e sua cardinalidade é denominada de número de classes de ideais, class number em inglês. Em geral, esse é um grupo abeliano infinito. Contudo, é sempre um grupo finito para anéis de inteiros algébricos.

Se considerarmos um corpo de números algébricos K e seu anel de inteiros algébricos DK, demonstra-se que o anel de inteiros algébricos, DK, é um domínio de Dedekind. Sendo DK um anel de inteiros algébricos o class group é finito e demonstra-se que o class number é igual a 1 se, e somente se, o anel de inteiros, DK, possui a propriedade da fatorização única.

A pesquisa das propriedades aritméticas do anel de inteiros de um corpo de números algébricos é um dos principais objetos de investigação em Teoria dos Números Algébrico. Há três métodos para se investigar a aritmética em DK. Kronecker considerou polinômios com coeficientes em DK. Dedekind introduziu a noção de ideais em DK, definindo um dos mais importantes conceitos em álgebra. Hensel introduziu o método que atualmente é denominado de localização.

Uma grande parte da Teoria dos Números clássica pode ser expressa no contexto da Teoria dos Números Algébricos e essa teoria passou de ferramenta a objeto de investigação essencial na Teoria dos Números. Esse ponto de vista foi bastante enfatizado pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) que teve uma enorme influência no desenvolvimento da Teoria dos Números. Como resultado, a Teoria dos Números Algébricos é um ramo fértil, próspero e importante da Matemática, com métodos profundos e com aplicações não somente na própria Teoria dos Números, mas também na Teoria dos Grupos, na Geometria Algébrica, na Álgebra Comutativa, na Topologia, na Análise e na K-Teoria.

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