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Partes e potências


Quanto é a potência "n elevado a zero"? Essa pergunta finalizou a coluna anterior. Hoje vamos tentar esclarecer a questão das potências de números naturais. Você não terá dificuldades em conceber os números naturais como sendo os conjuntos Æ = 0, {Æ } = 1, {Æ , {Æ }} = 2, {Æ , {Æ }, {Æ , {Æ }}} = 3,… , {0, 1, 2, 3,… , n -1} = n,… Não deixe de escrever, como exercício, os números naturais até 10 para certificar-se de que você entendeu realmente o que são os números naturais. A contagem das partes de um conjunto que possua n conjuntos tem a ver com a potência . Na verdade, precisamos perguntar o que significa uma potência . Uma maneira fácil de concebê-la é pensando que ela significa m*m*… *m, n vezes. Mas o que significa "multiplicar" o número m tantas vezes por ele mesmo?

Multiplicar um número m por outro, digamos, p, significa "adicionar" m com ele mesmo p vezes. Mas o que significa adicionar um número m "p vezes"? Descobrimos que ainda não sabemos o que significa adicionar dois números naturais. Mas isso é fácil. Primeiramente, vamos ver como podemos adicionar m + 1. Simplesmente escrevemos m + 1 = m È {m}. É por isso que podemos dizer que 0 + 1 = 1, 2 + 1 = 3, etc… Por exemplo, note que 2 + 1 = 2 È {2} = {0, 1} È {2} = {0, 1} È {{0, 1}} = {0, 1, {0, 1}} = {0, 1, 2} = 3. Para ter certeza de que você realmente entendeu a definição da "adição de m com 1", demonstre por você mesmo que: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 3 + 1 = 4, e mais algumas verdades que tenha vontade de demonstrar. Estamos num momento fascinante de nossa aventura matemática: pelo que acabamos de fazer percebemos imediatamente que existem infinitas verdades em matemática. Basta imaginar as verdades 0 + 2 = 2, 2 + 2 = 4, 3 + 2 = 5,… , etc…

Você deve estar perguntando: mas o que significa m + 2? Você mesmo pode responder essa questão: significa (m + 1) + 1. Como você já sabe o que significa m + 1, então facilmente você também sabe o que significa m + 2. Se você continuar pensando assim por analogia, saberá facilmente o que significa m + n.

Voltando ao nosso problema de saber como multiplicar m por p, simplesmente convencionamos que m*p = m + m +… + m, p vezes. Agora estamos prontos para explicar o que significa a potência . Simplesmente ela significa m*m*… *m, n vezes. Novamente, não vale a pena prosseguir se você não tem certeza de que entendeu o que é uma potência natural. Vamos dar um exemplo simples: .

Se você não entende esse exemplo leia novamente esse texto desde o começo. Calcule agora mesmo por você mesmo: , ,, e outras potências bem simples para verificar seu entendimento.

O nosso problema é, finalmente, explicar com muita clareza e simplicidade como se pode interpretar uma potência . Para isso, vamos imaginar uma transformação de conjuntos. Essa idéia nada mais é do que fazer corresponder aos conjuntos de um conjunto, outros conjuntos de um segundo conjunto. Exemplo: {1, 2} à {2, 4}. A transformação aqui é aquela que "dobra" números. Uma transformação de conjuntos pode ter a mais arbitrária regra de associação. Por exemplo: tome um conjunto, considere uma parte sua e forme um "pacote"; com a parte restante forme "outro pacote", o pacote restante. Em outras palavras, pense no conjunto {0, 1, 2, 3}. Considere a sua parte {0, 1, 2} e a parte que sobrou {3}. Então, dizemos que {0, 1, 2} é um pacote e {3} é o pacote restante. Assim, transformamos a parte {0, 1, 2} no conjunto 0 (formando um pacote) e a parte {3} no conjunto 1 (formando o pacote restante). Isto é, os números 0, 1 e 2 se transformaram no 0 e o 3 se transformou no 1. Portanto, quando perguntamos quantas partes tem um conjunto {0, 1,… , n - 1}, estamos querendo saber quantas vezes podemos formar pacotes. Em outras palavras, estamos querendo saber quantas transformações existem do conjunto {0, 1,… , n - 1} no conjunto {0, 1}. Por exemplo, quantos "empacotamentos" de {0, 1, 2} existem? Ou seja, quantas transformações existem de {0, 1, 2} em {0, 1}? Mostre que existem 8. Não se esqueça de formar o pacote vazio. Então responda "por pacotes": quanto é "n elevado a zero"?

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